空间几何体中的旋转体

空间几何体中的旋转体（精选3篇）

空间几何体中的旋转体 第1篇

一、正方形中的旋转

在正方形中, 条件分散时, 一般利用正方形边长相等的性质, 将条件进行旋转集中, 即可达到目的.

例1如图, E是正方形ABCD的BC边上的点, F是∠DAE的平分线与CD的交点, 求证:AE=FD+BE.

解析要证的等式的各线段分散在正方形不同的边上, 要证它们之间的关系, 看似不可能, 但我们可利用正方形的特殊性质, 即AB=AD, ∠B=∠D=90°, 可将Rt△ABE绕点A旋转, 使BE与DF联系在一起, 从而得出结论.

证明把Rt△ABE绕点A逆时针旋转90°, 得到Rt△ADG, 则BE=DG, AG=AE, ∠GAE=90°.

∴∠GAF=90°-∠2, 而∠GFA=90°-∠1.

又∵AF平分∠DAE,

∴∠1=∠2, ∴∠GAF=∠GFA, ∴GF=AG.

而GD+DF=GF, ∴AE=BE+DF.

例2如图, P是正方形ABCD内一点, PA=2, PB=1, PD=3, 求∠APB的度数.

解析PA, PB, PC三条线段不在同一个三角形内, 而要求的∠APB, 与三个条件无直接联系, 因此考虑利用正方形的性质, 将△APB绕点A旋转, 使AB与AD, PB与ED重合, 连接PE, 由三边关系来求∠AED的度数即可求得.

解将△APB绕点A沿逆时针方向旋转90°, 使AP与AE, PB与ED重合, 即△APB≌△AED, 连接PE, 则△PEA为等腰直角三角形.

PE2=AP2+AE2=22+22=8.

在△EPD中, ∵EP2+ED2=12+8=9, 而PD2=32=9,

∴PD2=EP2+ED2, ∴∠PED=90°,

∴∠AED=90°+45°=135°, ∴∠APB=∠AED=135°.

二、等腰三角形中的旋转

若条件为等腰三角形, 需要对图形进行变换, 常以等腰三角形的顶点为旋转中心, 顶角为旋转角, 进行旋转变换, 把内部的点旋转到外部.

例3已知, 在△ABC中, AB=AC, P是三角形内一点, 且有∠APB=∠APC.求证:∠PBC=∠PCB.

解析此题条件, 结论看似简单, 但证明起来并不容易, 证∠PBC=∠PCB, 只需证明PB=PC, 考察PB, PC.PB, PC分别在△ABP和△ACP中, 且有AB=AC, AP=AP, ∠APB=∠APC, 但两个三角形不能判定全等, 在原图形中证明难以实现, 这时我们联想到将原图的某些部分旋转.

证明因为AB=AC, 以A为顶点, 把△ABP绕点A逆时针旋转到△ACP, 则△ADC≌△APB, 连接PD.

例4在等腰△ABC中, AB=AC, D为三角形内一点, 已知∠ADC>∠ADB, 求证:DB>DC.

解析由于∠ADC, ∠ADB与BD, DC都不在同一个三角形之中, 不能直接比较, 所以考虑将某一图形绕着某点旋转一定角度, 使图中对应元素不变, 使它们能集中在同一个三角形之中来进行比较.

证明把△ABD绕点A按逆时针方向旋转, 使△ABD至△ACE处, 连接DE, 则AD=AE, BD=CE.

例5设P是边长为1的正三角形ABC内任一点, 求证:

解析由三角形的两边之和大于第三边, 只能证明PA+PB+PC>1.5, 要证明它大于, 难度很大, 因此我们考虑将P点旋转到三角形的外部来分析.因此, 将△ABC绕点B逆时针旋转60°到△A′BA, 再利用折线大于线段的性质, 可解决此问题.

解将△ABC绕B点逆时针旋转60°到△A′BA, 则△ABP相应转到△A′BP′的位置, 连接A′C与AB相交于O点.

∴PA=P′A′, BP=BP′.

又∠P′BP=60°,

∴△BP′P是等边三角形, ∴BP=BP′=PP′.

则PA+PB+PC=A′P′+P′P+PC.

(1) 当P在AC上时, 显然有A′P′+P′P+PC=A′C;

(2) 当P不在AC上时, 它是一条折线, 有A′P′+P′P+PC>A′C.

综上所述有:PA+PB+PC≥A′C.

∵ABC是等边三角形, ∴BC=AC=A′A=A′B=1,

28.空间向量在立体几何中的应用 第2篇

2§5.3空间向量在立体几何中的应用

NO.28

【基础知识梳理】

1.直线的方向向量与直线的向量方程

⑴ 用向量表示直线或点在直线上的位置

① 给定一个定点A和一个向量a，再任给一个实数t，以A为起点作向量AP=_________（Ⅰ），这时点P的位置被完全确定.向量方程通常称作直线l的____________，向量a称为该直线的____________.② 对空间任一个确定的点O，点P在直线l上的充要条件是存在惟一的实数t，满足等式，如果在l上取，则（Ⅱ）式可化为 O=_________（Ⅱ）

OPOAtABOAt(OBOA)，即O=_________（Ⅲ）.（Ⅰ）或（Ⅱ）或（Ⅲ）都叫做空间直线的向量参数方程，它们都与平面的直线向量参数方程相同.③ 设点M是线段AB的中点，则O=_________.⑵ 用向量方法证明直线与直线平行，直线与平面平行，平面与平面平行

① 设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2或l1和l2重合__________.② 已知两个非零向量v1，v2与平面α共面，一条直线l的一个方向向量为v，则l∥α或 l在α内存在两个实数x，y，使v=__________.⑶ 用向量运算证明两条直线垂直或求两条直线所成的角

设直线l1和l2成的角为θ（锐角），方向向量分别为v1和v2，则有l1⊥l2__________，cosθ=__________.2.平面的法向量与平面的向量表示

⑴ 已知平面α，如果向量n的基线与平面α垂直，则向量n叫做平面α的________或说向量n与平面α________.⑵设A是空间任一点，n为空间任一非零向量，适合条件AMn0----①的点M的集合构成的图形是________.如果任取两点M1、M2（M1、M2和A三点不共线），且AM10，AM20，则n⊥平面AM1M2.在平面AM1M2内的任一点M都满足条件①式.满足条件①的所有

点M都在平面AM1M2内.①式称为一个平面的_____________.⑶ 共面向量定理的推论：如果A、B、C三点_____________，则点M在平面ABC内的充要条件是，存在一对实数x，y，使向量表达式=_________.⑷ 设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β或α，β重合_____，α⊥β______________

⑸ 三垂线定理：如果在平面___的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它也和____________垂直.三垂线定理的逆定理：如果在平面___的一条直线与平面的一条斜线垂直，则它也和

____________垂直.【基础知识检测】

1.两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1=（1，0，-1），v2=（-2，0，2），则l1与l2的位置关系是（）

A.平行B.相交C.垂直D.不确定

2.在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的是（）

ABCD

3.已知l∥α，且l的方向向量为（2，m，1），平面α的法向量为（1，-1m，2），则m=______.24.已知平面α和β的法向量分别为u1=（-1，x，4）和u2=（y，1，-2），若α∥β，则x+y=______.5.已知正方体ABCD－A1B1C1D1，则直线AC1与直线BC所成的角为_______.【典型例题探究】

题型1.（异面直线所成的角）在棱长均为a的正四面体ABCD中，M、N分别为边AB、CD的中点，求异面直线AN、CM所成的角的余弦值.D

变式训练：已知直三棱柱ABD-A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1和A1A的中点,（1）求异面直线BA1和CB1所成的角；（2）求证：A1B⊥C1M.题型2.（利用空间向量证明平行、垂直问题）已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，点M、N

分别是对角线A1B与面对角线A1C1的中点.求证：MN∥侧面AD1.变式训练：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为a，M、N分别为A1B和AC上的点，A1M=AN=2a，则MN与平面BB1C1C的位置关系是（）

3A.相交B.平行C.垂直D.不能确定

题型3（空间中点共线、点共面问题）已知平行四边形ABCD，从平面ABCD外一点O引射线OA，OB，OC，OD，在其上分别取E，F，G，H，并且使OEOFOGOHk（k OAOBOCOD

为常数）.求证：E，F，G，H四点共面.变式训练：求证：四点A（3，0，5），B（2，3，0），C（0，5，0），D（1，2，5）共面.【限时过关检测】班级学号姓名分数

选择、填空题每小题10分

1.对空间任意一点O，若311，则A、B、C、P四点（）488

A.一定不共面B.一定共面C.不一定共面D.无法判断

2.设P是△ABC所在平面外一点，且PA⊥BC,PB⊥AC,则 P在该平面内的射影是△ABC的（）

A.内心B.外心C.垂心D.重心

3.设l1的方向向量为=（1，2，-2），l2的方向向量为=（-2，3，m），若l1⊥l2，则m= ____.4.已知=（2，2，1），=（4，5，3），则平面ABC的单位法向量是_________.5.（20分）已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1AB=1，2

M是PB的中点.（Ⅰ）证明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求AC与PB所成的角.6.（20分）直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC=2a，BB1=3a，D为A1C1的中点，E为B1C的中点，⑴ 求直线BE与A1C所成的角；⑵ 在线段AA1上是否存在点F，使CF⊥平面B1DF，若存在，求出AF；若不存在，说明理由.【体验高考】(每小题10分)

1．（2007全国Ⅰ）正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为

（）

A．1234B．C．D． 5555

2.（2007四川）ABCD-A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（）．．

解读高考中的空间动态几何问题 第3篇

1、曲面上的动态问题——短程线问题

短程线问题在高考中比较常见，在求折线长最小或求几何体面上线段长的最小值时，常以直代曲，将立体图形展开成平面图形，化空间问题为平面问题。如：

例1（05年江西理科15題）如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB=BC=，BB1=2，，E、F分别为AA1、C1B1的中点，沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为 。

简析：将上底面沿A1B1与面A1B展平，求出线段EF长度，将面BC1沿BB1与面A1B展平，求出线段EF的长，比较两个值中较小的为最短路径。本题容易不作比较直接给出错误的答案。

同类题比较：06年江西文科15题，06年江西理科15题等，可采用同样的方法来解决。

2、平面图形的翻折问题

将平面图形翻折成空间图形，既是实际应用问题的需要，又具有考察学生空间想象能力、逻辑推理、数学实践、综合分析问题能力的功能，因此，它是高考中的一种常见题型。如：

例2（08年重庆理科19题）如图，在中，B=，AC=，D、E两点分别在AB、AC上，使，DE=3，现将沿DE折成直二角角，求：

（Ⅰ）异面直线AD与BC的距离；

（Ⅱ）二面角A-EC-B的大小（用反三角函数表示）。

求解策略：此类问题总的难度并不太大，最关键的是要了解翻折前后的点、线、面之间的位置关系的变化情况。应注意以下几点：（1）翻折后，若线与线同在一个平面内，则它们的位置关系不发生任何变化；（2）若翻折后，线与线由同在一个平面转为不在同一平面内，则其位置关系应注意变化的结果是什么。

同类题比较：07年湖南理科18题，06年辽宁理科18题，山东理科12题，05年湖南理科17题，江西理科9题，浙江理科12题等。

3、几何体在平面上的动态投影及三视图问题

在运动变化中有一些特殊（或极限）位置，从特殊（或极限）位置着手，再动态观察其变化过程，将直觉猜想与逻辑推理结合，可快捷流畅解决问题，体现一般与特殊的辩证关系。在新课程中引入三视图的内容后，以三视图为考点的题也会越来越常见。如：

例3（08年理科海南12题）某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为和的线段，则+的最大值为（ ）

A、 B、 C、4 D、

简析：本题考查三视图的概念及平均值不等式。设棱为AB，取A（0，0，0），B（，，），则，正视图中投影长为，，同理，，可得，，，所以+，故选C。

例4（02年北京理科15题）关于直角AOB在定平面α内的射影有如下判断：①可能是0°的角；②可能是锐角；③可能是直角；④可能是钝角；⑤可能是180°的角。其中正确判断的序号是 _______（注：把你认为是正确判断的序号都填上）

简析：这是考查空间想象能力的一个优美试题，“把空间想象能力的考查与逻辑推理、模型化方法相结合，体现了运动变化的解题方法”（北京卷命题者原话）。

例5（06年浙江理科14题）正四面体ABCD的棱长为1，棱AB∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是 。

简析：本题考查正四面体、点在平面内的射影、线面关系等基础知识，空间想象能力和推理能力。由已知得当CD⊥α时，所求面积最小为，当CD//α时，所求面积最大为。

演变题：平行光线照到一个棱长为1的正方体上，在正方体后面的平面上的投影的面积为S，则S的最大值为___________。

简析：如图，正方体的影子由三个平行四边形（有的平行四边形可能因光些的某些照射方向而蜕化成线段）组成，其面积等于2△A1BC1，当正方体的截面A1BC1与照射方向垂直时，正方体的投影的面积最大，易知此最大值为。

4、以探索为主的动态几何题

探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备。要求解答者自己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括。它对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求。它有利于培养学生探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力，使学生经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程。

（1）条件追溯型：这类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断。解决这类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件，有时运算量会很大，这时也需通过判断后大胆猜测，常见的猜想有：点的位置常为中点或三等分点，比值常为1或2等。

在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意。

例6（05年浙江理科18题）如图，在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，AB=BC=PA，点O、D分别是AC、PC的中点，OP⊥底面ABC。

（Ⅱ）当取何值时，O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心？

简析：由已知及待求（证）进行合理的空间想象，是解决问题的关键，必要时可逆向分析倒推，寻找求解问题的切入点。

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法一：OF⊥平面PBC，∵D是PC的中点，若点F是△ABC的重心，则B、F、D三点共线，∴直线OB在平面PBC内的射影为直线BD。∵OB⊥PC，∴PC⊥BD，∴PB=BC，即=1。

反之，当=1时，三棱锥O-PBC为正三棱锥，所以O在平面PBC内的射影恰好为△PBC的重心。

法二：利用重心分高线的比为1：2，结合方程思想可求解。

法三：建立空间坐标系利用空间向量来解。

同类题比较：（1）08年浙江理科18题：如图，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，BE//CF，BCF=CEF=，AD=，EF=2。

（Ⅱ）当AB的长为何值时，二面角A-EF-C的大小为？

该题难度不大，解题过程略过不提。

（2）2000年全国理科18题：如图，已知平行六面体ABCD-的底面ABCD是菱形，且==。

（III）当的值为多少时，能使平面？请给出证明。

简析：本题参考答案的两种解法都是先猜想出比值为1，然后再证明线面垂直，该题若从结论出发，执果索因，也可以做出来，但就不一定合适了，因为运算量是相当的大。

（2）存在判断型

这类问题的基本特征是：要判断在某些确定条件下的某一数学对象（数值、图形、函数等）是否存在或某一结论是否成立。解决这类问题的基本策略是：通常假定题中的数学对象存在（或结论成立）或暂且认可其中的一部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论。其中反证法在解题中起着重要的作用。如：

例7（08年福建理科18题）如图，在四棱锥P-ABCD中，则面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA=PD=，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点。

（Ⅲ）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由。

简析：假设Q点存在，设QD，利用体积自等法求出，所以存在，且。

同类题比较：06年湖北理科18题，04年湖南理科19题。“存在”就是有，证明有或者可以找出一个也行。“不存在”就是没有，找不到。这类问题常用反证法加以认证。“是否存在”的问题，结论有两种：如果存在，找出一个来；如果不存在，需说明理由。这类问题常用“肯定顺推”。

（3）条件重组型

这类问题是指给出了一些相关命题，但需对这些命题进行重新组合构成新的复合命题，或题设的结求的方向，条件和结论都需要去探求的一类问题。此类问题更难，解题要有更强的基础知识和基本技能，需要要联想等手段。一般的解题的思路是通过对条件的反复重新组合进行逐一探求。应该说此类问题是真正意义上的创新思维和创造力。

例8（07年上海理科10题）平面内两直线有三种位置关系：相交，平行与重合。已知两个相交平面与两直线，又知在内的射影为，在内的射影为。试写出与满足的条件，使之一定能成为是异面直线的充分条件 。

简析：（1）考虑到两条异面直线在同一平面内的射影不可能是两条重合直线，这样，两对射影的位置应有三种可能，平行与平行，相交与相交，平行与相交。那么，哪个位置关系能推出与异面呢？现逐一验证，可排除平行与平行及相交与相交，故正确答案应为一对平行，一对相交。

（2）记所求充分条件为A，则原命题A=>与异面，现考查它的逆否命题：与共面=>┐A。若与平行，则在两个相交平面内的射影平行或重合；若与相交，则在两个相交平面内的射影相交或重合，故所求充分条件A应为一对相交，一对平行。

本题立意深远、编制新颖，对空间想象、逻辑推理及分析能力都提出了较高要求，具有明显的区分功能。

5、与其它学科交汇的空间动态几何题

（1）活跃在空间图形中的轨迹问题

在知识网络交汇点处设计试题是这几年高考命题改革的一大趋势。而以空间图形为素材的轨迹问题，由于具有其独特的新颖性、综合性与交汇性，创新能力与数学思想方法要求高，所以倍受命题者的亲睐。例如：

例9（08年浙江理科8题）如图，AB是平面的斜线段，A为斜足，若点P在平面内运动，使得△ABP的面积为定值，則动点P的轨迹是（）

（A）圆（B）椭圆（C）一条直线（D）两条平行直线

简析：P到AB距离为定值，则P在以AB为轴的圆柱面上，圆柱面被平面斜截，所得交线为椭圆，故选B。

同类题比较：（04年北京理科第4题）如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1，点P在平面ABB1A1内运动，且点P到直线BC与直线A1B1的距离相等，则P点的轨迹是下图中的（）

简析：不难发现BC与面ABB1A1垂直，则P点到直线BC的距离就等于P点到B点的距离。

于是，在面ABB1A1内，P点到直线A1B1的距离等于到点B的距离。由抛物线的定义知，P点的轨迹是以A为顶点，B为焦点的抛物线，考虑到轨迹取上半部分，故选C。

同类题比较：（04重庆理科12题）若三棱锥A—BCD的侧面ABC内一动点P到平面BCD距离与到棱AB距离相等，则动点P的轨迹与△ABC组成的图形可能是（）

简析：设二面角A—BC—D大小为θ，作PR⊥面BCD，R为垂足，PQ⊥BC于Q，PT⊥AB于T，则∠PQR=θ，且由条件PT=PR=PQ·sinθ，∴为小于1的常数，故轨迹图形应选D。

演变题：已知P是正四面体S-ABC的面SBC上一点，P到面ABC的距离与到点S的距离相等，则动点P的轨迹所在的曲线是（）

A、圆 B、椭圆 C、双曲线 D、抛物线

简析：设二面角S-BC-A大小为θ，易得P到S与到BC的距离之比为sinθ，是一个小于1的常数，所以动点P的轨迹所在的曲线是椭圆。

同类题比较：04年天津文科第8题。求解策略：这类问题常常要借助于圆锥曲线的定义来判断，常见的轨迹类型有：线段、圆、圆锥曲线、球面等。在考查学生的空间想象能力的同时，又融合了曲线的轨迹问题，是一种创新题。

（2）与函数及导数交汇的试题

近年来新教材引入了导数，在应用导数求单调性、最值方面的应用也突显出来，在空间动态几何问题上的应用也逐步提高。例如：

例10（07广东理科19题）如图6所示，等腰△ABC的底边AB=6，高CD=3，点E是线段BD上异于点B、D的动点。点F在BC边上，且EF⊥AB。现沿EF将△BEF折起到△PEF的位置，使PE⊥AE。记，V（x）表示四棱锥P-ACFE的体积。

（1）求V（x）的表达式；

（2）当x为何值时，V（x）取得最大值？

（3）当V（x）取得最大值时，求异面直线AC与PF所成角的余弦值。

简析：本题以平面图形折叠为背景，融空间动态最值问题、导数、异面直线所成角的计算于一体，编制颇有新意，通过函数与导数思想即可解决。

同类题比较：06江苏理科18题帐篷体积问题。

涉及空间动态几何也还有其他一些类型，如几何体的拼、用平面图形裁剪围成几何体的体积等等，不再一一列举。面对空间动态几何问题，要让学生学会找到思维的切入点，一方面要培养空间想象能力，另一方面要把握运动变化的实质，即动中有静的规律，便可做到举一反三，事半功倍了。