平移变换范文

平移变换范文（精选4篇）

平移变换 第1篇

一、利用点平移

在求点到平面的距离时, 若过该点做平面的垂线段, 求垂线段的长度, 有时不易做到, 因此常常是求过该点与平面平行的直线到平面的距离, 事实上就是利用点平移, 将求点到平面的距离转化为直线上其他点到平面的距离。

例1如图, 在直三棱柱ABC-A1B1C1中, 底面△ABC是直角三角形, C=90°, AC=1, 求B1到平面A1BC的距离。

分析:由已知及图形直接作B1在平面A1BC的射影比较困难, 因而注意到B1C1//平面A1BC, 因而将B1点平移到C1点, 过C1点作A1C的垂线于H, 由于三棱柱为直三棱柱, C=90°, 因而BC⊥平面ACC1A1, 则C1H⊥BC, 因而C1H⊥平面A1BC, 即C1H长为C1到平面A1BC的距离, 在Rt△A1C1C中, 求得, 从而求出B1到平面A1BC的距离为

求异面直线的距离, 若利用定义, 则需要求两异面直线的公垂线长度, 但公垂线段有时不易作出, 因而常转化为求其中一条直线到过另一条直线且与第一条直线的平行平面间的距离, 事实上, 这也是利用了点平移。

例2如图正方体ABCD-A1B1C1D1中, 棱长为1, E、F分别为AA1、AB的中点, 求异面直线EF与BD1的距离。

分析:连接A1B, 由于E、F分别是AA1、AB的中点, 则EF//BD1, 因而EF//平面A1BD1, 那么EF到平面A1BD1即为EF与异面直线BD1的距离, 而仍利用点平移, 求直线EF上任一点到平面的距离均可, 再由点平移, 则A到平面的距离是EF到平面距离的2倍, 故题设中所求距离为

二、利用直线平移

求异面直线所成角时, 由定义显然需要对直线进行平移

例3如图正方体AC1中, B1E1=D1F1, 求BE1与DF1所成的角。

分析:在棱C1D1上取H, 使A1B1, 则B1E1HC为平行四边形, 而BC//B1C1, 所以BC//E1H, 则BE1HC为平行四边形, E1B//HC, 又在棱CD上取中点G, 连接GH, 则DF1//GH, 因而通过直线的平移知, GH与HC所成的角即为所求, 由余弦定理求得

求直线与平面所成的角时, 往往是确定直线在平面内的射影, 求直线与射影所成的角, 而有时确定射影也不是轻而易举的事, 因而利用直线平移, 又可化难为易。

例4已知正方体AC1棱长为a, O1是正方体上底面的中心, P是B1C1的中点, 求PO1与平面A1BC1所成的角。

分析:直接找O1P在平面内的射影虽然可以作, 但比较烦冗, 但若注意到O1P//A1B1, 则通过直线平移, 求A1B1与平面A1BC1所成的角即可, 而连接B1C交BC1于O, 则O为正方形BCC1B1的中点, 而△A1BC1为正三角形, 取A1BC1的中心O', 连接B1O'则A1O'为A1B1在平面A1BC1内的射影, 易得所成的角为易证B1O⊥平面A1BC1, 所以连接A1O, 则A1O是A1B1在平面A1BC1内的射影, 由勾股定理求得∠B1A1O=45°, 即O1P与平面A1BC1所成的角为45°。

例5已知正方形ABCD所在平面外一点P, PA⊥平面ABCD, E、F分别为AB、PD的中点, 二面角P-CD-B为45°, 求证平面PCE⊥平面PCD。

分析:欲证面面垂直, 需证一个平面经过另一个平面的一条垂线, 这就需要在题设中寻找线线垂直, 先从二面角P-CD-B为45°入手, 容易看出CD⊥平面PAD, 所以∠PDA=45°, 又注意到Rt△PAD中, F是中点, 所以AF⊥PD, 又CD⊥AF, 所以AF⊥平面PCD, 但AF∥平面PEC, 这就促使我们通过平移直线, 将AF平移到平面PEC内, 问题就迎刃而解了。

取PC的中点M, 连接MF、ME, 由于且因而四边形EMFA为平行四边形, 即有EM//AF, 至此命题得证。

三、利用平面平移

求解无棱二面角, 一般是想方法确定棱, 进而求解, 而难点就在于棱的确定, 若注意到平面平移, 则给人耳目一新之感。

例6在棱长为1的正方体AC1中, E为AA1的中点, 求截面EBD1与底面AC所成的角。

分析:显然这是一个无棱二面角问题, 自然解决此题方法也比较多, 若考虑平面平移, 将平面AC平移到过E点且与平面ABCD平行的平面EFGH处, 则平面EFGH与平面EBGD1所成的角即为所求, 而这两个平面的交线是容易作出的为EG, 而此时二面角大小易求为

例7在正三棱柱ABC-A1B1C1中, E为BB1的中点, 截面A1EC⊥侧面AC1, (1) 求证BE=EB1 (2) 若AA1=A1B1, 求平面A1EC与平面A1B1C所成的二面角。 (1996年全国高考题)

分析: (1) 略。

(2) 这仍是一个无棱二面角问题, 因而想通过平面平移确定二面角的求法, 注意到E为BB1的中点, 因此取A1C1与CC1的中点M、N, 连接MN、MB1、NB1, 易得MN//A1C, NB1//EC, 因而平面NMB1//平面A1EC, 从而平面NMB1与平面MB1C1所成的二面角即为所求二面角的大小, 由于B1M⊥A1C1, 平面A1C⊥平面A1B1C1, 所以B1M⊥平面A1C, 即得∠N-MC1为二面角N-B1M-C1的平面角, 而AA1=A1B1, 四边形AA1C1C为正方形, 那么平面A1EC与平面A1B1C所成的二面角为45°。

例8已知正方形ABCD边长为a, 过A作PA⊥平面ABCD, PA=a, 连接PB、PC、PD, 求平面PAB与平面PCD所成的二面角的大小。

分析:此题也是一个无棱二面角问题, 因此考虑平面平移法, 过D作ED⊥平面ABCD, 连接EC, 由于AB//CD, ED//PA, 因而平面PA//平面ECD, 则平面ECD与平面PCD所成的二面角的大小等于所求二面角的大小, CD为二面角P-CD-E的棱, 由于CD⊥PD, CD⊥ED, 因而∠PDE为二面角的平面角, 又PA=AB, 所以所求二面角的大小为45°。

平移变换几何证明与计算中的应用 第2篇

平移变换是几何中的一种重要变换，运用平移变换可以将分散的线段、角或图形集中到一起，便于问题的研究和解决。这是平移变换中的常用方法，下面仅举几例，以作说明。

一、平移变换在几何证明中的应用

例1．如图，△ABC中，BD=CE，求证：

【解析】

本题涉及到证明的几条线段虽然都交于一点，但对于证明这样一个几何不等式不是很方便。再有BD=CE，运用平移变换，将△AEC平移到△A’BD的位置，问题迎刃而解。

【答案】

证明：如图2,分别过点D、B作CA、EA的平行线，G

F

D

E

两线相交于F点，DF于AB交于G点。

所以，在△AEC和△FBD中，又CE=BD，可证

△AEC≌△FBD，所以AC=FD，AE=FB，在△AGD中，AG+DG>AD，在△BFG中，BG+FG>FB，所以AG+DG-AD>0,BG+FG-FB>0,所以AG+DG+BG+FG-AD-FB>0,即AB+FD>AD+FB，所以

AB+AC>AD+AE

.【思考】

本题还有没有平移其他图形的方法？

例2．如图，梯形ABCD中，∠B+∠C=90°，点E、F分别为上下底边的中点，求证：

【解析】

题目需要证明的几条线段是分散的，通过平移变换可以将AB、EF、DC集中到一起。此时，其他条件也很能好好地得到应用。

【答案】

证明：分别过点E、F作EG//AB,EH//CD交BC于点G、H

所以四边形ABGE,DEHC是平行四边形.AE=BG,DE=CH,因为FB=FC,所以FG=FH=

所以∠EGC=∠B，∠EHB=∠C,又∠B+∠C=90°，所以∠EGC+∠EHB=90°，∠GEH=90°

所以△GEH是直角三角形.所以，EF=

二、平移变换在几何作图中的应用

例3.如图，河流的河岸AB与CD平行，点A、B表示两个村庄，现要在河上架桥，满足两个条件：（1）桥与河岸垂直；（2）A、B两个村庄之间的线路最短，请问桥应架在何处？

【解析】

不管桥设计在何处，A、B两个村庄之间的路程中总有一段是河岸间的距离，所以运用平移变换，将河“平移”,使村庄A或B恰好在河岸上。

【答案】

过点A作AA’垂直河岸，且使AA’长度等于河的宽度，连结交河岸于点C，过点C作CD垂直于河岸交河岸于点D，连结AD，则CD为桥的位置。

【思考】

如果A、B两个村庄之间有两条互相平行的小河，其他条件不变，桥的位置又该如何确定？

图3

例4.如图3，△ABC的三条中线分别为AD、BE、CF．在图3中利用图形变换画出并指明以AD、BE、CF的长度为三边长的一个三角形（保留画图痕迹）；

【解析】

以三条中线为边长的三角形，显然要对这三条线段进行“重新组合”，手段就是平移变换。

【答案】

三、平移变换在几何计算中的应用

例5.如图，六边形ABCDEF中，对角线

已知FD

=

cm，BD

=

cm.问六边形

ABCDEF的面积是多少平方厘米？

【解析】

题目中给出了很多平行且相等的线段，这就很容易联想到平移变换。通过平移变换，将图形“整形”，从而求出六边形的面积。

【答案】

如图，将△DEF平移到△BAG的位置，将△BCD平移到△GAF的位置，则原六边形分解组合成长方形BDFG.此长方形的边恰是已知长度的BD与

FD.易知长方形BDFG的面积为

24×28

=

432

cm2.所以，六边形ABCDEF的面积是432

cm2.例6.已知抛物线与x轴的两个交点记为A，B，点M在直线上，点P在抛物线上，求当以O、A、P、M为顶点的四边形为平行四边形时的P点坐标。

【解析】

本题运用平移变换在平面直角坐标系中的应用，这样求平行四边形的顶点坐标将会简便。因为平行四边形可以理解为一条线段沿平面内某一方向平移所扫过的图形。

【答案】

①

若OA为边，则PM∥OA.设M(m,2m),∵OA=5，∴P(m+5,2m)或P(m-5,2m).当P(m+5,2m)时，∵P点在抛物线上，∴,解得.∴P(12,14).当P(m-5,2m)时，∵P点在抛物线上，∴,解得.∴P(-3,4)或P(20,50).②若OA为对角线，则PM为另一条对角线.[来源:Z&xx&k]

∵OA中点为(,0)，设M(m,2m),∴P(5-m,-2m).∵P点在抛物线上，∴,解得.∴P(12,14).综上,符合条件的P点共有3个，它们分别是P1(12,14)、P2(-3,4)、P3(20,50).【练习】

1．已知，如图，△ABC中，AB=AC，D是AB上一点，E是AC延长线上一点，若BD=CE，求证：DE>BC.2．

在△HBC中，∠B=∠C，在边HC上取点D，在边BH上取点A，使HD=BA，连结AD.求证：AD≥

3．在△ABC中，点P为BC的中点．

（1）如图1，求证：AP＜（AB+BC）；

（2）延长AB到D，使得BD=AC，延长AC到E，使得CE=AB，连结DE．

①如图2，连结BE，若∠BAC=60°，请你探究线段BE与线段AP之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明；

平移变换 第3篇

随着我国社会经济的发展,各地的高层建筑工程越来越多,而基坑施工是其重要的组成部分。由于在施工过程中曾出现过不少事故,使得基坑施工中的变形监测、预测与控制变得十分重要。灰色系统由于其分析方法对于信息不完整或不完全的实际情况具有良好的适用性,近些年在基坑变形监测中得到了广泛的应用,同其他预测模型一样,灰理论模型也不可避免的存在其缺陷,有不少学者为GM(1,1)模型的改进提出了自己的想法[1,2,3,4]。在灰建模过程中,为了得到高精度的模型,需要对不符合级比界区要求的原始数据进行变换。本文将对平移变换中,最小平移量的确定进行研究,以提高建模的速率。

1 GM(1,1)模型

灰色系统理论是研究少数据不确定性的理论。该理论认为一切随机变量可视为一定范围内变化的灰色量,对该灰色量进行数据累加处理(AccumulatedGeneratingOperation简称AGO)则相应生成的数据可淡化随机因素对原始数据的影响[5]。

设原始观测数列:

由其累加生成x(1):

背景值z(1)(k):

定义GM(1,1)的白化型为:

其中,a,b均为待定系数,可用最小二乘法求得:

其中

将发展系数a及灰量b利用式(5)用最小二乘法求出后,代入白化模型后可得:

将x(1)(k)累减还原得到x(0)(k)即预测结果。

2 最小平移量C的确定

灰色理论的立足点是“有限信息空间”,其特色是研究“小样本”“贫信息”系统,而最少信息是其基本准则,但并不是任何的数据都可以用来建立灰模型。邓聚龙也指出并不是所有GM(1,1)模型都是有效的,如果参数不合理,可能导致GM(1,1)模型畸形。一般来说,当序列呈现指数函数递增或递减趋势时,灰色预测模型有相当高的精度,当系统发生转折或周期性变化时,其精度就变得较差。在对数据进行建模之前,需要判断此组数据建模的可行性,即对数据进行级比的可容区判断。定义σ(k)为原始数列x(0)(k)的级比[1]:

当级比满足σ(k)∈(0.135 3,7.389)时,序列x(0)(k)才可以建立有意义的GM(1,1)模型。级比可容区是GM(1,1)建模的基本条件,然而不是实用条件,也就是说要想建立满意有效的GM(1,1)模型,级比σ(k)应落于靠近1的一个子区间(1-ε,1+ε)内,即(1-ε,1+ε)∈(0.135 3,7.389)。邓聚龙指出,级比的界区为σ(k)∈(en+2 1,en+2 1)中。所以,若原始序列不适合做建模,我们需要对原始序列进行一定的变换处理,使变换后的新序列满足GM(1,1)建模条件。常用的原始数据变换处理方法有对数变换、方根变换和平移变换。而GM(1,1)建模数据变换的原则是:经过变换的序列级比应尽量靠近1,也即使1-σ(k)尽可能小。

在几种变换方法中,平移变换是最常用到的一种方法。但是在平移中平移量C还没有一个明确的准则,一般都是依靠经验来确定。通常来说,只要将原始数列做足够大的平移,一定能使平移后的数列达到级比全部接近1的状态,然而,并非平移量越大越好。首先,从数学角度看,当C足够大时,尽管级比都接近于1,但使拟合曲线几乎为一条水平直线,与实际不符,不能很好的反映位移的变化。其次,当虚拟的平移量在建模时的作用比真信息x(0)(k)的作用大时,将会导致模型失真[2]。所以,如何选择一个合适的平移量C是一个问题。

设原始观测数列:x(0)=(x(0)(1),x(0)(2),…,x(0)(n)),级比为σ(k),k=2,3,…,n-1,级比的界区为σ(k)∈()。

若级比列σ=(σ(2),σ(3),…,σ(n-1))没有完全落在界区内,则需对原始数列进行平移变换。界区外的级比可分为两部分:一部分为σ′={σ(k)σ(k)<},令其对应的原始数列为x1(0)(k);另一部分为σ″={σ(k)σ(k)>},令其对应的原始数列为x2(0)(k)。令原始数列x1(0)的平移量为C′,原始数列x2(0)的平移量为C″。由于:

可求得:

对于x1(0),要满足平移后级比不小于,取其最小值代入式(9),可得:

对于x2(0),要满足其平移后级比不大于,取其最大值e2n+1代入式(9),可得:

原始数列x(0)只能有一个平移量,平移量越大,越能够满足级比的要求,所以取最小平移量为:

这样选取的最小平移量C,既能够满足平移后的数据级比落在界区之内,又能够保证C值不至于过大而影响模型的可靠性。

3 实例分析

天津某基坑坐落于天津滨海新区临空产业区内,该基坑地下1层、地上4层,建筑面积16 927m 2,基础采用预制预应力混凝土空心管桩、独立承台基础结构,基坑开挖面积近10 000m 2,基坑开挖最大深度为8.2m。基底所处淤泥质土层,埋深浅且厚,降水困难。在基坑施工过程中根据设计要求在基坑围护结构冠梁上布设监测点,本工程基坑冠梁布设水平位移监测点39个。先选用16号点Y方向上的部分水平位移资料进行预测,每次观测时间间隔为1d,观测值如表1所示。

采用此组16个数据进行建模,则级比界区σ(k)∈(0.889,1.125)。由表1可知有6个级比落在界区以外,且都是小于其下限。由上述公式可得最小平移量C=0.09,平移后数据如表2所示。

对平移后的数据进行GM(1,1)建模,即可得精度较高的模型,其模型精度为P=93.36%,具体见表3。

4 结语

1)由最后的实例可以看出,本文提出的平移量的确定方法可以一次得到满足界区理论的数据,可以有效的提高建模的效率。

2)由最小平移量变换后的数据建立的模型并不是精度最高的模型,若想提高其精度,可在最小平移量的基础上适当的增大平移量直到精度达到要求为止

摘要：在GM(1,1)建模中,级比界区的理论基础上,推导了平移变换时最小平移量的公式,通过对某基坑监测数据的建模分析,验证了此理论的正确性,此理论的提出可以提高灰建模的速率,同时也减小了模型失真的可能。

关键词：灰理论,GM(1,1)模型,平移量

参考文献

[1]朱成林,花向红,邱卫宁.改进的灰色建模及在沉降监测点重建中的应用[J].测绘工程,2009,18(3):69-72.

[2]梁新美,胡友健,陈刚.灰色加权模型在深基坑变形预测中的应用[J].工程地球物理学报,2008,5(5):624-627.

[3]何习平,华锡生,何秀凤.加权多点灰色模型在高边坡变形预测中的应用[J].岩土力学,2007,28(6):1187-1191.

[4]雷学文,白世伟,孟庆山.灰色预测在软土地基沉降分析中的应用[J].岩土力学,2000,21(2):145-147.

平移变换 第4篇

“南海一号”古沉船的发现和打捞事件是当时一则很有影响力的新闻, 在我的脑海里印象较深, 当我教学到“平移变换”这一课时, 马上联想到了这则“新闻”, 其打捞过程的动画应该是“平移变换”教学的很好例子, 于是到网上搜索, 很快就找到了。以媒体事件引入, 以媒体事件为研究对象, 能让学生体会到学习的意义和价值所在, 更能激发学生的学习兴趣与激情, 让学生在欣赏、观察、思考中去发现问题, 学科教学目标就在他们的自主探索中得以落实。

一、”平移变换“的教学目标

“平移变换”这节课是浙教版七年级 (下) 第二章《图形和变换》中的第三节, 把它的教学目标确定为:

(一) 借助“南海一号”古沉船打捞过程的动画, 认识平移变换,

理解平移变换的性质, 并会按要求作出简单平面图形经平移变换后所得的像, 同时能利用平移的方向和移动的距离来描述一个平移变换。

(二) 借助“南海一号”古沉船打捞视频, 让学生经历欣赏、观

察、分析以及抽象概括等过程, 经历探索平移变换性质的过程, 探求图形平移的作法, 体验“以局部带整体”的作图思想方法。

(三) 借助“南海一号”古沉船打捞事件, 使学生懂得观察生活,

联系实际, 体验用数学知识解释生活问题的乐趣, 激发数学学习兴趣, 培养学生的科学探究精神及积极与他人合作交流的意识。

二、“平移变换”的教学环节设计

教学的开展都是围绕着教学目标而进行的, 下面就“南海一号”古沉船打捞这则媒体事件在本堂课中的几个环节应用加以说明:

(一) 情境创设:“南海一号”背景介绍, 幻灯片出示:

800多年前的某一天, 一艘漂亮的尖头船满载着精美的瓷器, 从中国沿海出发, 沿着古代海上丝绸之路, 朝着新加坡、印度等东南亚地区驶上了太平洋。不幸的是, 当它行经如今广东省阳江市海域时, 灾难发生了, 尖头船沉没了。幸运的是, 层层淤泥将其紧紧包裹, 几百年了, 上面的瓷器仍然闪着炫目的光泽。这就是“南海一号”, 一艘文物价值堪比兵马俑的“宝船”。

接着播放媒体事件:“南海一号”打捞实况, 并播放打捞的动画, 包括沉井、穿梁、起浮、拖航四个阶段, 南海一号古沉船被顺利地送入水晶宫。

(二) 合作学习:带着以下问题, 再一次去观看“南海一号”的打捞动画。

1.“南海一号”从发现到打捞, 整整20年, 对“南海一号”的打捞有什么要求?能不能把古船分开打捞?

2. 南海一号打捞过程中的“沉井”“穿梁”的作用是什么?

3. 南海一号打捞过程中的“起浮”“拖航”的运动中, 古船各部分运动的方向相同吗?各部分运动的距离怎样变化?

学生带着问题去欣赏和观看视频, 通过这个具体实例的呈现, 把学生放在现实情景中去认识平移变换的概念。概念的过程性学习, 加深了学生对平移变换的理解。

(三) 探究新知:

在合作学习的基础上, 通过把“南海一号”打捞动画中的“起浮”“拖航”部分, 抽象成数学几何运动, 经历探索平移变换性质的过程, 探求图形平移的作法。

平移变换的性质:平移变换不改变图形的形状、大小和方向, 连接对应点的线段平行 (或在同一条直线上) 而且相等。在得出平移变换的性质后, 再一次播放视频, 让学生对照平移变换的几个要素 (距离、方向) 去思考, 如果在打捞过程中, 不是平移变换, 古船打捞出来会怎么样?如果古船在打捞过程中某一部分移动的距离不同, 会出现什么情况, 如果不同部分移动的方向有差异, 又会出现什么情况等等, 就能让学生进一步理解了平移变换的性质, 对图形平移的作法, 对“以局部带动整体”的作图思想和方法有了更进一步的体验, 也明白了古沉船打捞的难度所在。

三、“平移变换”的教学反思

课后进行了反思, 适时利用合适的媒体事件资源, 能有效地促进课堂教学效果, 也有了以下的几点体会:

(一) 《义务教育数学课程标准》指出:

“在教学活动中, 教师要创造性地使用教材, 积极开发、利用各种教学资源, 为学生提供丰富多彩的学习素材。”数学老师要时时用数学的眼光去观察生活, 以选取和开发我们的课堂教学资源, 让生活中的这些资源切切实实地为课堂教学服务, 为学生的发展服务。

(二) 教学资源的选择, 应根据教学目标的需要而定, 教学资源的运用应以能取得良好的课堂教学效果而展开。

选用和运用“南海一号”打捞事件这则媒体事件, 正是遵循这一原则, 取得了预想中的效果。

(三) 新课程理念倡导的“自主、合作、探究、实践”的学习方式, 是以学生的自主学习为基础。