知识归纳：推理与证明范文

知识归纳：推理与证明范文（精选6篇）

知识归纳：推理与证明范文 第1篇

推理与证明 【整体感知】：知识网络

推

理

与

证

明

注意：理科要求数学归纳法，文科不要求.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

【热点点击】：合情推理、演绎推理和直接证明、间接证明涉及到几种方法几乎渗透到数学的方方面面，虽然没有单独考查，但是都是以其他知识为载体，考查综合应用.【本章考点】1.合情推理和演绎推理，2.综合法、分析法和反证法3.数学归纳法(理科)。

【归纳】

1.归纳推理与类比推理统称为合情推理．它们的特点是：归纳推理是由特殊到一般、由部分到整体的推理；而类比推理是由特殊到特殊的推理；都能由已知推测、猜想未知，从而推理结论．但是结论的可靠性有待证明．合情推理的推理过程：从具体问题出发到观察、分析、比较、联想，再到归纳、/

2类比，最后到猜想。

2.演绎推理的特点是由一般到特殊的推理，是数学中证明的基本推理形式；推理模式：“三段论”，也可以从集合的角度理解。

3.和情推理与演绎推理的关系：

①和情推理是由特殊到一般的推理，演绎推理是由一般到特殊的推理；

②它们又是相辅相成的，前者是后者的前提，后者论证前者的可靠性。

4.证明方法常用的有综合法、分析法和反证法（理科还有数学归纳法）

在解决问题时，经常把综合法与分析法和起来使用；使用分析法寻找成立的条件，再用综合法写出证明过程．反证法可以解决条件较少，含有“至少”、“至多”、“不可能”等关键词的命题或“存在性”、“唯一性”命题。反证法是一种间接证法.它是数学学习中一种很重要的证题方法.反证法证题的步骤大致分为三步：

（1）反设：作出与求证的结论相反的假设；

（2）归谬：由反设出发，导出矛盾结果；

（3）作出结论：证明了反设不能成立，从而证明了所求证的结论成立.其中，导出矛盾是关键，通常有以下几种途径：与已知矛盾，与公理、定理矛盾，与假设矛盾，自相矛盾等.5.数学归纳法常用于证明一个与正整数ｎ有关的命题。第一步是推理的基础，第二步是推理的依据，两者缺一不可．特别地，在证明第二步时命题成立，一定要用上归纳假设时命题成立；另外在证明第二步时首先要有明确的目标式，即确定证题方向。/ 2

知识归纳：推理与证明范文 第2篇

版选修2-2 练习(P7)1.解：杨辉三角形的第8行是：1 7 21 35 35 21 7 1 杨辉三角形中的一般规律:(1)表中每个数都是组合数,第n行的第r+1个数是Cnrn!.r!(nr)!(2)三角形的两条斜边上都是数字1,而其余的数都等于它肩上的两个数字相加,也就是rr1r=CnCn1+Cn1.rr1(3)杨辉三角具有对称性(对称美),即Cn=Cn.(4)杨辉三角的第n行是二项式(a+b)展开式,即

01r(a+b)=Cna+Cnab+„+Cnab+„+Cnb的二项式系数.nnn-1

1n-rr

n

n

n2.答案:(1)证明:如图所示,P是等边△ABC内一点,PD⊥AB,PE⊥AC,PF⊥BC，111PD·AB+PE·AC+PF·BC, 2221111因为AB=BC=AC,所以S△ABC=PD·AB+PE·AB+PF·AB=(PD+PE+PF)AB，2222则S△ABC=S△ABP+S△ACP+S△BCP=所以PD+PE+PF=2AB.SABC因为等边△ABC的面积和边长AB为一定值,所以PD+PE+PF为定值.所以结论成立.(2)猜想:将上述结论从平面类比到空间,可以得出的结论是:正四面体内一点到四面体的各个面的距离之和是一个定值。

证明:设P是正四面体ABCD内一点,PE，PF，PM，PN分别是点P到正四面体ABCD四个面的距离, 则VABCD=1(PE+PF+PM+PN）S（S为正四面体ABCD一个面的面积), 3所以PE+PF+PM+PN=3S

.VABCD因为S，VABCD为一定值,所以PE+PF+PM+PN为定值.所以结论成立.习题1-1(P7)1.解：可以得出的结论是:37×3n=n×111(n=1，2，„，9).思路分析：通过对各个等式的观察,注意其数量变化规律,就可以得出相应的通式.33222.解：1+2=3=(1+2).333221+2+3=6=(1+2+3), 3333221+2+3+4=10=(1+2+3+4), „„

对上述各式进行归纳,可以得出如下结论:

n(n1)2n2(n1)21+2+3+„+n=(1+2+3+„+n)=［］=.24333

323.解:1层六边形的点数和为S1=5=5×1，2层六边形的点数和为S2=5+5+4=14=5×2+4，3层六边形的点数和为S3=5+5+4+5+4+4=27=5×3+4×3, „„

对上述各式进行归纳,可以得出n层六边形的点数和为: Sn=5+5+4+5+4+4„+5+4+4+„+4=5n+4×

n(n1)

2=5n+2n(n-1)=2n+3n.24.解：类比1+2+„+n的求和的过程可得：

3322因为n-(n-1)=n+n(n-1)+(n-1), 3322(n-1)-(n-2)=(n-1)+(n-1)(n-2)+(n-2), „„ 33222-1=2+2×1+1, 3322222从而有n-1=n+2(n-1)+2(n-2)„+2×2+1+n(n-1)+(n-1)(n-2)+ „+2×1, 22222222=n+2(n-1)+2(n-2)„+2×2+1+n-n+(n-1)-n-1+„+2-2+1-1 22222=3［n+(n-1)„+2+1］-［n+(n-1)+ „+2+1］-n-1

n(n1)2

-n-1, 2222n(n1)(2n1)所以有1+2+„+n=.6=3［n+(n-1)„+2+1］22225.解:与平面向量的坐标表示相类比,可以得出空间向量的坐标表示: 空间直角坐标系中的坐标: 已知空间直角坐标系和向量a,设i,j,k为坐标向量,则存在唯一的有序实数组(a1,a2,a3),使a=a1i+a2j+a3k,有序实数组(a1,a2,a3)叫作向量a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标,记作a=(a1,a2,a3).在空间直角坐标系O-xyz中,对空间任一点A,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使OA=xi+yj+zk,有序实数组(x,y,z)叫做点A在空间直角坐标系O-xyz中的坐标,记作A(x,y,z),x叫横坐标,y叫纵坐标,z叫竖坐标.STS

类比推理的具体应用

初中数学几何推理与图形证明对策 第3篇

一、几何的重要推理过程

在解答几何图形习题时, 推理是关键的一步。合理推理的有效方式是借助对比和归类, 即在解题时找准点线的关系。分析图形中点线面之间的联系, 要大胆地猜想图形中可能存在的关联性, 哪些点之间可以连成线, 也可从一点或一线入手, 或在一面中做出线段, 使其分成多面, 以求证最后的关系。推理的过程需要仔细研究图形的不同特点, 并运用其特点进行推算。在平时的推理中, 我们应多看一些必要条件, 如平行、相等、相似等字眼, 也可以适当地运用“跳跃性”思维。跳跃性思维要求解题者在推理的时候不要用陈旧思维, 可以把看似没有关系的线段和面结合在一起, 这样往往会得到意想不到的结果。在运用跳跃性思维时也要注意各面和线的关系, 只有在同一空间下的线和面才可连接, 不可把两个或多个图形相连接。

二、巧用基本图形进行推理

(一) 掌握简单图形

初做立体几何题时, 学生会分不清几何与代数之间的差别, 有时也会用错方式和方法, 这时只要巧妙运用基本的几何图形, 就能很快找到解题方法。基本的图形在解题中比较常见, 通常会在题中出现证明相似、相等这样的字眼时用到。这就要求学生对基本图形有一定的了解, 在复杂的图形中找出基本图形。复杂图形都是基本图形组成的, 所以学生在做题时不用担心找不到解题方法, 只要把基本的图形从复杂图形中挑出来, 几何证明就会变得简单了。基本图形有很多种, 有的只要稍稍变化就可以成为另一种图形, 所以我们在运用基本图形时, 可以多变化几种形式, 如三角形可以有等腰三角形、等边三角形等, 这样学生在进行几何推理时就更加方便了。

(二) 图形简单化

由于几何推理是在图形中进行有规则的分析和解答。当图形比较复杂时, 我们可以考虑把图形中对解决问题有用的一部分分离出来, 一步一步地进行解答, 这样有利于学生的进一步思考。对于分离图形, 我们可以根据已知条件来进行, 这样的分离方式不会遗漏任何条件, 并且能使学生对题目有更准确的分析和判断。图形分离的越简单, 对学生解题就越有利, 所以在分析图形时, 积极拆分图形是很有必要的。

三、明确题目中各要素

在几何推理命题中, 题目的各个给出条件都是很重要的, 通过这些, 我们可以知道哪些是已经知晓的, 可以直接用来解题, 哪些条件能够推出结论, 特别是在复杂的命题面前, 这些因素都要考虑。在解题中, 找到各种条件是很重要的, 把握条件和结论之间的逻辑关系也是解题的关键, 如从已知条件推出什么样的结论, 什么样的结论该由哪些条件推理得出, 包括怎样推出。读题是解答几何图形的关键步骤, 题中的一些关键字眼可以帮助我们完成几何推理的过程。因此, 掌握好各要素, 并加以分析, 在几何解题中有着不可或缺的意义。

四、正确利用辅助线推理

(一) 辅助线的重要作用

辅助线是几何推理中的重要的部分, 辅助线可以分解图形, 更有利于推理和分析。在分析如何绘制辅助线时, 我们要仔细观察图形的特点, 比如, 三角形的辅助线多以某一顶点开始;而立方体的辅助线多是在空间中体现的, 有时甚至是在不同面连接而成。

(二) 合理的推理过程

初中数学几何更倾向的是考查学生的推理思维能力, 单一的死记硬背不能应用于所有几何推理中, 只有找到几何推理的窍门并加以运用, 才能在每一种几何推理中取得成功。注重面与面之间的构成关系, 以及线与线之间的连接关系是推理的重要步骤。在做好辅助线后, 一定要标明各个线面的名称, 为后续的推理做铺垫。在几何推理中, 面面证明和线线证明是很重要的, 我们要理清每一个面之间的合理关系及线与线的相辅关系。

运用辅助线是推理和解答几何题的重要一步。好的辅助线能让学生轻松地解答几何图形题, 所以在几何解题中, 我们要保持清醒的头脑, 知道辅助线的运用及合适的位置, 以便顺利完成几何题的推理过程。

摘要：初中数学中的几何推理与图形证明有很多的技巧和规律, 本文从几何的重要推理过程、基本图形的利用、题目要素的分析与辅助线的应用四个方面入手, 分析了其在几何推理与图形证明过程中的作用, 以期为初中数学几何推理与图形证明提供良好的对策。

关键词：初中数学,几何推理,图形证明

参考文献

[1]范成.初中数学几何推理与图形证明策略例谈.数理化解题研究:初中版, 2014 (10) .

[2]沈定祥.浅谈基本图形在初中数学几何教学中的作用[J].学科科学, 2014 (104) .

归纳推理与类比推理的比较 第4篇

合情推理是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。在解决问题的过程中，合情推理具有猜侧和发表结论，探索和提供思路的作用。有利于创新意识的培养。在学习中要把推理方法形成自己的解决问题的意识，使得问题的解决有章有法，得心应手。合情推理包括归纳推理和类比推理。

一、归纳推理和类比推理的联系

归纳推理与类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理。由这两种推理得到的结论都不一定正确，其正确性有待进一步证明。

二、归纳推理和类比推理的区别

（一） 归纳推理

1.归纳推理定义： 由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳）。简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理。

说明：归纳推理的思维过程大致如下：

2.归纳推理的特点：

（1）归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围。

（2）由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验。因此，它不能作为数学证明的工具。

（3）归纳推理是一种具有创造性的推理.通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。

归纳推理是从个别事实中概括出一般原理的一种推理模型，归纳推理包括不完全归纳法和完全归纳法。

3.归纳推理的一般步骤：

①通过观察个别情况发现某些相同本质;

②从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题。

说明：归纳推理基于观察和实验，像“瑞雪兆丰年”等农谚一样，是人们根据长期的实践经验进行归纳的结果.物理学中的波义耳—马略特定律、化学中的门捷列夫元素周期表、天文学中开普勒行星运动定律等，也都是在实验和观察的基础上，通过归纳发现的。

（二）类比推理（以下简称类比）1.类比推理定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）。简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理。

2. 类比推理的一般步骤：

①找出两类事物之间的相似性或一致性;

②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）。

3.说明：类比推理的思维过程大致如下图所示：

类比推理是在两类不同的事物之间进行对比，找出若干相同或相似点之后，推测在其他方面也可以存在相同或相似之处的一种推理模式。类比推理不象归纳推理那样局限于同类事物， 同时，类比推理比归纳推理更富于想像，因而也就更具有创造性。人类在科学研究中建立的不少假说和教学中许多重要的定理，公式都是通过类比提出来的，工程技术中许多创造和发明也是在类比推理的启迪下而获得的。因此，类比推理已成为人类发现发明的重要工具。

三、典例剖析

例1.观察下列等式：

12=1

12-22=-3

12-22+32=6

12-22+32=-10

照此规律， 第n个等式可为____.

本例是利用归纳推理解决问题的，作为归纳推理的“集散地”，以数列为背景是常见的命题形式，通过数列呈现的规律来确定数列的某一项，具有一定的难度，且具有时代性。考察观察、归纳、推理能力。

【答案】

由归纳推理所得到的结论不一定正确，但它所具有的特殊到一般的性质对数学的发展有着十分重要的作用，应用时首先分析清楚题目的条件，合理归纳.

例2.求一个质数，当它分别加上10和14时仍为质数.

【分析】我们可以采用归纳推理，先由具体的数计算开始，再归纳猜想一般性的结论.

【解析】用归纳法进行试验：

2+10=12，2+14=16，质数2不合要求;

3+10=13， 3+14=17，质数3不合要求;

5十10=15，5+14=19，质数5不合要求;

7+10=17， 7+14=21， 质数7不合要求.

……

归纳上述结论，可以猜想，3是符合要求的质数.

联想发散：归纳推理是通过对一些个别、特殊情况的观察与分析，导出一般结论的推理方法，利用归纳猜想，可以探索数学规律，探究解题途径。但是结论的正确性还有待于逻辑上的证明。本题中由于质数的变化无规律，不能用解析式把它表示出来，因此若能证明除了3之外的所有自然数分别加上10和14不能都是质数，也就证明了除3以外的所有质数加上10和14不能都是质数.事实上，自然数可分为三类3n ， 3n+1，3n+2（n足正整数）;∵（3n+1）十14=3（n十5）是合数;（3n十2）+10=3（n+4）是合数;

∴3n+1和3n+ 2这两类自然数中的质数都不符合要求，而3n这类自然数中，只有当n=1时，3n才能是质数，其余都是合数，因此符合条件的质数只有3.

例3.如图，过四面体V-ABC的底面上任一点O分别作OA1∥VA，OB1∥VB，OC1∥VC，A1，B1，C1分别是所作直线与侧面交点。 求证：为定值.

【分析】 考虑平面上的类似命题：“过△ABC（底）边 AB上任一点O分别作OA1∥AC，OB1∥BC，分别交BC、AC于A1、B1，求证为定值”.这一命题利用相似三角形性质很容易推出其为定值1.另外，过A、O分别作BC垂线，过B、O分别作AC垂线，则用面积法也不难证明定值为1.于是类比到空间围形，也可用两种方法证明其定值为1.

【证明】如图，设平面OA1 VA∩BC=M，平面OB1 VB∩AC=N，平面OC1 VC∩AB=L，則有△MOA1∽△MAV，△NOB1∽△NBV，△LOC1 ∽△ LCV.得

在底面△ABC中，由于AM、BN、CL交于一点O，用面积法易证得：

通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理。数学研究中，得到一个新结论之前，合情推理常常能帮助我们猜测和发现结论;证明一个数学结论之前，合情推理常常能为我们提供证明的思路和方向。

推理与证明知识点 第5篇

数学推理与证明知识点总结:

推理与证明：①推理是中学的主要内容，是重点考察的内容之一，题型为选择题、填空题或解答题，难度为中、低档题。利用归纳和类比等方法进行简单的推理的选择题或填空题在近几年的中考中都有所体现。②推理论证能力是中考考查的基本能力之一，它有机的渗透到初中课程的各个章节，对本节的学习，应先掌握其基本概念、基本原理，在此基础上通过其他章节的学习，逐步提高自己的推理论证能力。第一讲 推理与证明

一、考纲解读：

本部分内容主要包括：合情推理和演绎推理、直接证明与间接证明、数学归纳法等内容，其中推理中的合情推理、演绎推理几乎涉及数学的方方面面的知识，代表研究性命题的发展趋势。新课标考试大纲将抽象概括作为一种能力提出，进一步强化了合情推理与演绎推理的要求，因此在复习中要重视合情推理与演绎推理。高考对直接证明与间接证明的考查主要以直接证明中的综合法为主，结合不等式进行考查。

二、要点梳理：

1.归纳推理的一般步骤：(1)通过观察个别事物，发现某些相同的性质;(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题。

2.类比推理的一般步骤：

(1)找出两类事物之间的相似性或一致性;(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)。

3.演绎推理

三段论及其一般模式：①大前提——已知的一般原理;②小前提——所研究的特殊情况;③结论——根据一般原理，对特殊情况作出判断。

4.直接证明与间接证明

①综合法：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法。综合法的思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论。

②分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法。分析法的思维特点是：执果索因。

③反证法：要证明某一结论A是正确的，但不直接证明，而是先去证明A的反面(非A)是错误的，从而断定A是正确的，即为反证法。一般地，结论中出现“至多”“至少”“唯一”等词语，或结论以否定语句出现，或要讨论的情况复杂时，常考虑使用反证法。

主要三步是：否定结论 → 推导出矛盾 → 结论成立。

实施的具体步骤是：

第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立。

第15章 推理与证明知识结构 第6篇

高三数学第一轮复习章节知识点

3）三段论式常用的格式为：

M——P（M是P）

S——M（S是M）

S——P（S是P）① ② ③

其中①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。

二、证明

●1.直接证明：是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。

综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。

分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“由果索因”。

要注意叙述的形式：要证A，只要证B，B应是A成立的充分条件.分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。

●2.间接证明：即反证法：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。