二次曲线拟合法

二次曲线拟合法（精选3篇）

二次曲线拟合法 第1篇

关键词：非圆曲线,曲率圆法,算法流程图

0 引言

非圆曲线是数控编程经常遇到的进给路线, 但目前数控系统不具有非圆曲线插补指令, 需要通过某一拟合法, 将非圆曲线分解成许多微直线段或圆弧段。非圆曲线拟合法主要有直线段拟合法和圆弧段拟合法两大类, 每一类都有许多拟合方法。在同等拟合误差下, 由于圆弧段半径与非圆曲线的曲率半径比较接近, 圆弧段拟合能够较好地保证切削后表面质量的一致性。但圆弧段拟合算法比直线段拟合算法复杂得多, 很多编程人员只好舍弃圆弧段法拟合, 使用直线段法拟合。

圆弧段法拟合主要有三点圆法、相切圆法、双圆弧法、双圆弧法和曲率圆法, 在这四种圆弧段法拟合中, 曲率圆法拟合算法最简单, 是圆弧段法拟合中的首选[1]。

1 等误差曲率圆法拟合的描述

图1为等误差曲率圆法拟合。曲率圆法是采用彼此相交的圆弧逼近非圆二次曲线。其基本原理是:从曲线的起点开始, 作与曲线内切的曲率圆, 求出曲率圆的中心, 以曲率圆中心为圆心, 以曲率圆半径加 (减) ξ允为半径, 所作的圆 (偏差圆) 与曲线y=f (x) 的交点为下一个节点, 并重新计算曲率圆中心, 使曲率圆通过相邻两节点。重复以上计算即可求出所有节点坐标及圆弧的圆心坐标[2]。

2 等误差曲率圆法拟合算法

2.1 二次曲线方程

二次曲线标准方程

其中系数A、B、C、D、E、F为常数, 且A、B、C不同时为零。

1) 当A2+C2≠0时的情况。

若C≠0, 将式 (1) 整理得:

若A≠0, 也可将式 (1) 就x解出, 得到类似式 (2) 的方程, 因此, 只要A、C不同时为零, 总可以将式 (1) 就y或x解出表示为式 (2) 或类似于式 (2) 的形式。

2) 当A2+C2=0, B≠0时的情况。

2.2 二次曲线等误差曲率圆法拟合算法

1) 设曲线y=f (x) 上渐开线任意点A (xn, yn) 开始作曲率圆, 其曲率参数为

2) 设误差为δ, 偏差圆与曲线f (x) 的交点方程组

解出下一点B (xn+1, yn+1) , 将 (xn+1, yn+1) 代入式 (10) 求出Rn+1。

3) 重复上述步骤, 依次求得其它逼近圆弧段参数。

3 等误差曲率圆法拟合算法的实现

设二次曲线f (x, y) =Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0起点为A (xA, yA) , 终点为B (xB, yB) , 拟合误差为δ。实现等误差曲率圆法拟合算法的流程图如图2所示。

为了让偏差圆与二次曲线有交点, 偏差圆半径有两种情况Rn±δ。当计算得下一点的曲率圆半径大于前一点的曲率圆半径时, 偏差圆半径应为Rn-δ, 反之应为Rn+δ。

4 结语

本文通过数学知识, 计算出二次曲线任一点曲率圆圆心坐标和半径, 提出等误差曲率圆法拟合二次曲线的思路, 并通过流程图方式勾勒出拟合算法。该拟合算法思路清晰, 算法简洁, 有助于数控编程人员利用宏命令完成非圆曲线 (曲面) 的加工程序, 具有一定的应用价值。

参考文献

[1]钟汉桥, 唐晓腾.曲率半径误差最小的曲线拟合优化方法[J].新技术新工艺, 2001 (1) :17-18.

[2]魏国哲, 刘康.基于AutoCAD平台的样条曲线逼近算法研究[J].机械工程与自动化, 2010 (6) :192-193.

二次曲线拟合法 第2篇

一、平面数据点的二次曲线拟合

1. 问题描述

当n个数据点散乱分布在平面上, 每个数据点的坐标值可设为 ( xi, yi) ( i = 1, 2, , , n) , 通过一条一般为隐式方程式的二次曲线对n个数据点进行拟合处理, 将误差控制在范围1内, 改二次曲线的隐方程可以表示为下面的形式: Q ( x, y) = Ax2+ Bxy +Cy2+ Dx + Ey + F = 0 ( 1)

于是改问题的关键转化为找到合适的目标函数I, 且I与xi, yi是相关的, 使得二次曲线隐方程找到6个系数, 将已知的n个数据点的拟合效果满足I = min

根据最小二乘法的原理, 想要使得I = min, 通过理论分析

解这个方程组时因存在零解的问题, 还需要其他的附加条件进行约束, 从而将工作转化为约束条件的选取问题上.

2. 以往的工作

在通常进行方程组 ( 2) 求解的过程中, 为避免零解的问题, 通常设置以下几种约束条件: ①令A + C = 110. ②令A2+ B2+C2+ D2+ E2+ F2= 110. ③令F = 110. ④通过二次约束条件DTDp = KCP来表明约束矩阵.

这几种方法分别运用不同的特点进行二次曲线的拟合, 尽管产生不同的效果, 但是也存在计算量大、拟合效果不够好的问题, 下面本文将提出自己的观点和方法.

二、基于代数距离的二次曲线拟合的新方法

1. 方法描述

对于平面上面给定的n个数据点, 坐标为 ( xi, yi) ( i = 1, 2, , n) , 将二次曲线设为Q ( x, y) , 将目标函数设为I, 欲使得I =min, 可以通过对极值方法的运用[4], 将方程组 ( 2) 求解, 取A =110, 并将A = 110代入I, 以免出现零解, 求得结果后分别采用同理将C、D、E、F分别取110, 最终得到6组解如下:

这6组解会构成6条不同的拟合曲线, 但在某些时候可能出现误差问题. 为避免误差的问题, 可以对6组解分别进行组合系数确定方法, 可以令:

使得S = min, 从而求得6个构成二次曲线的系数, 并获得二次曲线的隐式方程[3].

2. 本文方法的实验结果和误差

本文中采用的方法主要是在代数距离的基础上进行设计的, 可以将其结果与基于代数距离方法的拟合效果进行误差比较, 对于相似的随机点, 本文中的方法得到的大部分结果能够保证代数距离的最小, 特别是针对扰动较大的数据点, 采用本文中的方法会得到更好的拟合效果和更小的拟合误差.

例如, 当萁舌线上面取均匀点时, 通过在区间x∈[- 2, 2]上, 每次x + 0. 1所得到的误差曲线如图1所示.

从图1中能够明显的看到误差差异.

摘要：二次曲线是学生对散乱数据处理时常用的方法.本文中通过对平面数据点二次曲线拟合的介绍, 提出了基于代数距离的求解方法.通过代数距离来定义目标函数, 并在多种约束条件的情况下得到基本的二次曲线, 最终的二次曲线再通过系数加权平均来得到.通过实例将这种方法和误差进行了介绍, 并说明目标函数在代数距离理论中的几何意义.

关键词：二次曲线、平面散乱数据点,拟合,最小二乘法

参考文献

[1]陈京, 袁保宗, 文富荣.一种基于曲率约束的不完整超二次曲线拟合[A].第十二届全国信号处理学术年会 (CCSP-2005) 论文集[C].2005.

[2]刘海香, 张彩明, 梁秀霞.平面上散乱数据点的二次曲线拟合[J].计算机辅助设计与图形学学报, 2004 (11) .

二次曲线拟合法 第3篇

关键词：双圆弧拟合,数控加工,定子,曲线拟合

0 引 言

定子是转向助力泵中一个关键零件。定子曲线决定了叶片的运动性能和动力性能及泵的输出流量的大小、脉动特性等,是影响泵噪声和效率的主要因素。因而定子曲线的计算和优化显得尤为重要,是各种泵设计的关键技术。

定子曲线通常有两种表达方式:一种是直接给出曲线的方程[1],另一种是给出一系列的实测坐标点。对于第一种情况,由于已知曲线的方程,可以直接编程,比较好处理;关键是第二种情况,即由一系列坐标点表达的曲线(列表曲线)[2],在加工前要费一番周折。这些坐标值往往是在样品上实测得出的,不可能测得很密。如果直接把这些点连起来加工成一条折线,显然是不可取的。这样就产生了怎样用曲线拟合的问题。一种办法是在CAD/CAM类软件中绘制成样条曲线,这样做虽然能够加工,但仍是“治标不治本”。例如曲线在何处取得极值、何处存在拐点、最小曲率半径是多少等等,均不得而知,更不能剔除坏点。另一种办法就是用某个函数的曲线来拟合,例如用双圆弧拟合方法处理。

本文阐述了双圆弧拟合[3]的方法及该方法在加工设备QMK003数控内孔曲线磨床上的应用情况。

1 圆弧样条拟合法的优点

(1) 在几何方面:因为当列表曲线用三次样条函数拟合虽然可以保证拟合效果好,保证二阶连续[4],但是不具有几何不变性。而采用圆弧样条拟合,由于每段圆弧的圆心和半径是几何不变的,故不随坐标的选择而改变。同时使用圆弧样条时采用局部坐标系可以将大挠度转化为小挠度,从而克服了大挠度问题。另外,圆弧样条与直线样条相比较,它比直线样条精度高,程序段明显减少。

(2) 在计算方面:圆弧样条的计算比其他样条曲线简单、准确。例如在求解交点问题时,圆弧问题只归纳为一个二次方程[5]。

综上所述,由于圆弧拟合的优点,国内外对于列表曲线逐渐采用圆弧拟合的方法,常用的处理方法有三种:单圆弧法、圆弧样条函数拟合法和双圆弧拟合法。

1.1 单圆弧法

单圆弧法[6]拟合列表曲线就是在已知的点列中,将相邻的两个型值点之间连接一条圆弧,两相邻的圆弧依次在各型值点处相切,得出单圆弧的半径和圆心坐标。

$\{\begin{array}{l}R=\frac{\left|L{}_j-L{}_{j+1}\right|}{2\sin \theta {}_j}\\ X{}_{0j}=R{}_j\sin \beta {}_j+x{}_j\\ Y{}_{0j}=-R{}_j\cos \beta {}_j+y{}_j\end{array}(1)$

其中:

$\begin{array}{l}\beta {}_j=\arctan \frac{x{}_j-x{}_{0j-1}}{y{}_j-y{}_{0j-1}}\\ \phi {}_j=\arctan \frac{y{}_{j+1}-y{}_j}{x{}_{j+1}-x{}_j}\\ \theta {}_j=\beta {}_j-\phi {}_j\end{array}(2)$

这种拟合方法的特点是拟合精度较低,且容易产生波动,产生多余的拐点。

1.2 圆弧样条函数拟合

采用圆弧这个简单的二次多项式的数学表达式来模拟样条[7],分段组合成一阶连续的函数。以局部坐标研究样条函数和圆弧逼近来研究拟合问题。这种方法将涉及到以下内容:

由给定的n个型值点P1(x1,y1),P2(x2,y2),,Pj(xj,yj),,Pn(xn,yn),要求过每一点作一段圆弧,且使相邻圆弧在相邻节点的弦平分线上相交并相切,这样构成的曲线总体上是一阶光滑,分段等曲率的圆弧。

在相邻的节点Pj-1,Pj上,以Pj-1为原点,Pj-1,Pj为x轴正向,建立局部直角坐标系( UjOVj),规定公切点取在相邻节点连线的中垂线上,Pj-1,Pj处弦切角分别为αj-1,βj。

$\{\begin{array}{l}U{}_{\text{Τ}}=\frac{L{}_j}{2}\\ V{}_{\text{Τ}}=\frac{L{}_j}{2}\tan \frac{\alpha {}_{j-1}+\beta {}_j}{4}\end{array}(3)$

式中Lj为弦长。

这种方法的关键在于求出给定型值点弦切角α,β(计算节点弦切角的工作相当于建立第二类样条函数曲线[8],即系数用给定型值点处的弦切角α,β(一阶导数)来表示圆弧样条)。然后再利用一阶连续条件及端点条件形成方程组求解α,β。

Pj点圆的切线与弦线Pj-1Pj,PjPj+1之间的夹角分别记为βj,αj,则两弦线的夹角φj:

$\phi {}_j=\alpha {}_j+\beta {}_j(4)$

且过节点两侧应是同一个圆:

$\begin{array}{l}\rho {}_{j(-)}=\rho {}_{j(+)}\\ \lambda {}_j\alpha {}_{j-1}+3\alpha {}_j+\mu {}_j\alpha {}_{j+1}=b{}_j+G{}_j\\ b{}_j=3\lambda {}_j\phi {}_j+\mu {}_j\phi {}_{j+1}\\ G{}_j=\mu {}_j(3\alpha {}_j-\beta {}_{j+1})+\lambda {}_j(\alpha {}_{j-1}-3\beta {}_j)\end{array}$

式中:bj为线性部分;Gj为非线性部分。

一般所给出的端点条件有两种:

(1) 两端给出弦切角α1,βn;

(2) 两端给出曲率ρ1,ρn。

由这些条件形成方程组,用矩阵形式表示:

$\mathit{A}\alpha =\mathit{B}+\mathit{G}(5)$

这类方法的优点在于:

(1) 圆弧具有几何不变性。

(2) 圆弧样条的计算比其他的样条曲线简单、准确。

1.3 双圆弧拟合法

双圆弧拟合[9]的基本思想与圆弧样条拟合相近,双圆弧拟合法要求在每两个相邻型值点之间作两段圆弧,使它们在这两个型值点之间相交并相切,过同一个型值点所作的左右两段圆弧还应在该型值点处相切。所构成的曲线在总体上也是一阶光滑,分段等曲率的多段圆弧。

$E={\displaystyle {\int }_{\gamma }(}{\rm K}{}^2+1)\text{d}s(6)$

式中:K为局部曲率;γ为所求的双圆弧曲线;ds为弧长微分。

$E={\displaystyle \sum _{j=1}^n\left(\frac{S{}_{1j}}{R{}_{1j}^2}+S{}_{1j}+\frac{S{}_{2j}}{R{}_{2j}^2}+S{}_{2j}\right)}(7)$

式中:S1j和S2j分别是第j段区间中左右圆弧的弧长;R1j和R2j是左右圆半径。

$\begin{array}{l}E={\displaystyle \sum _{j=1}^{\theta }E}{}_j\\ E{}_j=\frac{\theta {}_{1j}}{R{}_{1j}}+\theta {}_{1j}R{}_{1j}+\frac{\theta {}_{2j}}{R{}_{2j}}+\theta {}_{2j}R{}_{2j}\end{array}(8)$

式中:θ1j和θ2j是左、右圆心角。

欲使E最小,只须:

$\frac{\partial E{}_j}{\partial \phi {}_j}+\frac{\partial E{}_{j+1}}{\partial E{}_j}=0(9)$

由此构成非线性方程组,用单变量牛顿法求解。这种方法所得出的圆弧段数是圆弧样条函数拟合的两倍。虽然增加了程序段数,但是它不要求同一型值点两侧为同一圆弧,所拟合出的曲线在曲率变化上较为平缓。所以对圆弧样条拟合出现的问题有较强的适应能力。

2 具体应用

基于双圆弧拟合方法的理论,采用VC 6.0作为开发工具,开发了定子曲线数据光顺软件,应用在我公司产品QMK003数控内孔曲线磨床上。

软件界面如图1所示。

例如,定子试磨件(工件号为秦川-QCK005B)的曲线数据最小极半径为43.181 mm,最大极半径为48.876 mm,采用双圆弧拟合方法光顺后的位移曲线如图2所示。

采用双圆弧拟合方法光顺后极坐标系下的轮廓曲线如图3所示。

采用双圆弧拟合方法后可以改善定子曲线的平滑性,拟合后的曲线曲率变化比较均匀,加工后的定子经测试降低了泵的噪声、提高了泵的效率。

3 结 语

实践证明利用双圆弧拟合方法拟合后的定子曲线的径向速度、加速度和加速度变化率无突变,不会产生激振,降低了泵的噪声, 提高了泵的性能和寿命。在机床的实际加工中已经得到验证,说明这种方法是可行的,而且程序也较易实现,具有很强的推广价值。

参考文献

[1]MALCOLM M A.On the computeation of non2linearsplinefunction[J].SIAM J.Numer.Anal.1977,14(2):254-282.

[2]孙家昶.局部坐标下的样条函数与圆弧样条曲线[J].数学学报,1977,20(1):28-40.

[3]孙家昶,郑全琳.曲线的圆弧逼近与双圆弧逼近[J].计算数学,1981,3(2):97-112.

[4]PARKINSON D B,MORETON D N.Optimal biarc-curvefitting[J].Computer-aided Design,1991,23(6):411-419.

[5]沈纪桂.数控加工圆弧拟合的优化方法[J].机械工程学报,1997,33(6):64-69.

[6]王琦,郭非,王启义.圆弧样条逼近为机械零件几何轮廓的自动编程[J].机械工程学报,1998,34(2):20-25.

[7]王琦.平面列表点曲线的最优双圆弧拟合[J].小型微型计算机系统,1997,18(8):38-42.

[8]王琦,郭非,王启义.有向几何及平面参数曲线的圆弧样条拟合[J].数值计算与计算机应用,1998(1):41-48.