二次函数教案解读
二次函数教案解读（精选6篇）
二次函数教案解读 第1篇
二次函数的概念教案
一、教学目标
1.理解二次函数的概念;2.会求一些简单的实际问题中二次函数的解析式和它的定义域;3.在从问题出发到列二次函数解析式的过程中, 体验用函数思想去描述、变量之间变化 规律的意义.二、教学重点及难点
教学重点:对二次函数概念的理解.教学难点:由实际问题确定函数解析式和确定自变量的取值范围.三、教学设计要点
1.情境设计:通过思考回顾引入新课题;2.教学内容的处理:知识点与具体题目结合,使学生灵活运用知识;3.教学方法:启发式教学;
四、教学用具 粉笔、多媒体 PPT
五、教学过程(一 复习提问
我们学过了哪些函数?(一次函数、反比例函数
什么叫 一次函数 ?(y=kx+b,其中 k≠0表达式中的自变量是什么?
研究
函数 是什么 ?(函数的基本概念:在一个变化过程中,有两个变量 x 和 y ,并且 对于 x 每一个确定的值,在 y 中都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说 y 是 x 的函数,也可以说 x 是自变量, y 是因变量。
为什么要有 k≠0的条件? k 值对函数性质有什么影响? 说明:复习这些问题是为了帮助学生弄清自变量、函数、常量等概念,加深对 函数定义的理解.强调 k ≠0的条件,以备与二次函数中的 a 进行比较.(二由实际问题引入新课
引言中的问题:正方体的六个面是全等的正方形 , 设正方形的棱长为 x , 表面 积为 y , 显然对于 x 的每一个值 , y 都有一个对应值 , 即 y 是 x 的函数 , 它们的具体 关系可以表示为
问题 1:多边形的对角线数 d 与边数 n 有什么关系? 问题 2:某工厂一种产品今年的年产量是 20件 , 计划明后两年增加产量.如果 每年的增长率为 x , 那么两年后这种产品的产量 y 将随计划所定的 x 的值而确 定 , y 与 x 之间的关系应怎样表示? 说明:由以上三例,引导启发学生归纳出
(1函数解析式的一边均为 整式(表明这种函数与一次函数有共同的特征.(2自变量的最高次数是 2(这与一次函数不同.本处设计了三个问题, 学生容易分析其中的变量以及变量之间的关系, 也不难列 出函数解析式.通过归纳解析式特点,自然引出二次函数的定义.(三学习新课
1、二次函数的定义:形如 y=ax2+bx+c(a≠0, a、b、c 为常数 的函数叫做二次 函数.其中 x 是自变量, y 是因变量。ax 2 是二次项;bx 是一次项;c 是常数项。a 是二次项系数;b 是一次项系数。
对二次函数概念的理解可从以下几方面入手:(1强调“形如”,即由形来定义函数名称.二 次函数即 y 是关于 x 的二次多 项式.对定义中的“形如”的理解, 与一次函数类似地, 仍然要注意二次函数的 自变量与函数不仅仅局限于只用 x、y 来表示.(2在 y=ax2+bx +c 中自变量是 x ,它的取值范围是一切实数.但在实际问题 中,自变量的取值范围应是使实际问题有意义的值.如例 1中, x >0.(3 为什么二次函数定义中要求 a≠0?(若 a=0, ax 2+bx+c就不是关于 x 的二 次多项式了
(4 b 和 c 是否可以为零?由例 1可知, b 和 c 均可为零.若 b=0,则 y=ax2+c;若 c=0,则 y=ax2+bx;若 b=c=0,则 y=ax2.以上三种形式都是二次函数的特殊形式, 而 y=ax2+bx+c(a≠0 二次函数的一般 形式.2、概念巩固
(1下列函数中哪些是二次函数?哪些不是二次函数?若是二次函数,指出 a、b、c.1 3y=x(x-1;
2y=3x(2-x+3x;33y=x4+2x 2+1;44y=2x2+3x+1(2已知函数 y=(m 2-9x 2-(m-3x+2,当 m 为何值时,这个函数是二次函数? 当 m 为何值时,这个函数是一次函数?(3圆柱的体积 V 的计算公式是 V= ,其中 r是圆柱底面的半径, h 是圆柱的 高.1当 h 是常量时, V 是 r 的什么函数? 2当 r 是常量时, V 是 h 的什么函数? [说明 ]通过练习,巩固加深对二次函数概念的理解.3、例题分析
例 1设圆柱的高 h(cm是常量, 写出圆柱的体积 V(cm3 与底面周长 c(cm之间的 函数关系式.例 2用长为 20米的篱笆 , 一面靠墙(墙长超过 20米 , 围成一个长方形花圃 , 如图 所示.设 AB 的长为 x 米 , 花圃的面积为 y平方米 , 求 y 关于 x 的函数解析式及函数 定义域.例 3三角形的两条边长的和为 9 cm ,它们的夹角为 ,设其中一条边长为 x(cm, 三角形的面积为 y(cm2 ,试写出 y 与 x 之间的函数解析式及定义域.对二次函数定义域的认识, 要明确函数的表达式包括解析式和定义域.在具体 问题中,有时只研究函数的解析式.若需要研究函数的定义域时,一般有下列两 种可能性:如果未加说明,函数的定义域由解析式确定;如果函数有实际背景, 那么写出函数解析式的同时必须给出定义域, 这时既要考虑解析式的意义, 又要 考虑问题的实际意义.(四巩固提高
若 y=x^(2m+n-2x^(m-n+3是以 x 为自变量的二次函数,求 m、n 的值(四课堂小结:这节课你学习了什么,有何收获?(五作业布置:
二次函数教案解读 第2篇
教学内容:6.2二次函数的图像和性质(3 课 型:新授课 学生姓名:______ 学习目标:
1、经历探索二次函数y=a(x-h2(a ≠0的图象作法和性质的过程;
2、能够理解函数y= y=a(x-h2与y=ax 2的图象的关系,知道a、h 对二次函数的图象的影响;
3、能正确说出函数y=a(x-h2的图象的性质.教学过程:
一、叙述二次函数y=ax 2+k(a ≠0的图象和性质。
二、探索二次函数y=a(x-h2(a ≠0的图象作法和性质:
1、操作:
y=(x+3的图象;
2、思考:(1函数y=(x+32的图象与y=x 2的图象有什么关系?(2函数y=(x+32的图象与y=x 2的图象的形状相同吗?(3从表格中的数值看,函数y=(x+32的函数值与函数y=x 2的函数值相等时,它们所对
应的自变量的值有什么关系?(4从点的位置看,函数y=(x+32的图象与函数y=x 2的图象的位置有什么关系?它是轴
对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?
3、结论:函数y=(x+32的图象可以由函数y=x 2 的图像沿x 轴向平移 个单位长度得到, 所以它是 ,这条抛物线的对称轴是 ,顶点坐标是 ,当x 时,y 随x 的增大而增大,当x 时,y 随x 的增大而减小.4、观察右图,思考并回答下列问题: ①抛物线y=-3(x-12可以看作是抛物线y=-3x 2 沿x 轴平移了 个单位;抛物线 y=-3(x+12可以看作是抛物线y=-3x 2 沿x 轴平移了 个单位.②图象向左平移还是向右平移,移多少个单位长度,有什么规律吗?
5、归纳:二次函数y=a(x-h2(a ≠0的图象和性质:
三、例题:
1、二次函数y=2(x+52的图像是 ,开口 ,对称轴是 ,当
x= 时,y 有最 值,是。它是由二次函数y=2x 2向____平移______个单位得到。它向左平移6个单位后的二次函数的解析式为___________。
2、将函数y=3(x-42 的图象沿x 轴对折后得到的函数解析式是;将函数y=3(x-42 的图象沿y 轴对折后得到的函数解析式是。
3、把抛物线y=a(x-42 向左平移6个单位后得到抛物线y=-3(x-h 2 的图象,则a= ，h=。若抛物线y= a(x-42的顶点A ,且与y 轴交于点B ,抛物线y=-3(x-h 2 的顶点是M ,则S ΔMAB =.4、9.如图所示,在直角坐标系中,函数1y x =-+与21(12 y x =--的图象大致是（5、将抛物线2(2(0y a x a =+>向右平移2个单位后与直线AB 相交于B,C 两点,如图,已知A 点的坐标是(2,0,B 点坐标是(1,1.(1求直线AB 和平移后的抛物线所表示的函数解析式;(2如果平移后的抛物线上有一点D,使得OAD OBC S S = ,求这时点D 的坐标.三、课堂小结
四、课堂作业 初三数学课堂作业(42
1、二次函数y=-3(x-42的图像是由抛物线y=-3x2向平移个单位 得到的;开口,对称轴是,当x= 时,y有最值,是.2、将二次函数y=2x2的图像向右平移3个单位后得到函数的图像, 其对称轴是,顶点是,当x 时,y随x的增大而增大;当x 时,y随x的增大而减小。
3、将二次函数y=-3(x-22的图像向左平移3个单位后得到函数__________的图像,其
顶点坐标是________,对称轴是________,当x=________时,y有最_____值,是______。
4、将抛物线y=2x2-3先向上平移3单位,就得到函数的图象,再向平移个单位得到函数y= 2(x-32的图象。
5、函数y=(3x+62的图象是由函数的图象向左平移5个单位得到的, 其图象开口向,对称轴是,顶点坐标是,当x 时,y随x 的增大而增大,当x= 时,y有最值是。
6、已知二次函数y=a(x-h2,当x=2时有最大值,且此函数的图象经过点(1,-3,求此
函数的解析式,并指出当x为何值时,y随x的增大而增大?
7、如图,在平行四边形ABCD中,BC=6,S□ABCD=12,求抛物线解析式。
8、如图,一抛物线拱桥,拱顶O离水面高4米,水面宽AB=10米,现有一竹排运送一只
货箱欲从桥下通过,已知货箱长10米,宽6米,高2.5米(竹排与水面持平,问货箱能否顺利通过该桥? 课后作业:
1.抛物线23(1y x =-与抛物线23y x =的________相同,________不同。2.抛物线22(1y x =-+的开口________,对称轴是_________,顶点坐标是_______,当
x =____时,函数22(1y x =-+有最_____值为________。3.抛物线21(32 y x =-可由抛物线212 y x =向________平移________个单位得到。
4.抛物线235y x =+的开口__________,对称轴是__________,顶点坐标是__________。
5.抛物线279y x =-与抛物线27y x =的__________相同,__________不同;抛物线 279y x =-可由抛物线27y x =向_______平移______个单位得到。6.已知,函数2327 y x =-+ ,当x <0时,y 随x 的增大而______;当x > 1 2 时,y 随x 的增大而________。7.由抛物线21(33y x =+得到抛物线213 y x =只需将抛物线21(33y x =+(A.向上平移3个单位 B.向下平移3个单位
C.向左平移3个单位 D.向右平移3个单位 8.对于二次函数2(1y x =-,下列结论正确的是(A.y 随x 的增大而增大
B.当x >0时,y 随x 的增大而增大 C.当x >-1时,y 随x 的增大而增大 D.当x >1时,y 随x 的增大而增大 10.由函数2113y x =-+的图象得到21 13y x =--的图象,只需将抛物线2113 y x =-+(A.向上平移1个单位 B.向下平移1个单位 C.向上平移2个单位 D.向下平移2个单位 11.与抛物线2415 y x =--的顶点相同,形状也相同,而开口方向相反的抛物线所对应的函 数是(A.2415y x =-
“二次函数”测试卷 第3篇
1.下列函数中,图像一定经过原点的函数是().
A.y=3x-2 B.y=1/x C.y=x2+2x D.y=x2+1
2.二次函数y=-x2+1的图像大致为().
3.在同一坐标平面内,图像能由二次函数y=2x2-4x+1的图像通过平移变换得到的函数是().
4.二次函数y=kx2-6x+3的图像与x轴有公共点,则k的取值范围是().
A.k<3 B.k<3且k≠0 C.k≤3 D.k≤3且k≠0
5.不论m取任何实数,二次函数y=a(x+m)2-m(a≠0)的顶点都().
A.在直线y=x上B.在直线y=-x上
C.在x轴上D.在y轴上
6.如果某铅球运动员某次掷铅球的高度y(m)与水平距离x(m)之间的函数关系式近似于二次函数,则该铅球运动员此次掷铅球的成绩是().
A.6 m B.8 m C.10 m D.12 m
7.已知二次函数y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,且a≠0)的图像如图所示,则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图像是().
8.已知二次函数y=a(x-m)2+k的图像经过(0,4)、(6,5)两点.若a<0,0<m<6,则m的值可能为().
A.1 B.2 C.3 D.4
9.“如果二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴有两个公共点,那么一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根.”请根据你对这句话的理解,解决下面问题:若m、n(m<n)是关于x的方程(x-a)(x-b)=2的两根,且a<b,则a、b、m、n的大小关系是().
A.m<a<b<n B.a<m<n<b C.a<m<b<n D.m<a<n<b
10.如图,Rt△ABC中,AC=BC=2,正方形CDEF的顶点D、F分别在AC、BC边上,C、D两点不重合,设CD的长度为x,△ABC与正方形CDEF重叠部分的面积为y,则下列图像中能表示y与x之间的函数关系的是().
二、填空题(每小题2分,计20分)
11.当x=______时,函数是二次函数.
12.抛物线y=3x2+6x-3的顶点坐标是_______.
13.将抛物线y=3(x+2)2-3向右平移1个单位,再向上平移3个单位后得到的抛物线的解析式为_________________.
14.顶点为(-2,-5)且过点(1,4)的抛物线的解析式为__________________.
15.在二次函数y=2x2-4x+8的图像上取三点P1(x1,y1)、P2(x2,y2)、P3(x3,y3),若x1<x2<0<x3<2,比较y1、y2、y3的大小:__________________.(用“<”连接)
16.抛物线y=-x2-2x+m,若其顶点在x轴上,则m=_______.
17.抛物线y=-2x2+4x+6与x轴的两个交点之间的距离是_______.
18.二次函数y=ax2+bx+c的值永远为负值的条件是________________.
19.已知:当-2≤x≤1时,二次函数y=-(x-m)2+m2+1有最大值4,则m的值是_______.
20.二次函数y=ax2+bx+c的顶点为D(-1,2),与x轴的一个交点A在点(-3,0)和(-2,0)之间,其部分图像如图,则以下结论:①b2-4ac<0;②a+b+c<0;③c-a=2;④方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根.其中正确的结论是___________.(填序号)
三、解答题(共60分)
21.(6分)已知二次函数y=ax2+(b-1)x-3的图像的对称轴是x=4,且顶点在直线上,求这个二次函数的表达式.
22.(8分)已知二次函数y=x2-4x+1.
(1)用配方法求其图像的顶点C的坐标,并描述该函数的函数值随自变量的增减而变化的情况;
(2)求函数图像与x轴的交点A、B的坐标及△ABC的面积.
23.(8分)如图,二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴交于A(-3,0)和B(1,0)两点,交y轴于点C(0,3),点C、D是二次函数图像上的一对对称点,一次函数的图像过点B、D.
(1)求二次函数的解析式,并直接写出D点的坐标;
(2)根据图像直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围.
24.(8分)已知二次函数y=-x2-2kx-k2-5(k是常数).
(1)求证:不论k为何值,该函数的图像与x轴没有公共点;
(2)把该函数的图像沿y轴向上平移多少个单位长度后,得到的函数的图像与x轴只有一个公共点?
25.(9分)科幻小说《实验室的故事》中,有这样一个情节,科学家把一种珍奇的植物分别放在不同温度的环境中,经过一天后,测试出这种植物高度的增长情况(如下表):
由这些数据,科学家推测出植物每天高度增长量y是关于温度x的函数,且这种函数是反比例函数、一次函数和二次函数中的一种.
(1)请选择其中一种函数,求出它的函数关系式,并简要说明不选择另外两种函数的理由;
(2)温度为多少时,这种植物每天高度的增长量最大?
(3)如果实验室温度保持不变,在10天内要使该植物高度增长量的总和超过250 mm,那么实验室的温度x应该在哪个范围内选择?请直接写出结果.
26.(9分)某企业设计了一款工艺品,每件的成本是50元,为了合理定价,投放市场进行试销.据市场调查,销售单价是100元时,每天的销售量是50件,而销售单价每降低1元,每天就可多售出5件,但要求销售单价不得低于成本.
(1)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式;
(2)求出销售单价为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?
(3)如果该企业要使每天的销售利润不低于4 000元,且每天的总成本不超过7 000元,那么销售单价应控制在什么范围内?(每天的总成本=每件的成本×每天的销售量)
27.(12分)在平面直角坐标系中,已知抛物线与x轴交于A(-1,0)、B两点,与y轴交于点C(0,-2).
(1)求该抛物线的表达式,并写出其对称轴;
(2)点E为该抛物线的对称轴与x轴的交点,点F在对称轴上,如果△CEF和△CEA的面积相等,求点F的坐标;
(3)点D为该抛物线的顶点,设点P(t,0),且t>3,如果△BDP和△CDP的面积相等,求t的值.
参考答案
一、选择题
1.C提示:把x=0代入函数解析式时y=0,则该函数图像一定经过原点.
2.B提示:二次函数y=-x2+1的图像开口向下,顶点是(0,1).
3.D提示:平移变换不改变二次函数的形状和开口方向,因此a=2不变.
4.D提示:首先二次函数要求二次项系数k≠0,在此前提条件下,图像与x轴有公共点要求Δ≥0.
5.A提示:二次函数y=a(x+m)2-m(a≠0)的顶点坐标是(-m,-m).
6.C提示:令y=0,解一元二次方程
7.B提示:由二次函数的图像与y轴的交点位置知c<0,对称轴的位置知
8.D提示:根据a<0和(0,4)、(6,5)两点在抛物线上,画出抛物线的大致图像和抛物线的对称轴直线x=m,由图像直观感知,点(0,4)到对称轴的距离大于点(6,5)到对称轴的距离,所以m-0>6-m,由此解得m>3.
9.A提示:依题意画出函数y=(x-a)(x-b)图像草图,根据二次函数的增减性求解.
10.A提示:当0<x≤1时,根据正方形的面积公式得到y=x2;当1<x≤2时,ED交AB于M,EF交AB于N,利用重叠的面积等于正方形的面积减去等腰直角三角形MNE的面积得到y=x2-2(x-1)2,配方得到y=-(x-2)2+2,再根据二次函数性质对各选项进行判断.
二、填空题
11.-1提示:根据二次函数的定义,m-1≠0且m2+1=2.
12.(-1,-6)提示:配方y=3(x+1)2-6.
13.y=3(x+1)2提示:抛物线平移后的顶点是(-1,0),开口方向和大小不变.
14.y=(x+2)2-5提示:设抛物线的顶点式.
15.y3<y2<y1提示:画出抛物线的草图观察.
16.-1提示:配方,求出顶点,令纵坐标为0.
17.4提示:求出抛物线y=-2x2+4x+6与x轴的两个交点坐标.
18.a<0且b2-4ac<0提示:画出抛物线的草图观察分析.
19.2或提示:分类讨论并检验是否符合要求:当m<-2时,即x=-2时有最大值4,代入得,不符合;当-2≤m≤1时,即x=m时有最大值4,代入得或,但不在-2≤x≤1范围内,不符合,所以;当m>1时,即x=1时有最大值4,代入得m=2,符合.
20.②③④提示:由抛物线与x轴有两个交点得到b2-4ac>0;由抛物线顶点坐标得到抛物线的对称轴为直线x=-1,则根据抛物线的对称性得抛物线与x轴的另一个交点在点(0,0)和(1,0)之间,所以当x=1时,y<0,则a+b+c<0;由抛物线的顶点为D(-1,2)得a-b+c=2,由抛物线的对称轴为直线得b=2a,所以c-a=2;根据二次函数的最大值问题,当x=-1时,二次函数有最大值为2,即只有x=-1时,ax2+bx+c=2,所以说方程ax2+bx+c-2=0有两个相等的实数根.
三、解答题
21.解:由x=4代入,顶点坐标是(4,13),
设y=a(x-4)2+13,即y=ax2-8ax+16a+13,与已知y=ax2+(b-1)x-3比较:
22.解:(1)y=x2-4x+1=x2-4x+4-3=(x-2)2-3,
所以顶点C的坐标是(2,-3),抛物线开口向上,对称轴为x=2.
当x≤2时,y随x的增大而减少;当x>2时,y随x的增大而增大.
(2)解方程x2-4x+1=0得:
即A点的坐标是,B点的坐标是,过C作CD⊥AB于D,
23.解:(1)将A(-3,0)、B(1,0)、C(0,3)代入y=ax2+bx+c,
所以二次函数的解析式为y=-x2-2x+3,D点坐标为(-2,3).
(2)由图像知:一次函数值大于二次函数值的x的取值范围是x<-2或x>1.
24.(1)证明:∵Δ=(-2k)2-4·(-1)·(-k2-5)=4k2-4k2-20=-20<0,
∴方程-x2-2kx-k2-5=0没有实数解,
即不论k为何值,该函数的图像与x轴没有公共点.
(2)y=-x2-2kx-k2-5=-(x+k)2-5,
把函数y=-(x+k)2-5的图像沿y轴向上平移5个单位长度后,得到函数y=-(x+k)2的图像,它的顶点坐标是(-k,0),因此,这个函数的图像与x轴只有一个公共点.
25.解:(1)选择二次函数,设y=ax2+bx+c,
选择(-2,49)、(2,41)、(0,49)三对数值代入,
∴y关于x的函数关系式是y=-x2-2x+49.
不选另外两个函数的理由:注意到点(0,49)不可能在任何反比例函数图像上,所以y不是关于x的反比例函数;点(-4,41)、(-2,49)、(2,41)不在同一直线上,所以y也不是关于x的一次函数.
(2)由问题(1)得y=-x2-2x+49=-(x+1)2+50,
∵a=-1<0,∴当x=-1时,y有最大值为50.
即当温度为-1℃时,这种植物每天高度增长量最大.
(3)-6<x<4.
26.解:(1)y=(x-50)[50+5(100-x)]=-5x2+800x-27 500,
即y=-5x2+800x-27 500(50≤x≤100).
(2)y=-5x2+800x-27 500=-5(x-80)2+4 500.
∵a=-5<0,抛物线开口向下,又50≤x≤100,对称轴是直线x=80.
∴当x=80时,y有最大值,为4 500.
即销售单价为80元时,每天的销售利润最大,最大利润是4 500元.
(3)当y=4 000时,-5x2+800x-27 500=4 000,
解得:x1=70,x2=90.
∴当70≤x≤90时,每天的销售利润不低于4 000元.
由每天的总成本不超过7 000元,得50(-5x+550)≤7 000,解得x≥82.
∴82≤x≤90,即销售单价应该控制在82元至90元之间.
27.解:(1)∵抛物线经过点A(-1,0)和点C(0,-2),
故抛物线的表达式为:,对称轴为直线x=1.
(2)由(1)可知,点E(1,0),A(-1,0),C(0,-2),
∵,如果△CEF和△CEA的面积相等,则,又OE=1,∴EF=4,即点F的坐标为(1,4)或(1,-4).
(3)点B(3,0),点
若△BDP和△CDP的面积相等,则DP∥BC,直线BC的解析式为,
二次函数教案解读 第4篇
对数函数、指数函数、幂函数、二次函数是基本初等函数家族中的重要成员,新高考模式下的这四年江苏卷,函数部分的考题比例很大,知识点集中在函数的概念、图象与性质,函数模型及其应用,导数的工具性应用等,指数函数与对数函数为必考内容。考题涉及数形结合、函数与方程、分类讨论等数学思想；以上也是函数部分的重点。难点主要包括：①含参变量的分段函数问题；②与数列、不等式等知识交汇的问题；③恰当构建函数模型问题；④分类讨论思想的应用。
本文就近几年各类函数的常考题型,进行讲解与评析,带领同学们一起感受这部分考题是怎么设计的,帮助同学们在复习时明确复习目标。
二、 典例评析
(一) 考查函数定义域、值域
【例1】 若集合已知A=｛x｜2≤22-x≤8,x∈Z},B=｛y|y=|log2x|+1,x∈R｝,则集合A∩(
瘙 綂 RB)=．
解析 由题意得：1≤2-x≤3,得-1≤x≤1,又x∈Z,故集合A=｛-1,0,1｝,集合B是函数的值域,故B=［1,+∞),
瘙 綂 RB=(-∞,1),于是A∩(
瘙 綂 RB)=｛-1,0｝.
点评 集合的交、并、补,这是高考每年必考的题型,本题集合A的代表元素是x,并且有x∈Z的条件；集合B的代表元素是y,故集合B是函数的值域,这是需要审清楚的,有的同学会这样想：A的元素是x,B的元素是y,交集中哪有公共元素,填,这种理解是错误的,事实上,这两个集合实质是数集,这是要注意的,最后的结果是集合,不要写成-1,0。
(二) 考查函数单调性、奇偶性
【例2】 已知a=5-12,函数f(x)=ax,若实数m、n满足f(m)>f(n),则m、n的大小关系为．
解析 a=5-12∈(0,1),函数f(x)=ax在R上递减.由f(m)>f(n)得：m 点评 指数函数f(x)=ax的底数分为0 【例3】 函数f(x)=lg|x|+lg1|x|(x≠0)是函数.(填奇偶性) 解析 由对数运算性质得,f(x)=lg1=0(x≠0),图象是x轴(去掉原点),它既关于y轴对称,又关于原点对称,故函数f(x)既是奇函数又是偶函数． 点评 遇到这类题,既要考虑函数的定义域(定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提),还要看能否化简,分析函数的本质,这是解决这类题的关键。 (三) 考查函数运算性质及应用 【例4】 设函数f(x)=1+lgx1-x,定义an=f1n+f2n+…+fn-1n,n∈N*,则a2 011=． 解析 ∵f1n+fn-1n=2+lg1n1-1n×1-1n1n=2+lg1=2,将an倒序写成an=fn-1n+fn-2n+…+f1n,两式相加得2an=2(n-1),an=n-1,∴a2 011=2 010． 点评 观察题目的特点,抓住对数运算的性质,是本题的关键,倒序再求和比首尾搭配更简洁,因为首尾搭配要考虑是奇数项还是偶数项。 想一想：若求a2 012=.这样做,是不是比首尾搭配好？答案：2 011． (四) 考查分段函数图象的应用 【例5】 函数f(x)=2-x,x∈(-∞,1］, log9x,x∈(1,+∞). 使f(x)=12的x的集合为． 解析 在直角坐标系中,画出分段函数f(x)的图象(如图),由2-x=12,得x=1；由log9x=12,得x=3；故满足条件的x构成的集合为1,3． 点评 分段函数是一个函数,这类问题,只需先画出函数的图象,再利用数形结合思想,可迅速解题；结果是集合,填1,3是不妥的,应该注意。 (五) 过定点、平移等基本不等式的综合应用 【例6】 函数y=loga(x+2)-1(a>0,且a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+2=0上,其中mn>0,则1m+1n的最小值为 ． 解析 ∵函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象过定点(1,0),它向左平移2个单位,再向下平移1个单位,就得到函数y=loga(x+2)-1的图象,∴定点A(-1,-1)；∵点A在直线mx+ny+2=0上,∴m+n=2,又mn>0,∴m>0,n>0,1m+1n=12(m+n)1m+1n=122+nm+mn≥2,(当且仅当m=n=1时取等号),于是1m+1n的最小值为2． 点评 学过平移问题后,要熟记“左加右减”的平移法则,与y分别在“=”两侧加减的常数,法则是“上加下减”；得到m+n=2并判断出m>0,n>0后,1m+1n乘上1不改变结果,12(m+n)1m+1n中的12不能漏,别因为疏忽导致错误。 迟序之数，非出神怪，有形可检，有数可推。——祖冲之 (六) 建立函数模型问题(二次函数型) 【例7】 如图,线段AB=8,点C在线段AB上,且AC=2,P为线段BC上一动点,点A绕点C旋转后与点B绕点P旋转后重合于点D, 设CP=x,△CPD的面积为f(x),则f(x)的最大值为． 解 设∠DCP=θ,∵CP=x,AC=2,,∴PB=PD=6-x,在△CDP中,由余弦定理,得(6-x)2=22+x2-4xcosθ,cosθ=3-8x, sin2θ=1-cos2θ=-8+48x-64x2, S2△CPD=12×2xsinθ2=-8(x2-6x+8),当x=3时,S2△CPD取得最大值8,∴f(x)=S△CPD的最大值为22． 点评 表示三角形的面积,有两种选择：①S=12•底•高,②S=12ab•sinθ(θ为a,b两边的夹角),本题自变量x已经给出,由“同圆的半径相等”,可用数字或含x的代数式表示△CPD的三边,由正弦定理又可以建立三角形的边角关系,故②较理想。 (七) 考查二次函数、恒成立及函数与方程、分类讨论思想 【例8】 已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a>0)的图象C经过点A(1,0),曲线C在点A处的切线与直线x-6y=0垂直,又当x=4时,函数f(x)有最小值． (1) 求f(x)的解析式； (2) 若不等式f(x)≤75+mf(2-x)恒成立,求正整数m的值． 解 (1) ∵图象C经过点A(1,0),∴a+b+c=0…①；又f′(x)=2ax+b,则f′(1)=2a+b=-6…②,-b2a=4…③,联立①②③,解得a=1, b=-8, c=7.∴f(x)=x2-8x+7； (2) 不等式f(x)≤75+mf(2-x)恒成立可化为(m-1)x2+4(m+2)x+(68-5m)≥0恒成立,令g(x)=(m-1)x2+4(m+2)x+(68-5m), ①当m-1<0时,抛物线g(x)开口向下,不满足条件； ②当m-1=0时,直线g(x)=12x+63也不满足条件； ③当m-1>0时,抛物线g(x)开口向上,由m-1>0, Δ≤0即m-1>0, 3m2-19m+28≤0, 解得73≤m≤4,∵m为正整数,∴m=3或4． 点评 函数与方程经常需要相互转化,用到数形结合思想。当二次项系数含有字母常数时,往往要用到分类讨论思想,经常见到同学讨论时,前面给出分类条件,后面解不等式后,却把前面的条件忘了,采用上面m-1>0 Δ≤0的格式可有效避免这类错误。 实战演练 1. 已知幂函数f(x)=k•xα的图象过点12,22,则k+α=. 2. 若一系列函数的解析式、值域都相同,但定义域不同,则称这些函数为“孪生函数”.已知函数解析式为f(x)=2x2,值域为0,8,18,这样的“孪生函数”共有个． 3. 设α∈-1,1,-12,12,3,则使函数f(x)=xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值有． 4. 已知集合A=x13<3x≤3,B=(-∞,a),若AB,则实数a的取值范围是(c,+∞),其中c=. 5. 函数f(x)=2x+x-2的零点是x0,若x0∈k-12,k+12,则整数k=． 6. 用mina,b,c表示a,b,c三个数中的最小值.设f(x)=min2x,x+2,10-x(x≥0),则f(x)的最大值为. 7. 定义在R上的函数f(x)满足f(x)=2x,x≤0 f(x-1)-f(x-2),x>0,则f(2011)= ． 8. 函数f(x)=|lg|x||(x≠0), 0(x=0),则方程f2(x)-f(x)=0的不等实数解共有个． 无限！再也没有其他问题如此深刻地打动过人类的心灵。——希尔伯特 【参考答案】 1. 由幂函数的定义,得k=1,又函数f(x)=xα的图象过点12,22,∴12α=22, 得α=12,于是k+α=32． 2. 显然,x=0时,y=0；x=±2时,y=8,x=±3时,y=18；由映射、函数定义,定义域分别为｛0,2,3｝,｛0,-2,3｝,｛0,2,-3｝,｛0,-2,-3｝,｛0,2,-2,3｝,｛0,2,-2,-3｝,｛0,2,3,-3｝,｛0,-2,3,-3｝,｛0,2,-2,3,-3｝均满足,故这样的“孪生函数”共有9个． 3. 1或3 4. 由13<3x≤3得：-1 5. 由f(x)=2x+x-2=0,得2x=-x+2,设g(x)=2x,h(x)=-x+2,∵h(0)>g(0),h(1) 6. 在同一直角坐标系中,画出y=2x,y=x+2,y=10-x的图象(如图),观察图象可知,当0≤x≤2时,f(x)=2x；当2<x≤4时,f(x)=x+2；当x>4时,f(x)=10-x；故f(x)在x=4时取得最大值6. 7. 由已知得f(-1)=12,f(0)=1,f(1)=f(0)-f(-1)=12,f(2)=f(1)-f(0)=-12,f(3)=f(2)-f(1)=-12-12=-1,f(4)=f(3)-f(2)=-12,f(5)=f(4)-f(3)=12,f(6)=f(5)-f(4)=1,f(7)=f(6)-f(5)=12,…,可以发现：当x>0时,6为一个循环周期,得f(2 011)=12． 某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子. (1) 问题中有哪些变量?其中哪些是自变量?哪些因变量 (2)假设果园增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树?这时平均每棵树结多少个橙子? (3)如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式. 果园共有(100+x)棵树，平均每棵树结(600-5x)个橙子，因此果园橙子的总产 量 y=(100+z)(6005x)=-5x2+100x+ 60000. 二、想一想 在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的产量最多? 我们可以列表 表示橙子的总产量随橙子树的增加而变化情况.你能根据 表格中的数据作出猜测吗 ?自己试一试. x/棵 y/个 三.做一做 银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的。也就是说，利率是一个变量.在我国利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的.设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利 息自动按一年定期储蓄转存. 如 果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的表 达式(不考虑利息税). 四、二次函数的定义 一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c是常数，a0)的函数叫做x的二次函数(quadratic function) 注意：定义中只要求二次项系数不为零，一次项系数、常数项可以为 零。 例如，y=一5x2+100x+60000和y=100x2+200x+100都是二次函数.我们以前学过的正方形面积A与边长a的关系A=a2， 圆面积s与半径r的 关系s=Try2等也都是二次函数的例子. 随堂练习 1.下列函数中(x,t是自变量)，哪些是二次 函数? y=- +3x.y= x-x+25,y=2 + 2x,s=1+t+5t 2.圆的半径是l㎝，假设半径增加x㎝时，圆的面积增加y㎝. (1)写出y与x之间的关系表达式; (2)当圆的半径分别增加lcm、㎝、2㎝时，圆的面积增加多少? 五、课时小结 1. 经历探索和表 示二次函数关系的过程，猜想并归纳二次函数的定义及一般形式。 2.用尝试求值的方法解决种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多。 六、活动与探究 若 是二次函数，求m的值. 七、作业 习题2.1 1.物体从某一高度落下，已知下落的高度h(m)和下落的时间t(s)的关系是：h=4.9t ， 填 表表示物体在前5s下落的高度： t/s 1 2 3 4 5 h/m ⒉某工厂计划为一批长方体形状的产品涂上油漆，长方体的长和宽相等，高比长多0.5m。 (1)长方体的长和宽用x(m)表示，长方体需要涂漆的表面积S(㎡)如何表示? (2) 如果涂漆每平方米所需要的费用是5元，油漆每个长方体所需要费用用y(元)表示，那么y的表达式是什么? 本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址 20.1二次函数 一、教学目标： ．知识与技能： 通过对多个实际问题的分析，让学生感受二次函数作为刻画现实世界有效模型的意义；通过观察和分析，学生归纳出二次函数的概念并能够根据函数特征识别二次函数.2．数学思考： 学生能对具体情境中的数学信息作出合理的解释，能用二次函数来描述和刻画现实事物间的函数关系.3．解决问题： 体验数学与日常生活密切相关，让学生认识到许多问题可以用数学方法解决，体验实际问题“数学化”的过程.4．情感与态度： 通过观察、归纳、猜想、验证等教学活动，给学生创造成功机会，使他们爱学、乐学、学会，同时培养学生勇于探索，积极合作精神以及公平竞争的意识.二、教学重点、难点： 教学重点：认识二次函数，经历探索函数关系、归纳二次函数概念的过程.教学难点：根据函数解析式的结构特征，归纳出二次函数的概念.三、教学方法和教学手段： 在确定二次函数的概念和寻求生活实例中的二次函数关系式的过程中，引导学生观察、比较、分析和概括，以小组讨论的形式，进行合作探究． 在教学手段方面，选择了多媒体辅助教学的方式． 四、教学过程： 师生活动 设计意图 、问题感知，情境切入.教师展示实际问题： “第18届世界杯足球赛”是今年夏天最“热”的一个话题，绿荫场上运动员挥汗如雨，绿荫场外教练员运筹帷幄.足球运动是一项对运动员状态（包括体能、速度和技术意识）要求很高的项目，一般情况下，足球运动员的状态会随着时间的变化而变化：比赛开始后，球员慢慢进入状态，中间有一段时间球员保持较为理想的状态，随后球员的状态慢慢下降.经实验分析可知：球员的状态综合指数y随时间t的变化规律有如下关系： （1）比赛开始后第10分钟时与比赛开始后第50分钟时比较，什么时间球员的状态更好？ （2）比赛开始后多少分钟时，球员的状态最好，这样的最好状态能持续多少分钟？ 通过学生之间的讨论，很容易得出第（1）问的答案：比赛开始后第10分钟时，y=140；比赛开始后第50分钟时，y=220；所以，比赛开始后第50分钟时球员的状态更好.当学生开始进行第（2）问的解答时，遇到了不同的困难： （1）不知道如何讨论当50t90时，y的变化范围？ （2）通过模仿一次函数的性质，学生求出了函数y= 中，y的变化范围是.却无法说出这样做的数学依据是什么？ 所有的困难都指向一个焦点问题： y= 是个什么样的函数？它具有什么样的独特性质？ 因此，学生产生了研究函数y= 的兴趣，教师趁势提出今天的学习内容.以“世界杯足球赛”这样贴近学生生活实际的问题为背景，力求更好地激发学生的求知欲，使之成为主动、积极的探索者，并在解决实际问题的过程中体验成功的快乐，同时为新课的引出和学习奠定了基础.这是一道结合实际的自编题，其中的数据于自己做的社会调查.足球运动是一项集体运动项目，对运动员的配合意识要求很高，所以运动员上场后30分钟左右才进入最佳状态，中场休息后状态仍能保持到最佳，50分钟后由于体能的下降影响了状态的发挥.2、讲解新课，提炼知识.（1）对比、分析 教师举出生活中的其它实例，感受二次函数的意义，进一步深化对二次函数概念的认识.①如图，正方形中圆的半径是4cm，阴影部分的面积Q和正方形的边长a的函数关系式是____________________． ②某种药品现价每盒26元，计划两年内每年的降价率都为p，那么，两年后这种药品每盒的价格m（元）和年降价率p的函数关系式是____________________． 答案：m=262 （2）类比、迁移 教师顺势提问：对y=、Q=a2- 16、m=262这三个函数你能用一个一般形式来表示吗？ 教师参与到学生的分组讨论中去，合作交流，注意及时抓住学生智慧火花的闪现进行引导.教师鼓励学生用不同字母表示，只要把握概念的实质即可，必要时可提示学生，类比一次函数的知识.（3）二次函数的认识 一般地，我们把形如y=ax2+bx+c（a≠0）（说明：括号内的条件，在第步之后再补写）的函数叫做二次函数，其中a、b分别是二次项系数、一次项系数，c是常数项.（4）加深理解 二次函数的定义给出后，教师引导学生分别讨论“a、b、c的取值范围”.学生就问题自由发言，教师充分引导学生发表自己的看法，只要合理，都应肯定.最后师生达到共识： ①a不能为0，因为当a=0时，右边不再是x的二次式； ②b、c都能为0，因为当b=0、c=0或b、c都为0时，右边仍是x的二次式.教师对所得出的常量范围，进行概念补写.通过两个实例的分析，让学生通过自己列解析式，来思考所列解析式的结构特征，为概括二次函数的定义打下基础.引导学生侧重从解析式的特征思考，透过“引用不同字母”的表层现象，看到解析式的“结构一致”的本质.敞开思想，广泛议论，实现对二次函数本质的认识.充分肯定学生的探究结果，使其树立“我也能发现数学”的信心.教师的提问意在引起学生的思维冲突，使之产生探究的欲望.遵循学生认知发展及知识系统的形成过程，由一般到特殊逐步为概念的理解铺平道路.3、分层实践，能力升级.[快速抢答] 下面各函数中，哪些是二次函数？ （1）①y=2x2 ②y=－x2+3 ③y=（x≠0） ④y=15x-1 ⑤y=2+2 ⑥y=3x2-2x-5 ⑦y=-x（x2+4） ⑧y= 答：①、②、⑤、⑥是二次函数 （2）请写出这些二次函数中a、b、a b c ①y=2x2 0 c的值.0 ②y=－x2+3 － 0 ⑤y=2+2 =x2+2x+3 ⑥y=3x2-2x-5 特别强调：只有把解析式⑤整理成一般形式，才能正确判断解析式中的a、b、c.1.[轻松完成]：矩形的周长为20cm，它的面积S（cm2）和它的一边长a（cm）的函数关系式是怎样的？并求出此函数的定义域.答案：S=a=-a2+10a，其中函数的定义域为：0 （1）写出即时速度Vt与时间t的函数关系式； （2）写出平均速度与时间t的函数 关系式；（提示：本题中，平均速度） （3）写出滚动的距离S（单位：米）与滚动的时间t（单位：秒）之间的关系式.（提示：本题中，距离S=平均速度时间t） （4）请判断以上三个函数的类型，如果是二次函数，写出解析式中的a、b、c.答案： （1）Vt=1.5t； （2） = = ； （3）S= t= ； （4）函数Vt=1.5t和 =是一次函数，函数S= 是二次函数，解析式中的a=，b=0，c=0.3.[请你帮个忙]：某果园有100棵橘子树，每一棵树平均结600个橘子.现准备多种一些橘子树以提高产量，但是如果多种树，那么树与树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橘子.那么，如何表示增种的橘子树的数量x（棵）与橘子总产量y（个）之间的函数关系式呢？判断这个函数的类型，如果是二次函数，写出解析式中的a、b、c.答案： 解析式中的a=-5，b=100，c=60000.4.你出题大家做如图，正方形ABcD的边长是5，E是AB上的一个动点，G是AD的延长线上一点，且BE=DG，GF∥AB，EF ∥ AD，_____________________________________________? 请同学们以小组为单位尝试编一道实际函数问题，列出的函数关系是可以是二次函数，也可以是一次函数.估计学生可能想到： ①矩形AEGF的面积y与BE的长x 之间的关系可以用怎样的函数来表示？ 答案： ②矩形AEmD的面积y与BE的 长x之间的关系可以用怎样的函数来表示？ 答案： ③矩形BEmc的面积y与BE的长x之间的关系可以用怎样的函数来表示？ 答案： ④矩形DmFG的面积y与BE的长x之间的关系可以用怎样的函数来表示？ 答案： ⑤其它类型：六边形ABcmFG的周长y与BE的长x之间的函数关系；矩形AEGF的周长y与BE的长x之间的函数关系；…… 这是一道概念辨析题，目的是让学生正确识别二次函数，同时认识二次函数解析式中a、b、c的意义.通过求函数的定义域，让学生体会实际问题中的二次函数的特点。 通过这道题的安排，让学生体会到了二次函数应用的广泛性。同时，学生在列解析式的过程中，从对比的角度全面了解判定二次函数的方法，进一步了解不同函数的差异，从而对函数的本质有更深入了解。 这道实际问题的解决，培养了学生的观察能力和归纳能力，更重要的是让学生体验了实际问题“数学化”的过程.兴趣是学习的动力源泉，学生在参与编题的过程中，培养了与人合作的精神和创新意识，通过学生多层次、多角度地解决问题的方式，使原本枯燥的数学课堂逐渐被开放、热烈，富于创造性的课堂气氛所代替，成为激发学生潜力的最佳土壤.4、展示交流，总结新知.（1）学生自己总结，并在班上交流 本节课—— 我学会了…… 使我感触最深的…… 我感到最困难的是…… 我最值得学习的同学是…… （2）结合学生所述，教师给予指导： ①正确理解“二次函数”定义，关注和定义有关的注意问题.②生活中处处有数学的影子，只要留心观察身边的事物，开动脑筋，就能用数学知识解决许多的生活实际问题.课堂小结以教师提问、学生自由讨论的形式进行，借此促进师生心灵的交流，学生对自己清醒的认识和总结，必然促进其自主学习，获得可持续发展的动力.5、布置作业、巩固知识.（1）阅读教材相应内容，完成课后习题第45--46页第1、2题.（2）实践题： 推测植物的生长与温度的关系 科幻小说《实验室的故事》中，有这样一个情节：科学家把一种珍奇植物分别放在不同温度的环境中，经过一定时间后，测试出这种植物的增长情况（如下表） 温度t/℃ 植物高度 增长量L/mm 由这些数据，科学家推测出植物的增加量L与温度t的函数关系，并由它推测出最适合这种植物增长的温度.你能想出科学家是怎样推测的吗？请在直角坐标系里画出这个函数的大致图象，根据图象写出你的分析.必做题促进知识的巩固，实践题供学有余力的学生完成，进一步培养发散思维及社会实践能力.设置贴近学生生活的实际问题情境，并要求学生尝试画出二次函数的图象来解决实际问题，激发学生探究新知的欲望，为以后的教学埋下伏笔.五、教案设计说明:二次函数教案 第5篇
二次函数教案 第6篇
二次函数教案解读
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