数学几何辅助线大全

数学几何辅助线大全（精选8篇）

数学几何辅助线大全 第1篇

圆中常用辅助线的添法

在平面几何中，解决与圆有关的问题时，常常需要添加辅助线的方法包括见弦作弦心距、见直径作圆周角、见切线作半径、两圆相切作公切线、两圆相交作公共弦等方法.

梯形中常用辅助线的添法

梯形是一种特殊的四边形.它是平行四边形、三角形知识的综合，通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决.辅助线的添加成为问题解决的桥梁，梯形中常用到的辅助线有：(1)在梯形内部平移一腰;(2)梯形外平移一腰;(3)梯形内平移两腰;(4)延长两腰;(5)过梯形上底的两端点向下底作高;(6)平移对角线;(7)作中位线等.

3数学初中证明题技巧

读题要细心

有些学生一看到某一题前面部分有似曾相识的感觉，就直接写答案，这种还没有弄清楚题目讲的是什么意思，题目让你求证的是什么都不知道，这非常不可取，我们应该逐个条件的读，给的条件有什么用，在脑海中打个问号，再对应图形来对号入座，结论从什么地方入手去寻找，也在图中找到位置.?

要引申

难度大一点的题目往往把一些条件隐藏起来，所以我们要会引申，那么这里的引申就需要平时的积累，平时在课堂上学的基本知识点掌握牢固，平时训练的一些特殊图形要熟记，在审题与记的时候要想到由这些条件你还可以得到哪些结论，然后在图形旁边标注，虽然有些条件在证明时可能用不上，但是这样长期的积累，便于以后难题的学习.?

要记.

这里的记有两层意思.第一层意思是要标记，在读题的时候每个条件，你要在所给的图形中标记出来.如给出对边相等，就用边相等的符号来表示;第二层意思是要牢记，题目给出的条件不仅要标记，还要记在脑海中，做到不看题，就可以把题目复述出来.?

对于读题这一环节，我们之所以要求这么复杂，是因为在实际证题的过程中，学生找不到证明的思路或方法，很多时候就是由于漏掉了题中某些已知条件或将题中某些已知条件记错或想当然地添上一些已知条件，而将已知记在心里并能复述出来就可以很好地避免这些情况的发生.

数学几何辅助线大全 第2篇

“初一不分上下，初二两极分化，初三一决上下”，初二年级的学习是整个初中阶段学习的关键。初二的全等、一次函数、勾股定理、四边形,是大部分初三难题所运用的知识点，而中考仅借用初三将学到的二次函数、相似、三角函数、几何变换作为工具，综合初二知识点进行考察。

初二数学，学生最常见问题分析

1、老师讲的懂了会了，可是仍然不会做题。

很多初二同学反应：“虽然老师讲的全等、轴对称，好像都听懂了，可是写作业时老是有疑问”、“考试时，几何证明题一不注意就会被扣去一两分”、“做证明题，思路不清楚”。究其原因，主要是学生不能将学到的知识点与解题很好地联系起来，不能熟练理解公式，无法做到在题目中熟练应用。理解是一个过程，如果学员在暑假能提前预习、巩固基础;秋季综合训练时，在经过了一个消化理解的过程后，会轻松很多。

2、学校课程进度加快、难度加深，班级学生差距会越来越大。

初二数学除了进度会明显加快外，更重要的是知识难度会加深。学生要保持成绩领先，绝不能仅满足于课本的基础知识;尤其是对想在中考取得优异成绩的学生来说，他们会在巩固学科基础的同时，深化所学知识点的难度，学生间的差距愈加明显。

3.暑假提前学习初二数学，不仅可以培养自学能力，提高自己独立解决难题的能力;还可以提高自己的自信心。其次，在暑期里超前预习，可以提前了解学科的难点及自己的疑问。开学后，再次接触到这个知识点，因为有前期的知识的讲解与梳理，会比其他同学理解起来更加容易，也会更加深刻。

4.章节预习为主，由浅入深，循循善诱

初二上册数学以几何为主，学生首次正式接触到辅助线构造类几何证明。暑假课程设计，主要是学生整体把握教材内容，层层递进，打好基础。如先讲三角形内角和，了解概念，然后顺势推广到多边形内角和进行拓展，最后将内角和公式应用于镶嵌，进行几何证明。

暑假课程第一部分《三角形》，是以后学习各种特殊三角形(如等腰三角形、直角三角形)的基础，也是研究其他图形的基础知识。本章节主要是强化培养学生推理能力，特别是辅助线添加技巧。

第二三部分《全等三角形与轴对称》是奠定初中几何的核心。学习之初，对于证明过程的书写和推理学员比较生疏，这一章学员学习比较困难，所以本章主要是要使学生理解证明的基本过程，掌握用综合法进行证明的格式。

第四部分《整式乘除》是初中计算能力的基础。因式分解是初中乃至高中代数式运算的基础。它在代数的恒等变换、分式的通分、约分以及解方程方面都起着重要作用。暑假课程主要是培养学生的观察、分析、运算能力，为后续分式学习打基础。

第五部分《分式》将积累常规数学方法，为秋季综合题打基础。本章主要培养学生认识类比方法;解分式方程时，体现化归思想;分式方程一般要先化为整式方程再求解。

初二数学•暑假课程设置

几何常见辅助线口诀

三角形

图中有角平分线，可向两边作垂线。

也可将图对折看，对称以后关系现。

角平分线平行线，等腰三角形来添。

角平分线加垂线，三线合一试试看。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

线段和差及倍半，延长缩短可试验。

线段和差不等式，移到同一三角去。

三角形中两中点，连接则成中位线。

三角形中有中线，倍长中线得全等。

四边形

平行四边形出现，对称中心等分点。

梯形问题巧转换，变为三角或平四。

平移腰，移对角，两腰延长作出高。

如果出现腰中点，细心连上中位线。

上述方法不奏效，过腰中点全等造。

证相似，比线段，添线平行成习惯。

等积式子比例换，寻找线段很关键。

直接证明有困难，等量代换少麻烦。

斜边上面作高线，比例中项一大片。

圆

半径与弦长计算，弦心距来中间站。

圆上若有一切线，切点圆心半径联。

切线长度的计算，勾股定理最方便。

要想证明是切线，半径垂线仔细辨。

是直径，成半圆，想成直角径连弦。

弧有中点圆心连，垂径定理要记全。

圆周角边两条弦，直径和弦端点连。

弦切角边切线弦，同弧对角等找完。

要想作个外接圆，各边作出中垂线。

还要作个内接圆，内角平分线梦圆。

如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。

内外相切的两圆，经过切点公切线。

若是添上连心线，切点肯定在上面。

探讨初中几何辅助线 第3篇

每个几何定理都有与它相对应的几何图形, 我们把它叫做基本图形, 添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形, 因此“添线”应该叫做“补图”!这样可防止乱添线, 添辅助线也有规律可循。举例如下:

(1) 平行线是个基本图形:当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线

(2) 等腰三角形是个简单的基本图形:当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。

(3) 等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形:出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线;出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。

(4) 直角三角形斜边上中线基本图形。出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。

(5) 三角形中位线基本图形。几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线, 当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形;当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形;当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点, 则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。

(6) 全等三角形:全等三角形有轴对称形, 中心对称形, 旋转形与平移形等;如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形:或添对称轴, 或将三角形沿对称轴翻转。当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明, 添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线

(7) 相似三角形:相似三角形有平行线型 (带平行线的相似三角形) , 相交线型, 旋转型;当出现相比线段重叠在一直线上时 (中点可看成比为1) 可添加平行线得平行线型相似三角形。若平行线过端点添则可以分点或另一端点的线段为平行方向, 这类题目中往往有多种浅线方法。

(8) 特殊角直角三角形。当出现30, 45, 60, 135, 150度特殊角时可添加特殊角直角三角形, 利用45角直角三角形三边比为;30度角直角三角形三边比为进行证明。

(9) 半圆上的圆周角。出现直径与半圆上的点, 添90度的圆周角;出现90度的圆周角则添它所对弦直径;平面几何中总共只有二十多个基本图形就像房子不外有一砧, 瓦, 水泥, 石灰, 木等组成一样。

二、基本图形的辅助线的画法

1. 三角形问题添加辅助线方法。

方法1:有关三角形中线的题目, 常将中线加倍。含有中点的题目, 常常利用三角形的中位线, 通过这种方法, 把要证的结论恰当的转移, 很容易地解决了问题。

方法2:含有平分线的题目, 常以角平分线为对称轴, 利用角平分线的性质和题中的条件, 构造出全等三角形, 从而利用全等三角形的知识解决问题。

方法3:结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形, 或利用关于平分线段的一些定理。

方法4:结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目, 常采用截长法或补短法, 所谓截长法就是把第三条线段分成两部分, 证其中的一部分等于第一条线段, 而另一部分等于第二条线段。

2. 平行四边形中常用辅助线的添法。

平行四边形 (包括矩形、正方形、菱形) 的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质, 所以在添辅助线方法上也有共同之处, 目的都是造就线段的平行、垂直, 构成三角形的全等、相似, 把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理, 其常用方法有下列几种, 举例简解如下:

(1) 连对角线或平移对角线。 (2) 过顶点作对边的垂线构造直角三角形。 (3) 连接对角线交点与一边中点, 或过对角线交点作一边的平行线, 构造线段平行或中位线。 (4) 连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段, 构造三角形相似或等积三角形。 (5) 过顶点作对角线的垂线, 构成线段平行或三角形全等。

3. 梯形中常用辅助线的添法。

梯形是一种特殊的四边形。它是平行四边形、三角形知识的综合, 通过添加适当的辅助线将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。辅助线的添加成为问题解决的桥梁, 梯形中常用到的辅助线有:

(1) 在梯形内部平移一腰。 (2) 梯形外平移一腰。 (3) 梯形内平移两腰。 (4) 延长两腰。 (5) 过梯形上底的两端点向下底作高。 (6) 平移对角线。 (7) 连接梯形一顶点及一腰的中点。 (8) 过一腰的中点作另一腰的平行线。 (9) 作中位线。

当然在梯形的有关证明和计算中, 添加的辅助线并不一定是固定不变的、单一的。通过辅助线这座桥梁, 将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决, 这是解决问题的关键。

4. 圆中常用辅助线的添法。

在平面几何中, 解决与圆有关的问题时, 常常需要添加适当的辅助线, 架起题设和结论间的桥梁, 从而使问题化难为易, 顺其自然地得到解决, 因此, 灵活掌握作辅助线的一般规律和常见方法, 对提高学生分析问题和解决问题的能力是大有帮助的。

(1) 见弦作弦心距。有关弦的问题, 常作其弦心距 (有时还须作出相应的半径) , 通过垂径平分定理, 来沟通题设与结论间的联系。

(2) 见直径作圆周角。在题目中若已知圆的直径, 一般是作直径所对的圆周角, 利用“直径所对的圆周角是直角”这一特征来证明问题。

(3) 见切线作半径。命题的条件中含有圆的切线, 往往是联结过切点的半径, 利用“切线与半径垂直”这一性质来证明问题。

(4) 两圆相切作公切线。对两圆相切的问题, 一般是经过切点作两圆的公切线或作它们的连心线, 通过公切线可以找到与圆有关的角的关系。

(5) 两圆相交作公共弦。对两圆相交的问题, 通常是作出公共弦, 通过公共弦既可把两圆的弦联系起来, 又可以把两圆中的圆周角或圆心角联系起来。

三、几何基本图形在几何教学中的地位和作用

学习几何基本知识, 主要是学会抽象、分析、解决问题的依据、方法, 在实际运用中逐步培养学生抽象思维、逻辑思维及推理论证的能力。而各种思维能力培养和发展的基础是基本的几何定义、定理、公理及其推论等基础知识, 因而笔者认为几何基本图形的教学在初中几何教学中有着举足轻重的地位和作用。

1. 导向功能。

几何基本图形具有概括性的特点, 对学生由形象思维发展为抽象思维具有很强的导向功能。通过基本图形的教学, 学生在记忆中形成几何图形的基本框架, 这样日积月累, 为学生的形象思维到抽象思维, 再到逻辑思维奠定坚实的基础。如果说几何知识是航船, 那么几何基本图形则是航标, 它由近及远、由基层到高层地为几何知识体系指明方向。

2. 系统化功能。

一个基本图形就代表一个知识点, 由若干知识点又组成一个单元知识体系。因此, 只要学好了基本图形, 就自然将所学几何知识分成了若干类。特别是在复习、梳理系统知识的时候, 就可以用几何基本图形及相应的符号语言来将所学知识系统化, 便于学生直观形象地理解知识的联系与内涵。

3. 简化功能。

几何基本图形的这一功能是最突出、最有效的功能。笔者之所以要提出几何基本图形的教学, 就是因为基本图形具有极强的简化复杂问题的功能。主要表现在:第一, 表现形式的简单、简明化, 易于学生掌握、记忆;基本图形都是用简洁明快的线条和必要的几何符号语言来表述文字内容的, 因此便于学生形成“数型”结合的思想, 也便于学生形象直观的理解、记忆、运用知识。从而提高学习效率。第二, 运用基本图形可以将复杂图形进行分解, 使之分解为若干个简单图形 (基本图形) , 从而使解题依据更加明确, 解题思路更加明晰。这样使解决问题的难度得以降低, 达到“化繁为简”和快速解决问题的目的。第三, 运用基本图形也可以补充出题目中所需的辅助条件, 因为很多需要补充辅助条件来解答的问题, 一般都是将某个基本图形的关键部分省去而构成的复杂图形。因而, 只要对基本图形掌握很好, 在分析题意的过程中, 就会不知不觉地把辅助条件补充出来, 从而快速地分析问题、解决问题。如果对基本图形掌握不牢, 很难将辅助条件补充出来而延误分析问题、解决问题的时间, 有时甚至在规定时间内无法解决问题。为什么教师解决一些复杂的几何问题很迅速呢?就是因为教师对几何基本图形的印象很深刻, 能在短时间内把复杂的图形分解为若干简单图形, 从而思路很快就会打开, 这样很快就解决了问题。由此可见, 几何基本图形的教学在初中几何教学中有着不可低估的地位和作用。

几何图形千变万化, 但它们都是由基本图形构成, 解 (证) 几何问题就是创造条件使一般图形向基本图形转化, 然后应用基本图形的性质及关系去解决复杂问题。基本图形就是由定义或判定定理给出的一些几何图形, 这些图形具有典型性和代表性, 在几何教学中有目的地引导学生对这些基本图形及其应用加以研究是十分必要的。

摘要：运用基本图形去解决几何难题, 当问题的条件不够时, 添加辅助线构成新图形, 形成新关系, 使分散的条件集中, 建立已知与未知的桥梁, 把问题转化为自己能解决的问题, 这是解决问题常用的策略。

关键词：基本图形,辅助线,规律,证明

参考文献

[1]金瑞良.平面几何中辅助线的作法[J].承德民族师专学报, 2002, 6.

[2]黄九洲.如何添辅助线解几何题[J].中学教育.

[3]李爱云.初中几何辅助线的作法[J].吕梁高等专科学校学报1999, 6.

[4]尹恩余.园中常见的辅助线的作法[J].教材教法.

数学几何辅助线大全 第4篇

关键词： 辅助线；高中数学；几何证明与计算；作用；探讨

一、高中数学几何题的特点

学生们在初中的课堂上学习过平面几何的计算与证明之后，对于几何题的概念、定理有了一个基础性的了解。在学生们进入高中之后，数学的学习从以往的横向拓展变成了纵向拓展，教材中的内容更加注重挖掘深度，立体几何的概念由此开始引入。学生们在学习的过程中，由于以往学习立体几何而形成的固化思维，往往会影响学生们解题能力的发挥。高中的数学几何题存在着以下几个特点：

1.空间感强。如图所示，学生们在初学立体几何的过程中，思维往往还停留在初中的平面几何阶段，在学习立体几何知识的过程中，容易受原有的平面思维影响。如今的高中立体几何照比从前的平面几何，空间感明显增强。以图中的正方体为例，将一个立体图形通过平面表示出来，往往会形成图上三个四边形相接的效果。由于学生们还没形成较强的空间感，因此在解题的过程中面对复杂的平面立体几何图形，学生们往往会受到图形的迷惑，在解题过程中容易出现错误。

2.解题难度加大。由于高中的数学教材注重挖掘的是知识的深度，因此学生们在进行立体几何知识的学习过程中，往往会发现题照比从前的平面几何，难度增加了不少。在初中的几何题学习中，所学的概念与定理一般仅应用于平面几何的证明与计算题中。而在高中立体几何的学习过程中，体型变得复杂，不仅涉及到证明与计算，更多的是与其他数学知识混在一起进行出题，设计实际应用题、函数问题、递进式证明题等等，难度照比从前明显加大。

二、辅助线在高中几何题中的重要作用

对于辅助线的概念，相信学生们并不陌生。在初中的几何知识学习过程中，辅助线这一概念就已经引入了教材，帮助学生们更好的学习几何知识。学生们在进行证明和计算的过程中，正确的做出一条辅助线可以帮助学生们迅速的打开集体思路，轻松地求出题中所问。鉴于高中几何题存在着空间感强、难度大等特点，辅助线的重要作用就变得更加突出。因此，正确的应用辅助线可以帮助学生们提高学习效率。关于辅助线在高中几何题中的重要作用，以下进行具体探讨：

1.揭示途中隐含图形特性。高中的立体几何题中，题干中所交代的信息往往存在着不明确、模糊等特点，学生们在读题的过程中很难将所有的解题信息通通提炼出来，而一般的重要解题信息往往存在与图形之中。以下图的证明题为例，已知空间四边形ABCD中，BC=AC，AD=BD，E是AB重点，求证：AB垂直于平面CED。

学生们在做题的过程中，看到题目可能会一头雾水，但如果学生们可以连接CE、DE两条辅助线，平面CED就可以如图所示的清楚的呈现在眼前。之后学生们可以通过等腰三角形底边中线“三线合一”的性质证明直线AB垂直于直线ED、EC，再根据“一条直线只要垂直于平面中的两条不平行的直线那么这条直线就垂直于这个平面”的性质，证明出直线AB垂直于平面CDE。通过立体我们可以看出，一般的立体几何体重，题干与图形所给出的信息往往不太明确，容易混淆学生们的思维。一旦学生们清楚的做出辅助线，这道题的思路就会一下子被打开，学生们需要做的仅仅是通过所学的定理与知识想问问题求出来即可。因此，辅助线有帮助学生们找出题中图形隐含特征的重要作用。

2.化复杂为简单。上文已经提到过，高中的立体几何题往往存在着难度较大的特征。一些题目所给的图形复杂，让人看过之后眼花缭乱。所以，辅助线的另外一大作用就是将一些原本较为复杂的图形，通过做辅助线进行分割，化繁为简，将一个复杂的立体几何图形通过辅助线转化为简单的平面几何图形。之后，学生们可以再从分出来的图形中选取与问题有关的信息，通过所学定理与公式求出所问即可。这样，一方面学生们可以通过应用辅助线提高学习效率；另一方面还可以提高学生们学习数学的自信心，增加学习热情。

三、结束语

通过以上文章的探讨我们可以很清楚的看出辅助线对于高中数学几何教学的重要作用。高中的几何证明题就像是一把锁，而学生们的开放性思维、辅助线的应用就像是一把钥匙，能够帮助学生们高效、准确的解题。相信随着我国教育工作者的不断实践和探索，辅助线教学法会得到不断地完善和发展，不断帮助我国的高中生提高学习效率。与此同时，教师在教学的过程中也应该注意转变自身的态度，营造出一种良好的学习氛围，为我国培养出一批又一批的优秀人才。

参考文献

1 王玉银.辅助线作法种种[J].时代数学学习（七年级），2001（Z2）

2 马泽艺.辅助线的作用——在于帮助证明几何题过渡思考[J].科学咨询（教育科研），2011（08）

3 张明贤.辅助线的作用及其添加原则[J].新疆教育学院学报，2009（02）

4 管仲延等.活添辅助线巧解几何题[J].中学生数学，2004（16）

数学几何辅助线大全 第5篇

教学重点中点模型的构造(倍长中线法;构造中位线法;构造斜边中线法教学目标系统有序掌握几何求证思路,掌握何时该用何种方法做辅助线

开场:1.行礼;2.晨读;3.检查作业;4.填写表格 新课导入知识点归纳

1.已知任意三角形(或者其他图形一边上的中点,可以考虑:倍长中线法(构造全等三角形;2.已知任意三角形两边的中点,可以考虑:连接两中点形成中位线;3.已知直角三角形斜边中点,可以考虑:构造斜边中线;4.已知等腰三角形底边中点,可以考虑:连接顶点和底边中点利用“三线合一”性质.新课内容做辅助线思路一:倍长中线法

经典例题1:如图所示,在△ABC中,AB=20,AC=12,求BC边上的中线AD的取值范围.【课堂训练】

1.如图,已知CB、CD分别是钝角△AEC和锐角△ABC的中线,且AC=AB,给出下列结论:

①AE=2AC;②CE=2CD;③∠ACD=∠BCE;④CB平分∠DCE,则以上结论正确的是(A.①②④ B.①③④ C.①②③ D.①②③④ 第1题图第2题图

2.如图,在正方形ABCD中,E为AB边的中点,G、F分别为AD,BC边上的点,若AG=1, BF=2,∠GEF=90°,则GF的长为(A.2 B.3 C.4 D.5 3.如图,在△ABC中,点D、E为边BC的三等分点,则下列说法正确的有(①BD=DE=EC;②AB+AE>2AD;③AD+AC>2AE;④AB+AC>AD+AE。A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

4.如图,在△ABC 中,AB >BC ,E 为BC 边的中点,AD 为∠BAC 的平分线,过E 作AD 的平行线,交AB 于F ,交CA 的延长线于G ,求证:BF =CG.5.如图所示,已知在△ABC 中,AD 是BC 边上的中线,F 是AD 上的一点,连接BE 并延长交AC 于点F ,AE =EF ,求证:AC =BF.6.如图所示,在△ABC 中,分别以AB、AC 为直角边向外做等腰直角三角形△ABD 和△ACE ,F 为BC 边上中点,FA 的延长线交DE 于点G ,求证:①DE =2AF;②FG ⊥DE.F G E D B C A F D B C A E G F B C A D E

7.如图所示,在Rt △ABC 中,∠BAC =90°,点D 为BC 的中点,点E、F 分别为AB、AC 上的点,且ED ⊥FD.以线段BE、EF、FC 为边能否构成一个三角形?若能,该三角形是锐角三角形、直角三角形,或者是钝角三角形? 8.四边形ABCD 是矩形,E 是BC 边上的中点,△ABE 沿着直线AE 翻折,点B 落在点F 处,直线AF 与直线CD 交于点G ,请探究线段AB、AG、G C 之间的关系.9.如图所示,△ABC 中,点D 是BC 的中点,且∠BAD =∠DAE ,过点C 作CF//AB ,交AE 的延长线于点F ,求证:AF +CF =AB.F D A B C E G F E D B C A F D B C A E

做辅助线思路二:构造中位线法

经典例题2:梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AD =12,BC =16,中位线EF 与对角线分别相交于H 和G ,则GH 的长是________.【课堂训练】

1.已知,如图,四边形ABCD 中,AB =CD ,E、F 分别是AD、BC 的中点,BA、FE 的延长线相交于点M ,CD、FE 的延长线相交于点N.求证:∠AME =∠DNE.2.已知,如图,四边形ABCD 中,AC、BD 相交于点O ,且AC =BD ,E、F 分别是AD、BC 的中点,EF 分别交AC、BD 于点M、N.求证:OM =ON.A B F C D N M E D A B C O E F M N P

3.BD、CE 分别是的△ABC 外角平分线,过A 作AF ⊥BD ,AG ⊥CE ,垂足分别是F、G ,易证FG= 2 1(AB+BC+AC。(1若BD、CE 分别是△ABC 的内角平分线,FG 与△ABC 三边有怎样的数量关系?画出图形(图1并说明理由;(2若BD、CE 分别是△ABC 的内角和外角平分线,FG 与△ABC 三边有怎样的数量关系?画出图形(图2并说明理由.4.已知,如图,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,AD +BC =AB ,M 是CD 的中点试说明:AM ⊥BM。

B C M N A D 奉爱树教育个性化辅导 5.如图所示，在三角形 ABC 中，AD 是∠BAC 的角平分线，BD⊥AD 于 D，点 E 是边 BC 的中点，如果 AB＝6，AC＝14，则求 DE 的

初中几何常见辅助线作法口诀 第6篇

三角形

图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，中线加倍全等现。四边形

平行四边形出现，对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对角线，补成三角形常见。证相似，比线段，添线平行成习惯。

要作等角添个圆，证明题目少困难。

等积式子比例换，寻找线段很关键。

辅助线，是虚线，画图注意勿改变。

直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。

常见基本图形：8字形，平行8字形，平行等8字形，领子，射影，类射影 1．平行、平分、等腰，知二推一。2． 中线加倍 3． 补形

4． 旋转、平移、轴对称

5． 遇角分线截长补短或作双垂直，构成一对全等三角形。

6． 遇两个等边三角形有公共顶点，用一长一短和长短间的夹角证全等 7． 遇2倍角常变作等腰三角形顶角的外角

8． 证线段的1/2时，常变作中位线，直角三角形斜边中线或30°Rt△ 9． 等边三角形面积：

10．30°底角等腰三角形，腰是a，底是a，面积是

11．图中见120°角，想60°角；见15°角，想30°角；

12．梯形常用辅助线：延两腰，作双高，平行于一腰，平行于对角线。遇一腰中点，作平行等8字13．见直径，有直角

14．证切线，两方法：（1）连半径，证垂直；（2）作垂直，证半径 15．正多边形内切圆与外接圆对应线段比：面积比：

假如图形较分散，对称旋转去实验。圆

数学几何辅助线大全 第7篇

摘 要：在解几何问题时中，有时不能直接找到已知条件与未知之间的关系，因此需要添加辅助线使隐蔽的重要条件显现出来，使分散的条件集中起来，沟通已知与未知之间的联系．全等变换就是一种重要的作辅助线的方法，它可以用运动的观点，使图形通过对折、平移、旋转、位似得到与原图全等的图形，或根据需要构造必要的图形，而新的图形可以使题目的已知和未知联系起来，化难为易，从而找到添加辅助线的方法，达到解题的目的．

关键词：辅助线；对折；平移；旋转；位似；构造；变换

在解几何问题时，有时找不到已知条件与未知之间的关系，常常会感到无从入手，没有头绪，令人“百思不得其解”．如何把看起来十分复杂的几何问题通过简洁明了的解题方法加以解决？是几何问题面临的一个重要问题，而适当添加辅助线就是解决这个问题的一个好方法．添加辅助线的目的在于使隐蔽的条件显现出来，使分散的条件集中起来，沟通已知与未知之间的联系，完善欠缺图形，将复杂的问题化简为推证创造条件，促成问题的最终解决．提高学生作辅助线的水平，不仅可以提高他们解答几何问题的能力,而且可以提高他们的空间想象能力,逻辑思维能力，分析问题和解决问题的能力，从而提高他们的综合素质．然而作辅助线是有难度的，没有一成不变的方法，有时是几种方法联合并用，但一个最根本的方法是从分析问题入手，紧紧联系已学过的有关几何知识，比如定义、定理、推论、公式等．试添辅助线以后，能不能再进一步得出一些过渡性的结论，而从这些过渡性结论出发，能不能再进一步推导出下一个过渡性结论．如果添加辅助线后，能左右逢源，路路皆通，那很可能是添得对，成功的把握性就大，如果添辅助线后，思路反而更塞了，那一定是错了．

用运动的观点来观察图形，在许多场合下是添加辅助线的一种行之有效的方法，它是设想把某一有关部分的图形进行对折，旋转，平移或缩放（位似），从而巧妙地添加辅助线，有效地解决问题．下面就我个人的一些经验，谈一下常用辅助线的做法．

一 对折法

“对折法”就是“轴对称变换法”．这是利用成轴对称的两个图形是全等形这一原理，把图中一部分或整个图形，以某一直线为折痕（即对称轴）翻折过来，就得到它的全等形．通过这种变换把较分散的线段、角集中起来，或者使原有的已知扩大，或者使各个几何量之间的关系明显化，所以这是一个常用的好方法．

许多已知的图形都有对称轴，有的较明显，如圆的直径，等边三角形的高，等腰三角形底边上的中线，图形中某角的角平分线或某边的垂直平分线，等腰梯形，矩形的平行对边的中垂线，菱形，正方形的对角线等．如果没有现成的对称轴，也可以设想以某直线或线段作为对称轴，向它的另一边翻折180°（即对称轴的另一边），想象一下翻折过去以后，各个对称点，对称线段或对称的角或其他有关的点、线的分布情况如何？想妥当了，再试添辅助线．而后考虑要证的几何元素与题设的元素之间的几何关系．这样，就会较合理地作出所需要的辅助线来帮助我们进行论证．

例1 如图（1），在△ABC中，AB=2，BC=3，在三角形内有一点D，使CD=2，∠ADC+∠B=180°，求∠B为何值时，△ABC与△ADC面积之差有最大值，其最大值是多少？

分析：将△ADC沿AC翻折到△AD′C的位置，此时△ADC≌△ADC，∠ADC +∠B=∠ADC+∠B=180°，故四边形ABCD内接于圆，因AB=CD=C D′=2，故知四边形ABCD为等腰梯形，AD′∥BC．

作AE、D′F⊥BC于E、F，则AD′=EF，BE=CF，于是

AD′S=S2△ABC-S△ADC=S△ABC-S△AD′C

22=1AEBC1AEAD/1AE(BCAD/)=1AE(BEFC)AEBE

2DBE图（1）FC=2cosB2sinB=2sin2B2．

故当B4时，S有最大值2．

例2 如图（2），在等腰直角△ABC的斜边AB上，取两点M、N使∠MCN=45°，记AM=m，MN= x，BN=n,则以x、m、n 为边长的三角形的形状是（）

（A）锐角三角形；

（B）直角三角形；

（C）钝角三角形；

（D）随x、m、n变化而变化．

分析：（1）要判断以x、m、n为边长的三角形的形状，关键是要设法将这三条线段

长集中到同一个三角形中．

（2）如何利用好已知条件中的∠MCN=45°，应同时考虑∠ACM+∠BCN=45°．

（3）为将长为x、m、n的三条线段集中，可考虑将△ACM沿CM对折（如图）这样可将m、x两条线段集中，再连接PN，若能证明PN=BN，则长为x、m、n的三条线段就集中到了△PMN中．

由∠ACM+∠BCN=45°，∠PCM+∠PCN=45°，∴∠BCN = ∠PCN 可证△BCN≌△PCN，PN=BN=n ． ∴∠MPC=∠A=45° ∠NPC=∠B=45°

∴∠MPN=∠MPC+∠NPC=90°．

∴以x、m、n为边长的三角形的形状是直角三角形．

图（2）AMNBCP

提示 ：当要证的结论需要集中某些线段，且图形中出现了等角或角的平分线等条件时，可考虑对折构造．

二平移法

“平移法”即平移变换法．顾名思义，其具体做法就是过某点作某线段或某直线的平行线，利用平行线性质——同位角相等、内错角相等，或利用平行四边形诸性质，把有关元素集中起来．

例3 如图（3），在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC与 BD垂直相交于O，MN是梯形ABCD的中位线，∠DBC=30°．求证：AC=MN．

分析：由已知条件知：MN=AC=1（AD+BC），2要证AC=MN，只需证所在的直线上，与BCE，则可得1（AD+BC）.因此，可将上底AD移至下底2交BC的延长线于相加，即过点D作DE∥AC ∠BDE=∠BOC=90°，这样就可以将问题转化为解一锐角是30°的直角三角形的问题．

例4 如图（4），已知三角形ABC的两边为BD、CE，若BD=CE．求证：AB=AC．

分析：已知的两条相等的中线在图中交叉摆一个三角形中就比较好考虑，于是设想把其中的动到DF位置，这样就成了一个等腰三角形DBF，从而得到GB=GC，GD=GE．要证BE=CD就简

着，我们试把它安排在一条中位线CE平行移立即得到∠1=∠F=∠2，AB、AC上的中线分别

单了．

三 旋转法

“在欧氏平面上把一点P绕一定点旋转一定角变到另一点P′，如此产生的变换叫做旋转变换，简称旋转．此定点叫做旋转中心，定角叫做旋转角．”旋转后的图形与原来的图形全等．用这种想象来启示我们去作辅助线．这种方法能够集中条件，扩大已知，图形之间易于联络，呼应，达到较顺利论证的目的．

旋转要利用角或边的相等，因此在正三角形、正方形、正多边形应用较常见．

例5 如图（5）,在正方形ABCD中,∠EBF=45°,E、F分别在AD和DC上．求证：EF=AE+FC．

分析：因为要证明EF=AE+FC，可设想将AE、FCEF比较．而已知条件给了正方形，即各边相等，四个角把Rt△BCF（或Rt△BAE）以B为中心逆时针（或顺Rt△ABF′≌Rt△CBF，则BF′=BF，AF′=CF，∠1=∠2．

则：∠2+∠3=∠1+∠3=90°－∠EBF=45° 所以∠EBF′=∠EBF，而BE是公共边，故

图_

（5）EF=EF′=AE+AF′=AE+FC，即可得证．

例6 如图（6），在等边△ABC外取一点P，如果PA=PB+PC，那么P、A、B、C四点共圆．

放在同一直线上，再与是直角，于是，可尝试时针）旋转90°．可得：

△BEF′≌△BEF，则

分析：在四点共圆的判断中，其中有一条是”对角互补的四边形内接于圆” ．因此，可尝试∠BPC+∠BAC是否等于180°．而题目中给了条件△ABC是等边三角形，即三边相等，三

个角都是60°，可设想把△BPC以点C为中心按顺时针旋转60°，可得△AP′C≌△BPC，则

PB=P′A，PC=P′C，∠A P′C=∠BPC，而∠PCP′=60°，故△PCP′是等边三角形，则∠1=60°，PP′=PC，∵PA= PB+PC

∴PA= P′A+ PP′

∵A、P′、P三点共线 ∴∠A P′C+∠1=180° 又∵∠BAC=60°=∠1 ∴∠BPC+∠BAC=180°

故P、A、B、C四点共圆．

图（6）

四 位似法（放缩法）

如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线都经过同一个点,对应边互相平行（或共线），那么这样的两个图形就叫做位似图形,这个点叫做位似中心,这时的相似比又称为位似比．

位似变换的设想，是把其中的一个图形（它经常是某一线段）看成是由另一个图形按位似比放大或缩小而得的．把欲证的线段变为易证的线段，或者通过扩大或缩小，让有关线段组成一个新的图形．比较多的是遇到“中点”、“三等分点”、“内、外分线段成某比”等题设时，用位似扩大或缩小法集中条件，而后加以论证．

例7 如图（7），ABCD为任意四边形，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，M、N分别为对角线BD、AC的中点．

求证：EG、HF同过MN的中点．

分析：欲证的三条线段在图中的关系不甚 “密安排得较易联系一些，由于题中很多中点，随便选位似中心，按位似比K=EN//切”，我们试图把它们择一个顶点比如A作然就要连EN，得到的平行四边形了． AE1=把边BC缩小，自AB21BC，用相同的办法就组成了一个易于思考2例8 三个等圆O1、O2、O3相交于点S，位于已知三角形ABC内，每个圆与△ABC两边相切．证明：△ABC的内心I、外心O与点S共线．

分析：这个问题直接论证是比较困难的，因住O、S、I之间的联系，但从图形的直观上看△△ABC位似．事实上，易知，为不容易一下子抓

O1O2O3有可能与

O1O2∥AB，O2O3∥BC，O3O1∥CA，所以IO1IO2IO3==

（I为内心，即O1A、O2B、O3C之交点）． IAIBIC于是由SO1SO2SO3知S为△O1O2O3之外心，即S与O为位似变换下的对应点，故I、O、S共线．

五 其他构造法

当我们按照某种既定的思路解题时，有时必须用到某种图形，而这种图形并未在原图中出现，这时就要构造这种图形来使证题顺利进行．构造、补全基本图形也是作出辅助线的基本方法，它是出于对几何图形整体的把握作出辅助线的．许多常见的辅助线（如等边三角形、直角三角形、正方形，两圆相交时的公共弦、连心线、圆的切线问题中过切点的半径等）都体现了这种想法．

例9 如图，点E是矩形ABCD的边CB延长线AE的中点．求证：BF⊥FD．

分析一：如图（9-1），由题意知 CE=CA，F为即联想到三线合一的基本图形．于是连CF，有这样，这了证明DF⊥BF，只要证明∠1=∠3． 另一方面，注意到Rt△ABE中构成的”斜边上中AF=BF，∠4=∠5．

GAD上一点，CE=CA，F是

AE的中点重要条件，立CF⊥AE．

线”的基本图形，立即有因此，只要证明出△AFD≌△BFC就可推出了∠1=∠

3F了．（证明略）

BF⊥FD的结论，还可以构分析二：如图（9-2），注意到F是AE的中点的条件和要证的造如下的三线合一的基本图形．

延长BF交DA的延长线于G，连BG．容易看出EB图（9-2）C△BFE≌△GFA，于是F是BG的中点．这样，要证明BF⊥FD，只要证明DB=DG就可以了．

∵ABCD是矩形，∴BD=AC 又由已知：CE=CA ∴只需证出DG=CE 而这是很容易证的（证明略）．

例10 如图（10），在四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=CD．求证：BD2AB2BC2． 分析：（1）所求证的关系为平方形式，联想到构造求证即可，因为∠ABC=30°，以BC为边向外作等边三角∠ABE=90°，BC=BE，可将AB2BC2转化为Rt△ABE证明AE=BD即可．

（2）由∠ADC=60°，AD=CD，连AC，则△ADC

为等边三角形，易证直三角形运用勾股定理形△BCE，则可以得到中AB2BE2．这样只需

△DCB≌△ACE，于是AE=BD．（证明略）

几何辅助线的用途很广，虽然几何题目千差万别，证明方法多种多样，辅助线也因题而异．但“一切客观事物本来是互相联系和具有内部规律的”.“运用之妙，存乎一心”，不管问题有多么复杂，只要我们多去总结和归纳，亦可水到渠成，迎刃而解． 参考文献：

[1]刘善贵.怎样添置辅助线新编[M].北京:冶金工业出版社,1999,8,1.[2]张乃达.初中几何解题新思路[M].长春出版社,2001,6 [3]欧阳维诚.初等数学解题方法研究[M].湖南教育出版社,1998，11.读书的好处

1、行万里路，读万卷书。

2、书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。

3、读书破万卷，下笔如有神。

4、我所学到的任何有价值的知识都是由自学中得来的。——达尔文

5、少壮不努力，老大徒悲伤。

6、黑发不知勤学早，白首方悔读书迟。——颜真卿

7、宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。

8、读书要三到：心到、眼到、口到

9、玉不琢、不成器，人不学、不知义。

10、一日无书，百事荒废。——陈寿

11、书是人类进步的阶梯。

12、一日不读口生，一日不写手生。

13、我扑在书上，就像饥饿的人扑在面包上。——高尔基

14、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游

15、读一本好书，就如同和一个高尚的人在交谈——歌德

16、读一切好书，就是和许多高尚的人谈话。——笛卡儿

17、学习永远不晚。——高尔基

18、少而好学，如日出之阳；壮而好学，如日中之光；志而好学，如炳烛之光。——刘向

19、学而不思则惘，思而不学则殆。——孔子

几何证明中中点的辅助线作法 第8篇

一、连接中点, 构造中位线

如果已知的条件中, 有两个中点, 那么一般是连接这两个中点, 形成中位线, 利用中位线的性质:平行于第三边, 且等于第三边的一半来进行证明.

例1 如图所示, 点G, F分别是等腰三角形ABC和等腰三角形ADE底边的中点, 其中AB=AC, AD=AE, ∠BAC=∠DAE=α, 连接DC, 点P是线段CD的中点, 试探索∠GPF与α的关系, 并加以证明.如果反复探索无结论, 从图2或图3中选择一个进行解答.

已知:AB=AC, AD=AE, ∠BAC=∠DAE=α, BG=CG, DF=ED.求证:∠GPF与α的关系.

用图3猜结论, 用图2想证法, 用图1写证明.

猜想 如图3 ∵F, P为DE, CD中点,

∴FP为△DEC的中位线,

∴FP//CE,

∴∠4=∠1,

又 ∵∠5=∠3+∠2 (将欲证的角分解为几个小角) ,

P, G为DC, CB的中点,

∴GP为△DBC的中位线,

∴GP//DB,

∴∠3=∠6,

∴∠5=∠6+∠2.

又 ∵∠GPF=∠4+∠5,

∴∠GPF=∠1+∠2+∠6.

∵∠1+∠2+∠6+∠4=180°, ∠A=α,

∴∠1+∠2+∠6=180°-α (发现∠GPF与α的关系) .

即∠GPF=180°-α.

证法1 如图2, ∵有多个中点, ∴想到中位线.

∴连接BD, CE (构成中位线) .

∵等腰三角形ABC, 等腰三角形ADE,

∴AB=AC, AD=AE, ∠BAC=∠DAE=α.

undefined

又 ∠BOA=∠COD,

∴∠BAC=∠OQC (特征图形, “8”字形) .

∵∠BAC=α, ∴∠OQC=α.

∵F, P为DE, CD中点,

∴FP//CE,

∴∠GPF=∠GHQ.

又 ∵P, G为DC, CB的中点,

∴GP//DB,

∴∠GHQ+∠BQH=180°,

∴∠GPF+∠BQH=180°.

∵∠BQH=α,

∴∠GPF=180°-α.

证法2 如图4, 在AC上取中点M, 在AD上取中点N, 连接GM, MP, NP, FN.

∵G, M为CB, AC的中点, N, P为AD, CD的中点,

undefined

∵等腰三角形ABC中, AB=AC,

∴GM=PM.

∵M, P为AC, CD的中点, N, F为AD, ED的中点,

undefined

∵等腰三角形ADE中, AD=AE,

∴NF=MP.

∵∠BAG=∠DAE=α,

∴∠BAG+∠CAD=∠DAE+∠CAD,

即∠BAD=∠CAE.

∵GM//AB, MP//AD, PN//AC, NF//AE,

∴∠BAC=∠GMC, ∠CAD=∠CMP, ∠CAD=∠PND, ∠DAE=∠DNF.

∴∠GMP+∠CMP=∠PND+∠DNF.

即∠GMP=∠PNF.

undefined

图1辅助线如图5, 请读者自行完成证明.

二、中点是一条线段的对称中心, 充分利用这个对称中心, 将相关三角形绕中点旋转180°, 构造中心对称图形, 也就是我们同学常说的倍长中线

例2 如图6, 矩形ABCD绕点O顺时针旋转90°, 成矩形GFED, M, N分别是GD, AD中点, 连接FC与MN交于点O.探索OF与OC的数量关系.

若证明数量关系, 应证明包含这两条线段的两个三角形全等.下面想办法证明△FOH≌△COM.

∵∠OHF=∠OCM, ∠OHF=∠OMC,

∴FH=MC.

证明 ∵GD=AD, M, N分别是GD, AD中点,

undefined

则△NEH为等腰直角三角形, ∴NE=HE.

∵CM=DM+DC=DM+DE=DM+DN-NE=2DM-NE=DG-NE=EF-EH=FH,

∴△FOH≌△COM.

在证明了上图问题的结论后, 我又在此基础上将这道题目的证明范围进行了拓展, 如下:

如图, 若矩形ABCD绕点O顺时针旋转任意角度成矩形GFED, 其他条件不变, 则上题中结论是否不变?请说明理由.

若证明数量关系, 则构造全等三角形.

则连接NC, FM, 过F作FH//NC, 交NM延长线于H,

∴∠H=∠HNC, ∠FOH=∠NOC.

∴需证NC=FH.

∵N, M是AD, DG中点,

undefined

undefined

即∠HNC=∠FMH.

∵FH//NC,

∴∠H=∠CNH,

∴∠H=∠FMH,

∴FH=FM.

又 ∵FM=NC,

∴FH=NC (等量代换) .

undefined

undefined

undefined

∴矩形FEDC,

∴FE//DG.

∴∠HFO=∠OCM, ∠OHF=∠ONC.

undefined

由于原题的点O不是中点, 无法倍长, 只能找平行, 以构造全等.

与此类似的题:

例3 如图8, 在菱形ABCD和菱形BEFG中, ∠ABC=∠BEF=60°, 点A1B2E共线, P是DF中点, 连接PG, PC.

(1) 求证:undefined

(2) 将上图中的菱形BEFG绕点B顺时针旋转, 使菱形BEFG的对角线BF恰好与菱形ABCD共线, 其他条件不变, 上面的结论依然成立.

(3) 若图8中∠ABC=∠BEF=x (0°

(1) 证明 若证垂直, 则需证全等, 则延长GP交DC于H, 证△CPH≌△CPG.

∵GF//DC,

∴∠DFG=∠FDC.

∵P为DF中点,

∴DP=PF.

undefined

∵菱形GFEB,

∴GF=GB,

∴GB=DH.

∵菱形DC=CB,

∴DC-DH=CH-GB.

即CH=CG.

∴在△CPH与△CPG中,

undefined

设CP=1,

则CG=2EP=2.

在Rt△CPG中,

undefined

(2)

抓住P为中点, 作辅助线.

∴延长GP交AD于H, 连接CH, CG.

有平行条件, 不需外加, 所以只延长.

∵GF//AD,

∴∠GFD=∠HDP.

∵P是FD中点,

∴DP=PF.

∴在△PHD与△PGF中,

undefined

∴在△CDH与△CBG中,

undefined

∴CP⊥HG (三线合一) .

∵∠PCG=60°, ∠CPG=90°,

undefined

(3) ∵是旋转任意角度, 不可平行,

∴倍长GP于H, 连接DH, 延长DH, GB交于Q, 连接CH, CG.

∵P为GH, DF中点,

∴HP=PG, DP=PF.

∴在△DPH与△FPG中,

undefined