鸿门宴知识点归纳整理

鸿门宴知识点归纳整理（精选6篇）

鸿门宴知识点归纳整理 第1篇

鸿门宴知识点归纳（完整）

帅本明整理

一、注音

旦日飨士卒(飨，xiǎng，用酒食款待)鲰(鲰，zōu，卑微，浅陋)生说（读

“shuì“劝告，劝诫）我曰奉卮酒为寿（卮zhī，酒器）戮(戮，lù联

合，一同)力瞋(瞋，chēn发怒时睁大眼睛)目目眦(眦，zì眼角)尽

裂按剑而跽(跽，jì，挺直上身，两腿跪着)彘(彘，zhì，猪)肩刀俎(俎，zǔ切肉用的砧板)

不胜杯杓（胜古读shēng，桮bēi，杓sháo，杓，同“勺”，酒器）

沛公欲王关中（王wàng,称王）沛公参乘（shèng）

奉卮酒为寿（祝酒）故遣将守关者（特意）

亡去不义（逃跑）沛公起如厕（到，往）

请往谓项伯（请允许我）礼不辞小让（辞：回避让：责备）旦日不可不蚤自来谢项王（谢罪）再拜献大王足下（献两次）

然不自意能先入关破秦（料想）

若入前为寿（你）

二、通假字

1.距①关，毋②内③诸侯。①距，通“拒”，把守。②毋，通“无”，不要。

③内，通“纳”，接纳，进入。

2.张良出，要项伯。要，通“邀”，邀请。

3.愿伯具言臣之不敢倍德也倍，通“背”，违背。

4.旦日不可不蚤自来谢项王蚤，通“早”，早些。

5.不者，若属皆且为所虏不，通“否”。

6.交戟之卫士欲止不内(内 通“纳”)

7.项王则受璧，置之坐上(坐 通“座”)

8.令将军与臣有卻。卻，通“隙”，隔阂，嫌怨。

9.秋豪不敢有所近。豪，通“毫”。

10.吾令人望其气„„成五采。采，通“彩”，颜色。

11.私见张良，具告以事。具，通“俱”，全部。

12.坐，通“座”，座位。①项王则受璧，置之坐上。②因击沛公

于坐

13.沛公之参乘樊哙者也。参，通“骖”，古时乘车。

14、沛公奉卮酒为寿(“奉”通“捧”)

三、词类活用

1.沛公军霸上。军，名词作动词，驻扎。

2.王，名词作动词，称王： ①沛公欲王关中。②秦地可尽王也。③先破秦入

咸阳者王之。

3.素善留侯张良。善，形容词作动词，友善、交好。

4.夜，名词作状语，在夜晚：①项伯乃夜驰之沛公军。②于是项

伯复夜去。

5.义，名词作动词，恪守信义。①亡去不义。②今人有大功而击

之，不义也。

6.项伯杀人，臣活之。活，使动用法，使„„活命。

7吾得兄事之。兄，名词作状语，像兄长一样。（事,名词用作动词1

侍奉）

8.沛公旦日从百余骑来见项王。从，使动用法，使„„跟从，率领。

9.范增数目项王。目，名词作动词，使眼色。(示意)

10.若入前为寿。前，名词作动词，上前。

11常以身翼蔽沛公。翼，名词作状语，像鸟张开翅膀一样。

12.交戟之卫士欲止不内。止，使动用法，使„„停止。（止：使„„停步，内：使„„进来）

13.头发上指。上，名词作状语，向上。

14.刑人如恐不胜。刑，名词作动词，以刀割刺，指施加肉刑。(惩罚)15从郦山下，道芷阳间行。①下，名词作动词，下来。②道，名词作动词，取道。

③间，动词作状语，小道，（抄小路）,表示动作的处所。

16.沛公已去，间至军中。间，动词作状语，从小路。

17拔剑撞而破之。破，使动用法，使„„破裂。

18.籍吏民，封府库。籍，名词作动词，登记。

19沛公今事有急。急，形容词作名词，危急的事。

20.此亡秦之续耳。续，动词作名词，后续者。

21.此其志不在小小，形容词用如名词，小的方面

22.项王、项伯东向坐．亚父南向坐东、南，名词作状语，向东、向南 23沛公左司马曹无伤言于项羽曰（言,名词用作动词告诉）24不可不语（语,名词用作动词告诉）25日夜望将军至(日夜,名词用状语,每日每夜)26 四人持剑盾步走(步,名词用状语,徒步)27从百余骑(从,动词使动用法 ,使„„跟从)28封闭宫室，还军霸上（还,动词使动用法使„„回去）29樊哙侧其盾以撞（侧, ,动词使动用法,使„„侧过来）30秋毫不敢有所近（近,形容词用作动词,接触，沾染）31君安与项伯有故（故,形容词用作名词,旧交情）

四、古今异义

1.沛公奉卮酒为寿，约为婚姻。古义：婚姻，古义儿女亲家，女方之父为婚，男方之父为姻。

今义：结婚的事，因结婚而产生的夫妻关系。

2.备他盗之出入与非常也。古义：意外的变故。今义：副词，很。

3.今人有大功而击之。古义：现在别人（指沛公）今义：现在的人，与古人相对。

4.而听细说。古义：小人的谗言。今义：详细说来。

5.沛公居山东时。古义：崤山以东。今义：山东省。

6.将军战河北，臣战河南。古义：黄河以北、以南。今义：分别指河北省和河南省。

7.如今人方为刀俎，我为鱼肉古义：鱼和肉，指被欺凌的对象今义：鱼的肉

8.沛公已去（古：离开；今：从自己一方到另一方）9.所以遣将守关者（古：之所以...是因为...今：表示因果关系的连词）10.沛公奉卮酒为寿（古：祝寿；今：岁数大）

五、句式解析

（1）判断句

①.用“„„也”表示判断

此天子气也。今人有大功而击之，不义也。

②.用“„„者，„„也”表示判断楚左尹项伯者，项羽季父也。

亚父者，范增也。

夺项王天下者必沛公也。

所以遣将守关者，备他盗之出入与非常也。沛公之参乘樊哙者也。

③.用“为”表示判断

吾令人望其气，皆为龙虎。

人方为刀俎，我为鱼肉。

④.无标记表示判断此亡秦之续耳。

2）倒装句

①.宾语前置

然不自意能先人关破秦

何辞为？

今日之事何如？

大王来何操？

沛公安在？

客何为者？

籍何以至此？

②.介词结构后置(状语后置)

沛公军霸上

沛公左司马曹无伤使人言于项羽曰

贪于财货

具告以事

长于臣

因击沛公于坐

具以沛公言报项王

得复见将军于此

（3）被动句

①.用“为所”“为„„所”表示被动

若属皆且为所虏。

吾属今为之虏矣。

②.无标记

珍宝尽有之。

（4）省略句

为(省介词宾语“之”)击破沛公军

则与（省介词宾语“之”）一生彘肩

旦日（省主语“你”）不可不蚤自来谢（省介词宾语“于”）项王

欲呼张良与（省介词宾语“之”）俱去，曰：“毋从（省介词宾语“之”）俱死也。”加彘肩(省略状语“于盾”)上

将军战（省介词宾语“于”）河北，臣战（省介词宾语“于”）河南

置之（省介词宾语“于”）坐上

六、固定结构

1、财物无所取，妇女无所幸

“„„无所„„，„„无所„„”，“„„没有被„„，„„没有被„„” 其中“无所”还可以换作“有所”。

2、孰与君少长

“„„孰与„„”，表选择问的句式，可译作“与„„比，哪一个„„”

3、何辞为

“何„„为”，表反问的句式，可译作“为什么„„呢”，“为”是语气词。

4、秋毫不敢有所近有所，有„ „的人（东西、事情）

5.为之奈何奈何，如何，怎样，表询问

6.籍何以至此何以，怎样

7.军中无以为乐无以，没有用来„ „的办法

8.今日之事何如何如，表询问，怎么样

9.项王未有以应有以，有用来„ „的办法

七、难句解析

1、沛公旦日从百余骑来见项王，至鸿门，谢曰：“臣与将军戮力而攻秦，将军战河北，臣战河南„„”

“旦日”即明日，“臣”是刘邦自谦的称呼，“戮”是联合，一同的意思，“河北”、“河南”指黄河北岸、黄河南岸。全句译为：沛公第二天一早就带着百多个骑兵来拜见项王，到达鸿门，赔不是说“臣仆跟将军合力同心攻打秦王朝，将军在黄河北岸作战，臣仆在黄河南岸作战。”

2、沛公则置车骑：脱身独骑，与樊哙、夏侯婴、靳强、纪信等四人持剑盾步走，从郦山下，道芷阳间行。

“置”，放弃。“车骑”指战车。“道”用作动词，取道。“间”可译作从小路或秘密地。全句译为：刘邦就丢下他的车马与随从人员，独自骑马与樊哙、夏侯婴、靳强、纪信等四人拿着剑及盾牌，快步离去。从骊山下，经过芷阳抄小路逃走。

3、臣请入，与之同命。

“之”可指沛公，也可代项庄，两种说法都成立。一般取前说，即“与沛公同命。”。全句译为：我请求进去，跟沛公同命运。

4、亚父受玉斗，置之地，拔剑撞而破之。

“撞”在现代汉语中是“运动着的物体跟别的物体猛然碰上”，在这句中“撞”作击刺讲。全句译为：亚父接了玉斗，放在地上，拔出剑来击破了它。

7、一词多义

如： 杀人如不能举，刑人如恐不胜(动词，好像)沛公起如厕(往，到„„去)“固不如也。”(比得上)

意： 今者项庄拔剑舞，其意常在沛公也(意图、意愿)然不自意能先入关破秦(料想)

举： 举所佩玉玦以示之者三(举起)杀人如不能举(全、尽)

谢： 旦日不可不蚤自来谢项王(道歉，动词)哙拜谢(感谢)乃令张良留谢(兼道歉和告辞义)

军①沛公军霸上(驻军，动词)②从此道至吾军(军营，名词)③为击破沛公军(军队，名词)

言①曹无伤使人言于项羽曰„„(说，动词)②具以沛公言报项王(话，名词)幸①妇女无所幸(封建君主对妻妾的宠爱叫“幸”)②故幸来告良(幸亏，副词)去①亡去不义(离开，动词)②相去四十里(距离，动词)

当①当是时(正当„„时候，介词)②料大王士卒足以当项王乎(对等，比得上)

故①君安与项伯有故(交情，形容词作名词)②故遣将守关者(特

意，副词)③故听之（所以，连词）

坐①项王、项伯东向坐(坐下，动词)②因击沛公于坐(座位，名词)从①张良是时从沛公(跟随，动词)②沛公旦日从百余骑来见项王

(带领，使„„跟着，动词)胜①刑人如恐不胜(尽，形容词)②沛公不胜杯杓(禁得起，动词)

击①为击破沛公车(动词，攻打)②因击沛公于坐(动词，刺杀)

内距关，毋内诸侯(“内”通“纳”，接纳)

辞卮酒安足辞（动词，推辞）今者出，未辞也，（动词，告别，辞别）

大礼不辞小让（动词，顾及）

2、虚词

为 ①客何为者(wéi，做，干，动词)②使子婴为相，珍宝尽有之(wéi，做，干，动词)

③窃为大王不取也(wéi，认为，动词)④为击破沛公军(wèi，替、给，介词)

⑤我为鱼肉(wéi，是，动词)⑥吾属今为之虏矣(wèi，被，介词)

⑦何辞为(wéi，句末语气词，表反问，可译为“呢”)

⑧沛公奉卮酒为寿，约为婚姻(第一个“为”，wèi，给，介词;第二个“为”，wéi，动词，成为)⑨军中无以为乐(wéi，动词，作为)⑩且为之奈何（wèi,对，动词）⑾吾令人望其气，皆为龙虎(wéi，是，动词)

⑿君为我呼入（wèi，替，介词）⒀谁为大王为此计者（wèi，给，介词；wéi，做，动词）因： ①因言曰：„„(趁机)②不如因善遇之(趁机，趁着)③因击沛公于坐(趁机)

④项王即日因留沛公与饮(于是、就)

以①具告以事(介词，把)②籍何以至此(介词，凭)③举所佩玉玦以示之者三(介词，拿)

④还军霸上，以待项王(表目的连词，来)且 ①臣死且不避，卮酒安足辞(副词，尚且)②若属皆且为所虏(副词，将要)③且为之奈何(副词，况且)

于 ①长于臣(介词，比)②沛公左司马曹无伤使人言于项羽曰(介词，对，向)③樊哙覆其盾于地(介词，在)

然 ①然不自意(然而，连词)②不然(这样，代词)③项王默然不应(„„的样子，形容词的词尾)——《鸿门宴》

之 ①珍宝尽有之——代珠宝 ②项伯乃夜驰之沛公军——到③为之奈何——代词，指这件事

④吾得兄事之——代词，指他⑤与之同命——代词，指沛公⑥沛公之参乘樊哙者也——结构助词，的⑦先破秦入咸阳者王之——代词，指关中

八、成语

1、项庄舞剑意在沛公

2、人为刀俎（zǔ），我为鱼肉

3、秋毫无犯

4、劳苦功高

5、大行不辞细谨，大礼不辞小让

九、虚词实词

(一)实词：

飨土卒(飨；犒劳)

夜驰之(之：到，往)

无所取(所取：所字结构，掠夺的东西)

从沛公(从：跟从)

亡去不义(亡：逃跑；义：符合道义)

料大王土卒足以当项王乎(料：估量：当：抵挡)

与臣游(游：交往)

籍吏民(籍：登记)

他盗之出入(出入：偏义夏词，进入)

具言(具：详细，完备)

若入前为寿(若：你；为寿：祝健康)

杀人如不能举(举；尽)

窃为大王不败也(窃；私下里)

坐须臾(须臾：片刻)

相去(去，距离)置车骑(置；放弃)

督过之(督过：责备)

留谢(谢：辞谢)

(二)虚词

固不如也(固：当然)

君安与项伯有故(安：怎么)

孰与君少长(孰与：与„„相比，哪一个更„„)

人有大功而击之(而：却)

因言曰(因：趁机)

今者有小人之言(者：助词，不译)

不然，籍何以至此(然：这样)

因留沛公与饮(因：于是)

以示之者三(三：多次)

因击沛公于坐(因，趁机)

若属皆且为所虏(若属：你们这些人)

十、一词多义

（一）为

人为刀姐，我为鱼肉动词，是，使子婴为相动词，做，担当，窃为大王不取也动词，认为，军中无以为乐动词，做

谁为大王为此计动词，出，制定，且为之奈何动词，对付，何辞为句末语气词，呢，为击破沛公军介词，替，给，（二）故

故听之连词，所以）

君安与项伯有故形容词，旧时，此指交情）

故遣将守关者副词，特意）

（三）辞

卮酒安足辞（推辞，不接受）未辞也（告辞，辞别）大礼不辞小让（讲究，计较）

（四）幸

妇女无所幸（宠幸）故幸来告良（幸好）

十一、重点翻译句

1.杀人如不能举，刑人如恐不胜。

2.所以遣将守关者，备他盗之出入与非常也。

3.吾入关，秋豪不敢有所近，籍吏民，封府库，而待将军。所以遣将守关者，备他盗之出入与非常也。日夜望将军至，岂敢反乎！愿伯具言臣之不敢倍德也。

十二、古代“座次”问题：

1、官职：古代以右为尊。“位在廉颇之右”

2、车骑：由以左为尊。“信陵君虚左以侯生”“坐定，公子从车骑，虚左”

3、室内：西为宾、长、贵；

东为主、幼、贱。

4、堂上座位：北为帝（尊），南为臣（卑）

左为贵，右为轻。

5、四面环坐：由尊到卑，依次排列。西——北——南——东

鸿门宴知识点归纳整理 第2篇

项伯具言臣下不敢倍德旦日不可不蚤自来谢项王令将军与臣有郤．距．关，毋内．

诸侯项王则受璧，置之坐．上不．

者，若属皆且为所虏

二、古今异义 1.沛公居山东时。

2.将军战河北，臣战河南。3.约为婚姻．．

4.备他盗之出入与非常．．

也。5.如今人方为刀俎，我为鱼肉．．。

三、常见实词虚词归类

如： 举以予人，如弃草芥

弟子不必不如师 沛公起如厕

公屡促之，必如约

杀人如不能举，刑人如恐不胜 如有离违，宜别图之

今肃可迎操耳，如将军不可也 坐： 秦王坐章台见相如

王曰：“何坐？”曰：“坐盗。” 律谓武曰：“副有罪，当相坐。” 来归相怨怒，但坐观罗敷 举：杀人如不能举

举所佩玉珏以示之者三 举大计亦死

意：今者项庄拔剑舞，其意常在沛公也

然不自意能先入关破秦 久之，目似瞑，意暇甚 置： 项王则受璧，置之坐上

沛公则置车骑，脱身独骑 内外多置小门，墙往往而是 客至未尝不置酒 郑人有且置履者 置园邑三百家 谨：大行不顾细谨

张良曰：“谨诺。” 谨使臣良奉白璧一双 谢： 哙拜谢，起，立而饮之

旦日不可不蚤自来谢项王 乃令张良留谢 使君谢罗敷：“宁可共载不？” 胜： 沛公不胜杯杓，不能辞

①刑人如恐不胜②不违农时，谷不可胜食也秦王竟酒，终不能加胜于赵 此所谓战胜于朝廷

予观夫巴陵胜状，在洞庭一湖 十旬休假，胜友如云以其乃华山之阳名之也

乃：今其智乃反不能及，何也

良乃入，具告沛公

于是为长安君约车百乘，质于齐，兵乃出 且：穷且益坚，不坠青云之志

北山愚公者，年且九十 存者且偷生，死者长已矣 不者，若属皆且为所虏 臣死且不避，卮酒安足辞 者：为国者，无使为积威之所劫哉

谁为大王为此计者

今者项庄拔剑舞，其意常在沛公也 亚父者，范增也 或异二者之为，何哉 何：而此独以钟名，何哉

水何澹澹 豫州今欲何至 不然，籍何以至此 徐公何能及君也 为：使子婴为相

为击破沛公军 约为婚姻

窃为大王不取也 客何为者？ 人为刀俎 何辞为？

吾属今为之虏矣

以：具以沛公言报项王

军中无以为乐 樊哙侧其盾以撞 以待大王来

因：因击沛公于坐

不如因善与之

项王即日因留沛公与饮

四、词类活用 1.此其志不在小 2.项伯杀人，臣活之

3．沛公旦日从百余骑来见项王 4．交戟之卫士欲止不内 5．沛公军霸上 6．沛公欲王关中 7．籍吏民，封府库 8．刑人如恐不胜 9．道芷阳间行 10．吾得兄事之 11．常以身翼蔽沛公

五、特殊句式

1、楚左尹项伯者，项羽季父也

2、此亡秦之续耳

3、大王来何操

4、沛公安在？

5、不者，若属皆且为所．．虏

6、吾属今为．

小学数学知识点的归纳与反思 第3篇

一至三年级数的认识, 在现实生活中理解万以内的数的意义, 能认读写万以内的数, 能用数表示物体的个数或事物的顺序和位置, 理解>、<和=的含义, 在生活情境中感受大数的意义, 结合具体情境, 体会整数四则运算的意义, 口算20以内的加减法和表内乘除法。

在一至三年级的教学中, 我觉得关键是实物的认识感官, 那个物体是什么就是什么。比如一个物体是什么, 我用物体模具, 一看就知到了, 在具体的书写过程中, 我用生活中的实物做比喻, 一就是一竖杠, 二就是镰刀加一横把……物体正面图, 反面图, 侧面图, 上面图, 我都是拿具体实物让同学自己看和做。在这个过程中, 我一方面拿教具, 一方面自己制作我们生活中的物体, 让他们感知, 并且留一定的时间让他们体会玩耍, 这就是让数学到我们具体生活中去。数学是生活, 不是抽象的数字。首先拿学校配发的教具, 比如2+2=4, 先是数棍子;然后是我自己制作的教具, 再把他们带到我们生活中去, 自己表演, 互相表演。我自始自终都把数学看做一门生活, 让同学们觉得上课就是玩耍。

四至六年级主要的知识点是:在具体情境中, 认识万以上的数, 了解“十进制”计数法, 会用万、亿为单位表示大数, 结合实景感受大数的意义, 并会估计2, 3, 5的倍数的特征;在1~100的自然数中, 能找出10以内自然数的所有倍数, 能找出10以内两个自然数的公倍数和最小公倍数, 了解公因数和最大公因数;在1~100的自然数中, 能找出一个自然数的所有因数, 能找出两个自然数的公因数和最大公因数, 了解自然数、整数、奇数、偶数、质数和合数;结合具体情境, 理解小数和分数的意义, 理解百分数的意义, 会进行小数、分数和百分数的转化, 能比较小数的大小和分数的大小;在具体的数的运算中, 能计算三位数乘两位数的乘法, 三位数除以两位数的除法;认识中括号, 能进行简单的整数四则混合运算 (一两步为主, 不超过三步) ;探索并了解运算律 (加法的交换律和结合律、乘法的交换律和结合律、乘法对加法的分配律) , 会应用运算律进行一些简便运算;在具体的数的运算和简单实际问题的过程中, 体会加与减、乘与除的互逆关系;能进行简单的小数和分数 (不含带分数) 的加减乘除及混合运算 (一两步为主, 不超过三步) ;能解决小数、百分数、分数的简单实际问题;在具体情境中, 了解常见的数量关系:总价=单价×数量, 路程=速度×时间, 并能解决简单的问题, 在运算中还会估算, 会运计算器;在具体的情境中会用字母表示数, 理解正反比例。

图形与几何, 了解线段、射线和直线, 体会“两点之间, 直线最短”, 周角、平角、钝角、直角锐角之间的大小关系, 结合生活情境了解平面上两条直线的平行和相交;会画平行四边形、梯形和圆、扇形、三角形, 它们之间的关系;会画长方体、正方体、圆柱和圆锥并会画他们的平面图, 在不同方向 (前面、侧面、上面) 能辨认物体的形状。能运用工具量角度、面积、体积, 知道它们的单位, 在水平方格纸上会平移、旋转, 按比例缩放和扩大, 会按比例换算;会根据实际问题收集数据, 整理、描述和分析数据, 认识条形统计图、扇形统计图和折线统计图, 并会用它们表示数据, 会做出简单的判断和预测。

不管怎样, 我在教学中都是制作教具, 把一个很复杂的算式用具体的实物表示出来, 让每一个学生都亲手摸一摸, 感悟数学就是生活。把课本上的例题变为我的生活圈中的实物, 并制作小模具, 倍数、因数也制作成卡片并配以实物, 学生在学用的过程中就进入了生活, 简单明了。不管是怎样的计算题我都制作成生活中的物体, 能亲手摸和亲手挪动。在图形这一部分, 我都是制作了我们生活中的很多食物教具, 能亲手摸、亲手移动, 这样在玩耍中学习与推理, 掌握知识。

鸿门宴知识点归纳整理 第4篇

[关键词]资源 归纳与整理 思维能力

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2016）20-074

在数学教学中引导学生积极参与学习资源开发，能够凸显个性化学习的功效，还能开阔学生数学眼界，促使学生的学习习惯和数学学习能力有效的提升。

一、重视学情分析，提高研究参与率

学习中的归纳与整理不是空中楼阁，而是紧紧依托学生的认知积累、数学活动经验积累以及学习技能积累等层面。因此，努力开发课前学情分析资源，就成为教师施教的必备课。

一方面要科学地分析每一个学生的学情。如六年级上册的“整理与复习”教学前，就得把学生的实际状况理一理。对“长方体和正方体”这个知识点，首先得分析学生的总体状况；其次，把那些不能正确理解表面积构造的学生以及不能灵活地运用知识分析问题、解决问题的学生罗列出来；最后，科学引领，设计必要的整理复习活动，让学生在整理复习中进一步理解这些知识要点。

另一方面针对学情科学施教。同样是上述的课题，教师在课前对学情进行全面分析之后，可以安排活动：一是用学具中的材料组拼成长方体，促使学生在动手中再度认识长方体的顶点、棱、面等特征，在做中明白6个面可能都是长方形，也可能是2个正方形和4个长方形，明白12条棱分为长、宽、高3组，每组有4条。二是给物体表面糊彩纸的活动，让学生在糊纸的活动中把握侧面、底面等定义，为表面积求解提供更为坚实的基础。

再则，采取“笨鸟先飞”的策略，让学困生先动起来。如，在上述课题中，就可以先把第二天将要复习的内容提前告知学困生，罗列复习的基本要点，让他们明确要复习好“长方体和正方体”就得通过具体的实物感知长方体棱的特征、边的特征和面的特征，进一步理解表面的构成，复习长方体、正方体的表面积和体积计算方法。这样的安排和设置，能帮助这部分学生进行主动且有效的“归纳与整理”活动。

针对学情的复习教学，既能帮助学习不够完善的学生进行再认识，再消化，又能让更多的学生在活动中获得较大的提升。

二、建立互动机制，拓展研究新渠道

合作能力是现代人的基本能力之一。“归纳与整理”对小学生来说难度较大，故而引导他们进行合作探究，会使学习中的困难在互助学习中得以突破。

如，在六年级上册关于“百分数”的整理与复习中，首先安排小组成员交流自己对百分数的认识。交流能促进整理层次的提升，不同学生的归纳能促进学生总结能力的发展。其次，安排学生汇报自己整理复习时遇到的困难。有的学生提出他不懂的题目：“某大酒店一个季度的平均营业额是800万元，按照规定要缴纳5%的营业税，还要缴纳营业税的7%作为城市建设维护费。一年一共纳税多少万元？”这时，教师就可以组织学生进行互助研究学习。最终，学生会在交流中理清脉络：800万元是一个季度，但求的是一年，这是个容易错的地方。营业税是营业额的5%，而城市建设维护费是营业税的7%，所以要先算出营业税，再算出营业税的7%。一共纳税多少是指这两部分的和。

从中可以看出，互助学习不仅能帮助学生有效地进行思考和研究，更能促进学生的学习反思。同时，互助学习还能拓宽学生的学习视野，使学生进行必要的整理与归纳，总结学习方法。

三、提供展评机会，鼓励研究个性化

学习没有终点，复习课也不是知识整理的结束，复习的目的旨在让学生在整理中学会梳理，在练习中提升感悟，在感悟中学会总结。

如，在“长方体和正方体”复习整理结束时，设计再学习活动：结合自己对本单元知识的整理与复习，把归纳与整理中的心得体会写成数学小论文，或制作成数学小报，或写一写数学日记，或编写一份单元检测试题。

不同形式的要求，都能促使学生对本单元知识进行再梳理、再思考，也会让学生在动手实践中进一步完善原有的知识网络，学会复习整理的方法。例如一个学生关于“长方体正方体展开图”的个性总结：“展开图都有6个面，样子比较多，也看得很清楚。我想到一个好方法来记一记：前后不会在一起，左右不会拼在一块，上下各在一边。”

通过这则数学小日记，可以看到，学生学会了总结梳理自己的所学所思，也在学习创造，学着把自己的感悟写成文字。尽管有不够成熟的地方，但教师应在学生的活动成果中感受到学生的付出，并加以鼓励，那么学生的数学学习必定会充满信心，充满活力。

教师要重视“归纳与整理”的引领，也要关注“归纳与整理”的外延拓展，把课外的资源与数学教材等内容有机串联起来，使数学学习在快乐中走向深入。

高三物理知识点整理归纳 第5篇

高三物理知识点整理1

一、牛顿第一定律(惯性定律)：一切物体总保持匀速直线运动状态或静止状态，直到有外力迫使它改变这种做状态为止。

1、只有当物体所受合外力为零时，物体才能处于静止或匀速直线运动状态;

2、力是该变物体速度的原因;

3、力是改变物体运动状态的原因(物体的速度不变，其运动状态就不变)

4、力是产生加速度的原因;

二、惯性：物体保持匀速直线运动或静止状态的性质叫惯性。

1、一切物体都有惯性;

2、惯性的大小由物体的质量决定;

3、惯性是描述物体运动状态改变难易的物理量;

三、牛顿第二定律：物体的加速度跟所受的合外力成正比，跟物体的质量成反比，加速度的方向跟物体所受合外力的方向相同。

1、数学表达式：a=F合/m;

2、加速度随力的产生而产生、变化而变化、消失而消失;

3、当物体所受力的方向和运动方向一致时，物体加速;当物体所受力的方向和运动方向相反时，物体减速。

4、力的单位牛顿的定义：使质量为1kg的物体产生1m/s2加速度的力，叫1N;

四、牛顿第三定律：物体间的作用力和反作用总是等大、反向、作用在同一条直线上的;

1、作用力和反作用力同时产生、同时变化、同时消失;

2、作用力和反作用力与平衡力的根本区别是作用力和反作用力作用在两个相互作用的物体上，平衡力作用在同一物体上。

高三物理知识点整理2

1.电压瞬时值e=Emsinωt电流瞬时值i=Imsinωt;(ω=2πf)

2.电动势峰值Em=nBSω=2BLv电流峰值(纯电阻电路中)Im=Em/R总

3.正(余)弦式交变电流有效值：E=Em/(2)1/2;U=Um/(2)1/2;I=Im/(2)1/2

4.理想变压器原副线圈中的电压与电流及功率关系

U1/U2=n1/n2;I1/I2=n2/n2;P入=P出

5.在远距离输电中,采用高压输送电能可以减少电能在输电线上的损失:P损′=(P/U)2R;(P损′:输电线上损失的功率，P:输送电能的总功率，U:输送电压，R:输电线电阻)〔见第二册P198〕;

6.公式1、2、3、4中物理量及单位：ω:角频率(rad/s);t:时间(s);n:线圈匝数;B:磁感强度(T);

S:线圈的面积(m2);U:(输出)电压(V);I:电流强度(A);P:功率(W)。

注:

(1)交变电流的变化频率与发电机中线圈的转动的频率相同即:ω电=ω线，f电=f线;

(2)发电机中,线圈在中性面位置磁通量,感应电动势为零,过中性面电流方向就改变;

(3)有效值是根据电流热效应定义的,没有特别说明的交流数值都指有效值;

(4)理想变压器的匝数比一定时,输出电压由输入电压决定,输入电流由输出电流决定，输入功率等于输出功率,当负载的消耗的功率增大时输入功率也增大，即P出决定P入;

高三物理知识点整理3

力学的基本规律之：匀变速直线运动的基本规律(12个方程);

三力共点平衡的特点;

牛顿运动定律(牛顿第一、第二、第三定律);

力学的基本规律之：万有引力定律;

天体运动的基本规律(行星、人造地球卫星、万有引力完全充当向心力、近地极地同步三颗特殊卫星、变轨问题);

力学的基本规律之：动量定理与动能定理(力与物体速度变化的关系—冲量与动量变化的关系—功与能量变化的关系);

动量守恒定律(四类守恒条件、方程、应用过程);

功能基本关系(功是能量转化的量度)

力学的基本规律之：重力做功与重力势能变化的关系(重力、分子力、电场力、引力做功的特点);

功能原理(非重力做功与物体机械能变化之间的关系);

力学的基本规律之：机械能守恒定律(守恒条件、方程、应用步骤);

简谐运动的基本规律(两个理想化模型一次全振动四个过程五个物理量、简谐运动的对称性、单摆的振动周期公式);简谐运动的图像应用;

简谐波的传播特点;波长、波速、周期的关系;简谐波的图像应用。

高三物理知识点整理4

1.α粒子散射试验结果

(a)大多数的α粒子不发生偏转;

(b)少数α粒子发生了较大角度的偏转;

(c)极少数α粒子出现大角度的偏转(甚至反弹回来)

2.原子核的大小：10-15～10-14m，原子的半径约10-10m(原子的核式结构)

3.光子的发射与吸收：原子发生定态跃迁时,要辐射(或吸收)一定频率的光子:hν=E初-E末{能级跃迁｝

4.原子核的组成：质子和中子(统称为核子)，{A=质量数=质子数+中子数，Z=电荷数=质子数=核外电子数=原子序数〔见第三册P63〕｝

5.天然放射现象：α射线(α粒子是氦原子核)、β射线(高速运动的电子流)、γ射线(波长极短的电磁波)、α衰变与β衰变、半衰期(有半数以上的原子核发生了衰变所用的时间)。γ射线是伴随α射线和β射线产生的〔见第三册P64〕

6.爱因斯坦的质能方程:E=mc2{E:能量(J)，m:质量(Kg)，c:光在真空中的速度｝

7.核能的计算ΔE=Δmc2{当Δm的单位用kg时，ΔE的单位为J;当Δm用原子质量单位u时，算出的ΔE单位为uc2;1uc2=931.5MeV｝〔见第三册P72〕。

注：

(1)常见的核反应方程(重核裂变、轻核聚变等核反应方程)要求掌握;

(2)熟记常见粒子的质量数和电荷数;

(3)质量数和电荷数守恒,依据实验事实,是正确书写核反应方程的关键;

(4)其它相关内容:氢原子的能级结构〔见第三册P49〕/氢原子的电子云〔见第三册P53〕/放射性同位数及其应用、放射性污染和防护〔见第三册P69〕/重核裂变、链式反应、链式反应的条件、核反应堆〔见第三册P73〕/轻核聚变、可控热核反应〔见第三册P77〕/人类对物质结构的认识。

高三物理知识点整理5

1.水的密度：ρ水=1.0×103kg/m3=1g/cm3

2.1m3水的质量是1t,1cm3水的质量是1g。

3.利用天平测量质量时应“左物右码”。

4.同种物质的密度还和状态有关(水和冰同种物质，状态不同，密度不同)。

5.增大压强的方法：

①增大压力

②减小受力面积

6.液体的密度越大，深度越深液体内部压强越大。

7.连通器两侧液面相平的条件：

①同一液体

②液体静止

8.利用连通器原理：(船闸、茶壶、回水管、水位计、自动饮水器、过水涵洞等)。

9.大气压现象：(用吸管吸汽水、覆杯试验、钢笔吸水、抽水机等)。

10.马德保半球试验证明了大气压强的存在，托里拆利试验证明了大气压强的值。

11.浮力产生的原因：液体对物体向上和向下压力的合力。

12.物体在液体中的三种状态：漂浮、悬浮、沉底。

13.物体在漂浮和悬浮状态下：浮力=重力

14.物体在悬浮和沉底状态下：V排=V物

15.阿基米德原理F浮=G排也适用于气体(浮力的计算公式：F浮=ρ气gV排也适用于气体)

《线性代数》知识点归纳整理 第6篇

归纳整理

学生

编

01、余子式与代数余子式

02、主对角线

03、转置行列式

04、行列式的性质

05、计算行列式

06、矩阵中未写出的元素

07、几类特殊的方阵

08、矩阵的运算规则

09、矩阵多项式

10、对称矩阵

11、矩阵的分块

12、矩阵的初等变换

13、矩阵等价

14、初等矩阵

15、行阶梯形矩阵

与

行最简形矩阵

16、逆矩阵

17、充分性与必要性的证明题

18、伴随矩阵

19、矩阵的标准形：

20、矩阵的秩：

21、矩阵的秩的一些定理、推论

22、线性方程组概念

23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组（不含向量）

24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念

25、线性方程组的向量形式

26、线性相关

与

线性无关的概念

27、向量个数大于向量维数的向量组

必然线性相关

28、线性相关、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩

这三者的关系及其例题

29、线性表示

与

线性组合的概念

30、线性表示；非齐次线性方程组的解；矩阵的秩

这三者的关系其例题

31、线性相关（无关）与线性表示的3个定理

32、最大线性无关组与向量组的秩

33、线性方程组解的结构

01、余子式与代数余子式

（1）设三阶行列式D＝，则

①元素，的余子式分别为：M11＝，M12＝，M13＝

对M11的解释：划掉第1行、第1列，剩下的就是一个二阶行列式，这个

行列式即元素的余子式M11。其他元素的余子式以此类推。

②元素，的代数余子式分别为：A11＝(－1)1＋1M11，A12＝(－1)1＋2M12，A13＝(－1)1＋3M13

.对Aij的解释（i表示第i行，j表示第j列）：Aij＝(－1)i＋j

M

ij

.（N阶行列式以此类推）

（2）填空题求余子式和代数余子式时，最好写原式。比如说，作业P1第1题：

M31＝，A31＝(-1)3+1

（3）例题：课本P8、课本P21-27、作业P1第1题、作业P1第3题

02、主对角线

一个n阶方阵的主对角线，是所有第k行第k列元素的全体，k=1,2,3…

n，即从左上到右下的一条斜线。与之相对应的称为副对角线或次对角线，即从右上到左下的一条斜线。

03、转置行列式

即元素与元素的位置对调（i表示第i行，j表示第j列），比如说，与的位置对调、与的位置对调。

04、行列式的性质

详见课本P5-8（性质1.1.1~

1.1.7）

其中，性质1.1.7可以归纳为这个：

＋＋

…

＋

（i表示第i行，k表示第k列）

熟练掌握行列式的性质，可以迅速的简化行列式，方便计算。

例题：作业P1第2题

05、计算行列式

（1）计算二阶行列式：

①方法（首选）：＝（即，左上角×右下角－右上角×左下角）

②方法：＝＝

例题：课本P14

（2）计算三阶行列式：

＝＝(－1)1＋1M11

＋(－1)1＋2M12

＋(－1)1＋3M13

N阶行列式的计算以此类推。通常先利用行列式的性质对行列式进行转化，0元素较多时方便计算.（r是row，即行。c是column，即列）

例题：课本P5、课本P9、课本P14、作业P1第4题、作业P2第3小题

（3）n阶上三角行列式（0元素全在左下角）与n阶下三角行列式（0元素全在右上角）：

D＝…（主对角线上元素的乘积）

例题：课本P10、作业P3第4小题

有的题可以通过“从第二行起，将各行的元素对应加到第一行”转化成上三角行列式

例题：课本P11

（4）范德蒙行列式：详见课本P12-13

（5）有的题可以通过“从第二行起，将各行的元素对应加到第一行”提取出“公因式”，得到

元素全为1的一行，方便化简行列式。

例题：作业P2第1小题、作业P2第2小题

06、矩阵中未写出的元素

课本P48下面有注明，矩阵中未写出的元素都为007、几类特殊的方阵

详见课本P30-32

（1）上（下）三角矩阵：类似上（下）三角行列式

（2）对角矩阵：除了主对角线上的元素外，其他元素都为0

（3）数量矩阵：主对角线上的元素都相同

（4）零矩阵：所有元素都为0，记作O

（5）单位矩阵：主对角线上的元素都为1，其他元素全为0，记作E或En

（其行列式的值为1）

08、矩阵的运算规则

（1）矩阵的加法（同型的矩阵才能相加减，同型，即矩阵A的行数与矩阵B的行数相同；

矩阵A的列数与矩阵B的列数也相同）：

①课本P32“A＋B”、“A－B”

②加法交换律：A＋B＝B＋A

③加法结合律：A＋（B＋C）＝（A＋B）＋C

（2）矩阵的乘法（基本规则详见课本P34阴影）：

①数与矩阵的乘法：

I.课本P33“kA”

II.＝kn（因为k只等于用数k乘以矩阵A的一行或一列后得到的矩阵的行列式）

②同阶矩阵相乘（高中理科数学选修矩阵基础）：

×＝

描述：令左边的矩阵为①，令右边的矩阵为②，令计算得到的矩阵为，则

A的值为：①中第1行的每个元素分别乘以②中第1列的每个元素，并将它们相加。

即A＝×＋×

B的值为：①中第1行的每个元素分别乘以②中第2列的每个元素，并将它们相加。

即B＝×＋×

C的值为：①中第2行的每个元素分别乘以②中第1列的每个元素，并将它们相加。

即C＝×＋×

D的值为：①中第2行的每个元素分别乘以②中第2列的每个元素，并将它们相加。

即D＝×＋×.×＝

描述：令左边的矩阵为①，令右边的矩阵为②，令计算得到的矩阵为，则

A的值为：①中第1行的每个元素分别乘以②中第1列的每个元素，并将它们相加。

即A＝×＋×＋×

B、C、D、E、F、G、H、I的值的求法与A类似。

③数乘结合律：k（lA）＝（kl）A，（kA）B＝A（kB）＝k（AB）

④数乘分配律：（k＋l）A＝kA＋lA，k（A＋B）＝kA＋kB

⑤乘法结合律：（AB）C＝A（BC）

⑥乘法分配律：A（B＋C）＝AB＋AC，（A＋B）C＝AC＋BC

⑦需注意的：

I.课本P34例题两个不等于零的矩阵的乘积可以是零矩阵

II.课本P34例题数乘的消去律、交换律不成立

III.一般来讲，（AB）k

≠

A

k

B

k，因为矩阵乘法不满足交换律

IV.课本P40习题第2题：（A＋B）2不一定等于A2＋2AB＋B2，（A＋B）2不一定等于A2＋2AB＋B2，（A＋B）（A－B）不一定等于A2－B2

.当AB＝BA时，以上三个等式均成立

（3）矩阵的转置运算规律：

①

(AT)T＝A

②

(A±B)T＝A

T±B

T

③

(kA)T＝kAT

④

(AB)T＝B

TAT

⑤

(ABC)T＝CTB

TAT

⑥

(ABCD)T＝DTCTB

TAT

（4）同阶方阵相乘所得的方阵的行列式等于两个方阵的行列式的乘积：（详见课本P46）

＝

（5）例题：课本P35、课本P36-37、课本P40第4大题、课本P40第5大题、课本P51第1

大题、课本P51第4大题、课本P60第4大题、作业P5全部、作业P5第3大题、作业

P5第4大题

09、矩阵多项式

详见课本P3610、对称矩阵

（1）对称矩阵、实对称矩阵、反对称矩阵的概念（详见课本P37）

（2）①同阶对称（反对称）矩阵的和、差仍是对称（反对称）矩阵

②数

与

对称（反对称）矩阵的乘积仍是对称（反对称）矩阵

③对称（反对称）矩阵的乘积不一定是对称（反对称）矩阵

11、矩阵的分块

线代老师说这部分的内容做了解即可。

详见课本P38-4012、矩阵的初等变换

三种行变换与三种列变换：详见课本P

例题：作业P6全部

13、矩阵等价

若矩阵A经过若干次初等变换后变成矩阵B，则称矩阵A与矩阵B等价，记为AB14、初等矩阵

（1）是由单位矩阵经由一次初等变换而得到的矩阵。详见课本P48-49

（2）设A为m×n矩阵，则对A施行一次初等行变换相当于在A的左边乘上一个相应的m阶初等矩阵；A施行一次初等列变换相当于在A的右边乘上一个相应的n阶初等矩阵.详见课本P50-51

（3）课本P51第3大题

15、行阶梯形矩阵

与

行最简形矩阵

（1）对任意一个非零矩阵，都可以通过若干次初等行变换（或对换列）化为行阶梯型矩阵

（2）行阶梯形矩阵与行最简形矩阵：

若在矩阵中可画出一条阶梯线，线的下方全为0，每个台阶只有一行（台阶数即是非零行的行数），阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元素，也就是非零行的第一个非零元素，则称该矩阵为行阶梯矩阵。在此基础上，若非零行的第一个非零元素为都为1，且这些非零元素所在的列的其他元素都为0，则称该矩阵为行最简形矩阵。例题：课本P45、作业P6全部、课本P51第2大题

16、逆矩阵

（1）设A为n阶方阵，如果存在n阶方阵B，使得AB＝BA＝E，则称方阵A是可逆的，并称B为A的逆矩阵.（由逆矩阵的定义可知，非方阵的矩阵不存在逆矩阵）

（2）如果方阵A可逆，则A的逆矩阵是唯一的，并将A的逆矩阵记作A－1，AA－1＝E

（3）n阶方阵A可逆的充要条件为≠0，并且，当A可逆时，A－1＝

（证明详见课本P54）

例题：课本P59第1大题

（4）可逆矩阵也称为非奇异方阵（否则称为奇异方阵）

（5）性质：设A，B都是n阶的可逆方阵，常数k≠0，那么

①

(A－1)－1＝A

②

AT也可逆，并且(AT)-1＝(A-1)T

③

kA也可逆，并且

(kA)-1＝A-1

④

AB也可逆，并且(AB)

-1＝B-1A-1

⑤

A＋B不一定可逆，而且即使A＋B可逆，一般(A＋B)-1≠A-1＋B-1

⑥

AA-1＝E

AA-1＝E＝1

AA-1＝1

A-1＝

例题：课本P58例2.3.7、作业P7第1题

（6）分块对角矩阵的可逆性：课本P57

（7）由方阵等式求逆矩阵：课本P58例2.3.6

（8）单位矩阵、所有初等矩阵都是可逆的（初等矩阵是由单位矩阵经由一次初等变换而得到的，即初等矩阵可以通过初等变换再变回单位矩阵，而单位矩阵的行列式=1≠0可逆，所

以初等矩阵可逆）

（9）初等矩阵的逆矩阵也是初等矩阵

（10）任一可逆方阵都可以通过若干次初等行变换化成单位矩阵

（11）方阵A可逆的充要条件是：A可以表示为若干个初等矩阵的乘积（证明：课本P67）

（12）利用初等行变换求逆矩阵：A-1（例题：课本P68、课本P71）

（13）形如AX＝B的矩阵方程，当方阵A可逆时，有A-1

AX＝A-1B，即X＝A-1B.此时有：

矩阵方程的例题：课本P35、课本P69、课本P41第6大题、课本P56、课本P58、课本P59第3大题、课本P60第5大题、课本P60第7大题、课本P71第3大题

矩阵方程计算中易犯的错误：课本P56“注意不能写成……”

17、充分性与必要性的证明题

（1）必要性：由结论推出条件

（2）充分性：由条件推出结论

例题：课本P41第8大题、作业P5第5大题

18、伴随矩阵

（1）定义：课本P52

定义2.3.2

（2）设A为n阶方阵（n≥2），则AA*＝A*A＝En（证明详见课本P53-54）

（3）性质：（注意伴随矩阵是方阵）

①

A*＝A－1

②

(kA)*

＝

·(kA)-1

＝

k

n·A-1

＝

k

n

·A-1

＝

k

n-1A*（k≠0）

③

|A*|

＝

|

A－1

|

＝n·|

A－1|

＝

n·（因为存在A－1，所以≠0）＝

n-1

④

(A*)*

＝

(A－1)*

＝

|

A－1

|·(A－1)－1

＝

n

|

A－1|·(A－1)－1

＝

n·A

＝

n-2A

（因为AA－1

＝

E，所以A－1的逆矩阵是A，即(A－1)－1）

⑤

(AB)

*＝B*A*

⑥

(A*)-1＝(A-1)

*＝

（4）例题：课本P53、课本P55、课本P58、课本P60第6大题、作业P7第2题、作业P8全部

19、矩阵的标准形：

（1）定义：课本P61-62

（2）任何一个非零矩阵都可以通过若干次初等变换化成标准形

20、矩阵的秩：

（1）定义：课本P63

（2）性质：设A是m×n的矩阵，B是p×q的矩阵，则

①

若k是非零数，则R

(kA)＝R

(A)

②

R

(A)＝R

(AT)

③

等价矩阵有相同的秩，即若AB，则R

(A)＝R

(B)

④

0≤R

(Am×n)≤min

⑤

R

(AB)≤min

⑥

设A与B都是m×n矩阵，则R

(A＋B)≤R

(A)＋R

(B)

（3）n阶方阵A可逆的充要条件是：A的秩等于其阶数，即R

(A)＝n

（4）方阵A可逆的充要条件是：A可以表示为若干个初等矩阵的乘积。（证明：P67）

（5）

设A是m×n矩阵，P、Q分别是m阶与n阶可逆方阵，则R

(A)＝R

(PA)＝R

(AQ)＝R

(PAQ)

（6）例题：课本P64、课本P66、课本P71、作业P7第3题、作业P9全部

21、矩阵的秩的一些定理、推论

线代老师说这部分的内容做了解即可。详见课本P7022、线性方程组概念

线性方程组是各个方程关于未知量均为一次的方程组。

线性方程组经过初等变换后不改变方程组的解。

23、齐次线性方程组与非齐次线性方程组（不含向量）

（1）定义：课本P81

（2）方程组的解集、方程组的通解、同解方程组：课本P81

（3）系数矩阵A、增广矩阵、矩阵式方程：课本P82

（4）矛盾方程组（方程组无解）：课本P85例题

（5）增广矩阵的最简阶梯形：课本P87

（6）系数矩阵的最简阶梯形：课本P87

（7）课本P87下面有注明：交换列只是交换两个未知量的位置，不改变方程组的解。为了方

便叙述，在解方程组时不用交换列。

（8）克莱姆法则：

①初步认知：

已知三元线性方程组，其系数行列式D＝.当D≠0时，其解为：x1＝，x2＝，x3＝.（其中D1＝，D2＝，D3＝）（Dn以此类推）

②定义：课本P15

③使用的两个前提条件：课本P18

④例题：课本P3、课本P16-17、课本P18、作业P3第7题

（9）解非齐次线性方程组（方程组施行初等变换实际上就是对增广矩阵施行初等行变换）例题：

课本P26、课本P42、课本P82、课本P84、课本P85、课本P86第1大题、课本P88、课本P91、作业P10第1题

（10）解齐次线性方程组例题：课本P17、课本P18、课本P85、课本P86、课本P90、课本

P91、作业P1第5题、作业P10第2题

（11）n元非齐次线性方程组AX＝b的解的情况：（R

(A)

不可能＞

R

()）

R

(A)

＜

R

()

无解

＜

n

有无穷多个解

R

(A)

＝

R

()

有解

＝

n

有唯一解

特别地，当A是

≠0

有唯一解

n阶方阵时，可

R

(A)

＜

R

()

无解

由行列式来判断

R

(A)

＝

R

()

有解

当＝0

有无穷多个解

例题：课本P86第2大题、课本P88、课本P92、作业P11第三题

（12）n元齐次线性方程组AX＝O的解的情况：（只有零解和非零解两种情况，有唯一解的充

要条件是只有零解，有无穷多个解的充要条件是有非零解）

R

(A)

＝

n

只有零解（有唯一解，为0）

R

(A)

＜

n

有非零解（有无穷多个解）

特别地，当A是n阶方阵

≠0

只有零解（有唯一解，为0）

时，可由行列式来判断

＝0

有非零解（有无穷多个解）

例题：课本P24、课本P90-91、作业P11全部

24、行向量、列向量、零向量、负向量的概念

详见课本P92-93

将列向量组的分量排成矩阵计算时，计算过程中只做行变换，不做列变换。

初等行变换与初等行列变换的使用情况：矩阵、线性方程组、向量涉及行变换；列变换只在矩

阵中用。（行列式的性质包括行与列的变换）

手写零向量时不必加箭头。

25、线性方程组的向量形式

详见课本P9326、线性相关

与

线性无关的概念

详见课本P93-94

例题：课本P101第6大题、作业P14第五大题

27、向量个数大于向量维数的向量组

必然线性相关

线代老师课上提到的结论。

28、线性相关、线性无关；齐次线性方程组的解；矩阵的秩

这三者的关系及其例题

详见课本P94

定理3.3.1、定理3.3.2

例题：课本P94-95

例3.3.2、课本P101第3大题、课

22本P101第5大题、作业P12第3小题、作业P12第二大题、作业P13第三大题、作业P13第四大题

29、线性表示

与

线性组合的概念

详见课本P9530、线性表示；非齐次线性方程组的解；矩阵的秩

这三者的关系其例题

详见课本P95-96

定理3.3.3

例题：课本P95-96

例3.3.431、线性相关（无关）与线性表示的3个定理

详见课本P96

定理3.3.4、课本P97定理3.3.5、课本P98定理3.3.632、最大线性无关组与向量组的秩

详见课本P98-100

定义3.3.5、定义3.3.6、定3.3.7

单位列向量，即“只有一个元素为1，且其余元素都为0”的一列向量（求最大线性无关组

用）

例题：课本P100

例3.3.5、课本P101第4大题、作业P14第六大题

33、线性方程组解的结构

看此内容之前，最好先复习下“n元非齐次线性方程组AX＝b的解的情况”与“n元齐次线性

方程组AX＝O的解的情况”。

（1）n元齐次线性方程组AX＝O解的结构

①

定理3.4.1：详见课本P101-102

②

定义3.4.1（并理解“基础解系、通解、结构式通解、向量式通解”）：详见课本P102

③

定理3.4.2：详见课本P102

④

解题步骤（“注”为补充说明）（以课本P104例3.4.1为例）：

（I）A

＝

…

…

注：往“行最简形矩阵”方向转化（因为在解方程组时不用列变换，所以一般没法

真正转化成行最简形矩阵，所以说“往……方向转化”）。

（II）得到同解方程组

注：由得到同解方程组

（III）∴

此方程组的一组解向量为：＝，＝，＝

注：在草稿纸上写成以下形式，其中未写出的系数有的是1有的是0，一看便知

（IV）显然，线性无关。

注：根据课本P93-94

定义3.3.3

得出线性无关，注意，下面分别是：、、，令它们分别为、、，则显然＝0×＋0×，＝0×＋0×，＝0×＋0×，可想而知，线性无关。

（V）∴，为方程组的基础解系，方程组的通解为：k1＋k2＋k3（k1，k2，k3可取任意值）

注：根据课本P102

定义3.4.1

得出该方程组的通解。

⑤

其他例题：课本P109

第1大题、课本P109第3大题、课本P109第4大题、作业

P15第一大题第1小题、作业P15第一大题第3小题

（2）n元非齐次线性方程组AX＝b解的结构

①

导出方程组：非齐次线性方程组AX＝b对应的齐次线性方程组AX＝O（详见课本P105）

②

定理3.4.3：详见课本P105

③

定义3.4.4：详见课本P105

④

定义3.4.5：详见课本P105

⑤

课本P105

“上述定理表明，……（3.4.6）的形式”这段内容

⑥

解题步骤（“注”为补充说明，做题时不用写在卷上）（以课本P106例3.4.2为例）：

（I）＝

……

…

…

（II）得到同解方程组

注：由

得到同解方程组

（III）令＝0，得到原方程组的特解X0＝

注：在草稿纸上写成以下形式，其中未写出的系数有的是1有的是0，一看便知。得到原方程组的特解即以下形式的常数部分。

（IV）导出方程组的同解方程为：

注：导出方程组，即非齐次线性方程组AX＝b对应的齐次线性方程组AX＝O，即步骤（III）“注”的“形式”的系数部分。

（V）令＝1，得到方程组的基础解系＝，则原方程组的通解为：

X0

＋

k（k可取任意值）

⑦

其他例题：

（I）课本P107

例3.4.3（之前先复习“n元非齐次线性方程组AX＝b的解的情况”）

要将含有参数的式子作为分母时，得注意该式子是否≠0

（II）课本P109