数列通向公式的求法

数列通向公式的求法（精选7篇）

数列通向公式的求法 第1篇

一、已知an+1-an=d (d为常数) 且a1=a, 求an直接用等差数列通项公式

数列an!"是以a为首项, d为公差的等差数列, an=a+ (n-1) d (n∈N*) .

二、已知an+1=qan (q是非零常数) , a1=a (a为非零常数) , 求an直接用等比数列通项公式

数列an!"是以a为首项, q为公比的等比数列, an=aqn-1 (n∈N*) .

三、已知Sn或已知Sn与an的关系, 求an时常用到SnSn-1=an (n≥2) 注意检验a1=S1是否满足

例:数列an!"满足, 求an.

解:设bn=3n-1an, 数列bn!"的前n项和为Sn

则:a1+3a2+32a3++3n-1an=Sn

四、已知an+1是关于an的一次函数的递推关系时, 用待定系数法求an

例:已知bn+1=2bn+1, 且b1=1, 求bn.

解:设bn+1+λ=2 (bn+λ) ,

所以λ=1.

所以bn+1=2bn+1就化为bn+1+1=2 (bn+1) , 又因为b1+1=2≠0,

所以数列bn+1是以2为首项, 2为公比的等比数列,

所以bn+1=22n-1=2n,

所以bn=2n-1 (n∈N*) .

五、已知an+1=an+f (n) 且f (n) 可以求和, 用累加法

例:已知an数列中, , 求an.

解:由已知得

上式相加得:

所以

也满足上式

所以

六、已知

且f (n) 可以求积, 则用累乘

例:已知数列an满足, 且a1=1, 求an.

a1=1也满足上式,

所以

七、已知递推公式

(p为常数) , 则两边取倒数

例:已知数列an满足且a1=1, 求an.

所以数列是以1为首项, 2为公差的等差数列

所以,

所以an= (n∈N*) .

八、归纳、猜想、数学归纳法证明

例:设数列an的前n项和为Sn, 对一切n∈N*, 点都在函数的图象上, 求数列an的通项公式.

解:对一切n∈N*点都在函数的图象上

所以a1=2

所以a2=6-a1=4

所以a3=10-a2=6

所以a4=14-a3=8

猜想an=2n (n∈N*)

下面用数学归纳法证明:

(1) 当n=1, a1=2=21, 猜想成立;

(2) 假设n=k (k≥1) 时猜想成立, 即ak=2k.

则当n=k+1时,

因为an+an-1=4n-2 (n≥2)

所以ak+1+ak=4k+2 (k≥1)

所以ak+1=4k+2-ak=4k+2-2k=2k+2=2 (k+1)

所以当n=k+1时, 猜想也成立

综上 (1) (2) 知an=2n对一切n∈N*都成立,

递推数列通项公式的求法 第2篇

类型一已知a1=a,an+1-an=f(n)(n∈N*)型,可用累加法求an

an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)++(anan-1)=a1+f(1)+f(2)++f(n-1)

例1已知数列{an}中,a1=2,an+1=an+n+2,求an.

因为an+1=an+n+2

所以当n≥2时,an-an-1=n+1,

所以a2-a1=3,a3-a2=4,a4-a3=5,an-an-1=n+1.

把上列n-1个式子相加得:an-a1=3+4+5++n+1

所以

当n=1时,a1=2也满足.所以.

类型二已知a1=a(a≠0),an+1=f(n)an型,可用累乘法求an

由an+1=f(n)an可知:

,

把上面各项两边分别相乘得:

an=a1f(1)f(2)f(n-1)(n≥2)

因为{an}是正项数列,所以an+1+an>0

当n=1时,a,=1也满足,所以

类型三已知a1=a,an+1=can+d (c≠0,c≠1,d≠0)型,用参数法构造新数列{an+λ}为等比数列

设an+1+λ=c(an+λ)得an+1=can+cλ-λ

类型四已知a1=a,an+1=can+d(n)(c≠1)型,构造新数列解决

例4已知数列{an}中,,an-1+an=2n,求数列{an}的通项公式.

解:在已知an+1+an=2n两边同除以2n+1得:

例谈数列通项公式的求法 第3篇

关键词：数列,通项公式,求法

新教材改革之后, 数列作为高考的必考内容, 在高考中以中低档难度为主.而求数列的通项公式研究项与项数之间的关系是进一步考察数列其他问题的基础.下面是几种常见数列通项公式的求法.

一、公式法

已知数列是等差或者等比数列用公式法.

例1已知数列{an}是等差数列, 且a2=7, a5=16, 数列{bn}是各项为正数的数列, 点 (log2bn, log2bn+1) 在直线y=x+1上, 求数列{an}{bn}的通项公式.

二、已知sn, 求an

例2已知数列{an}的前n项和Sn=3+2n, 求数列{an}的通项公式.

三、叠加法

已知an+1-an=f (n) , 用叠加法.

例3 (2010年全国新课标) 数列{an}满足a1=2, an+1-an=322n-1, 求{an}的通项公式.

四、叠乘法

已知, 用叠乘.

例4已知数列, 求{an}的通项公式.

将以上n-1个式子相乘, 得

五、构造法

当{an}不是等差或者等比数列时, 可以构造出等差或者等比数列.

例5数列{an}满足a1=4, an=3an-1-2, (n≥2) , 求an.

解由an=3an-1-2, 得 (an-1) =3 (an-1-1) .

∴{an-1}为首项是3, 公比为3的等比数列.

∴an-1=3n.

∴an=3n+1.

说明如pan+1=qan+c, 构造{an+b}为等比数列.

六、猜想数学归纳法证明

{an}不能用上述方法时, 我们可以根据递推公式求出前几项, 猜想{an}, 然后用数学归纳法证明.

例6已知数列求a1, a3, a4, 并求数列{an}的通项式公式.

解由已知得a1=1, a3=15, a4=28,

猜想an=n (2n-1) .

(1) 当n=1, a1=1成立.

(2) 假设当n=k时, ak=k (2k-1) 成立

递推数列的通项公式的求法 第4篇

一、形如an+1-an=f (n) 方法:累加法

练习:已知数列an满足a1=3, an+1=an+n, 求an。

解:由已知得, an-an-1=n-1, an-1-an-2=n-2, a2-a1=1, 累加得

二、形如方法:累积法

三、形如an=pan-1+f (n) 方法:构造新数列

四、形如an+2=pan+1+qan方法:特征根法

练习:已知数列{an}满足an+2=7an+1-12an, a1=1, a2=2, 求an (答案an=23n-1-4n-1) 。

分析:构造方程x2=7x-12, ∴x1=3, x2=4。

解:∵an+2-3an+1=4 (an+1-3an) , ∴数列{an+1-3an}是以4为公比的等比数列。

∴an+1-3an=-4n-1, 同理可得an+1-4an= (-2) 3n-1,

由两式得an=23n-1-4n-1。

五、形如: (其中p, q, r, h均为常数) 方法:特征根法

递推数列通项公式的若干求法 第5篇

类型1:由等差, 等比演化而来的“差型”, “商型”递推关系

(1) 等差数列: an+1-an=d

由此推广成差型递推关系: an-an-1=f (n)

累加:undefined, 于是只要f (n) 可以求和就行.

类型2:等比数列: an+1÷an=q

由此推广成商型递推关系:undefined

累乘:undefined

类型3:递推公式为an+1=pan+q (其中p, q均为常数, pq (p-1) ≠0) .

解法:把原递推公式转化为: an+1-t=p (an-t)

其中undefined, 再利用换元法转化为等比数列求解.

例1 已知数列{an}满足a1=1, an+1=2an+1 (n∈N*) 求数列{an}的通项公式;

因为an+1=2an+1 (n∈N*) ,

所以an+1+1=2 (an+1)

所以{an+1}是以a1+1=2为首项, 2为公比的等比数列,

所以an+1=2n

即an=2n-1 (n∈N*)

类型4:递推公式为an+1=pan+qn (其中p, q均为常数, pq (p-1) (q-1) ≠0 ) .

解法:该类型较类型3要复杂一些.一般地, 要先在原递推公式两边同除以qn+1, 得:undefined

引入辅助数列{bn} (其中undefined, 得:

undefined

再应用类型3的方法解决.

类型5:f (Sn, an) =0型

利用an=Sn-Sn-1 (n≥2) 转化为g (an, an-1) =0型, 或h (Sn, Sn-1) =0型

即混合型的转化为纯粹型的

例2 已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an+ (-1) n, n≥1

(Ⅰ) 写出数列{an}的前3项a1, a2, a3;

(Ⅱ) 求数列{an}的通项公式;

分析:Sn=2an+ (-1) n, n≥1. ①

由a1=S1=2a1-1得a1=1. ②

由n=2得, a1+a2=2a2+1, 得 a2=0 ③

由n=3得, a1+a2+a3=2a3-1, 得

a3=2 ④

用n-1代n得Sn-1=2an-1+ (-1) n-1 ⑤

①-⑤: an=Sn-Sn-1=2an-2an-1+2 (-1) n

即 an=2an-1-2 (-1) n ⑥

undefined⑦

例3 (全国卷二理科19题) 数列{an}的前n项和记为Sn, 已知undefined证明:数列undefined是等比数列.

解:因为:undefined,

所以 (n+2) Sn=n (Sn+1-Sn) , 整理得 nSn+1=2 (n+1) Sn,

所以undefined, 故undefined是以2为公比的等比数列.

数列通项公式的五种求法 第6篇

一、利用通项公式定义

例1:若Sn和Tn分别表示数列{an}和{bn}的前n项和, 对任意正整数an=-2 (n+1) , Tn-3Sn=4n。求数列{bn}的通项公式;

二、累加法

例2:已知数列{an}满足an+1=an+2n+1, a1=1求数列{an}的通项公式。

所以数列{an}的通项公式为an=n2。

本题解题的关键是把递推关系式an+1=an+2n+1转化为an+1-an=2n+1, 进而求出 (an-an-1) + (an-1-an-2) +……+ (a3-a2) + (a2-a1) +a1, 即得数列{an}的通项公式。

例3:已知数列{an}满足an+1=an+2×3n+1, a1=3求数列{an}的通项公式。

本题解题的关键是把递推关系式an+1=an+2×3n+1转化为an+1-an=2×3n+1, 进而求出an= (an-an-1) + (an-1-an-2) +……+ (a3-a2) + (a2-a1) +a1, 即得数列{an}的通项公式。

三、累乘法

例4:已知数列{an}满足a1=1, an=a1+2a2+3a3+……+ (n-1) an-1 (n≥2) , 求{an}的通项公式。

由an=a1+2a2+3a3+……+ (n-1) an-1 (n≥2) , 取n=2得a2=a1+2a2, 则a2=a1, 又知a1=1, 则a2=1, 代入 (3) 得。

综上, an的通项公式为本题解题的关键是把递推关系式an+1= (n+1) an (n≥2) 转化为, 进而求出从而可得出当n≥2时, an的表达式, 最后再求出数列{an}的通项公式。

四、公式法

例5:已知数列{an}满足an+1=2an+3×2n, a1=2, 求数列{an}的通项公式。

五、构造等差或等比或

例6:已知数列{an}满足a1=1, an+1=2an+1 (n∈N*) 求数列{an}的通项公式。

在上述的文章中, 我用讲解例题的方式为读者介绍了五种常用的数列通项公式的求法。最后要向读者强调的几点是:

1.等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现, 是解决等差、等比数列问题的既快捷又方便的工具, 应有意识地去应用。

2.在应用性质时要注意性质的前提条件, 有时需要进行适当变形。

数列通项公式的几种常见求法 第7篇

一、公式法

已知数列{an}满足an+1=2an+32n, a1=2, 求数列{an}的通项公式.

二、累加法

已知数列{an}满足an+1=an+2n+1, a1=1, 求数列{an}的通项公式.

nn+1n1解:由an+1=an+2n+1得an+1-an=2n+1, 则

所以数列{an}的通项公式为an=n2.

评注:本题解题的关键是把递推关系式an+1=an+2n+1转化为an+1-an=2n+1, 进而求出 (an-an-1) + (an-1-an-2) ++ (a3-a2) + (a2-a1) +a1, 即得数列{an}的通项公式.

三、待定系数法

已知数列{an}满足an+1=2an+35n, a1=6, 求数列{an}的通项公式.

评注:本题解题的关键是把递推关系式an+1=2an+35n转化为an+1-5n+1=2 (an-5n) , 从而可知数列{an-5n}是等比数列, 进而求出数列{an-5n}的通项公式, 最后求出数列{an}的通项公式.

四、换元法

已知数列{an}满足, a1=1, 求数列{an}的通项公式.

评注:解本题的关键是通过将换元为bn, 使得所给递推关系式转化为形式, 从而可知数列{bn-3}为等比数列, 进而求出数列{bn-3}的通项公式, 最后求出数列{an}的通项公式.