解向量优选范文

解向量优选范文（精选5篇）

解向量优选 第1篇

关键词：不等式,向量,构造,变形

一、引 言

不等式证明是数学中的常见问题, 在各类考试中经常出现.关于不等式的证明题历来是令人感到困惑和头疼的问题之一.不等式的证明方法灵活多样, 每一种方法都具有一定的实用性, “向量法”亦是如此, 而且它的技巧性和综合性都较强.本文从向量的基本性质出发, 谈一谈向量在证明不等式时的妙用.

二、向量的几个基本性质

两个向量的数量积有一个性质:ab=|a||b|cosθ (θ为a和b的夹角) , 则|ab|=|a||b||cosθ|.

又 -1cosθ1, 则可得不等关系式:

(1) ab|a||b|;

(2) |ab||a||b|;

(3) |ab|2|a|2|b|2.

而灵活地运用这些不等关系式, 可以使某些不等式得到较好较快的验证.而运用以上不等关系式证明, 其关键是构造恰当的向量.笔者经过多年精心总结, 概括出以下两种方法:

1.直接构造

直接构造出ab或|ab|或|ab|2为不等式的一边, 再利用不等关系式ab|ab|得到不等式的另一边, 从而解决问题.

例1 已知a, b∈R+, a+b=1, 求证:undefined

证明 设undefined,

undefined

由性质mn|m||n|, 得

undefined

例2 设a1, a2, a3, a4∈R, 求证:undefined

证明 设m= (a1, a2) , n= (a4, a3) ,

undefined

由性质mn|m||n|,

得undefined

例3 已知x+y+z=1, 求证:3 (x2+y2+z2) ≥1.

证明 设m= (1, 1, 1) , n= (x, y, z) ,

undefined

由性质|mn|2|m|2|n|2,

得3 (x2+y2+z2) ≥1.

2.变形构造

先对要证不等式进行重新“塑造”, 主要是通过对所证的不等式进行等价变换, 换句话讲, 就是要对所证不等式进行变形, 再构造适当的向量来解决问题.

例4 已知a, b∈R+, 求证:undefined

思路 本题直接构造向量来解决, 显然比较困难, 于是先变形, 再构造.

证明 原不等式等价于undefined,

构造向量undefined,

由性质|mn|2|m|2|n|2,

undefined

故原不等式成立.

例5 设undefined, 其中0

证明 要证明2f (x)

undefined

又undefined,

故只需证undefined

undefined

构造向量m= (1, 2x, 4xa) , n= (1, 1, 1) ,

代入不等式|mn|2|m|2|n|2整理即得.

参考文献

[1]刘海燕.利用微分学证明不等式[J].牡丹教育学院学报, 2005 (3) .

[2]叶殷.用高等数学证明不等式的若干种方法[J].西昌学院学报, 2004 (4) .

空间向量方法解立体几何教案 第2篇

【空间向量基本定理】

例1.已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M、N分别为PC、PD上的点，且M分

数x、y、z的值。成定比2，N分PD成定比1，求满足的实

分析;结合图形，从向量

用、、出发，利用向量运算法则不断进行分解，直到全部向量都表示出来，即可求出x、y、z的值。

如图所示，取PC的中点E，连接NE，则

点评：选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的一项基本功，要结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量。再对照目标，将不符合目标要求的向量当作新的所需向量，如此继续下去，直到所有向量都符合目标要求为止，这就是向量的分解。有分解才有组合，组合是分解的表现形式。空间向量基本定理恰好说明，用空间三个不共面的向量组可以表示出空间任意一个向量，而且a,b,c的系数是惟一的。

【利用空间向量证明平行、垂直问题】

例2.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F。

（1）证明：PA//平面EDB；

（2）证明：PB⊥平面EFD；

（3）求二面角C—PB—D的大小。

点评：（1）证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量．

（2）证明线面平行的方法：

①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；

②证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线；

③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量．

（3）证明面面平行的方法：

①转化为线线平行、线面平行处理；

②证明这两个平面的法向量是共线向量．

（4）证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量互相垂直．

（5）证明线面垂直的方法：

①证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量；

②证明直线与平面内的两个不共线的向量互相垂直．（6）证明面面垂直的方法：

①转化为线线垂直、线面垂直处理；②证明两个平面的法向量互相垂直． 【用空间向量求空间角】

例3.正方形ABCD—中，E、F分别是

（1）异面直线AE与CF所成角的余弦值；（2）二面角C—AE—F的余弦值的大小。，的中点，求：

点评：（1）两条异面直线所成的角可以借助这两条直线的方向向量的夹角

求得，即。

（2）直线与平面所成的角主要可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角求得，即或

（3）二面角的大小可以通过该二面角的两个面的法向量的夹角求得，它等于两法向量的夹角或其补角。

【用空间向量求距离】

例4.长方体ABCD—中，AB=4，AD=6，段BC上，且|CP|=2，Q是DD1的中点，求：

（1）异面直线AM与PQ所成角的余弦值；（2）M到直线PQ的距离；（3）M到平面AB1P的距离。，M是A1C1的中点，P在线

本题用纯几何方法求解有一定难度，因此考虑建立空间直角坐标系，运用向量坐标法来解决。利用向量的模和夹角求空间的线段长和两直线的夹角，在新高考试题中已多次出现，但是利用向量的数量积来求空间的线与线之间的夹角和距离，线与面、面与面之间所成的角和距离还涉及不深，随着新教材的推广使用，这一系列问题必将成为高考命题的一个新的热点。现列出几类问题的解决方法。

（1）平面的法向量的求法：设，利用n与平面内的两个向量a，b垂直，其数量积为零，列出两个三元一次方程，联立后取其一组解。

（2）线面角的求法：设n是平面

向量，则直线与平面的一个法向量，AB是平面的斜线l的一个方向

所成角为则sin

（3）二面角的求法：①AB，CD分别是二面角面直线，则二面角的大小为。的两个面内与棱l垂直的异

②设分别是二面角的两个平面的法向量，则

就是二面角的平面角或其补角。

（4）异面直线间距离的求法：向量，又C、D分别是

是两条异面直线，n是。的公垂线段AB的方向

上的任意两点，则

（5）点面距离的求法：设n是平面平面的距离为。的法向量，AB是平面的一条斜线，则点B到

（6）线面距、面面距均可转化为点面距离再用（5）中方法求解。

练习：

12

1.若等边ABC的边长

为，平面内一点M满足CMCBCA，则

MAMB_________

2．在空间直角坐标系中，已知点A（1，0，2），B(1，-3，1)，点M在y轴上，且M到A与到B的距离相等，则M的坐标是________。3.（本小题满分12分）

如图，在五面体ABCDEF中，FA 平面ABCD, AD//BC//FE，ABAD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE=

AD 2

(I)求异面直线BF与DE所成的角的大小；(II)证明平面AMD平面CDE；（III）求二面角A-CD-E的余弦值。

4．（本题满分15分）如图，平面PAC平面ABC，ABC

是以AC为斜边的等腰直角三角形，E,F,O分别为PA，PB，AC的中点，AC16，PAPC10．

（I）设G是OC的中点，证明：FG//平面BOE；

（II）证明：在ABO内存在一点M，使FM平面BOE，并求点M到OA，OB的距离．

5.如图，四棱锥PABCD的底面是正方形，PD底面ABCD，点E在棱PB上.（Ⅰ）求证：平面AEC平面PDB；

（Ⅱ）当PD且E为PB的中点时，求AE与

用向量巧解空间距离 第3篇

1. 点到直线的距离

为直线AB的方向向量, i为直线l的单位方向向量, 则点B到直线L的距离。 (见图1)

例1:已知矩形ABCD的边长AB=6, AD=4, 在CD上截取CE=4, 以BE为棱, 将△BCE折起成△BC1E, 使△BC1E的高C1F⊥平面ABCD, 求C1到直线AB的距离。

解:以A为原点, 如图2建立坐标系。

则, 直线AB上的单位方向向量是i= (-1, 0, 0)

因此C1到直线AB的距离

2. 点到平面的距离

例2:正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a, 过AC作一梯形截面AMNC, 已知, 求顶点B到截面AMNC的距离。

解:以D为原点如图4建立坐标系。

则A (a, 0, 0) , B (a, a, 0) , C (0, a, 0) 此外, 设, 则M (a, λa, a)

设平面AMNC的法向量,

例3:在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中, M, N, F, E分别是棱A1B1, A1D1, B1C1, C1D1的中点, 求平面AMN与平面EFBD的距离。 (见图5)

分析:两个平行平面的距离可以转化为一个平面内的任意点到另一个平面的距离, 此题平面AMN与平面EFBD的距离可以转化点B到平面AMN的距离.

解得λ=2, u=-2, 所以

3. 异面直线间的距离

l1与l2是异面的直线, A, B分别是l1与l2上任意的点, 则l1与l2的距离是同时垂直于l1与l2的向量) 。 (见图6)

例4:已知矩形ABCD的边长AB=6, AD=4, 在CD上截取CE=4, 以BE为棱, 将△BCE折起成△BC1E, 使△BC1E的高C1F⊥平面ABCD, 求直线BC1与直线AD的距离。

解:如图7以A为原点, 建立如图直角坐标系:

设是同时垂直于直线BC1与直线AD的向量。

综上所述, 在立体几何中, 用向量法来求空间距离的问题, 按照建立坐标系, 确定点的定标, 计算法向量与方向向量, 代入公式计算四个步骤即可。

参考文献

[1].聂文喜, 周家山.点到平面距离的求解策略.数学通讯.2004.6

利用向量巧解二面角 第4篇

分析近两年的高考全国卷和地方卷, 发现立体几何的二面角是高考考查热点之一, 而这恰恰是立体几何学习中的一大难点, 解决这类问题, 如果用常规方法, 通常是先找“角”, 再证, 最后计算.但有些题目不易做出二面角的平面角, 如果应用法向量, 结合向量的坐标运算, 就能有效地解决这个难题.本文就以2008、2009年度高考题为例, 说明利用向量巧解二面角问题.

首先看几个基本方法.

一、法向量

(1) 直线的法向量:

在直线l上取一个定向量a, 即a是l的方向向量, 则与a垂直的非零向量n叫直线l的法向量.

(2) 平面的法向量:

与平面α垂直的非零向量n叫平面α的法向量.

(3) 用平面方程求解平面的法向量.大家知道, 任意一个三元一次方程:

AX+BY+CZ+D=0, (A2+B2+C2≠0) 都表示空间直角坐标系内的一个平面, 其中n= (A, B, C) 为其一个法向量.

事实上, 设点p0 (x0, y0, z0) 是平面上的一个定点,

n= (A, B, C) 为平面α的一个法向量.

设点p (x, y, z) 是平面α上任一点,

则总有$\stackrel{}{p{}_{0}p}\perp \mathit{n}‚\therefore \stackrel{}{p{}_{0}p}\cdot \mathit{n}=0$,

故 (A, B, C) (x-x0, y-y0, z-z0) =0.

即A (x-x0) +B (y-y0) +C (z-z0) =0. (1)

∴Ax+By+Cz-Ax0-By0-Cz0=0.

设D=-Ax0-By0-Cz0.

则 (1) 可化为Ax+By+Cz+D=0, (A2+B2+C2≠0) ,

即为点p的轨迹方程.

从而, 任意一个三元一次方程:AX+BY+CZ+D=0, (A2+B2+C2≠0) 都表示一个平面的方程, 其法向量为n= (A, B, C) , 故要求一个平面法向量, 只需求出表示此平面的一个方程即可.

二、向量法求解二面角

1.法向量法

构造二面角α-l-β的两个半平面α, β的法向量n1, n2, 一个取向内方向, 一个取向外方向, 则无论二面角α-l-β是“钝角形”, 还是“锐角形”总有:

$\cos \theta =\cos \langle \mathit{n}{}_1,\mathit{n}{}_2\rangle =\frac{\mathit{n}{}_1\cdot \mathit{n}{}_2}{|\mathit{n}{}_1|\cdot |\mathit{n}{}_2|}$. (如图1)

2.方向向量法

在二面角的棱l上确定两个点A, B, 过A, B分别在平面α, β内求出与l垂直的向量n1, n2 (如图2) .

则二面角α-l-β的大小等于向量n1, n2的夹角, 即

例 如图3, 在长方体ABCD-A1B1C1D1中, 已知AB=4, AD=3, AA1=2.E, F分别是AB, BC上的点, 且EB=FB=1.

(1) 求二面角C-DE-C1的正切值;

(2) 求直线EC1与FD1所成的角的余弦值.

解 (1) 以D为原点, $\stackrel{}{DA}‚\stackrel{}{DC}‚\stackrel{}{DD{}_1}$分别为x轴, y轴, z轴的正向建立空间直角坐标系, 则有D (0, 0, 0) , D1 (0, 0, 2) , C (0, 4, 0) , C1 (0, 4, 2) , E (3, 3, 0) , F (2, 4, 0) , C1 (0, 4, 2) .于是, $\stackrel{}{DE}=(3,3,0),\stackrel{}{EC{}_1}=(-3,1,2),\stackrel{}{FD{}_1}=(-2,-4,2).$

设向量n= (x, y, z) 与平面C1DE垂直, 则有

$\begin{array}{l}\begin{array}{l}\mathit{n}\perp \stackrel{}{DE}\\ \mathit{n}\perp \stackrel{}{EC{}_1}\end{array}\}\Rightarrow \begin{array}{l}3x+3y=0\\ -3x+y+2z=0\end{array}\}\Rightarrow x=-y=\frac{1}{2}z‚\\ \therefore \mathit{n}=\left(\frac{1}{2}z,-\frac{1}{2}z,z\right)=\frac{z}{2}(1,-1,2)‚\end{array}$

其中z>0. (方向向外)

取n0= (1, -1, 2) , 则

n0是一个与平面C1DE垂直的向量.

∵向量$\stackrel{}{DD{}_1}=(0,0,2)$ (方向向内) 与平面CDE垂直,

∴n0与$\stackrel{}{DD{}_1}$所成的角θ为二面角C-DE-C1的平面角.

$\begin{array}{l}\because \cos \theta =\frac{\mathit{n}{}_0\cdot \stackrel{}{DD{}_1}}{|\mathit{n}{}_0|\cdot |\stackrel{}{DD{}_1}|}\\ =\frac{10+(-1)0+22}{\sqrt{1{}^2+(-1){}^2+2{}^2}\sqrt{0{}^2+0{}^2+2{}^2}}=\frac{\sqrt{6}}{3}‚\\ \therefore \tan \theta =\frac{\sqrt{2}}{2}.\end{array}$

本题具有明显的“建系”特征, 在高考结束后, 本人询问了自己所任教班级的部分学生, 他们大多数能用向量法准确求解.在没用向量法的少数同学中, 他们连二面角的平面角或异面直线所成的角都作不出来.可见, 用空间向量处理立体几何中的角与距离问题, 可以降低立体几何的论证、推理难度.

巧设法向量妙解高考题 第5篇

平面法向量的设法:

1.当平面平行垂直于x轴时, 可取平面的一个法向量为n= (1, 0, 0) ;当平面垂直于y轴时可设平面的一个法向量为n= (0, 1, 0) ;当平面垂直于z轴时可设平面的一个法向量为n= (0, 0, 1) .如果图形中存在与平面垂直的线段, 则可取此线段向量为平面的法向量.

2.当平面平行于x轴或经过x轴时可设平面的一个法向量为n= (0, y, 1) ;当平面平行于y轴或经过y轴时可设平面的一个法向量为n= (x, 0, 1) ;当平面平行于z轴或经过z轴时可设平面的一个法向量为n= (x, 0, 1) .

3.当平面既不平行也不垂直于坐标轴时, 一般设平面的一个法向量为n= (x, y, 1) .

例1 (2012年全国卷大纲版18) .如图1, 四棱锥P-AB-CD中, 底面ABCD为菱形, PA⊥底面ABCD, , PA=2, E是PC上的一点, PE=2EC. (1) 证明:PC⊥平面BED; (2) 设二面角A-PB-C为90°, 求PD与平面PBC所成角的大小.

解:设AC∩BD=O, 以O为原点, OC为x轴, OD为y轴建立空间直角坐标系, 则设B (0, -a, 0) , D (0, a, 0) , E (x, 0, z) .

所以, 所以PC⊥平面BED.

例2如图2, 在Rt△ABC中, ∠C=90°, BC=3, AC=6, D, E分别是AC, AB上的点, 且DE∥BC, DE=2, 将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置, 使A1C⊥CD, 如图3. (Ⅰ) 若M是A1D的中点, 求CM与平面A1BE所成角的大小; (Ⅱ) 线段BC上是否存在点P, 使平面A1DP与平面A1BE垂直?说明理由.

解:如图4建系C-xyz, 则D (-2, 0, 0) , , B (0, 3, 0) , E (-2, 2, 0) .所以

设平面A1BE法向量为n= (x, y, 1) .则所以

所以CM与平面A1BE所成角的大小45°.

假设平面A1DP与平面A1BE垂直, 则n1n=0, 所以, a=-2, 因为0