柯西不等式习题

柯西不等式习题（精选14篇）

柯西不等式习题 第1篇

2013年高中数学IB模块选修4-5专题测试

（一）试题内容：柯西不等式与排序不等式 试卷总分：120分考试时间：60分钟

一、选择题（共8小题，每题5分，共40分）

1、a,b,c,dR，不等式ab



2

c2d2acbd取等号的条件是（）



2A．abdc0B．adbc0C．adbc0D．acbd0

2、设a1a2a3,b1b2b3，下列最小的是（）

A．a1b3a2b2a3b1B．a1b1a2b2a3b3C．a1b2a2b1a3b3D．a1b1a2b3a3b23、若四个实数a1,a2,a3,a4满足a2a1a3a2a4a31，则a3a4a1a2的最大值为（）

A．1B

C．2D4、a,b是非零实数，ab1，x1,x2R,Max1bx2bx1ax2,Nx1x2，则M与N的大小关



222

系为（）

A．MNB．MNC．MND．MN5、若实数x,y满足(x5)(y12)14，则xy的最小值是（）

A．2B．1C

D6、x,y,zR，且x2y2z5，(x5)(y1)(z3)的最小值是（）

A．20B．25C．36D．477、已知a,b,c,dR，且满足abcd

625（）

A．25B．50C．

22222

2222



5D．625

28、已知0a,b,c1，且abc2，则abc的取值范围是（）

A．,B．,2C．,2D．,2

333

3二、填空题（共5小题，每题4分，共20分）

9、x,y

0,1

4444的最大值是

10、设x,y,R，那么xy

11、设

14

的最小值是xy

2，那么x1,x2,x3,xn0,a1,a2,a3,an0,x1x2x3x1taxaxn1122

a3x32anxn2的最小值是

12、设2x3y4z22,(x,y,z0)，则

三、解答题（共5小题，每题60分）

239

的最小值是，此时xyz.xyz

b4c4c4a4a4b413、（本小题10分）设a,b,cR，利用排序不等式证明：abc 

2a2b2c



33314、（本小题10分）设x1,x2,x3是不同的自然数，求s

15、（本小题10分）设nN,n

2，利用柯西不等式证明：

16、（本小题10分）求函数y

x1x2x

3的最小值。149

41111。

7n1n22n12nsinx3cosx的值域

sinx2cosx

117、（本小题20分）（2012浙江考试院样卷）题号：03“数学史与不等式选讲”模块

（1）设a，b，c为实数，求证：a＋b＋c≥ab＋bc＋ca；（2）若正实数a，b，c满足abc＝1，求

a4b(ac)



b4c(ab)



c4a(bc)的最小值．

2013年高中数学IB模块选修4-5专题测试

（一）┄┄┄⊙

中学班级姓名 学号考号答 题 卷

一、选择题（每小题4分，共40分）

16.（本小题共12分）

17.（本小题20分）

2013年高中数学IB模块选修4-5专题测试

（一）参 考 答 案

1.C2.A3.B4.A5.D6.C7.B8.C9.110.911.11

112.,2,2,3.11112a1a2a3an

13证明：不妨设0abc,则abc,111

，cba

a4b4c4a4b4c

4abc（逆序和）

abccaba4b4c4a4b4c4

abc（逆序和）

abcbca

b4c4c4a4a4b4

abc

2a2b2c

14解：不妨设1x12x23，由排序不等式，s15.证明：由柯西不等式得

x1x2x312311

。1491496

1111

2n1n2nnnn1n22n12n

11112n4n1n22n12n3n17

1111

n1n22n12n111

又：





1111

2222

2n1

2nn1n2

111

nn1n1n22n12n

16、原式可化为

ysinx2cosx1sinx3cosx 即y(y1)sinx(2x3)cosx

利用柯西不等式及sin2xcos21可得

y2(y1)sinx(2x3)cosxsin2xcos2xy12y3



2

即y2y12y3 化简得

2y27y50

5

所以函数值域为（-，1），

2

2217、“数学史与不等式选讲”模块

(1)证明1：因为a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，三式相加并除以2得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca．

(1)证明2：因为a2＋b2＋c2－ab－bc－ca＝[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0，222

所以 a＋b＋c≥ab＋bc＋ca．…………5分

(2)解：由(1)及柯西不等式，均值不等式知

a4b(ac)



b4c(a



b)

≥

a(b)c2(abbcca)

c4(a2b2c2)2

≥

(a2＋b2＋c2)

a4b(ac)

32，当且仅当a＝b＝c＝1时等号成立，所以



b4c(ab)



c4a(bc)的最小值为

…………10分

柯西不等式习题 第2篇

2.已知关于x的不等式组xa0的整数解共有5个，则a的取值范围是.32x1

3.若不等式（3a－2）x＋2＜3的解集是x＜2，那么xab4．已知关于x的不等式组的解集为3≤x＜5，则a，b.2xa2b1

5.若不等式组4ax0无解，则a的取值范围是_______________．

xa50

6.若不等式组

柯西不等式习题 第3篇

一、在探知数学问题中, 培养探究分析的推理能力

学生作为问题解答的第一“践行者”, 亲身参与到数学案例的探究、分析、推理等实践活动中, 从而培养和提升学习对象严密、科学的思维推理能力. 而笔者发现, 高中生严密、科学的思维推理能力, 是数学问题解答活动深入有效推进的首要条件和能力“保障”. 因此, 教师在案例讲解中, 不能“越俎代庖”, 取代高中生的“亲身”实践, 削弱他们主体地位, 应该多留出探析数学问题空间, 组织高中生开展认知细致的探知数学问题活动, 在综合丰富问题条件内容中, 提升探究分析推理能力.

问题: 有一个平面直角坐标系xOy, 圆的方程x2+ y2- 8x+15 =0, 如果直线y=kx-2上至少存在一点, 使得以该点为圆心, 1 为半径的圆与圆C存在公共点, 试求出k的最大值.

高中生在探析解题条件活动后, 虽然认识到条件中x2+y2-8x+15=0与直线y=kx-2之间的关系, 但对于如何构建出现“卡壳”. 此时, 教师进行指导, 引导学生根据问题条件, 向学生指出, 根据圆与圆的位置关系及其判定, 将其条件转化为“ (x-4) 2+ y2=4 与y=kx-2 有公共点”思路, 进行问题的分析推理活动. 高中生在教师的点拨指导下, 对问题解题思路有了准确掌握和有序推导.

在上述高中生探知解题思路的过程中, 教师组织高中生结合问题条件内容, 开展探究解题要求的思维实践活动, 在高中生探析进程遇到“困难”之时, 帮助高中生对解题要求以及条件内容进行再次梳理, 指明解题“卡壳”的原因所在以及沟通联系的数学知识点内容, 从而帮助高中生进一步明晰解题思路, 形成良好数学推理能力[1].

二、在解答问题过程中, 培养解题思想的运用能力

问题解答的方法策略, 多种多样, 需要学习对象结合案例内容以及解题要求实情进行灵活、有效的运用. 高中阶段数学案例探析解答, 经常需用数形结合、函数与方程、建模思想、化归与转化、分类讨论等解题思想策略. 而大部分高中生对解题思想策略的内在特征以及运用方法, 不能有科学深入的理解和掌握, 导致高中生在实际运用过程中, 难以达到熟练运用目标. 这就要求高中数学应在问题案例解答过程中, 结合探析过程, 引导他们感知和掌握解题思想策略特征, 以此保证解题思想策略运用能够自如、高效.

如, 在“已知有一个椭圆方程c: 9x2+ y2= m2 ( m ﹥ 0) , 直线l图象不过原点也不平行坐标轴, 椭圆与直线图象交于A, B两点, M平分AB. ( 1) 证明: OM斜率与l斜率乘积为定值; ( 2) 如果l经过点 ( m/3, m) , 延长ON到P, OAPB能否是平行四边形?如果能, 求出l的斜率; 如果不能构建, 试说出自己的理由”案例解答中, 教师设计如下教学过程.

分析: 该问题条件中主要涉及到了直线与圆锥曲线的应用问题, 需要对圆锥曲线的最值和取值范围进行研究. 通过问题条件可以知道, 解题时, 首先要根据问题进行作图活动, 画出草稿图. 要证明第一小题, 就需要建立直线方程与椭圆方程的关系式, 求出他们所对应的直线斜率即可. 第二小题, 是一道开放性问题, 根据问题条件进行推导可知, 四边形为平行四边形, 并且当且仅当线段AB与OP相互平分才能得到. 可以通过建立方程关系, 求解一元二次方程得到.

展示解题过程.

教师指导点拨: 在这一问题解答中, 需要运用到的数学知识点较多. 同时, 在其解题过程中, 运用到了数形结合的解题思想, 以及转化思想. 在解答此类问题时, 运用转化思想, 将问题转化为一元二次方程进行解答分析.

三、在变式案例教学中, 培养创新求异的思维能力

数学问题是数学学科精华、要义的集中体现. 案例条件中蕴含了更富、复杂的数学知识点内容, 并且案例涉及的知识点之间存在复杂、深刻的联系. 高中生在探究解析问题案例进程中, 需要综合多方面数学知识点内容, 进行统筹分析, 判断总结出解决问题方法, 以此提升综合辨析能力. 同时, 延申案例教学触角, 利用案例发散特性以及知识点丰富内涵, 设计开放性的解题要求, 引导高中生深层次探究分析问题活动, 以此锻炼高中生的创新求异思维能力.

问题: 已知函数f (x) =2sin (ωx) , 其中常数 ω > 0. 令 ω = 1, 判断函数的奇偶性并说明理由.

学生探析问题推导其解题思路:, F (x) 是非奇函数非偶函数.因为, 所以.所以函数F (x) =f (x) +f (x+π/2) 既不是奇函数也不是偶函数.

教师对学生分析思路进行指点.

在上述解题案例基础上, 教师对现有问题案例进行延伸, 在不改变问题条件的前提下, 向学生展示“如果令 ω = 2, 将函数y = f (x) 的图象向左平移π/6个单位, 再往上平移1个单位, 得到函数y= g (x) 的图象. 对任意的a∈R, 求y = g ( x) 在区间[a, a+ 10π]上零点个数的所有可能值”等变式问题. 高中生此时解题现有解题技能和方法, 进行思考分析活动, 引导高中生深入思考分析活动[2].

四、在反思解题实践中, 培养自我辨析的学习素养

学习对象在数学问题解答过程中, 需要对自身探究问题活动、思路推导过程以及解答问题过程等方面, 进行认真的“回顾”和“剖析”, 以此保证探究解题的效果, 提高思维探析的成效. 自身活动进行反思, 是学习实践活动不可或缺的一个重要环节. 教师在解析实践活动总结评判环节, 应该组织高中生围绕解题思路、解题过程、解题方法等重点环节, 进行认真的“回头看”, 深入剖析, 深刻反思, 自我检查解题过程的优缺点, 并探析有效整改的切实举措, 以此保证解题活动的实效, 从而培养高中生的自我辨析学习素养.

以上是本人结合不等式数学习题教学感受, 对高中数学问题案例教学开展的点滴认识, 在此还希望同仁就问题教学高效开展, 提供宝贵经验, 共同提升问题案例教学效能.

参考文献

[1]杨志艳.高中数学例习题教学策略探究[J].课程教材教学研究:中教研究, 2011 (Z3) :14.

基本不等式课本习题的变化 第4篇

对这个课本练习学生不难得到当x=1时x+■的最小值为2.

其实对此题学生、教师若变变其脸，可得到不少解题启示。

变式题1：若x>-1则x取什么值时x+■的值最小？最小值是多少？

解：由x+■=x+1+■-1（*）

x>-1 x+1>0

（*）式≥2■-1=1当且仅当x+1=1即x=0时取最小值。

x=0时x+■取最小值为1。

仔细推敲上两题可发现，x+■=■，x+■=■那么若碰到

变式题2：x>0时■的最小值为多少？何时取到？

只需将■变回到x+■便迎刃而解。

甚至可归结出如下一类问题：x取何正值时，■ （a,b,c>0）的值最小？最小值是多少？

解：■=■+■

a,b,c,x>0

∴(**)式≥2■= ,当且仅当■=■即x=■时取最小值。

变式题3：x>0，当x为何值时，y=■取到最大值？最大值是多少？

解：由上题得启示x>0，y=■=■≤■＝■，

当且仅当x=■即x=■时取最大值■。

变式题4：x>-1，当x为何值时，■的值最小？最小值是多少？

解：x>-1

■=■=x+1+■-1≥2-1=1

当且仅当x=0时取最小值1。

同理大家可自己归纳类似变式题2的统一结论（结论略）。大家不妨练习：

当x>-2时y=■的值域。（答案：y∈[2■-5,+∞]）

新课程数学教材内容加强了与学生生活的联系。内容现实了，情境引入加强了，让学生真正感受到数学就是身边的数学。下面就如何创设数学情境发表一下自己的看法。

一、创设悬念情境，使学生“奇”中激“趣”

针对学生好奇心强的特点，教师将学生未知的数学规律、法则等前置应用，创设新奇的悬念情境激发学生探求知识的热情。

二、创设冲突情境，使学生“感”中生“趣”

孔子说过：“疑虑、思之始，学之始”。以富有挑战性、探究性的问题为素材，可创设认知冲突型教学情境，使学生处于心欲求而不得、口欲言而不能的状态。

三、创设生活情境，使学生“思”中探“趣”

数学是人们生活中必不可少的工具，生活是数学赖以生存和发展的源泉。数学教学也应紧紧结合生活实际，用学生非常熟悉的生活现象来创设情境，引导学生思考，更大程度地调动学生的学习兴趣。

四、创设应用情境，使学生“需”中引“趣”

数学来源于生活，又服务于生活，创设有效的数学应用情境，使学生在运用的过程中感受到现有知识的不足，从而使学生认识到学习新知识的必要性。

五、创设史料情境，使学生“赏”中唤“趣”

数学是人类智慧的结晶，有她的历史蕴含。以宣讲故事的形式或介绍数学史话、数学家的事迹，可以使学生在欣赏历史人物、历史故事的同时深深感受到学习数学知识的迫切性。

不等式练习题 第5篇

（二）1.已知两个正数a、b的等差中项是5，则a、b的等比中项的最大值为

A.10B.25C.50

2.若a>b>0，则下面不等式正确的是（）A.D.100 222ababab2ababB.ab ab22ab

ab2ab2ababC.D.abab2abab2

a13.已知不等式(xy)()9对任意正实数x,y恒成立,则正实数a的最小值是 xy

x14.若变量x,y满足约束条件yx 则z=2x+y的最大值为

3x2y5

A.1B.2C.3D.4

x3y30,5.若实数x，y满足不等式组2xy30,且xy的最大值为9，则实数m

xmy10,

A.2B.1C.1D.2

6.若对任意x0,a恒成立，则a的取值范围是__________.x3x12

ab7若实数a,b满足ab2，则33的最小值为_______。

不等式证明练习题 第6篇

=(1/a+2/b+4/c)*(a+b+c)

展开，得

=1+2a/b+4a/c+b/a+2+4b/c+c/a+2c/b+4

=7+2a/b+4a/c+b/a+4b/c+c/a+2c/b

基本不等式，得

>=19>=18用柯西不等式：(a+b+c)(1/a+2/b+4/c)≥(1+√2+2)^2=(3+√2)^2

=11+6√2≥18

楼上的，用基本不等式要考虑等号什么时候成立，而且如果你的式子里7+2a/b+4a/c+b/a+4b/c+c/a+2c/b直接用基本不等式得出的并不是≥18设ab=x,bc=y,ca=z

则原不等式等价于：

x^2+y^2+z^2>=xy+yz+zx

<=>2(x^2+y^2+z^2)>=2(xy+yz+zx)

<=>(x^2-2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(z^2-2zx+x^2)>=0

<=>(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2>=0

含有绝对值的不等式练习。1.关于实数x的不等式|x-|7|x+1|成立的前提条件是：x7x+7,-1-7x-7,x>-2，因此有：-20的解，∵a<0，不等式变形为x2+x-<0，它与不等式x2+x+<0比较系数得：a=-4,b=-9.函数y=arcsinx的定义域是，值域是，函数y=arccosx的定义域是，值域是，函数y=arctgx的定义域是R，值域是.，函数y=arcctgx的定义域是R，值域是(0,π).直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定函数的值域。函数公式模型。一个函数是奇(偶)函数，其定义域必关于原点对称，它是函数为奇(偶)函数的必要条件.若函数的定义域不关于原点对称，则函数为非奇非偶函数.(1/a+2/b+4/c)*1

=(1/a+2/b+4/c)*(a+b+c)

展开，得

=1+2a/b+4a/c+b/a+2+4b/c+c/a+2c/b+4

=7+2a/b+4a/c+b/a+4b/c+c/a+2c/b

基本不等式，得

>=19>=18用柯西不等式：(a+b+c)(1/a+2/b+4/c)≥(1+√2+2)^2=(3+√2)^2

=11+6√2≥18

楼上的，用基本不等式要考虑等号什么时候成立，而且如果你的式子里7+2a/b+4a/c+b/a+4b/c+c/a+2c/b直接用基本不等式得出的并不是≥18设ab=x,bc=y,ca=z

则原不等式等价于：

x^2+y^2+z^2>=xy+yz+zx

<=>2(x^2+y^2+z^2)>=2(xy+yz+zx)

<=>(x^2-2xy+y^2)+(y^2-2yz+z^2)+(z^2-2zx+x^2)>=0

<=>(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2>=0

基本不等式练习题 第7篇

一、选择题，本大题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若aR，下列不等式恒成立的是（）

A．a21aB121C．a296aD．lg(a1)lg|2a| 2a

12.若0ab且ab1，则下列四个数中最大的是（）

Ａ．1Ｂ．

2xa2b2Ｃ．2abＤ．a3.设x>0,则y33x的最大值为（）

Ａ．3Ｂ

．3 Ｃ．

3Ｄ．－1

4.设x,yR,且xy5,则3x3y的最小值是()

A.10

B.C.D.5.若x, y是正数，且141，则xyxy有（）

Ａ．最大值16 Ｂ．最小值11 Ｃ．最小值16 Ｄ．最大值 1616

6.若a, b, c∈R，且ab+bc+ca=1, 则下列不等式成立的是（）

A．a2b2c22B．(abc)23

C

．1

a1

b1

cD

．abc7.若x>0, y>0,且x+y4,则下列不等式中恒成立的是（）

A．11111B．1C

2D．1 xy4xyxy

8.a,b是正数，则

Ａ

．

ab,22ab三个数的大小顺序是（）ab ab2abab2abＢ

．2ab2ab

2ababＤ

．ab22ababab2Ｃ

．9.某产品的产量第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，设这两年平均增长率为x，则有（）

Ａ．xpqpqpqpqＢ．xＣ．xＤ．x 2222

10.下列函数中，最小值为4的是（）

Ａ．yxＢ．ysinx

x

Ｃ．yex4eＤ．

x

4(0x)sinx

ylog3x4loxg 3

二、填空题, 本大题共4小题，每小题3分，满分12分，把正确的答案写在题中横线上.11.函

数y的最大值为12.建造一个容积为18m3, 深为2m的长方形无盖水池，如果池底和

池壁每m2 的造价为200元和150元，那么池的最低造价为_________元.13.若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是.14.判断下列不等式的证明过程中的正误，并指出错因。（1）若a、b∈R，则

baba

＋≥2＝2（）abab



（2）若x,yR，则lgx＋lgy≥2lgxlgy（）

（3）若x0，则x＋

4≥－2x＝－4（）xx

（4）若x∈R，则2x＋2x≥22x2x＝2（）

三、解答题, 本大题共4小题，每小题12分，共48分，解答应写出

必要的文字说明、证明过程和演算步骤.15..16.设a, b, c(0,),且a+b+c=1，求证：(1)(1)(1)8.a

1b

1c

17.已知正数a, b满足a+b=1（1）求ab的取值范围;的最小值.18.2）求ab

ab

（基本不等式

1.若a,bR，则aba

b2

2（当且仅当ab时取“=”）

2.若a,bR*，则ab2ab（当且仅当ab时取“=”）

3.若

x0，则

x

2(当且仅当x

x1时取“=”）;若x0，则x12(当且仅当

x

x1时取“=”）

注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植

时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．

（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”。

应用一：求最值

例1：求下列函数的值域

（1）y＝3x＋

12x

（2）y＝x＋

x

解：（1）y＝3x＋

2≥22x

3x·

2＝2x

6∴值域为[6，+∞）

（2）当x＞0时，y＝x＋ ≥2

x

1x· ＝2；

x

x· =－2

x

当x＜0时，y＝x＋ = －（－ x－）≤－2

xx

∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）

1.已知2.当3.若

4已知

时，求

x，求函数y4x2

1的最大值 4x

5yx(82x)的最大值。

x,yR且2xy1，求

11的最小值 xy

a,b,x,yR且

ab

1，求xy

xy的最小值

应用二：利用均值不等式证明不等式

5.已知

6.正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc

7.已知a、b、cR，且



a,b,c为两两不相等的实数，求证：a2b2c2abbcca

111

abc1。求证：1118

abc

应用三：均值不等式与恒成立问题

8.已知

x0,y0且

1，求使不等式xym恒成立的实数m的取值范围。xy

应用四：实际应用题及比较大小

1ab)，则P,Q,R的大小关系是例：若ab1,Palgb,Q(lgalgb),Rlg（22

分析：∵ab1 ∴lga0,lgb0Q（lgalgb)algbp

ab1Rlg()lgablgabQ∴R>Q>P。

柯西不等式习题 第8篇

环节一:知识梳理

环节二:纠正偏差

下面题目的解答有错误,错在哪里?如何纠正?

题组一:求下列函数的最值.

环节四:能力提升

题组二:

二、反思总结

环节一由师生共同完成.环节二由学生自主完成,教师点拨,课堂上提问学生回答.

生甲:1题不满足均值不等式正号的条件,正确做法需变号.

环节二的设置正是针对均值不等式应用时学生易忽略不等式成立的条件而出现的典型错误,暴露学生的各种错误,由学生去纠正错误,查找错因,此环节处理时学生情绪高涨,思维活跃.通过学生自主纠错加深了学生对于均值不等式条件的理解,避免在以后解题中出现类似典型错误.同时也避免了学生对于基础知识回顾时的乏味、倦怠,很好地激发了学生的学习积极性,活跃了学生的积极思维,调动了积极参与的课堂氛围.在此基础上,师生共同深化了对均值不等式应用的条件“一正二定三相等”的认识.

环节三的题组设置是在学生独立思考的基础上分小组讨论交流合作,教师巡视指导、参与小组讨论.然后教师采用投影仪投影展示学生成果,并由学生说明解题思路和方法,最后教师补充完善,规范解题.

生三:可通过拆项将问题转化成两正数相加的形式运用均值不等式求得最值.

三个题目都解决之后,引导学生从解题的思想方法、解题技巧、易犯错误几个方面进行解题反思,先让学生总结,然后教师完善补充.得到题组一的方法.感悟如下:

1.使用均值不等式求最值时,忽略其成立的前提“一正、二定、三相等”就会导致错误,通过本节课要使学生切实认识到这三个条件缺一不可.

2.有些题目在运用公式时要通过“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足公式的形式.

3.慎重连续使用均值不等式,取等号时要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致.

环节三的习题设置目的是让学生交流合作完成题组一的3个问题,进一步加深学生对于均值不等式条件“一正二定三相等”的理解,增强了学生的灵活运用和转化变式能力.开展解题对话,交流学生的各种解法,从中我们就能发现学生许多新的解题思路与方法,暴露一些学生解题中存在的问题,从而老师在课堂上能进行针对性的引导,点拨,达到充分调动学生学习的主动性和提高学生解题能力之目的.

一道高等数学不等式习题的新证法 第9篇

【关键词】不等式；拉格朗日中值定理；柯西中值定理

0.引言

在高等数学里，我们可以构造辅助一个函数，然后根据导数的正负号判断函数的单调性，即可证明一些不等式.此外，微分中值定理是高等数学里的一个重点和难点，对它有很多应用，其中的一个重要的应用就是可以用它来证明很多不等式.本文利用微分中值定理，对文[1]的P.183总习题三第11题里的两个不等式证明题，给出了另外一种证明方法。

1.题目及其常见证明方法

这里的题目是要求证明下面两个不等式：

（1）当0；

（2）当x>0时，ln（1+x）>；

许多习题解答参考书对上述不等式证明题，都给出了几乎一致的证法：构造辅助函数，利用导数在几何方面的应用，判断函数的单调性即得.例如文[2]的解答如下：

证

（1）设f（x）=，x∈（0，），则f'（x）==.

令g（x）=x-sin2x，g'（x）=1-cos2x>0，x∈（0，），所以g（x）在[0，]上单调增加，则当x>0时，g（x）>g（0）=0，从而f'（x）>0，得f（x）在（0，）上单调上升，当0f（x1），即>，也即>.

（2）设f（x）=（1+x）ln（1+x）-arctanx，f'（x）=ln（1+x）+1-=ln（1+x）+>0（x>0），所以f（x）在[0，+∞]上单调增加，当x>0时，f（x）>f（0）=0，所以

（1+x）ln（1+x）-arctanx>0，即ln（1+x）>.

2.新证明方法

下面利用微分中值定理来证明上述题目.

证（1）令f（x）=tanx，则f（x）在[0，x1]?[0，x2]上满足拉格朗日中值定理条件，于是?ξ1∈（0，x1），S.T.

0

成立；

同理，?ξ2∈（0，x2），S.T.

0

成立.

②÷①，即得：

当0.

（2）设f（t）=ln（1+t），g（t）=arctant，则f（t），g（t）俱在[0，x]上连续，在 （0，x）上可导，由柯西中值定理，得：?ξ∈（0，x），S.T.

0

0

④÷③，得：

=<1+x，由于ln（1+x）、1+x均大于零，故对上式变形，即得：

当x>0时，ln（1+x）>.

【参考文献】

[1]同济大学数学系.高等数学（上册）[M].第六版.北京：高等教育出版社，2007：183.

[2]彭辉，叶宏，张焕玲.高等数学习题详解[M].天津：天津人民出版社，2008：137.

基本不等式练习题 第10篇

重难点：了解基本不等式的证明过程；会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题． 考纲要求：①了解基本不等式的证明过程．

②会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题． 经典例题：若a，b，c都是小于1的正数，求证：，不可能同时大于．

当堂练习： 1.若，下列不等式恒成立的是

（）

A．2.若

B．且

C．

D．，则下列四个数中最大的是

（）

Ａ．

Ｂ．

Ｃ．2ab

Ｄ．a 的最大值为

（）

Ｃ．的最小值是（）

C.D.Ｄ．－1

3.设x>0,则Ａ．

3Ｂ．4.设

A.10

B.5.若x, y是正数，且，则xy有

（）

Ａ．最大值16

Ｂ．最小值

Ｃ．最小值16

Ｄ．最大值 6.若a, b, c∈R，且ab+bc+ca=1, 则下列不等式成立的是

（）A．

B．

C．

D．

7.若x>0, y>0,且x+y4,则下列不等式中恒成立的是

（）

A．

B．

C．

D． 8.a,b是正数，则Ａ．

三个数的大小顺序是（）

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

9.某产品的产量第一年的增长率为p，第二年的增长率为q，设这两年平均增长率为x，则有（）

Ａ．

Ｂ．

Ｃ．

Ｄ．

10.下列函数中，最小值为4的是

（）Ａ．Ｃ．11.函数

Ｂ．

Ｄ．的最大值为

.12.建造一个容积为18m3, 深为2m的长方形无盖水池，如果池底和池壁每m2 的造价为200元和150元，那么池的最低造价为

元.13.若直角三角形斜边长是1，则其内切圆半径的最大值是

.14.若x, y为非零实数，代数式15.已知：的值恒为正，对吗？答

., 求mx+ny的最大值.16.已知．若、, 试比较与

的大小，并加以证明.17.已知正数a, b满足a+b=1（1）求ab的取值范围;（2）求的最小值.18.设正整数n都成立..证明不等式 对所有的参考答案：

经典例题：

【 解析】

证法一

假设，同时大于，∵ 1－a>0，b>0，∴ 同理，≥，.三个不等式相加得

.，不可能，∴(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不可能同时大于证法二

假设，同时成立，∵ 1－a>0，1－b>0，1－c>0，a>0，b>0，c>0，∴，即.（*）

又∵ ≤，同理∴≤，≤

≤，与（*）式矛盾，故当堂练习： 不可能同时大于.1.A;2.B;3.C;4.D;5.C;6.A;7.B;8.C;9.C;10.C;11.;

12.3600;

13.15．;

14.对;

16.【 解析】 ．

∵、，∴ ． 当且仅当＝时，取“＝”号．

当时，有．

∴ ．．

即．

当时，有．

即

17.(1)

(2)

18．【 解析】

证明

由于不等式对所有的正整数k成立,把它对k从1到n(n≥1)求和,得到

又因 因此不等式

以及

不等式练习题1 第11篇

A．有最大值－2 ；B．有最小值2；C．无最大值和最小值；D．无法确定

2．设x，y满足x＋y＝40且x，y都是正整数，则xy的最大值是()

A．400 ；B．100；C．40 ；D．20

43．已知x≥2，则当x＝____时，x＋有最小值____． x

124．已知f(x)＝＋4x.x

(1)当x＞0时，求f(x)的最小值；(2)当x＜0 时，求f(x)的最大值．

一、选择题

1．下列各式，能用基本不等式直接求得最值的是()

11－A．x＋ ；B．x2－1C．2x＋2x； D．x(1－x)2xx－1

62．函数y＝3x2＋()x＋1

A．32－3 ；B．－3；C．62；D．62－3

3．已知m、n∈R，mn＝100，则m2＋n2的最小值是()

A．200 ；B．100；C．50 ；D．20

4．给出下面四个推导过程：

ba①∵a，b∈(0，＋∞)，∴＋≥2＝2； abab

②∵x，y∈(0，＋∞)，∴lgx＋lgy≥2lgx·lgy；

4③∵a∈R，a≠0a ≥a＝4； aa

xyxy④∵x，y∈R，xy＜0，∴[(－)＋(－)]≤－－－＝－2.yxyxyx

其中正确的推导过程为()

A．①②；B．②③；C．③④ ；D．①④

115．已知a＞0，b＞0，则＋2ab的最小值是()ab

A．2 ；B．22；C．4 ；D．5

6．已知x、y均为正数，xy＝8x＋2y，则xy有()

11A．最大值64 ；B．最大值C．最小值64 ； D．最小值 6464

二、填空题

17．函数y＝x＋(x≥0)的最小值为________． x＋1

8．若x＞0，y＞0，且x＋4y＝1，则xy有最________值，其值为________．

xy＋9．(2010年高考山东卷)已知x，y∈R，且满足＝1，则xy的最大值为________． 34

三、解答题

x2＋8410．(1)设x＞－1，求函数y＝x＋＋6的最小值；(2)求函数y＝x＞1)的最值．x＋1x－1

11111．已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，求证：(((－1)≥8.abc

不等式性质练习题 第12篇

一、选择题

1、已知ab0，下列不等式恒成立的是（）

A.a2

b2

B.ab1C.1111

abD.ab2、已知a0,b1，下列不等式恒成立的是（）

A.a

ababB.aaaaaab2baC.bb2aD.bab3、若a,b,c,d四个数满足条件：1dc;2abcd;3adbc，则（）

Ab.cdaB.adc bC.dba cD.bdc a4、如果a,b,c满足cba,且ac0,则以下选项中不一定成立的是（）

A.abacB.cba0C.cb2ab2D.acac05、下列命题中正确的是（）

Aa.b,kN*akbkB.ab,c1

c1c1

ba

C.ab,cdab

cd2

D.ab0,cd0abdc6、如果a,b是满足ab0的实数，则（）

A.ababB.aa bC.aa b

D.abab

7、若a0,b0,则不等式b1

x

a的解为（）

A.1bx0或0x1aB.111111axbC.xa或xbD.xb或xa

二、填空题

8、若m0,n0,mn0,则m,n,m,n的大小关系为

9、若1ab1,2c3,则abc的取值范围是

10、若0a1,给出下列四个不等式，其中正确的是

1○

1log111a111a1aloga1a○2loga1alogaa

a1a

○3aa○4aaa11、已知三个不等式：1ab02

cad

b

3bcad，以其中两个作为条件，余下一个作为结论，可以组成个正确的命题。、设x,y为实数，且满足3xy2

8,4x2y9,则x3

12y

4的取值范围是

三、解答题、（1）设2a3,4b3,求ab,ab,ab2

13b,ab,a的取值范围。

（2）设二次函数fx的图像关于y轴对称，且3f11,2f23,求f3的最大值和最小值。

14、（1）已知

1a0,A1a2,B1a211

2,C1a,D1a，试将A,B,C,D按从小到大的顺序排列，并说明理由。

bc0,比较aabbcc

与abc

abc

（2）已知a3的大小。

15、火车站有某公司待运的甲种货物1530t,乙种货物1150t。现用A,B两种型号车厢共50节

运送这批货物。已知35t甲种货物和

柯西不等式习题 第13篇

先从一道大家熟悉的习题说起.

习题:给出一个正整数n,若n是奇数,则减去1,否则除以2,这样经过若干次运算后 ,总是可以得到0,运算结束 .若这个数经过四次运算后得到零,则这个数是________.

在高三习题卷中做到这个题目, 由于笔者所在中学是省重点中学,学生综合素质比较高,我本以为是一道同学们没问题的作业,无非就是“逆推而上”,但经过作业批改发现,有近一半的学生答案不全.这不得不让我沉入深思,寻找症结所在,反思自己在教学中存在的不足.

二、问题的调查

事后,我找到了几个答案不全的学生,询问他们在解题时是怎么思考的,无一例外的都是“顺推而下”.比如取n=8,经过四次运算,得到0,符合,……这时,笔者问学生甲:你当时这样做是否担心有答案遗漏呢? 学生甲:有这种顾虑,但一时想不出好方法,又急于完成作业,也就没有多加思考了.为了深入了解做对同学的思维过程,我也询问了几个同学,结果,“顺推而下”得到完整答案的不乏其人.这几个学生平时学习踏踏实实,想必他们一定检验了好多数据,才放心地写下这个题目的答案,其严谨的学习态度还是值得肯定的.这时我问学生乙:如果题中运算四次改为运算六次或者七次,问符合题意的n有多少个,你该怎么做呢? 这时学生乙陷入沉思,想必他一定料到再“顺推而下”,要花费的时间是成倍增加的.几分钟后,他恍然大悟:“我知道了! ”从愉悦的表情中,我坚信他是“柳暗花明又一村”了.

三、问题的分析与思考

每个同学差不多都有过这样的经历:一道题,自己总也想不出解法,而老师却给出了一个绝妙的解法,这时你最希望知道的是“老师是怎么想出这个解法的”.如果这个解法不是很难,就会想“我自己完全可以想出,但为什么我没有想到呢? ”

美籍匈牙利数学家乔治·波利亚对回答上述问题非常感兴趣,为了回答“一个好的解法是如何想出来的”这个令人困惑的问题,他专门研究了解题的思维过程,分解解题的思维过程“理解题目”、“拟订方案”、“执行方案”和“回顾”四大步骤,对第二步即“拟定计划”的分析是最引人入胜的.他指出寻找解法实际上就是“找出已知数与未知数之间的联系,如果找不出直接联系,你可能不得不考虑辅助问题,最终得出一个求解计划.”

本习题虽然不是什么难题, 但在解题中充分体现出了寻找已知与未知之间的联系方法与思维过程. 如果说学生甲等的做法相当于我们在不等式证明中的综合法的话,“逆推而上”,就是不等式证明中的分析法.事实上,我们在解题思维过程中,何尝不是“综合法”“分析法”的应用或者综合应用呢?

波利亚在“怎样解题”表中说到解题的关键是“建立已知与未知之间的联系”.笔者认为可以理解为:由“已知”推导“可知”,由“未知”探究“需知”,最后建立“可知”与“需知”的关系的思维过程.用图示表示如下:

四、解题策略与举例探讨

如果把解题比作打仗,那么解题者的“兵力”就是数学基础知识,解题者的“兵器”就是数学基本方法,而调用数学基础知识,运用数学基本方法的解题策略正是“兵法”.这就要求每一位老师在平时教学中都要重视数学中的基础知识、基本方法和基本数学思想.

摘要：“综合法”与“分析法”是不等式证明的基本方法.在解题过程中,利用“综合法”与“分析法”的思维模式帮助分析题意,破解解题思路,能有效提高解题能力,也为教师强化课堂教学效果,提高教学能力提供了方向.

用柯西不等式的推论简证不等式 第14篇

关键词 柯西（Cauchy） 不等式

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2016）18-0062-01

柯西（Cauchy）不等式：设a1，a2，…，an，b1，b2…，bn是实数，则（a12+a22+…+an2）（b12+b22+…bn2）≥（a1b1+a2b2+…anbn）2当且仅当bi=0（i=1，2…，n）或存在一个数k，使得ai+kbi（i=1，2，…n）时，等号成立【详见普通高中课程标准试验教科书数学《不等式选讲》（选修4-5P39）】。我们不难得到它的一个推论：设xi∈R+，yi∈R，则++…≥，当且仅当yi=0（i=1，2，…，n）或存在一个数k，使得xi=kyi（i=1，2，…n）时，等号成立。

证明：在柯西不等式中，令ai=，bi=得，（++…）（x1+x2+…+xn）≥（y+y+…yn）2即推论成立。

我发现文[1]按柯西不等式推论证明则更简洁明快，有事半功倍之效，为了方便说明以下均以文[1]中例题为例。

例1 若a，b∈R+，证明：+≥a+b.

证明：由柯西不等式的推论得+≥=a+b.当且仅当a=kb，且b=ka即a=b时等号成立，按此推论不难得到文[1]中的一般猜想简证，

文[1]更一般的猜想：若x1，x2…，xn∈R+，且x1+x2+…+xn=a

則

证明：由柯西不等式的推论得，左边当且仅当xi-a=kxi（i=1，2，…，n）即x1=x2=…=xn=时等号成立。

【点评】事实上，此题还可以进一步推广为：若则

例2 已知正数a，b满足a+b=1，求证：（a+2）2+（b+2）2≥.

证明：由柯西不等式的推论得，（a+2）2+（b+2）2≥+≥=，当且仅当a+2=k且b+2=k，即a=b=时等号成立。

【点评】上述证法中并未用到“a，b是正数”这一条件，故文[1]例2条件可改为“实数a，b”

例3设a，b，c>0且abc=1，求证++≥.

证明：∵abc=1，∴（abc）=1，由柯西不等式的推论得，左边=++=++≥=≥=当且仅当a（b+c）=kbc，b（a+c）=kac，c（a+b）=kab，且bc=ac=ab即a=b=c=1时等号成立.

【点评】事实上，此题还可以进一步推广为：设a，bc>0且abc=S，n∈N*则

可见，柯西不等式的推论在不等式的证明中有不可低估的作用，可最大限度减缩思维量且更具可操作性。

参考文献：

[1]刘绍学.普通高中课程标准实验教科书——数学《不等式选讲》（选修4-5P39）[M].北京：人民教育出版社，1990.