《几何与代数》复习要点

《几何与代数》复习要点（精选14篇）

《几何与代数》复习要点 第1篇

《几何与代数》复习要点

1． 第一章：

行列式的性质不必全部证明，重点是要会利用这些性质计算行列式的值；

计算行列式的典型方法：降阶、化成三角形行列式；

Vandermonde行列式及分块上、下三角形行列式的结果应记住。

熟练掌握线性方程组求解的两种方法：Cramer法则和Guass消元法。

2． 第二章：

P52：知道矩阵乘法的分配律,并会运用。

P50: 记住矩阵的乘法不能随意交换次序。

P55: 记住转置运算的性质，特别是第(4)条。

p57: 行列式乘法定理的证明不用掌握；但结果需记住。

P58: 熟练掌握可逆矩阵的定义，计算，性质，特别是第（5）条。以及在后续章节中给出的矩阵可逆的其它充要条件，和计算方法。

P63: 分块矩阵。此节内容务必都掌握。

P70: 记住矩阵秩的最初定义，会用k阶子式去分析矩阵的秩。引理2.2，2.3，命题2.3不用去看。会用初等变换去求矩阵的秩(初等行变换已经够用，例2.20)。记住两个矩阵等价的定义，记住初等变换不改变矩阵的秩（命题2.4）。P75: 记住几个初等矩阵的定义。理解定理2.4，证明不用掌握。

P77-78:个人认为推论2.2，2.3很有用，定理2.5和推论2.1若能记住更好。

P79: 会用初等行变换求解矩阵的逆及矩阵方程AX=B。如果矩阵方程是XA=B，会用转置

将其变形为AX=B,从而可用初等行变换求得解X，最后转置一下得XA=B的解X。

其中的一些结果在第四章中还可以用向量组的秩来证明。

3． 第三章：

掌握内积，外积，混合积的定义，物理意义，几何意义，及在直角坐标系下的计算。

知道两个向量共线的充要条件（定理3.1，推论3.1）。

知道三个向量共面的充要条件：定理3.2，推论3.2和混合积等于0。

仿射坐标系：了解即可；

向量积分配律的证明不必掌握：p101；

注意：知道“卦限”的概念；

3.4节所有内容应熟练掌握。注意：

会求直线在平面上的投影直线（课上曾举过例，往年试题也有例子）；

异面直线：公垂线的方向向量、距离要求会计算；但不要求会求公垂线方程；

3.5节空间直角坐标变换：不考。

4． 第四章：

4.1.1-4.2.2：熟练掌握。

p135:矩阵的值域和核空间及其记号需要掌握。刻画矩阵值域的例子：p146例4.15解法一（解法二不必去看）和p156例4.21。刻画矩阵核空间的例子：p156例4.21。

4.2.3: 知道定理4.6（及前面的3个引理），但证明不用去看；掌握例4.11.4.3.1：需掌握基的定义并会求，注意例4.14和例4.15可用4.5节的例4.21(p156)的方法求解。

4.3.2：对于基变换和坐标变换，只要求会求R,R这两个空间的基变换、坐标变换

4．4节：4.4.1和4.4.3要求掌握；4.4.2：记住Schmidt正交化公式（三个向量的正交公式应该够用）

4.5.1-4.5.3: 熟练掌握

4.5.4节：不必记住教材上的分析和结论，但务必学会从方程组解的情况判断平面直线的位置关系，可结合p108的例3.13复习。往年试题也有此类问题。

4.6节最小二乘解：不考。23TTT T 09-10-2 2.5.3节：关于矩阵秩的不等式的命题应当熟悉，证明过程不必掌握。但作为对分块矩阵运算的运用，可以了解一下证明。

5． 第五章：

5.1节：熟练掌握

5.2节：5.2.1-5.2.2要求掌握；5.2.3：要求记住并理解所有的结论，证明不必全部掌握，但建议理解定理5.3的证明；另外，要求掌握5.2节的所有例题。

5.3节：5.3.1：记住性质5.1-5.2和定理5.7，定理5.7的证明不必掌握；知道定理5.7后面的注中的结论（在p207的第32题中有用）；5.3.2：熟练掌握。

5.4节：不考。

6． 第六章：

6.1.1-6.1.2：知道“二次型的矩阵”的定义，知道二次型与实对称的相互转化。务必知道合同与相似两个概念的区别与联系。知道如何由定理6.1推导出定理6.2。熟练掌握将一个二次型化为标准形的两种方法：正交变换和配方法。

6.1.3：知道正负惯性指数，秩的定义；知道命题的结论即可；

6.1.4：熟练掌握。会运用218页定理6.5(Sylvester定理)，其证明不用掌握；

6.2-6.3：注意：要求会画简单的空间图形：曲线曲面，投影柱面，投影曲线

旋转面：只要求学生掌握旋转轴是坐标轴的情形；

需记住二次曲面的分类，会用二次型的惯性定理对二次曲面进行分类；

233页例6.11：不必区分第一二类正交变换对图形的影响。

注：Matlab在期末考试中不作要求。

纯属个人观点，仅供参考

《几何与代数》复习要点 第2篇

一、复习内容

北师大版小学数学一年级下册总复习“图形与几”，即课本85—90页的内容。

二、复习目标

1、复习长方形、正方形、三角形、圆等平面图形。

2、通过动手做活动进一步复习近平面图形、积累教学活动经验，发展空间观念能设计有趣的图案。

3、帮助学生进一步理解和掌握所学的知识，能应用所学的知识解决一些用图画解决的简单问题。

三、复习重难点

掌握图形的特征、方位，发展学生的空间概念和表达能力。

四、教学过程

1、这学期我们都学过了哪些图形？（若有学生说出长方体、正方体等，可以让学生举例说明区别）

2、出示图片

（1）让学生看图说一说这些图案是由哪些图形组成的，引导学生回忆所学内容，直观体会图形特征，进一步经历观察、操作、想象等活动，初步发展空间观念。（2）引导学生用学过的图形自己设计图案，并进行交流。

3、观察物体

（1）先说一说淘气和笑笑分别在小狗的哪个方向，再连线。

（2）就地取材，让学生站在不同的角度观察教室中的物品，除了从后面、前面看以外，还可以让学生从左面或右面观察，进一步体会从不同方向观察同一物体看到的形状可能是不同的。

4、考一考

（1）师：这些图形你们都认识吗？老师指图形你们就说出图形的名字，看谁认得最多。

师：图形大家都认识了，我想知道它们各有多少个，你们有什么好的方法吗？ 汇报展示。（思考怎样数不遗漏、不重复）

（2）下面的图分别是谁看到的？连一连。

通过观察图，辨认他们各自看到的形状。学生要先观察情境图，通过空间想象判断形成表象。

（3）同学们刚才根据图形的特点准确数出了数量，我们一起做一做折纸游戏。引导学生边汇报边演示。

鼓励学生先折，再交流各自的折叠方法。

（4）你能用手中的平面图形拼出各种图案吗？

请学生独立做好作品后，向同学展示，同学之间相互欣赏。

5、拓展练习

通过这节课的学习，你一定能准确的区分这些图形了，快来接受挑战吧！

总复习—数与代数练习题

一、教学目标

1.经历对本学期各个领域所学知识进行梳理的过程，初步养成回顾与反思的良好习惯。采用多种形式理解数的意义、加减运算的意义，初步感受加减运算的区别和联系。

2.进一步认识100以内的数，能认、读、写100以内的数，能用100以内的数表示物体的个数或事物的顺序，能熟练计算100以内的加减；能进行简单的估算；

3、能运用所学知识解决简单的实际问题，初步培养提出问题、分析问题和解决问题的能力，感受数学的应用价值，激发数学学习的兴趣。

二、教学重难点

对知识进行整理，回顾计算方法。区分各个类型计算的方法。

三、教学过程

（一）复习100以内的加减法。

1、说说你看到了什么？找到了哪些规律？

让学生独立观察每行数有什么规律再填写完整。

2、说说1到30，31到60，61到100，它们之间的数需要具备哪些特点？

先引导学生认真读题，发现飞到每个花瓣上的蝴蝶身上的数都是在一个范围内的，没有重复。

3、课件出示86页第4题，刚才你们观察的真仔细，看下面这些口算题，考考大家谁算的又快又好。

小结：在口算中我们发现，无论式子如何，结果都是相同的计数单位相加减。在加法中，如果个位上的数相加满10个一，就要向十位进1，在减法中，如果个位上的数不够减，就要从十位退1，变成10个一，和个位上的数合起来再减。

4.37、24、51是由什么构成的？

小结：一捆小棒、一盒彩笔、十位上的一颗珠子都代表1个十；一根小棒、一根彩笔、个位上的一个珠子都代表1个一。做题时要认真审题，拆分数字。

5.用竖式计算。明确题意，学生独立完成。

6.比较大小。明确题意，学生独立完成.用比赛的形式进行，仔细观察这些算是的规律。

7、先看图，你发现了什么？想想为什么是这样的。观察黄色正方形里的数字和右边的算式有什么关系？自己先思考，之后小组讨论。

（二）数与代数——解决问题

⒈让学生先看图，再观察判断。谁愿意提醒大家解决问题时要注意什么？（写好单位名称和答题）

2.你找到了哪些数学信息？可以求出什么？

小结：通过”每队有3位老师“这一条件引导学生：一定要认真的读题，仔细的思考，才能把题做准确。

3.你找到了哪些数学信息？根据这些信息你能当小老师提出数学问题吗？（鼓励学生多提问题）

4.你看懂图的意思了吗？

5.请你试着解决问题。

6.套圈游戏。

小结：第一小题可以根据小兵和笑笑的得分，估计可能套中那两个。第二小题小丽的得分是不唯一的，但是要在小兵和笑笑之间。

《几何与代数》复习要点 第3篇

1. 高等代数与解析几何合并授课的必要性

高等代数与解析几何是数学专业学生必修的两门基础课, 按照教学计划的要求, 一般院校都在大一的第一学期与数学分析一起同时开设, 由于这两门课程都体系完备, 授课教师在教学时经常是各自用各自的方法, 很少想到互用, 因而这两门课程往往被学生理解为数学的两个不同分支。实际上, 高等代数中很多概念和方法都来源于二、三维几何空间, 而解析几何研究的就是二维和三维空间中的几何问题, 处理问题的工具就是代数方法, 因此这两门课程之间有着密切的联系。它们之间的关系可归纳为“代数为几何提供研究方法, 几何为代数提供直观背景”[1]。

高等代数与解析几何分开授课, 首先由于两门课程中有许多交叉和重叠的内容, 单独授课必然会出现有些内容重复上的情况, 这样就浪费了宝贵的课时;其次, 在讲授高等代数的某些抽象理论时, 由于几何背景的缺乏, 学生往往感到高度抽象, 从而产生惧怕心理, 不利于教学的正常开展;最后, 在解析几何的教学中经常要用到高等代数中的一些知识, 但由于高等代数教学进度的滞后性, 迫使在解析几何课程中要花大量的时间来讲授以后在高等代数中要讲授的内容, 从而影响解析几何教学任务的完成。将两门课程合并教学, 不仅可以精简教学内容, 节省很多宝贵的课时, 而且一方面在讲授高等代数的一些抽象理论时, 可以通过引入几何背景来帮助消除高等代数的抽象性, 使得所学知识便于接受。另一方面应用高等代数知识来解决解析几何问题, 可以让学生体会高等代数应用的广泛性, 从而激发学习兴趣, 提高学习效率。

2. 在教学中实现两者融合的实践

虽然我校目前还没有将高等代数与解析几何两门课程合并授课, 但在具体的教学中, 我们已经开始注重它们之间的相互作用, 充分重视这种“数”、“形”之间的相辅相成和相互交融。下面以实例说明它们之间的密切联系。

2.1 几何为代数提供直观背景

2.1.1 行列式的几何意义

行列式是高等代数中接触到的第一个抽象性概念, 初学者往往对繁杂的计算公式产生了恐惧, 对学好高等代数缺乏信心, 不利于课程教学的开展。为弥补这些不足, 在教学中给出行列式的几何背景将大有裨益。

2.1.2 Schmidt正交化过程的几何解释

Schmidt正交化过程是欧式空间中求标准正交基的一种常规方法, 公式非常复杂, 不易掌握。下面结合二、三维空间中的几何直观, 给出Schmidt正交化产生的思维过程。

这一过程在R2中的体现是:由两个不共线的向量 (线性无关) α1, α2得到两个相互垂直 (正交) 的向量β1, β2, 下面通过直观图 (图1) 来展示正交化的过程:

以此类推, 可以推导出n维欧式空间中的Schmidt正交化公式, 而不需要机械地去记忆。

2.2 代数为几何提供研究方法

解析几何是利用高等代数为基本工具来研究平面、直线、曲面及曲线的图形和性质为主的一门数学课程。平面、直线、曲面、曲线方程的建立与求解, 点、线、面的位置关系的处理, 二次曲面的分类等都是用代数方法来研究的。下面以二次曲面的分类问题为例进行说明。

例:化3x2+4xy+2z2=1为标准方程, 并指出它是何种曲面[5]。

它的特征值为λ1=4, λ2=2, λ3=1, 由二次型的标准形就可得出标准方程为

因此, 该曲面为单叶双曲面。

3. 结语

高等代数与解析几何两门课程合并授课, 并不是对它们进行简单的知识合并, 而是要将它们的灵魂进行结合, 使得代数之中有几何的背景, 几何之中有代数的思想, 两者成为一个完美的结合体。这项教学改革刚刚开始, 还有很多问题有待解决, 这就需要我们广大数学工作者集思广益, 共同努力来搭建这两者之间的桥梁。

参考文献

[1]陈志杰.高等代数与解析几何[M].北京:高等教育出版社, 2001.

[2]杨德贵.高等代数与解析几何一体化教学改革的探索[J].贵州师范大学学报, 2005, 23, (4) :97-101.

[3]郭昀.高等代数与解析几何课程合并的可行性分析[J].曲靖师范学院学报, 2003, (11) :57-58.

[4]张敏.《高等代数》与《解析几何》合并设课的教学改革[J].吉林师范大学学报, 2003, (4) :117-118.

《几何与代数》复习要点 第4篇

代数与几何的综合问题是指以代数知识与几何知识相互交融浑然一体的一类综合题，这类问题通常以几何图形（或将图形坐标化）及函数图象为背景，辅助于图形的运动与变换（平移、旋转、对称）手段，融入函数（包括锐角三角函数）、方程、不等式等代数的核心知识，来综合考查同学们运用所学的基础知识和基本技能、掌握的数学思想方法进行分析问题、解决问题的能力，题型大致可分为：（1）图形、坐标综合问题；（2）图形与代数式的综合问题；（3）函数图象中的几何图形问题；（4）方程、不等式与几何综合问题等，

解决代数与几何综合问题的基本思路：

第一，要认真审题，弄清问题的条件与结论，尽可能分析转化问题中的显性条件，挖掘问题中的隐含条件，

第二，充分关注几何图形的结构特征，发挥几何直观的导航作用，对复杂图形我们要慧眼识图，从中发现并分离出能够帮助解决问题的基本图形，或添加适当的辅助线构造基本图形，以便运用基本图形的性质去解决问题，

第三，根据综合题设计的结论分步探究的特点，我们要学会从题目中寻找代数与几何这两部分知识的结合点，进行“肢解”，转化为简单的代数或几何问题，发现解决问题的突破口，从而“化整为零，各个击破”。

最后，要充分发挥数学思想和方法的引领作用，分析与综合、分类讨论、函数思想、方程思想、数形结合、归纳与猜想等都是解决这类问题有效的数学思想和方法，特别是数形结合思想——由形导数、以数促形，可以架起连接代数与几何的桥梁，实现数与形之间的相互转化，帮助我们另辟蹊径，曲径通幽。

近年来，全国多数地区的“代数与几何的综合问题”大部分是以“解答题”的形式出现在中考试卷的最后两三道题中，难度较大，从近三年河南省中考试卷来看更是如此，2016年我们既要注意通过探究线段长度满足的数量关系判断构成的特殊形状的几何图形（如等腰三角形、矩形、菱形、正方形）的开放型问题或有关几何图形的周长与面积的最值问题，更要关注坐标系中几何图形的问题以及以三种函数图象为背景与几何图形融合于一体，判断点、直角三角形、等腰三角形或特殊四边形的存在性问题，

重点题型例析

一，图形、坐标综合问题

将常见的几何图形巧妙地放置于平面直角坐标系中，将图形坐标化，通过点的坐标来体现图形中线段的长度，或给出图形中线段的长度来确定图形顶点的坐标或满足某种条件的特征点的坐标，并辅助于图形的折叠、平移、旋转等变换手段，构造的一类“坐标几何问题”——运用坐标描述图形的位置和运动，把几何和代数知识完美地糅合在一起，解决这类问题要掌握图形变换的基本特征，关注动点与定点之间形成的特殊关系，挖掘几何图形的性质，进而运用三角形的全等或相似、勾股定理、函数的性质等知识点，或构造方程进行求解，

点拨：本题源于人教版《数学》八年级下册第十八章《平行四边形》复习题十八第69页“拓广探索”的第14题，是将课本中正方形放置到平面直角坐标系的第一象限内，并附设正方形的边长，把中点E变成X轴上边OA上一个动点P，并添加课本中结论作为条件的背景下，来探究点的坐标、线段的长度和四边形面积的最值，其中通过作垂线构造直角三角形再证明两个直角三角形全等，仍然为我们解题提供了重要的解题思路，

本题考查直角三角形、正方形的性质及全等、相似三角形的判定与性质、二次函数的最值，渗透了待定系数法（求直线OB的解析式）、配方法（求面积的最值）、函数思想，第（2）问是一个难点，不易实现有效转化即用t来表示出点M、N的横坐标，进而用X_M。来表示出线段MN的长度，导致思维受阻，突破这一问题的关键，是充分运用图形的性质，用已知量和未知量表示出相关点的坐标，特别要注意平行于坐标轴的直线上点的坐标特征（平行于X轴的直线上两点的距离等于它们的横坐标之差的绝对值，平行于y轴的直线上两点的距离等于它们的纵坐标之差的绝对值），第（3）问求四边形面积时，利用了“对角线互相垂直的四边形”的性质——其面积可以利用“对角线乘积的一半”来求（实际上是菱形面积公式的推广），利用二次函数研究极值，既可以用顶点坐标公式来求也可以用配方法来求，对于二次项系数为分数，配方时同学们容易出现失误，同学们要高度重视，

三.图形与代数式的温和问题

这类问题通过给出一组具有某种特定关系的数、式、几何图形或给出与图形有关的操作变化过程，要求通过观察、分析、推理发现其中蕴涵的数学规律，进而归纳或猜想出一般性的

《几何与代数》复习要点 第5篇

《复习精编》是由华博官方针对2014年全国硕士研究生入学统一考试吉林大学专业课考试科目而推出的系列辅导用书。本精编根据：

五位一体，多管齐下，华博老师与专业课权威老师强强联合共同编写的、针对2014年考研的精品专业课辅导材料。

一、华博考研寄语

1、成功，除了勤奋努力、正确方法、良好心态，还需要坚持和毅力。

2、不忘最初梦想，不弃任何努力，在绝望中寻找希望，人生终将辉煌。

二、适用专业与科目

1、适用专业：

数学学院：基础数学、计算数学、概率论与数理统计、应用数学

2、适用科目：

852空间解析几何和高等代数

三、内容简介与价值

（1）考前必知：学校简介、学院概况、专业介绍、师资力量、就业情况、历年报录统计、学费与奖学金、住宿情况、其他常见问题。

（2）考试分析：考题难度分析、考试题型解析、考点章节分布、最新试题分析、考试展望等；复习之初即可对专业课有深度把握和宏观了解。

（3）复习提示：揭示各章节复习要点、总结各章节常见考查题型、提示各章节复习重难点与方法。

（4）知识框架图：构建章节主要考点框架、梳理全章主体内容与结构，可达到高屋建瓴和提纲挈领的作用。

（5）核心考点解析：去繁取精、高度浓缩初试参考书目各章节核心考点要点并进行详细展开解析、以星级多寡标注知识点重次要程度便于高效复习。强化冲刺阶段可直接脱离教材而仅使用核心考点解析进行理解和背记，复习效率和效果将比直接复习教材高达5-10倍。该内容相当于笔记，但比笔记更权威、更系统、更全面、重难点也更分明。

（6）历年真题与答案解析：反复研究近年真题，能洞悉考试出题难度和题型；了解常考章节与重次要章节，能有效指明复习方向，并且往年真题也常常反复再考。该内容包含2007-2013考研真题与答案解析，每一个题目不但包括详细答案解析，而且对考查重点进行了分析说明。

（7）备考方略：详细阐述考研各科目高分复习策略、推荐最有价值备考教辅和辅导班、汇总考生常用必备考研网站。参考资料：华博吉大考研网

线性代数各章复习要点 第6篇

5、例6； 1.5节 性质1~

6、例

7、例

8、例10；1.6节 引理、定理

3、例

12、推论、例13； 1.7节克拉默法则、例

14、例16；

第二章：2.2节 矩阵的乘积、转置、行列式及性质、例

4、例7；

2.3节 定理

1、定理

2、例

11、例

12、例14；

2.4节 第49页（iv）（v）、例16；

第三章：3.1节 定义

1、第60页（行阶梯形、行最简形）、定理

1、例

1、例

2、例3；

3.2节 定义

3、定义

4、例

5、例

7、第70页矩阵秩的性质；

3.3节 定理

3、例

10、例

12、例

13、定理6；

第四章：4.1节 定义

2、定理

1、定义

3、定理

2、例

1、例2；

4.2节 定义

4、定理

4、例

5、例

6、定理5；

4.3节 定义

5、定理

6、例11； 4.4节 定理

7、例

12、例16；

第五章：5.1节 定义

1、定义

2、定理

1、例

2、定义4；

5.2节 定义

6、第117页（i）（ii）、例

6、例

8、例

9、定理2；

5.3节 定理

3、定理

4、例11；

5.4节 定理

7、例12；

5.5节 定义

8、定理

8、例14；

5.7节 定义

10、定理10及推论、定理

向量代数与空间解析几何 第7篇

向量代数：向量的线性运算，向量的坐标，向量的数量积，向量积，两向量平行与垂直的条件。平面与直线：会利用已知条件求平面的方程、直线的方程。

曲面与空间曲线：了解曲面的概念，如坐标轴为旋转轴的旋转曲面，母线平行于坐标轴的柱面方程；了解空间曲线的参数方程和一般方程，会求空间曲线在坐标面上的投影。

2．多元函数微分学

多元函数：会求简单的二元函数的极限与判断二元函数的连续性。

偏导数与全微分：偏导数的计算，复合函数二阶偏导数的求法、隐函数的求偏导；会求全微分； 偏导数的应用：方向导数和梯度；空间曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线；最大值、最小值问题，条件极值，拉格朗日乘数法。

3．多元函数积分学

二重积分：化二重积分为二次积分、交换二次积分的次序；二重积分的计算（直角坐标、极坐标）；利用二重积分求曲面面积、立体体积。

三重积分：三重积分的计算（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）；

曲线积分：两类曲线积分的计算方法；格林公式，平面曲线积分与路径无关的条件。

曲面积分：两类曲面积分的计算方法；高斯公式。

4．无穷级数

常数项级数：级数收敛的判定，几何级数和P—级数的敛散性；正项级数的比较、比值及根值审敛法，交错级数的莱布尼兹定理，绝对收敛与条件收敛的概念及其关系。

幂级数：较简单的幂级数的收敛半径和收敛域的求法，幂级数求和函数；函数展开成幂级数。傅里叶级数：函数展开为傅里叶级数，函数与和函数的关系，函数展开为正弦或余弦级数。

5．常微分方程

可分离变量微分方程，齐次方程，一阶线性微分方程。可降阶的高阶微分方程。二阶常系数齐次线性微分方程。利用切线斜率建立简单的微分方程并求解。

牢固掌握下列公式：

1、向量的数量积、向量积计算公式；

2、全微分公式；

3、方向导数公式；

4、拉格朗日乘数法；

5、格林公式、高斯公式；

6、函数的麦克劳林展开公式。

《几何与代数》复习要点 第8篇

师:我们通过学习发现导数几何意义的应用是这章内容中的重点, 也是热门考点, 首先来复习这一知识点。问题1:导数的几何意义是什么?

生:曲线y=f (x) 在x=x0处的切线的斜率, 即k=f′ (x0) 。

师:问题2:那么该点处的切线方程是什么?

生:切线方程为y-f (x0) =f′ (x0) (x-x0) 。

(通过学生对于知识点的再次陈述, 强化导数的几何意义。)

师:我们经常遇到利用导数几何意义求解曲线的切线方程, 有没有什么特别要大家注意的地方?

(设置开放性的问题, 让学生分散思索, 再整体把握, 有利于复习归纳。)

生:利用导数求切线过点P的切线方程, 要注意判断点P是否在直线上。

师:非常好!这个已知点的位置很重要, 请看复习题:

已知曲线, (1) 求曲线在x=2处的切线方程;

(2) 求曲线过点 (2, 4) 的切线方程。

师:第一问中的点是什么点? (切点)

师:应如何求解呢?

生:先求在x=2处的导数f′ (2) =4, 即切线的斜率。然后将x=2代入方程求出切点 (2, 4) 。用点斜式可以写出切线方程为y-4=4 (x-2) , 即4x-y-4=0。

师:很好。思路清晰, 那么求曲线已知切点的切线方程没问题了。请再看问题3, (2) 中“曲线过点”, 这个点是切点吗?

生:不一定, 要看它是否在曲线上。

师:好, 那验证点是否在直线上。这个点在曲线上就一定是切点吗?

生:也不一定。也可能是曲线另一点处的切线与曲线的交点。

师:问题4:我们不是学习过曲线与直线相切就可以转化为一元二次方程的Δ=0, 也就是只有一个交点吗? (学生迟疑, 显然问题触动思考)

生:那是圆, 椭圆, 双曲线

师:是的。我们发现曲线为二次曲线时, 曲线与直线相切交点只有一个, 而一般曲线呢?你能用图示给大家举个例子吗?

生:y=x3 (第一象限曲线某点处的切线与曲线第三象限图像仍有交点) 。

师:好的。那该如何解答呢? (引发学生回归题目) 要求切线方程, 要有斜率, 也就是切点处的导数。

生:可以先设切点为, 切线斜率f′ (x0) =x02, 而切点就在切线上, 点斜式写出切线方程。

师:接着呢?

生:可以把点 (2, 4) 代入方程, 求出。

师:很好, 因点 (2, 4) 在切线上, 自然也满足切线方程, 那么带入后就得到一个一元三次方程。

(老师板书:切线方程为, 因为点 (2, 4) 在切线上, 所以, 即x03-3x02+4=0。)

师:一元三次方程在这部分的解题中我们也经常遇到。应如何求解呢?我们可以采用配系数的方法, 可以将二次项-3x02拆成-4x02和x02。

(教师板书:所以x02 (x0+1) -4 (x0-1) (x0+1) =0, 即 (x0+1) (x0-2) 2=0, 解得x0=-1或x0=2, 故所求切线方程为4x+y-4=0或x-y+2=0。)

师:通过完成该题, 你复习了那些内容, 掌握了哪些技巧?

(通过又一个开放性问题, 引导学生进行反思, 从而自觉提炼出知识精髓和常见方法)

生:求切线一定要分清“在”还是“过”某点的切线”。

生:解决“过某点处的切线”先设切点 (x0, y0) , 然后求切线斜率, 写切线方程, 再讲已知某点代入求出切点坐标、斜率, 就可以求切线方程了。

生:现阶段解一元三次方程可以用配系数的方法来做。

师:是的。以上是对于解题上的一些常见方法或技巧进行的总结, 还有吗?

生:澄清我们的一个常见错误, 认为曲线与切线只有一个交点, 实际上, 我们常见的圆, 椭圆等是这样的, 其他一般曲线未必是这样的。

师:很好。

(再利用PPT总结, 帮助学生梳理强化知识)

课后反思:

这是复习课上的一瞥, 通过这个专题模块复习, 我进行了如下总结。

1.复习要有全局性

复习是针对某一段时间或某几章节的梳理及深化, 新课的知识点是零散的, 难成体系的, 而复习的目的就是将整节整章乃至更多的内容从零碎的点整合成一个较为完整的体系。因此, 复习不应只做前期教学的简单重复, 而要将知识点串成线, 线串成面, 让学生高屋建瓴地把握知识的结构, 前后的联系, 从而达到提纲挈领的效果。

2.复习要有针对性

既然复习不是简单罗列和重复, 那么在详略上就应当有所取舍, 显然教学的重点应在复习中充分体现, 如本节中“利用导数集合意义求切线方程”这当然就是本章中的一个重要内容, 而从第1小问中, 不难发现学生对于这一重点掌握情况相对较好, 教师就不应作太多赘述。而第2小问的类型是学生易发生错误的地方, 当然教师就要充分让其出错, 然后订正深化总结, 因此复习应有针对性, 针对学生易错的, 易混淆的内容讲、练, 使复习更加务实。

3.复习要有开放性

平面解析几何初步复习要点 第9篇

本单元是整个解析几何的基础，学好本单元内容对理解解析几何的理论和方法起着非常关键的作用.

1. 平面直角坐标系中的基本公式

要掌握数轴上点的坐标公式、数轴上两点间的距离公式、平面上两点间的距离公式、线段中点的坐标公式.这些公式是进一步学习直线、圆和其他曲线方程的基础，要理解它们之间的内在联系，并学会运用这些公式解决较为复杂的数学问题（需要对问题进行适当的转化）.

2. 直线的方程

(1) 直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式都是直线方程的特殊形式.在这些特殊形式中，点斜式是最基本最重要的，其余三种形式都可以由点斜式推出.以上几种特殊形式的直线方程都有明显的几何意义，当这些几何条件具备时，便能很容易地写出直线的方程，所以在解题时要恰当地选用直线方程的形式.

(2) 和特殊形式比较，直线方程的一般形式Ax+By+C=0适用于任何位置的直线.特别地，当B=0且A≠0时，可化为x=-CA，它是一条与x轴垂直的直线；当A=0且B≠0时，可化为y=-CB，它是一条与y轴垂直的直线.

(3) 两条直线的平行和垂直，作为两条直线之间的特殊位置关系，对于研究其他曲线的性质，有着非常重要的作用.因此，要熟练掌握两条直线的平行和垂直的条件.

3. 圆的方程

圆的标准方程和一般方程中都有三个独立的参数，因此，要确定一个圆必须具备三个独立的条件，而确定这三个参数一般用待定系数法.由于圆是对称优美的图形，具有丰富的几何性质，因此，充分利用圆的几何性质，往往可以找到更为简洁优美的解题方法.直线与圆的位置关系问题在初中的平面几何中已经得出了结论，现在就是要把这些几何形式的结论转化为代数方程的形式.

4. 常用的数学思想方法

（1） 数形结合的思想方法.解析几何就是用代数方法研究几何问题的一门数学学科.因此，解析几何本身就内在地包含着把数量关系和几何图形结合起来的思想方法，即数形结合的思想方法.在解决解析几何问题的过程中，一定要注意画好图形，通过图形使各个量之间的关系表达得更清晰、更形象、更具体，使问题的解决更容易.

（2） 函数与方程的思想方法.解析几何问题与函数、方程有着密切的关系.例如，一次函数的图像都是直线，一般的直线方程（垂直于 x 轴或 y 轴的直线除外）都可以写成一次函数的形式，解析几何的最值问题经常可以通过研究函数的最值而获得解决.

（3） 分类讨论的思想方法.解析几何的问题往往具有一定的综合性和复杂性.例如，直线方程的一些特殊形式尽管比较好用，但不能表示所有的直线，而一般式方程又不太好用.因此，经常会涉及到直线斜率存在与否、直线与两坐标轴截距的正或负、是否为0等的讨论.

《几何与代数》复习要点 第10篇

几何初步知识

这部分知识是把小学数学中学过的平面图形集中整理复习。复习的知识点：

（1）平面图形知识；（2）平面图形的周长和面积；（3）立体图形的认识；（4）立体图形的表面积和体积。

（1）平面图形知识

①直线、射线、线段的特点、联系与区别。

②角的特征、角的分类、角的度量方法。

③垂直与平行。

④三角形的特征，分类（按边分、按角分）。

⑤四边形。每类图形的特征，特殊与一般的关系。

⑥圆与扇形。圆的特征、直径、半径的特点，扇形与圆的关系。

⑦轴对称图形。（能画出学过的轴对称图形的对称轴）

要求：①掌握特征、建立联系，让学生感受到点到线，线到面、面到体的联系。②能根据图形特征进行合理的判断、选择。

（2）平面图形的周长和面积

①理解周长与面积概念。

②掌握每种图形的周长与面积计算公式及推导过程。

③能应用公式灵活解决问题。

①长方体、正方体、圆柱、圆锥的特征。

②长、正方体的关系。

（3）立体图形的表面积和体积

②会求长方体、正方体、圆柱的表面积和体积；圆锥的体积。

③建立这四种立体图形体积计算的联系。

④加强体积与表面积的区别、体积与容积的区别的对比训练。

建议：几何初步知识这部分内容，知识容量比较大，复习时要让学生真正参与到学习中来，提高学习效率，教师就要设计一些具有思考性，挑战性、综合性强的问题激发学生积极思考，调动学生的积极性，充分发挥学生的主体作用，让他们在探究的过程中进一步理解、巩固所学的知识，体验成功的快乐，掌握学习的方法。

如：平面图形面积知识网络图由学生独立完成（独立思考、查阅资料、寻求帮助）；长方体、正方体表面积可让学生自带磁带盒，设计包装方案——

《几何与代数》复习要点 第11篇

C*-代数中两个正定元的α-幂几何平均与广义谱几何平均

引入并研究了C*-代数中两个正定元a与b的`α-幂几何平均gα(a,b)与广义谱几何平均Eα(a,b),且由此证明了一系列相关的性质和定理.这也是对C*-代数中两个正定元a与b的谱几何平均的推广与延拓.

作 者：张蕾 姜健飞 ZHANG Lei JIANG Jian-fei  作者单位：东华大学,理学院,上海,20 刊 名：东华大学学报（自然科学版）  ISTIC PKU英文刊名：JOURNAL OF DONGHUA UNIVERSITY(NATURAL SCIENCE) 年，卷(期)： 33(5) 分类号：O177.5 关键词：C*-代数   正定元   α-幂几何平均   广义谱几何平均  

《几何与代数》复习要点 第12篇

7.求由平面1:x3y2z50与2:3x2yz30所成二面角的平分面方程.解法一:设平面上任一点的坐标为(x,y,z),则由平面上任一点到两已知平面的距离相等得: |x-3y2z-5|1413x2yz3114, 从而得所求平面方程为: 2xy3z80,或4x5yz20.解法二:过平面1,2的交线的平面束方程为(3)x(23)y(21)z350. 由于它为1,2的平分面,因此其法向量n与1,2的法向量有相等的夹角.得 |(3)3(23)2(2-1)||3(3)2(23)(21)|14||n||14||n|| 解得1或1, 因此,所求平面方程为4x-5yz-20或2xy-3z80.习题3.41.对于直线x1 l1:y12,与l2z(1)证明:l1//l2;(2)求l1与l2的距离;(3)求l1与l2所确定的平面方程.解:(1)l1的方向向量s1{1,2,1},l2的方向向量ijk s2210{2,4,2},s22s1,012 s1//s2,得l1//l2.(2)法一:在l2上找一点A(1,-3,0),过该点作垂直于l2的平面(x1)2(y3)z0,即x2yz50, 将l1的参数方程代入 12450, 解得23,从而得平面与l1的交点2xy50:y2z30172 B(,-,-).333 则A与B的距离|AB|233为所求.法二:在l1上找一点C(1,1,0),l2上找一点A(1,-3,0),设AC与l1的夹角为,则s1AC421 cos,而sin,||s1||||AC||26632 则所求距离d||AC||sin3.3(3)法一:在l1上找一点C(1,1,0),l2上找一点A(1,-3,0),则平面的法向量ijk ns1AC121{2,0,2},020 由点法式方程得2(x-1)-2z0,即x-z-10为所求.法二:在l1上找两点C(1,1,0),D(0,3,1),l2上找一点A(1,3,0)

设平面的一般式方程为AxByCzD0,将A,C,D的坐标代入得方程组A3BD0 ABD0解得3BCD0 从而得平面方程xz10.ADB0CD2.证明:二直线2xy3z30 l1:与l2x10y2102xy0:7xz60 相交,并求出l1与l2的交点,夹角以及l1与l2所确定的平面.ijk解法一:l1的方向向量s1213{30,3,21},取s1{10,1,7},1100 在l1上找一点A(21,0,15),l2的方向向量s2{1,2,7}, l2上找一点B(0,0,6)从而得l1与l2的参数式方程x2110 l1:y,l2z157x:y2,令z67211012122 解得12,21,分别代入l1,l2的参数方程得(1,2,1)为l1,l2的交点1919 cosl1,l2coss1,s2,l1,l2arccos,3030 平面的法向量ns1s2{21,63,21} 取n{1,3,1},得平面方程(x-21)3y(z15)0,即x3yz-60.解法二:s1,s2,A,B同上,则由s1,s2,AB0,知l1与l2共面,而s1//s2,l1与l2 相交,将l2的参数式方程代入l1的第一个方程解得1,从而得交点 坐标(1,2,-1),其余同解法一.3.求与平3.求与平面2x-3y-6z140平行,且与坐标原点的距离为5的平面方程.解法一:由已知条件可设平面的一般式方程为2x-3y-6zD0, 原点到平面的距离 d|D|495,得D35,解法二:设原点到平面垂线的垂足为A(x,y,z),由OA与已知平面法向量平行可设5 OA{2k,3k,6k},由||OA||7|k|5,得k,7153010 A的坐标为,,,777 由点法式方程得平面方程 2(x107)-3(y157)-6(z307)0,即2x-3y-6z350.平面方程为2x3y6z350xy4z1204.求点M(3,1,4)关于直线l:的对称点.2xy2z30ij解法一:设对称点的坐标为A(x,y,z),l的方向向量s1121k4{6,6,3}2 取s{2,2,1},过M作垂直于l的平面为:2(x-3)-2(y-1)(z4)0,即 2x-2yz0.在l上找一点B(-5,7,0),得l的参数式方程x2-58 代入平面,得,3y27158x31y15z48 从而l与的交点(，)为MA的中点,即,,,333232323158 从而l与的交点(，)为MA的中点,即333 x321y15z48,,,从而32323

得对称点坐标(-7728，).333x3y1z-4解法二:设对称点为A(x,y,z),由MA的中点(，)在l上及MA222xy4z42 与l的方向向量s{2,2,1}垂直可得方程组2xy2z21,2x2yz07x377728 解得y,得对称点为(，).333328z35.求点P(3,1,2)在直线l:x3t,yt1,zt1上的投影P,并求点P到l的距离d.解法一:过点P作垂直于l的平面,其方程为3(x-3)(y-1)(z-2)0,即3xyz-120,将l的参数式方程代入得9tt-1t1-120,解得t得投影点P的坐标(36,1,23)及P到l的距离d|PP|***1.解法二:设l上任一点的坐标为A(3t,t1,t1),则P,A的距离|PA|(3t3)(t2)(t1)1101122211t24t14,当t36,1,23).21211时,此距离取得最小值即为P到l的距离d,从而得投影点坐标(111111

6.求直线x2y3z50l:的标准方程和在三个坐标面上的投影.2xyz20ijk解:l的方向向量为s123{1,7,5},取s{1,7,5}.211x1y17z15.取l上一点A(0,1,1),得直线标准方程法一:在l的一般式方程中消去z得7x-y10,7x-y10从而得在xOy面上的投影z0在l的一般式方程中消去y得5x-z-10,5x-z-10从而得在xOz面上的投影y0在l的一般式方程中消去x得5y-7z-120,5y-7z-120从而得在yOz面上的投影x0法二:过l的平面束为(21)x(2)y(-3)z(2-5)0,其中与xOy面垂直的平面1的法向量与k{0,0,1}垂直,得3,从而得1的方程7x-y10,从而得l在xOy面上的投影7x-y105x-z-10,同样方法可得其在xOz面上的投影,在yOz面上的投影z0y05y7z120x0

7.证明:直线l1;x12y23z54与l2;x73y22z12位于同一平面内,并求这平面及两直线间的夹角.x12解法一:l1,l2的参数式方程为y23z5412173110解方程组得,23122222将1代入l1的参数式方程得l1与l2的交点(1,2,5),ijkl1与l2共面,平面的法向量n234{2,16,13},3由点法式方程得平面方程2x-16y-13z310,两直线间的夹角为其方向向量的夹角8cosl1,l2cos(s1,s2)-,493l1,l2arccos.493822x73,y22,z12解法二:在l1,l2上分别取两点A(1,2,5),B(7,2,1),[s1,s2,AB]0,l1与l2共面,设平面一般式方程为AxByCzD0,将A,B坐标代入,且由其法向量与l1的方向向量垂直得方程组2AD31A-2B5CD0167A2BCD0,解得BD,312A3B4C013CD31得平面方程2x-16y-13z310,其余与法一同.8.对于直线l1:x73y44z32与l2:x216y54z21(1)证明:它们不在同一平面上;(2)写出过l2且平行于l1的平面方程.解:(1)法一:l1,l2的参数式方程为x73y44z32x216,y54,z27312162解4415422819得,将1,2代入l1,l2的参数式方程知l1,l2无公共交点.2829而l1//l2,l1与l2不在同一平面上.法二:l1,l2上分别取一点A(7,4,3),B(21,5,2)3则s1,s2,AB628441215070,l1与l2不共面.5(2)法一:取l2上点B(21,-5,2),平面的法向量ijkns1s2342{12,9,36},取n{4,3,12}641由点法式方程得平面方程4x3y12z930在l2上取两点B(21,5,2),C(27,9,1).设平面的一般式方程为AxByCzD0,将B,C的坐标代入,且其法向量与s1垂直可得21A5B2CD0 27A9BCD0,3A4B2C04AD931解得BD,代入得平面方程.4x3y12z930314CD31 复习题三1.设a,b均为非零向量,且||b||1,a,blim||axb||||a||x4,求x0解:ab||a||cos原式lim4222||a||,2(axb)ax0x(||axb||||a||)lim2abxx||b||22x0x(||axb||||a||)2||a||2||a||22.2.设向量r与ai2j2k共线,与j成锐角,且||r||15,求r.解:由于r与a共线,设r{k,2k,2k},||r||3|k|15.得k5,由r与j成锐角,取k5,得r{5,10,10},3.设向量p和向量q3i6j8k与x轴都垂直,且||p||2,求向量p.解:由于p与q和x轴都垂直,p平行于qi6k8j186设p{0,8k,6k},||p||10|k|2,得k,从而p{0,,}.5554.设向量1,2,3两两垂直,且符合右手系规则:||1||4,||2||2,||3||3.计算(12)3.解:由于1,2,3两两垂直,且符合右手系规则,12,30(12)3||12||||3||||1||||2||||3||sin224.5.平面过M1(1,1,1)和M2(0,1,1)且与平面xyz0垂直,求的方程.解法一:由已知条件,平面的法向量n与M1M2{1,0,2}和n1{1,1,1}均垂直.ijkn1022ijk,由点法式方程得平面方程2x-y-z0.111解法二:设的一般式方程为AxByCzD0,将M1,M2的坐标代入ABCD0由的法向量与已知平面的法向量垂直得方程组BCD0,ABC0

《几何与代数》复习要点 第13篇

解析几何、高等代数是低年级大学生同时开课的数学类专业的两门专业基础课, 解析几何, 线性代数之间的互相渗透体现了教材内容的“现代化”.空间解析几何是学好微积分中重积分的基础, 为高等代数的相关知识提供了一些实际背景, 而线性代数和微积分又为解决空间解析几何知识提供了有力工具.在教学中精心设计一些讲法, 配合数学软件Mathematic计算功能, 既能使学生掌握解析几何的核心内容, 又能让学生从繁重的计算中解脱出来, 充分调动学生的积极性, 为教学效果增色.

一、解析几何在高等代数中的示例作用

针对刚步入大学的一年级新生, 比较习惯处理具体的数学问题, 而对数学的抽象性准备不足, 因而在学习高等代数所研究的一般代数系统的结构问题时, 常被代数中的大量的抽象概念所困扰, 如何消化抽象概念, 培养学生的学习兴趣, 成为教师在教学中考虑的一个重要问题.而解析几何的研究对象是二维和三维空间的几何问题, 处理问题的工具就是代数方法, 高等代数中许多概念和方法都可以在解析几何中找到其低维几何模型, 因此, 在高等代数教学中, 从学生的认知角度出发, 能使学生在具体的几何背景中接受高等代数的数学思想方法, 而从教学层面上出发, 解析几何为高等代数提供了很好的示例作用.

1.三阶行列式的几何背景

行列式是高等代数中学生遇到的第一个难点, 在按传统的“构造性”定义外, 在讲解的过程中引入三阶行列式的几何意义, 即三阶行列式的绝对值就是它的三个向量在空间中张开的一个平行六面体的体积.这样, 可使学生感到行列式是一个有实际意义的数学量度, 增加行列式的直观理解.

2.利用矩阵的几何背景求矩阵的n次幂

在高等代数教学中, 会遇到求二阶矩阵

$A=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)$

的n次幂, 通常的计算方法是通过代数中的纯矩阵运算, 通过归纳法处理, 计算量大且容易出错.但是在解析几何的平面旋转线性变换公式α:

$\left(\begin{array}{l}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right)\left(\begin{array}{l}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right)$

中, 表示R2中的点绕坐标原点逆时针旋转θ角, 故有An表示逆时针旋转n次θ角, 必有

$A{}^n=\left(\begin{array}{cc}\text{c}\text{o}\text{s}n\theta & -\text{s}\text{i}\text{n}n\theta \\ \text{s}\text{i}\text{n}n\theta & \text{c}\text{o}\text{s}n\theta \end{array}\right)$

, 使同学们体会利用其几何背景快速求矩阵的幂次运算.

3.对

“n维欧式空间中不同标准正交基之间的过度矩阵为正交矩阵”进行问题教学法研究

高等代数中不同的标准正交基之间的过度矩阵为正交矩阵是学习过程中又一个难点和重点, 教师在此堂课的教学活动中, 可由明到隐, 让学生由隐到显, 教师设置问题让学生讨论, 以学生作为主导, 进行讨论式教学.首先教师利用解析几何中 (低维空间) 的内容给出具体实例, 即解析几何中的两个不同的坐标系Oxyz坐标系 (标架为[O:e1, e2, e3]) 与Ox′y′z′坐标系, (标架为[O:e′1, e′2e′3]) 中同一个二次曲面之间的坐标变换公式分别为

$\left(\begin{array}{l}x\\ y\\ z\end{array}\right)=A\left(\begin{array}{l}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\\ z^{\prime }\end{array}\right)$

, 其中

$A=\left(\begin{array}{ccc}a{}_{11}& a{}_{12}& a{}_{13}\\ a{}_{21}& a{}_{22}& a{}_{23}\\ a{}_{31}& a{}_{32}& a{}_{33}\end{array}\right).$

这里矩阵A=A′, A′=A-1, 即A为正交矩阵.提出问题“n维欧式空间中不同标准正交基之间的过度矩阵是否为正交矩阵”, 由学生进行讨论、分析、归纳、总结, 进行范例式教学法, 体现由特殊到一般的数学思想方法.

二、高等代数在解析几何中的工具作用

在解析几何教学中, 判断平面与直线、直线与直线的位置关系时, 和解析几何平行的教学任务中, 高等代数已经讲授了矩阵与行列式, 此时可利用矩阵与行列式的相关知识来判断.

1.利用矩阵的秩讨论直线与直线的位置关系

已知两直线的方程为:L1为平面A1x+B1y+C1z=D1与A2x+B2y+C2z=D2的交线, L2为平面A3x+B3y+C3z=D3与平面A4x+B4y+C4z=D4的交线, 设

$A=\left(\begin{array}{ccc}A{}_1& B{}_1& C{}_1\\ A{}_2& B{}_2& C{}_2\\ A{}_3& B{}_3& C{}_3\\ A{}_4& A{}_4& A{}_4\end{array}\right)‚\overline{A}=\left(\begin{array}{cccc}A{}_1& B{}_1& C{}_1& D{}_1\\ A{}_2& B{}_2& C{}_2& D{}_2\\ A{}_3& B{}_3& C{}_3& D{}_3\\ A{}_4& B{}_4& C{}_4& D{}_4\end{array}\right)$

,

必有$2r(A)3‚2r(\overline{A})4$, 则两直线的位置关系为

(1) 直线L1与L2重合的充分必要条件为r (A) -r (A) =2;

(2) 直线L1与L2平行但不重合的充分必要条件为$r(A)=2‚r(\overline{A})=3$;

(3) 直线L1与L2相交的充分必要条件为r (A) =r (A) =3;

(4) 直线L1与L2为异面直线的充分必要条件为$r(A)=3‚r(\overline{A})=4.$

而对于矩阵秩的计算可利用Mathematic求矩阵的秩命令Rank (A) 来计算, 既体现了学科体系之间知识的融合, 又弱化了计算, 强调了基本知识的掌握.

2.利用二次型求二次曲面化简的旋转变换

空间解析几何课本中给出二次曲面化简的几种方式:利用不变量和利用主直径.但是利用不变量化简时体现不出两个二次曲面方程坐标系间的关系, 而利用主直径化简时需要验证坐标变换为右手系, 实际上, 此时高等代数的教学刚讲授了二次型, 故可以利用高等代数的二次型来求二次曲面的旋转变换, 既利用高等代数工具解决了几何问题, 又让学生体会了各个学科间的融合, 为学生思索学科间的知识联系与纽带提供了很好的示例作用, 激发了学生学习的兴趣.设二次曲面的一般方程为

F (x, y, z) =a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23yz+b1x+b2y+b3z+d=0.

由于经过线性变换后, 二次曲面的二次项系数只与二次项系数有关, 故我们可先考虑二次曲面的二次项部分.

F1 (x, y, z) =a11x2+a22y2+a33z2+2a12xy+2a13xz+2a23yz.

有F1 (x, y, z) =X′AX.

其中

$X^{\prime }=(x,y,z)‚A=\left(\begin{array}{ccc}a{}_{11}& a{}_{12}& a{}_{13}\\ a{}_{21}& a{}_{22}& a{}_{23}\\ a{}_{31}& a{}_{32}& a{}_{33}\end{array}\right)$

, 这里A为实对称矩阵, 而实对称矩阵一定可以对角化, 且对角线上为特征方程的特征值.因此, 采用施密特对角化方法, 可求其旋转变化为Y=UX, 而对于二次曲面求旋转变换方法, 可设计实验课程, 供学有余力的同学设计编程计算, 并酌情提高平时成绩.

三、结 论

空间解析几何和高等代数是理科大一学生同时开设的两门专业基础课, 几何为代数提供了模型, 几何和代数也为物理学和工程技术提供了必要的数学工具, 对后续课程的学习起到基础作用.因此, 若教师能在解析几何和高等代数的教学中相互渗透, 设计适当多样的教学方法, 能激发学生的学生兴趣, 培养学生思考问题、解决问题的能力, 初步体会学科之间的融合探讨, 拓宽学生的思维活动空间.

参考文献

[1]杨武茂, 李全英.空间解析几何[M].武汉:武汉大学出版社, 2004 (7) .

[2]杨禾瑞, 郝炳新.高等代数[M].北京:高等教育出版社, 2007 (6) .

《几何与代数》复习要点 第14篇

摘要： 本文主要从我校现状出发，讨论了高等代数与解析几何一体化实施的必要性，并从教学内容、教学手段、教学对象三个方面介绍了在实施高等代数与解析几何一体化过程中的注意事项。

关键词：高等代数与解析几何一体化 课程改革 多媒体辅助教学

基金项目：唐山师范学院校级成人学历教育与教师继续教育教育教学改革项目（JJ2012030）

唐山师范学院教育教学改革项目（编号：2013001030）

Abstract：Starting from the reality of our school， we dicusse the necessity of the combination of Higher Algebra and Analytic Geometry and introduce some notes of Higher Algebra and Analytic geometry in the integration process from three aspects such as teaching content， teaching methods and teaching odject.

Key words： the combination of Higher Algebra and Analytic Geometry ， Curriculum Revolution， Multimedia aided teaching

·O15-4；O182-4

作为大学数学系学生的基础课，高等代数与解析几何同时也是理工科学生的基础课程。计算机的普及以及应用数学科学的发展，使得越来越多相关课程相继开设，减少基础课与专业课学时势在必行。但是数学分析与高等代数是数学专业的基础，运用广泛，不容削减。削减解析几何的课时，必将给数学专业的学生带来重大损失。基于解析几何与高等代数的特点及其关系，将这两门课合并不失为一个好办法。这样不仅不会太多地削减解析几何，更可以省出许多时间。从更高意义上说，这两门课都能得到加强，从而形成统一的整体。

目前我校数学与信息科学系高等代数与解析几何的教学现状是：两门学科分别独立，各自为政???——新生入学第一学期开设解析几何，第二学期开设高等代数。由于两门课程在教学实施过程中的衔接性较差，讲授解析几何的同时，需要花很长的时间来讲授高等代數的相关内容。而高等代数本来就相对抽象，晦涩难懂，再加上我校目前所用教材与几何完全脱节，学生理解起来难度很大。这样不仅影响了解析几何的正常教学，也加大了学生的心理压力。因此，高等代数与解析几何一体化教学迫在眉睫。

解析几何的主要内容是向量代数及空间曲线、曲面等图形性质。高等代数则以多项式理论及线性代数为主要内容。线性代数是主要讨论有限维线性空间及其线性映射（变换）的学科。这两门课程的内容密切相关：一方面，解析几何中向量、几何变换等概念是高等代数中线性空间与线性变换等抽象概念的直观来源；另一方面，高等代数中矩阵、线性方程组及二次型理论又为解析几何提供了有力的计算工具和简洁的证明与表述方式。由此可见，学习与运用高等代数和解析几何的最佳途径便是将此二者融会贯通。

根据高等代数与解析几何的密切联系，我们认为在实施高等代数与解析几何教学一体化的过程中，要注意以下几点：

第一，找准二者在知识上的切合点。高等代数与解析几何的合并绝非机械地拼凑，而是从逻辑系统和理论高度妥善处理好二者之间的关系。例如：在行列式的教学中，学生最初接触时可能感到很深奥、难以理解，但是如果我们换个角度，先从几何问题出发讨论二阶和三阶行列式的几何意义，然后把它们推广到高维也就是高阶行列式，这样就显得具体了很多，学生接受起来也就不会有太大的困难，而且还可以由此渗透一些高维欧氏几何的思想，进而开阔学生的视野；而在讲授线性空间的内容时，要先从解线性方程组出发引入线性空间的概念，而为了加强对线性空间的理解，我们可以把维数降低，讨论低维（几何）情况，然后再推广到高维。换言之，解析几何是低维的线性代数，而线性代数是解析几何的高维推广。在教学过程中一定要处理好它们之间的关系，教会学生用代数的眼光去审视几何问题，也要会用几何的眼光去审视代数问题。

第二，充分重视多媒体辅助教学在一体化教学中的重要作用。对于数学专业的学生，我们不仅要着力培养他们的抽象思维能力，还要重视他们的空间想象能力的提高。多媒体辅助教学的利用，使得一些抽象思维图形化，从而极大地激发学生的几何直觉思维。例如：在讲授单叶双曲面和双叶双曲面的直纹性时，如果利用多媒体展示直线形成二次曲面的过程，将会大大提高学生对两种曲面的直纹性的感官认识水平。

第三，在授课过程中对不同专业要各有侧重。比如对于数学与应用数学专业的学生，我们的目标是将其培养成基础型的研究人才或中学教师，因此在教学过程中要十分注意语言的严密性及理论推导的严谨性。另外，这些知识在中学数学中的应用同样不容忽视。例如在讲授向量代数的内容时，可以适量添加利用向量解决中学几何问题的例题，以加深学生对向量运算性质及其规律的理解和掌握；而对于信息与计算科学及统计学专业的学生来说，开设高等代数与解析几何课程主要是为了应用数学理论去解决实际问题，如此情况下我们必须注重矩阵的计算方法与技巧讲解，对于线性变换的矩阵，应以掌握三维几何变换的矩阵为重点，由此出发进行推广。此外，数学实验在教学中的重要作用也不能忽视。因此，我们还应对内容及手段做必要的调整以满足不同专业的需要。

高等代数和解析几何作为两门独立的基础课程已有很长历史，要把它们重新溶合为一个完整统一的课程体系并非易事。在实施过程中可能会遇到一些尚未预料到的问题，这需要我们教师在实施过程中进一步持续深入探讨并实践。

参考文献：

[1] 陈志杰. 高等代数与解析几何[M] . 北京： 高等教育出版社

[2] 孟道骥. 高等代数与解析几何（第二版）. 北京：科学出版社

[3] 戴清平 、李超、谢端强，高等代数与解析几何教学一体化教学思考

《数学理论与应用》 2004年第24卷第四期： 92-94

[4] 郁金祥、刘锦萍，高等代数与解析几何的教学实践与认识 《高等理科教育》