二次根式概念范文

二次根式概念范文（精选9篇）

二次根式概念 第1篇

一、为什么要学习二次根式

代数学的主要标志是用字母表示数. 初中关于式的运算体系是渐进建立的, 由整式、分式过渡到根式是运算体系的自然延展, 是字母位置标注出式的结构特点的必然展现, 是客观世界数量关系的定量描述的需要, 是数学发展的历史使命和历史阶段.简单说, 是数学语言表达客观存在, 是建构知识体系的需要, 所以, 我们要研究学习二次根式.数学一门工具学科, 学习数学知识主要为了计算, 二次根式也是一种运算方式, 如两个数的积有平方的表现形式, 那么反过来哪个数的平方等于已知数呢? 这就是二次根式表达的意义, 在实际的问题中, 如已知正方形的变长, 可以简单的求出面积, 那么已知正方形的面积, 如何求边长呢, 这是二次根式要解决的问题, 也是学习二次根式的重要原因.

二、“”是不是二次根式

按教材的处理方法, 这个问题不容易回答.如果回答是, 概念的外延中没有包含, 如果回答不是, 我们行将在后续课时中又会加以认可和运用.如这样的运算问题.实践中, 有教师采取回避办法, 此课时中一律不出现型如“”的式子, 让这个问题根本不显现, 还有教师根本没意识到这个问题, 稀里糊涂默认它是, 并且唐突地在习题中加以应用.

三、重视中的a ≥ 0

在很多数学题的计算中, 大部分学生会忽略二次根式的隐晦条件, 即a是大于等于0 的, 如果能够充分的运用这个条件, 很多题目将会变得更加简单. 如在a满足, 那么a - 20122的值为多少的选择题中, 已知四个答案分别为2011, 2012, 2013, 2014, 按照传统的解方程方式, 直接求出a的具有较大的难度, 如能抓住中a ≥ 0 这个隐晦条件, 就可知本题中的a - 2013 ≥ 0, 故而a ≥ 2013, 然后化简题目中的方程, 最终得出答案为2013.很多教师在实际课堂教学的过程中, 往往会忽视这些简单的隐晦条件, 使得学生在解题中, 经常会忘记利用最基本的条件, 浪费了解题的时间.

四、问题的解决

关于第一个问题, 可以采用组题式设问解决, 具体做法是:

(1) 计算:a (a - b) - (a + b) 2. 这是一道什么类型的计算题目?

(2) 计算:.这又是一道什么类型的计算题目?

(3) 计算:.谁能解答这个问题?

(4) 上列三个式子的异同点是什么?

师生共同揭示:都是用字母表示的数的运算, 不同之处在于字母在式中的位置不相同.

教师点题:关于式的运算我们遇到了新的问题, 我们学习二次根式就是要完善式的运算, 从而建构式的运算体系.也可以利用一些实际问题, 来引入二次根式的概念, 让学生们切身的体会到为什么要学习二次根式, 如在以往的学习中, 我们知道已知圆形的半径求圆的面积, 那么现在已知圆形的面积, 如何求出圆的半径呢? 老师可以根据课堂的实际情况, 给出具体的数目.如已知圆形的面积为2π 平方厘米, 那么让学生们分组讨论该圆形的半径是多少, 学生们经过讨论后会得出, 半径的乘积是2 厘米, 老师这个时候就可以点题, 利用二次根式就可以表达出半径是厘米. 这样的教学方式, 能够让学生直观的了解到二次根式的概念, 以及为什么要学习二次根式.

关于第二个问题, 可以告诉学生:1. 由正数的平方根概念知道是成对出现的, 作为一个数看待, 仅是性质符号不同, 它们作为概念的本质属性是一样的, 所以“”是二次根式 (当然, 要回避概念定义法的规则) .2. 定义二次根式概念时, 没有列举出外延中带负号的部分, 考虑到了前述第一个理由, 也考虑到了学生已有代数和这个基础知识, 可以理解将性质符号与运算符号进行转化的道理, 定义二次根式时, 等同关注有负号的情形, 既无价值, 又显浪费.3. 在举例环节, 增加“4 的平方根是多少?”“a (a ≥ 0) 的平方根如何表示?”两个小问, 然后抽象出型如“”的式子叫二次根式.是不是二次根式, 这并不是一个实际问题, 大部分学生不会在概念上纠结, 因此老师可以将重点放到计算上, 总之, 无论采用哪种办法, 必须符合逻辑, 切合学生实情.

关于第三个问题, 可以向学生多讲解些相关的题目, 让学生们加深理解和记忆, 在课本和相关的试题册中, 这样的题目有很多.

二次根式教案 第2篇

1、定义：一般地,形如√ā（a≥0）的代数式叫做二次根式.当a＞0时,√a表示a的算数平方根,√0=0

2、概念：式子√ā（a≥0）叫二次根式.√ā（a≥0）是一个非负数.II.二次根式√ā的简单性质和几何意义 1）a≥0;√ā≥0 [ 双重非负性 ] 2）（√ā）^2=a（a≥0）[任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式] 3)√(a^2+b^2)表示平面间两点之间的距离,即勾股定理推论.III.二次根式的性质和最简二次根式 1）二次根式√ā的化简 a(a≥0）√ā=|a|={-a(a＜0)2）积的平方根与商的平方根 √ab=√a·√b（a≥0,b≥0）√a/b=√a /√b（a≥0,b>0）3）最简二次根式 条件：

（1）被开方数的因数是整数或字母,因式是整式；

（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式.如：不含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√

2、√

3、√a（a≥0）、√x+y等；

含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有√

4、√

9、√a^

2、√（x+y）^

2、√x^2+2xy+y^2等 IV.二次根式的乘法和除法 1 运算法则

√a·√b=√ab（a≥0,b≥0）√a/b=√a /√b（a≥0,b>0）

二数二次根之积,等于二数之积的二次根.2 共轭因式

如果两个含有根式的代数式的积不再含有根式,那么这两个代数式叫做共轭因式,也称互为有理化根式.V.二次根式的加法和减法 1 同类二次根式

一般地,把几个二次根式化为最简二次根式后,如果它们的被开方数相同,就把这几个二次根式叫做同类二次根式.2 合并同类二次根式

把几个同类二次根式合并为一个二次根式就叫做合并同类二次根式.3二次根式加减时,可以先将二次根式化为最简二次根式,再将被开方数相同的进行合并

Ⅵ.二次根式的混合运算 1确定运算顺序 2灵活运用运算定律 3正确使用乘法公式 4大多数分母有理化要及时 5在有些简便运算中也许可以约分,不要盲目有理化 VII.分母有理化 分母有理化有两种方法 I.分母是单项式

如:√a/√b=√a×√b/√b×√b=√ab/b II.分母是多项式 要利用平方差公式

如1/√a＋√b=√a－√b/(√a＋√b)(√a－√b)=√a－√b/a－b 如图

II.分母是多项式 要利用平方差公式

二次根式考点例析 第3篇

考点1、二次根式的概念

二次根式的定义是:式子叫做二次根式.

从定义可知被开方数a是一个非负数.

例1 (2009年宁波市) 当x_____时, 使二次根式有意义的x的取值范围是 () .

A.x≠2 B.x>2 C.x2 D.x≥2

解析“二次根式的被开方数大于或等于零”是二次根式有意义的条件, 故此二次根式的被开方数x-2必须大于或等于零, 即x-2≥0, 解得x≥2.所以, 答案选D.

例2 (2008年北京市) 若, 则xy的值为 () .

A.-8 B.-6 C.5 D.6

考点2、二次根式的性质

二次根式的性质主要有:

在解决问题时, 要注意等式成立的条件.

例3 (2005年徐州市) 下列运算中, 错误的是 () .

解析根据二次根式的性质对给出的四个运算逐个进行判断, 可知是错误的.故答案选D.

考点3、最简二次根式

满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式. (1) 被开方数的因数是整数、因式是整式; (2) 被开方数不含有能开得尽方的因数或因式.

例4 (2007年潍坊市) 化简的结果是 () .

解析二次根式的化简, 即写成最简二次根式, 故.答案选B.

考点4、同类二次根式

把几个二次根式化成最简二次根式之后, 如果被开方数相同, 那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.

例5 (2007年上海市) 计算:在下列二次根式中, 与是同类二次根式的是 () .

故答案选C.

考点5、二次根式的运算

二次根式的运算仍然依照先乘除后加减的运算法则进行.但在乘除法运算中, 应灵活运用乘法公式、因式分解、分母有理化的技巧;在加减法运算中, 必须先化成最简二次根式, 再合并同类二次根式.二次根式的运算结果必须是最简的.

考点6、姨a2型二次根式的化简

上述中的四个结论, 一要注意被开方数a的正负性, 二要注意0的情况.

考点7、探寻规律题

二次根式教案 第4篇

课标要求：学生要学会学习、自主学习，要为学生终生学习打下坚实的基础，根据教学大纲和新课标的要求，根据教材内容和学生的特点我确定了本节课的教学目标 1、了解二次根式的概念 2、了解二次根式的基本性质，经历观察、比较、总结二次根式的基本性质的过程，发展学生的归纳概括能力。 3、通过对二次根式的概念和性质的探究，提高数学探究能力和归纳表达能力。 4、学生经历观察、比较、总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性与创造性，体验发现的乐趣，并提高应用的意识。

教学重点:二次根式的概念和基本性质

教学难点:二次根式的基本性质的灵活运用

教法和学法

教学活动的本质是一种合作，一种交流。学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者，本节课主要采用自主学习，合作探究，引领提升的方式展开教学。依据学生的年龄特点和已有的知识基础，本节课注重加强知识间的纵向联系，，拓展学生探索的空间，体现由具体到抽象的认识过程。为了为后续学习打下坚实的基础，例如在“锐角三角函数”一章中，会遇到很多实际问题，在解决实际问题的过程中，要遇到将二次根式化成最简二次根式等，本课适当加强练习，让学生养成联系和发展的观点学习数学的习惯。

教学过程

活动一：根据学生已有知识探究二次根式的概念 1.探究二次根式概念 由四个实际问题(三个几何问题，一个物理问题)入手，设置问题情境，让学生感受到研究二次根式来源于生活又服务于生活。 思考：用带有根号的式子填空，看看写出的结果有什么特点? (1)要做一个两条直角边的长分别为7cm和4cm的三角尺，斜边的长应为 cm

(2)面积为S的正方形的边长为

(3)要修建一个面积为6.28m2的圆形喷水池，它的半径为m(∏取3.14)

(4)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位:s)与开始落下时的高度h(单位：m)满足关系h=5t2.如果用含有h的式子表示t，则t= 学生发现所填结果都表示一个数的算术平方根，教师引导学生用一个式子表示这些有共同特点的式子。学生表示为，此时教师启发学生回忆已学平方根的性质让学生总结出a这一条件。在此基础上总结出二次根式的概念。 2.例题评析 例1：哪些为二次根式? 练习：x取何值时下列各式有意义，通过4小题的训练，让学生体会二次根式概念的初步应用。加深对二次根式定义的理解，并注重新旧知识间的联系，用转化的思想解决问题，总结出解题规律：求未知数的取值范围即转化为①被开方数大于等于0②分母不为0列不等式或不等式组解决问题。

活动二：探究二次根式的性质1 1.探究(a)与0的关系 学生分类讨论探究出：(a)是一个非负数，此时归纳出二次根式的第一个性质：双重非负性。培养学生的分类讨论和概括能力。例2：，则变式：，

活动三：探究二次根式的性质2 探究2=a(a)由课本具体的正数和零入手来研究二次根式的第二个性质，首先让学生通过探究活动感受这条结论，然后再从算术平方根的意义出发，结合具体例子对这条结论进行分析，引导学生由具体到抽象，得出一般的结论，并发现开平方运算与平方运算的关系，培养学生由特殊到一般的思维方式，提高归纳、总结的能力。前两题学生口述教师板书，后面的两题由学生板演引导学生分析(2)(4)实质是积的乘方和分式的乘方 拓展：反之(a)如 为后面的化最简二次根式(简单的分母有理化)做好铺垫。 例4：在实数范围内分解因式

深化理解二次根式 第5篇

1. 二次根式

一般地，式子(a≥0）叫做二次根式，a叫做被开方数.

【解读】二次根式是典型的无理式，不能简单地把它理解为是带根号的式子或者是开平方运算，这里的a可以是一个数或字母，也可以是一个式子，要有整体的思想；另外要注意的是二次根式的双重非负性，这常常是解题的隐含条件.

例1若，求3x+y的值.

解：由题意可得：

∴当时，y=1.

例2若，则(a-b)c=%____.

解得a=2;b=3;c=4.

【说明】利用二次根式的非负性和非负数的性质，通过列方程（不等式）（组）解决问题是常见的思路.

2. 最简二次根式

一般地，化简二次根式就是使二次根式：

(1）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；

(2）被开方数中不含分母.

这样化简后得到的二次根式叫做最简二次根式.

【解读】第（1）条指被开方数中的每一个因数（或因式）的指数都要小于根指数2，如果被开方数是多项式，要先因式分解，再进行判断.第（2）条指被开方数中必须是整数或整式.对于分母中含根号和被开方数中含有分母的情况，教材第8页和第9页中给出了具体的化简方法.同学们要通过具体的例子加以练习，做到灵活运用.在进行二次根式的运算时，要根据最简二次根式的概念对结果进行检查，使结果简洁、优美.

3. 同类二次根式

经过化简后，被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式.

【解读】二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，所以只有深刻理解同类二次根式的概念才能更好地进行二次根式的加减运算.同学们在具体运算时一定要先化简，找准同类二次根式再进行加减运算.

例4计算：

“二次根式”中考考点透视 第6篇

C.x>2 D.x≥2

【考点】二次根式有意义的条件;不等式的性质.

【注意点】要找准被开方数;二次根式中被开方数是非负数.

【考点】立方根的概念.

【注意点】一个负数的立方根是负数, 还要能利用立方和开立方的互逆运算进行验算.

【考点】二次根式性质、绝对值性质运用.

A.3B.9C.12D.27

【考点】相反数, 绝对值、算术平方根、非负数的性质, 二元一次方程组.

5. (2012黔东南州) 下列等式一定成立的是 () .

【考点】算术平方根、平方根的定义, 二次根式的运算法则.

【考点】二次根式的混合运算.

【注意点】在计算时要注意运算顺序, 根据二次根式的运算法则分别进行计算, 再合并同类二次根式即可.

【考点】估算无理数的大小, 不等式的性质, 实数大小比较.

【考点】分式运算, 二次根式的化简.

二次根式性质的归纳和运用 第7篇

首先我们回顾一下二次根式的概念, 课本上是这样定义的: 式子叫作二次根式, 二次根式的性质有以下几条, 包括平方、开方以及乘除法计算. 用式子表示为:

一、常考a1/2 ( a≥0) 中 a 的范围

这是二次根式最基本的一个概念, 也是非常重要的一个概念, 在考试中常常会出现, 覆盖范围比较广, 二次根式中的被开方数只要不是一个具体的数, 都应该考虑到它的范围, 牢记被开方数a是一个非负数.

例1已知 ( a +1) 2与互为相反数, 求a2+b2的值.

二、当a1/2存在时, 牢记 a≥0

当题目中出现槡a时, 也就是指槡a存在, 是有意义的, 那么就可以得出隐含的条件a≥0, 通常我们就是要利用这个隐含的条件来解题.

例2化简

分析这类化简其实考查的就是二次根式的性质如 ( a≥0) , 特别是的运用, 该性质与去绝对值号的原理是一样的. 化简的过程中要注意保持化简后的值的非负性, 如果a是两个数的差, 那么就要考虑到这两个数的大小关系.

三、正确理解 -a, 牢记-a1/2存在, 且 a0

很多学生受定式思维的影响, 总是容易把带“- ”号的数当成是负数. 形如-a1/2, 直观感觉它是错误的, 但当a0时, -a1/2是存在的.

例3把式子根号外的因式移到根号内, 并化简.

分析把因式移到根号内或者把因式移到根号外, 关键就是要保持式子的大小不变, 特别是符号不变, 在内移和外移时要先分析和判断式子的符号. 如上式中, 可以先从根号内入手判断a, b的大小以及a -b的符号.

四、如果 (-a2) 1/2存在, 那么 a =0

二次根式的性质运用是非常灵活的, 就像是 (-a2) 1/2存在, 则a =0, 这个性质也是根据a1/2 ( a≥0) 推导出来的. 在平时的学习中, 并不需要去死记, 而是把最基本的概念a1/2 ( a≥0) 记牢并理解好就可以了, 更重要的是学会用正确的方法去分析和推导, 那么遇到不同的形式也能运用自如.

例4计算的值.

五、若a1/2和b1/2都存在, 则 a≥0, b≥0

在解题中要留意一个参数同时存在于不同的根号中, 那么这个参数的取值必须是在这几个根号中的范围的交集. 也就是首先要保证每个根号有意义, 再确定参数的取值.

例5已知求m的值.

分析式子中含有四个根号, 首先要保证每个根号都有意义, 先从等号右边较简单的入手, 就可以得出a与b之间的关系, 通过关系的运用来求得m的值.

总的来说, 二次根式的性质的运用是相当灵活的, 学生们在学习的过程中千万不要死记硬背, 这样很容易混淆, 也很难记清楚, 而是要理解好每一个性质, 把最基本的几个性质记熟, 在运用的时候就能够做到举一反三, 灵活变换.

参考文献

[1]刘永生.挖掘隐含条件解二次根式问题.数学大世界:初中版, 2013 (11) .

[2]李洪生.二次根式考点解析.数学大世界:初中版, 2013 (10) .

学好二次根式的三个建议 第8篇

二次根式学完之后, 感觉效果不太理想, 学生们对二次根式运算的掌握程度明显不如整式与分式究其原因, 主要是二次根式的运算比整式与分式复杂得多, 给学生的学习带来了一定困难.那么, 如何才能帮学生把这一章学好学通呢?我觉得只要做到以下三点就可以了.

一、学好三个重要概念

二次根式、最简二次根式和同类二次根式是本章的三个重要概念, 它在二次根式的性质、运算中扮演十分重要的角色.因此, 在求二次根式的取值范围、化简、分母有理化、计算时, 必须让学生准确理解所学概念, 真正掌握如何去用.下面举例说明.

例1当x取何值时, 式子在实数范围内有意义?

分析:要使二次根式有意义, 必须清楚二次根式的概念, 也就是必须使被开方数不小于0.求二次根式中字母的取值范围时常转化为不等式或不等式组.

解:根据题意得, 解得且x≠3

所以当且x≠3时, 式子在实数范围内有意义.

例2若最简根式与根式是同类二次根式, 求a、b的值.

二、理解好两个重要公式

这是二次根式的两个重要公式, 它是二次根式运算的灵魂, 必须使学生认清公式的本质, 把握公式中的运算顺序和字母的取值范围.

例3计算

分析: (1) 中要用到上面两个公式, 尤其要让学生看清楚字母a的范围; (2) 中只用第二个公式的第二种情况, 切记负数的绝对值是它的相反数.

三、掌握好一个渗透与拓展

实数是有理数的扩充与发展, 因此, 有理数的运算方法与技巧可以渗透于二次根式的运算之中, 对于分解因式、方程求解也可以拓展到实数里进行.

例4计算: (1)

分析: (1) 用学过的平方差公式 (a+b) (a-b) =a2-b2即可解决; (2) 用学过的完全平方和公式a2+2ab+b2= (a+b) 2即可解决.

例5在实数范围内分解因式:

活用二次根式的非负性 第9篇

1. 二次根式有意义，则被开方数a≥0

例1已知实数a满足，那么a-2 0142的值是多少？

分析：因为是二次根式，所以a-2 015≥0，利用了被开方数是非负数这一性质.

解：由于是二次根式，所以a-2 015≥0，即a≥2 015，所以2 014-a<0.

由题意，得，所以a-2 0142=2 015.

2. 利用≥0解题

例2已知a,b满足，求a2 015-b2 015的值.

分析：根据几个非负数的和为零，那么每个非负数均等于零，从而求出a,b的值，即可解答所求问题.

解：根据≥0和平方的非负性，知.

由题意，得a+1=0,1-b=0，解得a=-1,b=1.所以a2015-b2015=-2.

3.二次根式同时存在，则a=0

例3已知x,y为实数，且，则（x+y)y=______.

分析：因为x,y为实数，所以隐含着两个算术平方根都有意义，即被开方数均为非负数这一条件.

解：由题意得，x-4≥0且4-x≥0，解得x=4.于是y=-2.故.

4.利用解题

例4已知xy<0，化简：

分析：由xy<0，可知x,y均不为0，且x,y异号，接着可由二次根式的隐含条件x2y>0推出它们的符号y>0,x<0.运用进行化简时，一定要结合具体问题，先判断出被开方数a是什么数，然后进行化简.

解：由二次根式的定义，得到x2y>0(x,y均不为0），而x2>0，所以y>0.又因为xy<0，所以x<0.故.

5.二次根式同时存在，则a≥0且b≥0

例5已知实数x,y,a满足：，试求a的值.

分析：此题应该先处理等式左边，利用二次根式的非负性得到等式左边的结果为零，再根据二次根式非负性处理等式右边，从而得到方程组求出x,y的值，再代入就可以求出a的值了.

解：根据二次根式被开方数的非负性，得到所以x+y-8=0，等式右侧可得因为等式的左边等于0，所以两式相加得到4x-3y+3=0，最后联立上面的两个二元一次方程得所以再将入到3x-y-a=0，得到a=4.

小试牛刀：

1.若有意义，则x的取值范围是_____.

2.若实数a,b满足

3.已知x,y为实数，且，试求x+3y的值.

4.若，则a的取值范围是____.

5.已知实数a,b,c满足关系式，求c的值并求出以a,b,c为边长的三角形的面积.

参考答案

1.3≤x≤5 2.-2 3.4