方程与不等式测试题

方程与不等式测试题（精选11篇）

方程与不等式测试题 第1篇

《方程与不等式》测试题

（时间60分钟，满分100分）

班级__________学号______姓名__________成绩________

一、选择题（本题有10个小题, 每小题3分, 满分30分 ,下面每小题给出的四个选项中, 只有一个是正确的.）

1．不等式组x20

x30的解集是（）

A.x2B.x3C.2x3D.无解

2．解集在数轴上表示为如图1所示的不等式组是（）

A．x3x3B． x≥2x≤2

图1x3x3C．D． x≥2x≤

23．若关于x的方程

A．3m1x0有增根，则m的值是（）x1x1B．2C．1D．－

1x22x34．分式的值为0，则x的取值为（）x1

A、x3B、x3C、x3或x1D、x3或x

15．一元二次方程x4x40的根的情况为（）

A．有两个相等的实数根

C．只有一个实数根

22B．有两个不相等的实数根D．没有实数根 6．用配方法解方程x6x20，下列配方正确的是（）

A．(x3)11

D．(x3)7

27．已知三角形两边长分别为3和6，第三边是方程x6x80的解，则这个三角形2B．(x3)72C．(x3)9 2

2的周长是（）

A．11B．13C．11或13D．11和

3Y

8．若X2+2XY4=0，则X的值为（）

A．1B．0C．-1D．-2

xy3

9．二元一次方程组的解是：（）

2xy0

A． 

x1

B． y2x1x2x1

C．D． y2y1y2

10．某校初三（2）班40名同学为“希望工程”捐款,共捐款100元.捐款情况如下表：

表格中捐款2元和3元的人数不小心被墨水污染已看不清楚.若设捐款2元的有x名同学,捐款3元的有y名同学,根据题意,可得方程组

xy27A、

2x3y66xy27



3x2y100

xy27

B、

2x3y100xy27C、 D

3x2y66、二、填空题(本题有6个小题,每小题3分, 共18分)11．方程x14的解为

212．已知一元二次方程2x3x10的两根为x1、x2，则x1x213．方程4x2(k1)x10的一个根是2，那么k_____，另一根是 14．代数式

1x

2x的值不大于8的值，那么x的正整数解是

4215.已知关于x的方程xk2(x2)的根小于0，则k的取值范围是

16．某公司成立3年以来，积极向国家上缴利税，由第一年的200万元增长到800万元，则

平均每年增长的百分数是

三、解答题(本大题有4小题, 共52分，解答要求写出文字说明, 证明过程或计算步骤)17．解下列方程（每题6分，共12分）

（1）x2＋3＝3(x＋1)（2）

4

1x1x

18．（本题满分12分）某公司开发生产的1200件新产品需要精加工后才能投放市场，现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品．公司派出相关人员分别到这两间工厂了解生产情况，获得如下信息：

信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天； 信息二：乙工厂每天比甲工厂多加工20件．

根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？

19．（本题满分14分）己知一元二次方程x2xm20有两个不相等的实数根x1，x2。（1）求实数m的取值范围；

（2）是否存在实数 m，使方程的两实数根互为倒数？如果存在，求出m的值；如果不

存在，请说明理由。

20．（本题满分14分）如图所示要建一个面积为150m的长方形养鸡场,为了节约材料,鸡场的一边靠着原有的一条墙,墙长为am,另三边用竹篱笆围成,已知篱笆总长为35m.(1)求鸡场的长与宽各为多少米?

(2)试讨论题中的墙长度am对题目的解起着怎样的作用?

方程与不等式测试题 第2篇

1、妈妈给明明a元，明明买了m个笔记本，还剩b元,每个笔记本元?

2、一块长方形花坛的面积是120平方米,长x米,宽米?

3、七年级植树68棵,八年级比七年级多植x棵,那么68+x表示。

4、甲乙两人分别从两地相向而行，七小时后相遇，甲每小时行x千米，乙每小时行y千米，两地相距 千米.5、当x= 时，(60-5x=0)

二、判断。对的在括里面打“√”，错的在括号里面打“×”。

1、含有未知数的式子叫方程。()

2、x=9是方程。()

3、方程一定是等式。()

4、a是自然数则2a+1一定是奇数。()

5、5与6的平方和写作(5+6)2。()

6、m的2倍与n的差写成式子是2m-n，这个式子是方程。()

7、x+x=x2。()

8、72-5x=47的解是5。()

9、一项工程，甲队单独做需要m小时，乙队单独做需要n小时，如果两队合作，完成任务需要的时间是7小时，那么(1/m+1/n)t=1。()

三、选择。将正确答案的序号填在括号里。

1、M2表示()。

A、m的2倍。B、2个m相乘。C、m+m2、下面的式子中()是方程。

A、6x-1B、3x+8﹥20C、81-X=723、X的1/2比36的2/3少10列出的方程是()。

A、1/2x-36×2/3 B、36×2/3+10=1/2XC、1/2X+10=36×2/

34、甲数是a，比乙数的2倍多b，表示乙数的式子是()。

A、(a+b)÷2B、(a-b)÷2C、2/a-b

四、解方程。

X/5=25%3x+2/3x=145(x+2)=4(x+9)1/18+1/5x=1/4×2/9

五、列方程解文字题。

1、有一个数，它的1.5倍与34的和得109，这个数是多少?

2、一个数的5倍是8的1.5倍，求这个数。

3、一个数的7/10比15的2/3多12求这个数。

六、解决问题。

1、七年级三个班共有51人，一班的人数是二班的3/4，三班的人数是二班的4/5,这三个班里各有多少人?

方程与不等式难点分析 第3篇

一、分母中含有小数的方程

利用分数的性质,使分数的分子和分母同时扩大相同的倍数,将小数化为整数.

例1.

分析 分数线有“除法”和“括号”的双重含义,分数的基本性质与等式的基本性质不能混淆,例如本例中分子分母同时乘10或100而右边的1保持不变,注意与去分母的区别.

解:方程可化为,

去分母,得30x-7(17-20x)=21,

解得x=14/17.

二、解含字母系数的方程

解含字母系数的方程时,一般化为最简形式ax=b,再分类讨论进行求解.

例2解关于x的方程:1/3m(x -n)=1/4(x+2m).

分析 这个方程化为标准形式后,未知数x的系数和常数都是以字母形式出现的,所以方程的解的情况与x的系数和常数的取值都有关系.

解:原方程可化为:

(4m-3)x=4mn+6m.

当m≠34时 ,原方程有 唯一解;

当m=3/4,n=-3/2时,原方程有无数个解;

当m=3/4,n≠-3/2时,原方程无解.

三、含参数的二元一次方程组

对于某些含有三个未知数的方程组,可以把某个未知数看作已知数,其他的未知数都用这个字母表示,代入所求的关系式,从而达到求解的目的.

例3已知x、y、z适合方程 组,,求的值.

分析 把z看作已知数.

解:,解之得

所以.

四、不等式的性质

当不等式的两边都乘(或除以)同一个数时,可以根据所乘数的符号合理应用不等式的基本性质,但当不等式的两边都乘(或除以)同一个式子时,如果式子的符号可以确定,只要根据基本性质判断是否需要改变不等号的方向即可,若式子的符号不确定,则需要分类讨论.

例4比较5a和4a的大小.

分析 由于a是一个字母,符号不确定,因此判断5a与4a的大小关系时要根据a的符号情况进行分类讨论.

解:当a>0时,5a>4a;

当a=0时,5a=4a;

当a<0时,5a<4a.

五、一元一次不等式的特殊解

一元一次不等式的特殊解是指在一元一次不等式的解集中找出满足特殊条件的解,常见的有整数解、自然数解、最小(大)整数解等,解决这类问题一般先解出一元一次不等式,然后在不等式解集范围内找出特殊解,必要时可以利用数轴.

例5若不等式2(x+1)<3(x-1)+9的最小整数解是方程1/3x-5=mx的解,求代数式m2-2m+4的值.

分析 首先解 出不等式2(x+1)<3(x-1)+9的解集,找出最小整数解,代入方程1/3x-5=mx中求出m的值,最后把m的值代入代数式求值.

解:解原不等式得x>-4,

则原不等式的最小整数解是x=-3.

把x=-3代入方程1/3x-5=mx,解得m=2.

当m=2时,m2-2m+4=4.

六、含字母常数的不等式组解集的讨论与确定

由于字母常数的不确定性,所以确定解集比较困难,解决这类问题先根据解不等式组的一般步骤解出各个不等式,然后利用数轴分析. 注意在数轴上表示各个不等式解集时要充分考虑到字母常数的位置特征,必要时需要分类讨论,数形结合思想是解决这类问题的关键.

例6解答下列各题:

(1) 若不等式组,无解,求a的取值范围;

(2) 已知关于x的不等式组,的整数解共有3个,求a的取值范围.

分析 (1)不等式组无解,依据“大大、小小无解集”或利用数轴可得a+1≥3a-1,解不等式可得a的取值范围;(2) 解不等式组可得,由于不等式组有解,所以解集应为a<x<1,而在该范围内有三个整数解,应该是-2,-1和0,因此可得a的取值范围是-3和-2之间,能取到-3不能取到-2.

解:(1) a≤1.(2) -3≤a<-2.

七、方程应用中的间接设未知数

在某些应用题中,如果对未知数直接设元,可能无法与题中的已知量、未知量建立联系,则需要间接设元,通过相关未知量来寻找等量关系列方程求解,从而解决问题.

例7从甲地到乙地,先下山后走平路. 某人骑自行车从甲地以每小时12千米的速度下山,而以每小时9千米的速度通过平路,到乙地55分钟,他回来时以每小时8千米的速度通过平路,而以每小时4千米的速度上山,回到甲地用了1.5小时. 求甲、乙两地的距离.

分析 直接设甲、乙两地距离为未知数,则无法与题中的已知量、未知量建立联系,因此考虑间接设元,设山路长为x千米,利用等量关系“去时所走平路长=回时所走平路长”建立方程,解决问题.

解:设山路长为x千米,由题意,得:

解得:x=3,所以平路长,甲、乙两地的距离为6+3=9(千米).

方程与不等式测试题 第4篇

不要为你在数学上的难处担心，我向你保证我的更多.

——爱因斯坦(1879-1955)

一、填空题（每小题3分，共27分）

1． 方程3x+5=8的解是____，则函数y=3x+5在____时的函数值是8.

2． 如图1，观察函数y=2x+6的图象可知：当x____时，2x+6=0；当x____时，2x+6>0；当x____时，2x+6<0.

3． 不等式-2x-6>3x+4的解集，表示同一个自变量x的值使函数y=-2x-6的图象上的点在函数y=3x+4的图象上的点的____方.

4． 如图2，一次函数y=ax+b的图象经过A、B两点，则关于x的不等式ax+b<0的解集是____.

5． 直线l1：y=k1x+b与直线l2：y=k2x在同一平面直角坐标系中的图象如图3所示，则关于x的不等式k2x>k1x+b的解集为____．

6． 直线y=-3x-2与直线y=2x+8的交点坐标为____，两直线与x轴所围成的三角形的面积为____.

7． 二元一次方程组x-y+5=0，3x+2y=10的解x=0，y=5可以看成是一次函数____与____图象的交点坐标.

8． 某单位要制作一批宣传材料.甲公司提出：每份材料收费20元，另收3 000元的设计费.乙公司提出：每份材料收费30元，不收设计费.制作____份宣传材料时，选甲公司合算.

9． 图4中l1反映了某公司产品的销售收入y（单位：元）与销量x（单位：件）的关系，l2 反映了该公司产品的销售成本y（单位：元）与销量x（单位：件）的关系.当该公司赢利（即收入大于成本）时，销售量必须____．

二、选择题（每小题3分，共27分）

10． 以方程x-y=5的解为坐标的所有点组成的图形是直线（）.

A. y=x-5 B. y=x+5

C. y=5-xD. y=-x-5

11． 下列说法中正确的是（）.

A. 方程2x-11=0的解可以看做直线y=2x-11与y轴交点的横坐标

B. 方程2x-11=0的解可以看做直线y=2x-11与x轴交点的横坐标

C. 方程2x=11的解可以看做直线y=2x+11与y轴交点的横坐标

D. 方程2x=11的解可以看做直线y=2x+11与x轴交点的横坐标

12． 已知直线y=kx+b与直线y=3x-1交于y轴上同一点，则b的值是（）.

A. 1 B. -1C.D. -

13． 已知方程2x+1=-x+4的解是x=1，则直线y=2x+1与y=-x+4的交点是（）.

A． （1，0）B． （1，3） C． （-1，-1） D． （-1，5）

14． 已知一次函数y=kx+b的图象如图5所示，则当x<0时，y的取值范围是（）.

A. y>0B. y<0C. -2

15． 用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作出相应的两个一次函数的图象（如图6），则所解的二元一次方程组是（）.

A． x+y-2=0，3x-2y-1=0 B． 2x-y-1=0，3x-2y-1=0

C． 2x+y-1=0，3x-2y-5=0 D． x+y-2=0，2x-y-1=0

16． 已知二元一次方程x+y=3与3x-y=5有一个公共解x=2，y=1，那么一次函数y=3-x与y=3x-5在直角坐标系内的交点坐标为（）.

A. （1，2）B. （2，1）C. （-1，2）D. （-2，1）

17． 方程x-y=3与x-y=2没有公共解，由此可知一次函数y=x-3与y=x-2的图象间的关系必定是（）.

A. 重合B. 相交C. 平行D. 无法判断

18． 图7是甲、乙两家商店销售同一种产品的销售价y（单位：元）与销售量x（单位：件）之间的函数图象.有下列说法：①售2件时，甲、乙两家售价一样；②买1件时，买乙家的合算；③买3件时，买甲家的合算；④买乙家的1件，售价约为3元.其中正确的说法是（）.

A. ①、②B. ②、③、④

C. ②、③D. ①、②、③

三、解答题

19． （6分）用画函数图象的方法求出解或解集.

（1）3x-1=2x+2；（2）10x-8>7x+4.

20． （10分）当自变量x的取值满足什么条件时，函数y= x+3的值满足下列条件？

（1）y=0；（2）y>0；（3）y<0；（4）y=-6；（5）y>3.

21． （6分）求图8中两直线的解析式及图象交点的坐标.

22． （8分）小东从A地出发以某一速度向B地走去，同时小明从B地出发以另一速度向A地走去，图9中的l1、l2分别表示小东、小明离B地的距离y（单位：km）与时间x（单位：h）的关系.

（1）试用文字说明交点P所表示的实际意义；

（2）试求出A、B两地之间的距离.

23． （8分）某图书馆开展两种租书业务，一种是使用会员卡，另一种是使用租书卡.每种卡租书金额y（单位：元）与租书时间x（单位：天）之间的关系如图10所示.

（1）分别写出两种卡租书的金额y与租书时间x之间的函数关系式.

（2）两种卡每天租书的费用分别是多少元？

（3）若两种租书卡的使用期限为一年，则在这一年中，如何选取这两种租书卡比较合算？

24． （8分）某单位要印刷一批北京奥运会宣传资料.在需要支付制版费600元和每份资料0.3元印刷费的前提下，甲、乙两个印刷厂分别提出了不同的优惠条件.甲印刷厂提出：若印刷数量超过2 000份，超过部分的印刷费可按九折收费；乙印刷厂提出：若印刷数量超过3 000份，超过部分的印刷费可按八折收费.

（1）如果该单位要印刷2 400份，那么甲印刷厂的费用是____元，乙印刷厂的费用是____元.

（2）请根据印刷数量的多少，讨论该单位到哪家印刷厂印刷资料费用较低.

四、能力拓展题

25． （10分）如图11，在等腰△ABC中，∠B=90°，AB=BC=4 m.点P以1 m/min的速度从点A移动到点B，同时点Q以2 m/min的速度从点B移动到点C.当一个点到达终点后另一点停止移动.

（1）哪一个点先到达终点？

（2）从出发到停止用时多少？为什么？

（3）设经过x min后，△PCB的面积为y1 m2，△QAB的面积为y2 m2，分别写出y1、y2与x的函数关系式.

（4）移动多长时间时，（3）中两个三角形的面积相等？

（5）移动时间在什么范围时，△PCB的面积大于△QAB的面积？△PCB的面积小于△QAB的面积？

26． （10分）汶川大地震后，某健身器材销售公司通过当地红十字会向灾区献爱心，捐出了五月份全部销售利润．已知该公司五月份只售出甲、乙、丙三种型号器材若干台，每种型号器材不少于8台.而五月份支出，包括这些器材进货款64万元和其他各项支出（含人员工资和杂项开支）3.8万元.这三种器材的进价和售价见表1，人员工资y1（单位：万元）和杂项开支y2（单位：万元）分别与总销售量x（单位：台）成一次函数关系（如图12）.

（1）求y1与x的函数关系式；

（2）求五月份该公司的总销售量；

（3）设该公司五月份售出甲种器材t台，五月份总销售利润为W（万元），求W与t的函数关系式；（销售利润=售价-进价-其他各项支出）

（4）请推测该公司这次向灾区捐款金额的最大值.

注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文

专题二 方程与不等式教案 第5篇

一、教学目标：

1、理解一次方程、一元二次方程和分式方程及一元一次不等式的概念；

2、重点掌握三种方程和一元一次不等式的解法；

3、掌握方程及不等式的应用。

二、教学重点、难点：

重点：方程及不等式的解法 难点：方程及不等式的应用

三、教学过程：

1、课堂引入：（15—20分钟）

（1）上节知识回顾：

各位同学，大家好!首先，让我们来回顾上节课所学的内容——数与式。数与式的重难点是关于实数的运算和整式的运算，所以我们必须牢牢掌握所有的运算公式。①a01(a0)②apm1(a0,p是正整数)pama(m为偶数)am(a0)③ a(m为奇数)（奇负偶正）

幂的运算：

①同底数幂相乘aaa②幂的乘方amnmn(m,n都是整数)

mnamn(m,n都是整数)

nn③积的乘方abab(n为整数)n④同底数幂相除aaa

乘法公式： mnmn(m,n都为整数)

①平方差公式ababab

2222②完全平方公式aba2abb 22222abab2abab2ab③常用恒等变形

22abab4ab（2）本讲导入：

本讲我们要复习的是方程与不等式，接下来我们来看看方程与不等式在中考当中的题型及考察点： 一般情况下，选择题，填空题各1题（考察方程或不等式的应用）

大题1题（考察解方程或解不等式）

所以，本讲的重难点就是解方程或不等式及方程或不等式的应用

2、做课前检测试卷（20—30分钟）（1）做课前检测试卷

（2）请第一位做好的同学在白板上书写最后一题大题解题步骤（3）按照出错率由高到低依次讲解（老师讲解）

3、复习重难点：（60分钟）（1）解一元一次方程的步骤：

①去分母②去括号③移项④合并同类项⑤系数化为1（2）一元二次方程的解法：

① 直接开平方法：适合于xabb0或axbcxd形式的方程 ②因式分解法：把方程化成ab0的形式，得a0或b0

222bb24ac③公式法：当b4ac0时，x

2a2④配方法：配成完全平方的形式，再利用①

（3）分式方程的解法：

方程两边同乘分式的最简公分母，约去分母，化为整式方程，在求根，验根

（4）一元一次不等式的解法：

①去分母②去括号③移项④合并同类项⑤系数化为1

4、做课堂达标试卷（20—30分钟）（1）做课堂达标试卷

（2）请第一位做好的同学在白板上书写最后一题大题解题步骤（3）按照出错率由高到低依次讲解（学生讲解，老师补充）

四、反思与总结：

中考数学方程与不等式知识结构图 第6篇

方程: 含有未知数的等式叫做方程．

方程的解:能使方程两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解．

解方程:求方程的解的过程叫做解方程．

定义: 只含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式方程叫做一元一次方程.(1)一元一次方程 解法: 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．

: 含有两个未知数，且未知项的次数都是1的整式方程，叫做二元一次方程．由这样的几个方

(2)二元一次方程(组程所组成的方程组叫做二元一次方程组．方程组里各个方程的公共解叫做这个方程组的解．

分类: 基本思想是消元，基本方法是代入消元法、加减消元法．

方程(组)定义:只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．它的一般形式为

axbxc0(a0).(3)一元二次方程解法;直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法．

根的判别式(b4ac):当0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当0时，一元二

次方程有两个相等的实数根；当0时，一元二次方程没有实数根．以上结论，反之亦成立.方:分母中含有未知数的方程叫做分式方程．

程(4)分式方程 解法：其基本思想是将分式方程转化为整式方程，其方法是运用等式性质在方程两边同乘以最简公分母．解与分式方程必须要验根．有时也可采用换元法．

应用: 一般步骤:①审清题意，找出等量关系；②设未知数；③列出方程(组)；④解方程(组)；⑤检验方程(组)的根；⑥作答． 等式不等式:用不等号表示不等关系的式子叫做不等式．

不等式的解: 使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解．

有关概念不等式的解集:一个不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称为这个不等式的解集．

:求不等式的解集的过程，叫做解不等式．

性质1: 如果a＞b，那么a＋c＞b＋c，a－c＞b－c．

不等式的性质性质2: 如果a＞b，并且c＞0，那么ac＞bc．

性质3: 如果a＞b，并且c＜0，那么ac＜bc．

: 只含有一个未知数,且未知数的最高次数是1的不等式．

不等式（组）一元一次不等式解法: 基本步骤是:去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1．特别要注意当系数化为1时, 不等式两边同乘以（或除以）同一个负数,不等号的方向必须改变．

分类: 几个未知数相同的一元一次不等式所组成的不等式组叫做一元一次不等式组．

解法: 求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出解集的公共部分．解集有如下规律: 同大取大；

同小取小；大小小大取中间；大大小小题无解．

应用: 解不等式(组)在实际问题中的应用，关键是使学生能从实际问题中抽象出数量关系，列出不等式（组），建立不等式模

一次函数与方程不等式教学反思 第7篇

1.能积极学习并采用多媒体课件进行授课。应用多媒体课件直观、明了的展示了一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的联系，且课堂容量大、课堂效率高。运用幻灯片让枯燥的理论知识直观、形象、生动起来，激发了学生学习的积极性。

2.能紧紧抓住教学重难点进行精讲精练。本节课重难点是让学生掌握一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的联系，会用函数的观点解释方程和不等式及其解或解集的意义，掌握用图象求解方程、不等式的方法。教学时，每讲一个知识点，我都会及时给予训练题进行巩固，让学生理解理论知识的应用价值，从而把难点知识逐一击破，也让学生一点一点的感悟到用函数模型解决问题的可操作性和简便性。

3.“数形结合”思想的完美体现。我能够从“数”的方面来解释方程的解及不等式的解集，反过来，又利用一次函数图象从“形”方面直观地表示方程和不等式的解或解集的含义。实质就是图象上对应点的自变量的取值或取值范围。这节课让学生充分感受到“数形结合”思想的重要性。

4.课堂练习设置恰当。练习量适中，能达到及时训练巩固的目的；练习题的难度有梯度，层层递进；题型新颖，有选择、填空、回答、解答题型，让学生从不同角度理解知识，提高理论知识的认识水平；难度把握较好，情境

1、情境2属于铺垫性练习，探究题属于讨论性题型，练习题属于巩固性题型，最后的热气球问题属于拔高性题型。

教学不足：

1.课堂容量有些大，学生组内讨论时间较少。

方程、不等式与函数思想探讨 第8篇

方程的思想, 就是分析数学问题中变量间的等量关系, 建立方程或方程组, 或者构造方程, 通过解方程或方程组, 或者运用方程的性质去分析、转化问题, 使问题获得解决.方程的数学是对方程概念的本质认识, 用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题.方程思想是动中求静, 研究运动中的等量关系.

函数和方程是密切相关的, 对于函数y=f (x) , 当y=0时, 就转化为方程f (x) =0, 也可以把函数式y=f (x) 看做二元方程yf (x) =0.函数问题 (例如求反函数, 求函数的值域等) 可以转化为方程问题来求解, 方程问题也可以转化为函数问题来求解, 如解方程f (x) =0, 就是求函数y=f (x) 的零点.

函数与不等式也可以相互转化, 对于函数y=f (x) , 当y>0时, 就转化为不等式f (x) >0, 借助于函数图像与性质解决有关问题, 而研究函数的性质, 也离不开解不等式.

函数与方程是密切相联的.有时运用方程解函数问题, 把函数关系式用解析式表达, 并把解析式看做一个方程, 通过解方程的手段或对方程的研究、讨论, 使问题得以解决.运用函数的思想处理方程的问题, 即把方程中的“未知数x”升华为函数的“自变量x”, 变静态为动态的函数的思想和方法.

本文从四个方面, 利用方程、不等式与函数关系, 通过函数与方程、不等式的转化, 不仅帮助学生解题, 而且可以活跃学生思维, 有助于学生理解数学概念, 开拓解题捷径, 培养学生学习的兴趣, 收到事半功倍的效果.

一、深入理解概念, 灵活解题

例1:已知函数则f-1 (3) .

分析:按照学生常规解题思路, 先求f (x) 的反函数f-1 (x) , 再求当x=3时的函数值.如果对反函数概念理解深入透彻, y=f (x) 与y=f-1 (x) 是互为反函数, 反函数的定义域是原来函数的值域, 则f-1 (3) , 实际上是当y=3时, 函数中应有的x的值.把求反函数值的问题转化为求一个分式方程解的问题, 观点高明, 解法也简便.

二、利用方程思想, 探求函数性质

例2:若 (x≠0) 是偶函数, 且g (x) ≠0, 则g (x) 是 (%%)

A.奇函数 B.偶函数

C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数

分析:根据函数奇偶性定义

函数 (x≠0) 的定义域是{-∞, 0) ∪ (0, +∞)

对于任意x∈{-∞, 0) ∪ (0, +∞)

若g (-x) =g (x) 成立, 则g (x) 是偶函数;

若g (-x) =-g (x) 成立, 则g (x) 是奇函数;

由于函数关系式繁琐, 不选用定义证明它的奇偶性.而挖掘其隐含条件, 构造g (x) 与g (-x) 的关系式, 体现了方程的思想.

由于G (x) 是偶函数

解此方程得:g (-x) =-g (x)

根据函数奇偶性定义

∴g (x) 是奇函数.

三、利用函数特征, 巧设方程

例3:设f (x) 是偶函数, g (x) 是奇函数, 且f (x) +g (x) =ex+1, 求f (x) .

分析:此题一个等式两个未知量.因此, 需利用隐含条件, 再造一个方程, 组成方程组来解.

解:∵f (x) 是偶函数

又∵g (x) 是奇函数

四、灵活运用“数”“形”结合

例4:关于x的二次方程:2x2+3x-5m=0有两个小于1的实根, 求m的取值范围.

分析:令f (x) =2x2+3x-5m, 二次函数f (x) =2x2+3x-5m的图像是开口向上的抛物线, 它与x轴交点的横坐标均小于1, 对称轴在x=1的左侧, 所以一元二次方程根的分布问题结合函数图像转化为不等式组来解.

本题如按常规方法来解:平方展开, 得出一个繁杂的式子, 往下思路一般会受阻.下面结合图像, 利用解析几何知识来解.

所以将y看成是坐标平面上动点P (x, 0) 到定点A (0, -3) , B (4, 5) 的距离之和.由于点P在x轴上, 点A、B在x轴的两侧, 因此|AP|+|BP|的最小值就是|AB|. (三角形两边之和必大于第三边)

此题这样处理, 大大简化了运算量, 而且很直观.

例6:当k∈ (0, 1/2) 时, 方程解的个数为 (%%)

A.0 B.1 C.2 D.3

分析:在同一坐标系内作函数y=kx, k∈ (0, 1/2) 和的图像, 得到三个交点, 故选D.

解:已知表明x和-2y是方程u3-sinu-2a=0的根,

而f (u) =u3+sinu-2a在u∈[-π/4, π/4]为单调递增函数,

所以x=-2y,

即cos (x+2y) =1.

函数思想与方程思想结合起来处理例7的综合问题.

总之, 对函数的研究离不开方程、不等式知识, 在处理有关方程、不等式的问题也离不开函数的观点, 关键在于沟通它们之间的内在联系, 系统地把握数学知识, 寻找解决问题的捷径.

摘要：本文从四个方面, 利用方程、不等式与函数关系, 通过函数与方程、不等式的转化, 不仅帮助学生解题, 而且可以活跃学生思维, 有助于学生理解数学概念, 探索解题捷径, 培养学生学习的兴趣, 收到事半功倍的效果。

关键词：方程,不等式,函数,思想探讨

参考文献

[1]蔡林森.教学革命——蔡林森与先学后教.首都师范大学出版社, 2010, 2.

[2]车希海.现代职业教育教学实用手册.山东科学技术出版社, 2008, 8, 第一版.

[3]徐长青.简约教学在返璞归真中见实效.中国教育报, 2010-5-21.

方程与不等式的交融 第9篇

例1 将一箱苹果分给若干个小朋友．若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有1个小朋友分不到8个苹果．求这箱苹果的个数与小朋友的人数．

解析：设有x个小朋友，y个苹果．

根据“每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果”，易知y＝5x＋12；由“每位小朋友分8个苹果，则有1个小朋友分不到8个苹果”可知，8（x－1）≤y＜8x．

故由题意， 得 y＝5x＋12，①

8（x－1）≤y＜8x． ②

把①代入②，并转化成不等式组，得8（x－1）≤5x＋12，

5x＋12＜8x．

解这个不等式组，得4＜x≤．因为x为正整数，所以x＝5，6．

当x＝5时，5x＋12＝37；当x＝6时，5x＋12＝42．

∴当小朋友有5人时，这箱苹果有37个；当小朋友有6人时，这箱苹果有42个．

例2 为了加强学生的交通安全意识，某中学和交警大队联合举行了“我当一日小交警”活动，星期天选派部分学生到交通路口值勤，协助交通警察维护交通秩序．若每个路口安排4人，那么还剩下78人；若每个路口安排8人，那么最后一个路口不足8人，但不少于4人．则这个中学共选派值勤学生多少人？共有多少个交通路口安排值勤？

解析：设这个学校选派值勤学生x人，共到y个交通路口值勤．

根据条件“每个路口安排4人，那么还剩下78人”可知x－4y＝78；再由“若每个路口安排8人，那么最后一个路口不足8人，但不少于4人”易知4≤x－8（y－1）＜8．

故由题意，得x－4y＝78， ①

4≤x－8（y－1）＜8．②

将①代入②， 得4≤78＋4y－8（y－1）＜8，解得19．5＜y≤20．5．

根据实际意义，y应为整数，所以y＝20，此时x＝158．

∴学校派出的是158名学生，分到了20个交通路口安排值勤．

例3 一商场计划到计算器生产厂家购进A、B两种型号的计算器．经过商谈，A型计算器单价为50元，100只起售，超过100只的部分，每只优惠20％；B型计算器单价为22元，150只起售，超过l50只的部分，每只优惠2元．如果商场计划购进计算器的总数量既不少于700只，又不多于800只，且分别用于购买A、B这两种型号的计算器的金额相等，那么该商场至少需要准备多少资金？

解析：设购买A型计算器x只，购买B型计算器y只． 由于商场计划购进计算器的总数量既不少于700只，又不多于800只，所以700≤x＋y≤800． 根据“A型计算器单价为50元，100只起售，超过100只的部分，每只优惠20％”知，购买x只A型计算器需要资金［100×50＋（x－100）×50×（1－20％）］元；再由“B型计算器单价为22元，150只起售，超过l50只的部分，每只优惠2元”可知，购买y只B型计算器需要资金［150×22＋（y－150）×（22－2）］元．由于购买A、B这两种型号的计算器的金额相等，所以100×50＋（x－100）×50×（1－20％）＝150×22＋（y－150）×（22－2）．

故由题意，得

700≤x＋y≤800，

100×50＋（x－100）×50×（1－20％）＝150×22＋（y－150）×（22－2）．

整理，得700≤x＋y≤800，①

y＝2x＋35． ②

把②代入①，得700≤x＋（2x＋35）≤800，解得≤x≤255．

设该商场所需资金为P元，则P＝2［100×50＋（x－100）×50×（1－20％）］＝80x＋2 000．

因为x为整数，且P随x的增大而增大，所以当x＝222时，P取最小值，为19 760．

∴该商场至少需要准备资金19 760元．

《等式与方程》教学反思 第10篇

这节课改变了传统的教法，从天平的平衡与不平衡引出等式，通过教师的引导，让学生去动脑筋思考，展示了学习的过程。学习的整个过程符合儿童认知发展的一般规律。从生活实际引进学生已有生活的经验，很自然地想到两种不同情况，并用式子表示，引出等式；其中有含有未知数、不含未知数的两种形式。体现“生活中有数学，数学可以展现生活”这一大众数学观，也体现了科学的本质是“来源于生活，运用于生活”。通过观察，探寻式子特点，再把这些式子进行两次分类，在分类中得出方程的意义，也看出了构成方程的两个条件，反映了认识事物从具体到抽象的一般过程。其中的观察、比较、分类，也是人类学习的基本手段、方法。

信任学生，充分发挥主体积极性。在教学过程中，放手让学生把各自的想法用式子表示出来，展示学生的学习成果；学习小组互相交流、检查，体现了学习的自主性；学习的过程、结果也由学生自己来体验、评价，大大激发了学生学习的积极性。

《等式与方程》教学反思 第11篇

本节课是在学生学会用字母表示数的基础上进行教学的，方程作为一种重要的思想方法，它对丰富学生解决问题的策略，提高解决问题的能力，发展数学素养有着非常重要的意义。本节课的教学设计是从学生已有的知识和经验出发，旨在引导学生经历将现实问题数学化的过程。

整节课先从观察天平两边的物体质量入手，先得出等式的含义，再结合具体的问题情境，使学生通过观察、分析和比较，在思考和交流中由具体到抽象，一步步地揭示出方程的含义。在例1和例2的教学基础上，及时组织学生讨论“等式和方程”有什么联系?帮助学生感受等式和方程的联系与区别，体会方程就是一类特殊的等式。当学生对等式和方程的联系与区别已有深刻领会后，让学生自己试着用语言来表述。“试一试”中，有些学生列出如“20-12=X”这样的方程，这时要进行强调，告诉学生尽量避免将未知数单独放在等式的一边。由于线段图很形象直观，学生看到了线段图上的大括号就想到了这是表示把两部分结合起来，很快就列出加法的方程。练一练的第一大题，对学生来说是重点，也是容易错的地方，很多学生只找出了不含未知数的等式，而没有想到方程也是等式，在这里要强调找的方法，先找等式，再在等式里找出方程。练习一的第二大题中的第2幅图“原有X本书，借出56本，还剩60本”，用方程表示数量关系时，还有部分学生写出了56+60=X这样的方程。这时，我便及时指出这样写的不合理性，让学生及时改正，强调过后，后面的练习题学生就顺利多了，没再出现以上这样的情况。

在教学过程中，我还有很多细节问题没有注意到，师父都给我一一指出来了。让我明白，课堂教学中教师应该做一个敏锐的观察者和引导者，针对学生出现的问题，应该及时地给予点拨和纠正，这样才能帮助学生排除学习中的困惑，让他们少走弯路，更好地理解和消化。

反思二：等式与方程教学反思

在之前的学习中，学生已经认识了等式以及用字母表示数，本节课主要是让学生借助具

体情境，从直观感知出发引出抽象的数学式子，从理性的角度理解并掌握等式与方程的意义。同时在观察、分析、比较、抽象、概括、交流合作中，体会方程与等式之间的异同点。能对方程与等式作出正确的判断。能在具体情境中根据数量关系列出符合题意的方程。最后，在活动中，培养学生良好的习惯，让学生获得成功的体验，进一步树立学好数学的信心，激发学习数学的兴趣。

在新授过程中，以旧知为起点，学生都能接受方程的意义、等式与方程的关系、看图列出方程。但是在判断哪些是等式，哪些是方程时，6+x=14许多学生写成是方程、而漏写了等式。当补充习题上再次出现同类问题时，还是有相当部分的学生出现疏漏。这说明学生还是没有深入理解等式与方程之间的关系。怎么会漏了等式呢?第一、虽然学生一直接触的是等式，但是他们一直是直观上感知着不同的式子，但不知道其实含有“=”的就是数学上的等式，更不用说等式的定义：左右两边相等的式子叫等式。学生的理解还不透彻、扎实。针对这一问题，我主要是让学生抓住等式的关键特征：“=”。更进一步，如果有了“=”还有了未知数，那这个等式还是方程。但是部分学生对于这样的式子

“+=100、60-a=55+b”不认为是方程。他们认为未知数一定是X、Y......，而不是其它符号。针对这一问题，我们通过讨论得出：只要不是具体数值，无论是符号，还是任意字母，都可以表示未知数。第二、学生的思维定势在作祟。因为一直以来我们的题目都是单选，没有多选的，导致学生不能肯定是写等式、方程，还是两个都写呢?当然第二方面也是由于学生理解概念不扎实、透彻，只有通过不同变式练习的辨析，学生才能逐步认清等式与方程的“真面目”。

从中，我也深知教学不能只是灌输，而是要边教边学，在教学中及时发现问题，寻找原因，解决问题，达到提升学生的知识与能力，培养学生思维的最终目的。

反思三：等式与方程教学反思

《等式与方程》这节课的教学内容较为简单，重点内容是认识方程和方程与等式之间的关系。我在教学这节课内容时通过例1的教学让学生自己>总结出什么是等式：含有等号的式子叫等式。再区别等式与我们以前的算式，如8+2是算式，而8+2=10就是等式。

例2是让学生观察天平写出算式，再根据天平的指针是否指向0刻度线来判断左右两边的算式是否相等。接下来回答课本上的问题：“那些是等式?”学生很容易就能回答出右

边的两个是等式。那左边的两个叫什么呢?学生们思考了一下，没有一个人能回答的出来，此时我告诉学生这叫不等式。当学生们听了“不等式”三个字之后都笑了，当时我还没有反应过来，当我再说到“不等式”时，我明白学生们为什么会笑了，他们以为我说的是“不懂事”，所以我立马把“不等式”三个字写到黑板上，原来闹了一个小笑话。

对于方程的定义：含有未知数的等式叫方程，学生们明白定义中的关键字是未知数和等式，明白了这点我再问例1中的等式50+50=100是方程吗?学生们说不是，因为没有未知数。方程与等式之间有什么关系?指名几位学生回答，一般都能明白，但语言表述的不是很清晰，最后葛晨曦和赵龙新总结说：方程肯定是等式，但等式不一定是方程，总结的很好。

“练一练”，让学生自己写一些方程，通过指名回答，发现学生们的方程一般都是5X=60、12+X=30等，考虑到学生是否以为未知数只能表示正数?所以我在黑板上写了这样一个等式让学生判断它是否是方程：2+X=0，学生们纷纷说不是，我说它符合方程的定义吗?学生若有所思的说符合，原来未知数还可以表示负数。我接着问未知数除了可以表示正数和负数还可以表示什么?分数和小数，于是我要求他们再写几个未知数能表示分数、小数和负数的方程。未知数我们可以用任何一个字母来表示，但我们习惯性用字母X来表示。等式X+Y=20是方程吗?学生们基本上都能回答“是”，原因是因为有上面的思考，对于判断是否是方程，学生们会看方程的定义来判断。

下课后，有学生问我，这样的等式后面要写单位吗?这是我在上课时忽略的地方，含有未知数的等式也就是方程列出来之后，后面不需要带单位。

反思四：等式与方程教学反思

《等式与方程》是五下第一单元的第一课时，本课是在学生完成整数、小数的认识及四则运算的学习，学生已经积累了较多的数量关系知识，并且学生已经学会了用字母表示数的基础上教学的，学生有能力理解并掌握方程这一重要的数学思想方法。上课之前我先根据班级学生情况设计了教案和课件，希望在课上能根据教案的安排来教学，对于本节课的重点内容等式与方程的关系希望通过学生小组讨论来解决，而对于本节课的难点方程的计划让学生自己举例来强化记忆。课上也是通过这样的思路进行教学的，但教学过程中还是出现了很多问题，学生作业中也出现了一些意想不到的错误，先

分析本节课中出现的几个主要问题。

1、提出的问题指向性不明，学生不知如何作答。在教学例1的时候，学生写出了