平面向量复习要点

平面向量复习要点（精选5篇）

平面向量复习要点 第1篇

一、二轮复习中复习定理、公式的证明和有关性质的推导时可借助向量知识解决

定理、公式的证明不要仅仅呈现它的结论,也要关注知识产生的过程,当复习正弦定理与余弦定理时,将向量的数量积与三角形的边长及三角函数联系起来.掌握向量与三角知识间内在联系的规律,把感知上升为理解和应用.又如复习正弦余弦的两角和差公式时,用传统方法过程比较复杂,如果利用数量积的相关内容来解决却简洁明了

例1 利用向量方法证明公式:cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.

证明:如图1,在单位圆中作向量、,它们与x轴正向的夹角分别是α、β,则点A的坐标是(cosα,sinα),点B的坐标是(cosβ,sinβ),则,

又.

则等式cos (α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ成立.

二、二轮复习中复习三角函数专题时注重与平面向量的整合

将三角函数变换与平面向量的数量积进行有机结合.不仅考查三角变换而且深化了向量的运算,同时也拓宽了三角与向量的命题范围.

例2 (2004年全国(福建卷)高考第17题)设函数f(x)=ab,其中向量a=(2cosx,1),,x∈R.(Ⅰ)若且x∈[,.],求x;(Ⅱ)若函数y=2sin2x的图象按向量平移后得到函数y=f(x)的图象,求实数m、n的值.

思路分析:利用向量数量积的坐标运算,求出f(x)的解析式,继而建立关于x的方程,根据三角函数的性质求出x,对于第(Ⅱ)题,利用比较法求解,因为两函数为同一函数,只需在m的允许范围内对应项系数相等即可.

答案:(Ⅰ).(Ⅱ),n=1.

点评:本题以向量为载体主要考查平面向量的概念和计算,三角函数的恒等变形及图象变换的基本技能,考查学生的运算能力.第(Ⅰ)题学生易错误写成;(Ⅱ)题易错点是y=2sin(2x-m)-n或y=2sin2(x+m)+n等等.这说明学生没有弄清图形平移的本质.

三、二轮复习中加强研究平面向量与平面几何的整合

把几何图形放到适当的坐标系中,就赋予了有关点与向量具体的坐标,这就能进行相应的代数运算和向量运算,从而使问题得到解决.

例3 (2004年全国(湖北卷)高考题第19题)在Rt△ABC中,已知BC=a,若长为2a的线段PQ以点A为中点,问与的夹角θ取何值时的值最大?并求出这个最大值.

思路分析:建立适当的直角坐标系,设出P、Q坐标,、、、都用坐标表示,运用数量积的运算再转化关于θ的一个函数式.

答案:最大值为0.

点评:本题考查了向量的概念、平面向量的运算法则等知识,主要考查了学生作图、识图能力和函数解题的能力.考查了参数法、解析法、整体代换等数学思想方法.解决平面向量与平面几何的有关综合题往往有两种策略.一是,建立坐标系转化为代数运算;二是直接运用向量关系式求解.

四、二轮复习中加强向量与解析几何整合习题的复习

向量本身就是一个二维量,与坐标平面建立了对应关系,而解析几何正好是用代数方法研究几何问题,也是利用二维量(坐标)来研究问题,于是向量与解析几何有着极其密切的联系,它们都有共同的特征:几何特征和数量特征.

例4 (2004年全国卷Ⅱ第21题)给定抛物线C:y2=4x,F是C的焦点,过点F的直线l与C相交于A、B两点.

(Ⅰ)设l的斜率为1,求与夹角的大小:

(Ⅱ)设,若λ∈[4,9],求l在y轴上截距的变化范围.

思路分析:(Ⅰ)由数量积公式求解,但先要求出、的坐标形式,对的表述用两种形式来刻划.一是坐标,二是定义.(Ⅱ)运用方程的思想建立起A与截距的关系式,再由λ的范围求解.

答案:(Ⅰ)

(Ⅱ)[,]∪[,].

点评:本题将向量、方程、函数、解析几何知识融合为一道很不错的综合题,主要考查抛物线的性质、直线与抛物线的关系、平面向量的基本运算、定比分点、平行向量等基础知识.考查基本解析几何解题方法、思想及综合解题能力.

五、留意向量知识在不等式中的应用

利用向量数量积的一个重要性质∣ab∣∣a∣∣b∣,变形为∣ab∣2∣a∣2∣b∣2可以解决不等式中一类含有乘积之和或乘方之和的式子的题目,采用构造向量去解往往能化难为易,同时有效地提高学生的观察分析能力和想象能力.

例5 设任意实数x、y满足∣x∣<1,∣y∣<1,求证:.

证明略.(此类习题尚未在高考中出现,可以复习)

2014高考数学复习：平面向量 第2篇

2014高考数学复习：平面向量

一选择题（每题5分，共50分）

1.向量﹒化简后等于（）

A.AMB.0C.0D.AC

2.下面给出的关系式中，正确的个数是（）

10·=0○2 ·=·○

3○4○25ab a

A.0B.1C.2D.3 3.对于非零向量a.b,下列命题中正确的是（）

A.ab0 a0或b0B//在上的投

影为。C.D.acbcab

4.已知=5,2,=4,3,=x,y.若-2+3=.则等于()A.1,B.28

3138134134,C.,D., 333333

1AB()25已知2,4,2,6,A.(0,5)B.(0,1)C.(2,5)D.(2,1)6e1.e2是平面内的一组基底，则下列四组向量中，不能作为一组基底的是（）

A.e1 和e1e2B.e1—2e2和e22e1 C.e1—2e2和4e22e1 D.e1e2和e1—e2 7已知ABC中ABAC>0,则ABC的形状是（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定 8已知1,0,1,1，且k恰好与垂直，则实数k的值是（）

A.1B.—1C.1或—1D.以上都不对

9.已知=,2,3,5，且与的夹角是钝角，则的范围是（）

A.10101010B.C.D. 3333

10.已知,是夹角为60的两个单位向量，则2,3的夹角是（）A.30B.60C.120D.150

二．填空题（每题5分,共25分）

11.若a6,8，则与a平行的单位向量是12.若向量,12且与的夹角为13.

1

2，0，则与的夹角为





=3

14．设e1.e2为两个不共线的向量，若e1e2与2e13e2与共线，则15已知平面内三点A.B.C34

5,则的值等于三．解答题（共75分）

16(12分)已知向量a3e12e2,b4e1e2其中e11,0,e20,1求：（1），（2）与夹角的余弦值。

17(12分).已知向量3,4,2,x,2,y且//,求：（1）x,y的值；（2的值



18.（12分）已知向量sinx,1,cosx,1（1）当a//b时，求cosxsinxcosx的值；（2）求f(x)=的最小正周期及最值。

19.（12分）已知2,24,36（其中,是任意两个不共线

向量），证明：A.B.C三点共线。

20．（13分）已知ABC中，A5,1，B1,7,C1,2.求（1）BC边上的中线AM的长;（2）cosABC的值

21.（14

高三数学平面向量的复习策略 第3篇

关键词：向量;概念;图式;例题;信心

中图分类号：G427文献标识码：A     文章编号：1992-7711（2014）24-068-1

一、高三复习平面向量的现状与成因

1.平面向量与学生固有知识的差异。

平面向量是高中学习的新内容，不同于度量、数量，是不能直接比较大小的，我们知道，用一个已经掌握的知识迁移出新知识，同学们更容易掌握，比如用一元二次方程引出二次函数再到一元二次不等式的解法，学生可以比较旧知识的同时掌握新学知识，就更容易掌握。然而，平面向量与同学们的固有认知不同，不同是什么，这是造成同学们学习障碍的一个因素。

美国认知心理学家古德曼认为，学习是构建内在心理表征的过程，学习者并不是把知识从外界搬到记忆之中，而是以已有的知识经验为基础，通过与外界的相互作用来构建新的理解。正因为如此，所以高中学生在没有学习解析几何初步的基础上学习向量知识，势必造成知识构建不够完整，那就很难去应用这个知识去进行进一步的推论、搜索与整合，造成解题时思维的断链。因此，笔者在高三复习时，需要做的就是利用学生对向量现有的一些知识片段去重新构建平面向量的知识体系，对原有的支离破碎的知识概念加以整理提升，并以此为基础，培养学生自觉利用向量的代数性质与几何性质解决相关问题的能力。

2.各校调整教学顺序及课时安排的原因。

平面向量在《普通高中数学新课程标准（实验）》（以下称《标准》）中，安排了12课时，《标准》中对平面向量部分的介绍是“向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。在本模块中，学生将了解向量丰富的实际背景，理解平面向量及其运算的意义，能用向量语言和方法表述和解决数学和物理中的一些问题，发展运算能力和解决实际问题的能力。”这在《标准》中是在必修4中学习的。但各校考虑到各种因素，往往将平面向量知识放在高一第一学期学习，此时的高一学生的能力相对还比较薄弱，知识储备相对较少，且解析几何没有接触，所以学生此时学习是不能够系统全面的了解平面向量知识的，以后也很难想到在解析几何中自觉应用向量解题。

3.教师的教学心理和学生的学习心理。

由于平面向量的知识在高考解答题中以第一个解答题出现，相对是容易题。这也导致部分教师对平面向量的重视不够。学习平面向量的时间又临近期末，为了期末复习，教师在教学中也会放弃一部分要求较高的试题。学生学习此部分内容时，一方面由于时间紧，对知识结构还没有形成一个整体，就结束了这部分知识的学习，而且在高三复习前很少涉及这部分知识。所以导致学生对这部分知识不重视，导致学习平面向量就等于死记硬背几个公式，而很难在实际应用中触发主动应用平面向量知识的意识。笔者分析了以上学生学习平面向量时的一些问题，在高三复习平面向量时采取了更为细致的复习方法，与各位同仁共同探讨。

二、高三复习平面向量知识的有效方法探究

1.夯实基础，深挖概念内涵。

正如《标准》所说，“向量是近代数学中重要和基本的数学概念之一，它是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景。”因此，平面向量的基础概念的理解是重中之重。但是高三的试题中，这些基础概念隐藏在题目之中，解答高三的一些中等难度的试题，没有基础概念的支撑可能就会导致理解题目不到位，比如向量的数乘这一知识点，学生对此概念的理解有时会和向量的数量积弄混淆。为了加深学生对向量与数量差异的了解，笔者要求学生在书写格式上要严格区分向量与数量，要求向量必须在字母上加上箭头，比如λa=μb移向得到λa-μb=0，强调运算是向量的运算。再如a·b=c·d，移向得a·b-c·d=0，强调数量积的运算结果是数量。

2.回归定义，借助练习强化。

“回到定义去！”这是美籍匈牙利数学家波利亚所推崇的数学解题模式。概念是最基本的思维形式，定义是揭示概念内涵的逻辑方法。正因为向量是高中接触的新概念，新定义，因此，引导学生回到定义去，这在平面向量的复习中，非常有意义。

3.利用图式，激活思维，破解难题。

图式在人类认知学习的信息加工过程中具有重要作用。具有丰富图式的人，学习材料时能选择和加以利用，从而促进理解和记忆的内容就多。平面向量可以用图式来表示，所以笔者在教学中充分利用这一点，来加强学生对知识的掌握。

4.化繁为简，提升解题技能。

很多中等偏难的向量试题，同学们往往由于“基本功”较差，而不得不放弃求解。波利亚在《怎样解题》中提到的大量问句或建议，都不是问别人，而是自己给自己提问题、提建议，这是解题者的自我诘问、自我反思。问题中的一部分，其对象针对具体的数学内容;另一部分则以解题者自身为对象。比如，“你以前见过它吗？”“你是否知道一个与此有关的问题？”“这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题。你能不能利用它？”等等。所以笔者将一些向量综合题细化和分解，将解题时常遇到的基本方法、基本技能提炼总结。

平面向量复习要点 第4篇

1. 设计意图

从纵向分析, 平面向量知识包含字母、坐标两套运算体系, 结合其几何背景是处理平行、垂直、距离、夹角问题的有效工具, 从横向分析, 平面向量知识与函数、三角、解析几何、不等式等数学知识有着广泛的联系, 因此在平面向量知识的复习中兼顾纵向与横向、代数与几何、概念与思维是课时设计的核心.

本课时的教学中, 通过逐层递进的三个基础练习复习解决向量问题的三个维度———基底、坐标、几何, 关注向量的纵向结构, 而例题分析则在向量的纵向结构的基础上, 将向量知识与函数、三角、解析几何、不等式等数学知识结合, 同时关注向量的横向联系, 力求既帮助学生建构平面向量的知识体系, 又促进学生提升数学思维品质.

2. 教学设计

2.1 数学环节

本课时的教学, 分知识梳理、方法提炼、拓展深化、概括总结四个环节完成.

知识梳理环节简要梳理平面向量知识, 提出解决向量问题的“基底、坐标、几何”三个纬度.

方法提炼主要借助于三个基础练习, 提炼出从“基底、坐标、几何”三个纬度解决向量问题的具体方法.

拓展深化通过对典型例题的分析, 将平面向量知识与方法与相关数学知识相联系, 既拓展了复习的面, 又深化了复习的度.

概括总结通过对基础练习与例题的分析概括出解决平面向量问题的思维与方法——基底为本、坐标为器、几何为核.

2.2 教学过程

2.2.1 知识梳理

平面向量运算建立在两套运算体系之上, 一套是基于基底的字母运算体系, 一套是坐标运算体系.进行字母运算时基底的选取是关键, 一般我们选取已知模长与夹角的不共线向量作为基底, 坐标运算的关键是建立合适的坐标系.我们处理的许多平面向量问题是有其几何背景的, 几何背景是命题的依据, 关注平面向量背后的几何背景, 分析其几何模型有助于更好地理解与解决平面向量问题.

2.2.2 方法提炼

本课时通过三个逐层递进的基础练习, 提炼基于三个维度 (基底、坐标、几何) 的解决向量问题的基本思维与方法.基础练习及其相关解法见表1.

小结:

平面向量问题的三个维度, 几何维度对思维要求最高, 更易切入向量问题的核心, 准确快速地解决问题问题, 坐标维度对思维的要求相对低一些, 但对计算的要求就比较高, 需要学生有良好的运算能力, 是学生解决向量问题的有力的工具, 而基底维度是解决向量问题的根本, 坐标其实也是一种特殊的基底, 向量体系可以说是建立在基底的基础之上的, 通过三个基础练习让学生熟悉解决向量问题的三个维度、熟悉向量问题中常见的投影、共线等几何模型, 并引导学生选取合适的维度, 构建适合自身的向量方法.

2.2.3 拓展深化

如果说方法提炼环节更多的是关注对向量知识本身的挖掘, 则这一环节更关注的是对向量知识的横向拓展, 通过对例题的剖析, 将向量知识与其他数学知识有机融合.

方法二: (坐标) 设向量a= (1, 0) , b= (0, 1) , c= (x, y) ,

(基本不等式)

(柯西不等式)

方法三: (坐标) 设向量a= (1, 0) , b= (0, 1) , c= (x, y) .

(解析几何)

方法五: (几何)

选取例题的目的, 是为了在考虑平面向量知识深度的同时, 兼顾数学知识间的横向联系, 将平面知识与不等式、解析几何、三角等知识有机融合.二轮复习不应该仅仅是知识体系的加深, 更应该关注知识间的联系, 向量是高中数学中一个工具性的知识模块, 与三角、函数、解析几何、立体几何有着千丝万缕的联系, 以平面向量知识为载体, 沟通各高中数学知识间的关联, 有助于引导学生形成更加完善的知识体系.

2.2.4 概括总结

完成了三个基础练习与例题的分析, 学生对于向量知识无论从深度还是广度都有了新的理解, 这时候再以“基底为本、坐标为器、几何为核”十二个字来概括平面向量知识, 就水到渠成, 这十二个字体现了向量知识中基底的基础性、坐标的工具性、几何的关键性, 引发学生对向量知识的更深层次的思考, 尤其是如何更好地挖掘平面向量知识的几何背景, 值得学生探索与研究!

3. 反思与评价

本课时教学实践结束后, 听课教师给予了较好的评价, 认为课时中对向量知识三个维度——基底、坐标、几何的概括有利于学生更好地理解平面向量知识, 同时本课时给予了学生一顿思想的盛宴, 对开发学生的数学思维很有价值.

经历了平面向量知识二轮复习的教学设计与实践, 体会到向量知识有其深刻的内涵与实际背景, 二轮复习主要是应对高考, 具有较强的功利性, 不免忽视了其文化内涵, 虽是备战高考关键时期不得已而为之, 然终不免有所遗憾.

平面向量复习要点 第5篇

2.平面向量是连接代数与几何的桥梁，是高考的重要内容之一.高考常设置1个客观题或1个解答题，对平面向量知识进行全面的考查，其分值约为10分，约占总分的7%.近年高考中平面向量与解三角形的试题是难易适中的基础题或中档题，一是直接考查向量的概念、性质及其几何意义;二是考查向量、正弦定理与余弦定理在代数、三角函数、几何等问题中的应用.

1.高考试题预测

(1)分析近几年高考对三角函数与三角恒等变换部分的命题特点及发展趋势，以下仍是今后高考的主要内容：

①三角函数的图象与性质是高考考查的中心内容，通过图象求解析式、通过解析式研究函数性质是常见题型.

②解三角函数题目的过程一般是通过三角恒等变换化简三角函数式，再研究其图象与性质，所以熟练掌握三角恒等变换的方法和技巧尤为重要，比如升幂(降幂)公式、asin x+bcos x的常考内容.