工程数学模型范文

工程数学模型范文（精选10篇）

工程数学模型 第1篇

一、数学模型的类型及建模方法

数学模型 (Mathematical Model) 是近些年发展起来的新学科, 是数学理论与实际问题相结合的一门科学。它将现实问题归结为相应的数学问题, 在此基础上利用数学的概念、方法和理论进行深入的分析和研究, 从而定性或定量的刻画实际问题, 为解决现实问题提供精确的数据或可靠的指导。

1.数学模型分类。

对一个生物化学过程建立合适、正确的数学模型, 对数学模型的类型深入了解是关键。数学模型有广义和狭义两种解释。广义地说, 数学概念, 如数、集合、向量、方程等;狭义地说, 只有反映特定问题和特定的具体事物系统的数学关系结构的为数学模型。

数学模型从不同角度进行了分类: (1) 按模型的应用领域分类, 有生物学、气象学、经济学、社会学、物理学、化学、天文学数学模型等。 (2) 从数学的角度进行分类, 有确定性、随机性、模糊性和突变性数学模型。 (3) 按模型与时间有无联系分类, 有静态模型、动态模型。 (4) 按离散方法或连续方法分类, 有连续时间模型、离散时间模型。 (5) 按模型的数学方法分类, 有几何模型、微分方程模型、图论模型、规划论模型、马氏链模型。 (6) 按人们对是物发展过程的了解程度分类, 有白箱模型和灰箱模型。白箱模型指内部规律比较清楚的模型。灰箱模型指那些内部规律尚不十分清楚的问题。 (7) 按参数的特征, 分为分布参数和集中参数模型。分布参数模型是用各类偏微分方程描述系统的动态特性, 而集中参数模型是用线性或非线性常微分方程来描述系统的动态特性。 (8) 按模型参数是否确定, 分为参数模型与非参数模型。运用各种系统辨识的方法, 可由非参数模型得到参数模型。 (9) 按模型中各参量的相互关系, 分为线性模型和非线性模型。线性模型中各量之间的关系是线性的, 可以应用叠加原理。非线性关系则不满足叠加原理。在允许的情况下, 把非线性模型在工作点邻域内展成泰勒级数, 保留一阶项, 略去高阶项, 就可得到近似的线性模型。 (10) 根据研究模型的形态不同, 分物质模型模型和思想模型。“思想模型”是抽象思维与形象思维的统一, 它可以借助物质模型和用文字、符号、图表等表达。“物质模型”是以某种程度、形式相似的模型实体去再现原型。按照物质模型模拟原型的性质和内容, 模拟方法可以分为几种基本类型, 数学模拟就是其中的一种。随着计算机技术的发展, 数值模拟发展成为数学模型法的一个很重要内容。

2.建立数学模型的基本方法。

建立数学模型要求: (1) 真实完整; (2) 简明实用; (3) 适应变化。主要步骤有: (1) 确定模型对象。 (2) 模型假设。根据对象的特征和建模目的, 对问题进行必要的、合理的简化, 用精确的语言进行假设, 这是建模的重要一步。 (3) 建立模型。根据所作的假设分析对象的因果关系, 利用对象的内在规律和适当的数学工具, 构造各个量间的等式关系或其它数学结构。 (4) 模型求解。 (5) 模型分析、检验和修改。不论那种情况都需进行误差分析, 数据稳定性分析。 (6) 模型运用。用建立的模型去分析、解释已有的现象, 并预测未来的发展趋势, 以便给人们的决策提供参考, 扩大模型的应用范围。

二、 数学模型法在生化工程反应器中的应用

数学模型在生化工程中的应用已涉及到了所有领域, 现对在生化工程反应器中应用进行分析。

1.UASB反应器处理有机废水数学模型。

对上流式厌氧污泥床 (UASB) 反应器在常温下处理高浓度有机废水的生化过程进行分析, 建立生化反应时的生化动力学模型[2]。

(1) 微生物生长动力学。微生物降解废水有机物的过程, 实质上是一系列的酶催化生物化学反应过程。将米-门公式R=Rmax[s]/ ([S]+Km) , 应用于微生物降解废水中的基质, 并考虑到细胞的增长量与其细胞质量成正比, 得微生物生长速率式为rg=μmXs/ (ks+s) , 其中μm为在饱和溶液中微生物最大比生成速率, d-1, 又由于微生物生长过程中存在着内源呼吸, 因此可得微生物净生长动力学方程为undefined。 (2) 基质降解动力学。根据实验, 新细胞的产生数量对某种给定基质具有重现性, 定义Y为在任意规定的对数生长期测得的最大产量系数, 并定义为新生细胞质量与消耗基质质量之比, 可得undefined, 令undefined, 则有:undefined。 (3) CH4生成的动力学。CH4生成过程为厌氧过程, 废水减少的唯一途径是通过废水有机物的降解产生CH4, 其COD平衡为:进水COD-出水COD=甲烷气体COD。每降解1gCOD, 相当于产生0.25gCH4, 在标准状况下为0.35LCH4。

2.膜生物反应器处理污水数学模型。

膜生物反应器 (MBR) 在污水处理中具有一定优势, 由于MBR工艺本身固有的复杂性和不确定性, 提出一种能够为该工艺提供整体性理解的模型有必要。模拟 MBR工艺的数学模型有一些分析[3]。

(1) 生物动力学模型。

①活性污泥系列模型 (ASMs) 。虽然ASMs最初是用来描述传统活性污泥工艺的, 但这些模型也被用来模拟 MBR工艺, 用ASMs来描述具有可行性。②溶解性微生物产物 (SMP) 模型。在降解污染物的同时, 微生物通过细胞裂解、细胞膜扩散、合成代谢损失等方式向周围环境中释放出的溶解性物质称为SMP。FURUMAI等[4]提出了一个描述生物处理工艺中异养菌与硝化菌相互关系的模型。③ASM1-SMP混合模型。将SMP的形成和降解引入ASM1形成ASM1-SMP混合模型。 (2) 膜污染模型。膜污染模型有:经验流体动力学模型, 分形渗透模型, 分区阻力模型。 (3) 综合模型。对MBR完整描述的综合模型有:ASM1-SMP混合和串联阻力模型的综合、ASM3 和串联阻力模型。

建立完善的MBR相关模型, 需要对MBR机制有深入研究, 充分理解SMP、长污泥龄和高污泥浓度等与MBR相关的特性。

三、数学模型在生化工程中应用的发展趋势

在生化工程的研究和应用领域, 应用数学模型法的发展趋势有: (1) 向复杂化、综合化、精细化、准确化方向发展。在数学建模过程中, 引入随机因素, 由此建立综合模型, 其结果更加准确化。 (2) 向随智能化、专家化方向发展。生化工程的智能化发展, 通过过程调优控制, 可实现精细的反应、分离过程, 提高生产的选择性, 增加产品产量。 (3) 非线性方法应用。运用非线性方法和分岔混沌理论对模型进行分析和研究, 从深层次和本质上揭示模型的规律, 代表了模型研究的重要方向。人工神经网络能很好地描述生态系统变量的非线性关系。 (4) 相关学科成果的借鉴。 (5) 数值模拟计算方法的广泛应用。

四、 结论

生物加工系统中的反应器与分离设备放大, 国内主要采用逐级相似放大和经验放大的方法, 数学模型放大特点, 是放大倍数大及放大参数明确。由于生物加工体系的复杂性、多变性, 在生化工程数学模型研究方面, 仍然有很多工作要做, 只有熟悉专业知识, 并有一定的数学理论基础, 综合热力学、传递物理、流体力学和化学反应工程及系统工程的分析方法, 才能建立准确的定量数学模型, 从而为生化工程的研究与开发提供支持, 为生化工程产业化发展提供强大生命力。

参考文献

[1]欧阳藩.中国生物技术产业化现状[J].化工进展, 2000, (5) :5-11

[2]崔波, 孙海燕, 金青.UASB反应器用在有机废水处理过程中的数学模型及分析[J].高校化学工程学报.2002, 16 (2) :155-160

[3]刘牡, 彭永臻, 潼川哲夫, 等.膜生物反应器污水处理数学模型研究及其应用现状[J].环境污染与防治.2010, 32 (4) :78-83

工程数学模型 第2篇

一、提出模型——初步感知相遇问题

课堂上，刘老师通过4次直观活动，为学生全面、深刻的诠释了相遇问题的“两个地方”、“同时出发”、“相对而行”和“最后相遇”四要素。这样，既活跃了课堂，又使一个相遇问题的直观运动模型呼之欲出，也更好的为下一步学生自主建立语言文本模型打好了基础。以上这些工作，看似“繁琐、麻烦”，其实不然，如果没有以上的铺垫，学生只会建模，不能熟练用模，作业中肯定就会错误百出。这正是以前我在教学中的“软肋”，频频导致学生学习中出错的“病根”。

二、建立模型——思考与方法的双丰收

在学习中，学生尝试小组合作，整理交流已有信息，优化小组内出现的各种方法，自然而然的将生活中的问题转化成数学问题来思

考，构建出了相遇问题的语言模型，接着，分析比较得到了线段图解决问题的优越性，突出了解决相遇问题中，图形模型的重要性。最后，在学生充分理解的基础上，学生构建起了相遇问题的算式模型：70×5＋60×5或（70＋60）×5

这一过程，为学生深刻理解相遇问题的数量关系“速度和×时间=总速度”，起到了至关重要的作用，并构建出了相遇问题的本质模型。为下面解决更多的问题树立了标杆，实现了“模型构建”与“问题解决”的和谐统一。

三、模型拓展——来于生活，用于生活

让数学课堂盛开“数学模型”之花 第3篇

【片断一】“溜达”中唤醒经验模型

师：走路中有没有数学问题？请一位男生出来溜达一下。

（一男生从后面走到前面。）

师：你能想到什么数学问题？

师：如果一个人每分钟走30米，走了10分钟，你会问什么？

生：一共走了多少米？列式是：30×10=300米。

师：假如用“”表示1分钟走30米，那2分钟呢？3分钟呢？

生：2分钟走了2个30米，3分钟走了3个30米。

师：每分钟30米叫 ？（速度）10分钟叫 ？（时间）一共走的米数叫 ？（路程）

师：速度、时间、路程它们有什么关系呢？

生：速度×时间=路程。

师：这可是很重要的公式。

【赏析】吴老师巧妙地创设各种问题情境，课始就让一位男同学上来溜达溜达，这一“溜达”引出了一系列有关“速度”“时间”“路程”的数学问题，使学生迅速地进入学习状态，最大限度地激发了学生的求知欲，同时也借助生活经验进一步理解这三个数量之间的关系，从而唤醒已有知识的经验模型。

【片段二】 “表演”中感知概念模型

师：今天的事没那么简单，过去是一个人走，今天的事有点复杂。请看大屏幕（出示：同时、相对、相遇、相距），请大家一边读一边想。

（学生自由读）

师：你能用自己的动作或语言把这四个词语演一演吗？以同桌为一个小组试一试。

生：比如说，我们同时去同一家超市买东西。（该组学生上台表演并肩一起走）

师：这就叫同时，你同意吗？

生：同时不一定是两个人一起去同一个地方，它是指两个人一起出发。

师：哦，那这样叫同时吗？（教师让两个学生背对背走）

生：也是的。

师：那什么叫相对呢？（组1的两个学生赶紧面对面站在教室的两边，学生发出会心的笑声）

师：什么叫相距？

生：两个人中间有一点距离，不挨在一起。

生：我知道相遇就是两个人碰面了，挨在一起了。

师：你暂时叫张三，你暂时叫李四（教师让两个学生分立教室两边，再次表演）。8∶00，张三和李四同时从两地相对走来；8∶05，他们怎样？（两个学生相遇，握手互说“你好”）

生：他们相遇了。

师：对，他们8∶05相遇了。张三，大声告诉大家，你走了几分钟？

生：5分钟。

师：李四，你呢？

生：5分钟。

师：一共走了几分钟？

生：10分钟。（教师不做表态，马上有学生反应过来）

生：不对，还是5分钟。

师：为什么是5分钟？

生：因为他们是同时出发，同时到达一个地方的。

师：分析得真在理！

【赏析】作为相遇问题中的重要概念，同时、相对、相距、相遇这几个关键词，吴老师没有借助花哨的多媒体课件，而是让学生自己读、想这些关键词，并鼓励学生通过动作或语言真实地展现自己对数学概念的理解。课堂上，面对学生或对或错的反馈，吴老师也没有急于给出明确的判断，而是让学生自己通过讨论去辨析。在需要加深理解的紧要处，就组织学生通过再一次表演来分析、领悟，在表演活动中让学生的体验更真实，同时初步感知相遇问题的数学模型。

【片段三】“交流”中构建数学模型

（教师出示题目：小强和小丽分别从甲、乙两地同时出发走向对方，小强每分钟走100米，小丽每分钟走50米，4分钟后相遇，甲、乙两地相距多少米？）

师：先读题，可以画一画，也可以同桌两人演一演。（学生选择喜欢的方法理解题意）

师：在哪儿相遇？

生1：最中间相遇。

生2：偏一些相遇。

师：为什么偏一些？你怎么知道？

生：小强每分钟走100米，小丽每分钟走50米。

师：所以在哪儿偏一些？

生：偏向于乙，因为小丽走得慢一些。

甲乙

师：是老师告诉你怎样做？还是自己做？你们选哪个？

生：我们自己做。

师：现在请四位学生（两人一组）板演。

方法1：100×4+50×4 方法2：（100+50）×4

=400+200 =150×4

=600（米） =600（米）

师：大家对他们的方法有什么意见？（教师分别让两个学生各自代表不同的方法向全班介绍解题思路，并接受其他学生的提问）

生（方法1的代表）：大家对我们的算式有什么问题？（下面的同学一时还未能接受这样的学习方式，没有人提问）

师：好，那我带头先提问，100×4是什么意思，能跟大家解释一下吗？

生（方法1的代表）：100是小强每分钟走多少米，乘4就是4分钟走多少米。吴老师，你明白了吗？

师：谢谢你，我明白了，同学们想提问了吧！

生：我想问50×4是从哪儿来的？

生（方法1的代表）：50是小丽每分钟走的路程，乘4是她4分钟走的路程。你们还有问题吗？

生：400+200是什么意思？

生（方法1的代表）：小强和小丽共走了多少米，加在一起就是相距多少米。

师：我想问，400米是小强4分钟走的路程，200米是小丽走的路程，把它们加在一起就是求他们一共走了多少米，可是题目让你求的是甲乙两地的全长啊？

生（方法1的代表）：他们两个在同一个地方相遇了，（学生一边做手势一边解释）小丽走的路程正好和小强走的路程并在一起了，所以两个人的路程相加就是甲乙两地间的距离。

师：你们听明白了吗？他说什么呀？

生：两人所走的路程之和正好是甲乙两地的路程。

师：刚才你们已经学会了讨论，现在就来看第二种解题方法了。

生（方法2的代表）：大家对我们的解题方法有问题吗？ 生：请问100+50是什么意思？

生（方法2的代表）：100+50是他们一起一分钟走的路程，因为他们是同时出发的。

生：为什么还要乘4？

生（方法2的代表）：因为他们同时出发，一共用了4分钟，所以乘4就是求两人走的路程。

生；为什么这样列式，100既不是小强走的路程，也不是小丽走的路程，怎么能加起来？

师：看来大家对这个算式有点陌生，我来帮点忙，仔细看（教师课件演示两人同时相对走一分钟）他们先走了几分钟？一共走了多少米？

生：1分钟，150米。

师：现在一共走了多少米？（教师继续演示两人同时相对走了两分钟）

生：300米。

师： 对今天研究的数量关系有感觉了吗？速度在哪里？时间、路程又在哪里？

……

【赏析】吴老师以课堂作为学生交流的舞台，给予学生充分的自主发言权，把教学中的学生方法反馈这一重要环节巧妙地变成了精彩的思维碰撞活动，让学生尝试着自己提问、自己释疑，教师在学生的对话中始终扮演着协助者的角色，耐心地激发提问方的热情，又启发着被问方的思维，让学生能敞开心扉、平等交流，让学生充分经历数学模型的建构过程。最后一句：“对今天的数量关系有感觉了吗？”触动学生思维，有效地引领学生进一步寻找、体验相遇问题的解题方法。

【片段四】“辨析”中提升数学模型

师：过去研究一个人行走，今天研究的是两个人同时行走。这样的问题除了两个人行走，两列火车对开，还有什么地方也有这样的问题？

生1：两辆自行车对着骑来。

生2：两艘轮船对着开来。

生3：两架飞机相对飞来。

生4：两个人对着修路。

……

师：这样的情景太多了。

出示：四（1）班为准备联欢会，分三个组折纸花、纸鹤。第一小组每小时折50朵纸花，第二小组每小时折60朵纸花，第三小组每小时折40只纸鹤。他们共同折了3小时，一共折了多少朵纸花？

生分小组板演列综合算式：

A：50×3+60×3+40×3 B：（50+60）×3

（50+60+40）×3 50×3+60×3

生：50+60是什么意思？乘3又是什么意思？

B组代表：50+60是第一、二小组每小时共折多少朵纸花，再乘3就是求3小时共折多少朵纸花。

生：请问A组同学，题目要求折多少纸花？你们为什么把纸鹤也算进去？

A组代表：我们看错题了。

师：假如说A式对的，怎么改题目？

生1：把纸鹤改成纸花。

生2：把问题改为“一共折了多少只纸花和纸鹤？”

师：今天研究的是两个物体的运动，以后还会碰到这样的问题：两人对着骑车，途中一人车坏了修车，修好车又继续行走的情况，该如何解决它呢，以后我们继续研究这个问题。

【赏析】吴老师让学生找生活中类似于两个人行走的问题，学生的思维又一次得以激活。由相遇问题到修路问题再到折纸问题，层层推进建构数学模型。在最后的变式应用中举一反三，在辨析中让学生理解同类问题解题的方法和思路是同样的，有效地提升数学模型。最后，吴老师还以谈话的形式把相遇问题继续延伸，留给学生更多的探究欲望和思考空间。（作者单位：江西省余江县第一小学）

责任编辑：周瑜芽

工程数学模型 第4篇

关键词：光伏电池工程模型,输出特性,修正方法,Matlab

0 引言

光伏发电系统运行需建立光伏电池组件及光伏阵列的等效数学模型, 基于太阳能电池组件生产厂商技术参数的工程数学模型实用、通用性强、便于计算, 被广泛用于光伏电池的建模分析, 但是当外界条件变化时, 该模型曲线拟合误差较大。因此提高光伏电池工程数学模型的拟合精度就显得非常重要。

基于扰动观测法的光伏电池阵列自主修正方法, 根据外界光照条件, 电池板温度以及其输出电压和电流来对模型温度系数进行修正。修正后的系数能够提高工程模型的精度, 克服了当外界条件变化时工程模型拟合误差较大的问题。

在Matlab/Simulink中对修正过的工程模型进行建模仿真, 并使用PV模拟器模拟该模型的输出特性, 仿真和模拟结果与实测数据比较验证了基于扰动观测法的光伏电池阵列自主修正方法的有效性。

1 光伏电池的数学模型

1.1 光伏电池的物理等效模型

光伏电池的单二极管等效电路模型如图1所示。

其数学模型:

式中, I、U分别为光伏电池的输出电流和电压;IL为的光生电流;I0为光伏电池等效二极管反向饱和电流;q为单位电子电荷 (1.602×10-19) ;A为等效二极管理想因子;K是波尔兹曼常数 (1.38×10-23) ;T是电池温度;RS为等效串联电阻;RSH为等效并联电阻。

式 (2) 所示基于光伏电池物理等效电路的模型能够准确反映光伏电池内部特性对光伏电池I-U特性的影响, 被广泛用于光伏电池的理论分析中, 但式 (2) 是隐式超越指数方程, 本身不易求解, 并且IL、I0、A、RS、RSH这五个参数不属于生产厂商向用户提供的数据。

1.2 光伏电池的工程数学模型

为了更利于光伏发电系统工程设计, 需要建立基于光伏组件生产厂商提供的技术参数 (开路电压UOC、短路电流ISC、最大功率点电压Um、最大功率点电流Im) 的工程数学模型。因为通常RSH都比较大, 忽略 (U+RSH) /RSH项, 则光伏电池的I-U方程可简化为:

式 (3) 仍是含有四参数 (IL、I0、A、RS、) 的隐式方程, 设定IL=ISC, 这是因为一般情况下RS远小于等效二极管正向导通电阻, 同时为了简化计算引入中间系数M、N, 式 (3) 可写成:

式 (4) 即基于光伏组件生产厂商提供的技术参数的光伏电池工程数学模型。

1.3 等效串联电阻的估算

光伏电池的等效串联电阻会影响光伏电池的正向伏安特性和短路电流, 并且等效串联的增大还会使光伏电池的填充因子和光电装换效率降低, 为了研究串联电阻对光伏电池输出特性的影响, 对串联电阻的估算很有必要。在式 (3) 中, 为了方便计算引入中间参数h, h=q/AKT, 且IL=ISC。在一般常温条件下, exp[h (U+RSI) /T]>>1, 则式 (3) 可简化为:

当处于开路状态时, I=0, U=Uoc, 带入式 (5) 得:

当处于最大功率点处时, I=Im, U=Um再次带入式 (5) 得:

联立式 (6) 、式 (7) 可求得:

解得:

在标准测试环境下ISC/I0=108~1010, 一般可取I0=10-9ISC, 等效串联电阻的估算仍然是基于光伏组件生产厂商提供的技术参数。

2 基于扰动观测法的光伏电池工程模型自主修正方法

当外界温度和光照条件的改变时, 为了得到不同温度以及光照条件下的I-U特性曲线, 需要对其在标准条件下的I-U特性曲线进行修正, 有两种修正方法:

(1) 迭代计算法。根据参考日照强度和参考电池温度下的ISC、UOC、Im、Um推算出新日照强度和新电池温度下的Isc′、Uoc′、Im′、Um′, 再代入式 (4) 得到新日照强度和新电池温度下的I-U特性曲线:

式中, Tref、Sref分别为标准测试条件 (STC) 下的电池温度、光照强度, Tref=25℃, Sref=1000W/m2。并且假设推算过程中I-U特性曲线基本形状不变, 系数a、b、c取典型值:a=0.0025/℃, b=0.5/℃, c=0.0028/℃。

(2) 变量修正法。当外界条件变化时, 对光伏电池输出电压和电流的变化量进行修正。通过对参考日射照强度和参考电池温度下I-U特性曲线上任意点 (U, I) 的移动, 得到新日照强度和新电池温度下的I-U特性曲线上任意点 (U′, I′) :

式中, RS由式 (9) 给出, α为短路电流温度系数, β为开路电压温度系数。把式 (11) 代入式 (4) 就可以得到新光照强度和新电池温度下的I-U关系表达式:

变量修正法是针对光伏电池组件出厂时的技术参数而建立的光伏电池模型。然而, 随着使用年限的增加, 光伏电池阵列就会老化, 尤其当光伏组件工作过程中某个单体光伏电池被积云、树叶或者其他不透明物体遮挡时, 将导致该光伏组件输出电流降低而使得被遮挡的单体光伏电池产生过热现象, 通常称为热斑现象。热斑现象会严重影响光伏组件的使用寿命, 其输出特性也会受到影响。针对上述问题, 提出一种基于扰动观测法的光伏电池阵列自主修正方法, 能够根据外界光照条件, 电池板温度以及其输出电压和电流来对模型参数进行修正。在对电池模型进行校准时, 首先需要测量出标准状况下的参考值, 即UOC1、ISC1、Um1、Im1。

因而式 (12) 需要改写成:

M1、N1分别为:

式 (11) 中的ΔI、ΔU则要改写成:

式中, ΔT与ΔS和式 (11) 中的一致。为了计算式 (15) 中的修正系数α1和β1, 首先计算ΔI1和ΔU1, 根据扰动观测法得到某一外界条件下的最大功率点电压Um1′, 并同时测量出该外界条件下的最大功率点电流Im1′。根据式 (13) 得:

再测量出该条件下的开路电压Uoc1′, 根据式 (13) 得:

式 (16) 和式 (17) 两边分别进行相减得:

式 (18) 化简可得:

由于M1、N1、Isc1、Uoc1、Im1′均是大于零的实数, 且Uoc1′定大于Um1′, 因此K/Im1′为大于零的实数, 所以可对式 (19) 上式取自然对数, 得到:

从而有:

将式 (21) 代入到式 (17) 中, 得:

将式 (22) 代入到式 (15) 中, 可得:

将式 (21) 、 (22) 代入到式 (15) 中, 可得:

从而求得了修正系数α1和β1。式 (15) 、 (24) 中的RS1可把UOC1、ISC1、Um1、Im1代入式 (9) 而求得。在实际应用中, 为了提高所求修正系数的精确度, 需要进行多次计算求取平均值。求得修正系数之后, 与式 (11) 中推导方法一致, 就能够分别得到不同外界条件下的光伏电池输出特性。

3 光伏阵列模型的建立

为了得到较大功率的输出, 在实际应用中光伏电池组件通过串并联组成光伏阵列, 为了便于计算机仿真和计算, 构造开关向量S=[1, 1, 1, …], 电压向量U=[U1, U2, U3, …], 电流向量I=[I1, I2, I3, …], 从而更利于计算光伏阵列参数。

设定光伏阵列串联单元数为j, 并联单元数为k, UZOC为光伏阵列开路电压, IZSC为阵列短路电流, UZm为阵列最大功率点电压, IZm为阵列最大功率点电流, 则:

其中, S1的维数为j, S2的维数为k, UOcj (j=1, 2, 3, …) 为各个串联单元的开路电压, ISCk (k=1, 2, 3, …) 为各个并联单元的短路电流, 同样可以求得UZm和IZm:

然后将UZOC、IZSC、UZm、IZm代入式 (4) 就得到了光伏阵列的模型。当光照强度和温度变化时, 采用上述扰动观测法对光伏阵列模型进行矫正。

4 仿真及实验验证

4.1 仿真模型

为了验证扰动观测自主修正方法的有效性和准确性, 选择英利集团YL260-30b组件, 并且在Matlab/Simulik环境下搭建仿真模型, 对比在光照强度G=800k W/m2、600k W/m2、400k W/m2、200k W/m2, 温度为25℃时两种修正方法I-U特性曲线与物理模型仿真曲线的拟合程度, 光伏电池组件仿真模型如图2所示。

4.2 仿真结果与分析

通过搭建仿真模型对上述不同光照强度的光伏电池组件进行仿真, 仿真结果如图3所示。

由仿真结果可知:当光照强度降低时两种方法的拟合精度都有所降低, 但是修正后方法 (2) 的拟合精度总是高于方法 (1) 。

4.3 实验验证

采用瑞士瑞佳通 (Regatron) 型号为TCP.32.1000.400.S的可编程直流电源作为PV模拟器对基于扰动观测法自主修正的光伏电池工程模型进行编程模拟, 将PV模拟器通过RS232串口与计算机通信, 在Top Controlv4.02.19软件环境下进行编程, 模拟结果与光伏组件实测数据结果比较如图4所示。

5 结语

实验结果表明, 基于扰动观测法修正的模型与光伏电池实测数据能够实现较准确的拟合, 达到预期修正效果。

参考文献

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[2]万晓凤, 张燕飞, 余运俊, 等.光伏电池工程数学模型的比较研究[J].计算机仿真, 2014, 3 (3) :113-117

[3]赵争鸣, 陈剑, 孙晓瑛.太阳能光伏发电最大功率点跟踪技术[M].北京:电子工业出版社, 2012:27-44

[4]张兴, 曹仁贤.太阳能光伏并网发电及其逆变控制[M].北京:机械工业出版社, 2011:127-192

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[6]孙园园, 肖华锋, 谢少军.太阳能电池工程简化模型的参数求取和验证[J].电力电子技术, 2009, 6 (43) :44-46

[7]廖志凌, 阮新波.硅太阳能电池串联电阻的一种估算新方法[J].电工技术学报, 2008, 5 (23) :88-91

初中数学几何模型 第5篇

全等变换

平移：平行等线段（平行四边形）

对称：角平分线或垂直或半角

旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转

对称全等模型

说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线，形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。垂直也可以做为轴进行对称全等。

对称半角模型

说明：上图依次是45°、30°、22.5°、15°及有一个角是30°直角三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等边三角形、对称全等。

旋转全等模型

半角：有一个角含1/2角及相邻线段

自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等

共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等

中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题

旋转半角模型

说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起，成对称全等。

自旋转模型

构造方法：

遇60度旋60度，造等边三角形

遇90度旋90度，造等腰直角

遇等腰旋顶点，造旋转全等

遇中点旋180度，造中心对称

共旋转模型

说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考察的内容。通过“8”字模型可以证明。

模型变形

说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。

当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组成三角形证全等。

中点旋转：

说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与中点所成图形为等腰直角三角形。证明方法是倍长所要证等腰直角三角形的一直角边，转化成要证明的等腰直角三角形和已知的等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。

几何最值模型

对称最值(两点间线段最短)

对称最值(点到直线垂线段最短)

说明：通过对称进行等量代换，转换成两点间距离及点到直线距离。

旋转最值(共线有最值)

说明：找到与所要求最值相关成三角形的两个定长线段，定长线段的和为最大值，定长线段的差为最小值。

剪拼模型

三角形→四边形

四边形→四边形

说明：剪拼主要是通过中点的180度旋转及平移改变图形的形状。

矩形→正方形

说明：通过射影定理找到正方形的边长，通过平移与旋转完成形状改变

正方形+等腰直角三角形→正方形

面积等分

旋转相似模型

说明：两个等腰直角三角形成旋转全等，两个有一个角是300角的直角三角形成旋转相似。

推广：两个任意相似三角形旋转成一定角度，成旋转相似。第三边所成夹角符合旋转“8”字的规律。

相似模型

说明：注意边和角的对应，相等线段或者相等比值在证明相似中起到通过等量代换来构造相似三角形的作用。

说明：（1）三垂直到一线三等角的演变，三等角以30度、45度、60度形式出现的居多。

（2）内外角平分线定理到射影定理的演变，注意之间的相同与不同之处。另外，相似、射影定理、相交弦定理（可以推广到圆幂定理）之间的比值可以转换成乘积，通过等线段、等比值、等乘积进行代换，进行证明得到需要的结论。

说明：相似证明中最常用的辅助线是做平行，根据题目的条件或者结论的比值来做相应的平行线。

初中数学经典几何题（附答案）

经典难题（一）

1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E是圆上的两点，CD⊥AB，EF⊥AB，EG⊥CO．

求证：CD＝GF．（初二）

A

F

G

C

E

B

O

D2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，∠PAD＝∠PDA＝150．

A

P

C

D

B

求证：△PBC是正三角形．（初二）

3、如图，已知四边形ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是AA1、BB1、CC1、DD1的中点．

求证：四边形A2B2C2D2是正方形．（初二）

D2

C2

B2

A2

D1

C1

B1

C

B

D

A

A1

A

N

F

E

C

D

M

B4、已知：如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，M、N分别是AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F．

求证：∠DEN＝∠F．

经典难题（二）

1、已知：△ABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且OM⊥BC于M．

（1）求证：AH＝2OM；

·

A

D

H

E

M

C

B

O

（2）若∠BAC＝600，求证：AH＝AO．（初二）

·

G

A

O

D

B

E

C

Q

P

N

M2、设MN是圆O外一直线，过O作OA⊥MN于A，自A引圆的两条直线，交圆于B、C及D、E，直线EB及CD分别交MN于P、Q．

求证：AP＝AQ．（初二）

3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：

设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE，设CD、EB分别交MN于P、Q．

·

O

Q

P

B

D

E

C

N

M

·

A

求证：AP＝AQ．（初二）

4、如图，分别以△ABC的AC和BC为一边，在△ABC的外侧作正方形ACDE和正方形CBFG，点P是EF的中点．

P

C

G

F

B

Q

A

D

E

求证：点P到边AB的距离等于AB的一半．（初二）

经典难题（三）

1、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，AE＝AC，AE与CD相交于F．

A

F

D

E

C

B

求证：CE＝CF．（初二）

2、如图，四边形ABCD为正方形，DE∥AC，且CE＝CA，直线EC交DA延长线于F．

求证：AE＝AF．（初二）

E

D

A

C

B

F3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF⊥AP，CF平分∠DCE．

D

F

E

P

C

B

A

求证：PA＝PF．（初二）

O

D

B

F

A

E

C

P4、如图，PC切圆O于C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线PO相交于B、D．求证：AB＝DC，BC＝AD．（初三）

经典难题（四）

1、已知：△ABC是正三角形，P是三角形内一点，PA＝3，PB＝4，PC＝5．

A

P

C

B

求：∠APB的度数．（初二）

2、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且∠PBA＝∠PDA．

求证：∠PAB＝∠PCB．（初二）

P

A

D

C

B3、设ABCD为圆内接凸四边形，求证：AB·CD＋AD·BC＝AC·BD．（初三）

C

B

D

A4、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点，AE与CF相交于P，且

AE＝CF．求证：∠DPA＝∠DPC．（初二）

F

P

D

E

C

B

A

经典难题（五）

1、设P是边长为1的正△ABC内任一点，L＝PA＋PB＋PC，求证：≤L＜2．

2、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA＋PB＋PC的最小值．

A

C

B

P

D

A

P

C

B

A

C

B

P

D3、P为正方形ABCD内的一点，并且PA＝a，PB＝2a，PC＝3a，求正方形的边长．

E

D

C

B

A4、如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝800，D、E分别是AB、AC上的点，∠DCA＝300，∠EBA＝200，求∠BED的度数．

经典难题（一）

1.如下图做GH⊥AB,连接EO。由于GOFE四点共圆，所以∠GFH＝∠OEG,即△GHF∽△OGE,可得==,又CO=EO，所以CD=GF得证。

2.如下图做△DGC使与△ADP全等，可得△PDG为等边△，从而可得

△DGC≌△APD≌△CGP,得出PC=AD=DC,和∠DCG=∠PCG＝150

所以∠DCP=300，从而得出△PBC是正三角形

3.如下图连接BC1和AB1分别找其中点F,E.连接C2F与A2E并延长相交于Q点，连接EB2并延长交C2Q于H点，连接FB2并延长交A2Q于G点，由A2E=A1B1=B1C1=

FB2，EB2=AB=BC=FC1，又∠GFQ+∠Q=900和

∠GEB2+∠Q=900,所以∠GEB2=∠GFQ又∠B2FC2=∠A2EB2，可得△B2FC2≌△A2EB2，所以A2B2=B2C2，又∠GFQ+∠HB2F=900和∠GFQ=∠EB2A2,从而可得∠A2B2

C2=900，同理可得其他边垂直且相等，从而得出四边形A2B2C2D2是正方形。

4.如下图连接AC并取其中点Q，连接QN和QM，所以可得∠QMF=∠F，∠QNM=∠DEN和∠QMN=∠QNM，从而得出∠DEN＝∠F。

经典难题（二）

1.(1)延长AD到F连BF，做OG⊥AF,又∠F=∠ACB=∠BHD，可得BH=BF,从而可得HD=DF，又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM

(2)连接OB，OC,既得∠BOC=1200，从而可得∠BOM=600,所以可得OB=2OM=AH=AO,得证。

3.作OF⊥CD，OG⊥BE，连接OP，OA，OF，AF，OG，AG，OQ。

由于，由此可得△ADF≌△ABG，从而可得∠AFC=∠AGE。

又因为PFOA与QGOA四点共圆，可得∠AFC=∠AOP和∠AGE=∠AOQ，∠AOP=∠AOQ，从而可得AP=AQ。

4.过E,C,F点分别作AB所在直线的高EG，CI，FH。可得PQ=。

由△EGA≌△AIC，可得EG=AI，由△BFH≌△CBI，可得FH=BI。

从而可得PQ=

=，从而得证。

经典难题（三）

1.顺时针旋转△ADE，到△ABG，连接CG.由于∠ABG=∠ADE=900+450=1350

从而可得B，G，D在一条直线上，可得△AGB≌△CGB。

推出AE=AG=AC=GC，可得△AGC为等边三角形。

∠AGB=300，既得∠EAC=300，从而可得∠A

EC=750。

又∠EFC=∠DFA=450+300=750.可证：CE=CF。

2.连接BD作CH⊥DE，可得四边形CGDH是正方形。

由AC=CE=2GC=2CH，可得∠CEH=300，所以∠CAE=∠CEA=∠AED=150，又∠FAE=900+450+150=1500，从而可知道∠F=150，从而得出AE=AF。

3.作FG⊥CD，FE⊥BE，可以得出GFEC为正方形。

令AB=Y，BP=X,CE=Z,可得PC=Y-X。

tan∠BAP=tan∠EPF==，可得YZ=XY-X2+XZ，即Z(Y-X)=X(Y-X)，既得X=Z，得出△ABP≌△PEF，得到PA＝PF，得证。

经典难题（四）

1.顺时针旋转△ABP

600，连接PQ，则△PBQ是正三角形。

可得△PQC是直角三角形。

所以∠APB=1500。

2.作过P点平行于AD的直线，并选一点E，使AE∥DC，BE∥PC.可以得出∠ABP=∠ADP=∠AEP，可得：

AEBP共圆（一边所对两角相等）。

可得∠BAP=∠BEP=∠BCP，得证。

3.在BD取一点E，使∠BCE=∠ACD，既得△BEC∽△ADC，可得：

=，即AD•BC=BE•AC，①

又∠ACB=∠DCE，可得△ABC∽△DEC，既得

=，即AB•CD=DE•AC，②

由①+②可得:

AB•CD+AD•BC=AC(BE+DE)=

AC·BD，得证。

4.过D作AQ⊥AE，AG⊥CF，由==，可得：

=，由AE=FC。

数学模型与中学数学教学 第6篇

数学模型, 是一组被设计得与另一实体 (即模型的原型) 相对应的完全相容的数学结构.原型可以是物理的、生物的、社会的、心理的或概念的实体, 或者甚至是另一个数学模型.建立数学模型是认识外部世界, 预测各种现象和控制各种过程的强有力的方法.

数学模型具有广义与狭义的解释.广义地说, 凡是从现实原型抽象概括出来的一切数学概念、数学公式、方程、定理、理论体系以及由公式系列构成的算法系统, 用来描述客观事物的特征及其内在联系的模型都称为数学模型.从狭义的角度来说, 只有那些反映特定问题或特定的具体事物系统内在规律性的数学结构, 才称为数学模型.本文从广义、狭义两方面谈一点粗浅的认识, 旨在探索数学模型与中学数学教学的关系.

一、数学的历史无不反映数学模型化方法的思想

数学发展史, 是一部建立数学模型或对数学模型认识程度的历史.

1. 概念型数学模型

数学中的基本概念是以各自相应的现实原型作为背景而加以抽象出来的最基本的原始的数学模型.如:

(1) 最简单的数学模型自然数, 人们正是利用自然数来数自然界中的对象的, 而不考虑这些对象的其他属性.

(2) 研究自然界中直觉空间形体关系的模型欧氏几何.欧氏几何是希腊数学家最早创立的演绎体系的数学模型.

(3) x进位制数的模型多项式. (n+l) 位的x进位制数的数学模型, 即多项式:

anxn+an-1xn-1++a1x+a0 (其中0≤a1

(4) 研究自然界中数量相等关系的模型方程与不等式.

(5) 研究自然界中对应关系的模型映射与函数.

(6) 研究自然界中变化关系的模型微积分.

(7) 研究自然界中随机现象的模型概率统计.

(8) 研究自然界中模糊现象的模型模糊集合论.

(9) 研究几何图形在连续变形下保持不变的性质的模型拓扑学.

2. 对原始 (已有) 模型的再认识是数学发展的源泉

一般说来, 构造新的数学模型有时并非现实本身, 而是现实与原始模型之间接触的临界点.当现实比较混乱而难以观察时, 已有模型会提供新模型所需要的大部分直觉材料.

(1) 形数结合的模型解析几何.

(2) 对欧氏几何 (原有模型) 的研究而产生的模型非欧几何和几何基础.

(3) 数学危机反映了人们对数学模型的认识程度.

危机往往是契机, 是新的数学模型产生的先导, 这是数学发展的规律之一.

广义的数学模型, 是探讨客观世界在量和形方面的本质和规律, 发现并积累数学知识, 从而构建数学的理论体系.

二、数学模型在中学数学教学中的运用

长期以来, 中学数学教学都是在所构建的课程体系中简单地重复数学概念、法则、公理、定理等的发现与发明过程 (有时连这一点都未达到) , 把学生的大脑当做一个仓库, 很少用发展的观点来掌握和应用数学知识, 使得数学的学习和应用都是机械的, 甚至是脱离现实需要的.

中学数学的知识体系必定是几百上千年前的数学成果.当今世界中呈现的数量关系丰富多彩, 这是前人不可预料的.因此, 数学教学中不仅要使学生掌握数学的知识体系以及解决一般问题的方法和技能, 而且要培养学生把客观事物的原理与抽象的数学模型联系起来的能力数学模型化方法的能力.

1. 建立数学模型的一般步骤

数学模型与现实问题的关系是反映与被反映的关系.因为建立数学模型须经过抽象分析过程, 即经过对现实原型扬弃次要环节的过程.因此, 数学模型和现实问题只能具有相对一致性, 也就是在某些环节上有近似一致性.一般地, 建立数学模型的步骤为:

(1) 弄清实际问题, 分析其对象与关系结构、要达到的目的以及能给我们提供的信息等, 以便确定数学模型的类别.

(2) 分析处理资料, 确定所研究的系统并对其进行考察, 找出现实问题的主要矛盾, 剔除次要因素, 提出必要的假设, 进行数学抽象和概括, 使用数学概念、数学符号和数学表达式去表现事物对象和关系.

(3) 根据所使用的工具 (或模型) , 遵循数学规律进行推理或求解, 寻求数学上的结果.

(4) 将数学上的结果返回到实际问题之中, 对现实问题加以解释.从而判断所使用的数学模型是否正确, 通过修正, 反复得到最终正确的结论.

建立数学模型解答应用问题的思考程序是:

2. 常见实际问题的数学模型

在数学模型化方法的教学中必须注意:

(1) 与学生掌握的数学知识 (或模型) 的水平密切相关, 为了有效地建立模型, 学生对有关的数学知识应有充分的理解.

(2) 符合科学性、趣味性, 以调动学生的参与意识.

(3) 尽量涉及当前社会经济生活的热点问题, 贴近实际、贴近生活、贴近学生的认知水平.

从学生的认知结构中, 可归纳常见实际问题的教学模型如下表所示:

由于现实世界中的数量关系是丰富多彩的, 因而实际问题必定是变化复杂的, 表中不可能将各种类型一一列举, 但只要掌握构建数学模型的一般步骤和方法, 就能揭示实际问题的内在规律性的数学结构, 从而较好地解决实际问题.有关例子, 本文就不列举了.可参见文献[9], [10], [11].

中学数学模型化方法的教学中, 就是要通过数学模型去反映那些特定问题的教学具体事物系统内在规律性的数学结构.在对数学模型构造的基本步骤中, 培养学生构造数学模型的能力, 这主要通过以下五个方面的能力培养来实现:

(1) 观察、分析、理解实际问题、确定目标的能力;

(2) 抽象、概括、确定主要变量的能力;

(3) 想象找出各种关系和约束的能力;

(4) 规定数学符号, 运用数学工具, 能根据有关学科知识, 表达所有关系的能力 (包括运用数学形式语言的能力) ;

(5) 通过实践验证数学模型的能力.

数学模型与小学数学解决问题 第7篇

《义务教育数学课程标准 (2011年版) 》指出:模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括:从现实生活或具体情境中抽象出数学问题, 用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律, 求出结果并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想, 提高学习数学的兴趣和应用意识。

下面, 我就以植树问题、鸡兔同笼问题为例, 谈谈数学模型的建立与此类应用题的解题方法。

一、植树问题

植树问题通常是指沿着一定的路线植树, 这条路线的总长度被平均分成若干段 (间隔) , 由于路线的不同、植树要求的不同, 路线被分成的段数 (间隔数) 和植树的棵数之间的关系就不同。在现实生活中类似的问题还有:公路两旁安装路灯、花坛摆花、站队中的方阵、上楼所需时间、锯木问题等等, 它们中都隐藏着总数和间隔数之间的关系问题, 我们把这类问题统称为植树问题。可见, 植树问题是我们生活中所必须的知识, 学习的重要性就不言而喻了。

模型的建立是基于学生主动的观察和发现, 在讨论中总结出规律, 然后利用规律求解, 从而达到体会和理解数学与生活的联系。

植树问题的关键在于发现棵数与间隔数之间的关系。教学中通过将一线段平均分成4份, 引导学生去探究和发现。

上述三个图形充分表示了植树问题的三种情况:两端都栽 (棵数=间隔数+1) , 只栽一端 (棵数=间隔数) , 两端都不栽 (棵数=间隔数-1) 。同时我们辅助于5个手指, 进一步强化这一数学模型:5层楼就是4个间隔, 而上楼的时间是和楼层的间隔相关的, 学生在解题时自然就会摆出自己的手回想教学、思考解题的策略, 充分利用了手的方便性来识记这一模型。封闭图形中, 通过作图让学生观察构建其模型, 辅以讲解, 让学生明白封闭图形中植树其实属于“只栽一端”的情况。

建立好植树问题的模型后, 再拓展开来, 让学生明白“公路两旁安装路灯、花坛摆花、站队中的方阵、上楼所需时间、锯木问题”中“路灯、花盆、每层楼、锯下的每段木、方阵中站的人”其实就是所植的“树”, 这样将知识集中于一点, 便于学生掌握其核心, 而后加以区别对待即可。这里不再赘述。

二、鸡兔同笼问题

鸡兔同笼是中国古代著名趣题之一。大约在1500年前, 《孙子算经》中就记载了这个有趣的问题。然而, 现实生活中是不可能把鸡和兔关在一起的。那么今天我们再来学习这类题是否不再有意义了呢?答案是否定的。先来看下面这道题:钢笔每支8元, 毛笔每支6元, 两种笔共买了16支, 花了108元。问钢笔和毛笔各买了几支?此题表面看和鸡兔同笼没有关系, 但仔细分析后可知它们之间是存在联系的。这样的题还可衍生出如乘车、上下坡等之类的多种问题。因此掌握好鸡兔同笼的数学解题模型, 是发展学生思维、加强数学与生活联系的一个重要途径。

鸡兔同笼问题的典型解法就是假设法。先来看这个问题:有若干只鸡和兔子, 它们共有35个头, 94只脚, 鸡和兔各有多少只?将这35只鸡兔全部看成鸡, 那么总的脚就是352=70 (只) , 这比实际总脚数少了94-70=24 (只) , 而少的原因是因为每只兔子少算了4-2=2 (只) 脚, 所以兔子的只数就是24÷2=12 (只) , 这样我们就可以构建出数学模型:兔子的只数= (总脚数-总头数鸡的只数) ÷ (每只兔子的脚数-每只鸡的脚数) 。回到买笔的这道题中就是:钢笔的支数= (总金额-总支数毛笔单价) ÷ (钢笔单价-毛笔单价) , 即钢笔支数= (108-166) ÷ (8-6) =6 (支) , 毛笔支数为16-6=10 (支) 。这里要注意的是两个量A和B, 那么假如全部为A, 则计算出的结果为B。

这种与生活密切相关的应用题不胜枚举, 数学模型思想在小学数学教材中多有体现。“授人以鱼, 不如授之以渔。”广大教师应该在平时的教学中不断渗透和教给学生数学模型的思想。我们只有帮助学生建构好数学模型, 交给学生解决问题的金钥匙, 才能促使学生建立起科学的数学观, 提高其数学学习的乐趣和应用意识。

摘要：模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。构建数学模型有助于快速、准确地掌握知识的核心, 准确地解决典型类应用题, 以促进学生建立起科学的数学观, 提高其数学学习兴趣。本文以植树问题、鸡兔同笼问题的数学模型的建立作出例证, 谈谈数学模型思想的建构和在实际生活解题中的应用。

关键词：植树问题,鸡兔同笼问题,数学模型

参考文献

[1]义务教育数学课程标准 (2011年版) .北京师范大学出版集团

[2]数学教师教学用书 (四年级下册) .人民教育出版社

工程数学模型 第8篇

一、关注数学建模

“修订版”中10次提到建立数学模型和模型思想,指出:义务教育阶段数学课程的设计,要充分考虑本阶段学生数学学习的特点,符合学生的认识规律和心理特征,有利于激发学生的学习兴趣,引发学生的数学思考;充分考虑数学本身的特点,体现数学的实质;在呈现作为知识与技能的数学结果的同时,重视学生已有的经验,使学生体验从实际背景中抽象出数学问题,构建数学模型,寻求结果,解决问题的过程。在数学课程中,应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括:从现实生活或具体情境中抽象出数学问题,用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律,求出结果并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想,提高学习数学的兴趣和应用意识。课程总体目标提到经历数与代数的抽象、运算与建模等过程,掌握数与代数的基本知识和基本技能。学段目标中提到通过代数式和方程等表示数量关系的过程,体会模型的思想,建立符号意识。能根据具体问题中的数量关系列出方程,体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型。结合实际情景,经历设计解决问题的方案,并加以实施的过程,体验建立模型、解决问题的过程,并在此过程中尝试发现问题和提出问题。“修订版”中还强调:设计试题时,也应该关注并且体现本标准的设计思路中提到的几个核心词:数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想,以及应用意识和创新意识。数学教材内容的呈现应体现过程性,反应数学知识的应用过程,教材应当根据课程内容,设计运用数学知识解决问题的活动,这样的活动应体现“问题情境建立模型求解验证”的过程,这个过程要有利于理解和掌握相关的知识技能,感悟数学思想,积累活动经验;要有利于提高发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力,增强应用意识和创新意识。

二、重视模型思想

“修订版”重视数学模型思想,强调模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系是基本途径。认知心理学认为:模型是源于对观察的推理而且抽象的结构化概念,建模的目的是使观测易于理解。数学模型就是解决问题时所用到的一种数学框架,是对实际问题进行分析、简化、抽象后所得出的数学结构。数学模型是建立在对观察实际问题做出的推理基础上的,建模的目的是对观测到的数学特点给出一个可理解的表征。构建数学模型的过程一般包括:从现实生活或具体情境中抽象出来的数学问题,用数学符号和语言表示问题的数量关系和变化规律,求出结果并验证结果。

广义地讲,数学的概念、定理、规律、法则、公式、性质、数量关系式、图表、程序等都是数学模型。许多小学数学内容本身就是一种数学模型:自然数就是表述有限集合数数过程的数学模型,分数是平均分物品的数学模型,方程是刻画现实世界数量关系的模型,正反比例是刻画现实世界数量变化规律的数学模型。解决问题的数学模型,专指在一个比较复杂的具体情境中,建立一个特定的专用数学模型,并用数学模型解决非常具体的问题。数学模型,一般地说是针对或参照某种事物的特征或数量关系,采用形式化的数学符号和语言,概括或近似表述出来的一种数学结构。

数学的模型思想是一般化的思想方法,它和符号思想有共同之处,具有普遍的意义,模型思想在数学思想方法中有非常重要的地位,在数学教育领域中有它的一席之地,符号化思想注重数学抽象和符号表达,模型思想更注重数学的应用,通过数学结构化解决问题,尤其是现实中的各种问题。建立小学数学模型是数学应用和解决问题的核心。

三、模型思想在小学数学中的具体应用

模型问题是小学生在现实生活和进一步学习中所不可缺少的,小学数学中的模型如下:

四、数学建模的教学

1.构建小学数学建模的教学思路:问题建模验模用模。

2.建模流程:寻找提炼猜想验证定型用模。

引入数学模型探索经济数学教学改革 第9篇

一、经济数学教学中存在的问题

1、教学内容过于注重题解, 缺乏经济应用数学特色。

经济应用数学的特色在于融入了现代经济学、管理学等丰富的数学模型思想, 利用数学中抽象的符号、数据分析现实生活中实实在在的经济现象。然而, 传统的经济数学教材由于充斥了大量对于数学理论的推理演绎、典型例题的分析计算, 使之不再具备应有的经济特色, 反而成为数学专业教材的精编版。这些因素导致经济数学的教学内容与经济、管理学科严重脱节。

2、教学方法过于注重逻辑推理, 学生缺乏自我创新能力。

高等数学是一门高度抽象、内容衔接紧密的学科, 其较强的逻辑推理性致使逻辑思维相对较弱的经济类学生, 在学习中更容易产生厌学情绪。而现今的教学方法又恰恰过于强调概念、定理的推导证明, 程式化的推理缺乏对于学生学习兴趣的培养, 使学生不能体会数学思维分析过程中的乐趣, 虽注重了学生动手操作能力的培养, 但也只是局限在典型题型的反复推广。最终使学生在被动的学习中失去了对数学的兴趣以及自我创新的能力, 更不用说对知识的系统应用了。

3、理论与实际应用脱节, 影响学生综合应用能力的提高。

传统的数学教学缺乏实践环节, 学生在课上学到的, 除了课下可以做题以外, 根本无法应用于今后的后续课程, 更不要说应用于生活。虽然近年来在编写教材的过程中, 融入了一部分具有经济特色的例题分析, 但传统的几何、物理上的引例、应用仍然占据着内容的主体, 无法突出经济特色, 使学生缺乏具体的实践应用机会, 从而影响自身综合应用数学能力的提高。

4、师资队伍单一, 自身无法做到学以致用。

数学教学的师资团队主要以数学专业教师为主, 由于缺乏必要的经济学、管理学知识, 因此无法做到结合不同专业的不同方向讲解数学的能力, 使得教学效果大打折扣。由于无法激发学生的兴趣, 滋生了学生对于数学无用论的错误认识, 即使那些数学成绩较好的学生, 他们对于数学学习的认识也是片面的, 有相当一部分认为学习数学完全是为了今后考研及进一步深造的需要。

二、将建模思想融入经济数学教学的实践探讨

数学教育在整个人才培养过程中的重要性是人所共知的, 数学的知识和能力不妨简单地概括为“算数学”与“用数学”。前者泛指计算方法、公式推导、定义叙述、定理证明等, 后者即以数学为工具分析、解决各种实际问题。数学建模是将抽象的理论知识结构化、形象化、实用化的载体, 它以建模思想为贯穿始终的知识主线, 使数学知识能够向更深入、更广泛的层面发展。与此同时, 数学建模从现实问题出发, 经过提炼、归纳, 再到最后应用于生活, 这一过程完全符合知识产生及应用的全过程, 除自身具备较强的针对性外, 更能激发学生学习数学的兴趣, 并切身体会到数学的实际意义, 真正做到学以致用。鉴于经济数学本身所应具备的经济特色, 更应以培养学生运用建模思想分析普通经济问题能力为首要目的, 因此, 在平日的数学教学过程中应尽可能地融入模型思想, 取代枯燥乏味的证明推理, 以生动的数学实验作为最终结论的验证, 从而形成较为完整的“提炼-分析-应用”建模过程。

1、概念教学中注重建模思想的引入。

所谓概念教学, 狭义上是指将定义的概念贯穿课堂教学始终, 通过对于关键字词的分析, 明确内容前后的联系, 串生出相关解题的方法, 突出学习的重点, 加之典型例题的对应, 知识要点的系统归纳, 最终起到良好的教学效果。广义上认为这种教学方法可以推广到包括例题的证明、分析等多方面环节, 可以说它是数学教学一直沿用至今的最主要的教学方法。然而, 传统的教学引入, 总是倾向于几何、物理等典型例题, 真正能够体现经济特色的引例则少之又少, 因此适当引入简单的经济问题分析, 可以有效地兼顾数学本身内容不会缺失的同时, 充分发挥应用数学的魅力。

例如, 在讲重要极限, 以往的教学过程是直接讲解重要极限在解极限问题时的注意事项, 或者简单分析证明思路, 再配合典型例题分析。这样一来, 学生只能将该极限作为一种固定套用的模式, 单纯地应用于极限的求解。其实完全可以先展现该极限在经济问题的简单应用, 引导学生运用建模思想体验该极限构建的全过程:

(1) 问题的提出。复利, 又称利滚利。随着商品经济的发展, 复利计算日益普遍, 同时复利的期限也日益变短, 即除了传统的年息、月息以外, 还用旬息、日息、甚至半日息表示利息率。如果一个储户连续不断地存款和结算取款, 结算本息的频数趋近无穷大, 每次结算的本息全部存入银行, 这就意味着银行不断地向客户支付利息, 这种问题称为连续复利问题。现假设活期年利率为0.06, 储户存款10万元, 若其可以在一年内任意次结算, 若不计算利息税, 显然结算次数越多获利越大。但复利的计算会使结算额无限增大吗?随着结算次数的增多, 一年后该储户会成为百万富翁吗?

(2) 问题的重述。设银行存入本金A, 银行复利率为r, 分析本利和在一年复利r不变的情况下, 分m期结算, t年后的变化规律。

(3) 模型的建立

一年后的本利和是:A1=A (1+r) ;

t年后的本利和是:At=A (1+r) t;

如果计息时间单位无限缩小, 即m→∞, 那么t年后的本利和则为一个极限:

显然, 上述问题实为在结算次数m→∞, 年限t=1年后本利和, 即:

储户显然不能变成百万富翁。

(4) 模型的改进与推广

将极限变形为:

上述通过简单的模型建立过程, 使学生了解了重要极限的重要意义, 更主要的是在领悟该极限应用的实际意义的同时, 领略了实际问题数学化的全过程, 尤其是在上述过程中, 通过n′与n这两个互为倒数的量的关系转变, 可以使学生从实际问题中初步体会重要极限的推广。当然, 至于重要极限的结果为什么是e, 这一问题可放在应用环节中, 由学生自己借助数学软件, 亲自验证这一重要结果。

2、应用环节中注重模型的验证。

数学的应用环节是将数学思想真正融入实际问题的重要手段。但是长久以来, 所谓的教学应用, 大都局限于课后作业以及章节后的习题, 致使学生感觉学数学就是为了做题而学, 完全扭曲了应用数学的含义。

在经济数学教学后期, 适当开设验证性数学实验, 能够丰富教学手段的同时, 激发学生兴趣, 提高学生综合运用数学知识解决实际问题的能力。

例如, 对于重要极限的教学过程中由于渗透了建模的思想, 使学生对于在经济中的作用初步了解。但伴随n→∞的同时, 是否会稳定与一个确定的常数?这种变化呈现何种状态?在这个常数作用下, 连续复利与单利相比究竟差距有多大?其实这些问题完全可以借助强大的数学软件, 通过散点图分析, 观察数值变化趋势, 最终结合图像得到更加深刻的认识。

例如, 引导学生利用Matlab分析计算在n→±∞时的变化趋势如表1所示。 (表1) 分析数据发现, 伴随n→±∞, 极限值总是稳定于一个常数, 所以有理由猜测极限值是存在的, 但少数的散点不足以说明极限变化的趋势, 或者说在散点之间或者之后, 数值是否会存在较大的变化差异?为此可借助Matlab图像处理功能绘制变化的图像或者动画:

end (图1)

如果需要进一步精确极限值, 只需将程序中循环次数适当调整即可。同样利用这一程序片段, 可分析验证的变化, 只需将上述片段调整为:

end (图2)

以此验证重要极限的应用与推广。

为了突出经济数学自身的特色, 相关的微积分、概率论与数理统计、线性代数三个分支可以相应地选择不同的侧重以突出自身的实用性。微积分课程实验环节可选用优化模型中“最优库存”问题设置试验, 帮助学生复习巩固导数与微分在最优化理论中的应用, 提高综合运用数学知识解决实际问题的能力;概率论与数理统计课程的实验环节可选用概率模型中比较简单的“传输系统效率”问题作为进一步加深对随机变量分析随机问题方法的深化;线性代数课程的实验环节自然选择常见的“投入产出模型”作为代数应用的经典实验。除此之外, 根据经济院校开设专业不同的特点, 密切结合相关专业特色, 设计较为实际的问题, 辅助学生完成综合设计性试验。例如统计专业, 可选择统计模型中“投资额与生产总值和物价指数”问题进行试验, 利用Matlab或Mathematica软件进行散点图分析, 利用掌握的统计知识建立回归模型, 体验真正的数理统计全过程。

三、教学中增设数学实验环节所遇到的问题与对策

在经济数学教学过程中融入数学建模的思想, 需要增设数学实验环节作为实现模型的手段。然而, 数学实验的开设, 在为数学教学带来生机的同时, 同样也存在一些问题有待解决。

首先, 数学软件的应用能够为学生分析计算带来方便, 但也会因此使之忽略了理论的学习, 影响自身抽象思维能力以及逻辑推理的数学素质的提高。数学本身的魅力就在于严谨的理论支撑下所展现的强大分析能力, 如果过分借助计算机解决大批量计算而忽视对于结果的二次分析, 最终会导致学生过分依赖软件实现, 失去自我分析的能力。鉴于此, 教师在平日的教学过程中仍应该适当强调理论的重要性, 在引导学生利用软件解决实际问题时, 注重紧扣每一步骤的理论支撑, 从而使学生真正做到“知其然”更“知其所以然”。与此同时, 对于实验的结果, 适当设置余留问题, 使学生进行结论的再分析“模型推广”, 在更好地应用于实践的同时, 使理论教学与实践教学有效地结合在一起。

其次, 由于在教学过程中增设了数学建模思想以及数学实验环节, 使得在有限不变的课时局限下, 增加了教师的授课、学生学习的负担, 加之数学课程毕竟是基础学科, 除了应用于相关专业学科以外, 还肩负着学生日后考研等进一步深造的任务。因此, 教师在教学过程中, 对于理论性太强的定理尽量减少繁琐的证明推导, 将重心转向证明思想以及数学方法的培养, 增加综合例题的分析, 减少重复例题的出现, 权衡例题与练习题之间的比重, 做到“简而精”。与此同时, 采取集中分组上机实验的办法, 可以提高实验效率, 在节约时间的同时, 培养了学生团队分工合作的意识, 最终达到良好的实验目的。

最后, 在整个教学过程中, 教师应起到传授理论、引导实践的关键作用, 这就要求教师本身对于数学建模思想有着准确的认识, 对于学生在整个建模过程的角色有着准确的定位, 这些都依赖于教师自身素质的提高。然而, 基础课教师普遍承担着全校学生的教学任务, 常常因为忙于日常教学工作而忽略对于自身科研、教改等方面综合能力的提高。除此之外, 数学教师基本都是数学专业的毕业生, 自然对相关诸如经济、管理、统计等专业的知识了解甚少, 虽能够组织数学实验有序进行, 但涉及其他专业较深层次的问题就无法解决, 不利于数学模型向更深的层面推广。因此, 数学教师除了要加强自身专业素质提高的同时, 还需要增加与其他专业教师的横向联系, 增加相关专业间的科研合作, 以教学带动科研能力的提高, 以科研促进教学方法的改革, 使数学更好地应用于实际。

参考文献

[1]姜启源.数学实验与数学建模[J].数学的实践与认识, 2001.31.5.

[2]韦程东, 罗雪晴, 程艳琴.在数学分析教学中融入数学建模思想的探索与实践[J].高教论坛, 2008.3.

[3]严培胜.将数学建模融入大学数学教学中[J].湖北经济学院学报 (人文社会科学版) , 2010.7.6.

[4]姜启源等.数学模型[M].北京:高等教育出版社, 2003.

重视数学模型思想关注小学数学建模 第10篇

关键词：小学数学,模型思想,建模,步骤,方法

一、教学模型的含义

所谓数学模型, 就是根据特定的研究目的, 用数学形式语言把纯粹的数量关系从现实世界的纷繁复杂的事物联系中抽取出来加以概括。简单地说, 在小学数学阶段, 用数学形式符号建立起来的数量关系式, 以及各种图表、图形等都是数学模型。2011 年修订的《义务教育数学课程标准》将数学“双基”发展成 “四基”; 新增了“数学模型思想”, 在10 个核心概念中, 唯独其被冠以“思想”称呼, 对比中彰显标杆意义。

二、小学数学建模教学的现状与分析

传统模式和理念下的教学设计, 多是注重“知识与技能”这一目标维度。“就事论事”式的简单教学, 起于铺垫再到新授, 止于练习, 亦步亦趋, 更多的是学科内部纯粹知识之间的演绎。学生缺乏生活的原型操作, 缺少规律的探究、方法的寻求、思想的体验, 师其意而不师其辞, 更谈不上思想方法的内化和强化。集体无意识状态下的教学, 鲜有建模思想渗透, 难见“建模”和“用模”的痕迹, 无视建模价值。由于建模意识的淡薄, 教师很难具有高屋建瓴的教学观念与方法研究, 建模教学是一方沃土, 需要人师们不断开拓。

三、小学数学建模的一般步骤

数学建模每一个环节的衔接, 就像一根精美的逻辑链条, 丝丝入扣。首先是情境再现, 准备模型。发挥现代技术媒介优势, 利用信息技术或情境展示等手段, 从学生已有的生活经验出发, 给学生呈现一个形象的情境问题。其次是选择策略, 假设构建。学生的数学建模涉及学科知识、概念、规律、问题、方法。教学过程经过假设、推理、简化, 然后让生活信息初步抽象成数符、文字解决问题, 最终用数学思想方法抽象成数学模型。最后是问题回归, 验证应用, 在生活中寻求解释、验证和应用, 让学生真正体验到所学知识的用途和益处, 实现建模的真正价值。

四、小学数学建模的基本方法

1. 立足数学课堂主阵地开展建模教学

(1) 解读教材。教科书中的一些课程内容编排贯穿建模的思路。教师要充分挖掘书本中蕴含的建模思想, 深度解读, 精心设计和优化选择, 在教学内容中寻找现实问题情境。使学生置身于“寻找实际问题—数学化—建立模型—解答问题—解决问题”情境中, 获得丰富的情感和体验。

(2) 挖掘素材。作为教师, 要有意识地去创造数学模型的材料, 寻找教材中数学模型的素材, 利用一切数学模型的教育因素。要在看似没有数学建模内容的问题中, 挖掘建模素材, 拓宽建模空间, 开辟出能训练学生建模能力的“新天地”, 让数学模型再现、再生, 给学生提供和创造更多的数学建模机会和空间。

(3) 革新教学。一方面, 教师以有关理论为指导, 以教学实践为基础, 革新教学模式, 形成教与学、教与研相结合的新型教学方法。另一方面, 树立以学生发展为主体的新理念, 在课堂教学中大胆实践、探索, 开展观察、实验、分析等活动。

2. 借助数学综合与实践活动平台开展建模教学

小学数学综合与实践也可以理解为“数学建模或数学实际应用”。 鼓励师生共同参与教与学, 帮助学生积累数学活动经验, 以问题为载体, 借助数学综合与实践活动平台, 培育学生发现、探究、解决问题的能力。数学模型思想是学生体会和理解数学与外部世界联系的路径, 可以结合教材内容, 适当对各种知识点进行整合, 并使之融入生活背景, 生产出好的“建模问题”作为综合与实践活动的主要题材。

3. 依托习题载体开展建模教学

教材上许多习题并不是实际问题的原形, 教学不能仅仅是满足于得出答案, 而是进一步深度挖掘, 使其成为建模的有效素材。例如以下的习题1、习题2 和习题3 都是正方形与圆有关题材的问题, 只是变换了圆与正方形的位置关系。教师开发这类变式题, 集中形成序列进行教学, 寻找其内在联系, 目的正是引导学生在解题时能够运用一定的数学思想。

习题1:正方形的面积是12 平方厘米, 圆的面积是多少? (图1)

习题2:正方形的面积是20 平方厘米, 圆的面积是多少? (图2)

习题3:正方形的面积是16 平方厘米, 圆的面积是多少? (图3)

模型思想作为一种思想, 要真正使学生有所感悟需要经历一个长期的过程。在素质教育行走的大道上, 数学学科建设、课程改革方向、学生个体发展都必将与数学建模教学活动一路同行。

参考文献

[1]习赵静, 但琦.数学建模与数学实验[M].北京:高等教育出版社, 2008.