二维小波阈值去噪方法

二维小波阈值去噪方法（精选7篇）

二维小波阈值去噪方法 第1篇

来源于数据采集与监控数据库的负荷数据是负荷预测和负荷特性分析的基础,也是对需求侧进行负荷调整/控制的依据。由于信道噪声等原因,历史负荷数据有时会出现锯齿状波动,影响负荷预测结果的准确率[1,2,3,4],而且对负荷特性分析,如空调负荷的测算和分析[5],也会造成负面影响。此外,高质量的负荷数据或准确的负荷预测结果是电力系统规划和运行调度的重要根据,在未来的智能电网中这尤为明显[6]。智能电表作为智能电网的重要组成部分,对负荷数据质量要求很高。未来大量电动汽车广泛接入电力系统后,其智能充放电方案的实现[7,8]也需要事先预测次日负荷,然后才能配合分时充放电价格机制,引导电动汽车用户在谷荷区段接入电力系统充电,而在峰荷区段向系统反向放电,从而达到缩小系统负荷峰谷差、提高设备利用率的效果。因此,有必要在对负荷数据中存在的异常数据进行辨识和修正的基础上,进一步对其进行去噪处理,以提高数据质量。

小波变换可以同时在时域和频域上对信号进行分析,能够较好区分信号中的噪声,从而实现对信号的去噪处理。因此,这种方法在负荷平滑处理中有着广泛的应用[9,10],本文将采用小波变换对负荷进行去噪处理。

到目前为止,关于负荷去噪的研究大都只单独考虑负荷的横向连续性或纵向连续性,即在一个维度中进行去噪处理,具有一定的局限性。有鉴于此,本文同时考虑了负荷的横向连续性和纵向连续性[2,11]。首先把负荷数据按照日期排列成二维数据集,其在横向上表示同一天的负荷数据而具有横向连续性,而在纵向上则是相邻日期同一时刻点的负荷数据,因而具有纵向连续性;然后对其进行归一化处理,就可以得到一个所有元素的值均在0~1之间的矩阵。由于形成的矩阵与灰度图像矩阵类似,可以采用基于图像的二维小波去噪方法进行去噪处理。最后,反归一化即得到去噪后的负荷数据。

目前已提出的基于图像的二维小波去噪方法包括模极大值法、相关法以及阈值法等[12],本文采用应用比较广泛的阈值法[13,14,15,16]。实例分析结果表明,基于二维小波阈值的负荷去噪方法是可行且有效的。

1 基于二维小波阈值的去噪方法

1992年,Donoho和Johnostne提出了小波阈值收缩方法[17],其基本思路[18]为:首先对含噪信号f(k)进行小波变换,将其分解为M层,得到一组小波系数wj,k,wj,k为第j层分解后的第k个高频系数;然后根据信号和噪声的不同性质,对小波系数wj,k进行阈值处理,从而得到小波系数w^j,k;最后对w^j,k进行重构,由此得到的重构信号f^(k)即为去噪信号。其中,w^j,k为第j层分解后的第k个高频系数的估计值。

基于小波变换的阈值去噪方法有2个主要问题需要解决,即如何确定阈值和如何选取阈值函数。

1.1 阈值的确定

阈值的选取直接关系到去噪效果。选取较小的阈值能保留较多的小波系数,这样保留的图像信息就较多,但同时保留的噪声也较多;反之,如果选取的阈值较大,保留的噪声就较少,但图像中一些有用的高频信息也会被去除。因此,如何确定阈值大小就显得尤为重要。

目前已经提出了几种阈值的选取准则[19,20],包括固定阈值准则、无偏风险估计准则、混合阈值准则和极大极小阈值准则等。相比于其他阈值选取准则,固定阈值门限准则相对简单,其只需知道小波系数数量和噪声信号的均方差,即可得出阈值,且能取得较好的去噪效果[17]。本文采用一种固定阈值门限准则的VisuShrink方法[17](或称全局阈值去噪方法)来确定阈值门限T,计算式如下:

式中:σ为噪声标准;N为信号的尺寸或长度。

σ可以通过分解的高频系数的绝对值中值来估计:

式中:j=1,2,,M;k=1,2,,Nj,Nj为第j层分解后的高频系数个数;wj,k为数列{wj,k}的中值。

1.2 阈值函数的选取

传统的阈值函数从总体上可分为硬阈值函数[17]和软阈值函数[21]。其中,硬阈值准则是保留不小于阈值的小波系数,而把小于阈值的小波系数都设为0,数学上可表示如下:

软阈值准则是把小波系数中小于阈值的设为0,把不小于阈值的减去阈值本身,数学上可表示如下:

根据式(3)与式(4),可描绘出硬阈值和软阈值函数的曲线如图1所示。

从图1可以看出,在硬阈值方法中w^j,k在T处不连续,这样利用w^j,k重构所得到的信号会产生一定程度的振荡;另一方面,用软阈值方法估计出的w^j,k虽然连续,但其导数不连续,因此在求取其高阶导数时存在困难,而且当|wj,k|>T时,w^j,k与wj,k总是不可避免地存在偏差,这样重构信号与真实信号的逼近程度就会受到影响[22]。

由上述可知,硬阈值函数与软阈值函数在去噪过程中均存在一定缺陷,对此已提出了不少改进方法,这里采用基于软硬阈值函数的加权平均阈值函数[20],简称半软阈值函数,其数学上可表示如下:

式中:μ为加权因子。

可以证明,式(5)所表示的阈值函数不但连续而且在大于阈值门限的小波域内有连续的高阶导数[10],适于处理具有连续特性的电力负荷数据的去噪。

2 电力负荷数据去噪处理流程

综上所述,对用于短期电力负荷预测的负荷数据进行二维小波阈值去噪的基本步骤如下。

步骤1:选择待预测日前n天每天96点负荷数据作为数据样本,并把负荷数据样本形成n行96列的二维数据集。

步骤2:对二维数据集进行归一化,形成二维灰度图像矩阵数据。

步骤3:对二维图像信号进行小波分解。对原始的含噪图像信号f(k)选取合适的小波基,进行M层小波分解,得到一组小波系数wj,k。

步骤4:对分解后的小波系数进行阈值处理。对于分解的每层小波,首先确定其阈值,然后对wj,k进行前述的半软阈值函数处理,得到估计系数

步骤5:采用二维小波对图像信号进行重构,即利用进行小波重构,得到重构信号即为去噪后的信号。

步骤6:对重构后的去噪信号进行反归一化,得到去噪后的负荷数据。

根据上述步骤,可画出其处理流程图,见附录A图A1。

3 实例效果分析

选取广东省2009年统调负荷20d每天96点负荷数据,共1 920个数据点作为样本(数据已经过不良数据辨识和修正,详细数据见附录A表A1),排列成20行96列的样本数据集。使用MATLAB小波变换工具箱,采用比较常用的小波基db4,给定分解层数M为3。利用前述的二维小波阈值去噪方法进行去噪处理。下面从去噪效果和日负荷预测准确率评价2个方面进行分析。

3.1 负荷数据去噪效果分析

常用的图像去噪效果评价指标包括均方误差(mean square error,MSE)、均方根误差(root mean square error,RMSE)、信噪比(signal to noise ratio,SNR)和峰值信噪比(peak signal to noise ratio,PSNR)4种[23,24,25],其中SNR和PSNR的单位是分贝(dB)。

对于一幅大小为mn,量化级为0~1的灰度图像f(x,y),各评价指标的定义如下:

式中:f^(x,y)为去噪后的重构图像。

采用二维小波半软阈值去噪方法与采用硬阈值函数和软阈值函数的去噪效果见表1。从表1的4个评价指标值可以看出,基于半软阈值函数时的二维小波阈值去噪方法的去噪效果优于基于硬阈值函数和软阈值函数的方法。

3.2 日负荷预测准确率评价

由于负荷数据序列一般为含有增长趋势和周期变化趋势的非平稳序列,这里采用差分自回归移动平均(auto-regressive integrated moving average,ARIMA)模型[26],分别用预处理前后的负荷样本数据进行预测,预测效果的评价指标采用日预测准确率[2]。

采用的ARIMA模型的主要步骤如下。

1)对原始负荷序列作差分运算,消除非平稳序列的增长趋势。

2)用周期性差分消除序列的周期变化趋势,得到平稳序列。

3)用自回归移动平均模型对得到的平稳序列进行拟合,采用长自回归计算残差法[26]确定相关参数。

一个星期内的预测结果见表2,从中可知,采用去噪处理后的数据时平均日预测准确率为95.19%,较未采用去噪处理的93.47%提高了1.72%。可见,采用二维小波阈值去噪方法对负荷数据进行处理后,预测精度有明显提高。

4 结语

二维小波阈值去噪方法不仅能实现对负荷的去噪处理,还能保持负荷在横纵方向上的变化趋势。原始负荷数据经此处理后能为负荷预测提供高质量的输入数据,在相当程度上提高预测精度。

摘要：历史负荷数据中的噪声会影响以其为基础所进行的负荷预测的准确性,有必要对负荷数据进行去噪处理。考虑到负荷数据的横向连续性和纵向连续性,可以先把负荷数据按照日期排列成二维数据集,经归一化处理后形成灰度图像矩阵,然后用基于图像的二维小波阈值去噪方法进行去噪处理,最后通过反归一化得到去噪后的负荷数据。实例分析结果表明这种方法可行且有效。

一种改进的小波阈值图像去噪方法 第2篇

近年来,数字图像处理技术已成为数字技术和计算机技术交叉领域的一个研究热点,而图像去噪又是图像处理领域中一项十分基本而又关键的技术。传统的图像去噪方法多采用平均或线性方法,去噪效果不够理想。随着小波理论的完善,它以其良好的时频特性,在实际中得到了广泛的应用,此方面的研究成果也非常之多[1,2,3,4,5,6,7,8]。小波的广泛应用得益于小波有以下几个特点:

(1)准熵性。小波系数的稀疏分布,使得图像变换后的熵值低。

(2)多分辨性。由于采用了多分辨率的方法,因此可以更好地刻画信号的非稳定性,如边缘、尖峰等。

(3)去相关性。小波变换可以对信号进行去相关性,所以噪声在变换后有白化趋势,小波域比时空域更有利于去噪。

(4)选基灵活性。小波变换可以灵活地选择变换基,因而对不同的应用场合和不同的研究对象,可以选择不同的小波母函数获得最佳的去噪效果。

1 小波阈值图像去噪原理

由于图像和噪声经过小波变换后具有不同的统计特性,例如:图像本身的能量对应着较大的小波系数,主要集中在低频部分;噪声能量则对应着幅值较小的小波系数,并分散在小波变换后的所有系数中。根据这个特性,设置一个合适的阈值,认为大于该阈值的小波系数为有用信号,予以保留;小于该阈值的小波系数,主要成分为噪声,予以剔除,这样就达到了去噪的目的。去噪过程中,图像经过二维小波分解后,把尺度为j的低频部分分解为4个部分:尺度为j+1的低频部分LL和水平方向的高频部分HL,垂直方向的高频部分LH,斜线方向的高频部分HH。通常认为低频部分含有大量的图像能量,一般不做处理,只对剩余的3个高频部分进行处理。

二维小波分析进行图像阈值去噪过程可以分为以下几个步骤:

(1)选择合适的小波和分解层数N对二维图像信号进行小波分解,计算图像信号的小波分解系数。

(2)选择合适的阈值和阈值函数对分解后的高频系数阈值量化。

(3)根据小波分解后的第n层低频系数和阈值量化处理后的高频系数,对图像信号进行重构。

1.1 阈值的选取

在小波去噪中,关键的步骤是对小波系数进行阈值量化,而阈值的选取直接影响到图像的去噪效果。Donoho等人提出的VisuShrink方法,给出的阈值λ公式如下:

δ=median(|HH|)/0.6745

式中:M,N为二维图像的尺寸大小;δ为噪声标准差。

随着图像分解尺度的增大,噪声的幅值越来越小,而信号幅值恰好相反。因此本文采用自适应阈值,其表达式如下:

由于含噪图像经过小波分解后,噪声主要集中在高频部分,所以可以用分解尺度为1时的高频系数来估计噪声标准差,即δ=median(|w1jk|)/0.6745。

1.2 阈值函数的选取

在阈值量化过程中,常规的阈值函数有以下两种:硬阈值函数:

式中:λ为阈值;wjk为小波系数;为量化后的小波系数。其图像如图1所示。

软阈值函数:

其图像如图2所示。

由图1,图2可以看出,在硬阈值函数中,在λ和-λ处是不连续的,利用重构所得信号可能会产生一些振荡;在软阈值函数中,由软阈值函数估计出来的,虽然整体连续性好,但是当|wjk|>λ时,和wjk总存在恒定的偏差,直接影响着重构信号与真实信号的逼近程度。因此,用硬阈值函数可以很好地保留图像边缘等局部特征,但图像会出现振铃、伪吉布斯效应等视觉失真;用软阈值函数处理结果相对平滑得多,但可能会造成边缘模糊等失真现象。

2 改进的阈值函数

针对上述软、硬阈值函数的图像处理缺点,提出了一种改进的阈值函数,使其不仅可以保留图像的边缘等局部特征,而且在图像平滑性方面也有所提高。此阈值函数的表达式如下:

其中a为控制系数,控制衰减程度,且a∈(0,1)(若a=0,则此函数为软阈值函数;若a=1,则此函数失去去噪作用)。虽然小于阈值λ的小波系数,主要成分为噪声,但是仍含有有用信号。软、硬阈值函数都是直接将小于阈值λ的小波系数变为零,这样就消除了部分有用信号。然而改进的阈值函数是将小于阈值λ的小波系数乘以一个控制系数a,这样在去噪的同时也尽可能地保留有用信号,因此去噪效果会更好。

其图像如图3所示。

3 仿真实验

在试验中将Woman图像人为地加入高斯白噪声,以此来测试去噪的效果。图像大小为256256,高斯白噪声方差为δ=18,小波基采用db1小波,分解层数N=3,分别采用软、硬阈值函数和改进的阈值函数对图像进行去噪处理。经过大量的实验得到a=0.45时去噪效果最好,结果如图4所示。

由图4可以看出,采用软阈值函数和改进的阈值函数对图像去噪处理后,消除了大量的噪声,去噪效果更好。由表1可以看出,采用改进的阈值函数进行去噪处理后,图像具有更高的峰值信噪比,均方差更小。

4 结语

针对图像阈值去噪中常规的软、硬阈值函数在实际应用中的缺点,在软阈值函数的基础上提出了一种改进的阈值函数,并通过仿真实验将改进的阈值函数与常规的软、硬阈值函数进行了去噪对比,最终得出改进的阈值函数在图像去噪方面更加有效。

参考文献

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二维小波阈值去噪方法 第3篇

关键词：正交小波变换,自适应阈值,兰姆波,去噪

0 引言

在超声兰姆波检测中, 由于兰姆波激发和检验方式灵活,而且能与板材缺陷产生有效的相互作用,并携带大量信息,因此,可以作为板材缺陷检测的有效手段,特别是在大面积板状结构的无损检测中应用更为广泛[1]。由于环境噪声等因素的影响,实际测得的兰姆波信号常常伴随着干扰信号,直接影响检测的可靠性和精度的准确性,需要对超声兰姆波信号进行去噪处理。从国内外大量的文献可知,人工神经网络[2]、EMD方法[3]和小波变换[4,5]等都可以对兰姆波进行去噪处理。近年来常用的方法是EMD方法和小波变换。李刚等用EMD方法对超声兰姆波信号进行了去噪处理,虽然EMD方法不需要基于某一特定函数,能够自适应地根据信号特征来提取数据,但是去噪效果不彻底,保留了很多噪声信号的特征,不能很好地体现原信号,去噪效果不是很理想[3]。由于小波变换在去噪方面的优点使得其在无损检测领域有了很广泛的应用[6,7], M.H.S. Siqueira等[4]采用离散小波变换来处理超声兰姆波实测信号,通过硬阈值方法将小于给定门限值的分解系数设为0,然而该方法虽然去除了噪声,但是消噪效果并不理想,信号仍然含有大量噪声,所以重构信号无法准确体现信号的特征。J.C. Lazaro等[5]采用小波变换来去除噪声,通过硬阈值和软阈值的方法分别进行去噪,由于硬阈值和软阈值都有各自的缺点,导致去除噪声之后的信号并不突出。

基于以上分析,提出一种基于自适应阈值正交小波变换超声兰姆波去噪方法。该方法对超声兰姆波信号进行正交小波变换来对信号进行能量归一化处理,以降低信号的自相关性[8],并利用自适应阈值方法来对超声兰姆波进行去噪处理。实验结果表明,该方法能更加有效去除实际测得的超声兰姆波信号中的噪声。

1 自适应阈值正交小波变换兰姆波去噪

为了提高方法的性能,将具有去相关性的正交小波变换引入到兰姆波去噪方法中,其结构如图1所示。x(n)为含噪声的兰姆波信号, R(n)为经过正交小波变换后的兰姆波信号,y(n)为经过自适应阈值之后的兰姆波信号,x′(n)为去噪后的兰姆波信号。通过正交小波变换以降低兰姆波信号的自相关性。由于正交小波变换是线性变换,故输入信号经过小波变换之后,噪声与信号依然统计独立。选择合适的阈值和阈值函数,对正交小波变换的系数进行阈值量化处理得到y(n),并对经过阈值量化后的系数进行重构,获得重构信号x′(n)。

1.1 正交小波变换

将任意L2(R)空间中的信号x(t)在小波基下展开,称这种展开为信号x(t)的小波变换,其表达式[9]为:

undefined

其中,φα,τ(t)为小波基函数,*表示共轭,α是伸缩因子,τ是平移因子,对小波基进行多分辨率分析来构造正交小波基。假设L2(R)空间内的子空间序列Vj(j∈Z)满足:嵌套性,逼近性,二进制伸缩性,平移不变性。这样,称子空间序列Vj,Wj为函数空间L2(R)的一个多分辨率分析[10],

由多分辨率分析,任意信号x(t)∈Vj在Vj空间展开式为:

undefined

MALLAT方法[11]中,将x(t)分解一次(即分别投影到Vj+1,Wj+1空间),其分解系数分别为:

undefined

由二尺度方程可得信号x(t)的分解系数分别为:

undefined

式(5)和式(6)表明,j+1尺度空间的尺度系数和小波系数可以由j尺度空间的尺度系数经滤波器系数h(-k)和g(-k)进行加权求和得到。将空间Vj+1的尺度空间系数进一步分解,即可得到Vj+2与Wj+2空间的尺度系数和小波系数,并且上述过程可以进一步持续下去,可到任意尺度空间。分解结构图如图2所示。

1.2 自适应阈值去噪法

兰姆波信号进行正交小波变换后,对信号进行自适应阈值去噪。自适应阈值去噪法是在阈值法基础上的改进的。随着Donoho等人提出了小波阈值消噪方法[12]并且许多人对此领域进行了深入的研究[13,14,15],且取得了很多成果, Donoho提出的是固定阈值, 其阈值为全局阈值,不能在每级尺度上将信号与噪声做最大分离,去噪效果并不理想。采用软阈值消噪时,总体看效果较好,但当含噪信号很不规则时显得过于光滑;当采用硬阈值消噪时,消噪效果并不理想,信号仍然含有明显的噪声。这说明:当噪声为时变的时候,传统的消噪方法效果很有限。采用自适应阈值消噪法,可以克服上述缺陷,其中阈值为undefined其中,σ2为噪声方差,N为信号长度,i为分解尺度。将Donoho提出的单一固定阈值进行了改进,并通过构造新的阈值处理函数,使得消噪效果较固定阈值相比有较大改善。为获得最佳阈值,实现更好的去噪效果,本文采用文献[16]提出的阈值函数,即:

undefined

其中,sgn()为符号函数,N为信号长度,undefined为正交小波变换系数估计,aj,k为正交小波变换系数。

1.3 小波重构

对兰姆波信号进行正交小波变换和自适应阈值去噪后,对其进行小波重构获得重构信号。通过MALLAT分解的思路,可以逆推信号重构过程,基本关系如下:

undefined

式(8)表明,j+1级系数经过“二插值”再经过滤波器h(k),g(k)就可以得到j级系数。 其中,h(k)和g(k)为分析滤波器系数,c(j+1),k和d(j+1),k分别为分辨率a=2j+1下的尺度系数和正交小波系数,cj,k是分辨率为a=2j下的尺度系数。重构的结构图如图3所示。

2 实验

本文方法采用db小波进行分解,dbn中的n就是这个小波函数的消失矩,n越大,其滤波器的长度越长,滤波性能越好,但信号处理的时延也越长,即时域定位性变差。本文中兰姆波信号去噪前信号的信噪比为10 dB。如图4为选择不同消失矩时,去噪后信噪比曲线。由图4可知,当n=8时,去噪后信号信噪比最高。故本文方法选择db8小波进行分解。

为了验证方法的有效性,以小波变换软阈值去噪方法(WTSL)和经验模态分解(EMD)去噪方法作为比较对象进行仿真研究。本方法选择db8小波进行分解,分解层数是3层,信号长度是1024。如图5所示,信号中心频率为0.43MHz,信号带宽为65kHz。去噪结果如图6所示,表1 给出了这3 种方法的五种性能指标的比较。性能指标计算公式如下:

①信噪比

SNR(dB)undefined

②均方误差

MSE(dB)undefined

③信噪比增益

GSNR=undefined

④平滑度指标

undefined

其中,x′(n)是去噪后的信号,x(n)是原信号,SNRx′是去噪后信号信噪比,SNRx是去噪前信号信噪比,N是信号长度。

由图6可知,采用WTSL方法时,去噪结果不彻底,带走了一些有用信息,去噪后信号光滑度较差,没有很好地还原信号特征,而且主脉冲信号20μs～30μs之间存在部分信号失真。采用EMD方法时,信号失真度较小,主脉冲和原信号的吻合度较之WTSL方法有了一定提高,但是光滑度并不是很好,而且细小脉冲仍然没有很好地还原出来,尤其是0～10μs和50μs～70μs之间存在许多毛刺,不能很好地体现原信号的特征,去噪的效果并不太理想。采用WT-AL方法可以很好的去除噪声且信号光滑度较好,主脉冲和细小脉冲都还原得较好,和原信号吻合度较高,较好地保留了原始信号的特征,从而保证了去噪后信号的真实性。

由表1可知,与小波变换软阈值去噪方法相比,WT-AL方法的信噪比提高了近9.5dB,均方误差降低了近11dB,信噪比增益要比小波去噪方法提高近1;与EMD方法相比,WT-AL方法的信噪比提高了近7dB,均方误差降低了近8.3dB,信噪比增益要比EMD方法提高近1.7;就光滑度指标来看,本文方法的光滑度指标较之其他两种方法是最高的,即比其他方法光滑度更好。可知,本文方法较之其他两种方法去噪效果更好。

3 结束语

二维小波阈值去噪方法 第4篇

在产生和传输过程中数字图像会被各种噪声干扰和影响,如电子器件干扰、传感器振荡、高磁场干扰等,导致数字图像在经转换后质量有所下降,对图像的后续处理,如分割、压缩和图像理解等将造成不利的影响[1]。为了使噪声对图像的干扰减小,减轻或去除噪声是必要的。

近年来,随着小波分析理论日益成熟,其应用也越来越广泛,特别是在图像去噪、分割和压缩等方面,这些都是得益于其时频局部化特性良好,能够对信号局部奇异特征灵活地提取的特性。为了达到滤除噪声的目的,利用小波对含噪信号进行处理[2]。目前,去噪技术中的一个重要分支和研究方向就是基于小波理论的图像去噪技术,已经引起了人们的足够重视。

1 基于Matlab实现小波阈值去噪法概述

1.1 小波阈值去噪法简述

Donoho和Johnstone教授于1992年提出了阈值去噪法(Wavelet Shrinkage),这是一种统计优化特性良好的去噪方法[3]。其主要思想是经小波变换后图像和噪声的统计特性不同,其中图像本身的小波系数具有较大幅值,主要集中在高频,噪声的小波系数幅值较小,并且存在于小波变换后的所有系数中。因此设置一个阈值门限,对占主要成分的大于该阈值的小波系数的有用信号进行收缩、保留;小于该阈值的小波系数中噪声为主要成分,应该剔除,于是实现了去噪。

通常认为去噪时,一般不处理含有大量图像能量的低通系数,只是就单个高通部分进行处理。因此,要想完全去除噪声不能只进行一次阈值去噪,还需要对低频部分进行阈值去噪和小波分解,直到估计图像与实际图像的偏差值最小。

但是,随着分解和去噪次数的增加,小波系数中的噪声能量越来越少,并且趋于分散,去噪的效果将逐渐降低。一般来说,进行3~4层小波分解和去噪就可以达到满意的去噪效果。

1.2 基于Matlab的小波去噪函数简介

Matlab中的小波工具包提供了全面的小波变化及其应用的各种功能,而且可以选择使用图形界面操作工具或者去噪函数集合两种形式,图形界面操作工具直观易用,而利用函数集合可以实现更灵活强大的功能。利用小波去噪函数集合在Matlab中作了一系列实验,充分体会到了小波去噪的强大功能[4]。

Matlab中实现图像的降噪,主要工作是阈值选取和图像降噪两个方面。

1.2.1 阈值获取

Matlab中实现阈值获取的函数有ddencmp,select,wbmpen和wdcbm2。这里主要介绍函数ddencmp。

函数ddencmp的功能是获取降噪或者压缩的默认值。该函数是降噪和压缩的导向函数,它会给一维或者二维信号使用小波或者小波包进行降噪和压缩一般过程的所有默认值。其语法格式为:

1.2.2 阈值降噪

Matlab中实现阈值降噪的函数有wden、wdencmp、wpdencmp、wthesh、wpthoef和wthcoef2。这里主要介绍函数wdencmp。其语法格式为:

函数wdencmp的功能是使得小波进行去噪。该函数是二维小波降噪的导向函数。它使用小波对信号或图像执行降噪过程。wname是所用的小波函数。gb1(global)表示每层都采用同一个阈值进行处理。lvd表示每层用不同的阈值进行处理。N表示小波分解的层数。THR为阈值向量,长度为N。SORH表示选择软阈值或者硬阈值(分别取值为s’或h’)。参数KEEPAPP取值为1,表示低频系数不再进行阈值量化,反之则低频系数要进行阈值量化。XC是降噪后的信号,[CXC,LXC]是XC的小波分解结构,PERF0,PERFL2是恢复和压缩信号的百分比。如果[C,L]是X的小波分解结构,则PERFL2=100(CXC向量的范数/C向量的范数)2;如果X是一维信号,小波wname是一个正交小波,则PERFL2=100||XC||2/||X||2。

2 基于Matlab的小波去噪试验

按照上述小波阈值变化在信号去噪中的算法及小波阈值函数进行计算机仿真,仿真程序采用Matlab语言编写。首先产生一个实验信号,然后对小波去噪时各种参数设置进行了详细的对比研究,最后利用Matlab语言对图像进行小波去噪仿真。

2.1 实验信号的产生

该节所用到的实验信号是由wnoise()函数产生的长度为211点,含标准高斯噪声、信噪比为3的heavy sine’图像信号。Matlab工具箱提供了函数wnoise以实现为检验小波去噪性能产生测试噪声的功能。其语法格式为:

其中:X=wnoise(FUN,N)产生幅值在[0,1]之间长度为211的信号,信号的类型由FUN指定;[X,XN]=wnoise(FUN,N,SQRT_SNR)产生含有白噪声的信号XN,SQRT_SNR是信号的噪声比;[X,XN]=wnoise(FUN,N,SQRT_SNR,INIT)使用初始值INIT产生含噪信号。图1所示为以上语句产生的测试信号图形。

2.2 Matlab仿真去噪效果

Matlab工具箱提供了函数wden以实现自动利用小波进行一维信号的去噪,具有的功能如下:可以对X信号进行去噪处理,返回经过处理的信号XD以及XD的小波分解结构[CXD,LXD];根据信号小波分解结构[CXD,LXD]对信号进行去噪处理。其语法格式为:

其中通过设置TPTR的值可以选择四种不同的阈值规则:

(1)TPTR=rigrsure’,是一种基于无偏似然估计原理的自适应阈值选择。对于一个给定的阈值,得到它的似然估计,再将其非似然最小化,就得到了所选的阈值。

(2)TPTR=sqtwolog’,采用的是固定的阈值的形式,产生的阈值大小是sqrt(2*log(length(X)))。

(3)TPTR=heursure’,是前两种阈值的综合,是最优预测变量阈值选择。如果噪声比很小(估计有很大的噪声),在这种情况下,采用此种启发式的阈值。

(4)TPTR=minimaxi’,采用的是一种极大极小原理,它产生一个最小均方误差值,而不是无误差。在统计学上,这种极值原理在于设计估计器。因为被消噪的信号可以看做与未知回归函数的估计式相似,这种极值估计器可以在一个给定的函数集中实现最大均方误差最小化。

本文给定的图像是二维信号,二维信号在小波域中的降噪方法的基本思想与一维的情况一样,在阈值选择上可以使用统一的全局阈值。虽然有关小波变换的函数是在小波工具箱中提供的,但在图像处理中利用小波变换去除图像中的噪声却是一种有效的办法,利用小波函数去除图像中的噪声过程如下:首先利用求去噪缺省值函数ddencmp去求噪声的缺省值;然后利用小波函数wdencmp对图像去噪还可以使用全局阈值[5]。

本例中首先在原噪声图像sinsin.mat’中加入了随机噪声,得到相应的加噪图像,然后对噪声图像使用sym4’进行小波去噪处理,使用全局阈值。相应的Matlab程序如下:

运行结果如图2所示。

从含噪图像可以看出,噪声含量非常高,而从去噪的结果可以看出,通过基于Matlab的小波去噪后的图像基本和原图像一致。

3 结 论

结合理论分析,进行了基于Matlab的小波阈值去噪处理仿真实验。从去噪的结果可以看出,通过基于Matlab的小波去噪后的图像和原图像基本一致。为实际的图像处理过程中小波阈值去噪方法的选择和改进提供了数据参考和依据。

摘要：概述了小波阈值去噪的基本原理,对基于Matlab的小波去噪函数进行了简介,并就其中的主要工作进行了详细阐述。此外结合理论分析,进行了基于Matlab的小波阈值去噪处理仿真实验。为实际的图像处理过程中,小波阈值去噪方法的选择和改进提供了数据参考和依据。

关键词：小波变换,图像去噪,阈值,Matlab

参考文献

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[5] 舒志猛，陈素华.基于FPGA和DSP的高速图像处理系统[J].现代电子技术，2012，35（4）：125-127.

二维小波阈值去噪方法 第5篇

信号的采集和传输往往受到噪声的污染, 去噪成为信号处理的重要环节。小波变换的时频局部化性质克服了傅里叶变换的缺点, 可对信号进行多尺度分析, 特别适合处理非平稳信号。目前小波去噪主要有三种方法:模极大值重构去噪法[1]、空域相关去噪法[2]和小波阈值去噪法。其中, 小波阈值去噪法应用最广, 而根据含噪信号估计出合理的阈值和应用阈值函数处理小波系数是该方法的核心。

1992年, D L Donoho等提出了小波阈值收缩方法并给出了通用阈值和软、硬阈值函数[3]。随后, 许多阈值估计方法被相继提出, 如Huresure阈值、Minimax阈值、基于零均值正态分布的置信区间阈值等[4,5]。通用阈值计算简单, 但会导致过多的高频信息丢失;Huresure阈值趋向于过度保留小波系数使去噪不彻底;Minimax阈值的最大均方误差最小化也会使信号的信息过度损失;置信区间阈值与信号的长度有关, 含噪小波系数的数目会随信号长度的增大而增多从而造成重构误差[6]。在阈值函数方面, 很多改进的函数也被相继提出, 虽然在一定程度上克服了软、硬阈值函数的缺点, 但其与所选取的阈值是相对独立的。本文提出一种高阶可导的阈值函数, 利用牛顿迭代法求得Sure无偏估计意义下的最佳阈值, 建立了将阈值估计和阈值函数相关联的小波阈值自适应去噪算法。仿真实验表明了算法的有效性。

1 小波阈值去噪

假设X=[x1, x2, , xN]为含噪信号的观测值, 即xn=yn+σzn (n=1, 2, , N) , 其中yn是信号在时刻n的真实值, zn是独立分布的高斯白噪声, σ是噪声标准差。

真实信号通常表现为低频而噪声表现为高频, 小波变换的稀疏性和去相关性保证了真实信号的能量集中在幅值较大的少数小波系数上, 而噪声的能量均匀的分布在幅值较小的所有小波系数上。因此可以用小波阈值收缩方法进行信号去噪, 其步骤可总结为: (1) 对观测信号X进行小波分解得V=W+σU, 其中V=[v1, v2, , vN], W=[w1, w2, , wN], U分别为含噪信号、真实信号和噪声信号的小波系数; (2) 基于给定的阈值λ用阈值函数处理各小波系数, 得出各小波系数的估值v^i; (3) 将小波系数估值v^i进行小波重构, 得到去噪后的信号。

2 阈值函数

2.1 传统阈值函数

最经典的是Donoho等提出的软、硬阈值函数[3], 其表达式分别为:

其中, λ是阈值, v是小波分解得到的原始小波系数, 是处理后的小波系数。

2.2 改进的阈值函数

软、硬阈值函数虽能达到较好的去噪效果, 但软阈值函数处理后的信号会出现边缘模糊失真的现象, 硬阈值函数的不连续性会使重构信号发生震荡, 因此很多改进的阈值函数被提出。

函数[a]为介于软硬阈值函数之间的折中阈值函数[7]:

该函数可以根据不同的处理对象调整的值, 达到更好的去噪效果, 如图1所示为α=0.5时的函数曲线对比。

函数[b]为文献[8]中的阈值函数不仅具有连续性而且在小波系数小于阈值的部分用多项式进行逼近, 避免了小波系数的“过度扼杀”, 如图2所示。

2.3 新阈值函数

改进的阈值函数[a]、[b]都在一定程度上优于软、硬阈值函数, 但两函数都不高阶可导。本文提出了一种新阈值函数, 如图3所示。

显然, 传统的阈值函数在小波系数小于阈值时直接将其置为零, 新阈值函数在此范围内进行平滑的过度;当|v|∞时, γ (v, λ) v, 即新阈值函数以y=x为渐近线, 克服了软阈值函数在|v|>λ时存在固定偏差的问题;函数在λ和-λ点是连续的, 避免了硬阈值函数处理信号时伪吉布斯现象的产生;由于该函数形式简单且高阶可导, 从而便于后续数学处理的进行。

3 基于新阈值函数的自适应去噪

3.1 均方误差函数

Donoho等提出的通用阈值是一种最简单的阈值, 是小波收缩阈值的上限[9], 在实际处理中往往不是最佳阈值。统计学中stein的无偏估计 (Sure) 是对最小均方误差的一个无偏估计[10], 本文用最小均方误差来衡量处理后的信号与原始信号的逼近程度, 即依据观测值X求出真实信号Y的估计值, 使Y与的均方误差最小。根据帕塞瓦尔定理:用正交小波基处理信号时, 一个信号所含的能量恒等于此信号在完备正交函数集中各分量能量之和, 因此均方误差满足:

其中, 是对Y的估计, 是对yi的估计, 是对wi的估计, 即可以将空域下的均方误差转化为小波域下的均方误差。由于在实际中无法获得信号的真实值, 因此只有把信号的观测值作为处理对象。

在小波域内, 定义函数:

其中, 是对W的估计且。

由式 (2) 可得:

则g (V) =[g1, g2, , gN]是一个RN到RN的函数。

据Sure定理[11]可得:

其中,

信号去噪就是使去噪后的信号能够最大限度的接近真实信号, 即最小, 因此可得Sure无偏估计下的信号去噪均方误差函数:

3.2 自适应去噪算法

在式 (5) 中, 若函数g (V) 中的γ (v, λ) 选用Donoho等提出的软、硬阈值函数, 由于其不高阶可导无法进行自适应迭代, 只能根据观测值{x1, x2, , xN}选择阈可以看出λs是基于有限序列{x1, x2, , xN}得出的阈值, 而不是最佳阈值。若把均方误差函数作为目标函数, 运用最优化理论中的牛顿法进行动态迭代运算求得阈值, 则该阈值为Sure无偏估计意义下的最佳阈值, 用最佳阈值下的新阈值函数处理小波系数可以使得去噪效果最优。迭代公式为:

其中, λk是k次迭代的阈值。

由式 (1) - (5) 知:

据式 (1) 知:

将式 (6) - (12) 代入式 (5) 可得出阈值的牛顿迭代公式。

综合以上, 可得小波阈值自适应去噪算法:

(1) 对含噪信号进行DWT变换, 得出小波系数V=[v1, v2, , vN]。

(2) 用新阈值函数处理各小波系数, 据式 (5) 进行迭代计算得出最佳阈值λ。再将处理后的小波系数和最佳阈值代入新阈值函数得出各小波系数估值γ (v, λ) 。迭代初值, 其中N为信号长度, 是小波系数按大小顺序排列的中位数, 迭代终止条件为|λk+1-λk|<10-6或k=200。

(3) 用各小波系数估值γ (v, λ) 做IDWT, 得到去噪后的信号。

4 仿真实验与评价

为验证算法的有效性, 用Matlab进行仿真实验, 对信号Leleccum和Nelec分别加入噪声强度为2、4、6、8的高斯白噪声, 利用软、硬及[a]、[b]阈值函数和新阈值函数进行去噪效果对比。实验采用具有紧支性和高阶消失矩的db3小波进行5层分解, 前四者取通用阈值, 而新阈值函数取牛顿迭代所得的最佳阈值。

对于阈值函数[a]中参数α的值, 运用二分法逐次选取, 经实验知在噪声强度2、4、6、8时最佳的α取值分别约为0.2、0.3、0.3、0.3。图4和图5分别为信号Leleccum和Nelec在噪声强度为6时的去噪效果。

可以看出, 新阈值函数下的自适应去噪算法相对软、硬和[a]、[b]阈值函数的传统阈值去噪算法能更好的保留信号的原有信息, 去噪效果更理想。

为客观评价新算法的去噪效果, 选用信噪比 (SNR) 作为评价指标:

其中, xi为原始信号, 为去噪后的信号, 各去噪算法的信噪比如表1-2所示。

注:H-F、S-F、F[a]、F[b]、N-F分别为硬阈值函数、软阈值函数、改进阈值函数[a]和[b]及新阈值函数。

由表1-2可知, 阈值函数[a]、[b]在噪声强度为2时的去噪效果没有完全优于软、硬阈值函数, 而基于新阈值函数的小波阈值自适应去噪算法在不同噪声强度下的去噪效果都优于前四种方法。其SNR相比阈值函数[a]、[b]分别提高了0.7%~2.4%、0.8%~3.5%;相比软、硬阈值函数分别提高了1.3%~2.4%、2.9%~8.0%。

5 结束语

噪声对信号的污染会影响其正常作用的发挥, 去噪显得尤为重要。针对传统阈值去噪算法的不足提出了一种高阶可导的阈值函数, 基于此建立Sure无偏估计意义下的均方误差函数, 并用牛顿迭代法求得最佳阈值, 给出了将阈值估计和阈值函数相关联的小波阈值自适应去噪算法。在理论上论证了新算法的有效性并通过仿真实验进行了验证。结果表明:新算法的去噪效果优于传统的阈值去噪算法。

摘要：针对传统小波阈值去噪算法中阈值估计和阈值函数选取的不足, 提出一种高阶可导的阈值函数, 并利用牛顿迭代法求得Sure无偏估计意义下的最佳阈值, 从而实现阈值估计和阈值函数相关联的小波阈值自适应去噪。仿真实验表明, 新算法可获得比传统阈值去噪算法更理想的去噪效果。

关键词：小波变换,阈值函数,均方误差函数,自适应去噪

参考文献

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小波软硬阈值去噪算法的研究及改进 第6篇

信号中含有噪声是相当普遍的, 去噪的目的就是在保留原有信号特性的基础上最大程度地去除噪声。比起传统的滤波器去噪法, 用小波变换将高频系数强制置零去噪的方法是比较方便的。小波变换的高频置零去噪法的不足之处在于经将高频系数强制置零去噪后重构的信号会使信号丢失一些细节, 且基的选择只有靠经验来确定。为了达到更好的效果, 可以采用设置阈值的方法, 把小于等于阈值的高频系数置为零, 而大于阈值的高频系数保留, 这样就可以达到既可以保留信号细节又可以去除噪声的目的。

本文介绍了Donoho提出的小波阈值去噪法, 即软阈值去噪法、硬阈值去噪法, 这两种方法较传统的去噪方法有其独特的优点。但是, Bruce和Gao于1995年证明了硬阈值方法存在主要是由不连续造成的较大的方差, 而软阈值方法存在主要由于对于大于阈值的系数做了收缩造成的有较大的偏差。基于这种原因, 本文提出了先经过均值逼近处理, 然后再使用软硬阈值折中法的去噪新方法[1,2,3]。

1 估计小波系数的软、硬阈值方法

1.1 估计小波系数设有如下观测信号

f (t) =s (t) +n (t) (1)

其中s (t) 为原始信号, n (t) 为方差为σ2的Gaussian白噪声, 服从N (0, σ2) 分布。对于一维信号f (t) 来说, 首先对其进行离散采样, 得到N点离散信号f (xn) , n=0, 1, , N-1, 然后应用阈值法进行去噪。

Donoho提出的小波阈值去噪法的基本思路是:

①对含噪信号f (xn) 做小波变换, 得到一组小波系数。

②通过对小波系数进行阈值处理, 阈值取为

$\sigma \cdot \sqrt{2\log ({\rm N})}$, 得到估计小波系数。

③利用估计小波系数进行小波重构, 得到估计信号, 即为去噪之后的信号。

在实际应用中, 为了便于应用, 进行小波变换的分解重构可以应用mallat算法。

分解算法:

$\begin{array}{l}c{}_{j,k}={\displaystyle \sum _{n}h}{}_{n-2k}c{}_{j+1,n}\\ d{}_{j,k}={\displaystyle \sum _{n}g}{}_{n-2k}d{}_{j+1,n}(2)\end{array}$

其中hk, gk分别为低通滤波器和高通滤波器。这里, 初始尺度系数{cJ, k}k∈Z={〈f, φj, k〉}k∈Z, φ是尺度函数。为了便于计算和应用, 采用直接采样法, 即{cJ, k}k∈Z=f (xk) , k=0, 1, , N-1。这样得到了尺度系数{cj, k}k∈Z和小波系数{dj, k}k∈Z。

Donoho提出了一种对小波系数进行估计的非常简洁的方法。对f (xk) 连续做几次分解之后, 由s (xk) 对应的各尺度上的小波系数在某些特定的位置有较大的值, 这些点对应于原始信号s (xk) 的畸变位置和重要信息, 而其它大部分位置小波系数的值较小。对于白噪声n (xk) , 对应的小波系数在每一尺度上的分布是均匀的, 并随尺度的增加小波系数的幅值有所减小。因此, 通常的消噪办法是寻找一个合适的数λ作为阈值, 把低于λ的小波系数 (主要是由噪声n (xk) 引起的) 设为0, 对于高于λ的小波系数 (主要由信号s (xk) 引起的) 则予以保留, 从而得到估计小波系数$\widehat{d}{}_{j,k}$, 它可以理解为基本上由信号s (xk) 引起的, 然后对$\widehat{d}{}_{j,k}$进行重构, 就可以得到原始信号。

1.2 软、硬阈值去噪方法

通过对小波系数进行阈值处理, 阈值取为$\sigma \cdot \sqrt{2\log ({\rm N})}$, 得到估计小波系数。取$\lambda =\sigma \cdot \sqrt{2\log ({\rm N})}$, 如果估计小波系数为:

$\widehat{d}{}_{j,k}=\{\begin{array}{l}d{}_{j,k}\text{■}d{}_{j,k}\text{■}\ge \lambda \\ 0\text{■}d{}_{j,k}\text{■}＜\lambda \end{array}(3)$

称为硬阈值估计方法。如果估计小波系数为:

$\widehat{d}{}_{j,k}=\{\begin{array}{l}\text{s}\text{i}\text{g}\text{n}(d{}_{j,k})\cdot (\text{■}d{}_{j,k}\text{■}-\lambda )\text{■}d{}_{j,k}\text{■}\ge \lambda \\ 0\text{■}d{}_{j,k}\text{■}＜\lambda \end{array}(4)$

则称为软阈值估计方法。图1为小波系数估计的软硬阈值处理方法。

这两种阈值处理方法得到了广泛的应用。但Bruce和Gao于1995年证明了硬阈值方法往往有主要是由不连续造成的较大的方差, 而软阈值方法往往有主要由于对于大于阈值的系数做了收缩造成的较大的偏差。基于这种原因, 提出了很多其它的改进方案。软硬阈值折中法就是其中最简单, 而且效果很好的一种改进方案。软硬阈值折中法定义如下:

当α分别取0和1时, 上式即为硬阈值法和软阈值法。适当的调整α值, 可以达到不同的去噪效果, 这种方法可以看作是软阈值和硬阈值法的折中方案, 另外, 虽然上面的λ取法在理论上是最优的, 但实际效果并不好, 因此有多种取法。有的文献取的是$\lambda =\{\sigma \sqrt{2\log ({\rm N})}/\log {}_2(j+1)\}$, 其中j是分解尺度。其重构算法为:

$c{}_{j+1,k}={\displaystyle \sum _{n}h}{}_{k-2n}c{}_{j,n}+{\displaystyle \sum g}{}_{k-2n}\widehat{d}{}_{j,n}(6)$

经过重构就可以达到信号去噪的目的。阈值法去噪关键在于对小波系数的处理, 如果处理的好则能够更好地达到去噪的目的。

2 改进方案

以上的方法都是在经过小波变换后, 根据信号与噪声的小波系数特点进行信噪分离的。但由于噪声引起的误差, 噪声的方差越大, 信噪分离越困难。如果能对观测信号f (xk) 进行处理, 使得处理后对原始信号s (xk) 变化影响不大, 可以忽略不计, 又适当地减少白噪声的方差。然后再采用软硬阈值折中法进行去噪, 提高了重构信号的信噪比, 效果会比单纯用软硬阈值折衷法好。改进方案如下:设结点组为f (xi) , xi=x0+ih, i=0, 1, , N-1, 利用均值逼近法对信号进行处理。均值逼近法可以看作是对采样数据f (k) 的组合平均, 对采样数据f (k) 进行处理。进行组合平均逼近后, 白噪声的方差减小, 更有利于信号与噪声的分离。令初始尺度系数为:

$\begin{array}{l}c{}_{J,k,l}=f(x{}_k)-(-1/4){}^{(l+1)/2}{\displaystyle \sum _{j=0}^{l+1}(}-1){}^j\left(\begin{array}{l}l+1\\ j\end{array}\right)\cdot \\ f\left(x{}_k-\left(\frac{l+1}{2}-j\right)h\right)(7)\end{array}$

这里k=0, 1, , N-1;l为奇自然数, l=1, 3, 5,

当l=1时,

$c{}_{J,k,1}=\frac{1}{4}(f(x{}_{k-1})+2f(x{}_k)+f(x{}_{k+1}))(8)$

此式即为1/4均值逼近。对边界进行对称处理, 当采样间距很小时, s (xk-1) ≈s (xk) ≈s (xk+1) , 因而

$s(x{}_k)\approx \frac{1}{4}(s(x{}_{k-1})+2s(x{}_k)+s(x{}_{k+1}))(9)$

对于白噪声n (t) , 由于服从N (0, σ2) 分布, 而且有E (n (u) n (ν) ) =σ2δ (u-ν) , 其中,

$\delta (u-\nu )=\{\begin{array}{l}1u=\nu \\ 0u\ne \nu \end{array}(10)$

因而数学期望为:

$E(\frac{1}{4}(2n(x{}_k)+n(x{}_{k-1})+n(x{}_{k+1})))=0(11)$

方差为:

$D(\frac{1}{4}(2n(x{}_k)+n(x{}_{k-1})+n(x{}_{k+1})))=\frac{3}{8}\sigma {}^2(12)$

可见白噪声方差减小了很多, 更有利于信噪分离。而通过逼近后对原始数据的少许改动是可以接受的。在随后采用软硬阈值去噪时, 由于白噪声方差变小, 因此阈值也相应变小。这里阈值取$\lambda =\left(\sigma \sqrt{2\log ({\rm N})}/\log {}_2(j+1)\right)\cdot \sqrt{\frac{3}{8}}‚s(t)$波动如果过大, 则可以增加采样点, 使得临近的采样点的数据值之间相差比较小, 或者采用下面的均值法, 使得采样点的值变化不大, 又可适当减小噪声方差。令

$\begin{array}{l}l=3‚\\ c{}_{J,k,3}=\frac{1}{16}(-f(x{}_{k-2})+4f(x{}_{k-1})+10f(x{}_k)+\\ 4f(x{}_{k+1})-f(x{}_{k+2}))(13)\end{array}$

此式为1/16均值逼近。阈值求法与l=1时类似求得。

3 实验结果

本文选择了鸟音信号sin (250πt2) (0<t<1) 作为原始信号, 采样点数为2048, 叠加白噪声后的观测信号的信噪比为7.333514。采用去噪效果比较好的而且常用的db4小波, 先进行均值逼近, 再应用软硬阈值折中法, λ取值用 (14) 式, α=0.3 (这里λ与α的选取并不是最优的, 适当选取可以获得更高的信噪比) 。与直接应用软硬阈值折衷法以及软阈值法和硬阈值法进行比较, 改进后的效果更好。实验数据见表1-3所示。

通过分解一次的结果, 可以明显看出1/4均值逼近信噪比为11.653902, 有一定的提高。均值处理后, 信噪分离更加明显。通过分解二次的结果, 信噪比都有所提高, 由于改进的方法在第一层分解时噪声已经消去很多了, 因而信噪比提高的幅度不大, 但信噪比同样比其它方法明显要高。分解三次后, 信噪比都有所下降, 考虑到分解的次数越多, 应用阈值时消去的信号成分就越多, 而噪声成分的消去会随着分解次数的增加而减少, 因而到达一定程度信噪比就会下降。分解的次数与信号及滤波器有一定的关系, 对于有些信号, 可以分解3到4次, 一般来讲分解3次就可以达到去噪的目的了[6,7,8]。

图2-5为采用不同方法的仿真效果图, 通过图形分析, 均值逼近的软硬阈值折中法去噪效果更佳。

4 结束语

噪声的存在会降低小波方法的性能, 但是信号和噪声的小波系数在小波空间的传播特性不同, 采用软硬阈值算法对信号进行去噪处理, 可以恢复小波方法的性能。仿真实验证明采用均值逼近的软硬阈值折中的方法, 可以在消除噪声的同时更好地保持信号的细节部分。效果明显优于比单纯使用软阈值、硬阈值的方法。在本文实验过程中, 发现对同一对象选取不同的小波基, 结果也会有所不同。如不同的紧支集, 将会影响时频局部性, 对称性会影响信号的相位, 消矢矩会影响信号的压缩程度。尤其是紧支集和对称性是相矛盾的, 相信随着小波理论的进一步发展, 将来会有更多有特别性质的小波基出现, 使小波理论应用在更多的领域。

小波阈值去噪方法是实现最简单, 计算量最小的一种方法, 因而取得了广泛的应用。但阈值的选取比较困难, 它依赖于噪声的方差, 因而需要事先估计噪声的方差。阈值选取是否恰当直接影响着去噪结果, 另外阈值降噪对信噪比较低的信号去噪效果不是很好。本文的改经方案虽然较单独用阈值降噪的效果有所改进, 但仍然有很多不足, 仍需要大量的研究和改进。

参考文献

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[7]胡昌华.基于MATLAB的系统分析与设计——小波分析[M].西安:西安电子科技大学出版社, 2000.

基于小波分析的改进软阈值去噪算法 第7篇

信号去噪问题, 一直是一个重要而热门的课题。现在已有多种信号去噪的方法, 如卡尔曼[1] (Kalman) 滤波法、维纳[2] (Wiener) 滤波法、减谱法等。小波分析是近年来发展起来的一种优良的数学工具, 通过小波变换, 把信号的特性分配到各个不同尺度的小波变换系数上, 再根据对小波变换系数的分析与处理, 就可以对信号进行压缩、奇异性检测以及降低噪声。

小波变换特别是正交小波变换具有很强的去数据相关性, 它能够使信号的能量在小波域集中在一些大的小波系数中, 而噪声能量却分布于整个小波域内。因此, 经小波分解后, 信号的小波系数幅值要大于噪声的小波系数幅值, 可以认为, 幅值比较大的小波系数一般以信号为主, 而幅值比较小的系数在很大程度上是噪声信号。因此, 选择一个合适的阈值对小波系数进行阈值处理, 就可以把信号系数保留, 而使大部分的噪声系数减少至零, 从而达到去噪的目的。

1小波阈值去噪原理

1994年, 斯坦福大学的D.L.Donoho和Johnstone在小波变换基础上提出了小波阈值去噪[3,4]的概念。对于Dohono提出的阈值去噪方法, 按照对变换系数进行阈值处理的方法, 又可以分为硬阈值法和软阈值法。硬阈值处理是把信号小波变换系数的绝对值与阈值比较, 小于阈值的小波系数变为零, 大于阈值的小波系数不变, 再根据小波系数进行信号重建。软阈值处理是把小波系数大于阈值的变为该点与阈值的差值。

Donoho的基于阈值的消噪算法 (DTA) 可以分为三步:

(1) 选择小波和小波分解的层数j, 计算含噪声信号的小波分解系数;

(2) 对每层系数选择一个阈值, 并且对高频系数用阈值处理;

(3) 根据第j层的低频系数和从第一层到第j层的高频系数, 计算信号的小波重构。

硬阈值处理的数学表示为

软阈值处理的数学表示为

式中, λ为阈值, djk为小波系数, djk为处理后的小波系数。

2改进软阈值去噪法

由两种阈值方法的图示可以看出, 软阈值方法通常会使去噪后的信号平滑一些, 但是也会丢掉某些特征。而硬阈值可以保留信号的特征, 但是在平滑方面有所欠缺。为了结合两种方法的特点, 本文提出改进软阈值消噪方法。

本方法在软阈值处理的基础上进行改进。在连续性更好的同时, 该方法的偏差要小于单纯的软阈值方法。该方法的数学表达式如下:

式 (5) 中a为形状系数, 用于控制djk<λ区域内函数的形状, 即控制衰减程度。其图形表示如图2所示。

分析式 (5) 可以得出, 当a=0时, 该方法等同于软阈值法。由图2可以看出, 改进软阈值函数在噪声和信号之间存在一个平滑过渡的区域, 更加符合自然信号或者图像的连续性, 去噪效果更好。

3仿真算例

为了说明改进软阈值去噪法相对于传统阈值法的有效性, 本文选取了含有噪声的heavysine信号, 分别用传统的硬、软阈值法和文中提出的改进软阈值法进行了去噪处理。其中输入信号的信噪比是14.136 dB, 采用的小波基是db3, 分解层数为5层。改进软阈值法中的a 取为0.05。

在小波阈值去噪中存在的主要问题是阈值的选取, Dohono等人曾给出通用阈值的选取, 但在有些应用过程中发现该阈值并非十分理想, 还需根据具体情况对其作一定的改进。本文按照不同的分解尺度j, 给出阈值的选取$\lambda {}_j=\sigma \sqrt{2\lg ({\rm N})}/\lg (j+1)$, 式中N为相应层的小波变换系数的个数, σ为噪声方差。而实际当中, σ常常是不可知的, 在这种情况下, 可以根据第一层小波包分解系数进行估计

$\stackrel{\wedge }{{\displaystyle \sigma }}=\frac{{\displaystyle \sum _{k=1}^{{\rm N}}|}d{}_{1k}|}{0.6745{\rm N}}$ (6)

式 (6) 中d1k是第一层小波包分解系数, 0.674 5是高斯白噪声标准偏差的调整系数。

图3～图5为仿真实验的结果。从图4可以看出, 改进软阈值法去噪结果更加平滑, 对特征信号的保留也比较好。从图5可以看出, 改进软阈值法更好地抑制了噪声信号。表1是三种去噪方法的信噪比, 该数据是经过100次去噪实验以后所求的平均值。通过对比可以发现, 改进软阈值法的去噪后的信噪比明显高于软、硬阈值法。

4结束语

本文针对Donoho和Johnstone提出的软硬阈值去噪方法的缺点, 构造了一种新的阈值函数, 对其进行了分析, 最后通过仿真实验将该方法与传统的硬、软阈值方法的去噪结果进行了比较, 结果表明新方法有着良好的消噪效果, 兼顾了软、硬阈值法的优点, 信噪比更高。

参考文献

[1]Chui C K, Chne G.Kalman filtering with real time applications.Springer-Verlag, 1987:125—136

[2]邓自立.解耦Wiener状态滤波器.中国学术期刊文摘:科技快报, 2000;6 (8) :979—980

[3]Donoho D L.Denoising by soft-thresholding.IEEE Trans on IT, 1995;41 (3) :613—627

[4]Donoho D L, Johnstone I M.Idea apatial adaptation via wavelet shrinkage.Biometrika, 1994

[5]胡昌华, 李国华, 周涛.基于MATLAB7.X的系统分析与设计——小波分析.西安:西安电子科技大学出版社, 2008