关于存在性命题的证明

关于存在性命题的证明（精选4篇）

关于存在性命题的证明 第1篇

构造性证明与存在性证明小议

幸 克 坚

（遵义师范学院 贵州 遵义 ５６３００２）

摘 要：构造性证明与存在性证明是数学证明中常见两种证明方法。本文对它们的概念、来历及证明思路和作用与意义，乃至相互之间的关系，作了概略的议论。并主张将它们作为一对哲学范畴，贯穿在数学教学和数学研究之中。

关键词： 构造性存在性证明

中图分类号：O171文献标识码：E文章编号：1009-3583（2004）04-00

一、构造性证明与存在性证明：

在数学中对命题：“存在x，使得命题F(x)成立”的证明，有两种办法：构造性证明与存在性证明。构造性证明就是通过有限步的推导或计算，具体地找（构造）出这样的x；存在性证明则是从逻辑上证明所述对象x确实存在，但x具体是多少？在哪里？并不一定知道。因此，构造性证明不仅要证明所述对象的存在，而且要具体地求出对象的位置或多少（大小），而存在性证明则只需要证明该对象的存在即可。简言之,构造性证明相信“眼见为实”，而存在性证明只是证明了“没有被看到的”的存在，是一种理性的承认。

二、构造性证明的来历及思路分析

从历史的渊源上看，构造性证明的基本思路可以说源于我国古代数学。我国古代数学有两大特点：其一是典型的算法体系，一切结论只是通过计算结果来说明，以汉代的《九章算术》为典型代表，将九类问题总结出九类算法，算法比较机械，有相对固定的步骤（既我们今天常说的程序），每前进一步后，都有有限多个确定的可供选择的下一步，这样沿着一条有规律的刻板的道路一直往前走就可以得出结果；另一个特点是宋元时期，把许多几何问题转化为代数方程与方程组的求解问题，创造了相当于现代多项式的概念，建立了“天元法、四元法”等代数工具，进一步丰富了算法的内容。这都体现了显著的“构造性”或称作“可操作性”特色。

现代意义上的构造性证明则来源与一种被称为“构造性数学”的数学哲学观点（流派），它的根本特征就是对可构造性的强调。所谓可构造性是指能具体地给出某一对象或者能给出某一对象的计算方法。即当我们把能证实“存在一个x满足性质Ａ”的证明称为构造性的，是指能从这个证明中具体地给出满足性质Ａ的一个x；或者能从此证明中得到一个机械的方法，使其经有限步骤后即能确定满足性质Ａ的这个x来。如果进一步追溯下去，构造性数学最早起源于一种构造性哲学思想，这种思想可以追溯到康德那里。康德认为，数学的最终真理性在于数学概念可以通过人的智慧构造出来。他说：“数学必须根

基金项目：遵义师范学院科研基金项目（200418）

收稿日期：2004-12-16

作者简介：幸克坚（1954--），贵州遵义人，遵义师范学院数学系副教授，从事数学哲学和数学史研究 1

据纯粹直观，在纯直观里它才能够具体地，然而却是先天地把它的一切概念提供出来，或者像人们所说的那样，把这些概念构造出来”。又说“数学知识是从概念的构造得出来的理性知识。构造一个概念，意即先天地提供出来与概念相对应的直观。”

由于构造性证明不仅要证明所述对象的存在，而且要通过有限的步骤具体地计算或推导求出对象的位置或多少（大小）。所以，在证明过程中就具有鲜明的“构造性”或“可操作性”。如一元二次方程的求解⑴

bb24ac就是要具体地得出用方程的系数表示解的求根公式：x，而这个结果是通过配方一步步2a

得到的。

构造性证明基本上都是直接证明，是通过式子的变换一步步“构造”出命题的结论所描述的对象。因此，“构造”时往往具有较高的技巧和灵活性，对相关知识和方法的掌握运用要比较熟练。

三、存在性证明的来历及思路分析

存在性证明应该说源于经典数学的“公理化”思想方法，起源于古希腊。希腊是一个特别喜好追溯理性、探究一般性真理的民族，他们总是力图将一切知识体系建立在一个相对比较精练的理论基础和一套严谨的逻辑推理规则上，欧几里得《几何原本》就是这方面的代表作，它创造了一套用定义、公理、定理构成的逻辑演绎体系。而现代意义上的存在性证明当首推“数学王子”高斯，高斯发现了代数基本定理并给出存在性证明，是对代数学的重要贡献，也可以说是开创了数学研究的新途径。但真正第一个认识到存在性证明的深刻价值和意义的人是“现代数学的巨人”希尔伯特，希尔伯特在解决代数不变式问题时，采用直接的、非算法的方法，证明了不变式系的有限整基的存在性定理。

顾名思义，存在性命题证明的关键是证明其存在性，它与构造性证明不同，由于相应命题所述对象的不可构造或不易构造，一般只能从逻辑和理论上证明所述对象确实存在，但不能具体求出。因此，其证明常常表现为间接证明，即假定所述对象不存在，就会导致矛盾；有时候必须依靠一种紧密联系的“逻辑链”才能说明其存在性。如微分学中有两组定理：其一是三条中值定理：罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理都属于存在性命题，证明罗尔定理时的依据是最大值最小值定理，然后对拉格朗日中值定理和柯西中值定理的证明则是构造辅助函数： ⑵

(x)f(x)f(a)

把问题转化为利用罗尔定理的结论上来。f(b)f(a)(xa)ba

类似的逻辑链式的定理还有：用实数的构造理论想法构造数列证明了单调有界定理——区间套定理——确界存在定理——最大值和最小值定理——介值定理,这几条定理都属于存在性命题，其证明也是逻辑上紧密联系的，并且都是构造一系列区间套，“套”出结论中的对象——那一个点。这种逻辑上的极强前后连贯性（或称为依赖性），很好地体现了公理化方法的特色。

四、构造性证明与存在性证明的评价及哲学意义

对构造性证明与存在性证明,有两种比较偏颇的观点：

第一种观点认为构造性证明才合理而存在性证明则不合理。如希尔伯特在研究不变量理论时给出一个存在性证明，当时曾引起一场轩然大波。德国的克罗内克认为：“没有构造就不算是存在”；还说：“上帝⑶

创造了整数，其余都是人做的工作。”主张自然数与数学归纳法是数学最根本的和直观上最可信的出发点，其它一切数学对象都必须能在有限步骤内从自然数中构造出来，否则就不能作为数学对象。由此克罗内克把许多数学成果划到不合法的行列里，如无限集合、纯存在性证明等。不变量之王果尔丹甚至说：“这不是数学，是神学”。

希尔伯特坚持这样的观点：只要能证明一个概念的属性绝不会引出矛盾，那么就自然确定了这个数学概念在数学上是存在的，克莱因支持并赞美这种证明，说：“非常简单，在逻辑上是不可抗拒的。”„„希尔伯特指出：“纯粹的存在性证明之价值恰恰在于，通过它们就可以不必去考虑个别的构造，而且各种不同的构造包括于同一个基本思想之下，使得对证明来说是最本质的东西清楚地突现出来；达到思想的简洁和经济，就是存在性证明生存的理由„禁止存在性证明„等于废弃了数学科学。”

第二种观点则认为数学应该注重理论上和思想上的价值，从这个意义上说，存在性证明才有说服力。只有建立在古希腊的逻辑、公理体系上的存在性证明才是一种理性思维成果，构造性证明思想实际上是一种相信数学的理念，对数学真理性的认识包括了相当的非理性成分。在这种观念指导下，在相当长的一段时期和较大的范围内，存在着这样一种观点：建立在算法基础之上的中国古代数学只是一种“术”——即只停留在技术层面上、功利性地偏重于实用的操作技能，算不上科学。并且以此为理由在数学史中全面否定中国古代数学。

事实上，构造性证明体现了一种所谓的“机械化”思想，即按部就班有步骤地进行，这确实是中国古代数学的特征；“机械化”是相对于“公理化”而言的。公理化思想起源于古希腊，19世纪以来，希尔伯特等一批数学家和哲学家在建立数学基础的工作中，进一步明确和强调了这种思想。应该说，这确实是中西传统数学的各自特点，各有其长处，在现代数学体系中也起到了各自的作用。不应该狭隘地看待。

例如，就构造性证明而言，作为人类智慧新成果之一的数学定理的机器证明，就是我国著名数学家和数学史家吴文俊院士继承我国古代数学传统开创的数学机械化工作的一部分，吴文俊先生以其深厚的几何学和拓扑学功底，吸收了我国古代数学的上述两大特点之后，将几何问题用代数方程表达，用之于计算机。1977年先在平面几何定理的机器证明方面取得成功；1978年推广到微分几何；1983年我国留美青年学者周咸青在全美定理机器证明学术会议上介绍了吴（文俊）方法，并且自编软件，一鼓作气证明了500多条难度颇高的几何定理，轰动了国际数学界。

而存在性证明那种“非常简单，在逻辑上不可抗拒”，雄辩地让人无可辩驳的“理性的承认”确实体现了人类理性思维的威力。如中值定理使我们确实相信“中值”的存在，代数基本定理中我们确实相信“任何一个n（n＞0）次多项式f(x)在复数域内有n个根。其关键是证明其“确实存在”，并没有回答 “等于多少”或“在什么位置”？甚至在多数情况下，最终也无法回答这个问题。但丝毫不影响对命题结论可靠性的信服和运用。例如，正是立足于代数基本定理的结论，才得到与多项式因式分解理论相关的一系列成果，数学分析中有理函数的不定积分可以说是解决得十分完善的，也得益于这一结果。

而且，存在性证明与构造性证明是常常是紧密相依、相辅相成、互为补充的。首先，在一定意义上说，构造性证明中已经包含了“存在”——不但存在，而且已经找出。其次，存在性的证明往往也需构造，如上述微积分中两组重要定理的存在性，也是用构造法证明的；再次，有些存在性命题也能够具体的求出结果，从而转化为构造性命题，如我们熟知的数列极限、函数极限的“ε—N”、“ε—δ”定义，本身显然是存在性命题，但对于具体的问题和给定的具体的ε，如果需要的话，也可以求出相应的N和δ。所以可以说“构造中蕴涵着存在，有存在才可能构造”。又如十七世纪产生的将运动变化的辨证法引入数学的微积分、被称为 “数学中的转折点”，就充分体现了构造性证明与存在性证明的完美结合：如极限存在的两个准则——夹逼准则和单调有界准则中夹逼准则“anbncn”需要求出liman与limbn，属于构造nn⑸⑷⑴

性证明，而单调有界准则则是从逻辑上确信其极限存在，属于存在性证明；又如“求导”过程：从依定义

求了一小部分基本初等函数的导数入手，经过讨论导数的运算性质、反函数、复合函数、隐函数的求导法则，十分彻底地解决了整个庞大的初等函数类的求导问题，既解决得十分彻底，又在逻辑上前后紧紧相依，密切联系，是典型的构造性结果；积分法中的换元与分部乃至特殊函数的积分，也体现出明显的构造性色彩，具有很强的可操作性。而上述中值定理和区间套定理等两组重要定理，则可以说是存在性证明的典型例子。

综上所述，存在性证明与构造性证明之间有紧密的相依关系，二者是互为补充而不是互相对立、互不兼容的关系。从哲学的观点来看，存在性命题与构造性命题可以作为一对哲学范畴，它们之间体现了一种对立统一关系。按希尔伯特的上述说法，还呈现为一般与特殊、抽象与具体的关系。应该把这种观点带到数学教学和研究之中：在向学生传授具体的数学知识的同时，将存在性证明与构造性证明及其作用与关系结合具体例子介绍，逐步给他们一定的数学哲学、数学史和数学方法论方面的知识。在用这种观点从事数学研究，有可能使自己看问题更加客观、全面。

参考文献：

⑴ 郝宁湘．构造性数学及其哲学意义［J］http:// 2004年12月4日

⑵ 杜瑞芝．数学史辞典［M］．济南∶山东教育出版社．2000．170

⑶ 华东师范大学数学系．数学分析（上）［Z］．北京∶人民教育出版社．1980．197-216

⑷ 张顺燕．数学的源与流［Z］．北京∶高等教育出版社．2000．44

⑸ 席泽宗．科学史十论［M］．上海∶复旦大学出版社．2003．4—5

关于存在性命题的证明 第2篇

关键词：Fisher-Ladner闭包,canonical model,R规则,可满足性,完备性

0 引言

模态逻辑在计算机科学中, 包括人工智能, 有广泛的应用。从关于硬件、软件可靠性的模型检测的理论和方法, 到资料库的构建, 计算复杂性的研究, 以及人工智能方面的专家系统、知识表示、非单调推理等方面的研究, 都有模态逻辑的应用。在模态逻辑和计算机科学结合的研究中, 20世纪70年代还产生了关于程式推理的逻辑动态逻辑将行动作为模态词引入逻辑, 一方面, 作为一种新的广义模态逻辑使得模态逻辑本身得到发展, 另一方面, 也使得模态逻辑的应用大为拓展。近年来基于模态逻辑的模型检测对计算机软硬件系统的正确性和可靠性有重要意义, 现已被应用于计算机硬件、通信协议、控制系统、安全认证协议等方面的分析与验证中。利用模态逻辑公式描述性质, 构造相应的自动机判定系统是否满足该性质, 也开始应用在工业上, 如电子线路设计验证。

本文主要研究了模态逻辑的可满足性问题和完备性的证明问题, 可满足性问题是说对于任意给定的模态公式φ, 是否存在一个模型M, φ在M的某个状态下是可满足的。而完备性问题是说如果一个模态公式是有效的, 那么它一定也是可证的。对于模态逻辑的可满足性判定问题, 比较经典的解决方法是tableau的方法[1,2], 但是这个方法由于存在分支的选择问题, 因此产生了不确定性。我们借鉴了文献[3]中关于时态逻辑可满足性判定问题的方法, 提出了对于模态逻辑可满足性判定解决的改进方法:首先求出给定模态公式的Fisher-Ladner闭包的极大集, 逐步删除其中不协调的集合, 最终可以得到一个canonical model。这个方法避免了不确定性问题。采用这个方法, 对于可满足的模态公式φ, 最终可以得到它的一个canonical model, 而且, 对于不可满足的公式φ, 可以得到的证明, 另外, 本文还给出了一个模态逻辑完备性的构造性证明。这个方法的应用具有一般性, 这个方法不仅可以用于K系统, 还可以应用于T, S4, S5等模态系统。

1 语法和语义

这一节主要介绍模态逻辑的语法和语义。更详细的内容见文献[4-6]。

1.1 语法

模态逻辑语言包含以下三个部分:

 •逻辑符号:

•原子公式集合

 •模态词

定义1原子公式一般记作p, q, r, , 所有的模态公式集合记作Φ, 模态公式φ的构造规则如下:

其中

其他的命题运算符都可以通过⊥, , ∨, 定义得到:

1.2 语义

定义2根据文献[5]的介绍, 我们将模态逻辑的语义解释在Kripke模型上, Kripke模型是一个三元组M= (S, R, L) , 其中:

 •是状态集合。

 •表示状态间的可达关系。

 •是一个赋值, 即

有时候, 我们会将 (s, t) ∈R记作sRt。根据R的不同, 可以得到不同的模态逻辑。例如, 如果R满足自反关系, 那么M是一个T模型。如果R满足自反传递关系, 那么M是一个S4模型。如果M是一个等价关系, 那么M就是一个S5模型。如果对R没有其他限制, 则M是一个K模型。为了表示的更一般化, 下文用MΛ= (S, RΛ, L) 表示模型M= (S, R, L) 是一个Λ模型, 其中Λ∈{T, S4, S5}。

定义3可满足性在模型MΛ=S (S, RΛ, L) 中, 对于模态公式φ和状态S, 定义模态公式φ在模型M的状态s下的可满足性如下:

定义4模态公式的可满足性和有效性定义假定MΛ= (S, RΛ, L) 为模态逻辑Λ的一个Kripke模型, φ是一个模态公式, 模态公式的可满足性和有效性定义如下:

 •如果存在s∈S使得MΛ, sφ, 称在模型MΛ下, φ是可满足的。如果存在一个模型MΛ, 使得φ在MΛ中可满足, 那么称φ是Λ可满足的。

 •如果对于模型MΛ的任意状态s∈S, 都有MΛ, sφ称在模型MΛ下, φ是有效的。如果对于任意模型MΛ, 都有φ在MΛ下有效的, 那么称φ是Λ有效的, 也称为Λ永真的, 记作

可满足性与有效性是对偶的关系, 即φ是有效的当且仅当是不可满足的。

2 公理系统

已知命题逻辑的公理系统构成如下[4,5]:

最基本的模态逻辑系统是K系统, 它的一个可靠完备的公理系统是由命题逻辑的公理系统增加下述公理K和推导规则N构成:

除此之外, 由K系统增加公理和推导规则可以得到其他的模态逻辑公理系统, 例如在K系统的基础之上增加公理T可以得到T系统, 而在T系统的基础之上增加公理4可以得到系统S4, 在S4系统的基础之上增加公理5又可以得到系统S5。

由K系统, 可以推导出一些很有用的定理。因为所以这些定理在T、S4、S5系统中也是成立的。我们将模态逻辑Λ的定理f记作

定理1 RK

证明这里略过, 详见文献[6]。

定理2 L-distribution

证明这里略过, 详见文献[6]。

定理3 M-distribution

证明这里略过, 详见文献[6]。

定理4可靠完备性对于任意模态公式φ:

证明可靠性的证明非常简单, 只需要验证公理K是有效的, 然后验证推导规则N保持了有效性即可, 具体证明过程这里略过。而完备性的证明较之复杂得多, 已经有很多文献对完备性进行了证明, 而本文通过canonical model的构造给出不同于已有方法的构造性证明方法。

3 Canonical model的构造、可满足性的判定和完备性的证明

本节是本文的主要部分, 下面先给出Fisher-Ladner闭包的定义。

定义5Fischer-Ladner闭包[7]模态公式φ0的FisherLadner闭包为满足下面条件的最小集合Δ:

下文将模态公式φ0的Fischer-Ladner闭包记为CL (Φ0) 。

定义6φ-Mfs如果给定集合Γ, 如果Γ满足下面条件

1) 对于任意模态公式φ∈CL (φ0) , φ或者

2) 对于任意模态公式φ, 如果φ∈Γ, 则

那么则Γ是CL (φ0) 的一个极大集, 称Γ是一个φ0-Mfs, 下文中用表示所有的φ0-Mfs。

下面来构造Λ的Kripke模型MΛ= (S, RΛ, L) , RΛ根据模态逻辑的不同而变化, 我们将RΛ的变化规则称作R规则。

定义7 R-rule R规则主要包含K规则, T规则, 4规则, 5规则:

有了R规则的定义, 对于任意我们来建立下面的Kripke模型MΛ= (S, RΛ, L) , 其中:

•S为状态的非空集合。

•RΛ为Λ的R-rule。

•L (s) =s∩p (φ0) 。

其中的R-rule定义如下:

在模型MΛ= (S, RΛ, L) 中, 如果对于任意模态公式φ∈CL (φ0) , 任意x∈S都有:

那么是一个canonical model[6]。

对于任意x∈S, 如果存在这样的或者M, 那么x是MΛ的一个witness。

定理5MΛ= (S, RΛ, L) 是一个canonical model当且仅当MΛ中不存在witness。

证明关于这个定理的证明是显而易见的, 根据canonical model的定义即可得到。

因为CL (φ0) 是有限的, 因此ΩΛ (φ0) 是有限的, 所以如果witness是存在的, 一定可以在有限步骤内找出。

如下建立一个模型序:MiΛ= (Si, RΛ, L) :M0Λ= (S0, RΛ, L) , 其中S0=ΩΛ (φ0) , 选择MiΛ中的一个witness S∈Si, 删除掉s, 得到一个Si+1=Si-s。由此, 得到一个递减的链。

因为Si是一个有限集合, 因此由上面的递减链, 可以得到一个canonical model MnΛ= (Sn, RΛ, L) 。

为了进一步描述S0, S1, , Sn的性质, 先引入一个rich的概念。

定义8 rich如果对于一个集合S∈Ω (φ0) 满足, 对于任意x∈Ω (φ0) 都有:

•x∈S, 或者

那么称S关于φ0是rich的, 其中

根据这个定义, 很容易发现S0=Ω (φ0) 是rich的。有了这个定义, 下面来证明两个引理。

引理1对于任意非空SΩ (φ0) 并且S是rich的, 那么有:

并且, 对于那么有:

证明首先来证明

因为:

因为S是rich的, 所以, 对于

结合式 (1) , 可以得到:

所以有:

下面来证明

由式 (2) , 可以很轻松得到:

又因为:

结合式 (3) -式 (5) 可以得到:

如果又由于w∈Ω (φ0) , 则一定存在一个公式于是有:

结合式 (6) , 式 (7) , 可以得

引理2如果集合S是rich的, 对于任意x∈S, 都有

证明对Λ进行分情况讨论:

1) Λ=K

首先, 有:

根据定理L-distribution, 可以得到:

所以有:

由引理1, 可以得到:

由关系RK的定义, 可以得到:

结合式 (8) -式 (10) , 可以得到:

2) Λ=T

由于公理系统由式 (11) 得:

而:

由定理RK可以得到:

由关系RT的定义可得:

结合式 (12) -式 (14) 可得:

3) Λ=S4

首先有:

因此有:

由定理L-distribution, 可以得到:

由式 (15) 得:

根据引理1, 可以得到:

于是由式 (16) 和式 (17) 可得:

因为:

所以结合定理RK可以得到:

根据关系RS4的定义可得:

结合式 (18) -式 (20) 可以得

4) Λ=S5

显然有:

由公理4和公理5可以得到:

根据定理L-distribution, 可以得到:

结合式 (22) 和式 (23) 可以得到:

根据引理1, 可以得到:

又因为:

由式 (24) -式 (26) 结合定理RK可以得到:

根据RS5的定义, 由式 (27) 可以得到

由上面的引理, 可以得到下面的定理6, 也是本文最重要的一个定理。

定理6 main-theorem如果关于φ0是rich的, x是MΛ= (S, RΛ, L) 的一个witness, 那么

证明如果x是MΛ的一个witness, 那么肯定存在一个φ∈CL (φ0) 满足下面两个条件中一个:

下面对φ进行结构归纳:

1) φ=⊥

因为M, x⊥一定不成立, 因此只可能是所以有

2) φ=p∈p (φ)

由于M, xp当且仅当p∈x, 所以不可能存在这种情况下的witness。

4) φ=φ1∧φ2

因为S0是rich的, 通过这个定理, 发现S0, S1, , Sn中的每一个Si (1<

引理3如果模态公式φ是不可满足的, 那么一定有φ⊥。

下面根据这个引理来证明的完备性。

定理7完备性定理如果有Λφ, 那么有Λφ。

定理8 Finite Model Property假设模态公式φ在Λ下是可满足的, 那么存在一个有限模型MΛ= (S, RΛ, L) , φ在MΛ上是可满足的, 并且有, |S|2m, 其中m表示φ的子公式的个数。

证明根据φ, 依照上文所述方法建立序列S0, , Sn, 其中S0=ΩΛ (φ) , MΛn= (Sn, RΛ, L) , 是一个canonical model。如果φ是可满足的, 那么一定存在w∈Sn, φ∈w。假设不存在这样的w, 那么一定有对于任意φ∈w, w一定是某一个MΛi的witness, 由上面引理3, 可以得到又根据可以得到再根据Λ的可靠性, 可以得到, φ是不可满足的, 与假设矛盾, 因此一定存在w∈Sn, φ∈w, 又根据canonicalmodel的定义可以得到, 这样也就是证明了如果φ是可满足的, 那么存在一个模型MΛ=MΛn, φ在MΛ上是可满足的。因为S0, , Sn是一个递减序列, 可以得到|Sn||S0|, 而|S0|=2m, 其中m表示φ的子公式的个数, 因此有|Sn|2m。

由这个定理及其证明过程, 可以得到一个判定模态公式φ0在模态逻辑Λ下是否可满足的方法, 即建立S0, S1, , Sn的序列, 其中S0=Ω (φ0) , 然后判定是否存在s∈Sn满足φ0∈s, 如果存在, 那么φ0是可满足的, 否则是不可满足的。

4结语

本文提出了一个构造模态公式的canonical model的方法。通过这个方法, 对于给定模态公式φ, 如果φ是可满足的, 可以得到φ的一个canonical model, 如果φ是不可满足的, 可以得到的证明。此外, 还给出了模态逻辑完备性的一个构造性证明方法。这个方法可以广泛应用K, T, S4, S5等模态系统中。下一步, 我们将尝试进一步扩展这个方法的应用范围, 目前已经在PDL方面的应用, 下一步尝试将其应用于连续μ演算中。

参考文献

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[2]Massacci F.Strongly analytic tableaux for normal modal logics[C]//Proceeding of the 12th International Conference on Automated Deduction (CADE-94) .Berlin:Springer, 1994:723-737.

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[4]Huges G E, Cresswell M J.An introduction to modal logic[M].3rd ed.London:Methuen&Co.ltd, 1977:22-60.

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[8]Nielson H R, Nielson F.Semantics with applications:A formal introduction[M].New York:Wiley, 1992.

全称性命题和存在性命题 第3篇

一、 全称性命题

不等式中全称性命题实质就是不等式恒成立问题,此类问题一般设计独特,涉及到函数、不等式、方程、导数、数列等知识,渗透着函数与方程、等价转化、数形结合、分类讨论、换元等思想方法,有利于考查学生的综合解题能力和创新应用能力,因此备受命题者的青睐.应对此类问题除以下三种方法外,还有分类讨论法、单调性法和判别式法等.

【例1】 (2011年江苏省高考模拟题)对任意x∈12,2,使得x2-2x+a>0,求实数a的取值范围.

分析 解法一：由题意得：a>-x2+2x,设f(x)=-x2+2x,x∈12,2.可求出函数f(x)的最小值为1,则a>1.

解法二：由由题意得：a>-x2+2x,

设f(x)=-x2+2x,x∈12,2,

g(x)=a,直线g(x)=a横在抛物线f(x)=-x2+2x,x∈12,2的上方,则a>1.

解法三：设f(x)=x2-2x+a,x∈12,2,可求得函数f(x)的最小值为a-1,从而的a>1.

点评 本题实际上就是通过对我们的《课本》(苏教版选修21)第15页复习题例1(1)“判断下列命题x∈R,x2>x.真假”改编而来.对于不等式中全称性命题求解策略为：对有范围的谁成立,谁作为主元；

1. 方法：(1) 分离参数,转化为最值问题；(2) 直接转化为最值问题,构造不等式；(3) 数形结合思想；

2. f(x)≥a恒成立f(x)min≥a；f(x)≤a恒成立f(x)max≤a

变式1 对任意x∈12,2,使得

x2-2x+a≤0,求实数a的取值范围.(a≤0)

变式2 函数f(x)=13x3-x2+ax+2在12,2上单调递减,求实数a的取值范围.(f′(x)=x2-2x+a≤0对任意x∈12,2恒成立,就是变式1)

变式3 对任意a∈12,2,使得

a2-2a+x>0,求实数x的取值范围.(变更主元,以a为主元,类似于例1,答案为x>1.)

【例2】 (07年安徽高考题)若对任意x∈R,不等式x≥ax 恒成立,则实数a的取值范围是．

分析 解法一：可采用数形结合法；解法二：为了分离参数a,不等式两边应同除以x,因而应按x>0;x<0;x=0进行分类讨论

解 当x=0时,a•0≤0恒成立；

当x>0时,x≥ax,即a≤1；

当x<0时,-x≥ax,即a≥-1.

故a∈［-1,1］.

点评 当不等式中左、右两边的函数具有某些不确定因素时,应用分类讨论的方法来处理,分类讨论可使原问题中的不确定因素变成确定因素,为问题的解决提供新的条件.

【例3】 (自编题)若不等式ax2+ax+1>0对任意x∈R恒成立,则实数a的取值范围是  ．

分析 此不等式是否为一元二次不等式,故先进行分类讨论；一元二次不等式对任意x∈R恒成立,可选择判别式法.

解 当a=0时,1>0显然对一切实数恒成立；

当a≠0时,要使不等式ax2+ax+1>0对一切实数恒成立,须有a>0,

Δ<0.即a>0,

a2-4a<0.解得0

点评 本题实际上就是根据我们的《课本》(苏教版必修5)第94页11(3)“若不等式f(x)>0的解集为R且f(x)=(m+1)x2-mx+m-1,则实数的取值范围是”改编而来.此类问题求解策略为：

①不等式ax2+bx+c>0对任意实数x恒成立a=b=0,

c>0.或a>0,

Δ<0.；

②不等式ax2+bx+c<0对任意实数x恒成立a=b=0,

c<0.或a<0,

Δ<0.

二、 存在性命题

【例4】 (连云港市高三调研考试题)x∈12,2,使得x2-2x+a>0,求实数a的取值范围.

分析 解法一：设f(x)=x2-2x+a,x∈12,2,可求得函数f(x)的最大值为a,由题意得a>0．

解法二：由条件知：x∈12,2,使得a>-x2+2x成立,

而f(x)=-x2+2x,x∈12,2的最小值为0.所以 a>0

解法三：转化为全称性命题求解．

“x∈12,2,使得x2-2x+a>0,”的否定为“x∈12,2,使得x2-2x+a≤0,”根据全称性命题求解策略得,满足后者a的取值范围为a≤0,在求其在实数集得补集,故所求a的取值范围为a>0

点评 一、 本题实际上就是通过对我们的《课本》(苏教版选修21)第15页复习题例1(3)“判断下列命题x∈Q,使得x2-8>0.真假”改编而来.

二、 对于不等式中存在性命题求解策略为：

1. 对有范围的谁成立,谁作为主元；

2. 方法：(1) 分离参数,转化为最值问题；(2) 直接转化为最值问题,构造不等式.(3) 先转化为全称性命题求解,再利用补集思想得到答案.

3. x∈A,使得f(x)≥a成立a≤f(x)max； 

x∈A,使得f(x)≤a成立f(x)min≤a

数统治着宇宙。—毕达哥拉斯

牛刀小试

1. (2011年南通市联考题)已知x∈(1,2］时,不等式(x-1)2≤logax成立,则实数a的取值范围是．

2. (2011年连云港市联考题)对于满足-1≤a≤1的一切实数a,函数y=x2+(a-4)x+4-2a的值恒大于0 ,则实数x的取值范围是.

3. (2011年陕西高考题)若关于x的不等式｜a｜≥｜x+1｜+｜x-2｜存在实数解,则实数a的取值范围是.

【参考答案】

1. 在同一平面直角坐标系内作出函数f(x)=(x-1)2与函数g(x)=logax在(1,2］上的图象(如图),从图象中易看出：当01,且x∈(1,2］时,欲使函数f(x)的图象在g(x)的图象的下方或重合,须满足loga2≥1,即a≤2,

故所求实数a的取值范围为(1,2］.

2. 设fa=x-2a+x2-4x+4,a∈-1,1,则原问题转化成求fa>0恒成立．

(1) 当x=2时,y=0不合题意．

(2) 当x≠2时,f-1>0，

f(1)>0.∴x<1或x>3．

即：实数x的取值范围是(-∞,1)∪(3,+∞)．

3. 设f(x)=x+1+x-2,而函数f(x)的最小值为3,

关于存在性命题的证明 第4篇

定理如果函数f (x) 在区间Ix内严格单调且连续, 那么其反函数y=f-1 (x) 在区间I={f (x) , x∈Ix}内严格单调且连续.

证明 (一) 首先用反证法证明, 在区间Ix上严格单调函数f (x) 的反函数y=f-1 (x) 是严格单调函数.

不失一般性, 仅就函数f (x) 在区间Ix上是严格的单调递增函数的情况加以证明.

假设反函数y=f-1 (x) 在区间I={f (x) , x∈Ix}不是严格单调增加函数, 即存在f (x1) , f (x2) ∈{f (x) , x∈Ix}, 当f (x1) >f (x2) 时, 成立x1x2.

如果x1=x2, 则在x=x1=x2处函数f (x) 的值不确定, 这与函数的定义相悖;

如果x1

所以, 反函数y=f-1 (x) 在区间I={f (x) , x∈Ix}不是单调递增函数的假设不成立.由此可得:函数f (x) 在区间Ix上严格单调增加时, 其反函数y=f-1 (x) 在区间I={f (x) , x∈Ix}上严格单调增加.

同理可证, 当函数f (x) 在区间Ix上严格单调减少时, 其反函数y=f-1 (x) 在区间I={f (x) , x∈Ix}上严格单调减少.

所以, 在区间Ix上严格单调函数f (x) 的反函数y=f-1 (x) 在区间I={f (x) , x∈Ix}上严格单调.

(二) 其次利用命题等价性证明, 在区间Ix上严格单调的连续函数f (x) , 其反函数y=f-1 (x) 在区间I={f (x) , x∈Ix}上连续.

任意给定x1≠x0 (x1, x0∈Ix) ,

因为x1≠x0 (x1, x0∈Ix) , 而函数f (x) 在区间Ix上严格单调,

所以f (x1) ≠f (x0) .

因为函数f (x) 在区间Ix上连续,

所以

所以

其中, x1是区间Ix内任意的不等于x0的点.

由此可知对于严格单调的连续函数f (x) , xx0是f (x) f (x0) 的必要条件.

由命题的等价性可知, 对于严格单调的连续函数f (x) , f (x) f (x0) 是xx0的充分条件, 即当yy0时, f-1 (y) f-1 (y0) .

所以, 区间Ix内严格单调的连续函数f (x) 的反函数x=f-1 (y) 在区间I={f (x) , x∈Ix}上连续.

综上所述, 在区间Ix上严格单调的连续函数f (x) 的反函数y=f-1 (x) 在区间I={f (x) , x∈Ix}上严格单调且连续.