伯努利方程范文

伯努利方程范文（精选5篇）

伯努利方程 第1篇

伯努利方程由丹尼尔·伯努利在1726年提出, 其实质就是流体的机械能守恒。即:压能+动能+位能=常数, 这个式子即为伯努利方程。之后, 随着科学技术的不断发展与进步, 伯努利原理的概念与运用得到了迅速的扩展与提升。尤其是在通风工程中, 成为基础理论, 应用广泛, 通风工程的各种技术测定与技术管理无不与之密切相关。显然, 在矿井通风领域里, 伯努利方程也是研究矿井风流任一断面上的机械能和风流沿井巷运动能量变化规律的重要定律[1]。所以在此讨论伯努利方程的推导与在矿井通风中的应用对深入学习和研究矿井通风有着重要意义。

1 通风能量方程

能量方程 (伯努利方程) 表达了空气在流动过程中的动能、位能、压能的变化规律, 是能量守恒和转换定律在矿井通风中的应用。在研究矿井通风时, 假设空气不可压缩, 则在井下巷道内流动空气的任一断面, 它的总能量都等于动能、位能和静压能之和。

1.1 不可压缩流体的能量方程

在空气不可压缩的理想条件下, 井下巷道内流体在任意断面都满足最初的伯努利方程, 例如, 现有空气在井下的一段巷道内流动, 设1、2断面的参数分别为风流的绝对静压为P1-、P2;风流的平均风速为v1、v2;风流的密度为ρ1、ρ2;距离基准面的高度Z1、Z2。考虑到空气不可压缩, 故不必考虑内能, 除机械能以外其他形式的能量变化非常小, 可忽略不计。h1-2表示1点到2点单位质量空气的能量损失, 则能量方程公式为:

这就是理想条件下不可压缩单位质量流体常规的伯努利方程表达式。将此式与连续性方程[2]结合, 便可解决一些问题。例如, 已知断面1的P1、v1、Z1, 断面2的Z2以及两个断面的能量损失h1-2, 根据上式与连续性方程联合, 就可以求出断面2的未知量v2、P2[3]。

1.2 能量方程使用的说明

从能量方程的推导过程可知, 方程是在一定理想条件下导出的, 并对它做了适当的简化。因此, 应根据矿井的实际条件, 正确理解, 灵活应用能量方程。以下几点需要说明:能量方程的意义, 是表示单位体积空气由1断面流向2断面的过程中所消耗的能量 (通风阻力) 等于流经1、2断面空气总机械能的变化量。风流流动必须是稳定流, 即断面上的参数不随时间的变化而变化, 所研究的1, 2断面都要选在缓变流场中。风流总是从总能量大的断面流向总能量小的断面。正确选择基准面。应用能量方程时要注意各项单位的一致性。

2 能量方程的应用

伯努利方程在煤矿中应用比较广泛, 通风工程的各种技术测定与技术管理无不与之密切相关。

2.1 在通风压力坡度线中的应用

通风压力坡度线是对伯努利方程的图形描述, 从图形上可以直观地反映出空气在巷道流动过程中的压力变化规律、通风压力和阻力之间的相互转换关系, 是通风管理和均压防灭火的有力工具。

如某个压入式通风系统如图所示。在风硐内断面1处静压为P1, 平均风速为v1;出风口断面2处的静压等地面大气压P0, 出风口的平均速度为v2。令HS=P1-P0, 为通风机在风硐中所造成的相对静压;HN=ρ1g Z1-ρ2g Z2即为自然风压。结合式 (1) 可得出:

由于通风机的全压等于通风机在风硐中所造成的静压与动压之和, 即Ht=HS+ρ1v12/2, 带入式 (2) 中可得:

由上式可以清楚的得知:通风机全压与自然风压共同作用, 克服矿井通风阻力, 并在出风井口造成动压损失。进而可以绘制出通风机压力与矿井阻力的关系的压力坡度线。空气在巷道流动的过程中, 需要克服矿井阻力, 故通风机全压和静压都在降低。在矿井出风口处, 风机全压大部分克服了矿井阻力h1-2, 其余一小部分, 为矿井出风口的动压损失为Hv2[5]。抽出式通风系统与之类似。

2.2 判断巷道贯通后风流方向

点1为从左开始贯通的巷道, 机械能为E1=P1+ρ1g Z1+ρ1v12/2;点2为从右开始贯通的巷道, 2点的机械能为E2=P2+ρ2g Z2+ρ2v22/2, 规定1, 2两点各自距左右巷道口的长度大概为10m, 这样测静压时将减小巷道口风流带来的误差。由于两端贯通巷道通风方法皆为局部通风机通风, 且皆为独头巷道, 所以贯通后, 局部通风机都要停止运转。为了尽可能模拟贯通后的巷道环境, 在测定1, 2两点的机械能时, 分别要提前停掉两端巷道的局部通风机, 等待一段时间, 巷道内无风流流动时再进行测定。即v1, v2皆为0, 则1, 2两点的机械能分别为:E1=P1+ρ1g Z1, E2=P2+ρ2g Z2。令h1-2=E1-E2, 若h1-2>0, 则风流由1点流向2点;若h1-2<0, 则风流由2点流向1点;若h1-2=0, 则1-2点无风流流动。

2.3 在解释地面大气压降低时采空区瓦斯涌出量增大中的应用

在煤矿井下有经验的瓦检员通常可以观察到一种现象:在14:00-18:00左右 (不同地区不同季节有差异) , 采空区瓦斯涌出量会增加, 这是什么原因导致的呢?这与地面大气压变化密切相关。大气压变化变化对高瓦斯矿井采空区瓦斯涌出有着巨大的影响, 是矿井瓦斯管理的死角和难点。然而其变化并非无规律可循, 探索大气压变化影响采空区瓦斯涌出的原因和其间的关系, 采取合理的技术措施就可以有效地抵御或消除这种影响, 保障煤矿生产安全。

工作面的通风静压与采空区的压力需要保持动态平衡, 当大气压力突然升高时, 井下通风静压也随之升高, 工作面静压高于采空区压力, 采空区处于压缩状态, 瓦斯几乎没有涌出;当大气压力突然降低时, 井下通风静压随之降低, 采空区内的压力高于工作面通风静压, 采空区气体处于膨胀状态, 瓦斯向工作面涌出, 一般很多地区在14:00-18:00中的某个时间点大气压力下降比较快, 采空区瓦斯的涌出量也就越大, 这就解释为什么有些地方下午井下采空区瓦斯涌出量会增加的原因。

3 结语

本文对矿井通风中伯努利方程公式进行了推导, 研究了伯努利方程在风压力坡度线、计算巷道通风阻力、判断巷道贯通风流风向和在解释地面大气压降低时采空区瓦斯涌出量增大中的应用, 对于提高矿井通风管理水平具有一定的参考意义。

河南林业, 2003 (6) :33-34

摘要：伯努利方程在矿井通风中也称为能量方程, 流体力学中一个十分重要的原理, 不仅在现实生活中应用广泛, 在矿井通风中也得到了大量应用。本文将介绍在矿井通风中伯努利方程公式及其在矿井通风与安全中应用、注意事项, 有利于解释矿井通风与安全管理过程中出现的难以解释的现象, 有利于提高矿井通风与安全的管理水平。

关键词：伯努利方程,能量守恒,矿井通风,应用

参考文献

[1]马逸吟.关于矿井通风学中的伯努利方程[J].淮南矿业学院学报, 1983.

[2]严导淦.流体力学中的总流伯努利方程[J].物理与工程, 2014, 24 (4) :47-53.

[3]周心权, 吴兵, 杜红兵.矿井通风基本概念的理论基础分析[J].中国矿业大学学报, 2003, 32 (2) :133-137.

[4]张国枢.通风安全学[M].徐州:中国矿业大学出版社, 2007.

一种伯努利原理研究的实验装置 第2篇

透明管由软质透明材料制成，测压管呈M形，由两个U形管连接而成。测压管的两端分别连接在透明管两侧的上方，中部的凹陷处装有染色液体，染色液体两端液面的高度差可表示透明管两侧处流体压强的大小。

透明管两侧的上方分别设有向上伸出的侧管，测压管连接在侧管上，透明管悬空固定在支架上，便于调节两侧通道的大小，从而改变流体在透明管两侧的流速。

支架由底座、支撑脚、连接圈、面板构成，透明管的两侧分别插接在两侧的连接圈内，面板上设有连接测压管的卡扣，中部还设有水平线和数字，以指示测压管内染色液体两端液面的高度差。面板两侧下方分别设有供单手伸入的缺口。

采用上述结构后，将流动的液体或气体从透明管的一侧导入，手从缺口处伸入挤压透明管的左侧或右侧，可大幅调节透明管内通道在该处的宽窄程度，改变该处流体的流速。观察M形测压管内液面两端的高度差，可得出流速变化对流体压强的影响。

该实验装置通过多次挤压透明管，使管道内通道在“左窄右寬”和“左宽右窄”之间变化，继而致使M形测压管内液面高度差在“左高右低”和“左低右高”之间变化，不仅现象有趣，还增强了实验说服力。

对伯努利原理的思考 第3篇

A.向左移动 B.向右移动

C.仍在原地 D.无法判断

其标准答案是A.有关此问题的答案和讨论在网上也有许多, 但基本上与标准答案相同。但通过实验探究, 理论探究和大量的事实例证, 认为此答案不恰当, 是孤立地运用了伯努利原理及对受力物分析不全面导致。

一、实验探究

把干沙子在桌上堆起沙丘状, 用嘴对着“沙丘” (用不同的气流) 吹气, 其现象是:前面的沙子纷纷从不同的角度拐过“沙丘”顺风翻滚或跳跃顺风前行。后用电风扇和吹风机用不同档速对着“沙丘”吹, 其结果都是沙子纷纷顺风前行。若沙丘后面的摩擦力足够大, 则会形成月牙形沙丘。随后用橡皮筋和棉线系住乒乓球, 放在不同风速的电风扇和吹风机正前方, 每次改变与风源的距离, 如图2, 其结果都是乒乓球向前运动。接着先把乒乓球悬停后再用电风扇和吹风机用不同档速对着乒乓球突然吹风其结果都是球顺风向前运动。

二、理论探究

伯努利原理的内容:液体在流速大的地方压强小, 在流小的地方压强大。这里指的是液体的压强, 而非处于液体中的物体受到全部压强。若流体正对物体, 则物体正面除受到液体的压强外, 还受到流体冲击力的压强, 这两个压强之和, 远远大于物体背面受到的压强, 若这三个力的合力大于地面的摩擦阻力时, 则物体 (沙丘) 会顺着流体流动的方向前进。

在初二物理上册中, 力的作用效果之一是力可以改变物体的运动状态;在高中物理中, 力与加速度的关系是F=ma。运动状态改变就会产生加速度, 且加速度的方向与合力方向相同, 故正确答案应是B。

三、事实例子论证

例证1:人站在齐腰深的激流中, 人很难站稳, 往往会被激流冲走, 而不会逆流自行朝上移动。

例证2:人在逆风时前行困难, 若风速很大, 人会往后吹倒, 故运动员在逆风时较难取得好成绩。

例证3:静湖中的船或球, 一阵风吹来, 船或球会顺风移动。

例证4:地上一堆落叶, 一阵风吹来, 落叶会纷纷顺风移动。

例证5:堆放在沙边的大沙堆, 遇上涨水时节, 待水退后, 这堆沙子有许多被河水冲走, 而不会逆行而上。

四、对沙丘形成和移动的解释

风把沙粒刮起, 吹移一短距离后再落下。沙子在刮过多石的表面时, 沙粒可能弹起几米高, 跳跃的沙粒再一次碰撞地面, 并借助冲击力将别的沙粒推向前进。这种运动称作表层蠕动。形成沙丘最简单的方式是:一个障碍物, 如石头、植物, 阻止了气流, 使沙子在顺风一侧堆积起来。沙丘逐渐增大, 对风携带的沙所起的阻挡作用就更大, 在下风隐蔽处截住跳跃的沙粒。沙丘增大后, 迎风面的沙子在风力推动下, 不断地越过沙丘顶部并向下滑落, 这样沙子源源不断的移动, 就等于沙丘向前推移, 成为移动沙丘。还有, 沙丘增大后, 沙丘对气流的干扰越来越大。这时在沙丘向风的一面风速加大, 跳跃沙粒被吹动向上, 并越过丘峰, 下落到下风丘坡的上部, 造成比较陡峭的滑面。当滑面更为陡峭的上段达到或超过这个角度时, 丘坡变得不再稳定。沙子最终滑下滑面, 于是沙丘便向前推进。这就是沙丘会移动的原因。

伯努利试验的推广及应用 第4篇

若在一次随机试验E中, 试验的结果只有两种“成功”或者“失败”, 为方便描述记为基本事件A和, 且P (A) =p, 0≤p≤1, 则随机试验E称为伯努利试验.

1 伯努利试验推广的概率分布

n重伯努利试验:伯努利试验在相同条件下独立重复地进行n次, 即进行随机试验E={E1, E2, ..., En}其中试验Ei (i=1, 2, ..., n) 代表一次伯努利试验, 而且任意两次试验的结果相互之间不干扰, 在每次子试验Ei (i=1, 2, ..., n) 中事件A发生的概率不变为p, 则试验E称为n重伯努利试验.

推广的伯努利试验:在一次随机试验E中, 试验有k种不同的两两互斥的结果, 试验结果为的概率为pi且, 则称随机试验E为推广的伯努利试验.

广义n重伯努利试验:随机试验E需要进行n次重复的伯努利试验, 即随机试验, 其中试验指一次伯努利试验, 试验Ei的结果由基本事件A和组成, 在第i次伯努利试验Ei中事件A发生的概率为pi不发生的概率为qi, , 当事件A发生的概率pi与试验序数i有关时, 则称随机试验E为广义n重伯努利试验.

由伯努利试验、n重伯努利试验以及推广的伯努利试验和广义n重伯努利试验不难拓展推广得到以下的概率分布.

1.1 两点分布

两点分布是从一次伯努利试验中提炼出来的简单离散型概率分布。为方便随机事件发生概率的描述, 在一次伯努利试验E中引入随机变量X, 伯努利试验的结果由A和组成, 定义随机变量X:.只进行一次伯努利试验的随机试验E满足的分布称为两点分布, 即P{X=k}=pkq1-k, 其中k=0, 1.两点分布又称为伯努利分布和0-1分布.

1.2 二项分布

二项分布来源于n重伯努利试验, 每次伯努利试验的结果由对立事件A和构成, 且n重伯努利试验中每次试验的进行都互不影响, 是重复且独立的关系.事件A在每次试验中发生的概率为一常数p, 随机变量X为n重伯努利试验中事件A发生次数, 则n重伯努利试验中事件A发生次数为k的概率为

容易验证:, 因此n重伯努利试验的概率分布称为二项分布.

谈到二项分布, 必然涉及到n重伯努利试验, 于是也必然联想到广义的n重伯努利试验, 那么广义n重伯努利试验对应的概率分布如何呢?假设随机事件E中也发生了n次独立的伯努利试验, 只是每次伯努利试验中事件A发生的概率ip与试验序数i密切相关.记事件A发生对应的伯努利试验序号i组成的集合为I, 则集合I={i|第i次伯努利试验事件A发生}, 若X还表示广义n重伯努利试验中事件A发生的次数, 则广义n重伯努利试验中随机变量X满足的概率分布为:

, 其中I表示集合|I|中元素的数量, i, j=1, 2, ..., n.容易验证广义n重伯努利试验对应的概率P{X=k}为多项式 (qi+piz) n中zk的系数.

1.3 几何分布

几何分布也是由n重伯努利试验推广而来, 它本质上来讲可以视为二项分布的一种特例, 相比二项分布特殊在于试验次数k不受限制可以取任意正整数, 而且几何分布的试验结果是进行k次伯努利试验时事件A首次发生.

进行独立重复的伯努利试验, 每次伯努利试验中事件A发生的概率为p, 记随机变量X为事件A首次发生时需要进行的伯努利试验次数, 于是X满足概率分布:P{X=k}=qk-1p, k=1, 2, ..., 则称X服从参数为p的几何分布, 记为X�G (p) .

1.4 多项分布

多项分布来源于推广的伯努利试验, 独立重复地进行n次推广的伯努利试验, 设伯努利试验结果为Ai (i=1, 2, ..., k) 的概率为pi, 事件iA发生的次数为Xi, 则事件A1发生r1次, 事件A2发生r2次, , 事件Ak发生rk次的概率为:

多项分布是具有k-1个独立参数的k维随机变量的概率分布, 因为Xi满足关系:.多项分布与二项分布关系密切, 参数为n, p1, p2, ..., pi, ...pk的多项分布, 其一维边缘分布是参数为n, pi的二项分布.

1.5 帕斯卡分布

帕斯卡分布同样来自n重伯努利试验的推广.进行独立重复的伯努利试验, 设每次伯努利试验中事件A发生的概率为p, 记随机变量X为事件A发生m次需要进行伯努利试验的次数, 则随机变量X满足如下的概率分布:

分析帕斯卡分布可以知道:若记直到事件A发生m次需要进行k次独立重复伯努利试验为事件B1, k-1重伯努利试验中事件A发生m-1次为事件B2, 第k次伯努利试验事件A发生为事件B3, 则容易验证B1=B2∩B3=B2B3.即帕斯卡分布描述的是由一次特殊的k-1重伯努利试验 (事件A发生m-1次) 和一次事件A发生的单独伯努利试验组成的积事件.

2 伯努利试验推广的概率分布的实际应用

2.1 广义n重伯努利试验的应用

由于广义n重伯努利试验在每次进行的伯努利试验中, 同一事件发生的概率随着试验次数的不同而发生改变, 与实际生活中传染病的传播性质十分类似, 所以在医学传染病传播的最初研究中得到了应用.在传染病的蔓延过程中, 每一个患病者往往会产生新的病菌, 进而增大疾病进一步蔓延的机会, 类似地每一个不带菌者也会增加其他人群不被传染的机会, 针对这一现象法国数学家卜里耶提出了著名的“卜里耶坛子模型”.

例 (卜里耶坛子模型) 假设坛子中最初含有b个黑球和r个红球, 进行n次抽球试验, 每次抽球完成之后将球放回, 并向坛子中增加c个与该次抽球实验结果颜色相同的球, c是一个整数, 当c为负数时意味着从坛中取出-c个球.问进行3次试验时出现两个黑球和一个红球, 但结果为{黑, 红, 黑}和{红, 黑, 黑}的概率是否一样呢?推广而言, n次抽球试验结果为k个黑球, n-k个红球的任意指定颜色序列其概率, 是否会随抽球结果颜色序列指定的不同而改变?

解卜里耶坛子模型从本质上来讲属于广义n重伯努利试验, 每次伯努利试验事件发生的概率有所变化.若按照上述中关于广义n重伯努利试验概率的计算方法来事件的概率会较为复杂.如下将采用条件概率进行求解.

设事件Bi:第i次抽球结果为黑色, 则表示第i次抽球结果为红色.根据条件概率容易计算得到:, 与此同时

推而广之, 按照试验进行, 每进行一次抽球试验之后球的总量将增加c, 因此最终条件概率的分母应该为, 在n次抽球试验中, 当第一次抽到黑球时此时对应的条件概率分项的分子该为b, 第二次抽到黑球时此时对应的条件概率分项的分子该为b+c, , 第k次抽到黑球时此时对应的条件概率分项的分子该为b+ (k-1) c;类似地第n-k次抽到红球时此时对应的条件概率分项的分子该为r+ (n-k-1) c, 因此由分析的过程知道对于试验结果为k个黑球, n-k个红球时任意指定序列的概率均为:

若c≥0, 则上式对n≥1成立;若c=-1, 则上式对0≤n≤b+r成立.

2.2 二项分布的应用

二项分布是基于n重伯努利试验得到的概率分布, 具有广泛的应用.在质量管理控制中, 不合格产品数控制图和不合格率控制图的绘制;一些抽样检验方案的制定;经济活动中风险的管理与决策以及人力物力资源的合理分配都要用到二项分布.

例 (电力资源分配) 某金工车间有10台机床设备, 每台机床设备正常工作时提供动力的电动机消耗功率为一个单位功率, 每台电动机每小时只工作12分钟, 而且每台电动机工作与否彼此之间相互独立.但该季度当地的供电部门电力资源不足, 需要对当地所有电力消耗较大的所有公司减少电力资源供应, 进行优化分配.同时这家工厂对供电部门也提出了要求, 分配给该金工车间的电力资源至少要保证能让10台机床设备在99%的时间内正常运行.问供电部门至少向该金工车间提供多少个单位的电力资源?

解由题意可知道每台机床只有“开动”和“不开动”两种状态, 开动的概率为, 不开动的概率则为0.8, 而且每台机床的工作状态相互独立.设随机变量X为某一时刻正常运行的车床设备数量, 电力部门向该金工车间提供k个单位功率的电力资源, k取正整数, 则X服从二项分布即X�B (10, 0.2) .

因此, 这10台机床能够正常工作的概率为:

上式也表示同时开动着的机床设备数量不超过k台的概率.于是, 同时开动着不超过4台机床设备的概率为:

类似地可以知道:

因此供电部门至少向该金工车间提供5个单位功率的电力资源才能保证10台机床设备在99%的时间内能够正常运行.

2.3 多项分布的应用

当伯努利试验结果由多个两两互斥的基本结果组成时, n重伯努利试验就演化成推广的n重伯努利试验, 对应概率分布为多项分布.多项分布在医学数理统计、故障检测等方面得到了广泛应用[5].

例 (血型抽样检测) 假设中国人血型为O型、A型、B型、AB型的比例分别为0.41、0.28、0.24、0.07, 现随机对5名中国公民进行血型检测, 问其中两人为O型, 其他人分别为其他三种血型的概率?

解分析可知5人血型检测的结果可视为相互独立的, 每次独立伯努利试验有四种两两互斥的结果, 则其概率分布服从多项分布.具体可以理解为:5次独立重复试验中, 有两次血型的检测结果为O型, 另外三次分别为A、B、AB型, 于是所求事件发生的概率为:

2.4 帕斯卡分布的应用

帕斯卡分布最著名的应用为巴拿赫火柴盒问题和巴拿赫售货问题.

例 (巴拿赫售货问题) 某售货员同时销售m个书架上同样的n本书籍, 每次售书时他都是等可能地任选一个书架并从中选取一本, 直到他发现某一个书架上的书籍全部售完为止.问这时其余m-1个书架上剩余书本数量由小到大分别为r1, r2, ..., rm-1的概率为多少?

解由于ri和rj是否相等会影响概率的计算, 此处仅考虑对于任意不等的i和j, 1≤i, j≤m-1, ri≠rj的情况.为不失一般性, 设第1个书架最后全部售完, 第2, 3, L, m个书架剩余书本数量分别为r1, r2, ..., rm-1, 该事件发生的概率记为1P.事实上, 每售出一本书来自的书架都是等可能的, 其概率为, 记A1=从第1个书架售出一本书, , Am=从第m个书架售出一本书.则题中事件可以描述为前mn- (r1+r2+...+rm-1) -1次伯努利试验中事件A1发生n-1次, 事件A2发生n-r1次, , 事件mA发生n-rm-1次, 第mn- (r1+r2+...+rm-1) 次试验事件A1发生的帕斯卡分布.则根据帕斯卡分布概率计算方法可知:

根据排列组合的知识可以知:当售货员发现某一个书架上的书籍全部售完为止, 而这时其余m-1个书架上剩余书本数量由小到大分别为r1, r2, ..., rm-1发生的概率为:

3 结论

伯努利试验是概率论中地位极其重要的一类随机试验, 由它推广得到的典型概率分布如二项分布, 多项分布, 帕斯卡分布等在质量检测与控制、金融活动中风险的管理与决策、资源的合理分配以及生物遗传学方面被广泛应用, 掌握伯努利试验及其推广的概率分布对实际应用具有重要的意义.

参考文献

[1]庄光明, 等.基于伯努利试验的概率分布及其应用[J].聊城大学学报, 2009, 9, 22 (3) :36.

[2]王梓坤.概率论基础及其应用[M].北京:科学出版社, 1976.

[3]钟开莱著, 魏宗舒, 等译.初等概率论附随机过程[M].北京:人民教育出版社, 1980.

[4]杨虎, 刘琼荪, 等.概率论与数理统计[M].重庆:重庆大学出版社, 2007.

[5]田丽娜.多项分布模型初探[J].天水师范学院院报, 2003, 10, 23 (5) :8.

伯努利概型的应用举隅 第5篇

【例1】甲、乙两人一次投篮命中率都是0.6, 现每人各投3次, 求两人共投中4次的概率.

分析:甲、乙两人及每人的各次投篮之间均相互独立, 互不影响, 且投篮命中率相同, 因此, 两人各投篮3次, 可看作是同一个人投篮6次, 从而转化为伯努利概型.

解:设两人6次投篮共投中x个, 则x∽B (6, 0.6) ,

∴P (x=4) =P6 (4) =640.64 (1-0.6) 2=0.7776.

【例2】甲、乙两射手击中目标的概率分别是0.9和0.8, 他们各自连打3枪, 比击中目标的次数, 求乙取胜的概率.

分析:甲、乙两人的射击分别都满足独立重复试验模型, 因此, 此题中存在着两个并列的伯努利概型.

解:设甲击中目标的次数为x, 乙击中目标的次数为y, 易知x∽B (3, 0.9) , y∽B (3, 0.8) , 则

P (乙胜) =P3 (y=1) P3 (x=0) +P3 (y=2) [P3 (x=0) +P3 (x=1) ]+P3 (y=3) [P3 (x=0) +P3 (x=1) +P3 (x=2) ]=0.1496.

【例3】一接待中心有A、B、C、D四部热线电话, 已知某一时刻电话A、B占线的概率均为0.5, 电话C、D占线的概率均为0.4, 各部电话是否占线相互之间没有影响.假设该时刻有ξ部电话占线.试求随机变量ξ的概率分布和它的期望.

分析:根据题意, A、B两部电话占线相互独立且概率相同, 它们中占线电话的数目服从伯努利概型, 同理C、D中占线电话的数目也服从伯努利概型, 两者联合起来即可求出ξ的概率分布.

解:设A、B中占线电话的数目为x, C、D中占线电话的数目为y, 则x∽B (2, 0.5) , y∽B (2, 0.4) .

P (ξ=0) =P (x=0) P (y=0) =0.52×0.62=0.09;

P (ξ=1) =P (x=1, y=0) +P (x=0, y=1) =0.3;

P (ξ=2) =P (x=2, y=0) +P (x=1, y=1) +

于是得到随机变量ξ的概率分布列为:

【例4】某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查, 若安检不合格, 则必须整改, 若整改后仍不合格, 则强制关闭.设每家煤矿安检是否合格是相互独立的, 且每家煤矿整改前安检合格的概率都是0.5, 整改后安检合格的概率都是0.8, 求: (结果精确到0.01)

(1) 恰好有两家煤矿必须整改的概率;

(2) 某煤矿不被关闭的概率;

(3) 至少关闭一家的概率.

分析:由题意可知, 必须整改的煤矿数目服从伯努利概型B (5, 0.5) .又由于两次安检各家煤矿均相互独立, 且每次检查合格的概率均相同, 综合前后两次安检, 各家煤矿被关闭的概率也相同, 同样满足独立重复试验模型, 从而适用伯努利概型.因此, 此题一个伯努利概型中包含着另一个伯努利概型, 环环相扣, 紧密联系.

解: (1) 设必须整改的煤矿数目为x, 则

(2) P (某煤矿不被关闭) =P (第一次安检合格) +P (第一次安检不合格且整改后合格) =0.5+0.5×0.8=0.9.

设被关闭的煤矿数目为y, 结合 (2) 可知y∽B (5, 0.1) , ∴P (至少关闭一家煤矿) =P (y≥1) =1-P5 (0) =1-0.95≈0.41.

【例5】A、B是治疗同一种疾病的两种药物, 用若干试验组进行对比试验.每个试验组由4只小白鼠组成, 其中2只服用A, 另两只服用B, 然后观察疗效.若在一个试验组中, 服用A有效的小白鼠数目比服用B有效的多, 就称该试验组为甲类组, 设每只小白鼠服用A有效的概率为, 服用B有效的概率为.

(1) 求一个试验组为甲类试验组的概率;

(2) 观察3个试验组, 用ξ表示这3个组中甲类试验组个数, 求ξ的分布列和数学期望.

分析:由题意知一个试验组中服用A有效的小白鼠只数和服用B有效的小白鼠只数分别服从伯努利概型B (2, ) 和B (2, ) .结合 (1) 的结论, 总的来看, 每个试验组是否为甲类试验组相互独立且概率相等, 因此3个试验组中甲类试验组的数目也服从伯努利概型.此题中有3个伯努利概型, 其中1个伯努利概型中包含着2个并列的伯努利概型.