几何图形范文

几何图形范文（精选12篇）

几何图形 第1篇

1 运用“构造→内部”功能着色

在初中几何领域的学习中,最常见的图形当然是三角形、四边形、圆、扇形、弓形等几何图形.给这些图形内部着色方法是最常见的,也是最简单的,只要运用几何画板菜单中的“构造→内部”功能就能解决,下面举两个例子来说明.

1.1 给四边形内部着色

目标图形:如图1,着色的部分是四边形ABCD的内部.

画图步骤:如图2,依次选中点A,B,C,D,点击菜单中“构造→四边形的内部”即可,也可以用快捷键“Ctrl+P”.显然,表现三角形、五边形、六边形等其它多边形的内部也可类似完成.

1.2 给弓形内部着色

目标图形:如图3,着色的部分是弓形O-AB.

画图步骤:如图4,在⊙O上作两点A,B,依逆时针的方向选中点B,A,再选中⊙O,点击菜单中的“构造→圆上的弧”,得到︵AB.如图5,连结AB,并选中︵AB,点击菜单中“构造→弧内部→弓形内部”,弓形O-AB的内部就顺利被着色.此时,若点击菜单中的“构造→弧内部→扇形内部”着色的就是扇形O-AB了.

给整个圆内部着色,只要选中圆,点击菜单中的“构造→圆内部”即可,由于过程简单明了,这里不详细介绍了.

2 运用“构造→轨迹”功能着色

上述类型的着色是给一些规则的、有确切名称的几何图形的内部着色.而在实际几何教学中,还有一些图形是不规则的,甚至也没有特定的名称,对于这些图形,就需要用另外的方法来着色了,以下也举两个例子予以说明.

2.1 给包含弧线的部分平面几何图形内部着色

通过上面的介绍,可以知道,含有弧线的扇形、弓形内部可以容易地被着色.而涉及弧线的几何图形却并非全是弓形或扇形,如图6的着色部分的图形虽然含有弧,却并非弓形或扇形,而是一种熟悉却没有特定名称的几何图形.下面详细叙述如何用几何画板菜单中的“构造→轨迹”来完成相应部分的着色.

目标图形:如图6,在正方形ABCD中,着色的部分是一条弧长与正方形的两条边长围成的图形的内部.

有一些平面几何图形,我们不能用现有名称来命名它时,往往可以用上面的“构造→轨迹”方法去实现着色.其实,这种方法不单单使用在几何领域,它还有更广阔的适用空间,如进行代数领域中的函数内容的教学时,由于函数的图像如双曲线、抛物线本身也是几何图形,与双曲线、抛物线相关的图形内部着色也往往可以用类似的方法来完成,下面就介绍这样的例子.

2.2 给抛物线相关的几何图形内部着色

当然也可以完成双曲线相关几何图形的着色,过程雷同,不再赘述.

3 综合运用适当功能着色

近几年来,动态几何是几何学习的一个重要内容,在平时的课堂教学与试卷讲评中,不可避免地会涉及到这部分内容.动态几何图形的着色比静态的几何图形就更为复杂.当图形运动变化时,若孤立地为不同时段的目标图形内部着色,可以用本文上述的方法来解决,而要连续、自然、本质地为变化中的几何图形内部着色,就要借助几何画板的其它功能.下面以给运动中的两个几何图形的重叠部分图形的内部着色为例,叙述如何运用菜单中“度量→点的值”、“变换→缩放”等功能,为形状、大小均在连续变化的几何图形内部着色.

3.1 给连续变化的两个图形的重叠部分着色

如图13,14,在锐角△ABC中,D,G分别是边AB,AC上的两个动点,在运动中始终保持DG∥BC,以DG为边在DG的下方作正方形DEFG.现在要求给运动过程中锐角△ABC与正方形DEFG的重叠部分着色.

在点D运动的过程中,锐角△ABC与正方形DEFG的重叠部分会由正方形变形为矩形.如果分开来,对正方形与矩形内部分别着色并不困难.而如果要在点D运动的过程中,要对运动变化中锐角△ABC与正方形DEFG的重叠部分的着色,就要费一番周折了.

目标图形:如图13,14,在锐角△ABC中,D,G分别是AB,AC边上的两个动点,且保持DG∥BC,以DG为边在DG的下方有正方形DEFG,着色部分是锐角△ABC与正方形DEFG的重叠部分(如图15,16).

画图步骤:如图17,选中点B与线段DE,按住“Shift键”的同时,点击菜单中“度量→点的值”,出现了“B在DE上”的度量值.接着,选中点D,点击菜单中“变换→标记中心”;选中“B在DE上”的度量值,点击菜单中“变换→标记比值”;再选中点E,点击菜单中“变换→缩放”,就可得到如图18的点E′.同理,选中点G,点击菜单中“变换→标记中心”;选中“B在DE上”的度量值,点击菜单中“变换→标记比值”;再选中点F,点击菜单中“变换→缩放”,就可得到如图18的点F′.最后,依次选中点D,E′,F′,G,点击菜单中“构造→四边形的内部”即可得到预想的着色效果.

这时,在线段AB上,由A到B方向拖动点D时,着色部分就会自然地、连续地、呈现由图15到图16的变化,在这个过程中,锐角△ABC与正方形DEFG的重叠部分(着色部分)的变化得到一气呵成地、连续地展示.

几何图形教案 第2篇

双泉初中

麻敏

二0一 一 年 十 月

4.1.1几何图形 教案

教学目标

1．知识与技能

（1）通过观察生活中的大量图片或实物，体验、感受、认识以生活中的事物为原型的几何图形，认识一些简单几何图形的基本特性，能识别这些几何图形。

（2）能从现实物体中抽象得出几何图形，正确区分立体图形与平面图形。

2．过程与方法

（1）经历探索平面图形与立体图形之间的关系，发展空间观念，•培养提高观察、分析、抽象、概括的能力，培养动手操作能力。

（2）经历问题解决的过程，提高解决问题的能力。3．情感态度与价值观

从现实世界中抽象出几何图形的过程，感受图形世界的丰富多彩，激发对学习空间与图形的兴趣，通过与其他同学交流、活动，初步形成参与数学活动，主动与他人合作交流的意识。教学重点：

识别简单几何图形 教学难点：

从具体事物中抽象出几何图形 教具准备： 长方体、正方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等几何体模型，及多媒体教学设备。教学过程：

一．情景引入

展示丰富多彩的图形世界。（播放多媒体课件）找出一些熟悉的图形？

二．讲授新课 1.几何图形

（1）出示实物（方形纸盒）想象出几何图形。

（2）再出示（茶叶罐，足球，一个图形），它们与我们学过的哪些图形相类似？

（3）请你把相应的实物与图形用线连接起来。2.立体图形

（1）出示（长方体、正方体、球、棱柱、圆柱、圆锥模型），看一看再动手摸一摸，说说它们有什么特征。（小组合作，共同完成）

（2）棱柱，棱锥的命名

（3）尽可能在你周围的环境中找出立体图形的例子。３．平面图形

（1）（用多媒体展示图形）它们有什么共同特征？（2）下列图形包含哪些简单的平面图形？ ４．立体图形和平面图形的关系 课堂练习：

1、把图中的几何图形与它们相应的名称连接起来。

2、在木马身上你能找到哪些立体图形？

3、在猫咪身上你能找到哪些平面图形？ 小结：

请同学们谈谈本节课的收获。

作业：

请同学们用几何图形设计一幅以“环保”为主题的图案。板书设计：

1.几何图形：像长方体、圆柱、球、长方形、正方形、三角形、四边形、圆、线段、点等，从实物中抽象出来的各种图形统称为几何图形。

2.立体图形：像长方体、正方体、球、圆柱、圆锥、棱柱、棱锥等，各部分不在同一平面内的几何图形都是立体图形。

3.平面图形：像长方形、正方形、三角形、六边形、圆、线段、角等，各部分都在同一平面内的几何图形都是平面图形。

立体图形

几何图形

初论几何图形 第3篇

一、几何图形是从物体形状中抽象出的数学概念

我们身边的物体都有各自的形状，几何图形是人们从丰富多彩的物体形状中抽象出的数学概念，例如，人们对满月、车轮、硬币等物体的形状进行抽象概括，发现这些物体的形状都符合“一中同长”的特点，即周边各点到中心一点的距离都一样长，为研究具有这一特点的物体形状，人们得出了圆的定义，即平面上到一个定点的距离等于定长的所有点的集合叫作圆，这个定点叫作圆心，定长叫作圆的半径，这里的圆，已经脱离了满月、车轮、硬币等物体的其他性质，只反映这类物体共同的形状特征。它是一种几何图形，恩格斯对几何图形的产生给出了精辟的总结：“‘形’的概念完全来自外部世界，而非头脑凭空想出，对客观存在的物体形状加以比较，才得出‘形’的概念。”

几何学是研究“形”的数学分支，它的英文单词为geometry，其中geo表示土地，metry表示测量，器物制造、土地测量等实际需要，是几何学产生的原动力，人们在长期的实践活动中。对来自现实世界的几何图形进行了深入研究，不断获取经验，发现规律，并加以系统整理。使得具有严密逻辑体系的几何学逐步形成，几何图形的形状、大小和位置等，是几何学研究的主要问题，按研究对象和研究方法的不同。几何学可分为欧氏几何、非欧几何、解析几何、射影几何、微分几何、代数几何等，其中，欧氏几何因古希腊数学家欧几里得而得名，它最早成型，是最基础的几何体系，而且对整个数学向公理化方向发展起了重要的推动作用，同学们在初中数学中所学习的几何知识都在欧氏几何范畴内。

二、几何图形的组成

几何图形形态各异，变化万千，有繁有简，最简单的几何图形是孤立的一个点，它只表示空间中的一个位置，而没有大小的规定，画图时笔尖接触一下纸就画出一个点，笔尖在纸上连续移动，所经过的不同位置分别对应空间中不同的点，这些点组成一条不间断的线，这就是“点动成线”，作为几何图形，任何线段（包括直线段和曲线段）都只计长短而不计粗细，线在空间中连续运动（平移、旋转等），其运动轨迹可以形成一个平面图形或曲面图形。这就是“线动成面”，封闭的平面图形或曲面图形都只计边界长短、面积大小而不计厚薄，面在空间中连续运动（平移、旋转等），其运动轨迹可以形成一个立体图形，这就是“面动成体”，封闭的立体图形一般只计边界长短、表面积大小、体积大小。

复杂图形可以分解为若干简单图形，点是组成几何图形的最基本的元素，每个几何图形都是符合一定条件的点的集合，例如，以点O为中心、半径为1的球面（如图1），是由空间中所有到点O的距离等于1的点组成的集合，它也可以看作半圆弧ABC绕直线AC旋转一周形成的曲面，

几何学中，平面是一个不加定义的原始概念，平面平如镜子，它不计厚薄，没有边界，可以向各个方向无限延伸。

几何图形可以分为两类：如果构成图形的点都在同一平面上，则这个图形属于平面图形，例如直线、三角形、四边形、圆等；如果构成图形的点不全在同一平面上，则这个图形属于立体图形，例如长方体、圆柱、球等，在欧氏几何中，以平面图形为主要研究对象的部分，叫作平面几何，以立体图形为主要研究对象的部分，叫作立体几何。

对于平面图形和立体图形，可以这样想象：

构成平面图形的点，是在一个不计厚薄的平面上运动，点的运动轨迹上的任一位置，由横、纵两个方向上的位置所确定，这类似于在平房教室中，每个学生的座位由座次表上的横向排号和纵向列号两个数所确定，这两个方向称为两个维度，所以平面图形也叫二维图形，现在常用的二维码（如图2），是按一定规律在平面上黑白相间地排列而得到的图形，它记录了特定的数据符号，由于它是用平面图形表达信息的，所以叫作二维码。

构成立体图形的点，是在一个像盒子一样的空间里运动，点的运动轨迹上的任一位置。由横、纵、竖三个方向上（如图3）的位置所确定，这类似于在有不同楼层的剧场中。每个观众的座位由入场券上的横向排号、纵向列号和竖向楼层号三个数所确定，这三个方向称为三个维度，所以立体图形也叫三维图形，我们能直观感受到的外部空间是三维空间，所以三维图形也常被称为空间图形，通常所说的3D电视，就是能使画面产生立体视觉效果的电视，

平面图形与立体图形在一定条件下可以互相转化，如图4，圆柱是立体图形，把组成它的各个面平铺开来，所得展开图是平面图形：反过来，把圆柱的平面展开图折起。各个面又围成立体图形，认识立体图形时，通常先从它包含的平面图形人手，这种研究方法是“降维处理”，但是，不是任何立体图形都有平面展开图，例如，球的表面是一个完整的曲面，它不能严格地展开成平面图形，我们只能设法得到其平面近似展开图，绘制世界地图时，会用到这种近似展开方法。

例1如图5，一只蚂蚁在长方体上的点A处，它要沿我们能看到的面爬到点B处，最短路程是多少？

解：观察图5，根据经验可知，蚂蚁要想以最短路程从点A处爬到点B处，至少要经过长方体的两个面（即经过正面与上底面或经过正面与右侧面），画出长方体的平面展开图（如图6），图5中的点B对应图6中的B₁、B₂两个点，两个点之间的最短路径是连接这两个点的线段，比较线段AB₁和线段AB₂，通过测量可以发现AB₁>AB₂，故在图5中，从点A处出发，经过正面与右侧面到达点B处的路径（对应图6中的线段AB₂最短，按图中标注的尺寸，可以通过测量、计算得到最短路程为5。

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三、直线是原创几何图形

几何学有严格的逻辑顺序，如果要给一种几何图形下定义，定义中出现的其他图形必须是此前已明确的概念，因此，在逻辑链条的起始端，必然要有一些只作描述而不加定义的原始几何图形，它们是以后衍生出其他一系列几何图形定义的基础，点、直线、平面等都是原始几何图形。

直线无定义，对它只有描述性的解释，如像一根拉紧的细线，没有弯曲之处，不计粗细，可以向两个方向无限延伸等，直线概念既来自于实际原型（如拉紧的细线等），又高于实际原型，其中包含了人类丰富的想象力（如无限延伸等），直线是动点朝两个相反的方向移动的轨迹，从运动方向的角度看，沿一条直线的运动最简单，例如物体在自由下落的过程中，方向始终竖直向下，物理中把这类运动称为直线运动。

一条直线上有无数个点，这些点有序地排列在直线上，中间不存在“空位”，这体现了直线上点的有序性和连续性，人们正是利用这些性质发明了数轴这一表示实数集合的直观模型。

无数次实践验证了一个基本事实：在空间中任意选取两个点，经过它们能且只能画出一条直线（如图7），人们把它归结为一条公理（即直接承认的真理）：两点确定一条直线，这里的“确定”包含了“存在性”（一定有过这两个点的直线）和“唯一性”（过这两个点的直线只有一条），几何学中，像这样有双重含义的“确定”广泛地存在着，如：不在同一直线上的三个点确定一个圆（如图8），不在同一直线上的三个点确定一个平面（如图9），

有了直线这一原始几何图形，就可以用它定义射线和线段这两种基本几何图形，直线上的一个点和它一侧的那一部分叫作射线，直线上的两个点和它们之间的那一部分叫作线段，显然，射线无限长，它表示了一个确定的方向，线段有长度，“两点之间线段最短”是几何学中的又一条公理，一条线段的长度就是线段的两个端点之间的距离。

例2空间中有n个点，其中任意三个点不在同一直线上。以这些点为端点的线段共有6条，

（1）求n的值，

（2）设A、B、C是这n个点中的任意三个，线段AB、AC、BC之间有什么关系？

解：（1）以这n个点中的任意两个为端点，可以连出一条线段，所以每个点均可与另外（n-1）个点连出（n-1）条线段，以两个点为端点的线段仅有一条，所以线段的总条数为

（2）如图10，因为A、B、C三个点不在同一直线上，线段AB是A、B两个点之间的最短路径，A→C→B是从点A到点B的另一条路径。所以AB

线段是直线上有限长、不间断的一部分，它的长度容易理解，由线段组成的几何图形属于直线形，例如三角形、四边形、五边形等，直线形的度量和计算（周长、面积等）建立在线段长度的基础上，例如三角形的周长C=a+b+c。

直线有一个特性是处处不弯曲，有些几何图形不具有这种性质，例如圆弧是处处弯曲的线，它属于曲线，含有曲线的几何图形属于曲线形，曲线形的度量和计算要比直线形复杂，例如推导圆的周长公式和面积公式要比推导三角形的周长公式和面积公式难得多，

能否通过“化曲为直”使曲线形的计算变得容易呢？我们看看魏晋时期的数学家刘徽是怎么做的，如图11，刘徽先把圆周六等分，连接各等分点，得到圆内接正六边形；在此基础上，再把圆周十二等分，连接各等分点，得到圆内接正十二边形……继续下去，使圆内接正多边形的边数不断加倍，则圆内接正多边形的面积就越来越接近圆的面积，正多边形是直线形，它的面积相对容易计算，通过计算边数不断加倍的正多边形的面积，可得到圆的面积越来越精确的近似值，可以想象，当边数充分大时，圆内接正多边形与圆几乎重合，刘徽用这种“割圆术”计算出圆的面积高精度的近似值，并求出圆周率的近似值3.14，这在当时是非常辉煌的成就，可以发现，刘徽的“割圆术”是通过无限细分的方法，使微小的圆弧段转化为与之极为相近的微小线段，这种“化曲为直”的方法与思想。和后来出现的微分方法、极限思想高度一致。

几何图形中蕴涵了丰富的数学知识，随着学习的深入，同学们会不断提高对它们的认识。

责任编辑：潘彦坤

生活中的“几何图形” 第4篇

同学们, 你们是否曾留意下面的生活问题, 是在用上面的这些几何图形的相关性质或判定解答的吗?让我们一起来体验数学在生活中的价值.

例1如图1, 舞台的背景形状是两个直角三角形, 工作人员想知道这两个直角三角形是否全等, 但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量.

(1) 你能帮他想个办法吗?你这样做的依据是什么?

(2) 如果他只带了一个卷尺来, 能完成这个任务吗?

【解析】 (1) 测量一边和一个锐角, 由AAS或ASA可以推得全等;测量两边及夹角, 由SAS可以推得全等. (2) 用卷尺测量可以量的两条边, 即一条为直角边、另一条为斜边, 由HL可以推得全等.

这个生活中的问题, 是考察对直角三角形全等的判定的理解, 直角三角形的全等不仅可以用对一般三角形全等适用的方法, 如SSS、SAS、AAS或ASA, 还有它本身的特殊性具备的全等判定方法:HL.

例2如图2, 两根长度为12米的绳子, 一端系在旗杆上, 另一端分别固定在地面的两个木桩上, 两个木桩离旗杆底部的距离相等吗?请说明理由.

【解析】由等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合, 易推得相等.

例3在路、桥衔接的地方, 或休闲小广场, 往往铺一大片平行四边形的地砖, 这样可以引起过往车辆的驾驶员的注意, 还可以增大摩擦力, 你知道它能平铺地面的原因吗?

【解析】由平行四边形的邻角互补, 易得到它可以密铺 (多边形无缝隙无重叠的铺成一片) .又由于它的对边相等, 所以铺成后缝线整齐.

例4小华在某风景区的商店里购买纪念品时, 看到一块真丝方巾, 非常想买, 但她在将方巾拿起来横看、竖看时, 感觉方巾不是正方形的.售货员似乎看出了她的疑虑, 马上将方巾拿过去.他捏住一组对角的两个顶点, 折成一条缝让小华观察缝线两旁的两个三角形是否重合;然后又捏住另一组对角的两个顶点, 折成一条缝, 再让小华观察缝线两旁的两个三角形是否重合.小华看两次都重合, 于是付款买了真丝方巾.你认为小华买的这块方巾一定是正方形吗?售货员的检验方法可靠吗?

【解析】根据售货员的方法, 说明这块纱巾的四条边都相等, 两组对角分别相等, 这只能保证纱巾是菱形, 并不能保证它是正方形.要保证纱巾是正方形, 用折叠的方法, 只要再说明一个角是直角就行了.将相邻两个角的顶点重合、抹平, 则这两个角有一边重合, 观察角的另一边, 如果也重合, 那么这两个角相等且互为补角, 所以这两个角都是直角, 从而能说明这块纱巾是正方形的.

例5如图3, 是某城市部分街道示意图, AF∥BC, BA∥DE, BD∥AE, EC⊥BC, 甲、乙两人同时从B站乘车到F站, 甲乘1路车, 路线是BAEF, 乙乘2路车, 路线是BDCF.假设两车速度相同, 途中耽误的时间相同, 那么谁先到达F站?请说明理由.

【解析】1路车路程:BA+AE+EF, 2路车路程:BD+DC+CF, 谁先到达F站, 即比较BA+AE+EF与BD+DC+CF的大小.延长ED交BC于G点, 则四边形ABGD为平行四边形, ∴DG=AB.又四边形ABDE是平行四边形, ∴DE=AB, ∴点D为Rt△ECG斜边上的中点, ∴CD=DG=AB, ∵DF∥CG, D为EG的中点, ∴由△EDF∽△EGC可得EF=CF, ∴1路车、2路车同时到达F站.

这是一道立意新颖的情景性习题, 充满浓厚的生活气息, 它强化了对文字、图形、符号语言的理解, 并能将生活实际问题纯数学化, 建立相应的数学模型, 来解决问题.它容易让我们感受到数学来源于生活, 又能指导我们的生产生活.

下面给出与生活有关的几个问题, 供同学们练习用:

1.某游乐场安装滑梯设备, 有两个长度相同的滑梯, 如图4所示, 左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等, 那么安装师傅对两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么要求?请说明理由.

2.如图5是十堰市郧县汉江斜拉桥的剖面图.BC是桥面, AD是桥墩, 设计大桥时工程师要求斜拉的钢绳AB等于AC.大桥建成后, 工程技术人员要对大桥质量进行验收, 由于桥墩AD很高, 无法直接测量钢绳AB、AC的长度.请你用三种方法检验AB、AC的长度是否相等. (检验工具为刻度尺、量角器;检验时, 人只能站在桥面上)

3.身边没有量角器时, 怎样得到一些特定度数的角呢?动手操作有时可以解“燃眉之急”.如图6, 已知矩形纸片ABCD (矩形纸片要足够长) , 我们按如下步骤操作可以得到一个特定的角:

(1) 以点A所在直线为折痕, 折叠纸片, 使点B落在AD上, 折痕与BC交于E;

(2) 将纸片展平后, 再一次折叠纸片, 以E所在直线为折痕, 使点A落在BC上, 折痕EF交AD于F.则∠AFE=______.

画几何图形教案 第5篇

学会几何图形的画法。教学任务

1、学习椭圆、矩形、圆角矩形工具的使用方法。

2、能运用画图工具作简单的规则图形。教学方法

展示点评 教学重点、难点

“椭圆”、“矩形”、“圆角矩形”等画图工具的使用方法。教学过程 教学引入

（讲解上节课学生的作业，点评学生的作品）

一、引入

在上课前老师先请你们看一幅画(演示图画)，请你们仔细观察一下，这个房子分别是由哪些图形组成的？(长方形、正方形、圆角长方形、椭圆)那我们应该怎样来画这座房子呢？今天我们就来学习。出示课题：画方形和圆形(板书)

二、新课

1．矩形工具(画房子的主体)首先我们应该画出房子的主体，是一个长方形，我们可以用工具箱中的矩形工具来画。(师演示)(1)单击工具箱中的“矩形”工具按钮。

(2)在画图区适当的位置按下左键，以确定房子主体的左上角位置，再向右下角拖动，满意后，松开左键，这样房子的主体就画好了。请一位同学上来演示用矩形工具画一扇门。(注意门的位置)问：房子的窗户是什么形状的？正方形我们怎么来画呢？ 请同学们自己在书上找到答案(读一读)。

在房子主体内确定好窗户的位置后，按下Shift键，再拖动鼠标，满意后松开鼠标，窗户就画好了。下面请同学们练习，教师巡视指导。2．圆角矩形工具(画房子的房顶、烟囱)房顶是什么形状的？

我们可以用工具箱中的“圆角矩形”工具来画。它的画法与“矩形”工具是一样的，谁来试一下，把房顶和烟囱画出来。

学生演示(确定好房顶的位置后，拖动出一个合适的圆角长方形)。3．椭圆工具(画烟)烟囱里冒出的烟是椭圆形的，我们可以用工具箱中的“椭圆”工具来画，先单击“椭圆”工具，然后从烟囱口向右上方，分别拖动画出三个椭圆。(师演示)学生练习(把剩余部分画好)练习

小学几何图形“建模”教学点滴 第6篇

[关键词]几何 平面 立体 建模

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2015）02-054

数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化，建立能近似刻画并解决实际问题的一种强有力的教学手段。我认为数学不仅要研究“数”——整数、小数、分数；偶数、奇数；质数、合数……还要研究“术”——技巧、方法。学生不应该只是学一会一，而应该触类旁通、举一反三。建立解决同一类问题的模型，正是一种“术”。今天就谈一谈几何图形教学中我是如何帮助学生建构模型的。

一、初步感知积点成线、织线为面——低年级的几何图形教学

小学低年级的几何教学，主要的目的在于帮助学生逐步发展起空间观念。因此，教师要注意利用儿童已有经验，通过大量、丰富的观察、操作、游戏等活动，丰富学生对物体的形状和图形的感性认识，体验图形的一些特征，激发学生学习空间与图形知识的兴趣。

如何辨认立体图形呢？第一步，看点——顶点。立体图形中能摸到尖尖的顶点的图形是长方体、正方体、三棱柱，而摸上去很光滑、能滚动的则是圆柱体和球体。第二步，积点成线。这里的线是我们俗称的“边”——边缘，长方体、正方体、三棱柱都有很多边，而圆柱体只有两条弯弯的边，球体没有边，所以圆柱体可以沿着弯弯的边滚动，球体可以随意地转动。

那么，如何辨别平面图形呢？在学习“认识平面图形”一课时，上课伊始，教师拿出的不再是粉笔，学生面前摆的不再是课本，而是各种形状的积木、五颜六色的画笔。让学生用画笔去描画积木的一个面，用剪刀剪下这个形状，自己去观察、去思考、去寻找、去发现平面图形（长方形、正方形、圆形、三角形）的形状和特征。学生会很直观地发现它们之间的不同：点——有四个顶点的是长方形、正方形，有三个顶点的是三角形，没有顶点的是圆形；边——相连的两条边要像课桌角、课本角一样正正方方的，通过对折，边一样长的是正方形，有的边长、有的边短的是长方形。然后用自己剪下的平面图形去创作一幅美丽的画面，从而加深学生对平面图形的认识，感受“面”在“体”中，同时开拓了学生的思维，培养了学生的想象力。这样，低年级的学生就初步建立了从顶点、边两个层次研究图形的模型。

二、深入探究积点成线、织线为面——中年级的几何图形教学

中年级的几何图形教学主要是在平面图形中展开。通过观察、操作，初步认识长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形的特征。对比低年级的教学，中年级的几何教学从感知、辨认层面上升到了对图形特征的研究，我们的教学仍然从点、线、面三个层次展开。图形有几个顶点？几条边？边和边之间有什么关系？周长是多少？面积怎样计算？这都是中年级几何图形教学的内容。

比如，我在教学三年级上册“四边形”一课时，首先展示整个主题图的画面。围绕“你发现了哪些图形？”先让学生仔细观察，然后小组交流，列举发现的各种图形，如长方形、正方形、圆形、三角形、菱形、平行四边形和梯形等，以此导入有关四边形的教学。然后让学生从众多的图形中区分出四边形，并感悟到四边形有四条边和四个角。最后对各种四边形分类，让学生对不同的四边形各自的特性有所了解。这样研究的层次就从从低年级的感官感知深入到了对图形的角、边的研究。

三、面面俱到，终成一体——高年级的几何图形教学

把平面图形转化为立体图形是“空间与图形”这一学习领域中较为抽象的内容。要构建这一由平面图形转化为立体图形的数学模型，必须让学生在“说一说”、“摆一摆”的操作中掌握“摆”的方法。学生的空间知识来自丰富的现实原型，只有在头脑中具备了较为清楚的表象，学生才可能脱离实际物体，在头脑中形成清楚的图形。培养空间观念就要将视野拓宽到生活空间，充分利用学生生活中的事物，引导学生探索图形的特征，丰富空间与图形的经验，建立初步的空间观念。

如研讨“圆柱的体积”时，首先让学生准备圆柱形的黄瓜、萝卜等物体，小组讨论：用什么方法求出圆柱形黄瓜或萝卜的体积呢？有的学生提议把萝卜割拼成长方体，再用长方体体积进行计算；有的学生提议把圆柱形的黄瓜放入盛满水的长方体容器里，溢出水的体积就是圆柱体黄瓜的体积……这时抓住时机让学生动手操作，验证自己的设想。在活动中让学生带着以下问题操作：你的方法好吗？有需要改进的地方吗？学生一边讨论一边操作。经过讨论，几个小组一致认为用割拼的方法，把圆柱体拼成近似的长方体来求它的体积比较好。在这种情况下，让学生继续分组讨论怎样求圆柱体体积，并动手量一量、测一测、算一算。在小组互相争执中，使知识逐步完善。教学过程中，让学生在教师设计的真实情景中独立提出问题、解决问题，全身心地投入、自主地进行活动，广泛地进行交流，在跌宕起伏的情感体验中，自主完成对知识的构建。

总之，通过“积点成线、织线为面、终成一体”的建模教学，可以加深学生对几何知识的理解和掌握，内化所学知识。

几何图形的分析与应用 第7篇

一、借用图形, 理解概念

几何知识中, 表示概念的符号, 除了语言文字外, 还采用一种与概念相对应的特殊的视觉符号直观图形。直观图形传递概念时, 它给人的信息不仅是完整的、显示结构的, 而且是直觉感受到的。因此直观图形能直接反映相应概念的本质特征, 使学生迅速准确地理解概念的内涵。教学中通过分析某类对象或图形和特征, 进而学习与之相应的数学概念, 这样既符合学生的认识规律, 又符合循序渐进的教学原则。

通过借用图形, 图文并举, 把抽象概念和学生熟悉的事物联系起来, 由浅入深, 通过直觉联想理解概念的内涵。这种方法对那些高度抽象、高度概括的数学理论往往有事半功倍的效果。

二、分析图形, 突出本质

分析图形, 避免用常识性的理解代替本质属性。例如, 观察比较两个角的大小, 有不少学生会一眼看出哪个较大, 因为他们选择的观察对象是这两个角的两条边, 经过试题可以引导学生分析得出:角的大小与角的边长无关。几何教学中类似的例子举不胜举。初学几何, 学生往往凭直觉, 不认真分析就草率结论, 从而导致错误。因此在几何教学中, 教师一定要注意引导学生分析图形, 通过直观的教学引导学生抓住数学理论的本质。另外几何学习中还有一类突出的错误就是学生常常把非本质的属性理解为本质属性:例如, 总认为三角形的高线一定在三角形的内部。如果教师举一钝角三角形加以说明, 就能使复杂问题具体化, 让学生的学与教师的教都在一种宽松、直观、生动的氛围中进行。另外, 教师有意识地举一些反例论证抽象的数学理论, 也是培养学生的发散思维的有效途径。

三、运用图形, 强化数学定理

数学定理是从现实世界的空间形式或数量关系中抽象出来的。通过对具体事物的观察、测量、计算、作图等实践活动, 可以深化学生对数学定理的理解。所以在几何教学中一定要注意学生的主体参与, 力争将数理理论建立在实践的基础之上。例如, 讲解三角形内角和定理, 可以用硬纸做一个三角形, 然后把它的三个内角剪开后拼在一起, 看看是否拼成一个平角, 进而概括出三角形内角和定理。

通过以上的实践活动, 学生亲身感受, 理论与实践达到了有机的统一。不但加深了数学理论的学习, 而且也培养了学生的实际操作能力。

四、观察图形, 突出空间联系

在观察图形时, 不能忽视几何图形中几何要素间的联系, 要把握空间联系建立空间观念。例如, 垂线是反映平面上两条直线的位置关系的, 离开的另一条直线就不能单独说哪一条直线是垂线。几何图形源于实物, 教师在几何教学中必须重视几何图形的空间联系, 这样既有利于学生掌握实物图形, 又有利于培养学生的空间想象能力, 为立体几何的学习打下良好的基础。

五、分析图形, 抓住特殊元素

几何图形中有一些特殊的元素。例如, 三角形的高、中线、中位线, 线段的垂直平分线, 相交圆、相切圆的连心线, 以及直角三角形的构造。这些都是证题时常常使用的元素。推理时抓住这些元素, 注意它们在题设中的地位和作用, 往往是解证的关键。教师在分析图形时, 紧抓这些关键元素, 就抓住了要害, 看准了证题突破口。

六、分析图形有条有理

数学是一门逻辑性强、思维严密的科学, 几何证明更是如此。这就要求教师对图形分析有条有理、思路清晰, 证明才能顺利完成。

学生对数学理论的认识水平、能力的高低与学生获取的感性材料有着密不可分的联系。教学中几何图形的运用正是从感性认识入手, 将抽象理论建立在实践之上的有效方法, 因此无论在教学概念、定理时, 还是在题设论证中都不应忽视图形的分析与使用。

解析平面几何图形的面积 第8篇

一、直接求法

根据题目给出的条件和三角形、圆等面积公式就可以正确求出答案.

例1如图, 将等腰直角三角形ABC绕点A逆时针旋转15°后得到△AB′C′, 若AC=1, 则图中阴影部分的面积为 () .

解析本题只要抓住AC旋转到AC′的长度保持不变, 并可求出∠C′AB的大小, 这样就可以求出C′E的长, 阴影部分的面积可迎刃而解.

由AC′=AC=1, ∠C′AB=45°-15°=30°,

又∵∠AC′B′=90°,

二、间接求法

不能用公式直接求, 如果所要解决的问题是不规则的图像, 但我们可以通过其他面积间接求出答案.

例2如图, 在△ABC中, BC=4, 以点A为圆心, 2为半径的⊙A与BC相切于点D, 交AB于E, 交AC于F, 点P是⊙A上的一点, 且∠EPF=40°, 则图中阴影部分的面积是 () .

解析观察阴影部分是不规则的, 但是△ABC和扇形的面积是可求出的, 从而我们可以得到阴影部分的面积.

∵∠EPF=40°, ∴∠EAF=80°,

连接AD, 知道AD⊥BC于D点.

三、对称性求法

此类问题分别求各部分的面积很困难, 但我们可以观察图形, 由对称、旋转等知识把图形合并成一个比较容易求值的图形, 从而使问题简单化.

例3如图, EF过矩形ABCD对角线的交点O, 且分别交AB, CD于E, F, 那么阴影部分的面积是矩形ABCD的面积的 () .

解析乍一看阴影部分的面积是由两部分组成, 是不易解决, 但由于四边形ABCD是矩形, 是关于O中心对称, 阴影部分的面积就是△ABO的面积.

在矩形ABCD中, AO=BO=CO=DO.由等底等高知:

S△ABO=S△ODA, 同理有S△ABO=S△BOC=S△COD=S△AOD.

四、等量替换法

直接不能求某图形的面积, 找出与之相等的图形面积进行代换.

例4如图所示是一块待开发的土地, 规划人员把该土地分割成 (1) 号区、 (2) 号区与 (3) 号区三块, 拟在 (1) 号区种花、 (2) 号区建房、 (3) 号区种树, 已知图中四边形ABCD与四边形EFGH是两个相同的直A角梯形, 则 (1) 号区种花的面积为______m2.

解析此题一看很棘手, 题中给我们要直接求出 (1) 号区域的面积的条件不够, 但我们要充分抓住四边形ABCD与四边形EFGH是两个相同的直角梯形, 这样问题就好办了.

由条件我们知S梯形ABCD=S梯形EFGH,

∴S梯形EFGH-S (2) =S梯形ABCD-S (2) ,

∴S (1) =S (3) ,

五、综合计算

通过综合分析, 一步步逆推, 从而揭示正确的解题途径.

例5在一块矩形ABCD的稻田中, 有两条互相垂直的绳子将它分成了四块小矩形的稻田, 其中S1, S2, S3三块稻田的面积分别是14m2, 10m2, 36m2, 则阴影部分的面积是m2.

分析此题只告诉三块田的面积, 阴影部分的长宽都不知道, 也很难解决, O不是特殊的点, 也不能用特殊值求法.我们通过计算来解决.

设EO=x, OF=y, OG=m, OH=n,

由条件可知, xm=14, ym=36, xn=10,

三式相乘得:x2m2yn=143610,

例6如图是两个半圆, 点O为大半圆的圆心, AB是大半圆的弦并与小半圆相切, 且AB=24, 试求圆中阴影部分的面积.

构造几何图形解决代数问题 第9篇

构造几何图形解决代数问题的特点就是直观, 它能使抽象的数量关系在图形上表达出来, 使问题变的简单, 而构造几何图形的关键是观察和联想.下面举例说明:

例1 设m, n, x, y均为实数, 且满足条件:m2+n2=1, x2+y2=1, mx+ny=0.证明:m2+x2=1, n2+y2=1, mn+xy=0.

证明 不妨设m, n, x, y均不为0.因为如果m=0, 则由已知条件得出n=±1, y=0, x=±1, 欲证的3个等式显然成立.

由m2+n2=1, x2+y2=1, 应用勾股定理可以构造出两个直角三角形△ABC和△ADC, 如图1, 使得AC=1, AB=|m|, BC=|n|, AD=|x|, CD=|y|.由mx+ny=0得$\frac{|m|}{|n|}=\frac{|y|}{|x|}$, 所以△ABC≅△ADC.从而|m|=|y|, |n|=|x|.于是m2+x2=1, n2+y2=1且|mn|=|xy|.由mx+ny=0得mn与xy异号, 故mn+xy=0.

例2 当s和t取遍所有实数时, 求 (s+5-3|cos t|) 2+ (s-2|sin t|) 2的最小值.

解 如图2, 根据原式的特征构造过点P (s+5, s) 的直线u-v-5=0, 及过点$Q(3|\cos t|,2|\sin t|)\text{的}\frac{1}{4}\text{椭}$圆

$\{\begin{array}{l}u=3|\cos t|,u\ge 0,\\ v=2|\sin t|,v\ge 0,\end{array}$

则|PQ|2的最小值即为所求.由图2椭圆的顶点A (3, 0) 到直线u-v-5=0的距离的平方即为所求, 故所求最小值为2.

例3 设x, y, z∈R+, 求证:$\sqrt{x{}^2+y{}^2}+\sqrt{y{}^2+z{}^2-yz}\ge \sqrt{z{}^2+x{}^2+\sqrt{3}xz}.$

解 取直角坐标系内两点:$A(x,y),B\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}z,\frac{1}{2}z\right)$, 则$|{\rm O}A|=\sqrt{x{}^2+y{}^2},|AB|=\sqrt{y{}^2+z{}^2-yz},|{\rm O}B|=\sqrt{z{}^2+x{}^2+\sqrt{3}xz}$.因为平面内两点间距离最短, 所以|OA|+|AB|≥|OB|.即$\sqrt{x{}^2+y{}^2}+\sqrt{y{}^2+z{}^2-yz}\ge \sqrt{z{}^2+x{}^2+\sqrt{3}xz}.$

例4 已知a>0, a≠1, 试求方程loga (x-ak) =loga2 (a2-4x2) 有唯一解时参数k的取值范围.

解 设$y=x-ak(y>0),y=\sqrt{a{}^2-4x{}^2}$, 那么方程有唯一解的充要条件是直线l:y=x-ak与半椭圆4x2+y2=a2 (y>0) 有且只有一个交点.如图3, 直线l1与椭圆C相切于T, l2, l3分别经过椭圆的两个顶点A和B, 显然, 与椭圆C有一个交点的直线l夹在l2与l3之间 (l可以是l2, 不可以是l3) , 另外切线l1与椭圆C也只有一个公共点.

由直线l的横截距$-ak\in \left[-\frac{a}{2},\frac{a}{2}\right)$得$k\in \left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$.由l1与椭圆C相切得$k=-\frac{\sqrt{5}}{2}$, 故所求k的范围是$\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right){\displaystyle \cup \left\{-\frac{\sqrt{5}}{2}\right\}}.$

例5 求函数$y=x-1+\sqrt{-x{}^2-2x+3}$的值域.

解 将函数变形为$y=\sqrt{4-(x+1){}^2}+(x+1)-2$, 设x+1=t (t24) , 则$t+\sqrt{4-t{}^2}=y+2$.由此构造过点${\rm P}(t,\sqrt{4-t{}^2})$的直线l:u+v=y+2, 及动点P的轨迹半圆C:u2+v2=4 (v≥0) , 则l与C有公共点P, 这样过点C上的P点作斜率为-1的直线l, 其在v轴上的截距的取值范围即为y+2的取值范围.

由图4得$y+2\in [-2,2\sqrt{2}]$, 故原函数的值域为$[-4,2\sqrt{2}-2].$

例6 设a, b, c, d都是正实数, 其中a最大, 且$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$, 证明:a+d>b+c.

证明$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$即ad=bc, 由此可以用圆幂定理构造一个辅助图形 (图5) .

由a最大, 取线段AC=a作为过直径的割线, 在AC上取B点, 使AB=d, 以BC为直径作半圆O, 并作割线AD=b (不妨设b≥c) 交圆O于E点, 作OF⊥AD, F为垂足, 则由作图及圆幂定理得AE=c.

在Rt△AOF中, 有AO>AF, 而

$\begin{array}{l}A{\rm O}=AB+\frac{BC}{2}=d+\frac{a-d}{2}=\frac{a+d}{2}‚\\ AF=AE+\frac{DE}{2}=c+\frac{b-c}{2}=\frac{b+x}{2}‚\end{array}$

所以 a+d>b+c.

参考文献

妙用几何图形构建语文板书设计 第10篇

一、妙用几何图形构建《陈太丘与友期》中的“诚信”纽带

设计理由:文中陈太丘守信,用三角形表示,因为三角形具有稳定性;友人不守信,用平行四边形表示,因为平行四边形容易变形,没有稳定性,是失信的表现;元方谐音“圆方”,无规矩不成方圆,用圆形和方形套用,说明陈太丘教子有方,同时说明元方性格特征是明白事理、落落大方、外圆内方;而文中这三个人物形象也恰好要表达这些意思。整个板书设计呈现一个三角形,教育学生要做一个诚实守信的人,是课文的写作意图和主旨,也是教学中的情感目标。真可谓:“海岳尚可倾,口诺终不移。”

二、妙用几何图形构建《走一步,再走一步》中的“信心”阶梯

设计理由:这篇课文,作者写他8岁时爬悬崖的一次经历,感悟到一个人生哲理:无论怎样的危险和困难,只要把它分解开来,化大为小,化难为易,坚持不懈,最后就能战胜最大的困难。

此板书设计正好抓住了课文的内容和情节,阶梯上的“毫无信心”“有了信心”“信心大增”“巨大的成就感”正是课文当中描写作者小时候爬悬崖的心理变化和心理感受的词语。作者当时毫无信心时原地站立不动;有了信心时走一步;信心大增时再走一步,坚持不懈,就好像爬楼梯一样,最后终于战胜了困难,获得了成功。红旗代表成功和胜利。这样的板书既紧扣课文内容,又注重情感渗透;既紧扣中心,又深化了主题;既有梯度感,又拓展了学生的思维。树立“信心”是本课的中心,也是情感态度与价值观目标的体现,学生记起来形象直观,终生难忘。真可谓:“欲穷千里目,更上一层楼。”

三、妙用几何图形构建《散步》中的“爱心”小屋

文章中在散步遇到走大路还是走小路时发生了分歧:“母亲要走大路,大路平顺”,“儿子要走小路,小路有意思”。解决矛盾时,作者感觉此时责任重大,不想拆散一家人,又没有两全其美的办法。于是,决定委屈儿子,选择走大路,原因是“我陪伴他的时日还长”。可是“母亲摸摸孙儿的小脑瓜”,改变了主意,“还是走小路吧”。

设计理由:文中内容充分表现出了慈母善解人意、疼爱孙子,体现了孩子聪明活泼、懂事,体现了“我”尊老爱幼,有责任感,体现了妻子贤惠、明理、孝敬老人,尊重丈夫。这个板书设计恰好体现了这几个方面的意思,一家三代人富有关心、孝心和责任心的三点构成的轨迹,即关心+孝心+责任心=爱心。图形三个小心形合起来就是伟大的爱心,所以“爱心”用大心形表示,也代表圆满,把温和、谦让和体贴都融进了这深深的爱之中。这不正是以血缘关系构成的家庭稳定、最能持久的爱吗?因此大心形中三个小心形正好组成了一个三角形,足有稳定性和持久性。不好走的地方“我”和妻子只好分别背起了母亲和儿子,这一“背”实际上是背起了生活的重担,不是整个世界吗?最终体现了“只要人人都献出一点爱,世界将会变成美好的人间”。整个板书设计突出了课文中“爱心传递”这一主题,从情感上学生的心灵受到了启迪和熏陶,形象生动,耳濡目染。真可谓:“谁言寸草心,报得三春晖。”

语文教师要善于巧妙运用几何图形进行板书设计,这样既有内容的概括,又有人物形象的剖析;既有人物之间的关系,又有知识点的渗透;既有目标的突破,又有文章主旨的升华。这样的板书设计文理结合,图文并茂,形象直观,便于理解,易于掌握,刻骨铭心,妙不可言。

摘要：语文课堂教学板书设计是对课文内容的高度概括,是知识的框架,是教学环节的流露,是智慧的结晶,是思维的表达,是创新的形式,是艺术的体现。因此,板书设计每一个环节要精心,每一个步骤要精细,每一项内容要精品。

妙用几何图形构建语文板书设计 第11篇

[关键词]妙用 几何图形 板书设计

[中图分类号] G633.3 [文献标识码] A [文章编号] 16746058（2016）220022

板书是对教学内容的概括，是对要点的提炼，是一个知识清单。既然是板书设计，那就要带有科学性、合理性、艺术性，否则不叫设计，而叫随心所欲。合理的板书设计，不但对知识具有概括性，而且具有艺术性，从而起到画龙点睛的作用。教师若能利用几何图形巧妙构建课文板书设计，对学生来说更是耳目一新，过目不忘。

一、妙用几何图形构建《陈太丘与友期》中的“诚信”纽带

设计理由：文中陈太丘守信，用三角形表示，因为三角形具有稳定性；友人不守信，用平行四边形表示，因为平行四边形容易变形，没有稳定性，是失信的表现；元方谐音“圆方”，无规矩不成方圆，用圆形和方形套用，说明陈太丘教子有方，同时说明元方性格特征是明白事理、落落大方、外圆内方；而文中这三个人物形象也恰好要表达这些意思。整个板书设计呈现一个三角形，教育学生要做一个诚实守信的人，是课文的写作意图和主旨，也是教学中的情感目标。真可谓：“海岳尚可倾，口诺终不移。”

二、妙用几何图形构建《走一步，再走一步》中的“信心”阶梯

设计理由：这篇课文，作者写他8岁时爬悬崖的一次经历，感悟到一个人生哲理：无论怎样的危险和困难，只要把它分解开来，化大为小，化难为易，坚持不懈，最后就能战胜最大的困难。

此板书设计正好抓住了课文的内容和情节，阶梯上的“毫无信心”“有了信心”“信心大增”“巨大的成就感”正是课文当中描写作者小时候爬悬崖的心理变化和心理感受的词语。作者当时毫无信心时原地站立不动；有了信心时走一步；信心大增时再走一步，坚持不懈，就好像爬楼梯一样，最后终于战胜了困难，获得了成功。红旗代表成功和胜利。这样的板书既紧扣课文内容，又注重情感渗透；既紧扣中心，又深化了主题；既有梯度感，又拓展了学生的思维。树立“信心”是本课的中心，也是情感态度与价值观目标的体现，学生记起来形象直观，终生难忘。真可谓：“欲穷千里目，更上一层楼。”

三、妙用几何图形构建《散步》中的“爱心”小屋

文章中在散步遇到走大路还是走小路时发生了分歧：“母亲要走大路，大路平顺”，“儿子要走小路，小路有意思”。解决矛盾时，作者感觉此时责任重大，不想拆散一家人，又没有两全其美的办法。于是，决定委屈儿子，选择走大路，原因是“我陪伴他的时日还长”。可是“母亲摸摸孙儿的小脑瓜”，改变了主意，“还是走小路吧”。

设计理由：文中内容充分表现出了慈母善解人意、疼爱孙子，体现了孩子聪明活泼、懂事，体现了“我”尊老爱幼，有责任感，体现了妻子贤惠、明理、孝敬老人，尊重丈夫。这个板书设计恰好体现了这几个方面的意思，一家三代人富有关心、孝心和责任心的三点构成的轨迹，即关心+孝心+责任心=爱心。图形三个小心形合起来就是伟大的爱心，所以“爱心”用大心形表示，也代表圆满，把温和、谦让和体贴都融进了这深深的爱之中。这不正是以血缘关系构成的家庭稳定、最能持久的爱吗？因此大心形中三个小心形正好组成了一个三角形，足有稳定性和持久性。不好走的地方“我”和妻子只好分别背起了母亲和儿子，这一“背”实际上是背起了生活的重担，不是整个世界吗？最终体现了“只要人人都献出一点爱，世界将会变成美好的人间”。整个板书设计突出了课文中“爱心传递”这一主题，从情感上学生的心灵受到了启迪和熏陶，形象生动，耳濡目染。真可谓：“谁言寸草心，报得三春晖。”

语文教师要善于巧妙运用几何图形进行板书设计，这样既有内容的概括，又有人物形象的剖析；既有人物之间的关系，又有知识点的渗透；既有目标的突破，又有文章主旨的升华。这样的板书设计文理结合，图文并茂，形象直观，便于理解，易于掌握，刻骨铭心，妙不可言。

二次函数与几何图形存在性问题 第12篇

例1 (2011·淮安) 如图1, 已知二次函数y=-x2+bx+3的图像与x轴的一个交点为A (4, 0) , 与y轴交于点B.

(1) 求此二次函数关系式和点B的坐标;

(2) 在x轴的正半轴上是否存在点P, 使得△PAB是以AB为底边的等腰三角形?若存在, 求出点P的坐标;若不存在, 请说明理由.

【分析】由于在x轴正半轴上且以AB为底边, 所以这样的点P只有一个, 易得AP=BP, 又OP=OA-AP, 所以可以借助勾股定理求出OP的长, 从而得出P点坐标为特别要注意如果没有条件限制, 我们就要分类讨论.

例2 (2014·东海模拟) 如图2, 二次函数的图像与x轴分别交于A、B两点, 顶点M关于x轴的对称点是M′.

(1) 若A (-4, 0) , 求二次函数的关系式;

(2) 在 (1) 的条件下, 求四边形AMBM′的面积;

(3) 是否存在抛物线y=1/2x2-x+c, 使得四边形AMBM′为正方形?若存在, 请求出此抛物线的函数关系式;若不存在, 请说明理由.

【分析】本题可以证明出四边形AMBM′为菱形, 再添加一个条件使它成为正方形, 从而确定是否存在, 这个条件可以是一个角是直角, 也可以是对角线相等.利用这些可求出M点坐标, 于是可求出函数关系式为y=1/2x2-x-3/2.

例3 (2010·遵义) 如图3, 已知抛物线y=ax2+bx+c (a≠0) 的顶点坐标为Q (2, -1) , 且与y轴交于点C (0, 3) , 与x轴交于A, B两点 (点A在点B的右侧) , 点P是该抛物线上的一动点, 从点C沿抛物线向点A运动 (点P与A不重合) , 过点P作PD∥y轴, 交AC于点D.

(1) 求该抛物线的函数关系式;

(2) 是否存在点P使△ADP是直角三角形, 若存在, 求出点P的坐标;

(3) 在题 (2) 的结论下, 若点E在x轴上, 点F在抛物线上, 问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形?若存在, 求点F的坐标;若不存在, 请说明理由.

【分析】第 (2) 小问要对直角进行分类, 由于PD∥y轴, 所以∠ADP不可能为直角, 那么只还有∠APD和∠DAP分别为直角两种情况.当∠APD为直角时, 可以确定点P所在位置即点B位置, 所以很容易求出点P第一种坐标, 即点P (1, 0) .当以∠DAP为直角时, 易知OA=OC, 因此∠OAC=45°, 所以只需∠OAP=45°即可, 再通过作垂线, 可求出点P的第二个坐标为 (2, -1) .

第 (3) 小问, 当P在点B处时不存在这样的平行四边形;只有 (2) 中第2种情况存在, 并且有两种情况, 可根据点P的纵坐标来确定点F的纵坐标, 从而求出点F的坐标为

例4 (2012·昌平期末) 如图4, 在平面直角坐标系x Oy中, 二次函数图像的顶点坐标为, 且在x轴上截得的线段AB的长为6.

(1) 求二次函数的解析式;

(2) 在y轴上确定一点M, 使MA+MC的值最小, 求出点M的坐标;

(3) 在x轴下方的抛物线上, 是否存在点N, 使得以N、A、B三点为顶点的三角形与△ABC相似?如果存在, 求出点N的坐标;如果不存在, 请说明理由.

【分析】此题第 (3) 小问, 如果假设存在, 设出点P的坐标, 再利用相似来解计算量大而且含有字母, 不容易算到底.我们可以换个思路, 作出这样的相似三角形, 求出点N的坐标, 然后再来判断点N是否在抛物线上, 就容易了.由相似可得点N坐标为, 经检验在抛物线上.

例5 (2015·德州) 已知抛物线y=-mx2+4x+2m与x轴交于点A (a, 0) , B (b, 0) , 且

(1) 求抛物线的解析式.

(2) 抛物线的对称轴为l, 与y轴的交点为C, 顶点为D, 点C关于l的对称点为E, 是否存在x轴上的点M, y轴上的点N, 使四边形DNME的周长最小?若存在, 请画出图形 (保留作图痕迹) , 并求出周长的最小值;若不存在, 请说明理由.

(3) 若点P在抛物线上, 点Q在x轴上, 当以点D、E、P、Q为顶点的四边形是平行四边形时, 求点P的坐标.

【分析】第 (2) 问可用几何作图确定存在, 分别作D、E关于y轴、x轴的对称点, 两对称点连线与坐标轴的交点就是点M、N, 再运用勾股定理可求出线段DE与D′E′的长, 就可求出四边形的最小周长, 最小周长为

第 (3) 问有四种情况, 根据点D、E坐标可确定点P的纵坐标, 再运用解析式求出横坐标.点P坐标为

例6 (2013·江宁一模) 如图6, 在平面直角坐标系中, 二次函数的图像与x轴交于点A、B, 它的对称轴是过点 (1, 0) 且与y轴平行的直线, 点A的横坐标是-2.

系式 (;1) 求二次函数的关

(2) 如图7, 直线l过点C (2, 0) 且与y轴平行, 现有点P由点A出发沿射线AO以每秒2个单位长度的速度运动, 同时点Q从点C出发, 沿直线l向上以每秒1个单位长度的速度运动, 设运动的时间为t秒.

①当PQ⊥AQ时, 求t的值;

②在二次函数的图像上是否存在点D, 使得点P、D、C、Q围成的四边形是平行四边形?若存在求出点D的坐标.