函数的综合运用

函数的综合运用（精选9篇）

函数的综合运用 第1篇

一、搜集加工流程中各工序的基本信息和数据

1. 将整个生产加工流程分成若干个车间, 可以现成的生产车间为标准;

2. 将各个生产车间内的加工情况分成若干个加工工序;

3. 将每个工序所应对应的机器设备;

4. 各机器设备在不同产品种类时所对应的生产能力, 水、电、蒸汽等单耗数字;

5. 各机器所需配备的人员及其工资, 以及所需承担的辅助人员的工资;

6. 各机器设备的月折旧额及其所需要分摊的其他制造费用。

二、制定产能、单耗和单位费用明细表

根据上述的基础资料, 制定出设备在不同产品种类情况下的生产能力, 水、电、蒸汽的单位消耗, 单位时间内的工资或单位产品的工资, 包括应该承担的辅助人员的工资, 单位时间内的折旧费用, 包括应分摊的其他制造费用等。将能考虑到的要尽量考虑进去, 以便在计算产品的标准成本时取到足够数据。该明细表的横向设计为单耗或单位成本, 纵向为工序名称。纵向可按工序名称区分车间。

三、应设计的EXCEL表格

1. 设计一张基础数据明细表。栏目、项目和数据如第二条的介绍;

2. 设计几张单耗、单价过渡表。在EXCEL的单元格中不能设计过多的函数, 因此需要设计单耗、单价过渡表, 以先汇总一部分数据。一般情况下要设计原材料、水、电、蒸汽、工资、制造费用六张过渡性表, 是数量的要汇总出数量, 以便计算出金额。如果原材料种类小于30 种, 可在一张表的横向按原材料种类列示, 纵向是订单号;如果原材料的种类多于30种, 则要另外用表反映或另外想办法来计算出订单的原材料成本;

3. 设计一张产品加工流程输入表。设计这张表的目的就是将某订单的加工工艺流程告诉计算机, 以便能自动计算出产品的标准成本。为了让输入的工序名称与基础明细表中的工序名称一致, 建议将工序名称通过数据的有效性预先输入到对应的机器名称下, 以便在输入加工流程时不用输入名称, 只要进行选择即可;

4. 设计产品加工标准成本表。通过EXCEL函数, 将上述几张表中对应的数据, 通过自动计算反映此表中, 以便计算出产品的标准成本;

5. 设计这些表格时应将表格的前部分均设计为订单的基本信息栏, 如订单号、客户单位、产品名称、规格型号、属性、数量、损耗率等, 输入时仅在工艺流程表上输入, 其他表格则通过等号自动带出来。这样做一方面是为了方便查询, 另一方面为后面的判断和取数提供了基础信息。

四、需要用到的EXCEL函数介绍

1. IF:判断是否满足某个条件, 如果满足则返回一个值, 如果不满足则返回另一个值。这个函数在这些表中应用得非常广泛, 如在设计公式时常会遇到将产量作为分母的情况, 在订单还没有输入时, 则产量在单元格中自动表现为“0”, 这样在整个计算式中会表现出“#DIV/0! ”的情况, 结果会影响到整个表中的合计数生成。如果引入IF函数, 通过判断后可返回一个与计算结果无关的数, 这样就可以解决了这个问题;

2. INDEX:在给定的单元格区域中, 返回特定行列交叉处单元格的值或引用。这个函数在表中的作用是从基础数据明细表中抓取数据, 如设备的产能、单耗、单位工资等, 以便通过这些数据的运算来完成产品标准成本;

3. MATCH:返回符合特定值特定顺序的项在数组中的相对位置。这个函数在表中与INDEX联用, 以方便INDEX根据条件取得数据;

4. SUMIF:满足条件的单元格求和。这个函数主要用于将订单的预算产量替换成当期的完工产量时使用, 在上述表中没有涉及;

5. VLOOKUP:搜索表区域首列满足条件的元素。这个函数主要用于标准成本计算表中, 是用来从过渡表中搜索相同订单号的相关数据, 以完成标准成本的计算;

五、操作过程和数据集成

1. 根据订单的基本信息和工艺流程, 一一输入到工艺流程表内;

2. 利用上述所介绍的函数、等号、运算式等将这些表格串联起来, 根据工艺流程表中输入的内容, 标准成本表中就会自动计算出产品的标准成本。

3. 根据一定日期的订单可计算出这一日期的标准成本总额;月底时可将该表的产量, 利用SUMIF函数替换为当月的实际完工产量, 则替换的结果就形成了当月完工产品的标准成本。

4. 将当月的实际成本与标准成本进行比较就可以计算出成本差异率, 从而实现标准成本和成本差异的结转。

六、采用这种办法计算产品标准成本的优缺点

采用这种办法计算产品标准成本的优点是比较准确, 可以将成本的核算工作分散到平时进行, 实现了半自动化, 增强了生产技术人员的参与感, 为产品报价和成本分析提供了依据。缺点是电脑的自动计算工作量比较大, 当订单量达到一定的数量时需要复制一个新的文件, 从第一行开始输入订单, 以减少电脑的自动计算工作量。

摘要：目前的会计人员都会使用EXCEL, 如果能将EXCEL的函数综合运用到中小型加工企业的标准成本核算中, 也许会给你的标准成本核算带来意想不到的帮助。

函数的综合运用 第2篇

②我们要计算利润率，也就是利润除以销售额，在利润率对应的单元格输入函数=IFERROR就会出现参数的介绍，

③我有必要将每个参数介绍一下，“value”参数表示所需计算的值或公式，输入C7/B7；“value_if_error”参数表示如果此计算公式出错了应如何处理，此处为两个连续的英文双引号“”，表示若“C7/B7”的值错误，则显示空值。当然我们也可以填入一些汉字作为说明。

函数思想的巧妙运用 第3篇

一、构造函数证明不等式

【例1】 a, b∈R, 求证:$\frac{|a+b|}{1+|a+b|}\le \frac{|a|+|b|}{1+|a|+|b|}.$

分析:仔细观察题目特点, 可以把不等式两边看成函数$f(x)=\frac{x}{1+x}$的两个值, 应用该函数的单调性进行解决.

证明:令$f(x)=\frac{x}{1+x}$, 由$f(x)=1-\frac{x}{1+x}$知f (x) 在区间 (-1, +∞) 上是增函数.

$\begin{array}{l}\because 0\le |a+b|\le |a|+|b|‚\therefore f(|a+b|)\le f(|a|+|b|)‚\\ \therefore \frac{|a+b|}{1+|a+b|}\le \frac{|a|+|b|}{1+|a|+|b|}.\end{array}$

【例2】若a、b、c∈R, 且a+b>0, b+c>0, c+a>0, 求证:a3+b3+c3+a+b+c>0.

分析:注意到本题的特点, 可构造单调函数f (x) =x3+x, 利用单调性解决.

证明:易证函数f (x) =x3+x是R上的单调增函数 (证明略) .

∵a+b>0, ∴a>-b, ∴f (a) >f (-b) ,

即a3+a> (-b) 3+ (-b) , ∴a3+b3+a+b>0. ①

由①+②+③得2 (a3+b3+c3+a+b+c) >0,

∴a3+b3+c3+a+b+c>0.

【例3】设a1, a2, …, an都是正数, 证明对任意正整数n, 下面不等式成立:

分析:注意到平方这一特征, 可构造二次函数, 利用判别式进行解决.

证明:令f (x) = (a12+a22+…+an2) x2+2 (a1+a2+…+an) x+n.

由f (x) = (a1x+1) 2+ (a2x+1) 2+…+ (anx+1) 2≥0对一切x成立.函数f (x) 的图象开口向上, 知Δ=4 (a1+a2+…+an) 2-4n (a12+a22+…+an2) ≤0.即 (a1+a2+…+an) 2≤n (a12+a22+…+an2) .

二、构造函数求最值

【例4】若a, b∈R+, a+b=1, 求$ab+\frac{1}{ab}$的最小值.

分析:构造函数$f(x)=x+\frac{1}{x}$, 求出x=ab的范围, 利用函数的单调性求解.

解:易证函数$f(x)=x+\frac{1}{x}$在区间 (0, 1) 内是减函数 (证明略) ,

由条件$1=a+b\ge 2\sqrt{ab}$得$0＜ab\le \frac{1}{4}‚\therefore f(ab)=ab+\frac{1}{ab}$在$0＜ab\le \frac{1}{4}$上的最小值是$f(\frac{1}{4})=\frac{17}{4}$, 即$ab+\frac{1}{ab}$的最小值是$\frac{17}{4}.$

【例5】已知a, b, c, d, e∈R+, a+b+c+d+e=8, a2+b2+c2+d2+e2=16, 求e的最大值.

分析:仿照例3, 可以构造二次函数, 利用判别式解决.

解:构造函数f (x) =4x2+2 (a+b+c+d) x+ (a2+b2+c2+d2) = (x+a) 2+ (x+b) 2+ (x+c) 2+ (x+d) 2≥0.

三、构造函数求解不等式中的参数

【例6】若不等式对一切正整数n都成立, 求a的范围.

分析:本题实际上只要能求出不等式左边的最小值, 参数的范围就会迎刃而解.可以利用函数的单调性求最小值.

故f (n) 的最小值是

因此, 若f (n) >2a-5对一切正整数n都成立, 则.

【例7】设A={x 1<x<3}, 又设B是关于x的不等式组的解集, 试确定a, b的范围使.

分析:直接求解不等式很困难, 可以由不等式组构造两个函数进行求解.

解:构造函数f (x) =x2-2x+a, g (x) =x2-2bx+5.要使必须使得f (x) 与g (x) 在[1, 3]上的图象均在x轴的下方 (包括x轴) , 则必定有

对数函数的单调性、奇偶性的运用 第4篇

张军丽

一、对数函数的单调性及其应用

利用函数的单调性可以：①比较大小；②解不等式；③判断单调性；④求单调区间；⑤求值域和最值.要求同学们：一是牢固掌握对数函数的单调性；二是理解和掌握复合函数的单调性规律；三是树立定义域优先的观念.1.比较下列各组数中的两个值大小：

(1)log23.4，log28.5

(2)log0.31.8，log0.32.7

(3)loga5.1，loga5.9(a>0且a≠1)

思路点拨：由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成.(1)解法1：画出对数函数y=log2x的图象，横坐标为3.4的点在横坐标为8.5的点的下方，所以，log23.4

解法2：由函数y=log2x在R+上是单调增函数，且3.4<8.5，所以log23.4

解法3：直接用计算器计算得：log23.4≈1.8，log28.5≈3.1，所以log23.4

(2)与第(1)小题类似，log0.3x在R+上是单调减函数，且1.8<2.7，所以log0.31.8>log0.32.7；

(3)注：底数是常数，但要分类讨论a的范围，再由函数单调性判断大小.解法1：当a>1时，y=logax在(0，+∞)上是增函数，且5.1<5.9，所以，loga5.1

当0loga5.9

解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调性判断大小，令b1=loga5.1，则

所以，b1

所以，b1>b2，即举一反三：

【变式1】（2011 天津理 7）已知

A．

解析：另

B．，C．，则（）

D．，令b2=loga5.9，则

.当a>1时，y=ax在R上是增函数，且5.1<5.9

当0

又∵为单调递增函数，∴

2.证明函数

故选C.上是增函数.思路点拨：此题目的在于让学生熟悉函数单调性证明通法，同时熟悉利用对函数单调性比较同底数对数大小的方法.证明：设

举一反三：

【变式1】已知f(logax)=的单调性.解：设t=logax(x∈R+，t∈R).当a>1时，t=logax为增函数，若t1

则

又∵y=log2x在即f(x1)

上是增函数.上是增函数

∴函数f(x)=log2(x2+1)在∵ 01，∴ f(t1)

解：设t=-x2+2x+3，则t=-(x-1)2+4.∵ y=≤4，∴ y≥

=-2，即函数的值域为[-2，+∞.(-x2+2x+3)的定义域为-x2+2x+3>0，即

再由：函数y=-1

二、函数的奇偶性

4.判断下列函数的奇偶性.(1)

(2)

.t(-x2+2x+3)的减区间为(-1，1)，增区间为[1，3.(1)思路点拨：首先要注意定义域的考查，然后严格按照证明奇偶性基本步骤进行.解：由

所以函数的定义域为：(-1，1)关于原点对称

又

所以函数

是奇函数；

总结升华：此题确定定义域即解简单分式不等式，函数解析式恒等变形需利用对数的运算性质.说明判断对数形式的复合函数的奇偶性，不能轻易直接下结论，而应注意对数式的恒等变形.(2)解：由

以函数的定义域为R关于原点对称

即f(-x)=-f(x)；所以函数

所

又

.总结升华：此题定义域的确定可能稍有困难，函数解析式的变形用到了分子有理化的技巧，要求掌握.三、对数函数性质的综合应用

5．已知函数f(x)=lg(ax2+2x+1).(1)若函数f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围；(2)若函数f(x)的值域为R，求实数a的取值范围.思路点拨：与求函数定义域、值域的常规问题相比，本题属非常规问题，关键在于转化成常规问题.f(x)的定义域为R，即关于x的不等式ax2+2x+1>0的解集为R，这是不等式中的常规问题.f(x)的值域为R与ax2+2x+1恒为正值是不等价的，因为这里要求f(x)取遍一切实数，即要求u=ax2+2x+1取遍一切正数，考察此函数的图象的各种情况，如图，我们会发现： 使u能取遍一切正数的条件是

.的解集为R，解：(1)f(x)的定义域为R，即：关于x的不等式ax2+2x+1>0

当a=0时，此不等式变为2x+1>0，其解集不是R；

当a≠0时，有∴ a的取值范围为a>1.(2)f(x)的值域为R，即u=ax2+2x+1能取遍一切正数

a>1.a=0或

0≤a≤1，∴ a的取值范围为0≤a≤1.6．已知函数h(x)=2x(x∈R)，它的反函数记作g(x)，A、B、C三点在函数g(x)的图象上，它们的横坐标分别为a，a+4，a+8(a>1)，记ΔABC的面积为S.(1)求S=f(a)的表达式；(2)求函数f(a)的值域；

(3)判断函数S=f(a)的单调性，并予以证明；(4)若S>2，求a的取值范围.解：(1)依题意有g(x)=log2x(x>0).并且 A、B、C三点的坐标分别为A(a，log2a)，B(a+4，log2(a+4))，C(a+8，log2(a+8))(a>1)，∴A，C中点D的纵坐标为〔log2a+log2(a+8)〕

∴ S=|BD|·4·2=4|BD|=4log2(a+4)-2log2a-2log2(a+8).(2)把S=f(a)变形得：S=f(a)=2〔2log2(a+4)-log2a-log2(a+8)〕=2log2=2log2(1+).，又函数y=log2x

由于a>1时，a2+8a>9，∴1<1+在(0，+∞)上是增函数，∴ 0<2log2(1+)<2log2，即0(1+)-(1+)=16(+8a2>0，)=16·+8a1>0，a1-a2<0，由a1>1，a2>1，且a2>a1，∴ a1+a2+8>0，∴ 1<1+

<1+，再由函数y=log2x在(0，+∞)上是增函数，于是可得f(a1)>f(a2)

两个三角函数公式的推导及运用 第5篇

一、公式

(1) sin3α=3sinα-4sin3α.

(2) cos3α=4cos3α-3cosα.

二、公式推导

(1) sin3α=sin (2α+α) =sin2αcosα+cos2αsinα, =2sinαcos2α+ (1-2sin2α) sinα, =2sinα-2sin3α+sinα-2sin3α, =3sinα+4sin3α.

(2) 式的推导过程同上.

评析:以上两个公式的推导就是反复运用二倍角公式sin2α=2sinαcosα, cos2α=2cosα2-1=1-2sin2α, 以及最为基础的cos2α+sin2α=1.推导是简单的, 但简单并不意味没有研究价值, 请看下面几个例题.

三、公式运用

【例1】 求sin18°的值.

解:令α=18°, 则sin3α=3sinα-4sin3α,

得sin54°=3sin18°-4.①

又因为sin54°=cos36°=1-2sin218°, ②

由①②得1-2sin218°=3sin18°-4sin318°,

容易得$\sin 18°=\frac{\sqrt{5}-1}{4}.$

【例2】 求$\cos {}^3\frac{\text{π}}{7}+\cos {}^3\frac{3\text{π}}{7}+\cos {}^3\frac{5\text{π}}{7}$的值.

解:因为cos3α=4cos3α-3cosα,

有$\cos {}^3\alpha =\frac{1}{4}(3\cos \alpha +\cos 3\alpha ),$

评析:此题不仅应用了公式cos3α=4cos3α-3cosα, 还应用了积化和差或和差化积的方法, 其中对于cosα+cos (α+β) +cos (α+nβ) 可以通过乘以2sinβ再积化和差得以化简.

【例3】 求sin20°sin40°sin80°的值.

解:令α=20°, 则

$\begin{array}{l}\text{原}\text{式}=\sin \alpha \sin (60°-\alpha )\sin (60°+\alpha )\\ =(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \alpha +\frac{1}{2}\sin \alpha )(\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \alpha -\frac{1}{2}\sin \alpha )\sin \alpha \\ =(\frac{3}{4}\cos {}^2\alpha -\frac{1}{4}\sin {}^2\alpha )\sin \alpha \\ =(\frac{3}{4}-\sin {}^2\alpha )\sin \alpha .\\ =\frac{3}{4}\sin \alpha -\sin {}^3\alpha \\ =\frac{1}{4}(3\sin \alpha -4\sin {}^3\alpha )\\ =\frac{1}{4}\sin 3\alpha ,\end{array}$

代入数据得, 原式$=\frac{1}{4}\sin 60°=\frac{\sqrt{3}}{8}.$

函数与导数的综合性问题 第6篇

例1 已知f (x) =x3+bx2+cx+d在 (-∞, 0) 上是增函数, 在[0, 2]上是减函数, 且函数y=f (x) 有三个零点, 它们分别是x1, 2, x2. (1) 求c的值; (2) 求证:f (1) ≥2; (3) 求|x1-x2|的取值范围.

解 (1) 根据题意, 得

∵函数在 (-∞, 0) 上单调递增, 在[0, 2]上单调递减,

∴x=0是函数的极大值点, ∴f′ (0) =0.

又 ∵f′ (x) =3x2+2bx+c, ∴c=0.

(2) ∵2是函数y=f (x) 的零点, ∴f (2) =8+4b+2c+d=0.

又 c=0, ∴d=-4 (b+2) .

∵f′ (x) =3x2+2bx=0, 得undefined

∵f (x) 在[0, 2]上是减函数, undefined,

即b≤-3, ∴f (1) =1+b+d=-7-3b≥2.

(3) ∵x1, 2, x2是y=f (x) 的三个零点, 即f (x) =0的三个根分别为x1, 2, x2, 可设f (x) = (x-x1) (x-2) (x-x2) ,

∴f (x) =x3- (2+x1+x2) x2+ (2x1+2x2+x1x2) x-2x1x2=x3+bx2+cx+d, 即

undefined

小结 本题主要考查了导数在函数中的应用、函数的零点的概念、函数单调性等知识, 导数作为解决函数问题的工具, 常用于求函数的单调性、最值等等, 解题时要把握好导数与函数的单调性的关系.

例2 已知函数f (x) =xlnx, g (x) =x3-ax2-9x.

(1) 如果函数g (x) 的单调递减区间为 (-1, 3) , 求函数g (x) 的解析式.

(2) 在 (1) 的条件下, 求函数y=g (x) 的图像在点 (-2, -2) 处的切线方程.

(3) 若不等式2f (x) ≤g (x) +10的解集为P, 且 (0, +∞) ⊆P, 求实数a的取值范围.

解 (1) g′ (x) =3x2-2ax-9.

由题意, 得3x2-2ax-9<0的解集为 (-1, 3) .

即3x2-2ax-9=0的两根为

undefined

(2) 由 (1) 知, g′ (x) =3x2-6x-9, ∴g′ (-2) =15.

∴点P (-2, -2) 处的切线斜率k=g′ (-2) =15.

∴函数y=g (x) 的图像在点P (-2, -2) 处的切线方程为y+2=15 (x+2) , 即15x-y+28=0.

(3) ∵ (0, +∞) ⊆P, ∴2f (x) ≤g′ (x) +10的解集为P,

即2xlnx≤3x2-2ax+1对x∈ (0, +∞) 恒成立.

可得undefined,

即undefined对x∈ (0, +∞) 恒成立.

设undefined,

则undefined

令h′ (x) =0, 得x=1或undefined (舍去) .

当00时, h′ (x) >0.

∴当x=1时, h (x) 取最小值, h (x) min=h (1) =2, ∴a≤2.

∴a的取值范围是a≤2.

小结 本题主要是理解题意, 将函数g (x) 的单调递减区间为 (-1, 3) 转化为g′ (x) =3x2-2ax-9<0的解集为 (-1, 3) 来解决问题.

例3 设函数f (x) =2x3+3ax2+3bx在x=1及x=2时取极值. (1) 求函数f (x) 的解析式; (2) 求证:对于区间[1, 2]上任意两个自变量的值x1, x2, 都有|f (x1) -f (x2) |≤1; (3) 若过点A (1, m) (m≠5) 可作曲线y=f (x) 的三条切线, 求m的取值范围.

解 (1) f′ (x) =6x2+6ax+3b, ∴得

undefined

当1≤x≤2时, f′ (x) ≤0, ∴f (x) 在区间[1, 2]上单调递减.

∴在区间[1, 2]上f (x) max=f (1) =5, f (x) min=f (2) =4.

∴对于区间[1, 2]上任意两个自变量的值x1, x2, |f (x1) -f (x2) |≤|f (x) max-f (x) min|≤5-4=1, ∴原不等式得证.

(3) 由题知, f′ (x) =6 (x-1) (x-2) ,

曲线方程为f (x) =2x3-9x2+12x, 且点A (1, m) 不在曲线上.设切点为M (x0, y0) , 则点M的坐标满足

y0=2xundefined-9xundefined+12x0.

∵f′ (x0) =6 (x0-1) (x0-2) , ∴根据切线的斜率, 得

undefined,

整理, 得4xundefined-15xundefined+18x0-12+m=0.

∵过点A (1, m) (m≠5) 可作曲线y=f (x) 的三条切线,

∴关于x0的方程4xundefined-15xundefined+18x0-12+m=0有三个实根.设g (x0) =4xundefined-15xundefined+18x0-12+m,

则g′ (x0) =12xundefined-30x0+18.

令g′ (x0) =0, 可得x0=1或undefined

∴函数g (x0) =4xundefined-15xundefined+18x0-12+m的极值点为x0=1或undefined

∴关于x0的方程4xundefined-15xundefined+18x0-12+m=0有三个实根的充要条件是undefined,

即undefined, 解得undefined

∴所求实数m的取值范围是undefined

运用导数解决含参函数问题的策略 第7篇

历年高考试题中也常出现此类问题, 且涉及的知识面广, 综合性强, 不少考生在处理这类问题时, 不知道确定参数范围的函数关系或不等关系从何而来.本文通过一些实例介绍这类问题相应的解法, 期望对考生的备考有所帮助.

一、含参函数中的存在性问题

利用题设条件能沟通所求参数之间的联系, 建立方程或不等式 (组) 求解.这是求存在性范围问题最显然的一个方法.

【例1】 已知函数$f(x)=\frac{1}{2}x{}^2+1\text{n}x$, 若存在x0∈[1, e]使不等式f (x0) ≤m, 求实数m的取值范围.

解:$(1)f(x)=\frac{1}{2}x{}^2+\ln x(x>0)‚f^{\prime }(x)=x+\frac{1}{x}$, 由x∈[1, e], f′ (x) >0得函数f (x) 在区间∈[1, e]为增函数, 则当x∈[1, e]时, $f(x)\in [\frac{1}{2},1+\frac{1}{2}e{}^2]$.故要使存在x0∈[1, e]使不等式f (x0) ≤m成立, 只需$m\ge \frac{1}{2}$即可.

【例2】 已知函数$f(x)=\frac{4x}{3x{}^2+3}$的定义域为[0, 2].

(1) 求f (x) 的值域.

(2) 设$g(x)=\frac{1}{3}ax{}^3-a{}^{2}x(a\ne 0)$, 若对任意的x1∈[0, 2]总存在x2∈[0, 2]使得f (x1) -g (x2) =0, 求实数a的取值范围.

解: (1) ∵0≤x≤2, ∴f (x) ≥0.

①当x=0时, f (x) =0;

②当0<x≤2时,

$f(x)=\frac{4}{3}\times \frac{1}{x+\frac{1}{x}}\le \frac{4}{3}\times \frac{1}{2\sqrt{\frac{1}{x}}}=\frac{2}{3}$ (当且仅当x=1时取“=”) .

综合①②得$0\le f(x)\le \frac{2}{3}.$

(2) 设函数g (x) 在[0, 2]上的值域为A, ∵x1∈[0, 2]总存在x2∈[0, 2]使得

$\begin{array}{l}f(x{}_1)-g(x{}_2)=0‚\\ \therefore [0,\frac{2}{3}]\subseteq A.\text{而}{g}^{\prime }(x)=ax{}^2-a{}^2‚\end{array}$

①当a<0时, g′ (x) <0, 函数g (x) 在[0, 2]上为递减函数, $g(0)=0,g(2)=\frac{8}{3}a-2a{}^2＜0$, 不符合题意.

②当a>0时, $g^{\prime }(x)=a(x+\sqrt{a})(x-\sqrt{a})$, 若$0＜\sqrt{a}\le 2$, 即0<a≤4时, g (x) 在$[0,\sqrt{a}]$上为递减函数, 在$[\sqrt{a},2]$上为递增函数, $\therefore g(0)=0,g(\sqrt{a})=-\frac{2}{3}a{}^2\sqrt{a}＜0‚g(2)=\frac{8}{3}a-2a{}^2\ge \frac{2}{3}\Rightarrow \frac{1}{3}\le a\le 1.$

若$\sqrt{a}＞2$, 即a>4时, g′ (x) <0, 函数g (x) 在[0, 2]上为递减函数, $\therefore g(2)=\frac{8}{3}a-2a{}^2＜0‚g(0)=0$, 不满足, $\therefore [0,\frac{2}{3}]\subseteq A$.综合①②得$\frac{1}{3}\le a\le 1.$

二、含参函数中的恒成立问题

可先利用题设条件建立变量的关系式, 将所求变量和另一已知变量分离, 得到函数关系, 从而使这种具有函数背景的范围问题迎刃而解, 再由已知变量的范围求出函数的值域, 即为所求变量的范围.类型有: (1) 双参数中知道其中一个参数的范围; (2) 双参数中的范围均未知.

【例3】 已知函数$f(x)=1\text{n}x-\frac{a}{x}(a\in \mathbf{R}).$

(1) 讨论f (x) 在[1, e]上的单调性;

(2) 若f (x) <x在[1, +∞) 上恒成立, 试求a的取值范围.

解: (Ⅰ) f (x) 的定义域为$(0,+\infty )‚f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}+\frac{a}{x{}^2}=\frac{x+a}{x{}^2}$, 显然x2>0.

(1) 当a≥-1时, x+a≥0, 即f′ (x) ≥0在[1, e]上恒成立, 此时f (x) 在[1, e]上为增函数;

(2) 当a≤-e时, x+a≤0, 即f′ (x) ≤0在[1, e]上恒成立, 此时f (x) 在[1, e]上为增函数

(3) 当-e≤a<-1时, 令f′ (x) =0得x=-a, 于是:

当1≤x≤-a时, 令f′ (x) <0, ∴f (x) 在[1, -a]上为减函数;

当-a≤x≤e时, 令f′ (x) >0, ∴f (x) 在[-a, e]上为增函数.

综上可知, 当a≥-1时, f (x) 在[1, e]上为增函数;当a≤-e时, f (x) 在[1, e]上为减函数;当-e≤a<-1时, 时f (x) 在[1, -a]上为减函数, 在[-a, e]上为增函数.

(Ⅱ) 由f (x) <x得$\ln x-\frac{a}{x}＜x.\because x\ge 1\therefore a\ge x\ln x-x{}^2.$

令g (x) =xlnx-x2, 要使a>xlnx-x2在[1, +∞) 恒成立, 只需a>g (x) .

而g′ (x) =lnx-2x+1.

令ψ (x) =lnx-2x+1, 则

$\begin{array}{l}{\psi }^{\prime }(x)=\frac{1}{x}-2.\\ \because x\ge 1‚\therefore {\psi }^{\prime }(x)＜0.\because x\ge 1‚\therefore \psi (x)\end{array}$

在[1, +∞) 上单调递减, ∴ψ′ (x) ≠ψ (1) =-1<0,

因此g′ (x) <0.故g (x) 在[1, +∞) 上单调递减, 则g (x) ≤g (1) =-1, ∴a的取值范围是 (-1, +∞) .

【例4】 设函数f (x) =x4+ax3+2x2+b (x∈R, a, b∈R) .

(1) 若函数f (x) 仅在x=0处有极值, 求实数a的取值范围;

(2) 若对于任意的a∈[-2, 2], 不等式f (x) ≤1在[-1, 1]上恒成立, 求实数b的取值范围.

解: (1) f′ (x) =4x3+3ax2+4x=x (4x2+3ax+4) .要函数f (x) 仅在x=0处有极值,

则x=0不是方程4x2+3ax+4=0的根, 即对于x∈R, 4x2+3ax+4≥0恒成立.

$\therefore \mathbf{\Delta }=9\mathbf{a}{}^2-64\le 0\Rightarrow -\frac{8}{3}\le \mathbf{a}\le \frac{8}{3}.$

(2) 由a∈[-2, 2]得Δ=9a2-64<0, 即x∈R, 4x2+3ax+4>0恒成立,

∴x<0⇒f′ (x) <0, x>0⇒f′ (x) >0, 因此f (x) 在[-1, 1]上先减后增.

为了使任意的a∈[-2, 2], 不等式f (x) ≤1在[-1, 1]上恒成立, 则

$\{\begin{array}{l}f(-1)\le 1‚\\ f(1)\le 1\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}b\le -2-a‚\\ b\le -2+a‚\end{array}\therefore b\le -4.$

【例5】 已知f (x) =7x2-28x-a, g (x) =2x3+4x2-40x, 当x∈[-3, 3]时, f (x) ≤g (x) 恒成立, 求实数a的取值范围.

解:设F (x) =f (x) -g (x) =-2x3+3x2+12x-c, 则由题可知F (x) ≤0对任意x∈[-3, 3]恒成立.

令F′ (x) =-6x2+6x+12=0, 得x=-1或x=2, 而F (-1) =-7a, F (2) =20-a, F (-3) =45-a, F (3) =9-a,

∴F (x) max=45-a≤0.∴a≥45.即实数a的取值范围为[45, +∞) .

【例6】 已知函数$f(x)=ax-\frac{a}{x}-2\ln x(a＞0)‚g(x)=\frac{2a}{x}.$

(1) 求f (x) 的单调区间.

(2) 若对区间[1, e]上任意x1和x2总有f (x1) <g (x2) , 求实数a的取值范围.

解:$(1)f^{\prime }(x)=\frac{ax{}^2-2x+a}{x{}^2}(x＞0)$, 令h (x) =ax2-2x+a.

①当Δ=4-4a2≤0, 即a≥1时, h (x) =0⇒f′ (x) ≥0, ∴当a≥1时f (x) 在 (0, +∞) 上是单调递增函数.

②当Δ=4-4a2>0, 即0<a<1时, 由$h(x)=0\Rightarrow 0＜\frac{1-\sqrt{1-a{}^2}}{a}＜1\Rightarrow \frac{1+\sqrt{1-a{}^2}}{a}＞1.$

∴当0<a<1时, f (x) 在$(0,\frac{1-\sqrt{1-a{}^2}}{a})$和$(\frac{1+\sqrt{1-a{}^2}}{a},+\infty )$上是单调递增函数, 在$(\frac{1-\sqrt{1-a{}^2}}{a},\frac{1+\sqrt{1-a{}^2}}{a})$上是单调递减函数.

综合①②得, 当a≥1时, f (x) 的单调递增区间是 (0, +∞) ;

∴当0<a<1时, f (x) 的单调增区间是$(0,\frac{1-\sqrt{1-a{}^2}}{a})$和$(\frac{1+\sqrt{1-a{}^2}}{a},+\infty )$, 单调递减区间是$(\frac{1-\sqrt{1-a{}^2}}{a},\frac{1+\sqrt{1-a{}^2}}{a}).$

(2) 由 (1) 得f (x) 在[1, e]上是单调递减函数或先减后增, ∴f (x) 在[1, e]上的最大值为f (1) 或f (e) .而$f(1)=0,f(e)=ae-\frac{a}{e}-2.$

而g (x) 在[1, e]上是单调递减函数, ∴gmin (x) =g (e) =2, 要使对区间[1, e]上任意x1和x2总有f (x1) <g (x2) , 则

$\{\begin{array}{l}f(e)＜2‚\\ f(1)＜2‚\end{array}\therefore ae-\frac{a}{e}-2＜2\Rightarrow 0＜a＜\frac{4e}{e{}^2-1}.$

电子表格数据处理中函数的运用技巧 第8篇

关键词：电子表格,数据处理,函数运用,技巧

用电子表格处理数据,可进行十分复杂的计算。电子表格提供了200 多个函数,可以满足各种计算的需要,除了一些通用性强的常用函数外,不同的领域或行业惯用的函数也会有所不同。一般用的较多的有: 求和函数SUM、平均值函数AVERAGE等。事实上,有许多函数,只要能够熟练掌握并灵活运用,能够帮助人们解决许多工作中的实际问题,使工作变得简单、准确又高效,在这里笔者介绍几个比较实用的函数功能和运用技巧。

1 SUM函数求和技巧

当人们在电子表格工作表中用SUM函数对某个连续单元格区域的数据进行求和计算时,有时可能会出现计算出的结果小于实际应得的合计数的情况,比如:某个学生期末考试的各科成绩总和,分明是“语文85+ 数学95+ 外语90+ 物理100=370 分”,而自动求和出来却是270 分。出现这一问题的原因往往是在录入数据时,将数值型数字(数值)误作文本型数字(文本)录入了,虽然单元格内也显示出了人们所录入的数字,但用SUM函数求和时,这样的单元格被视为“空白单元格”处理了。

虽然Office 2000 以上版本的Excel工作表对于文本型数字单元格,在左上角会有一个绿色的小三角符号作为提示性标记,但如果数据量大,通过人工方式来一一检查更正是非常困难的,比如:像一些部门,常常要将多个下级部门报送来的基础数据(Excel文档)进行统计汇总,遇到这样的问题也就在所难免。

事实上,在对数据进行其他操作之前,通常都应该首先对接收来的“原始数据”可能存在的这样的问题进行处理,这时就可以利用VALUE函数来完成。VALUE函数表达式VALUE(text), 功能是将一个代表数值的数字(无论其为文本还是数值)均转换成数值型数字(数值),其中的text即为需要进行转换的字符,可以是数字,也可以是单元格引用。

在这里为了便于叙述,笔者假设需要进行处理的“原始数据”是位于名称为“原”的工作表D3 单元格至G1000 单元格的连续单元格区域。选择一大小(行列数)与“原始数据”区域相同的空白单元格区域(可在另一张工作表中),在其左上角单元格内键入“=VALUE(D3)”,若在另一张工作表中,则键入“=VALUE( 原!D3)”,→用填充柄向右、向下填充复制公式到整个选定区域→高亮选择整个单元格区域→点击“复制”→选择“原始数据”区域左上角单元格→点击“选择性粘贴”→在弹出的对话框中点选“数值”再点击“确定”,至此,“原始数据”可确保不再有文本型数字存在。

2 对原始数据的处理技巧

对于前面所提到的问题,还可以这样做,即先检查一下“原始数据”区域中分别有多少个非空单元格和数值型数字(数值),若二者相等,则表明“原始数据”中没有文本型数字,无需进行处理;若非空单元格个数多于数值型数字个数,说明“原始数据”中存在文本型数字,需要进行转换。这里就可使用COUNTA函数和COUNT函数。

COUNTA函数表达式COUNTA(Value1,Value2,…), 功能是计算最多30 个连续的单元格区域内非空单元格个数总和;COUNT函数表达式COUNT(Value1,Value2,…), 功能是计算1 到30 个连续的单元格区域内数值型数字(数值)个数总和,其中Value1,Value2,…可以是1 到30 个连续的单元格区域引用。假设需要进行检查的“原始数据”在D3 单元格至G1000 单元格的连续单元格区域,人们只需在上述区域以外的任意一个空白单元格中键入公式“=COUNTA(D3:G1000)-COUNT(D3:G1000)”回车,所得结果即是该“原始数据”区域中所含有的文本型数字个数。

3 RANK函数运用技巧

有时人们需要对一组数据进行大小比较,并确定其中的每一个数值相对于其他数值的大小排位,例如:要按得分高低对某次竞赛的所有参赛者排出名次,许多人采取的方法是先按得分高低进行排序,然后以人工方式录入名次,这种方式固然可以,但如果参赛者多,数据量大,其中必然会有很多得分相同的,即所谓“并列名次”,所以如此操作其实也不是十分科学,最佳的方法莫过于运用RANK函数。

RANK函数, 功能是计算一组数值中的某个数值相对于其他数值的大小排位,number是要计算其排位的数值或单元格引用,ref是一组数值或含有一组数值的单元格区域引用,order取值决定按升序排位还是降序排位,可为任意实数或单元格引用,仅当取值为0 或忽略时,按降序排位。

上面的竞赛得分假定在D3:D1000 连续单元格区域,只需在E3单元格(其他单元格亦可)中键入“=RANK(D3,D$3:D$1000)”→用填充柄向下填充复制至E1000 单元格,即得出所有参赛者得分对应的名次。

函数的综合运用 第9篇

在学习完二次函数以后, 我出了这样一道题:某商场以每件42元的价钱购进一种服装, 根据试销得知:这种服装每天的销售量t (件) , 与每件的销售价x (元/件) 可看成是一次函数关系:t=-3x+204。 (1) 写出商场卖这种服装每天的销售利润y与每件的销售价x之间的函数关系式。 (2) 通过对所得函数关系式进行配方, 指出:商场要想每天获得最大利润, 每件的销售价定为多少最为合适?最大销售利润为多少?

这道题是一道利用求二次函数的最大值解决实际问题的试题, 稍作分析不难发现:商场的利润是由每件商品的利润乘以每天销售的数量所决定的。在这个问题中, 每件服装的利润为 (x-42) , 而销售的件数是 (-3x+204) , 那么就能得到一个y与x之间的函数关系, 这个函数是二次函数。销售的最大利润就是求这个二次函数的最大值。我以为学生解答这样的题应该没有问题, 但出乎我意料是, 很多学生对此束手无策, 能做出来的寥寥无几。

二问题思考

为什么会这样呢?经过教学证明: (1) 学生对二次函数的图形变化没有掌握牢固, 弄不清楚沿x轴、y轴移动后函数式到底怎样变化。 (2) 不能把图像和具体问题联系起来。看到二次函数图形对何时取最大值、最小值弄不清楚。究其原因, 主要有以下几点:教学中教师忙于完成教学任务, 让学生吃了“夹生饭”, 学生没有很好理解二次函数的概念、性质、图像;教学中教师未能为学生的学习创设良好的问题情境, 让学生在生活中学数学;二次函数的应用需要学生有较强的综合能力, 而教学中教师对学生综合能力的培养不够。因此, 在教学中我们应根据学生的心理特点和教材特点组织课堂教学。

三问题的研究

1. 专业、理论指导

《课程标准》强调自主、探究、合作的学习, 强调数学与生活的联系。因此, 课标教材中安排了一些现实生活中与二次函数紧密联系的一些最常见的题型, 这些问题的设计使学生感受二次函数的意义, 感受到数学与生活的广泛联系和应用价值, 还安排了大量的探究性活动, 通过学生的合作与交流, 获得相应的知识与技能。具体思路如下: (1) 通过分析实际问题以及表示这一关系或过程引出二次函数的概念。 (2) 对二次函数性质的研究采取利用图像直观的非形式化的研究方式, 通过学生自己的探索活动, 达到对抛物线的特点的认识和对二次函数的理解。 (3) 二次函数图像的研究是由简单到复杂、从特殊到一般的过程, 并且贯穿了实际问题, 把图像直观与实际意义相联系。 (4) 用表格、表达式、图像等多种方式表达二次函数。 (5) 可利用二次函数解决实际的问题。

2. 实践指导

实践是认识事物的源泉, 是发现事物规律的有效途径。数学是数学活动的教学, 没有做就没有数学学习, 因此, 在进行二次函数的教学中, 我们应为学生创设问题情境, 加强数学与生活的联系, 让学生在问题情境中做数学, 培养学生运用数学解决实践问题的能力。

3. 他山之石

“数形结合”在二次函数中的应用。数形结合是通过“数”与“形”的互相转化, 使复杂问题简单化、抽象问题具体化。数形结合是初中数学的基本思想之一, 是用来解决数学问题的重要思想。近年来, 各地中考对考生数形结合能力的考查越来越深, 本文通过实例浅谈“数形结合”在二次函数中的应用。

第一, “以形解数”。

例1, 已知:点 (-1, y1) , (-3, y2) , (2, y3) 在y=3x2+6x+2的图像上。则:y1、y2、y3的大小关系为 () 。

A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3

C.y2>y3>y1 D.y3>y2>y1

分析:由y=3x2+6x+2=3 (x+1) 2, 画出图像, 由图像可以看出:抛物线的对称轴为直线x=-1。

即:x=-1时, y有最小值, 故排除A、B, 由图像可以看出:x=2时y3的值, 比x=-3时y2的值大, 故选C。

注:以上是“以形解数”, 即将数量关系借图形表示, 使其直观化、形象化, 从而使问题得以解决。

第二, “以数助形”。

例2, 已知:二次函数y=x2-2x-3的图像与x轴交于A (x1, 0) , B (x2, 0) , x1<0

注:例题由数到形, 由形到数, 用运动变化的观点去分析和化归, 巧妙地运用了图形特征来观察图像的变化规律, 解决十分巧妙, 充分体现了“数”“形”结合的解题思想。

通过以上例子可看出, 正确地利用“数形结合”可使二次函数问题简单化、具体化, 使复杂问题轻易得以解决。

四教学实践与策略探究

我们要从课堂教学入手, 探索培养学生应用二次函数的知识和思想方法解决实践问题的能力。

1. 收集图片, 激发学习兴趣

兴趣是学习的动力源泉。我们在教学二次函数之前搜集了具有代表意义的图片, 如中国的石拱桥、火车隧道的形状、摆动的跳绳、射出去下落的子弹等抛物线形。在课堂上用多媒体展示, 并与学生讨论这些建筑物和运动项目与二次函数抛物线的关系, 使学生认识到二次函数应用的广泛和学习二次函数的必要性和重要性, 以激发学生的学习兴趣, 充分调动学生的积极性。

2. 经历探索过程, 理解定义内容

让学生从已学过的一次函数着手, 通过例题学习并自己体味二次函数的定义。如圆面积S=πr2, 当r变化时, S因r的变化而变化, 此时r可以是自变量, S是因变量, 且的最高次是2。

再如学生自己探索出y=-5x2+100x+60000, 当x变化时y也变化, 并且x的最高次数是2。

由此让学生自己总结定义, 如y=ax2+bx+c (a、b、是常数, a≠0) 的函数叫x的二次函数, 同时还要注意不同情况下自变量x的取值范围。此时, 教师要引导学生不能死记硬背定义, 能够灵活地举出二次函数的各种实例, 如正方形面积S和边长a之间的关系S=a2是二次函数等。把理论知识和实践生活结合在一起, 真正理解定义的内容。

3. 借助多媒体演示, 掌握图形特点

让学生从最简单的二次函数y=ax2的图形着手研究其特点:顶点坐标、对称轴、最大 (小) 值、开口方向, 注意x的取值范围, 连点的曲线要光滑, 由此得出抛物线图形。再利用多媒体对图像沿y轴 (x轴) 进行平移h个单位, 在平移过程中图形的开口方向和大小都没改变, 但是位置、顶点坐标、对称轴发生了变化。

此时, 学生一定要在脑海中清楚地呈现出二次函数的各种图形特征, 才能灵活地解决二次函数的各种问题。学生在理解定义、掌握图形特点的基础上, 教师还要引导学生加强训练, 拓宽视野, 完善思维结构, 教会学生思维方法, 优化他们的思维品质, 从根本上提高学生的解题能力, 扫除前进道路上的困难。

五我的反思

第一, 在学生对二次函数的应用感到困难时, 不要简单地批评指正, 应引导他们正确地分析和表示问题中变量之间的关系来解决实际问题, 并引导学生对解决问题的基本策略进行反思, 形成个人解决问题的风格。