Vasicek模型-盘古文库

Vasicek模型（精选3篇）

Vasicek模型第1篇

利率是金融市场核心变量之一, 在商业银行资产定价及金融风险管理等方面都起着重要作用。随着利率市场化进程的不断加快, 我国商业银行面临较大的利率风险, 而商业银行是经营性企业, 是以盈利为目的的, 因此在自主定价体系下如何确定合理贷款利率水平, 以实现风险与收益的平衡, 对商业银行发展至关重要。而确定合理的贷款利率水平, 首先必须准确地描述未来利率走势, 本文就是在这样的背景下, 对Vasicek利率模型进行修正, 并结合实际数据进行参数估计。

2 动态模型的建立

随着利率市场化的不断推进, 利率是不断变动的, 利率动态模型具有代表性的是Vasicek利率模型和CIR利率模型, 他们都属于单因子模型。通过分析, 本文以Vasicek利率模型为基础进行分析。

Vasicek利率模型瞬时利率满足的随机微分方程是:

其中, k、μ、δ是常数。k表示均值回复速度, μ是长期均衡的利率水平, δ是利率的波动率, dzt为标准维纳过程。

由于我国的利率市场化程度还不够充分, 我国的人民币存贷款基准利率还存在一定的政府行为, 因此, 结合我国实际对Vasicek利率模型进行修正, 得:

基于Vasicek利率跳跃扩散模型:

其中, jdp是跳跃项, 表示政府行为, J表示服从均匀分布U (a, b) , dp服从参数λ的泊松分布。

3 模型参数估计

基于适用性及相关性分析, 本文将央行确定的金融机构人民币贷款基准利率作为模型的基准利率, 主要描述五年以上金融机构人民币贷款基准利率未来动态。数据选取为1991年4月21日至2011年7月7日的月数据, 共244个数据。利用Eviews经济应用软件可得各个利率品种的均值及标准差情况如下:

具体参数估计过程如下:

3.1 均值回复速度k

k可以通过即期利率标准差随到期期限下降的速度来估计, 具体用1991年4月21日至2011年7月7日的贷款基准利率计算各期的标准差, 并进行回归分析, 得到拟线性回归方程: y=0.002950*t+0.0171

该线性方程的斜率即k的值, 为0.002950。

3.2 长期均衡的利率水平μ

μ可以由五年以上贷款基准利率的历年均值代替, 即:

其中, Ri为各期贷款利率, N为总期数即244。

结合表1, 可知μ=0.0851。

3.3 利率的波动率

δ的估计方法与μ的估计方法相同, 即用五年以上贷款基准利率的标准差代替, 即:

结合表1, 可知δ=0.03165。

3.4 泊松分布dp的强度λ

数学上, 泊松分布参数指单位时间 (或单位面积) 内随机事件的平均发生率, 主要描述单位时间内随机事件发生的次数, 因此, 我们可以利用利率在一段时间内发生变动次数的平均数来估计, 即:

其中, m为利率变动次数, n为总时间, 以月为单位, 则n=N=244。在1991年4月21日至2011年7月7日期间, 利率变动次数m为30, 由此得λ=0.12295。

3.5 跳跃项J的参数a, b

以五年以上金融机构人民币贷款基准利率为基础, 采用极大似然估计法对参数a, b进行估计, 得a=-0.012, b=0.012。

综上可知, 五年以上贷款基准利率的跳跃扩散模型为:

drt=0.002950* (0.0851-rt) dt+0.03165dzt+Jdp

其中, J表示服从均匀分布U (-0.012, 0.012) , dp服从参数0.12295的泊松分布。

4 结论

通过本文对Vasicek利率模型及其修正模型的分析, 并采用实际数据对模型进行参数估计, 能够在一定程度上准确描述未来利率变动情况。对利率模型参数估计的结果表明, 我国的短期利率存在着显著的回复效应与水平效应, 这与实际观测到的利率运动是相符的。

摘要：在利率市场化的大背景下, 结合我国政府行为对Vasicek利率模型进行修正, 并选择人民币贷款基准利率作为模型的基准利率进行参数估计, 从而为实现对未来短期利率模拟提供条件, 并为后续商业银行利率研究及资产定价提供可靠保证。

关键词：利率市场化,Vasicek利率模型,跳跃扩散

参考文献

[1]Durham, G.B.Likelihood-Based Specification Analysis of Con-tinuous-Time Models of the Short-Term Interest Rates[J].ni-versity of Iowa working Paper, 2002.

Vasicek模型第2篇

1. 概述

幂型期权是一种很常见的奇异期权, 是目前经济学者研究最多也是现在国际金融市场中最活跃的新型期权之一, 幂型期权又被称作n次型期权, 相比较标准期权, 幂型期权改变了收益结构, 到期日的期权价值不再是标的资产的价格和约定执行价格之间的差值, 而是标的资产价格的幂函数与约定执行价格的价差。比如, 在期权处于实值的状态时, 幂型看涨期权到期日的价格或者其收益函数可以表示为而不再是。

幂型期权可以分为两大类 (根据到期日的执行条件不同) :

第一类欧式幂型期权的到期日执行行为如下

第一类欧式看涨幂型期权

第一类欧式看跌幂型期权

第二类欧式幂型期权的到期日执行行为如下

第二类欧式看涨幂型期权

第二类欧式看跌幂型期权

幂型期权近几年来越来越受到关注, 有很多经济学者都致力于对幂型期权的研究, 肖艳清和邹捷中在题为《指数屏障期权定价模型》[1]中研究了标的资产的价格服从分数维布朗运动以及波动率、利率和预期收益率均为常数的情形, 并在此模型下推导出下降敲出幂型期权的定价公式;陈万义在文章《幂型支付的欧式期权定价公式》[2]中研究了标的资产价格服从标准几何布朗运动以及波动率、利率和预期收益率均为时间的非随机函数的情形, 并在条件下推导出了欧式幂型期权的定价公式;赵佃立在题为《分数布朗运动环境下欧式幂期权的定价》[3]的论文中, 研究了标的资产价格服从分数维布朗运动以及红利率和利率均为非随机函数的情形, 并在此条件下推导出带有支付红利的欧式幂型期权定价;王继红和欧阳异能在《随机利率情形下的幂型期权定价问题》[4]中, 研究了标的资产价格服从标准布朗运动以及利率模型为标准Vacisek利率模型条件下的欧式幂型期权的定价公式。邓小华在文章《随机利率下服从分数布朗运动的期权定价》[5]中, 研究了标的资产服从分数布朗运动以及利率模型服从标准几何布朗运动的环境下幂型期权的定价公式。

尽管文章[5]完成了对幂型期权定价公式的使用模型的推广拓展, 但是其使用的利率模型有可能出现取到负值的情况, 因此本文将完成对幂型期权定价模型的进一步拓展, 把利率模型拓展为分数维Vasicek利率模型, 并利用分数布朗运动的重要特性, 研究标的资产价格服从分数O-U过程, 以及利率服从分数Vasicek利率模型下的欧式幂期权的定价。

2、市场模型

2.1 分数O-U过程

本章假设标的资产价格服从分数O-U过程 (更加详细的内容请参考[6]) , 其价格满足如下的随机微分方程:

注2.1:当 (即不考虑红利) , 并且的情况下, 标的资产价格波动满足分数维布朗运动。

注2.2:当并且的情况下, 式 (2-1) 即为指数O-U过程。

注2.3:当以及的情况下, 标的资产的价格波动满足几何布朗运动。

同样, 根据分数Girsanov定理[7]可知, 存在唯一一个概率测度Q与概率测度P等价, 并且在此测度下, 市场是风险中性的, 那么

表示为在测度Q下的分数维布朗运动。

在概率测度Q下, 式 (2-1) 变为如下表达形式

在概率测度Q下, 再利用分数伊藤公式[8], 我们很容易得到式 (2-1) 的解:

很明显, 当时, 式 (2-2) 就是经典O-U过程的解。

2.2 利率模型

本节我们给出分数维Vasicek随机利率模型以及它的性质, Vasicek模型是由Vasicek提出的, 它也是最早被提出的利率期限结构之一, Vasicek模型是一个期望回归的O-U过程, 本节使用的利率模型正是对这一模型的扩展改进, 假定利率是如下随机偏微分方程的解

其中均为常数, 是标准分数维布朗运动, 我们称此模型为分数维Vasicek利率模型。当短期利率偏离长期利率时, 有一个均值回复的趋势, 注意到, 当方程中不含分数布朗运动项的时候, 它的解为:

即随着时间趋于无穷大, 利率趋向于常数b。而其中的a可以理解为利率的调节速度, 当含有分数布朗运动项的时候, 满足这样的随机微分方程的随机过程是分数O-U过程, 它的解是如下形式:

黄文礼在文献[10]中证明了, 该利率模型同样具有均值回复的特性。

为了计算折现因子, 我们必须首先计算折现率

3. 欧式幂型期权的定价

3.1 第一类欧式幂型期权定价

定理3.1:假设标的资产价格服从 (2-1) 式的分数O-U过程, 利率服从 (2-3) 式的分数维Vasicek利率模型, 假设约定执行价格为K, 到期日为T, 那么第一类欧式看涨幂型期权, 在到期日之前的任意时间t的价格为:

其中

用来表示标准正态分布函数的累积概率。

证明:分数风险中性测度Q下, 记为其拟条件期望算子, 由分数风险中性定价公式, 有

下面我们分别计算 (2-5) 式中的前后两项, 由 (2-2) 可以得知

那么 (2-5) 式第一项可以化简如下:

为了表示方便, 我们记, , 因此会有

根据文献[5]中推论2.6可知

至此, (2-5) 式的第一项化简完毕, 运用同样的方法, 我们继续化简 (2-5) 式的第二项

我们把式 (2-6) 和式 (2-7) 同时代入式子 (2-5) , 证明完毕。

然后我们用与证明定理3.1同样的思路方法, 可以很容易的得出第一类欧式 (看跌) 幂型期权的定价公式, 如下面的定理3.2。

定理3.2:假设标的资产价格服从 (2-1) 式的分数O-U过程, 利率服从 (2-3) 式的分数维Vasicek利率模型, 假设约定执行价格为K, 到期日为T, 那么第一类欧式看跌幂型期权, 在到期日之前的任意时间t的价格为:

其中

用来表示标准正态分布函数的累积概率。

注3.4:根据定理3.1和定理3.2, 我们很容易可以推导出第一类欧式幂型期权的看涨-看跌的平价公式

注3.5:对于式子 (2-3) 中的分数维Vasicek利率模型, 当时, 即为文献[5]中的结果, 也就是说, 通过把利率模型扩展为分数维Vasicek利率模型, 我们得到的结果更具有一般性, 而很多之前的在布朗运动驱动的市场中研究的结论都可以看做是本节结论的一个特例。

3.2 第二类欧式幂型期权定价

定理3.3:假设标的资产价格服从 (2-1) 式的分数O-U过程, 利率服从 (2-3) 式的分数维Vasicek利率模型, 假设约定执行价格为K, 到期日为T, 那么第二类欧式看跌幂型期权, 在到期日之前的任意时间t的价格为:

其中

用来表示标准正态分布函数的累积概率。

证明:有了第一类欧式幂型期权的定价思路, 我们用类似的推导方法, 有

下面我们分别计算 (2-9) 式中的前后两项, 由 (2-2) 可以得知

那么 (2-9) 式第一项可以化简如下:

同样, 为了表示方便, 我们记, , 因此会有

并且假设

根据文献[5]中推论2.6可知

至此, (2-9) 式的第一项化简完毕, 运用同样的方法, 我们继续化简 (2-9) 式的第二项

我们把式 (2-10) 和式 (2-11) 同时代入式子 (2-9) , 证明完毕。

然后我们用与证明定理3.3同样的思路方法, 可以很容易的得出第二类欧式 (看跌) 幂型期权的定价公式, 如下面的定理3.4。

定理3.4:假设标的资产价格服从 (2-1) 式的分数O-U过程, 利率服从 (2-3) 式的分数维Vasicek利率模型, 假设约定执行价格为K, 到期日为T, 那么第二类欧式看跌幂型期权, 在到期日之前的任意时间t的价格为:

其中

用来表示标准正态分布函数的累积概率。

注3.6:根据定理3.3和定理3.4, 我们很容易可以推导出第二类欧式幂型期权的看涨-看跌的平价公式

注3.7:对于式子 (2-3) 中的分数维Vasicek利率模型, 当时, 可以把文献[5]中的结论看作是本文结论的一个特例, 本文结论相对于文献[2]来讲, 也是对其结论的推广, 也就是说, 通过把利率模型扩展为分数维Vasicek利率模型, 我们得到的结论更具有一般性, 而很多之前的在布朗运动驱动的市场中研究的结论都可以看做是本节结论的一个特例。

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摘要：假定股票价格服从分数O-U过程, 利率服从分数Vasicek利率模型, 利用风险中性定价公式及随机分析理论等, 给出两类欧式幂型看涨、看跌期权的定价公式, 并推导出它们的看涨-看跌平价公式。

关键词：分数布朗运动,分数Vasicek模型,幂型期权,定价公式

参考文献

[1]肖艳清, 邹捷中.指数屏障期权定价模型[J].经济数学.2005, 22 (4) :368-372.

[2]陈万义.幂型支付的欧式期权定价公式[J].数学的实践与认识, 2005, 35 (6) :52-55.

[3]赵佃立.分数布朗运动环境下欧式幂期权的定价[J].经济数学, 2007, 24 (1) :22-26.

[4]王继红, 欧阳异能.随机利率情形下的幂型期权定价问题[J].兵团教育学院学报.2010, 20 (2) :32-36.

[5]邓小华.随机利率下服从分数布朗运动的期权定价[J].21-28.

[6]赵魏, 何见敏.股票价格遵循分数Ornstein-Uhlenback过程的期权定价[J].中国管理学, 2007, 15 (3) :1-5.

[7]Biagini F., Hu, Y., !ksendal B., 2008, Stochastic Calculus for Fractional Brownian Motion and Applications.Springer, London.

[8]Hu, Y., !ksendal B., 2003.Fractional white noise calculus and applications to finance, Infinite dimensional analysis.Quantum Probability and related topics 6 (1) , 1-32.

[9]O.Vasicek.An equilibrium characterization of the term structure.Journal of Financial Economics, 1977, 5:177-188.

Vasicek模型第3篇

关键词：违约时间联合分布,Vasicek模型,一篮子信用违约互换,蒙特卡罗模拟,封闭解有效性验证

1 引言

信用违约互换 (credit default wwaps, 简称CDS) 是一种信用衍生产品, 是将一个或多个投资标的的违约风险从信用保障买方转移到卖方的一种合约式协议。在合同期限内, 信用保障的买方向愿意承担风险保护的保障卖方支付一笔固定的费用 (称为信用违约互换利差) ;信用保障卖方在接受费用的同时, 则承诺在合同期限内, 当出现信用类事件时, 向信用保障的买方赔付违约的损失。目前, CDS已经成为国外金融市场上最常见的一种全新的规避信用风险的信用衍生产品。

信用违约互换本质上是一份对具有违约风险债券的保险合约。对于标准的信用违约互换 (single-name CDS) :假设公司A持有公司C发行的一份公司债券, 于是它就面临着公司C违约而带来的信用风险。为了管理这种风险, 公司A与公司B签定一份信用违约互换合约, 并定期向公司B支付费用, 直至公司C违约或持有的C公司债券到期。当C公司违约时, 公司B将补偿公司A在其持有的C公司债券上面所遭受的损失。由于信用违约互换具有保险合约的性质, 所以CDS购买方A需要定期向出售方B支付固定的费用, 直至信用事件发生时或者CDS合约到期, 这个费用一般称为CDS保险金或保费。当信用事件发生时, CDS的购买者, 将停止支付保费, 同时CDS出售方B将赔偿购买方A因信用事件所遭受的损失。

由于在现实经济中, 每个公司的运作并不是孤立的, 它们之间总是存在着千丝万缕的联系, 比如几个公司可能相互是竞争对手或是合作伙伴, 或更直接地, 公司之间是母子关系。这给我们的违约风险分析带来的关键问题是:考虑公司的违约风险时, 应充分考虑该公司与其他公司之间的相关性, 即几个公司之间的违约是相互关联的。随着信用衍生产品市场近年来的飞速发展, 与多个公司的违约有关的信用衍生产品越来越流行, 这类信用衍生产品的主要代表就是一篮子信用违约互换 (basket CDS) 。从而, 研究一篮子信用违约互换产品定价必然要考虑多个公司之间的违约相关性。最近由美国次级抵押贷款引发的金融危机也充分说明了信用衍生产品内在的风险相关性和复杂性。

一篮子CDS的本质上是一份针对多个公司发生违约事件的保险合约。假设投资者A购买了一篮子N个公司发行的N种不同的有违约可能性的公司, 这些公司的违约是相互关联的。A为控制篮子里的债券违约所带来的风险, 向保险方B购买一张保险, 这张保险就被称为一篮子信用违约互换或一篮子CDS。CDS出售者B只赔偿CDS购买者A由于第一个债券发生违约所带来的损失的CDS, 被称为首次违约CDS; 而B对一篮子债券中的前两次违约进行保护的CDS称为二次违约CDS, 这种产品的合约一直有效到篮子中的第二张债券违约或合约到期, 出售方B对购买方A赔偿最多由于前两张债券违约所带来的损失;依此类推, 对一篮子中的前n (n<N) 次违约进行保护的产品被称为n次违约CDS。

一篮子CDS定价的关键就是一篮子公司违约相关性的研究问题。关于违约风险相关性, 很多学者作了研究, 目前主要有三种研究方法: 其一是条件独立违约方法[1,2,3];其二是传染模型, 它是条件独立违约方法的扩展[4,5]; 其三是Copula方法[6]。马俊美、梁进 (2007) 利用PDE方法, 在约化法框架下, 提出了一个新的计算多个公司违约时间的联合生存概率的方法[7]。应用这个方法, 我们得到了在CDS合同到期之前篮子中违约数量的概率分布, 并在此基础上通过对一篮子信用违约互换的结构分析, 结合前人研究理论, 建立了n次违约CDS的定价模型, 最后给出了CDS价格封闭形式的解。纪青指出该封闭解并不适用于篮子中数目很大的组合产品[8]。由于封闭解在应用上有显而易见的优越性, 因此有必要对此解的适用范围作进一步研究。而本文的主要工作就是对这一模型的有效性进行检验, 主要运用的工具是蒙特卡罗模拟方法以及copula方法, 并且得到了较满意的结果。

2 违约时间联合分布的PDE模型

为基于信用组合的信用衍生品定价的中心问题就是如何处理违约相关性。无论是利用约化法还是结构法, 违约相关性在定价中的体现就是联接起单个公司违约时间的边际分布而成为多个公司违约时间 (或生存时间) 的联合分布概率, 从而可以进一步描述投资组合在时间轴上的损失分布。

2.1 违约时间联合分布的PDE方法模型

马俊美、梁进 (2007) 在风险中性的框架和一定的条件假设下, 建立了关于违约时间联合分布概率的数学模型, 通过利用PDE方法求得了这种模型下公司间违约时间联合分布概率的封闭结构表达式[7]。

$\begin{array}{l} Ρ (τ_{i_{1}} > Τ, τ_{i_{2}} > Τ, \dots, τ_{i_{n}} > Τ) \\ = \exp {A (t; r, Τ) - \sum_{j = 1}^{n} B_{i_{j}} (t; Τ) λ_{i_{j}} + r (Τ - t)} (1) \end{array}$

其中, i1, i2, , in为投资组合内N个公司中的要求违约时间联合分布的n个公司。由于假设这N个公司的违约过程分别满足非齐次泊松过程, 则λij为ij公司的违约强度, 并假设其满足具有相关性的单因子随机模型Vasicek模型:dλi (t) =ai (bi-λi (t) ) dt+σidWi (t) (i=1, 2, , N) , 每两个公司之间违约的相关性体现在 $ρ_{i j} = \frac{cov (d W_{i} (t), d W_{j} (t))}{d t} (i \neq j)$ 上。r为无风险利率, T为到期日。而式中A (t;r, T) , B (t;T) 分别为:

由封闭形式表达式 (1) , 确定各个公司违约强度随机模型中的参数, 给出t时刻的违约强度值, 便可以得到从初始时刻点t时刻观察, 在T时刻任意n个公司的联合生存概率。因此, 理论上利用此模型可以有效地为包含投资组合的任何信用衍生产品进行定价。

2.2 基于PDE模型的n-th to Default CDS定价模型及其测算

记sNn为n-th to Default CDS的保费 (spread) , 即在合约有效期内每个缴费时刻点PB向PS支付费用的费率。让保费的现值与赔付的现值相等, 则可以得到n-th to Default CDS的公平spread, 即

$s_{n}^{Ν} = \frac{(1 - R) \sum_{i = 1}^{Μ} e^{- r t_{i}} \sum_{h = n}^{Ν} [Ρ (L (t_{i}) = h) - Ρ (L (t_{i - 1}) = h)]}{\begin{array}{l} \sum_{i = 0}^{Τ / Δ t} e^{- r i Δ t} Δ t (1 - \sum_{h = n}^{Ν} Ρ (L (t_{i}) = h)) + \\ \sum_{j = 0}^{Μ} e^{- r t_{j}} (t_{j} - t_{n_{τ}}) \sum_{h = n}^{Ν} [Ρ (L (t_{j}) = h) - Ρ (L (t_{j - 1}) = h)] \end{array}} (2)$

其中, F为资组合内每个公司发行的债券面值;M为将时间区间[0, T]被划分的段数, 即为[t0=0, t1, , tM=T], 为每段长度为dt=T/M, 且tnτ则表示τ时刻前一个PB缴费的时刻;r为无风险短期利率;R为资组合中发生违约后的回收率, 一旦发生第n个违约, 合约终止, PS立即对违约损失向PB进行偿付, 同时仍得到来自PB方支付的最后一期保费。求sNn的关键即为得到在ti (i=1, 2, , M) 时刻投资组合内的已违约公司数目的概率分布P (L (ti) =h) (h=n, n+1, , N) , 其可以用投资组合内公司的违约时间联合分布来组合表示, 由纪青 (2008) 的推导[8], 有如下表达式:

$Ρ (L (t) = h) = \sum_{1 i_{1} < \dots < i_{h} Ν} \sum_{k = 0}^{h} (- 1)^{h - k} \sum_{\overset{⇀}{n}_{h \in Q_{h}}} S_{Ν - k | \overset{⇀}{n}_{k}} (t_{i}) (3)$

对应于每组 $(i_{1}, i_{2}, \dots, i_{h}) ‚ Q_{k} ≙ {(i_{1}, i_{2}, \dots, i_{k}) | (i_{1}, i_{2}, \dots, i_{k}) \subseteq (i_{1}, i_{2}, \dots, i_{h})} (k = 0, 1, \dots, h) ‚ S_{Ν - k | \overset{⇀}{n}_{k} (t)}$ 表示不考虑 $\overset{⇀}{n}_{k}$ 组合中的k个公司, 其他N-k个公司在t时刻的联合生存概率。

至此便得到了投资组合内公司的违约数目在时间轴上的分布由违约时间联合分布组合表示的表达式, 从而就可以对基于投资组合的信用衍生品进行定价。

2.3 在Vasicek模型下篮子里公司个数的限制

2.1节引入了具有违约相关性的任意n个公司生存时间的联合分布概率封闭形式解。然而, 单因子Vasicek形式的违约强度模型是得到这一封闭形式解的关键假设。但是, 当这个模型用于描述公司的违约强度时, λ (t) 可能取到负值, 不符合违约强度的非负性条件, 从而导致由其所推导出的生存概率出现大于1的情况, 这是由于采用Vasicek模型允许过程为负所带来的模型缺陷[8]。

由式 (1) 可以进一步得到m个公司在零时刻看t时刻的联合生存概率显式表达式。由于P (τ1>t, τ2>t, , τn>t) 须满足不大于1, 则式 (1) 右端的指数部分须满足负值条件。以组合内公司具有相同Vasicek模型参数的情况为例, 如已知模型参数: ai=a, bi=b, σi=σ, ρji=ρ, λi (t) =λ (t) , 1i, jm, i≠j.

令式 (1) 右端的指数部分为非正, 即可得到篮子允许个数的估计式

$m \frac{1}{ρ} {\frac{b t - \frac{[b - λ (0)] (1 - e^{- a t})}{a}}{\frac{σ^{2}}{2 a^{2}} (t - \frac{3}{2 a} + \frac{2 e^{- a t}}{a} - \frac{e^{- 2 a t}}{2 a})} - 1} + 1 (4)$

即当给定一组参数{a, b, σ, ρ}及初始违约强度λ (0) 时, 若m满足不等式 (3) , 则由式 (3) 确定的值没有概率意义, 从而不可能是在0时刻观察t时刻m个公司的违约时间的联合分布。

3 Vasicek模型下利用蒙特卡罗模拟的copula方法

本节引进修正的Monto Carlo模拟, 我们将用此结果对公式解进行对比。

3.1 基本思想

该方法的核心思想是利用蒙特卡罗模拟的Copula方法。Li (2000) 开创性地利用连接分布函数来推导多个公司的违约时间联合分布。在约化方法下, 单个公司的违约时间概率分布有显式的表达式P (τt) =1-e-∫τ0λ (s) ds, 再采用多变量正态Copula函数, 就得到违约时间的联合分布函数。进而通过生成一个服从相关系数矩阵为Σ= (ρij) nn的n维高斯分布的随机向量, 可以反求得各个公司的违约时间 (τ1, τ2, , τn) 。由于考虑到Vasicek模型模拟的违约强度序列可能有负值出现, 在具体模拟的过程中, 每次模拟λi (t) 时 (利用离散公式:λi (t+dt) =λi (t) +ai (bi-λi (t) ) dt+σiWi (dt) , i=1, 2, , N) 都进行非负性检验, 发现负值立即重新产生新的λi (t) 。

3.2 算法

首先要确定模拟的次数, 即对违约强度仿真路径的模拟次数以及在每一个违约强度仿真路径下, 各公司违约时间的模拟次数。下面是n-th to Default CDS定价的Monte Carlo模拟算法。

算法3.1

Step1: 根据离散公式模拟N个公司的违约强度仿真路径并进行非负检验;若模拟次数达到, 转Step7, 否则转Step2;

Step2: 生成相关矩阵为R= (ρij) NN的N维高斯向量 (x1, , xN) , 转Step3;

Step3: 由上步生成的随机数, 反求出违约时间向量 (τ1, , τN) , 转Step4;

Step4: 将 (τ1, , τN) 升序排列并取第n个数τ (n) ; 若τ (n) T, 转Step5; 否则, 转Step6;

Step5: τ (n) 为赔付时刻, 则保费s=赔付现值/保费现值; 若模拟次数达到, 转Step2; 否则, 转Step1;

Step6: 未发生信用事件, 则保费s=0; 若模拟次数达到, 转Step2; 否则, 转Step1;

Step7: 期望保费为所有模拟结果的均值; 结束。

4 封闭解有效性检验

第2节提到当一篮子CDS中的公司总数过大时, 由PDE模型得到的公司联合生存概率会出现大于1的情况, 这是由于Vasicek模型不能保证违约强度非负这一无法避免的缺陷所造成的。那么, 当篮子中公司数不是很大, 即满足式 (4) 时, 用PDE模型得到的n-th to default CDS定价的封闭解是否准确, 换言之, 其有效性如何?第2节给出了基于违约时间联合分布PDE封闭解的n-th to default CDS的定价模型;而第3节建立了Vasicek模型下利用蒙特卡罗模拟的copula方法的模型, 对n-th to default CDS的定价进行了模拟。于是, 可以用上述两个模型的计算 (模拟) 结果作比较, 从而对基于PDE模型的n-th to default CDS定价封闭解进行有效性分析。

4.1 模型常数参数确定

为了方便讨论, 首先对模型参数作如下统一假设:

① 无风险短期利率:本章各定价计算 (模拟) 模型中均取无风险短期利率r=0.05。

② 违约回收率:本章各定价计算 (模拟) 模型中假设每个公司的违约回收率相等且为常数, 选取R=40% (为美国高级无抵押公司债券的历史平均回收率) 。

③ 合约期限T=5, 在计算和模拟中, 将其离散为M=1500份, 即dt=5/1500=1/300 (年) 。

④ 缴费周期:n-th to Default CDS的缴费周期通常为一季度, 即Δt=0.25 (年) 。

⑤ 违约强度模型参数:对于投资组合内不同的两个公司之间, 考虑其违约强度相关性系数为常数且相等, 即ρij=0.3。同时假定组合内N个公司的违约强度模型满足统一的模型参数, 并在进行定价计算时代呻相同的初始时刻违约强度。 ai=0.5, bi=0.02, σi=0.06, λ (0) =0.02, i=1, 2, , N.

⑥ 一篮子参照公司债券总数目:在上述参数确定之后, 计算得到N需满足N17。为了对封闭解有效性有个全面的了解, 对N取遍1～30, 计算 (模拟) 这些情况下n-th to Default CDS的定价。

之后的所有计算, 均统一用以上参数。

4.2 封闭解性质分析

在验证封闭解的有效性之前, 先对其解的特征作一定分析。利用修正的蒙特卡罗模拟方法, 立即得篮子里公司总数1～30的各n-th to default CDS的定价。由于当n>10时, CDS的定价几乎为零, 故下面给出n>10时, 各CDS的定价; 并且对n取1到6的情况作出价格变化的函数图像。

从图中可以观察到:在“合理”区域内, 即N17时, ①当取定n时, sNn随着N的增加而增大;②当取定N时, sNn随着的n增加而减小。在“不合理”区域内, 即N>17时, ③“合理”区域和“不合理”区域的转折点并不正好是N=17, 而是要稍滞后一些;④CDS的价格开始出现异常的趋势, 要么开始下降, 要么开始急剧上升; 可以观察到当n为奇数时, 价格曲线在“不合理”区域开始下降; 当n为偶数时, 价格曲线在“不合理”区域急剧上升。换言之, 在“不合理”区域, sNn已不再随着的n增加而减小, 而是表现为sNn<sNn+1>sNn+2<sNn+3>, 并且sNn>sNn+2>以及sNn+1<sNn+3

下面对上述观察到的封闭解的性质作一些解释:①和②是十分显然的:当篮子内的公司数N增大时, 发生违约的概率即会增大, 进而导致CDS的价格增大; 当赔付的“门槛”n增大时, 发生赔付的概率即会减小, 进而导致CDS的价格减小。

③回顾上一节的结论, ti (i=1, 2, , M) 时刻投资组合内的已违约公司数目的概率分布P (L (ti) =h) (h=n, n+1, , N) 的表达式 (2) 。现在解释在N=18时, 为什么价格曲线不立即转折。因为, 在所有P (L (ti) =h) (h=n, n+1, , N) 中, 只有在时间非常接近T时, 表达式中“ (-1) hSN (ti) ”这些项的绝对值才超过1, 其余所有值还是小于1的。这说明, 当N与17很接近时, 大于1的联合生存概率项在计算式中只占很小一部分。故Vasicek模型的缺陷并不会立即出现, 而是要被“抵消” 一段时间后才会显现。

④为了解释为什么在“不合理”区域价格曲线会有两种变化趋势, 即解释为什么在“不合理”区域, sNn已不再随着的n增加而减小, 而是表现为sNn<sNn+1>sNn+2<sNn+3>, 并且sNn>sNn+2>以及sNn+1<sNn+3 以N=25为例, 计算此情形下最后6个时刻 (t=t1495, t1496, , t1500=T) 的违约公司数目概率分布P (L (ti) =h (h=n, n+1, , N) , 因为此时N已经大于17, 故在计算之前我们已经可以预估这些概率值将会小于零 (因为联合生存概率一定大于1, 故联合违约概率小于0) ; 实际的计算结果与预想还是有差异的, 因为这些违约公司数目的概率值并不是在h取所有值时都非正, 而是正负交替出现的, 本文分析出现这一现象的原因是由于P (L (ti) =h) (h=n, n+1, , N) 表达式中个组合项前的正负号交替出现产生抵消效应而导致的。再来看一篮子CDS的定价计算式 (2) , 式中P (L (ti) =h) -P (L (ti-1) =h) 项由于是当前时刻与前一时刻的违约数目概率之差, 所以不管是否在“合理”区域, 其受模型缺陷影响不大。事实上, 对定价公式受Vasicek模型的缺陷影响起主要作用的项为 $1 - \sum_{h = n}^{Ν} Ρ (L (t_{i}) = h$ , 而由于P (L (ti) =h) (h=n, n+1, , N) 的正负是交替出现的, 故随着n的递增, 两种类型的价格曲线交替出现。简单地说, Vasicek模型的缺陷使得联合违约数目概率出现各项小于零的情况-从而导致了CDS价格曲线在不合理区域随着n值的递增出现了两种变化趋势。但是, 不管是那种形式的价格曲线, 在“合理”区域内, 它们的变化趋势是一样的, 所以在“合理”区域内研究封闭解的有效性是有意义的。

4.3 封闭解有效性分析

尽管Vasicek模型的缺陷对封闭解构成了很大的影响, 但是在组合内公司数不是很大时, 模型的可靠性还是占主导地位的。下面, 在N取值不大于30的前提下, 分别在n取1和2时, 对封闭解计算值和蒙特卡罗模拟值进行比较。比较结果如图2、图3。

从两张图中均可以看出, 在“合理”区域内, 封闭解计算值和蒙特卡罗模拟值是较为接近的。故可以认为封闭解在“合理”区域内是可以用于对n-th to default CDS产品进行定价的。图4给出了n取3和4时的定价曲线比较, 同样也说明了前面的结论。

5 总结

本文讨论了在约化法的框架下假定违约强度服从具相关性的Vasicek模型时的违约时间分布的PDE模型及其封闭解, 及用该封闭解对n次信用违约互换进行的定价。由于Vasicek模型缺陷的影响, 公司联合生存概率封闭解的应用也受到了一定的局限。为了验证封闭解定价模型的有效性, 利用蒙特卡罗方法模拟得到的定价模拟值, 将其与封闭解的计算值进行比较, 以验证封闭解的有效性。通过比较验证, 本文确认了封闭解模型只适用于篮子里相关公司较少的情形, 而不适用于对标的组合规模较大的产品如CDX.NA.IG和Itraxx进行准确的定价。在组合规模较小时, 封闭解的有效性可以得到一定程度的保证。

参考文献

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[2]Kijima M, Muromachi Y.Credit events and thevaluation of credit derivatives of basket type[J].Review of Derivatives Research, 2000, 4:55~79.

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[5]Yu F.Correlated defaults in intensity-based models[J].Mathematical Finance, 2007, 17:155~173.

[6]Li D X.On default correlation:a copula functionapproach[Z].2000:99~107.

[7]马俊美, 梁进.一篮子信用违约互换定价的PDE方法[J].高校应用数学学报, 2007.

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