高三函数性质范文

高三函数性质范文（精选9篇）

高三函数性质 第1篇

一、利用数形结合法求函数最值

数形结合法也是函数最值问题中比较常见的用法, 举例说明:

典例设函数f (x) = x2- 2x + 2, x∈[t, t + 1], t∈R, 求函数f (x) 的最小值.

思路分析本题中区间是变化的, 从运动的观点来看, 让区间从左向右沿x轴正方向移动, 分析移动到不同位置时对最值有什么影响. 借助图形, 可使问题的解决显得直观、清晰.

解析f (x) = x2- 2x + 2 = ( x - 1) 2+ 1, x∈[t, t + 1 ], t∈R, 对称轴为x = 1.

当t + 1 < 1, 即t < 0时, 函数图像如图 (1) 所示, 函数f ( x) 在区间[t, t + 1]上为减函数, 所以最小值为f ( t + 1 ) =t2+ 1;

当t1t + 1, 即0t1时, 函数图像如图 (2) 所示, 最小值为f (1) = 1;

当t > 1时, 函数图像如图 (3) 所示, 函数f (x) 在区间[t, t + 1]上为增函数, 所以最小值为f (t) = t2- 2t + 2.

二、利用导数法求函数最值

用导数法求给定区间上函数的最值问题一般可用以下几步答题:a. 求函数f (x) 的导数f' (x) ;b. 求f (x) 在给定区间上的单调性和极值;c. 求f (x) 在给定区间上的端点值;d. 将f ( x) 的各极值与f ( x) 的端点值进行比较, 确定f ( x) 的最大值与最小值.

典例已知函数f (x) = ln x - ax (a∈R) . (1) 求函数f ( x) 的单调区间; (2) 当a > 0时, 求函数f ( x) 在[1, 2]上的最小值.

思路分析 (1) 已知函数解析式求单调区间, 实质上是求f' (x) > 0, f' (x) < 0的解区间, 并注意定义域. (2) 先研究f ( x) 在[1, 2]上的单调性, 再确定最值是端点值还是极值 (3) 由于解析式中含有参数a, 要对参数a进行分类讨论.

又f (2) - f (1) = ln 2 - a, 所以当1/2< a < ln 2时, 最小值是f (1) = - a;

当ln 2a < 1时, 最小值为f (2) = ln 2 - 2a.

综上可知, 当0 < a < ln 2时, 函数f (x) 的最小值是 - a;

当a≥ln 2时, 函数f (x) 的最小值是ln 2 - 2a.

结语高三函数性质一直是高三数学学习的重点和难点, 是高考中比较偏爱的考查对象. 在平时的教学实践过程中, 要不断地钻研和学习, 提高自身的教学综合素质, 从而能够根据高三函数性质的教学目标和学生的学习情况合理地安排教学内容.

摘要：函数性质是高三数学学习的重要组成部分, 其中函数最值问题又是函数性质的重中之重, 在函数性质中占有很重的分量, 具有很强的综合性和运用性, 也是高考考查的重点.

关键词：高三函数性质,相关问题,解法

参考文献

[1]田玉梅.例谈函数最值问题的解法[J].试题与研究:新课程论坛, 2012 (10) :33-34.

幂函数的性质 第2篇

正值性质

当α>0时，幂函数y=xα有下列性质：

a、图像都经过点(1,1)(0,0);

b、函数的图像在区间[0,+∞)上是增函数;

c、在第一象限内，α>1时，导数值逐渐增大;α=1时，导数为常数;0<α<1时，导数值逐渐减小，趋近于0(函数值递增);

负值性质

当α<0时，幂函数y=xα有下列性质：

a、图像都通过点(1,1);

b、图像在区间(0，+∞)上是减函数;(内容补充：若为X-2，易得到其为偶函数。利用对称性，对称轴是y轴，可得其图像在区间(-∞，0)上单调递增。其余偶函数亦是如此)。

c、在第一象限内，有两条渐近线(即坐标轴)，自变量趋近0，函数值趋近+∞，自变量趋近+∞，函数值趋近0。

零值性质

当α=0时，幂函数y=xa有下列性质：

高三函数性质 第3篇

目前在高三数学复习课堂上, 多数教师多年来采取“以教为主”的教学设计。这种“以教为主”的教学设计之所以盛行, 其优点是有利于教师主导作用的发挥, 有利于按教学目标的要求来组织教学, 对客观事实的介绍、行为矫正、简单认知加工任务的完成、动作技能的学习、问题解决技能的培养均比较适合。多年来, 已形成一套比较完整、严密的做法, 具有较强的可操作性。但是这种教法的高三数学复习课堂上, 学生的主动性、积极性往往受到一定的限制, 难以充分体现学生的认知主体作用。在高考中, 经常会出现有的学生平时数学成绩很好, 但是在高考中没有发挥出应有的水平, 于是就没有拿到理想的分数现象。

这是笔者在高三数学复习时的一个案例:

案例1: (2010安徽) 设abc>0, 二次函数f (x) =ax2+bx+c的图象可能是 ( )

教师讲评:

当a>0时, b、c同号, (C) 、 (D) 两图中c<0, 故b<0, -b /2a >0选项 (D) 符合。

在高三数学复习时这类题型肯定受到了老师和学生的关注, 而且二次函数的图像一直是高中数学的重点, 在这方面, 教师在课堂上“教”得清楚了, 学生也是听懂并理解了的。但在2011年的高考中就出现了这样的问题:

(2011浙江) 设函数f (x) =ax2+bx+c (a、b、c∈R) , 若x=-1为函数f (x) e2的一个极值点, 则下列图象不可能为y=f (x) 的图象是

从学生考后的反映来看, 出现了一些典型的问题: (1) 没有从二次函数的开口方向、对称轴、x=-1对应的函数值中得到的条件, 也就无法发现其中的矛盾, (2) 把函数f (x) e2与f (x) 混淆起来; (3) 对于选项A, B, C中的图象, 未利用赋值法, 将它们从错误中筛选出来。

这个案例说明我们的复习是否有效, 应该引起思考。对于平时常见的题型, 我们老师或者学生都对自己认为“讲清”、“听懂”的题型为什么在高考中就会出问题感到困惑。

笔者由此想到了我们的课堂复习的教学方法应该改进。尤其在二轮复习中, 作为教师, 如何将重点放在学生身上, 把“学”置于教学的中心, 构建“学为中心”的高三数学二轮复习课堂, 优化教学设计, 深化数学思想, 提升学生能力, 提高课堂效率。

二、高三数学第二轮复习的主要任务

第一轮复习重在基础, 指导思想是全面、系统、灵活, 抓好单元知识, 夯实“三基”。一轮复习中主要的课堂模式是 (一) 知识整理 (二) 典例分析 (三) 巩固练习。笔者在高三一轮复习的一个案例:

案例2:1.函数f (x) =x2-x-2的零点是 ____;

功能:通过解题让知识点浮现出来, 而不是单纯的回忆知识。从而实现以学生为主的知识整理。

紧接着给出第二组:2.设若存在互异的三个实数x1, x2, x3使f (x1) =f (x2) =f (x3) , 则x1+x2+x3的取值范围是 ____.

功能:对零点问题在次巩固, 同时又暴露出学生的困惑点。针对这个困惑点在加以深化。给出了第3个问题:3.设f (x) =x|x-1|+m, g (x) =lnx若h (x) =f (x) -g (x) , 若h (x) 有零点, 求m的取值范围。

这个教学设计是根据, 第一轮复习重在基础, 指导思想是全面、系统、灵活, 抓好单元知识, 夯实“三基”, 而设定的。图象与性质丢复习到了, 但没把它串联起来。而第二轮复习则重在专题归类和数学思想方法训练, 把高中的主干内容明朗化、条理化、概念化、规律化, 明确数学基本方法。高三数学第二轮复习要达到三个目的:一是从全面基础复习转入重点复习, 对各重点、难点进行提炼和把握, 注重知识间的前后联系, 关注知识间的交汇与融合, 深化数学思想, 重视能力的提升, 悟出其中的数学本质;二是将第一轮复习过的基础知识运用到实战考题中去, 将已经把握的知识转化为实际解题能力, 重视产生知识过程中形成的方法与思想, 形成内化能力并灵活运用知识;三是要把握各题型的特点和规律, 把握解题方法, 初步形成应试技巧。达到高考考查学生学习的能力和未来运用知识发展自己的能力的目的, 这也正是高考数学专题复习的主要目标。

三、“学为中心”的高三数学二轮复习课堂的建构

(一) 课前准备:如我在处理《函数图象与性质应用》这节课之前从学生的纠错本上收集有关的内容, 发现很多学生对图象与性质的综合问题存在很多漏洞, 为了检验收集的情报是否真实我给学生进行了测试。给出下面这个题组:

案例3:1. (09山东文) 若函数f (x) =ax-x-a (a>0且a≠1) 有两个零点, 则实数a的取值范围是 ____。

分析:从测试的结果看, 95%学生掌握了, 说明学生对零点问题的基本方法是扎实的。

2.已知函数若f (a) >f (-a) , 则实数a的取值范围是 ___

分析:从测试的结果看50%以上的学生没掌握。主要原因有:此题融合的信息较多, 知识内在的联系复杂起来, 学生不能有效的把知识信息综合起来。

从学生做的情况来看, 很多学生缺乏转化的能力。从而让笔者设置了这节《函数图象与性质应用》的专题课。课前准备的首要任务是了解“学情”。在对学生了解的基础上, 认真研读《课程标准》和《考试说明》, 明确考试要求和命题要求, 熟知考试重点和范围, 以及高考数学试题的结构和特点。给这节课的开设提供了理论依据。以课本为依托, 以考纲为依据, 对于支撑学科知识体系的重点内容, 在花大力气研究基础上把握复习方向, 备课上突出培养学生能力、数学思想、数学理性思维能力发展的为指导思想。问题的设置以递进式设问, 逐步增加难度, 注重对资料的积累和对各种题型、方法的归纳, 以及可能引起失分原因的总结。

(二) 课堂教学:笔者在处理《函数图象与性质应用》这节专题复习课开展教学设计:

第一环节:引例:已知函数

问题1:你能说出此函数有哪些性质吗?并画出此函数的图象吗?

学生1: (成绩中下) 图象画不出来, 性质能说出点, 不完整。只能说出单调性, 奇函数发现不了。

学生2: (成绩中等) 归纳不出函数的性质, 但他能画出此函数的图象, 在老师的引导下, 让他看图归纳出性质。能完成。

学生3: (成绩中等) 能说出此函数的性质, 且能画出此函数的图象, 顺利解决问题1。

【分析】:说明学生在很多时候会做题, 但不会归纳, 能画图 (描点法) 但不能找出图象与性质的联系点。学生3的思路很清晰, 该生的基础知识很扎实。

问题2:不等式f (x) <1的解集是?

学生4:分x>0和x<0来解不等式 (即代数法) 老师肯定了他的解答。

教师:还有别的想法吗?能否和问题1联系起来?

学生5:转化为y=f (x) 和y=1图象的关系, 即可。

教师, 肯定了学生2:同时对两种方法进行比较。

问题3:若f (a) >f (-a) 求a的取值范围。

学生:由学生3能完整回答问题1的学生来分析, 思考了一会没找到思路, 教师接着问:“你的困惑点在哪?”他说: “想把f (a) , f (-a) 带出来, 但发现a的范围不知道, 要讨论, 麻烦不想做下去”教师又问:“问什么一定要求f (a) , f (-a) 呢?能不能和问题2联系起来呢?”学生3思考下说:“f (-a) 怎么转化啊?反问我”此时我大力表扬了学生3:“问的很好, 这是这题的关键”, 紧接着我又反问学生“f (a) 与f (-a) 的关系可以从哪个方向去思考啊”。此时很多学生都明白了, 问题1的结论:函数是奇函数是问题3的突破点。

完成三个问题后, 组织学生完成小结1: (1) 解决函数问题, 优先要了解、研究函数的基本性质, 在此基础上能否画出函数的图象或者变化示意图; (2) 方程或不等式问题可以考虑转化为函数问题来解决。

这样开展课堂第一环节目的是引出问题, 调动学生再现知识库内的知识、方法, 不是简单的回忆, 而是把知识的串联和数学学科内的综合。通过问题层层设置, 揭示高考考察的核心、要求, 通过及时的小结完成第一过程:函数与方程、函数与不等式关系:转化思想、数形结合思想。为学生进入第二环节做好准备。

第二环节:例题精讲

例:已知函数f (x) 是偶函数, 当x≥0时, f (x) =- (x-1) 2+1, 若方程f (x) -a=0有四个不同的解, 则a的取值范围是?

学生讲评:一名学生上黑板非常完整的解出了这道题, 此时教师在教室进行巡视。发现大多数学生和好的解决了。教师给予了高度的评价。

教师:在评价完后追问, 真的都掌握了?学生齐声回答“是”。在追问“既然都会了, 那同学们, 给我找出些这种类型的问题, 相互考察检验下, 刚才你们的回答是否真实有效”。以此例题展开变式设计活动。

同学们分成几个小组, 积极开展了讨论。

第一组很快给出了:变式练习1:已知函数f (x) 是偶函数, 当x≥0时, f (x) =- (x-1) 2+1, 解不等式f (x) <-1。

组长:受引例的影响我们把方程问题改成了不等式, 并点名让第四组的学生张来完成。张很快接受挑战, 并出色的完成了。教师给了2个组好评。

第二组二快给出了:变式练习2:已知函数f (x) 是奇函数, 当x≥0时, f (x) =- (x-1) 2+1, 讨论方程f (x) -a=0的解的问题。

组长:我们把函数的性质修改下, 偶函数变为奇函数, 并指明让第3组的学生李回答。同样出色的完成了。教师又及时给出了好评。再问还能变吗?

教师:不断鼓励, 同时引导可增加写条件……

第四组给出了:变式练习3:已知函数f (x) 是偶函数:且对于定义域内的任何一个x都满足f (x+2) =f (x) , 当x∈[0, 2]时f (x) =- (x-1) 2+1, 则方程f (x) -|lgx|=0的解的个数是多少个。

教师:给予了表扬, 把函数的性质综合起来了, 并让大家完成。通过巡视发现很多同学确实掌握的蛮好的。并把有问题的和优秀的解答进行展示。

完成小结2: (1) 利用函数图象加以解决函数零点个数、方程解的个数问题; (2) 解题中要提取题设信息, 运用数与形间、方程与函数间的转化;特别要注意图形中的关键特殊点的数字信息。

第二环节关键在于针对高三复习中的困惑: (1) 类型多, 解法多, 时间少; (2) 识别难, 分析难, 转化难。通过这个环节的设置, 利用“探究”“变式”两种手段, 逐步递进?体现有效性的三个内涵, 即有效果、有效率和有效益。抓住变式源头, 积累转化经验, 让学生从不同的角度, 不同问题进行研究, 充分调动学生参与课堂活动的积极性, 促进学生对所复习的问题触类旁通, 举一反三, 从而更好地发掘学生的潜能, 拓展学生的思维。达到了高效课堂的效果。总之:优化复习设计。从改进和优化复习课的教学设计入手。这样做有两个好处: (1) 有利于学生抓住“变式”的源头; (2) 有利于学生积累“转化”的经验。

第三环节:考题测试

1. (2010全国卷) 直线y=1与曲线y=x2-|x|+a有四个不同交点则a的取值范围是 ____;

2. (2010浙江卷) 已知x0是函数f (x) =2x+1 / (1-x) 的一个零点, 若x1∈ (1, x0) , x2∈ (x0, +∞) 则f (x1) ____0, f (x2) ____0

3. (2012浙江样卷) 设函数, 则不等式f (x) <4的解集是 ________

在这个环节中给了学生6分钟的时间来解决此问题, 主要想检查下在前面2个环节的学习中, 学生到底达到了何种效果, 是否有效。从检查的结果看很多学生都能作对了。而且还能对很多问题有了更灵活更深刻的理解。如2.已知x0是函数f (x) =2x+1/ ( 1-x) 的一个零点, 若x1∈ (1, x0) , x2∈ (x0, + ∞) 则f (x1) ____0, f (x2) ____0此题一部分学生是画图象解决的, 还有一部分同学更灵活看出了此函数是单调递增的函数, 直接运用单调性就解出来了。说明对图象和性质能灵活的把握。

第三环节主要目的: (1) 立足通法, 当堂检测, 及时反馈学生分析、琢磨、强化、变通的情况, 对数学本质的把握情况; (2) 要留心历年考卷变化的内容, 更要关注不变的内容, 因为不变的内容才是精髓, 在考试中处于核心、主干地位, 应该将其列为复习的重点, 同时, 还应关注与数学相关的热点问题, 并能够用所学的知识进行简单的分析、归纳, 这可以提高活学活用知识的能力。

第四环节:探讨研究

二轮复习注重知识间的前后联系, 关注知识间的交汇与融合, 深化数学思想, 重视能力的提升, 悟出其中的数学本质;为了加深学生知识的迁移能力, 分析转化能力, 我设置了此环节。

问题1:函数y=1 / (1-x) 与y=2sinπx (-2≤x≤4) 的图象交点横坐标之和是 ____;

学生1:学生三角图象 (五点作图) 有欠缺

学生2.y=1/ ( 1-x) 图象处理是他们的难点。难点1:由y=-1 /x的图象往左还是往右移。难点2:图象的特征线, 特征点没把握住。

学生3.把2个图象公共的特征点对称中心 (1, 0) 寻找出来, 从图发现交点横坐标是关于 (1, 0) 称的。

教师:针对学生出现的问题, 难点, 困惑点, 给予指导。师生共同来解决。但前提是让学生的问题暴露出来。把教师的“教”与学生的“学”有机的结合起来。

问题2:已知函数f (x) 是偶函数, 当x≥0时, f (x) =- (x-1) 2+ 1, 则满足f (f (a) ) =1/2的实数a的个数是 _____。

此题上课没来得及分析, 留给学生课后进行探究, 让数学的探究学习延续在整个学习的过程中。

第四环节主要目的:着意对数学思想的突显。联想到若干相关, 相通的其他问题, 训练学生的思维能力, 引导学生扩展思路, 启发学生在复习过程中爱思、会思、多思、深思。这样的讲评才能使学生融会贯通, 达到做一题、学一法、会一类、通一片之目的, 同时也有助于引导学生在复习中摆脱“题海战术”的束缚, 培养学生的举一反三的发散思维能力和举三归一的聚合思维能力。让学生学会要根据不同阶段的复习内容和所要求的思维方法与策略, 适当地对学习方法与思维方式和策略进行调整, 就会走出高原期。

高三二轮复习的课堂教学设计应变式迁移, 层层推进。重在专题归类和数学思想方法训练, 把高中的主干内容明朗化、条理化、概念化、规律化, 明确数学基本方法, 注重知识间的前后联系, 深化数学思想, 重视能力的提升。开展课堂教学重点在于运用题组训练, 变式迁移, 归纳总结, 层层推进引导学生自己对复习过程进行计划、调控、反思和评价, 提高自主学习的能力。

(三) 课堂上讲与练的把握:老师作引导, 学生是主体。著名的拉弗曲线 (1974年美国南加州大学社会学家阿瑟·拉弗〈A.Lafer〉提出) 曾成功解释过许多“过犹不及”的社会现象, 把它引入高三数学评讲课也是适用的。

在A点教师评讲得少和B点教师评讲得多基本上是等效的, 在A点评讲课固然给学生留下充分的思考时间, 但由于教师指导太少, 学生学习兴趣受挫。而B点由于教师灌输得太多、太杂, 超出了学生的接受能力, 易让学生产生厌倦心理。所以, 这两种评讲效果均不理想。教师应充分发挥自己在试卷评讲中的主导地位, 但主导不应等同于包办代替的“一言堂”, 也应充分发挥学生的主体作用, 调动学生的积极性, 变灌输式为自控式, 不断鼓励学生对评讲内容尤其是自己出错的知识点进行“二次思维”, 产生恍然大悟的成就感。这种积极的学习心态可以导致主导作用与主体作用的和谐统一, 从而逼近拉弗曲线中理想的E点。需要指出的是, E点处于A、B之间但绝不是两者相加除以2, 它是一个变值, 这个变值的确定, 依赖教师对试卷难度、学生成绩情况、学生能力状况的分析, 以及教学目标的实现。为此要鼓励学生自我探索, 发现, 训练学生评讲课上“二次思维”, 以求逐渐过渡到考场上“一次思维”的到位。

四、“学为中心”的高三数学二轮复习课堂的建构思考 与建议

高效二轮复习的实质就是做到:系统夯实, 加强对数学概念的深化;立足通法, 注重对数学本质的把握;精讲精练, 着意对数学思想的突显。有效教学一定是在巩固知识的基础上对各种能力的充分培养。要构建一个高效的数学课堂应围绕在以下几个方面展开:

1.高三的二轮复习要打造成“师生互动”的高效精彩课堂, 教师要静下心来研究、研究学生、研究教材、研究教法, 才能让学生更好的地去理解、领悟所要掌握的知识。

2.教师要有广博的专业知识, 要具备驾驭课堂的能力, 才能在课堂教学中带领学生去登峰涉险, 有效突破重点难点, 点燃学生智慧的火花。如:二轮复习是一种积极地、创造性的学习过程, 而学生在考场上都会出现“怕难”“惧新”“畏繁”等现象, “怕难”可以通过心理调节来克服, “惧新”“畏繁”则应是教师可以控制的, 通过二轮的优化复习的教学设计来完成。通过问题的“拓展”尽可能对选中的例题进行合理合情地深度开发;通过设计一组组具有层次性, 富有挑战性和探究性、蕴涵数学思想价值、环环相扣的问题串, 促使学生在“联系”“变化”“拓展”的氛围中深入地进行数学思考, 重视思维的合理性、提高思维的灵活性, 促进学生对知识的巩固, 方便考试时对知识的提取。

3.要构建有效的课堂, 真可谓是教学有法, 教无定法, 新课程倡导积极主动, 勇于探索的学习方法, 这就要求教师主动将时间还给学生, 努力引导学生自己发现知识间的联系, 努力提高学生对知识内涵与外延的理解, 尽可能在数学思想层面上进行指导, 去揭示数学的本质, 要重视对通性通法的讲解与分析。让学生自己去发现问题, 解决问题, 让学生有更深层次的理解。

参考文献

[1]杨志文《.中学数学教学参考》.2011.12期《.高中数学高效课堂的实践与认识》.

[2]李广修《.中学数学月刊》.2012.10“.函数与方程思想”的教学实录与反思.

凹凸函数的性质 第4篇

12文丽琼 营山中学

四川营山 637700 2营山骆市中学

四川营山

638150

摘要：若函数f(x)为凹函数，则f(xx112xnnxnn)f(x1)f(x2)f(xn)nf(x1)f(x2)f(xn)n

xx

若函数f(x)为凸函数，则f(2)

从而使一些重要不等式的证明更简明。

中图分类号：

文献标识号：

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高二数学不等式，教材上只要求学生掌握两个数的均值不等式，教材上的阅读材料中，证明了三个数的均值不等式，从而推广到多个数的情形。学有余力的学生，会去证多个数的情形。仿照书上去证，几乎不可能。下面介绍凹凸函数的性质，并用来证明之，较简便易行。

凹函数定义 若函数f(x)上每一点的切线都在函数图像的下方，则函数f(x)叫做凹函数。如图

（一）凸函数定义 若函数f(x)上每一点的切线都在函数图像的上方，则函数f(x)叫做凸函数。如图

（二）性质定理 若函数f(x)是凹函数，则

f(x1x2xnnxnn)f(x1)f(x2)f(xn)nf(x1)f(x2)f(xn)n

若函数f(x)是凸函数，则

xxf(12)

证明：若函数f(x)是凹函数，如下图

xx点P（12

xnnxx,f(12xnn)）在f(x)上

设过P点的切线方程为：y=ax+b 则

f(x1x2xnn)ax1x2xnnb

（1）

∵f(x)是凹函数，切线在函数图像下方

∴f(x1)ax1b;f(x2)ax2b;…;f(xn)axnb ∴f(x1)f(x2)f(xn)nxnnax1x2xnnb

(2)由（1），（2）得

xxf(12)f(x1)f(x2)f(xn)n

若函数f(x)为凸函数，如下图

xx

点P（12

xnnxx,f(12xnn)）在f(x)上

设过P点的切线方程为：y=ax+b 则

f(x1x2xnn)ax1x2xnnb

（1）

∵f(x)是凸函数，切线在函数图像上方

∴f(x1)ax1b;f(x2)ax2b;…;f(xn)axnb ∴f(x1)f(x2)f(xn)nax1x2xnnb

(2)由（1），（2）得

xxf(12xnn)f(x1)f(x2)f(xn)n

定理证明过程要结合图像形象理解，也便于掌握。下面证明均值不等式和高斯不等式。

xx均值不等式：12xnnnxx12xn

（x1,x2,,xn＞0）

证明：∵ y=lgx 是凸函数

∴lg(x1x2xnn2)lg(x1)lg(x2)lg(xn)n

xx

∴lg(1xnn)lgnxx12xn

即

xx12xnnnxx12xn

（x1,x2,,xn＞0）

高斯不等式：证明：∵ yxx1n22xn11xx121xn

（x1,x2,,xn＞0）

1(x>0)是凹函数 x11

2∴

1(x1x2xn)／nxx1n1xn

即

x1x2xnn211xx121xn

（x1,x2,,xn＞0）

以上两个不等式的证明，非常简明，下面再举几个性质定理应用的例子。例1 A、B、C为三角形三内角，求证sinA+sinB+sinC≤

证明：∵A、B、C为三角形三内角 ∴A+B+C=π

A>0 B>0 C>0 又∵ y=sinx(0

∴

3333 2

∴sinAsinBsinCπsin

即

SinA+sinB+sinC≤

222222n1xx2xn)xxx例2 求证(1nn

证明：∵ yx 为凹函数

xx2xn)xxx

∴(1nnxxxxxx12n例3 求证（（k∈N）)nn

证明：∵ yx

（k∈N）为凹函数

2222n12k2k2k22kn12k2xx2xn)

∴(1n2kx2k1x2xnn2k2k

函数性质在抽象函数问题中的应用 第5篇

一、单调性的应用

利用函数的单调性可以比较抽象函数值或自变量值的大小;求某些抽象函数的值域或最值;解证不等式, 作函数图像。

例1已知函数f (x) 的定义域是 (0, +∞) , 当x>1时, f (x) >0, 且f (xy) =f (x) +f (y) 。

(1) 求:f (1) ;

(2) 证明:f (x) 在定义域上是增函数。

分析: (1) 的求解是容易的;对于 (2) , 应利用单调性定义来证明, 其中应注意f (xy) =f (x) +f (y) 的应用。

解: (1) 令x=y=1, 得f (1) =2f (1) , 故f (1) =0。

(2) 令得任取且则由于故从而

所以f (x) 在 (0, +∞) 上是增函数。

二、周期性与奇偶性的综合应用

周期性与奇偶性常常用于调节自变量的大小, 从而使问题得以解决。

例2已知函数f (x) 是定义域为R的奇函数, 且它的图象关于直线x=1对称。

(1) 求f (0) ;

(2) 证明f (x) 是周期函数。

分析:结合奇函数定义, 以及周期函数的性质, 即证明f (x+T) =f (x) 。

解: (1) ∵函数f (x) 是定义域为R的奇函数,

(2) ∵f (x) 的图象关于直线x=1对称, ∴f (1+x) =f (1-x) , ∴f (x) =f (2-x) ,

即

∴T=4, ∴函数f (x) 是以4为周期的周期函数。

也谈对数函数性质 第6篇

观察对数函数的图像得到性质1性质1:同区间正,异区间负

在对数函数y=logax(a>0且a≠1)中,由图像可知,若01且x>1时,y>0;若01或a>1且0

例1.设则()

(A)a

(C)a

[解析]由性质可知,01,所以(log53)2<(log54)2

例2.函数的定义域为()

A. B C(1,+∞)D.

[解析]要使函数有意义,则log0.5(4x-3)>0,由性质可知0<4x-3<1,,所以,选A。

因此,掌握此性质可以帮助我们快速判断对数函数值符号,从而使解题带来方便。

应到学生观察一组对数函数图像得到下列性质:

性质2:两个对数函数,y=logax、y=logbx(a>0且a≠1,b>0且b≠1)当x=c(c是常数,且c>0,c≠1),时,

1.若a>b>1,则1)0logbc;2) c>1时,有logac

2.若1>a>b>0,则1)0logbc;2) c>1时,有logac

3.若a>1,)01时,有logac>logbc.

证明:1.

1)当0b>1,所以logca<0,logcb<0,ogca0,logca logcb>0,从而logac-logbc>0,即logac>logbc.

2) c>1时,logca>0,logcb>0,ogca>logcb,所以logcb-logca<0,logca logcb>0,从而logac-logbc<0,即logac

2与3的证明由学生独立完成。

例3.若loga2

A)0

C)a>b>1 D)b>a>1

[解析]由性质1可知,0

著名数学家希尔伯特就曾说过“数学问题的宝藏是无穷无尽的,一个问题的一旦解决,无数新的问题就会代之而起”。通过上述两个性质的学习,学生解决一般有关对数性质的问题不再困难,同时也对学生数形结合和逻辑划分的培养,观察、分析、归纳以及逻辑思维能力都有好处。对书本的探究引出了两个结论,让我们感觉到书本的教材值得挖掘,而且大有挖掘的素材,这样一种方式把知识进行重新整合,梳理,和融会贯通,也很符合新教材“螺旋式上升”新课程理念。

摘要：对数函数是每年高考的必考内容,也是高考的重点。对对数性质深刻认识,它往往是一个问题的灵魂。因此教师在讲解对数性质时,要有意识引导学生,发现和总结对数的一些特殊性质。

超级画板探究幂函数性质 第7篇

利用超级画板强大的作图和分析功能，以及其对函数图像能进行直接操作的优越性，图像的动态演示功能，重复引起变化的关键因素，局部放大，等等，可以使我们方便地观察函数的整体变化情况，从中获得大量关于函数特征的信息。

(1)函数作图工具直接绘制函数y=xa，变量范围可取(-6, 6);插入变量对象a，选择范围[-5, 5];增加动画按钮a，范围[-5, 5]，一次运动(图1);

(2)从左向右拖动滑杆a，或者点击动画按钮，可以实时看到图像在动态变化;

(3)把函数自变量范围改为(0, 5)，选中曲线，右键增加“跟踪”，再拉动滑杆或点击动画按钮，可以看到动态的跟踪过程(图2)。

(4)通过动手实践，我们可以得出以下性质：

(1) 函数经过公共点(1, 1);

(2) a>0时，y=xa在(0，+∞)上为增函数;a<0时，y=xa在(0，+∞)上为减函数;

(3) 在第一象限[1，+∞)，y=xa绕点(1, 1)逆时针旋转，指数a增大;

(4) y=xa不会在第四象限出现。

利用类似方法，可以探究指数函数y=xa和对数函数y=logaa的图像性质，从而得到如下有关重要性质：

(1) y=ax绕点(0, 1)逆时针旋转，底数a增大：当a<0时，原函数在R内单调减;当a=0时，原函数为在x轴上(0，+∞)内的一条射线;当a>0时，原函数在R内单调增(图3);

(2) y=logaa绕点(1, 0)顺时针旋转，底数a增大：当0

这样，有关指数函数、对数函数、幂函数等相关性质就串联起来了。

指数函数、对数函数、幂函数概念是中学必修的3类基本初等函数。教材中是通过指数式、对数式引入指数函数、对数函数，采用8个具体函数图像解析幂函数概念。而这些过程并不能很好地体现这三个函数的图形变化趋势，各类函数性质也难以得到综合。通过超级画板，教师在课堂上能即时作出各类函数图像，并使其动态变化。这样性质的总结便能顺其自然，一气呵成。

参考文献

一例基本函数性质的推广 第8篇

函数$y=ax\pm \frac{b}{x}$是一例常见而又特殊的函数, 在求某些函数最值问题时, 其性质及其类似函数的性质应用比较广泛.现从$y=x+\frac{1}{x}$的本身性质入手, 给出其类似函数的相关性质及其应用.

一、问题本身

函数$y=x+\frac{1}{x}$的性质 (图1) :

(1) 定义域x∈ (-∞, 0) ∪ (0, +∞) , 函数是奇函数. (2) 在区间 (-∞, -1]∪[1, +∞) 上是增函数. (3) 在区间 (-1, 0) ∪ (0, 1) 上是减函数. (4) 在区间 (-∞, 0) 上, 当x=-1时, y取最大值, ymax=-2;在区间 (0, +∞) 上, 当x=1时, y取最小值, ymin=2. (5) 函数的图像是双曲线, 两个顶点的坐标为M (-1, -2) , N (1, 2) .

例 求函数$y=\frac{x{}^2+5}{\sqrt{x{}^2+4}}$的最小值.

解$y=\frac{x{}^2+5}{\sqrt{x{}^2+4}}=\sqrt{x{}^2+4}+\frac{1}{\sqrt{x{}^2+4}}$, 其定义域为x∈R, 令$t=\sqrt{x{}^2+4}$, 则

$\begin{array}{l}t\ge 2.\\ \because y=t+\frac{1}{t}\end{array}$

在[1, +∞) 为单调递增.又t≥2,

∴当t=2时, 即x=0时, $y{}_{\min }=\frac{5}{2}.$

说明 在解题时要防止出现以下错误:

由均值不等式$(a+b\ge 2\sqrt{ab})$, 得

$\begin{array}{l}y=\sqrt{x{}^2+4}+\frac{1}{\sqrt{x{}^2+4}}\ge 2.\\ \therefore y{}_{\min }=2.(\because \end{array}$

上式取等号的条件是$\sqrt{x{}^2+4}=\frac{1}{\sqrt{x{}^2+4}}$, 即x2+4=1, ∴x不存在.)

总结 解此类题易犯“运用均值不等式”的错误, 而利用函数单调性解决较方便.

二、问题的引申

关于函数$y=ax\pm \frac{b}{x}(a,b$为常数, 且a, b∈R+) 的性质.

(一) 函数$y=ax+\frac{b}{x}(a>0,b>0)$的性质 (图2)

(1) 定义域x∈ (-∞, 0) ∪ (0, +∞) , 函数$y=ax+\frac{b}{x}(a>0,b>0)$是奇函数.

(2) 函数在区间$\left(-\infty ,-\sqrt{\frac{b}{a}}\right]{\displaystyle \cup \left[\sqrt{\frac{b}{a}}‚+\infty \right)}$上是增函数.

(3) 在区间$\left[-\sqrt{\frac{b}{a}}‚0\right){\displaystyle \cup \left(0,\sqrt{\frac{b}{a}}\right]}$上是减函数.

(4) 在区间 (-∞, 0) 上, 当$x=-\sqrt{\frac{b}{a}}$时, y取最大值, $y{}_{\max }=-2\sqrt{ab}$;在区间 (0, +∞) 上, 当$x=\sqrt{\frac{b}{a}}$时, y取最小值, $y{}_{\min }=2\sqrt{ab}.$

(5) 函数图像是双曲线, 两个顶点坐标为

${\rm M}\left(-\sqrt{\frac{b}{a}}‚-2\sqrt{ab}\right)‚{\rm N}\left(\sqrt{\frac{b}{a}}‚2\sqrt{ab}\right).$

(二) 函数$y=ax-\frac{b}{x}(a>0,b>0)$的性质 (图3)

(1) 定义域x∈ (-∞, 0) ∪ (0, +∞) , 函数是奇函数.

(2) 在区间 (-∞, 0) 上是增函数.

(3) 在区间 (0, +∞) 上是增函数.

(4) 函数图像是双曲线.

三、问题的推广

(一) 函数$y=\frac{x{}^2}{x+a}(a>0)$的性质

将函数式变为$y=\frac{x{}^2-a{}^2+a{}^2}{x+a}=(x+a)+\frac{a{}^2}{x+a}-2a$, 设t=x+a, 得$y=t+\frac{a{}^2}{t}-2a.$

不难得出函数$y=\frac{x{}^2}{x+a}(a>0)$的性质:

(1) 定义域x∈ (-∞, -a) ∪ (-a, +∞) .

(2) 函数在 (-∞, -2a]∪[0, +∞) 上是增函数.

(3) 函数在[-2a, -a) ∪ (-a, 0]上是减函数.

(4) 在 (-∞, -a) 上, 当x=-2a时, y取最大值, ymax=-4a;

在 (-a, +∞) 上, 当x=0时, y取最小值, ymin=0.

(二) $y=\frac{ax}{b+cx{}^2}(a,b,c>0)$的性质

将$y=\frac{ax}{b+cx{}^2}$转化为$y=\frac{a}{cx+\frac{b}{x}}(x\ne 0)$, 易得下列性质:

(1) 定义域x∈ (-∞, 0) ∪ (0, +∞) .

(2) 函数在$x\in \left[-\sqrt{\frac{b}{c}},0\right){\displaystyle \cup \left(0,\sqrt{\frac{b}{c}}\right]}$上是增函数.

(3) 函数在$x\in \left(-\infty ,-\sqrt{\frac{b}{c}}\right]{\displaystyle \cup \left[\sqrt{\frac{b}{c}},+\infty \right)}$上是减函数.

(4) 在 (-∞, 0) 上, 当$x=-\sqrt{\frac{b}{c}}$时, 有$y{}_{\min }=-\frac{\sqrt{ab}}{2b}$;

在 (0, +∞) 上, 当$x=\sqrt{\frac{b}{c}}$时, 有$y{}_{\max }=\frac{a}{2\sqrt{ab}}=\frac{\sqrt{ab}}{2b}.$

(三) 关于函数$y=\frac{x+c}{ax{}^2+bx}$的性质

采用换元法, 设t=x+c, 则x=t-c, 于是得到

$\begin{array}{l}y=\frac{t}{a(t-c){}^2+b(t-c)}=\frac{t}{at{}^2+(b-2ac)t+(ac{}^2-bc)}\\ =\frac{1}{at+\frac{ac{}^2-bc}{t}+(b-2ac)}.\end{array}$

这样就化成了我们能解决的形式, 然后再依据a, b, c的情况进行分析、判断, 就可达到目的.

关于基本函数$y=x+\frac{1}{x}$的推广类型还有其他形式, 上面介绍的只是几种常见类型.读者不妨一试.

参考文献

[1]Shorey T N, TLJDEMAN R.Exponential Diophantine equations[M].Cambrideg;Cambrideg University Press, 1986, 340-368.

[2]Bencze M.Proposed problem 7508 (J) .Octogon Math Mag, 2005, 13 (1B) , 678.

[3]乐茂华.形如【math936z】的平方数[J].海南大学学报 (自然科学版) , 2007, 3 (1) .

三次函数的图像和性质 第9篇

一、性质

1. 定义域:从函数解析式可以看出其定义域为R.

2. 值域:由于对函数值y起决定地位的是ax3项, 所以其值域为R.

对f (x) =ax3+bx2+cx+d (a≠0) 求导, 得f′ (x) =3ax2+2bx+c, 记Δ= (2b) 2-4 (3a) c=4b2-12ac.

3. 单调性:

(1) a>0.

(1) 当Δ0时, f′ (x) ≥0对x∈R恒成立, 函数的递增区间为 (-∞, +∞) ;

(2) 当Δ>0时, 方程f′ (x) =0有两个不等的实数根, 记为x1, x2, 不妨设x1

∴f (x) =ax3+bx2+cx+d的增区间为 (-∞, x1) , (x2, +∞) , 减区间为 (x1, x2) .

(2) a<0.

(1) 当Δ0时, f′ (x) 0对x∈R恒成立, 函数的递减区间为 (-∞, +∞) ;

(2) 当Δ>0时, 方程f′ (x) =0有两个不等的实数根, 记为x1, x2, 不妨设x1

∴f (x) =ax3+bx2+cx+d的增区间为 (x1, x2) ;减区间为 (-∞, x1) , (x2, +∞) .

4. 极值当:Δ0时, f′ (x) ≥0恒成立或f′ (x) 0恒成立, 函数f (x) 无极值, 当Δ>0时, 函数f (x) 取得极大值和极小值.

5. 对称性:函数f (x) =ax3+bx2+cx+d (a≠0) 的图像关于点对称. (证明略)

二、图像

三次函数y=ax3+bx2+cx+d (a≠0) 的示意图如下:

1.a>0且Δ>02.a>0且Δ0

3.a<0且Δ>04.a<0且Δ0

注以上四个图像是利用作图工具几何画板作出的, 体现了在不同情况下的函数变化趋势, 由于三次函数图像的特殊性, 因而作者省略了坐标系.