人教版数学正弦定理优秀教案及教学设计

人教版数学正弦定理优秀教案及教学设计（精选11篇）

人教版数学正弦定理优秀教案及教学设计 第1篇

人教A版数学必修五《正弦定理》说课稿

卢龙县木井中学 贺永辉

尊敬的各位专家、评委：

大家好！

我是卢龙县木井中学数学教师贺永辉，我今天说课的题目是：人教A版普通高中课程标准实验教科书 数学必修5第一章第一节的第一课时《正弦定理》，依据新课程标准对教材的要求，结合我对教材的理解，我将从以下几个方面说明我的设计和构思。

一、教材分析

“解三角形”既是高中数学的基本内容，又有较强的应用性，在这次课程改革中，被保留下来，并独立成为一章。这部分内容从知识体系上看，应属于三角函数这一章，从研究方法上看，也可以归属于向量应用的一方面。从某种意义讲，这部分内容是用代数方法解决几何问题的典型内容之一。而本课“正弦定理”，作为单元的起始课，是在学生已有的三角函数及向量知识的基础上，通过对三角形边角关系作量化探究，发现并掌握正弦定理（重要的解三角形工具），通过这一部分内容的学习，让学生从“实际问题”抽象成“数学问题”的建模过程中，体验 “观察——猜想——证明——应用”这一思维方法，养成大胆猜想、善于思考的品质和勇于求真的精神。同时在解决问题的过程中，感受数学的力量，进一步培养学生对数学的学习兴趣和“用数学”的意识。

二、学情分析

我所任教的学校是我县一所农村普通中学，大多数学生基础薄弱，对“一些重要的数学思想和数学方法”的应用意识和技能还不高。但是，大多数学生对数学的兴趣较高，比较喜欢数学，尤其是象本节课这样与实际生活联系比较紧密的内容，相信学生能够积极配合，有比较不错的表现。

三、教学目标

1、知识和技能：在创设的问题情境中，引导学生发现正弦定理的内容，推证正弦定理及简单运用正弦定理解决一些简单的解三角形问题。

过程与方法：学生参与解题方案的探索，尝试应用观察——猜想——证明——应用”等思想方法，寻求最佳解决方案，从而引发学生对现实世界的一些数学模型进行思考。

情感、态度、价值观：培养学生合情合理探索数学规律的数学思想方法，通过平面几何、三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。同时，通过实际问题的探讨、解决，让学生体验学习成就感，增强数学学习兴趣和主动性，锻炼探究精神。树立“数学与我有关，数学是有用的，我要用数学，我能用数学”的理念。

2、教学重点、难点

教学重点：正弦定理的发现与证明；正弦定理的简单应用。教学难点：正弦定理证明及应用。

四、教学方法与手段

为了更好的达成上面的教学目标，促进学习方式的转变，本节课我准备采用“问题教学法”，即由教师以问题为主线组织教学，利用多媒体和实物投影仪等教学手段来激发兴趣、突出重点，突破难点，提高课堂效率，并引导学生采取自主探究与相互合作相结合的学习方式参与到问题解决的过程中去，从中体验成功与失败，从而逐步建立完善的认知结构。

五、教学过程

为了很好地完成我所确定的教学目标，顺利地解决重点，突破难点，同时本着贴近生活、贴近学生、贴近时代的原则，我设计了这样的教学过程：

（一）创设情景，揭示课题 问题1：宁静的夜晚，明月高悬，当你仰望夜空，欣赏这美好夜色的时候，会不会想要知道：那遥不可及的月亮离我们究竟有多远呢？

1671年两个法国天文学家首次测出了地月之间的距离大约为 385400km，你知道他们当时是怎样测出这个距离的吗？

问题2：在现在的高科技时代，要想知道某座山的高度，没必要亲自去量，只需水平飞行的飞机从山顶一过便可测出，你知道这是为什么吗？还有，交通警察是怎样测出正在公路上行驶的汽车的速度呢？要想解决这些问题，其实并不难，只要你学好本章内容即可掌握其原理。（板书课题《解三角形》）

[设计说明]引用教材本章引言，制造知识与问题的冲突，激发学生学习本章知识的兴趣。

（二）特殊入手，发现规律

问题3：在初中，我们已经学习了《锐角三角函数和解直角三角形》这一章，老师想试试你的实力，请你根据初中知识，解决这样一个问题。在Rt⊿ABC中sinA=，sinB= ,sinC= ,由此，你能把这个直角三角形中的所有的边和角用一个表达式表示出来吗？ 引导启发学生发现特殊情形下的正弦定理

（三）类比归纳，严格证明 问题4：本题属于初中问题，而且比较简单，不够刺激，现在如果我为难为难你，让你也当一回老师，如果有个学生把条件中的Rt⊿ABC不小心写成了锐角⊿ABC，其它没有变，你说这个结论还成立吗？

[设计说明]此时放手让学生自己完成，如果感觉自己解决有困难，学生也可以前后桌或同桌结组研究，鼓励学生用不同的方法证明这个结论，在巡视的过程中让不同方法的学生上黑板展示，如果没有用向量的学生，教师引导提示学生能否用向量完成证明。

问题5：好根据刚才我们的研究，说明这一结论在直角三角形和锐角三角形中都成立，于是，我们是否有了更为大胆的猜想，把条件中的锐角⊿ABC改为角钝角⊿ABC，其它不变，这个结论仍然成立？我们光说成立不行，必须有能力进行严格的理论证明，你有这个能力吗？下面我希望你能用实力告诉我，开始。（启发引导学生用多种方法加以研究证明，尤其是向量法，在下节余弦定理的证明中还要用，因此务必启发学生用向量法完成证明。）

[设计说明]

放手给学生实践的机会和时间，使学生真正的参与到问题解决的过程中去，让学生在学数学的实践中去感悟和提高数学的思维方法和思维习惯。同时，考虑到有部分同学基础较差，考个人或小组可能无法完成探究任务，教师在学生动手的同时，通过巡查，让提前证明出结论的同学上黑板完成，这样做一方面肯定了先完成的同学的先进性，锻炼了上黑板同学的解题过程的书写规范性，同时，也让从无从下手的同学有个参考，不至于闲呆着浪费时间。

问题6：由此，你能否得到一个更一般的结论？你能用比较精炼的语言把它概括一下吗？好，这就是我们这节课研究的主要内容，大名鼎鼎的正弦定理（此时板书课题并用红色粉笔标示出正弦定理内容）

教师讲解：告诉大家，其实这个大名鼎鼎的正弦定理是由伊朗著名的天文学家阿布尔─威发﹝940-998﹞首先发现与证明的。中亚细亚人阿尔比鲁尼﹝973-1048﹞给三角形的正弦定理作出了一个证明。也有说正弦定理的证明是13世纪的阿塞拜疆人纳速拉丁在系统整理前人成就的基础上得出的。不管怎样，我们说在1000年以前，人们就发现了这个充满着数学美的结论，不能不说也是人类数学史上的一个奇迹。老师希望21世纪的你能在今后的学习中也研究出一个被后人景仰的某某定理来，到那时我也就成了数学家的老师了。当然，老师的希望能否变成现实，就要看大家的了。

[设计说明] 通过本段内容的讲解，渗透一些数学史的内容，对学生不仅有数学美得熏陶，更能激发学生学习科学文化知识的热情。

（四）强化理解，简单应用

下面请大家看我们的教材2-3页到例题1上边，并自学解三角形定义。[设计说明] 让学生看看书，放慢节奏，有利于学生消化和吸收刚才的内容，同时教师可以利用这段时间对个别学困生进行辅导，以减少掉队的同学数量，同时培养学生养成自觉看书的好习惯。

我们学习了正弦定理之后，你觉得它有什么应用？在三角形中他能解决那些问题呢？ 我们先小试牛刀，来一个简单的问题：

问题7:(教材例题1)⊿ABC中，已知A=30º，B=75º，a=40cm，解三角形。

（本题简单，找两位同学上黑板完成，其他同学在底下练习本上完成，同学可以小声音讨论，完成后教师根据学生实践中发现的问题给予必要的讲评）

[设计说明] 充分给学生自己动手的时间和机会，由于本题是唯一解，为将来学生感悟什么情况下三角形有唯一解创造条件。

强化练习

让全体同学限时完成教材4页练习第一题，找两位同学上黑板。问题8：（教材例题2）在⊿ABC中a=20cm，b=28cm,A=30º，解三角形。

[设计说明]例题2较难，目的是使学生明确，利用正弦定理有两种可能，同时，引导学生对比例题1研究，在什么情况下解三角形有唯一解？为什么？对学有余力的同学鼓励他们自学探究与发现教材8页得内容：《解三角形的进一步讨论》

（五）小结归纳，深化拓展

1、正弦定理

2、正弦定理的证明方法

3、正弦定理的应用

4、涉及的数学思想和方法。

[设计说明] 师生共同总结本节课的收获的同时，引导学生学会自己总结，让学生进一步回顾和体会知识的形成、发展、完善的过程。

（六）布置作业，巩固提高

1、教材10页习题1.1A组第1题。

2、学有余力的同学探究10页B组第1题，体会正弦定理的其他证明方法。

证明：设三角形外接圆的半径是R，则a=2RsinA,b=2RsinB, c=2RsinC

[设计说明] 对不同水平的学生设计不同梯度的作业，尊重学生的个性差异，有利于因材施教的教学原则的贯彻。

（七）板书设计：（略）

人教版数学正弦定理优秀教案及教学设计 第2篇

【三维目标】：

一、知识与技能

1.通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容和推导过程；

2.能解决一些简单的三角形度量问题（会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题）；能够运用正弦定理解决一些与测量和几何计算有关的实际问题；

3.通过三角函数、正弦定理、向量数量积等多处知识间联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一.4.在问题解决中,培养学生的自主学习和自主探索能力．

二、过程与方法

让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。

三、情感、态度与价值观

1.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；

2.培养学生合情推理探索数学规律的数学思想能力，通过三角函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。

【教学重点与难点】：

重点：正弦定理的探索和证明及其基本应用。

难点：已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。

【学法与教学用具】：

1.学法：引导学生首先从直角三角形中揭示边角关系：abc，接着就一般斜三角形sinAsinBsinC

进行探索，发现也有这一关系；分别利用传统证法和向量证法对正弦定理进行推导，让学生发现向量知识的简捷，新颖。

2.教学用具：多媒体、实物投影仪、直尺、计算器

【授课类型】：新授课

【课时安排】：1课时

【教学思路】：

一、创设情景，揭示课题

1.在直角三角形中的边角关系是怎样的？

2.这种关系在任意三角形中也成立吗？

3.介绍其它的证明方法

二、研探新知

1.正弦定理的推导

aB,sinB,sinC1，cC

abcabc 即 c，c，c∴== sinAsinBsinCsinAsinBsinC（1）在直角三角形中：sinA

能否推广到斜三角形？

（2）斜三角形中

证明一：（等积法，利用三角形的面积转换）在任意斜△ABC中，先作出三边上的高AD、BE、CF，则ADcsinB，BEasinC，CFbsinA．所以SABC111absinCacsinB

bcsinA，每项22

21abc

同除以abc即得：．

2sinAsinBsinC

证明二：（外接圆法）如图所示，∠A＝∠D

bcaa2R，2R CD2R同理 ∴

sinAsinDsinBsinC



证明三：（向量法）过A作单位向量j垂直于AC，由AC+CBAB，两边同乘以单位向量j得j



•(AC+CB)j•AB，则j•AC+j•CBj•AB





∴|j|•|AC|cos90+|j|•|CB|cos(90C)=| j|•|AB|cos(90A)

ac

∴asinCcsinA∴=

sinAsinCcbabc

同理，若过C作j垂直于CB得：=∴ sinAsinBsinCsinCsinB

从上面的研探过程，可得以下定理

正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即

a

sinA

2.理解定理



b

sinB



c

sin

（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使aksinA,bksinB,cksinC；

（2）

abcabbcac

==等价于=，=，=，即可得正弦定理的sinAsinBsinCsinAsinBsinBsinCsinAsinC

变形形式：

1）a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC；

abc,sinB,sinC； 2R2R2R

3）sinA:sinB:sinCa:b:c．

2）sinA

（3）利用正弦定理和三角形内角和定理，可解决以下两类斜三角形问题：1）两角和任意一边，求其它两边和一角；如a

bsinA

； sinB

a

sinB。b

2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角．如sinA一般地，已知两边和其中一边的对角解斜三角形，有两解或一解（见图示）．

absinAbsinAababab

一解两解一解一解

abc

注意：（1）正弦定理的叙述：在一个三角形中。各边和它所对角的正弦比相等，==

sinAsinBsinC

它适合于任何三角形。（2）可以证明

abc

2R（R为△ABC外接圆半径）==

sinAsinBsinC

（3）每个等式可视为一个方程：知三求一

一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。

三、质疑答辩，排难解惑，发展思维

例1 已知在ABC中，c10,A450,C300,求a,b和B 解：c10,A45,C30∴B180(AC)105由

ac

得sinAsinC

csinA10sin450bc

2 a由得 sinBsinCsinCsin300

csinB10sin105020

b20sin75205652 0

sinC4sin30

例2 在ABC中，b,B600,c1,求a和A,C

bccsinB1sin6001解：∵,sinC，bc,B600,CB,C为锐角，sinBsinCb2

3C300,B900∴ab2c2

2例3 ABC中，c6,A450,a2,求b和B,C

accsinA6sin450300

,sinC解： csinAac,C60或120 sinAsinCa22csinB6sin750

当C60时，B75,b31，0

sinCsin60

csinB6sin150

当C120时，B15,b

1sinCsin600

b1,B750,C600或b31,B150,C1200

例4 试判断下列三角形解的情况：（1）已知b11,c12,B600

（2）已知a7,b3,A1100（3）已知b6,c9,B450

四、巩固深化，反馈矫正

1.在ABC中，三个内角之比A:B:C1:2:3，那么a:b:c等于____ 2.在ABC中，B1350,C150,A5,则此三角形的最大边长为_____

3.在ABC中，已知axcm,b2cm,B450，如果利用正弦定理解三角形有两解，则的取值范围是_____ 4.在ABC中，已知b2csinB，求C的度数

五、归纳整理，整体认识

1．用三种方法证明了正弦定理：

（1）转化为直角三角形中的边角关系；（2）利用向量的数量积．（3）外接圆法 2．理论上正弦定理可解决两类问题：

（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；

（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角．

3.（1）判断三角形的形状特征，必须深入研究边与边的大小关系：是否两边相等？是否三边相等？还要研究角与角的大小关系：是否两角相等？是否三角相等？有无直角？有无钝角？

（2）此类问题常用正弦定理（或将学习的余弦定理）进行代换、转化、化简、运算，揭示出边与边，或角与角的关系，或求出角的大小，从而作出正确的判断．

六、承上启下，留下悬念

七、板书设计（略）

正弦定理证明的探究及教学建议 第3篇

一、定理引出

利用直角三角形中的边角关系引出正弦定理.

二、定理的证明

正弦定理的证明方法很多, 本文仅就锐角三角形从传统几何证法和向量证法两方面进行探讨.

1.传统几何证法

证法一:利用三角形的高进行证明.

点评:这种证法体现了解决问题的一般思路, 将未知转化为已知, 即将非直角三角形问题转化为直角三角形问题解决, 关键是利用边角关系表示CD并变形.

证法二:利用三角形的面积证明.

点评:这种证法建立在三角形面积用两边及其夹角正弦乘积的一半表示基础上, 否则就要以证法一为基础.

证法三:利用三角形的外接圆证明.

点评:这种证法就是利用同弦所对的圆周角相等, 将问题向直角三角形转化, 同时建立起比值与外接圆直径的关系, 这是一种很好的关系, 有利于正弦定理的变形应用.

证法四:利用余弦定理证明.

又由海伦公式知

点评:正、余弦定理都是阐述三角形边角关系的定理, 本证法说明他们相互之间是有联系的, 同时建立起比值与三角形三边乘积及其面积的关系, 但计算量大, 不适于课堂教学.

证法五:利用角平分线定理和锐角三角函数定义证明.

点评:这种证法将正弦定理中的比例关系与角平分线定理中的比例关系建立联系, 再用直角三角形中的三角函数进行转化, 完成定理的证明.

2.向量证法

证法六:利用向量投影证明.

点评:向量投影在教材上只作了简单的介绍, 没有说明它的应用, 实际上向量投影的用处是很大的, 突出应用于立体几何中.本证法实质上与证法一相同.

证法七:利用向量数量积证明.

如图2, 在△ABC中, AAAC+CAAB=AAAB, 两边同取与向量CAAD的数量积运算, 得到CAAD (AAAC+CAAB) =CAADAAAB,

点评:正弦定理表达了三角形中的边角关系, 而向量中的数量积则涉及边角关系, 从而考虑用数量积证明.为了同时达到消元的目的, 构造与三角形的一边垂直的向量, 自然选用图2中的向量CAAD, 当然也可以构造其他向量.

证法八:利用向量坐标运算证明.

如图5, 以AB所在直线为x轴, 以点A为原点建立直角坐标系, 作AAAD=BAAC, 则有A (0, 0) , B (c, 0) , C (bcos A, bsin A) , D (acos (π-B) , asin (π-B) , 则:

点评:这种证法通过建立直角坐标系, 确定点坐标, 由向量的坐标运算及向量相等来证明.关键是找到一对相等向量.

证法九:利用三角形外接圆和向量知识证明.

点评:比值与外接圆直径的关系也可以利用向量证明.

证法十:利用向量知识和余弦定理证明.

点评:在a2+b2-2abcos C=4R2sin2C中, 用c=2Rsin C代换, 即得余弦定理, 所以正、余弦定理也可以说是等价的.

3.现行教材中的证法比较

笔者翻阅了六套高中数学教材, 在人教大纲版教材中, 正弦定理在第五章“平面向量”中出现, 在湘教课标版教材中, 正弦定理在必修四中出现, 在其余四套课标教材 (人教课标A版和B版、北师大课标版、苏教课标版) 中, 正弦定理均在必修五中出现.除湘教版外, 其余五套教材均利用直角三角形中的锐角三角函数关系引出正弦定理, 但证法各不相同.

人教大纲版利用向量数量积证明, 但没有利用证法七中的向量C D, 而是过A作了垂直于AB的单位向量j来证明 (如图7) , 也没有探讨比值与外接圆直径的关系.这样的处理不是很自然, 不易想到, 较难接受.不探讨比值与外接圆直径的关系, 对正弦定理的变形应用有一定影响.

人教课标A、B版教材采用证法一, 比值与外接圆直径的关系在习题1.1B组中以习题形式出现, “证明:设△ABC的外接圆半径是R, 则a=2Rsin A, b=2Rsin B, c=2Rsin C.”

北师大课标版教材首先说明正弦定理在等边三角形中成立, 然后利用向量投影证明, 但没有采用证法六, 而是在直角坐标系中给出钝角三角形ABC (如图8) , 利用A C、B C在y轴上的投影相同证明.并利用证法三探讨了比值与外接圆直径的关系.这种处理没有发挥坐标系的作用, 建立坐标系自然会想到点坐标, 但在证明过程中没有用到坐标.

各版本教材的证明各有特色, 人教课标A、B版, 证法简单, 最容易被学生接受.苏教课标版的处理思路清晰自然, 既考虑最佳方法, 又兼顾向量方法;既巩固向量知识, 突出向量的工具性, 又开启学生的思维, 将学习延伸到课后.人教大纲版和北师大课标版的证法不是很理想.笔者赞同将正弦定理的比值与外接圆直径的关系纳入课堂教学, 这个关系的探讨不太难, 学生易接受, 体现了数学的和谐、神奇, 既是一次正弦定理的深入理解和变形应用, 也是一次对学生进行数学美、数学精神教育的机会.特别指出的是湘教课标版的教材体系不同于其余四套课标教材体系, 更接近人教大纲版教材体系, 以向量为主线, 以“问题解决”为驱动, 揭示数学知识的内在联系和数学知识中隐藏的思想、方法, 正弦定理的处理突出重点知识, 内容展开简洁明快, 易教易学, 容易实现课堂的高效化.

人教版数学正弦定理优秀教案及教学设计 第4篇

关键词：高中数学;案例描述;教学反思

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2015）24-107-1

一、案例描述

1.设置情境。利用投影展示：如图，一条河的两岸平行，河宽d=1km，因上游突发洪水，在洪峰到来之前，急需将码头A处囤积的重要物资及人员用船转运到正对岸的码头B处或其下游1km的码头C处。已知船在静水中的速度|vl|=5km/h，水流速度|v2|=3km/h。

2.提出问题。师：为了确定转运方案，请同学们设身处地地考虑一下有关的问题，将各自的问题经小组（前后4人为一小组）汇总整理后交给我。

待各小组将题纸交给老师后，老师筛选几张有代表性的题纸通过投影向全班展示，经大家归纳整理后得到如下的5个问题：

（1）船应开往B处还是C处？（2）船从A开到B、C分别需要多少时间？（3）船从A到B、C的距离分别是多少？（4）船从A到B、C时的速度大小分别是多少？（5）船应向什么方向开，才能保证沿直线到达B、C？

师：大家讨论一下，应该怎样解决上述问题？

大家经过讨论达成如下共识：要回答问题（1），需要解决问题（2），要解决问题（2），需要先解决问题（3）和（4），问题（3）用直角三角形知识可解，所以重点是解决问题（4），问题（4）与问题（5）是两个相关问题，因此，解决上述问题的关键是解决问题（4）和（5）。

师：请同学们根据平行四边形法则，先在练习本上做出与问题对应的示意图，明确已知什么，要求什么，怎样求解。

生：船从A开往B的情况，根据平行四边形的性质及解直角三角形的知识，可求得船在河水中的速度大小|v|及v1与v2的夹角θ。

生：船从A开往C的情况，|AD|=|v1|=5，|DE|=|AF|=|v2|=3，易求得∠AED=∠EAF=45°，还需求θ及v。我不知道怎样解这两个问题，因为以前从未解过类似的问题。

师：请大家想一下，这两个问题的数学实质是什么？

部分学生：在三角形中，已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角和第三边。

师：请大家讨论一下，如何解决这两个问题？

……

3.解决问题。师：请同学们想一想，我们以前遇到这种一般问题时，是怎样处理的？

众学生：先从特殊事例入手，寻求答案或发现解法。直角三角形是三角形的特例，可以先在直角三角形中试探一下。

师：请各小组研究在Rt△ABC中，任意两边及其对角这4个元素间有什么关系？

多数小组很快得出结论：a/sinA=b/sinB=c/sinC。

师：a/sinA=b/sinB=c/sinC在非Rt△ABC中是否成立？

众学生：不一定，可以先用具体例子检验。若有一个不成立，则否定结论;若都成立，则说明这个结论很可能成立，再想办法进行严格的证明。

师：这是个好主意。请每个小组任意做出一个非Rt△ABC，用量角器和刻度尺量出各边的长和各角的大小，用计算器作为计算工具，具体检验一下，然后报告检验结果。

几分钟后，多数小组报告结论成立，只有一个小组因测量和计算误差，得出否定的结论。教师在引导学生找出失误的原因后指出：此关系式在任意△ABC中都能成立，请大家先考虑一下证明思路。

生：想法将问题转化成直角三角形中的问题进行解决。

生：因为要证明的是一个等式，所以应先找到一个可以作为证明基础的等量关系。

师：在三角形中有哪些可以作为证明基础的等量关系呢？

学生七嘴八舌地说出一些等量关系，经讨论后确定如下一些与直角三角形有关的等量关系可能有利用价值：1.三角形的面积不变;2.三角形同一边上的高不变;3.三角形外接圆直径不变。

师：据我所知，从AC+CB=AB出发，也能证得结论，请大家讨论一下。

……

师：同学们通过自己的努力，发现并证明了正弦定理。正弦定理揭示了三角形中任意两边与其对角的关系，请大家留意身边的事例，正弦定理能够解决哪些问题。

二、教学反思

在本课的教学中，教师立足于高效课堂模式，通过学生自主探索、合作交流，亲身经历了提出问题、解决问题、应用反思的过程，学生成为正弦定理的“发现者”和“创造者”，切身感受了创造的苦和乐，知识目标、能力目标、情感目标均得到了较好的落实。

人教版数学正弦定理优秀教案及教学设计 第5篇

教学目的：

⑴使学生掌握正弦定理 教学重点：正弦定理

教学难点：正弦定理的正确理解和熟练运用

授课类型：新授课

课时安排：1课时

教具：多媒体、实物投影仪

教学过程：

一、引言：在直角三角形中，由三角形内角和定理、勾股定理、锐角三角函数，——提出课题：正弦定理、余弦定理

二、讲解新课：

正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即abc== =2R（R为△ABC外接圆半径）sinAsinBsinC

ab，sinB=，sinC=1cc 1．直角三角形中：sinA=

即c=abcabc，c=，c=． ∴== sinAsinBsinCsinAsinBsinC

2．斜三角形中

111证明一：（等积法）在任意斜△ABC当中S△ABC=absinCacsinBbcsinA 22

21abc 两边同除以abc即得：== 2sinAsinBsinC证明二：（外接圆法）如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ∴

同理 aaCD2R sinAsinDbc=2R，＝2R sinBsinC证明三：（向量法）

过A作单位向量j垂直于AC由AC+CB=AB



两边同乘以单位向量j 得 j•(AC+CB)=j•AB

则•+•=•



∴|j|•|AC|cos90+|j|•|CB|cos(90C)=| j|•|AB|cos(90A)

∴asinCcsinA∴

ac

= sinAsinC

sinC

sinB

sinA

sinB

sinC

cbabc

同理，若过C作j垂直于CB得： =∴==

正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题：1．两角和任意一边，求其它两边和一角；

2已知a, b和A, 用正弦定理求B时的各种情况: ⑴若A为锐角时:

无解absinA

一解(直角)absinA



bsinAab二解(一锐, 一钝)

ab一解(锐角)

已知边a,b和A

a

无解

a=CH=bsinA仅有一个解

CH=bsinA

ab无解

⑵若A为直角或钝角时:

ab一解(锐角)

三、讲解范例：

例1 已知在ABC中，c10,A45,C30,求a,b和B 解：c10,A45,C30∴B180(AC)10

5accsinA10sin450

2 由 得 a0

sinAsinCsinCsin30

由

bc

得 sinBsinC

csinB10sin1050620b20sin75205652 0

sinC4sin30

例2 在ABC中，b3,B600,c1,求a和A,C

bccsinB1sin6001解：∵,sinC

sinBsinCb2bc,B600,CB,C为锐角，C300,B900

∴ab2c2

2例3 ABC中，c6,A450,a2,求b和B,C

accsinA6sin450解： ,sinC

sinAsinCa22

csinAac,C600或1200

csinB6sin750

当C60时，B75,b31，sinCsin600

csinB6sin150

当C120时，B15,b1 0

sinCsin60

b1,B750,C600或b31,B150,C1200

（2010广东理数）11.已知a,b,c分别是△ABC的三个内角A,B,C所对的边，若

则sinC=

解：由A+C=2B及A+ B+ C=180°知，B =60°．

由正弦定理知，1，sinA

3即sinA

．由ab知，AB60，则A30，C180AB180306090，sinCsin90

1四、课堂练习：

asinAABC中，bsinBc

sinC

k,则k为() RRR(R为△ABC外接圆半径)

ABC中，sin2A=sin2B+sin

2C，则△ABC为()

ABCcos2A中，求证：

a2cos2Bb21

1a2b

参考答案：，

bsinBsinAasinBb(sinAa)2(sinBb)2

sin2Aa2sin2B

1cos2Ab

a21cos2Bb2 

cos2Acosa22Bb21a21

b2

五、小结正弦定理，两种应用

六、课后作业： sinAABC中，已知

sinCsin(AB)sin(BC)，求证：a2，b2，c

2证明：由已知得sin（B＋C）sin（B－C）＝sin（A＋B）·sin（A－B）

cos2B－cos2C＝cos2A－cos2B2cos2B＝cos2A＋cos2C

2

1cos2B1cos2A1cos2B2222

∴2sinB＝sin2A＋sin2

C由正弦定理可得2b2

＝a2

＋c2

即a2，b2，c2

七、板书设计（略）

八、课后记：

第二课时：教材P46页例

1、例

2、例3

人教版数学正弦定理优秀教案及教学设计 第6篇

2.能应用逆定理判断一个三角形是否是直角三角形.

3.使学生进一步加深性质定理与判定定理之间关系的认识.

人教版数学正弦定理优秀教案及教学设计 第7篇

和其它定理一样，勾股定理也有逆命题，但能否成为逆定理呢?下面就此问题加以研究，看能否证出逆命题是正确的.

(二)讲解新课

1.先让学生写出逆命题，并结合图形，用几何语言写出已知，求证.

2.其次，要向学生进行讲解，指出直接证明这个三角形中有一个角为直角很困难，所以我们采用先做一个“两个直角边分别等于已知三角中较短的两边的直角三角形”，然后证明所作的直角三角形与已知三角形全等，即可知已知三角形是直角三角形.

作三角形时，注意所用条件，不可用已知三角形的三边.

具体证明全等方法是用计算方法证的.此后可把逆命题，改写成逆定理.因此得出勾股定理与其逆定理关系又是一对互逆定理.前者是rt△的性质定理，后者是rt△的判定定理，特别是判定定理又给我们提供了除定义外的又一个判定直角三角形的方法.应该提醒学生，注意随时总结，以使新旧知识互相结合，扩大证明有关问题的思路.另外，先要把任意三角形中最长的边c的平方，与其它两边a、b的平方和作比较就可直接得出下列结论：

最后要再次强调勾股定理与逆定理在以后的学习中的重要地位，不可忽视.

例 已知在rt△abc中，三条边长分别为a、b、c，是a=n2-1，b=2n，c=n2+1(n>1).

求证：∠c=90°.

分析：由于是已知三边求证是直角三角形，所以很快想到勾股定理的过定理.但要注意，用两个较短边的平方和与最长边的平方作比较，否则不会得到正确结论，直角三角形斜边永远大于直角边.具体计算证明可由学生自己完成.

勾股数的定义：

能够成为直角三角形三条边长的三个正整数叫做勾股数.

找勾股数可用试验的方法.历史上人们已经找到许多符合勾股定理的公式，用这些公式找勾股数很容易，如上面例题就是其中一种.只要用大于1的自然数代入公式即可.下面两个公式也可以用来找勾股数，此处不防先作为课后练习，可让学生证后再用.

①2n2+2n，2n+1，2n2+2n+1(n是自然数)是直角三角形的三条边长.

②m2-n2，m2+n2，2mn(m>n，m、n是自然数)是直角三角形的三条边长.

可以让学生记住一些常见的勾股数，如：3、4、5;8、6、10;15、18、17

(三)练习

教材p.105中1、2、3.

(四)作业

高中数学正弦定理教案 第8篇

“解三角形”既是高中数学的基本内容，又有较强的应用性，在这次课程改革中，被保留下来，并独立成为一章。这部分内容从知识体系上看，应属于三角函数这一章，从研究方法上看，也可以归属于向量应用的一方面。从某种意义讲，这部分内容是用代数方法解决几何问题的典型内容之一。而本课“正弦定理”，作为单元的起始课，是在学生已有的三角函数及向量知识的基础上，通过对三角形边角关系作量化探究，发现并掌握正弦定理(重要的解三角形工具)，通过这一部分内容的学习，让学生从“实际问题”抽象成“数学问题”的建模过程中，体验 “观察猜想证明应用”这一思维方法，养成大胆猜想、善于思考的品质和勇于求真的精神。同时在解决问题的过程中，感受数学的力量，进一步培养学生对数学的学习兴趣和“用数学”的意识。

二、学情分析

我所任教的学校是我县一所农村普通中学，大多数学生基础薄弱，对“一些重要的数学思想和数学方法”的应用意识和技能还不高。但是，大多数学生对数学的兴趣较高，比较喜欢数学，尤其是象本节课这样与实际生活联系比较紧密的内容，相信学生能够积极配合，有比较不错的表现。

三、教学目标

1、知识和技能：在创设的问题情境中，引导学生发现正弦定理的内容，推证正弦定理及简单运用正弦定理解决一些简单的解三角形问题。

过程与方法：学生参与解题方案的探索，尝试应用观察猜想证明应用”等思想方法，寻求最佳解决方案，从而引发学生对现实世界的一些数学模型进行思考。

情感、态度、价值观：培养学生合情合理探索数学规律的数学思想方法，通过平面几何、三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。同时，通过实际问题的探讨、解决，让学生体验学习成就感，增强数学学习兴趣和主动性，锻炼探究精神。树立“数学与我有关，数学是有用的，我要用数学，我能用数学”的理念。

2、教学重点、难点

教学重点：正弦定理的发现与证明;正弦定理的简单应用。

教学难点：正弦定理证明及应用。

四、教学方法与手段

为了更好的达成上面的教学目标，促进学习方式的转变，本节课我准备采用“问题教学法”，即由教师以问题为主线组织教学，利用多媒体和实物投影仪等教学手段来激发兴趣、突出重点，突破难点，提高课堂效率，并引导学生采取自主探究与相互合作相结合的`学习方式参与到问题解决的过程中去，从中体验成功与失败，从而逐步建立完善的认知结构。

五、教学过程

为了很好地完成我所确定的教学目标，顺利地解决重点，突破难点，同时本着贴近生活、贴近学生、贴近时代的原则，我设计了这样的教学过程：

(一)创设情景，揭示课题

问题1：宁静的夜晚，明月高悬，当你仰望夜空，欣赏这美好夜色的时候，会不会想要知道：那遥不可及的月亮离我们究竟有多远呢?

1671年两个法国天文学家首次测出了地月之间的距离大约为 385400km，你知道他们当时是怎样测出这个距离的吗?

问题2：在现在的高科技时代，要想知道某座山的高度，没必要亲自去量，只需水平飞行的飞机从山顶一过便可测出，你知道这是为什么吗?还有，交通警察是怎样测出正在公路上行驶的汽车的速度呢?要想解决这些问题， 其实并不难，只要你学好本章内容即可掌握其原理。(板书课题《解三角形》)

[设计说明]引用教材本章引言，制造知识与问题的冲突，激发学生学习本章知识的兴趣。

(二)特殊入手，发现规律

问题3：在初中，我们已经学习了《锐角三角函数和解直角三角形》这一章，老师想试试你的实力，请你根据初中知识，解决这样一个问题。在Rt⊿ABC中sinA= ，sinB= ,sinC= ,由此，你能把这个直角三角形中的所有的边和角用一个表达式表示出来吗?

引导启发学生发现特殊情形下的正弦定理。

(三)类比归纳，严格证明

问题4：本题属于初中问题，而且比较简单，不够刺激，现在如果我为难为难你，让你也当一回老师，如果有个学生把条件中的Rt⊿ABC不小心写成了锐角⊿ABC，其它没有变，你说这个结论还成立吗?

人教版数学正弦定理优秀教案及教学设计 第9篇

一、复习引入：1．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2(1)我们把不共线向量ｅ１、ｅ２叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量ａ在给出基底ｅ１、ｅ２的条件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一.λ1，λ2是被a，e1，e2唯一确定的数量

二、讲解新课：

1．平面向量的坐标运算

思考1：已知：a(x1,y1)，b(x2,y2)，你能得出ab、ab、a的坐标吗？设基底为i、j，则ab(x1iy1j)(x2iy2j)(x1x2)i(y1y2)j即ab(x1x2,y1y2)，同理可得ab(x1x2,y1y2)（1）若a(x1,y1)，b(x2,y2)，则ab(x1x2,y1y2)，ab(x1x2,y1y2)两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差.（2）若a(x,y)和实数，则a(x,y).实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.设基底为i、j，则a(xiyj)xiyj，即a(x,y)

实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标。

思考2：已知A(x1,y1)，B(x2,y2)，怎样求AB的坐标？

（3）若A(x1,y1)，B(x2,y2)，则ABx2x1,y2y1

AB=OBOA=(x2，y2)(x1，y1)=(x2 x1，y2 y1)一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点的坐标.思考3：你能标出坐标为(x2 x1，y2 y1)的P点吗？

向量AB的坐标与以原点为始点、点P为终点的向量的坐标是相同的。

三、讲解范例：

例1 已知a=(2，1)，b=(-3，4)，求a+b，a-b，3a+4b的坐标.例2 已知平面上三点的坐标分别为A(2，1)，B(1，3)，C(3，4)，求点D的坐标使这四点构成平行四边形四个顶点.解：当平行四边形为ABCD时，由ABDC得D1=(2，2)当平行四边形为ACDB时，得D2=(4，6)，当平行四边形为DACB时，得D3=(6，0)例3已知三个力F1(3，4)，F2(2，5)，F3(x，y)的合力F1+F2+F3=0，求F3的坐标.解：由题设F1+F2+F3=0 得：(3，4)+(2，5)+(x，y)=(0，0)即：32x0x5 ∴ ∴F3(5，1)45y0y

1四、课堂练习：

1．若M(3，-2)N(-5，-1)且 MP1MN，求P点的坐标 22．若A(0，1)，B(1，2)，C(3，4)，则AB2BC=.3．已知：四点A(5，1)，B(3，4)，C(1，3)，D(5，-3)，求证：四边形ABCD是梯形.五、小结：平面向量的坐标运算；

人教版数学正弦定理优秀教案及教学设计 第10篇

一、课题：正弦定理（2）

二、教学目标：1．掌握正弦定理和三角形面积公式，并能运用这两组公式求解斜三角形，解决实际问题；

2．熟记正弦定理abc2R（R为ABC的外接圆的半 sinAsinBsinC

径）及其变形形式。

三、教学重点：正弦定理和三角形面积公式及其应用。

四、教学难点：应用正弦定理和三角形面积公式解题。

五、教学过程：

（一）复习：

1．正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，abc2R（R为ABC的外接圆的半径）； sinAsinBsinC

1112．三角形面积公式：SABCbcsinAacsinBabsinC． 222 即：

（二）新课讲解：

1．正弦定理的变形形式：

①a2RsinA,b2RsinB,c2RsinC；

2．利用正弦定理和三角形内角和定理，可解决以下两类斜三角形问题：

（1）两角和任意一边，求其它两边和一角；

（2）两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角。

一般地，已知两边和其中一边的对角解斜三角形，有两解或一解（见图示）。C aaB1 B 2abc,sinB,sinC； 2R2R2R③sinA:sinB:sinCa:b:c． ②sinABabsinAbsinAababab一解两解一解一解

3．正弦定理，可以用来判断三角形的形状，其主要功能是实现三角形边角关系的转化： 例如，判定三角形的形状时，经常把a,b,c分别用2RsinA,2RsinB,2RsinC来替代。

4．例题分析：

例1在ABC中，1 AB2 sinAsinB的（）

A．1只能推出2B．2只能推出1 C．

1、2可互相推出D．

1、2不可互相推出

解：在ABC中，ABab2RsinA2RsinBsinAsinB，因此，选C．

说明：正弦定理可以用于解决ABC中，角与边的相互转化问题。

例2在ABC中，若lgalgclgsinB，且B为锐角，试判断此三角形的形状。解

：由lgalgclgsinB，得：sinB

B450B90，2asinA① 

c2sinC2

将A135CC2sin(135C)。



∴sinCsinCcosC，∴cosC0，故C90，

A45，∴ABC是等腰直角三角形。

说明：（1）判断三角形的形状特征，必须深入研究边与边的大小关系：是否两边相等？是否三边相等？还要研究角与角的大小关系：是否两角相等？是否三角相等？有无直角？有无钝角？

（2）此类问题常用正弦定理（或将学习的余弦定理）进行代换、转化、化简、运算，揭示出边与边，或角与角的关系，或求出角的大小，从而作出正确的判断。



例3某人在塔的正东方沿南60西的道路前进40米后，望见塔在东北方向上，若沿途测得



塔的最大仰角为30，求塔高。

D解：如图，由题设条件知：CAB1906030，ABC451453015，

















北 C

∴ACB180BACABC1803015135，又∵AB40米，在ABC中，B



AC40

，sin15sin135

40sin15

30)1)，∴AC

sin13

5在图中，过C作AB的垂线，设垂足E，则沿AB测得塔的最大仰角是CED，∴CED30，在RtABC中，ECACsinBACACsin301)，

在RtDCE中，塔高CDCEtanCED1)tan30



10(3（米）．

3例4如图所示，在等边三角形中，ABa,O为中心，过O的直线交AB于M，交AC

于N，求

1的最大值和最小值。OM2ON

2解：由于O为正三角形ABC的中心，∴AO

设MOA，则

，MAONAO，6A





2，在AON中，由正弦定理得： 3

OMOA，∴OM，

sinMAOsin[()]sin()

M

N

B

在

AOM中，由正弦定理得：ON

sin()

6，1112121222

[sin()sin()](sin)，2222

OMONa66a223∵，∴sin1，33

41118

故当时取得最大值，2OM2ON2a2

2311152

所以，当,or时sin，此时取得最小值． 222

334OMONa

∴

六、课练：《

七、课堂小结：1．正弦定理能解给出什么条件的三角形问题？

2．由于有三角形面积公式，故解题时要注意与三角形面积公式及三角形外

接圆直径联系在一起。

八、作业：

1．在ABC中，已知atanBbtanA，试判断这个三角形的形状；

222

高一数学《正弦定理的应用》教案 第11篇

正弦定理的应用

教学目标

（一）知识与技能目标

会利用正弦定理求解简单的斜三角形边角问题．

（二）过程与能力目标

(1)通过用向量的方法证明正弦定理，体现向量的工具性，加深对向量知识应用的认识．

(2)通过启发、诱导学生发现和证明正弦定理的过程，培养学生观察与分析、归纳与猜想、抽象与概括等逻辑思维能力．

（三）情感与态度目标

通过三角函数、正弦定理、向量数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一． 教学重点

正弦定理的应用． 教学难点

正弦定理在解三角形时的应用思路． 教学过程

一、复习

正弦定理： abc2R sinAsinBsinC变 式

(1)a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC；(2)sinA : sinB : sinC = a : b : c；

(3)S ABC111absinCbcsinA acsinB 222正弦定理可以解决三角形问题：

1.两角和任意一边，求其它两边和一角；

2.两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角.二、应用

例 1.在ABC中，已知a20,b28,A40, 求B(精确到1)和c(保留两个有效数字).例 2.在ABC中，已知a60,b50,A38, 求B(精确到1)和c(保留两个有效数字).湖南省长沙市第一中学 数学教案 高一（下）第五章平面向量

归纳：在△ABC中，已知a, b和A时解三角形的各种情况： 1.当A为锐角时：

Ca

b

AB

a

CbAaBCbAB2aaB1CbAab一解aBa=bsinA一解bsinA

CabAab无解BCbAaBa > b一解练习

在ABC中，已知A30,b4,试分别讨论下列情况的解的个数(1)a1,(2)a1,(3)a3,(4)a4,(5)a5.例 3.在ABC中, 若a2tanBb2tanA, 试判断这个三角形的形状.例 4.在ABC中，若B30，AB23，AC2，求ABC的面积.课堂小结：

已知三角形的两边及其中一边的对角，其解的6种情况.作业：