极限的求解方法

极限的求解方法（精选4篇）

极限的求解方法 第1篇

一、问题的提出

2010年全国大学生数学建模竞赛C题是一个输油管的布置问题，题目要求在铁路线一侧建造两家炼油厂，同时在铁路线上增建一个车站，用来运送成品油，如下图所示，A、B是炼油厂，H是车站，CD是铁路线，AP、BP、PH是输油管，其中AP、BP为非共用管线，PH为共用管线，P为共管点。油田设计院希望建立当共用管线与非共用管线费用不同时，管线建设费用最省的一般数学模型与方法。

二、问题分析

图中车站H的位置是不固定的，但一定要建在铁路线CD上；共管点P的位置也是不固定的，但由问题需要求解管线建设费用最省可知，PH一定垂直于铁路CD。建立上图所示直角坐标系，C点作为原点，通过前面的分析，可假设%H (x, 0）, P (x, y），显然x, y均为未知，且x≥0, y≥0。

共用管线显然不是必须的，当共用管线的费用比较高时，比如共用管线费用超过非共用管线2倍，显然没有共管的必要，换言之是否需要共用管线，取决于共管费用与非共管费用之比。本文假设非公用管线的费用为1，公用管线的费用k，即共用管道的费用为非共用管道的k倍。对于油管布置的总费用来说，即使共用管线的费用不到非共用管线费用的2倍，A、B到车站距离之和上图也不是最短的，

三、极限的求解法

由问题分析可知，共管点P (x, y）应落在ABCD区域内，当P落在铁路CD上时，PH=0 (P与H重合），即没有共用管线。没有共用管线时，管线建设费用最省问题实际就是管线最短问题，此时可以假设P (x0, 0），具体见下图。

假设Z1表示没有共用管线时的建设总费用，根据前面假设非公用管线的费用为1，即有：

(1）式为关于x的一元函数，假设x0表示建设总费用Z1最小时x的取值，利用一元函数最值求解方法可求出

此时，建设总费用为

下面讨论有共用管线的情况, 由前面的分析可知, 是否需要共用管线, 取决于共管费用与非共管费用之比k。由于修建共用管线的费用显然高于非共用管线, 同时考虑如果费用高出2倍以上, 建设共用管线显然还不如不建, 所以1≤k<2, 并且在此范围内k越大, 共用管线的建设费用越高, 共用管线需要量就会越少, 当k大到一定的值时, 就会不再需要共用管线, 求解k的临界状态就是本文讨论的主要内容。本文假设k的临界值是k0, 即当k<k0时, 共用管线存在, 当k≥k0时, 共用管线不再需要。关于k的求解有很多种方法, 本文介绍利用多元函数的极限进行求解, P点是ABCD区域内的点, 随着P点在ABCD区域内的游走, 管线的总费用随之发生改变, 且费用改变是连续的, 当P点接近于 (x0, 0) 时, 管线总费用 (本文假设为Z2) 也就接近于 (x0, 0) 对应的管线总费用Z1, 由极限知识可知:

由题意可知，Z2包括了PA、PB和PH三段管线的费用：

将（3）、（1）代入（2）可知：

由上式可计算k的临界值：

利用洛必达法则计算：

将代入上式，可得：

由前面分析可知：

当时，共用管线存在（P与H不重合），P点坐标可以通过Lingo或Matlab软件中的最值函数进行求解。

当时，共用管线不存在（P与H重合）。

例如当a=5, b=8, l=20时，k=1.09，即当k<1.09时（共用管线的费用不超过非共用管线费用的1.09倍），共用管线比非共用管线好，当k≥1.09时，非共用管线比共用管线好。

四、极限求解的正确性验证

设P的坐标为（x, y） (x≥0, y≥0），模型可归结为

只需考虑1≤k<2的情形，对上述二元费用函数偏导数求驻点可得（不妨假设a≤b)

利用Matlab求解可得：

因为k值介于1和2之间，当k值增大时，共用管线有可能不存在（点P落在了x轴上，即y=0）。令（5) y=0，利用matlab计算得：

当时，共用管线存在（P与H不重合），利用（4) matlab求解可得二元函数驻点，相应地

显然，关于k的计算结果，利用偏导数的计算与利用多元函数极限完全相同，验证了使用多元函数极限计算的正确性。另外（6）等价于2010年大学生数学建模C题的评阅要点中的，也说明了此种方法的正确性。

五、总结

大学生数学建模竞赛一方面给学生提供了一个竞争的平台，让那些数学学习有所长的学生有了展示自己的空间，另一方面数学建模也为我们数学教师提供了很多好的实际应用的案例。例如2007年的易拉罐问题，被我们引入到高等数学导数的教学等。教学是永无止境的，教学方法的研究是教学永恒的主题，案例教学法是高等数学教学的一种有效的教学方式，2010年大学生数学建模C题的极限解法为多元函数的极值问题讲解提供了一个很好的教学案例。

摘要：高等数学教学中引入好的案例, 一方面能引起学生的学习兴趣, 另一方面也有助于学生理解相对深奥的数学概念。本文借用2010年全国大学生数学建模竞赛C题, 提炼了一种利用多元函数极限进行建模求解的方法, 方法可行, 易于理解, 供广大数学教师做教学参考

关键词：案例教学法,多元函数,极限

参考文献

[1]工程数学学报编辑部.2010大学生数学建模优秀论文集[C].工程数学学报增刊, 2010.

[2]全国大学生数学建模组委会.2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛C题评阅要点[EB/OL].2010http://wenku.baidu.com/view/03f5b3bef121dd36a32d82d6.html.

泰勒公式在极限求解中的应用 第2篇

泰勒公式在极限求解中的应用

作者：刘靖 江飞

来源：《考试周刊》2013年第08期

摘 要： 泰勒公式是高等数学中的一个非常重要的内容，我们可以借助它解决很多问题.本文简述了泰勒公式在求解函数的极限中的应用.关键词： 泰勒公式 极限 应用

1.泰勒公式

2.泰勒公式在求极限中的应用

用泰勒公式计算函数极限的实质是计算极限时忽略较高阶的无穷小，当在求函极限的过程中发现用其他方法较难时，可以考虑利用泰勒公式进行求解，尤其是■型极限的求解，此时只需把分子、分母展开到同阶的无穷小即可.通过上面的几个例子，可以看出利用泰勒公式求解某些函数的极限很简洁、方便，从而能准确、高效地解决一些数学问题.参考文献：

一元函数极限的常用求解技巧 第3篇

关键词：数学分析；函数极限；求解技巧

本文在原有知识体系的基础上加以整理和归纳，针对一元函数极限概括出具有代表性的各种求解方法，并辅以典型的例题来论证方法的可行性和实用性，使学生对所学知识加以巩固和提高，提高解题能力，起到“温故”而“知新”的作用，在原有基础上得到升华，从而对数学分析及相关的后续课程的学习起到抛砖引玉的作用.

函数极限的求解方法大致可以分为以下几种：

一、代入法（四则运算法则的应用）

求解技巧：①只有在各项极限均存在（除式还需要分母极限不为零）才能适用.②若所求极限不能直接运用运算法则，可先对原式进行恒等变形（约分、通分、有理化、分子分母同除以x的最高次幂等），然后再求极限.③四则运算法则的一个重要推论lim[f（x）]n=[limf（x）]n.④复合函数求极限法则limg[f（x）]=g[limf（x）]（这里极限号lim下方未标明x的变化过程，表示对极限的任何一个变化过程都成立，下同）.

二、重要极限法

在函数极限部分，我们来看两个经常用到的极限，它们的具体形式为：①?摇lim■=1，②?摇?摇■?摇?摇（1+■）x=e

求解技巧：①把■■=1扩展为■■=1，其中必须保持当x→a时f（x）以0为极限，且分子、分母中的f（x）必须完全一样.②把?摇■?摇?摇（1+■）x=e扩展为?摇■?摇?摇（1+g（x））■=e，其中必须保持当x→a时g（x）以0为极限，且g（x）与■要在形式上对应.③利用四则运算法则及推论.

三、无穷小量替代法

求解技巧：①等价代换是对分子或分母的整体替换（或对分子、分母的因式进行替换），而对分子或分母中的“＋”、“－”号连接的各部分不能作替换②而对分子或分母中的“＋”、“－”号连接部分可先作恒等变形成乘积形式再替換

四、性质法（迫敛性和连续性）

求解技巧：①构造左右两边具有同一极限的双向夹逼不等式，适当放大或缩小.②一切基本初等函数都是其定义域是上的连续函数.③任何初等函数都是在其定义域区间上的连续函数.

五、洛比达法则

求解技巧：只有■型和■型不定式才能应用洛比达法则.法则是由lim■存在，导出lim■是存在的，如果lim■不存在时（不包括∞的情形），并不能断定lim■也不存在，这时应使用其他方法.若■■仍为■型和■型的不定式，并且f'（x），g'（x）满足洛比达法则的条件，则可继续使用洛比达法则，即■■=■■=■■，依此类推，直到求出极限为止.除了■型和■型不定式外，还有0·∞?摇?摇，?摇∞-∞?摇，?摇?摇00，?摇?摇1∞，?摇?摇∞0等五种类型的不定式，这些不定式极限的求解方法是先把它们化为■型和■型的不定式，然后用洛比达来计算.

以上归纳和总结了五种求解一元函数极限的常用方法和技巧，在解决具体问题时，还需要根据实际情况灵活应用求解技巧，只有熟练掌握这部分内容，才能进一步理解函数极限的概念，同时也是学好高等数学的关键.

参考文献：

[1]邝荣雨.微积分学讲义（第一册）[M].北京：北京师范大学出版社，2005：70.

[2]侯风波，蔡谋全.经济数学[M].沈阳：辽宁大学出版社，2006：23-27，75.

[3]课程教材研究所数学课程教材研究开发中心.高等数学基础（上册）[M].北京：人民教育出版社，2003：109.

极限求解中的变与换 第4篇

极限是高等数学最基本的概念,高等数学中其他的概念全是在极限的基础上建立的。因此极限求解的能力,特别是未定型极限求解的能力直接关系到整个高等数学学习效果。从笔者的教学实践中发现,未定型极限的求解是学生的薄弱环节。

未定型极限的求解方法有很多,包括利用四则法则、结论、罗比达法则、等价无穷小的代换等。但对于稍微复杂的未定型极限而言,单纯的一种方式并不能解决问题本身,应结合使用多种方式。在对极限的求解中,“变”和“换”的思想则是贯穿解题的整个过程。

1 极限求解中的“变”

在极限求解中,巧用“恒等变形”可以将极限形式明朗化,从而得到极限的解。在变形中常用的是特殊函数的性质,也可对相对较复杂的形式进行简化,如根式有理化。

下面笔者就以几个实例加以解释。

1.1 巧用三角函数性质求极限

1.2 巧用恒等变形求极限

当函数的形式较为复杂时,可根据函数的特点做恒等的变形。一般常用的就是根式有理化。

1.3 巧用对数性质求极限

对幂指函数u(x)v(x),或多次进行乘、除运算的函数,利用对数性质不失为一种不错的选择。

2 极限求解中的“换”

在极限求解过程中,通过变量代换可以将复杂的表达简单化,有助于理清我们的解题思路;而等价无穷小的代换则可将简化复杂的计算过程。因此,在极限求解中,巧用两个“换”可以帮助我们解决问题。

从上述解题过程来看,罗比达法则失效,必须寻求新的解决方法,我们不妨引入变量进行换元。

3 结语