初中不等式范文

初中不等式范文（精选10篇）

初中不等式 第1篇

关键词：初中数学,一元一次不等式,教学策略

数学教师应该明确, 数学教学不应该局限于数学知识的灌输与教授, 更重要的是培养学生思维的灵活性, 使学生能够利用数学知识间的连带关系举一反三, 善于利用知识间的联系灵活运用, 发现问题、解决问题。学生一旦具备了良好的数学思维能力, 就能够产生主动学习的想法、自主探究的欲望, 从而获得身心上的满足感。初中一元一次不等式教学应该建立在学生已有的知识结构之上, 只有这样才能提高学生的学习效率。

一、基于已有知识引导性教学

数学这门学科不仅具有明显的理性、科学性特征, 而且呈现出一定的系统性、知识关联性等特点, 知识之间联系紧密, 形成了一条不可错位的链条。基于数学学科这样的特点, 教师要积极利用知识间的联系, 并善于教育与引导学生发现知识之间的联系, 灵活利用所学知识探究新知识、解决新问题, 这样才能达到培养学生数学思维能力的目标。

在一元一次不等式教学中, 教师应该从学生已有的知识结构出发, 通过巧妙地迁移、引导使学生自然发现新规律, 利用旧规律探索新问题。

例如:一元一次不等式的教学可以将一元一次方程作为知识储备, 构建起两个知识点间的桥梁, 使学生能够利用一元一次方程的性质理解和探究一元一次不等式, 通过这种方式帮助学生学习、缓解学习压力, 使学生感受到数学这门学科的奇妙。

设计教学流程:红红和芳芳同时从家出发去学校, 在距离学校最后200米时, 红红开始以5m/s的速度向学校飞奔, 此时落在她后面20米的芳芳需要以怎样的速度飞奔才能确保同红红同步到达学校?

学生看到这个问题, 会结合以前学过的知识, 会自然而然地列出一个一元一次方程, 求得未知数x的数值就是所要求的问题。

此时, 教师可以改变题目的问:落在她后面20米的芳芳需要以怎样的速度飞奔才能确保比红红提前到达学校?

学生借助前面已经列出的一元一次方程, 对应列出一个一元一次不等式, 也就是将前面的等号变成不等号。

这一过程就是巧妙迁移、自然引导的过程, 学生会自然地了解并掌握一元一次不等式的性质和特点。

二、联系现实生活科学引导

数学作为一门自然科学, 是用来解释自然生活规律的学科, 数学知识的形成源自人们对现实生活中各种规律的探索与总结, 同时会随着现实生活的变化发展而不断发展, 人们将从生活中研究出来的规律又运用到现实生活中。学生数学学习显而易见需要以现实生活为基础, 而且新的课程教学目标改革也明确了数学教学应该服务于现实生活、发挥实际作用的想法。数学教师要积极把握这一教学目标与方向, 善于从学生自身的生活经历出发, 使学生感受到数学与客观现实生活之间的紧密关联。

然而, 与小学初等算术相比, 初中数学呈现出更加抽象、复杂的特点, 学生无法明确数学与现实生活中的联系, 也就感受不到数学学习的真正意义, 然而, 教师要善于发现和建立这种联系, 善于以现实生活为基础, 通过巧妙灵活的方法将抽象知识同现实生活联系起来, 化抽象为形象, 由此激发学生的数学学习热情, 提高学生的数学学习效率。

例如:对于一元一次不等式的学习, 教师可以广泛引入生活元素, 将与学生现实生活中最常见的问题或现象与一元一次不等式的性质或知识联系起来。

如:商场选购不同价格衣服的优惠问题。

教师为学生设计题目:A、B两家商场同样的服装标有一样的价钱, 然而, 两家商场实行各自的促销方案:

A商场 : 买100元衣服后再采购的衣服可以享受原价90%的优惠待遇,

B商场 :购买50元后 , 再购买的衣服则依照原价95%收费。

作为买者怎样选购才能享受最多优惠?

思维步骤:

1.购买额<50元, 两个商场的花销状况 。

2.50<购买额<100, 两个商场的花销状况。

3.购买额>100元, 两个商场的消费状况。

从第三种情况入手:

假设:总共采购金额为x (x>100) 元, 当A商场买东西花钱少, 那么列出以下不等式:50+ (x-50) 95%>100+ (x-100) 90%

求得:x>150

因此, 当购买额在150元以上时, A店购物花销少。

思维过程:100<总共采购金额<150, 哪家商场花销小? (B商场消费小) 总共采购金额正好达到150元, 哪家商场购物花销小? (花销相同)

1.购买额<50元或>150元, A、B商场花销相同。

2.50<购买额<150, B商场花销较小。

3.购买额>150, A商场花销较小 。

以上就是一元一次不等式的运用过程, 体现了在现实生活中的应用, 对现实问题的解决。

三、兴趣教学, 逐步引导

为了减少数学学习的枯燥性, 教师要善于从兴趣的角度对学生进行引导、教育。兴趣是学生学习成功的基础, 有兴趣才能有学习。教师必须积极把握学生的心理特点, 兴趣爱好, 以及情趣倾向等, 将抽象难懂的知识通过形象的生活呈现出来, 从学生的兴趣出发进行逐步引导, 从而收获良好的教学效果。

例如:可以将不等式知识同学生的日常生活, 如:运动会、生活起居及课后生活等联系起来, 让学生通过这些生活实例发现问题、运用知识、掌握规律, 从而获得知识学习乐趣, 提高学习效率, 达到良好的学习效果。

初中数学一元一次不等式是一个重要的知识项目, 教师要积极采用科学的教学方法, 为学生创造良好的学习条件, 使学生能够更加投入地学习, 自觉进入学习状态, 产生浓厚的数学学习兴趣, 从而取得良好的学习效果。

参考文献

[1]许文倩.还数学的美丽面孔, 让学生为之折腰[J].现代阅读:教育版, 2012.

初中不等式(组)考点总结 第2篇

考点

一、不等式的概念（3分）

1、不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。

2、不等式的解集

对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。

对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。

求不等式的解集的过程，叫做解不等式。

3、用数轴表示不等式的方法

考点

二、不等式基本性质

1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。

2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

考点三、一元一次不等式

1、一元一次不等式的概念：一般地，不等式中只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等式的两边都是整式，这样的不等式叫做一元一次不等式。

2、一元一次不等式的解法

解一元一次不等式的一般步骤：（1）去分母（2）去括号（3）移项（4）合并同类项（5）将x项的系数化为1

考点四、一元一次不等式组

1、一元一次不等式组的概念

几个一元一次不等式合在一起，就组成了一个一元一次不等式组。

几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做它们所组成的一元一次不等式组的解集。求不等式组的解集的过程，叫做解不等式组。

当任何数x都不能使不等式同时成立，我们就说这个不等式组无解或其解为空集。

2、一元一次不等式组的解

（1）分别求出不等式组中各个不等式的解集

初中不等式 第3篇

【关键词】初中语文 阅读教学 平等对话

对于阅读教学的展开过程而言，营造良好的整体教学氛围非常重要，在这样的基础上学生才会更加放松，思维也会更为灵活与敏锐。在构建轻松的教学环境时，教师可以多和学生间进行平等的交流对话，和学生一同来展开对于很多问题的思考与探究，这种方式能够收获的教学效果会更为理想。本文将以《从百草园到三味书屋》的教学为例，剖析平等对话能够为阅读教学带来的积极辅助。

一、激发学生的学习欲望

在教学导入时，激发学生对于文本的学习欲望非常重要，这也是决定学生对于文本的学习兴趣的一个重要因素。在实现这一教学目标时，教师可以透过和学生间平等的交流对话来慢慢将大家引入教学情境中，让学生逐渐能够进入文本描述的内容中，并且产生对于文本的阅读兴趣。教师可以结合文本内容设计一些有意思的交流探讨的问题，并且可以有意识的构建学生的认知和所学文本间的桥梁。这是非常好的引导学生融入到阅读文本中，让学生产生对于文本的学习兴趣的一种有效方式。

在学习《从百草园到三味书屋》这篇文章时，教师可以以如下对话过程来展开教学导入：“同学们，大家都知道鲁迅先生是我国著名的思想家、教育家、革命家和作家，那么同学们一定也想有朝一日像鲁迅先生一样能够写出那些深刻且有内涵的文章，可是同学们你们想知道鲁迅先生的童年是怎样度过的吗？”学生纷纷回答想，注意力立刻集中到教师的描述中来。这时教师可以继续说：“那今天我们就来看看鲁迅小时候的学习和生活过的地方吧，那里曾经是鲁迅先生的乐园，那里也构成了鲁迅先生求学初期的美好的回忆。”就这样，很自然的引入了教学主题，学生的思维也跟随着教师的引导一点点融入到教学主题中。

二、在对话中交流探讨具体问题

在文本剖析时，教师同样可以以对话的形式来和学生展开交流，可以充分将学生视为教学主体来一同展开对于相应问题的探讨。讨论的问题可以有很多切入点，教师既可以针对文本的核心内容提问，突破知识教学的重难点，教师也可以和学生一同来探讨对于文章的感受，无论是语言层面、情感层面还是思想内涵层面，加深学生对于文本的学习体验很重要。

比如，教师可以首先设问：“上节课结束的时候让同学们预习过，下面我想跟同学们共同探究一下这篇文章美在哪里，或者有的同学认为这篇文章不美又是什么原因，请同学们各抒己见，我们共同探讨。”这个问题比较开放，学生可以有各种讨论的切入点。比如，一个学生说道：“我觉得这篇文章很美，百读不厌，首先是语言上朗朗上口，读起来感觉特别‘顺口，其次我觉得文章的意境很美，尤其是那段描写百草园的景色的段落，鲁迅先生的观察十分细致，而且用词也十分精准到位。”教师对于学生认真仔细的阅读后的回答要多加以肯定，这样才能激发学生的教学参与热情。

三、透过对话来实现信息反馈

对话教学还可以达到更为深层次的教学目标，教师在和学生进行平等的交流沟通时还可以充分抓住这个契机给予学生相应的教学引导，让学生的思维得到发展，并且引导学生挖掘文本的深层次含义。在学完文章后教师可以结合学生的学习情况设计一些有一定思维量的问题，让学生在探究问题的过程中来更深入的研读文本。同时，教师也可以结合学生的观点、想法等来给予学生相应的指导与点拨，让学生能够沿着正确的思路来剖析文本，领会文章带给我们的思考与启发。

比如，学完这篇文章后教师可以引导同学们挖掘文章中的时代主题，找到文章与现今时代的契合点，让他们体验到更高层次的美之所在，从而逐步培养学生们的审美观，以及其中蕴含的价值观，提高学生们的学术素养。教学途径主要是设计相关的问题和思考题，如：你认为百草园的美对童年的鲁迅有什么样的影响？你觉得这种影响在鲁迅今后的人生道路上作用大吗？等等，将他们分发给学习小组，让组员去讨论，然后教师给予信息反馈。让学生思考这些深层次的问题很有必要，这不仅能够加深学生对于文章的理解，学生的思维能力也能够得到有效锻炼，对于文章的领会自然会更深。

结语

在初中语文课堂上，教师要多和学生进行平等的交流对话，要透过对话的过程展开对于学生思维的引导与启发啊，继而加深学生对于文章的领会。平等的对话过程可以渗透在各个教学环节中，对话的形式也可以十分多样。教师要有效构建对话式课堂教学，这不仅能够为阅读教学带来辅助，这也会有助于学生自主学习能力与思维能力的不断提升。

【参考文献】

[1] 杨素云. 对初中语文有效教学的解读与思考[J]. 学周刊，2013年02期.

[2] 赵斌. 构建对话教学框架 搞好初中阅读教学[J]. 读与写（教育教学刊），2011年11期.

[3] 梁修贵. 初中语文教学中的对话教学探析[J]. 新课程（教育学术），2011年05期.

初中不等式 第4篇

一、“封闭式”优课评比, 心理准备、身体准备是关键

记得比赛的前一天下午, 南通六县三区的11位参赛教师对上课顺序进行了抽签, 赛事组织者规定:每位参赛选手备课的时间是均等的, 所以11位选手被先后告知上课课题.晚上7点, 笔者知道了比赛的课题是“不等式及其解集”, 由于活动采用的是封闭式独立备课, 所以笔者被安排和另一位选手住在同一个房间, 组织者称“这样更有利于参赛者之间的相互监督”, 为了第二天有上好的表现, 只有利用晚上的时间, 甚至是通宵达旦、废寝忘食, 时间对于每一位参赛选手来说都是格外的宝贵.

二、“封闭式”优课评比, 情景创设要有“必要性、生活性、趣味性”

常规的评优课基本上是一种表演课, 每节课大多是经过智囊团精心策划的, 幕后有很多无名英雄, 作为一节限时、限内容的“封闭式”评优课, 参赛教师个人很难有精力和条件对课进行大量准备和研究, 在没有外人帮助的情况下, 只有靠自己的聪明才智这里选取的是笔者参加比赛所用的问题情景和各位读者共同商榷.

问题一 为了到美丽的天星湖中学参观, 老师昨天14∶20从启东汽车站乘车出发, 汽车匀速行驶刚好在16∶00准时到达.已知启东到天星湖中学的路程是95千米.问:汽车每小时行驶多少千米?

这是一道简单的一元一次方程应用问题, 设每小时行驶x千米, 学生很容易列出方程, 笔者的用意是“类比思想”引出不等式.

问题二 若组织单位要求必须在16∶00之前到达, 问:汽车的速度应满足什么条件?可列出怎样的式子?

生1:从时间上考虑, 有undefined

生2:从路程上考虑, 有undefined

“指向性”思维的引导, 有利于学生思维的正迁移, 列出相应的不等式.比赛时, 若出现第一个不等式, 我们也不要刻意回避, 但也不必详细阐述.该问题结束后可引出不等式的概念及不等号的表示方法.设计两组巩固练习, 一组用不等号表示不等关系;另一组是实际应用问题, 为引出不等式的解和解集埋下伏笔.

问题三 老师走到车站时, 发现有下列交通工具供选择:⑴小轿车:80千米/时;⑵飞鹤快客:65千米/时;⑶普通客车:50千米/时;⑷小型机动车:45千米/时.问:老师该乘哪种交通工具, 参加活动才能不迟到?

这个问题的设计保持了情景设置的前后一致性、连贯性, 同时将生活中的现实例子真实地展现在了学生眼前, 学生自然会想到将各种交通工具的速度代入不等式验算.此种设计无论从内容还是形式来讲都是比较巧妙、新颖的, 赛后的评分结果也充分说明了这一点.

生3:当x=80或65时, 满足条件.

师:你是怎么知道的?

生3:当x=80或65时, 不等式undefined成立.

师:能否给这些特殊的满足条件的值取一个新名称? (引出不等式的解.)

问题四 下列是部分交通工具的平均速度, 判断哪些能满足题目条件?

51, 59, 56.4, 60, 57.6, 80.

生4:归纳不等式的解集概念.

问题五 由一元一次方程:2x-1=8;3+4x=-6;undefined;的定义, 对undefined;x-1>0;2x<8;x+36;undefined;研究讨论.

生5:归纳一元一次不等式定义.

师:类比诱导出“一元一次不等式”的概念.对于“不等式”概念的学习不是以获得概念为最终目的, 而是通过概念教学培养学生的创新意识, 发展学生的悟性, 遵循一般认识的规律, 从现象到本质, 从具体到抽象.

“封闭式”优课评比的情景创设一定要和本课的教学内容密切相关, 同时也要是学生熟悉和感兴趣的生活原型, 对整个教学设计要认真构思, 形成一条独特的问题主线, 精心创造、修改、打磨成具有比赛风格和个人特色的“新”教案, 绝不能为了情景而情景, 更不可为了“吸引人的情景”而偏离课题, 远离生活、远离教学内容, 忽视了数学的探索和思考, 对优课评比而言这是最大的忌讳.情景创设处理不好的话, 只会弄巧成拙、适得其反.

三、“封闭式”优课评比, 尽量减少“预案设计”, 高度重视“课堂生成”

常规的优课评比, 上课教师为了追求一帆风顺, 往往花费大量的人力、物力, 精细揣摩、认真体会, 前期障碍的处理会考虑得十分周到.但“封闭式”优课评比, 参赛教师一个人在工作, 时间紧、任务重, 课前大量的“埋伏工作”根本来不及做.笔者认为备课时课前预设尽量少一点, 重点放在课堂生成方面, 认真思考教学设计的梯度、难度、坡度的设置等, 立足课堂实际, 根据学生的思维变化, 灵活地引导启发.让学生和我们老师一起思考, 我们讲的可以拙一些, 把更多的表现机会留给学生, 欲擒故纵、反客为主, 这样将时间、精力用到实处, 效果一定会更好.

四、“封闭式”优课评比, 课堂练习的设计要注重“基础性、典型性”

“封闭式”好课评比, 如果练习题的选择不够充分和完备的话, 课堂教学的时间调控会很被动.所以对练习题的选择要注重“基础性、典型性”.依据教学内容, 尽量设计“起点低、层次多、梯度缓、难度适当、具有代表性”的习题, 在整个好课评比的过程中, 可以对学生练习具有更强的操控性.

初中不等式 第5篇

不等式和它的基本性质

现实世界中的同类量之间，有相等关系，也有不等关系。我们知道，相等关系可以用等式来表示，不等关系怎样来表示呢？我们来看下面的式子：

－7＜－5，3＋4＞1＋4，5＋3≠12－5，a≠0，a＋2＞a＋1，x＋3＜6

这些式子含有不等号“＜”“＞”，“≠”，像上面用不等号表示不等关系的式子，叫不等式。

我们再来看上面的最后一个不等式x＋3＜6，请同学们研究何时这个不等式成立？ 练习：

1、用小于号“＜”或大于号“＞”填空:

(1)4－6(2)－10(3)–8－3(4)–4.5－4

2.用小于号“＜”或大于号“＞”填空:

(1)7＋34＋3(2)7＋(－3)4＋(－3)

(3)7×34×3(4)7×(－3)4×(－3)

3.用不等式表示:

(1)a是正数;(2)a是负数

(3)a与6的和大于5;(4)x与2的差小于－1

(5)a的4倍大于7(6)y的一半小于3

一般地说,不等式有下面三条性质:

不等式的基本性质1不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,不等号的方向不变.不等式的基本性质1不等式两边都乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.不等式的基本性质1不等式两边都乘以(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.例1.根据不等式的基本性质,把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式:

(1)x－2＜3(2)6x＜5x－1(3)2x＞5(4)–4x＞3.例2.设a＞b,用“＜”或”＞”号填空:

(1)a－3b－3(2)2a2b(3)–4a－4b

练习:

1.解下列不等式,并把它们的解集在树轴上表示出来:

(1)5x＞－10(2)－3x＋12＜0

(3)x3＞3;(4)x＜－3 25

(5)8x－1＞6x＋5(6)3x－5＜1＋5x

初中不等式 第6篇

虽然同学们都能够记住解题步骤,但是在解这类应用题时由于经验不足、抓不到关键词、概念混淆、思维定式等原因的存在,使学生们在解题过程中遇到困难,而不能得到正确的解.

一、解题中遇到的困难及常见错误

1. 生活经验的不足及问题信息量大是造成初中生解应用题难的两大屏障

例1地砖按每块5.5元出售,地砖每边长35厘米,用这种砖铺满长7.8米、宽5.7米的房间,需花费多少钱购买地砖?

评析要正确地解应用题,必须读懂题目中语言文字表达的问题条件和问题要求.本题中,学生必须清楚“地砖”、“出售”、“购买”、“铺”等词语的含义,否则不能读懂题意.“地砖问题”中的事实知识包括长方形、正方形的概念,以及米与厘米之间的进率换算.像这类与生活综合知识联系较紧的应用题还有很多,信息量大,经验不足导致学生读不懂题目,不知从何下手,是学生最伤脑筋的.总之,学生的生活经验、课外知识、社会知识的储备量,已成为度量学生解答应用题思维厚度的一把标尺.

2. 思维定式造成设未知数出错并带来列式困难

例2苏科版八年级下教科书20页练习第1题.

某班学生外出春游时合影留念,1张彩色底片的费用为1元,冲印1张彩照需0.6元.如果每人预定1张彩照,且每人所花费用不超过0.8元,那么参加合影的学生至少有多少人?

错解设参加合影的学生至少有x人,(错误原因:设未知数不确切,应改为设“参加合影的学生有x人”)

则1+0.6x≥0.8x,(错误原因:列式时不等号反向)

解这个不等式,得x5.

答:参加合影的学生有5人.(错误原因:认为此题结果是确定值,而此题结果是一个取值范围)

评析在列不等式解应用题中,学生设未知数时,往往受方程应用题的迁移,沿用求什么设什么的做法,常给列式带来困难,甚至出错.

3. 列不等式(组)时忽视关键词

例3 (2011山东枣庄)某中学为落实市教育局提出的“全员育人,创办特色学校”的会议精神,决心打造“书香校园”.计划用不超过1900本科技类书籍和1620本人文类书籍,组建中、小型两类图书角共30个.已知组建一个中型图书角需科技类书籍80本,人文类书籍50本;组建一个小型图书角需科技类书籍30本,人文类书籍60本.

(1)符合题意的组建方案有几种?请你帮学校设计出来;

(2)若组建一个中型图书角的费用是860元,组建一个小型图书角的费用是570元,试说明(1)中哪种方案费用最低,最低费用是多少元?

解(1)设组建中型图书角x个,则组建小型图书角为(30-x)个.由题意,得

解这个不等式组,得18x20.

由于x只能取整数,∴x的取值是18,19,20.

当x=18时,30-x=12;当x=19时,30-x=11;当x=20时,30-x=10.

故有三种组建方案:方案一,中型图书角18个,小型图书角12个;方案二,中型图书角19个,小型图书角11个;方案三,中型图书角20个,小型图书角10个.

(2)方案一的费用是:86018+57012=22320(元);

方案二的费用是:86019+57011=22610(元);

方案三的费用是:86020+57010=22900(元).

故方案一费用最低,最低费用是22320元.

评析解这类应用题的难点在于理清题意,寻找题目中的关键词语.例3中的两个关键词“不超过”、“不少于”是列不等式(组)的依据.另外还要注意所设未知数受实际情况的制约,此例中中型图书角的个数x应是正整数.

不等式应用题的取材广泛,又紧密结合实际生活,解这类题首先要理清题意,寻找关键词,比如“不少于”、“不大于”、“大于”、“小于”、“比要节省”等,从而找到不等关系,列出不等式(组),通过解不等式确定不等式的解,最后要检验所求解是不是与实际问题相符合.

4. 移项或两边同乘(除)负值时不变号

根据题意正确地列出不等式(组)后,最重要的是解不等式(组).

例4解不等式:2x+4>x-1.

错解移项,得2x+x>-1+4.

即3x>3,则x>1.

例5解不等式:-3x+9<0.

.错解移项,得-3x<-9.

系数化为1,得x<3.

评析上面两例均犯了不变号的错误.例4、例5分别因“移项要变号”、“不等式的两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向应改变”这类知识点不能及时回应所致.因而求解时应在掌握知识点的基础上再加细心.例4的正确结果应为x>-5,例5的正确结果应为x>3.

5. 概念或意义不明确

例6求不等式2x-4<0的非负整数解.

错解因为2x-4<0的解为x<2,所以它的非负整数解为1.

例7解不等式:|x|<3.

错解x<3.

评析例6和例7错误的原因主要是对某些概念不明确或混淆,如“非负整数解”、“绝对值”等.非负整数应包括0和一切正整数,故例6正确解为:0和1.绝对值的意义是指在数轴上某个数到原点的距离,故例7的正确解为:-3

6. 去括号时不遵守运算法则

例8解不等式:3x-2(1-2x)≥5.

错解去括号,得3x-2-2x≥5,

故x≥7.

评析本题有括号,根据解不等式的步骤,要先去括号.括号前的数要与括号里的各项相乘.去括号时,除应遵循乘法的分配律不能漏乘外,还应遵循去括号法则:去括号时,括号前面为“-”,去括号要将括号里的各项都变号.本题产生错解的原因有两点:括号外的数只与第一项相乘,括号前面是负号只对第一项变号.因此本题的正确解应为x≥1.

7. 去分母时,漏乘不含分母的项

例9解不等式:

错解去分母,得x-1+2≥-4x.

移项、合并同类项,得5x≥-1,即x≥-

评析本例的解答过程中没有掌握不等式的运算性质,去分母时,不等式的两边同乘各分母的最小公倍数,漏乘不含分母的项,漏乘了常数项,这是解一元一次不等式(组)时常出的错误之一,应引起高度重视.因此本题的正确解应为x≥.

8. 分子是多项式,去分母时忽视了分数线的括号作用

例10解不等式:

错解去分母,得4x-1-3x-1>0,

移项、合并同类项,得x>2.

评析去分母时,当分子是多项式时,各分式的分子必须看成一个整体.忽视分数线的括号作用也是解一元一次不等式时常出的错误之一.为避免出这类错,应分别对分子添加括号,再运用去括号法则.例10中没有添加括号导致了错误.

正确去分母,得2(2x-1)-3(x-2)>0.

去括号,得4x-2-3x+6>0,

移项、合并同类项,得x>-4.

二、学好解一元一次不等式(组)及应用题的策略

1. 理解有关的概念

①不等式:用“<”或“>”号表示大小关系的式子,叫做不等式.

②一元一次不等式:含有一个未知数,未知数的次数是1的不等式,叫做一元一次不等式.分母中不能含有未知数.

③不等式的解:在含有未知数的不等式中,把使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解.不等式若有解,一般它的解有无数个.

④不等式的解集:如果一个不等式有解,能使不等式成立的未知数的取值范围,叫做不等式的解的集合,简称解集.不等式的解集包括所有能使不等式成立的未知数的值.

2. 领悟不等式的三个基本性质

①不等式的两边加(或减)同一个数(或式子),不等号的方向不变.

②不等式两边同乘以(或除以)同一个正数,不等号的方向不变.

③不等式的两边乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.

不等式的三个基本性质是进行不等式变形的根本依据,其中前两个性质类似于等式的性质,而在运用性质③时,要注意必须改变不等号的方向,这是不等式特有的性质.

3. 牢固掌握不等式(组)的解法

解一元一次不等式的一般步骤与解一元一次方程相同:①去分母;②去括号;③移项;④合并同类项;⑤系数化成1.

各步需注意事项:①去分母:不要漏乘不含分母的项,是否改变不等号的方向;②去括号:括号前是负号时,括号内各项均要变号;③移项:移项要变号;④合并同类项:系数相加,字母及字母指数不变;⑤系数化成1:是否改变不等号的方向.

4. 牢固掌握列不等式(组)解应用题的步骤,抓住不等关系关键词,挖掘隐含的不等关系

在能构建不等式的题目中往往有表示不等关系的词语,如“大于、小于、不大于、不小于、超过、不超过”等.我们一定要利用好这些关键信息,列出不等式(组)以解决实际问题.

有些题目中无明显表示不等关系的关键词,而是深藏于题意中,这就要求老师引导学生根据问题的实际意义,深入挖掘蕴含其中的不等关系.

5. 重视不等式(组)应用题的教学

在平时的教学过程中,教师既要注重知识的传授和题目的解答,也要重视学生的实践性活动的开展和教学,这样才会避免数学和实际生活脱节,同时教学中要不断地增加新的背景和内容,跟上时代,弥补生活经验的不足,激发学生学习的热情.对于不等式(组)应用题文字较多学生获得信息困难的问题,教师平常在教学中在应用题上要多停留,有耐心.

在实际问题中,有许多用方程很难解决的问题,而用不等式去处理则可轻易解决.应用题是初中数学的重点,列不等式解应用题是初中数学的难点,根据题意正确地列出不等式(组),解应用题就成功了一半.一元一次不等式(组)的解法十分重要,它与一元一次方程的解法有许多相似之处,但又有其自身特点,同学们要认清两者解法的联系与区别.正确应对学生在解题过程中遇到的困难,提高学习的积极性,增加学习数学的兴趣,才有可能应用一元一次不等式(组)去解决生活中的实际问题.

摘要：现实世界既包含大量的相等关系,又存在许多不等关系.解决实际问题的过程中,有时不能确定或无需确定某个量的具体取值,但可以求出或确定这个量的变化范围,不等式(组)就是探求不等关系的基本工具.列不等式(组)解决实际问题是初中数学中的难点,同时也是中考的热点.解这类题的关键是在实际问题中找出相等关系和不等关系,列出方程和不等式.但在解不等式(组)时有的同学常因基础不扎实、概念不清、粗心大意,而在解题过程中遇到各种困难.

关键词：初中生,一元一次不等式(组)应用题,应对策略

参考文献

[1]钟山.不再让学生的困惑成为课堂教学的遗憾——《一元一次不等式组》教学片段所感[J].学生之友(初中版)(下), 2010(11).

[2]赵春祥.列一元一次不等式解应用题[J].初中生, 2009(6).

[3]石卫东.解一元一次不等式的常见错误分析[J].中学生数学,2003(10).

[4]任保平.解一元一次不等式常见错误剖析[J].数理化学习(初中版),2003(3).

例谈恒等式在初中代数解题中的应用 第7篇

例1设a (x-1) (x-2) +b (x-2) (x-3) =-10+7xx2, 求a, b的值.

解法一由定义, 可令x=3, 得2a=-10+73-32,

解得a=1;x=1,

得2b=-10+71-12, 解得b=-2.

解法二∵a (x-1) (x-2) +b (x-2) (x-3) = (a+b) x2- (3a+5b) +2a+6b

∴ (a+b) x2- (3a+5b) +2a+6b=-x2+7x-10,

答:a=1, b=-2.

例2若6x3+17x2+kx+m能被2x+3整除, 又能被3x+1整除, 求k和m的值.

解法一注意到原多项式三次项系数是6, (2x+3) (3x+1) 的二次项系数也是6, 可设:

6x3+17x2+kx+m= (2x+3) (3x+1) (x+n)

令x=0, 得m=3n (1)

令x=1, 得23+k+m=20 (n+1) , 即k+m-20n=-3. (2)

令x=-1, 得11-k+m=-2 (n-1) , 即k-m-2n=9. (3)

解 (1) (2) (3) 联立方程组得 .

答:k=14, m=3.

解法二设6x3+17x2+kx+m= (2x+3) (3x+1) (x+n) .

∵ (2x+3) (3x+1) (x+n) = (6x2+11x+3) (x+n) =6x3+ (6n+11) x2+ (11n+3) x+3n,

∴6x3+17x2+kx+m=6x3+ (6n+11) x2+ (11n+3) x+3n,

比较系数得17=6n+11, k=11n+3, m=3n, 解得

答:k=14, m=3.

例3 m为何值时, x2- (2m+2) x+m2+5是一个完全平方式?

解法一设x2- (2m+2) x+m2+5= (x+a) 2.

令x=1, 得1- (2m+2) +m2+5= (a+1) 2,

即m2-2m+4= (a+1) 2. (1)

令x=-1, 得1+ (2m+2) +m2+5= (a-1) 2,

(1) - (2) , 得-4m-4=4a, a=-m-1, 再代入 (1) , 得m2-2m+4=m2, 求得m=2.

解法二设x2- (2m+2) x+m2+5= (x+a) 2.

∵ (x+a) 2=x2+2ax+a2,

∴x2- (2m+2) x+m2+5=x2+2ax+a2,

比较系数得 ,

解得m=2, a=-3.

答:当m=2时, x2- (2m+2) x+m2+5是一个完全平方式.

例4若二次三项式 (a-b) x2+ (a-c) x+ (b-c) 是一个完全平方式, 且a>b>c>0, 试求a, b, c之间的关系.

解设 (a-b) x2+ (a-c) x+ (b-c) = (mx+n) 2.

令x=-1, 得a-b-a+c+b-c= (-m+n) 2,

即 (m-n) 2=0, 可得m=n. (1)

令x=0, 得b-c=n2. (2)

令x=1, 得a-b+a-c+b-c= (m+n) 2,

即2a-2c= (m+n) 2. (3)

由 (1) 、 (2) 、 (3) , 消去m, n, 得2b=a+c

答:a, b, c只间的关系为2b=a+c.

例5 m为何值时, 4x2- (m+2) x+m-1=0有两个相等实根?

解根据4x2- (m+2) x+m-1=0有两个相等的实数根, 可知代数式4x2- (m+2) x+m-1是完全平方式.

设4x2- (m+2) x+m-1= (2x+n) 2.

令x=1, 得4- (m+2) +m-1= (2+n) 2,

化简得 (2+n) 2=1, 求得n1=-1, n2=-3.

令x=0, 得m-1=n2, m=n2+1, ∴m1=2, m2=10.

答:当m=2或m=10, 方程4x2- (m+2) x+m-1=0有两个相等实根.

利用权方和不等式巧证一类不等式 第8篇

这就是著名的权方和不等式.特别地, 当m=1时有 , 即柯西不等式的变形, 数学竞赛中常见形如am bn≥p的一类不等式, 若左边经放缩或恒等变形为 的形式, 则可利用权方和不等式巧证竞赛题中满足上述条件的不等式, 这种证法操作简便, 规律性强, 下面举例说明.

下面证明 .

注意到: (a+b+c) 3=a3+b3+c3+3 (a2b+ab2+a2c+ac2+b2c+bc2) +6abc,

∴原不等式获证.

例2设a, b, c∈R+, 且abc=1, 试证: . (第36届IMO试题)

证注意到abc=1,

注本题证明过程中用了常见不等式:若a, b均为正数, 则a3+b3≥a2b+ab2.

按上述思路可得如下推广:设xi∈R+, (i=1, 2, , n) 且满足:x1x2+x2x3++xn-1xn+xnx1=k,

初中不等式 第9篇

不等式x2+y2≥2xy是一个二元对称不等式,下面从二元对称方面推广这个不等式.

不等式x2+y2≥2xy的左边x2+y2=x1-1y1+1+x1+1y1-1,右边2xy=xy+xy=x1-0y1+0+x1+0ky1-0,于是不等式x2+y2≥2xy可写成x1-1y1+1+x1+1y1-1≥x1-0y1+0+x1+0y1-0,更一般地,能否有不等式xm-bym+b+xm+bym-b≥xm-aym+a+xm+aym-a?事实上,上式的x,y,m,a,b符合一定的条件,不等式是成立的.有下面的定理:

定理1 若x,y∈R+,0ab,m∈R,则

xm-aym+a+xm+aym-axm-bym+b+xm+bym-b,

当且仅当x=y或a=b时等号成立.

证明 ∵左边-右边

由题设可知xb-a-yb-a与yb+a-xb+a异号,xm-bym-b>0,

由此得(xb-a-yb-a)(yb+a-xb+a)(xm-bym-b)0.

当x=y或a=b时,

(xb-a-yb-a)(yb+a-xb+a)(xm-bym-b)=0.

否则,(xb-a-yb-a)(yb+a-xb+a)(xm-bym-b)≠0,

即左边-右边0,

当且仅当x=y或a=b时等号成立.

∴xm-aym+a+xm+aym-axm-bym+b+xm+bym-b,

当且仅当x=y或a=b时等号成立.

[定理1证毕]

二、定理1的另一叙述形式

定理2 若x,y∈R+,a1,a2,b1,b2∈R,

且a1+a2=b1+b2,|a1-a2||b1-b2|.

则xa1ya2+xa2ya1xb1yb2+xb2yb1,

当且仅当x=y或|a1-a2|=|b1-b2|时等号成立.

证明 不妨设a1a2,b1b2.

∵a1,a2,b1,b2∈R,且

undefined

为非负实数,

undefined

undefined

∴根据定理1,得

undefined

当且仅当x=y或undefined时等号成立,则

xa1ya2+xa2ya1xb1yb2+xb2yb1,

当且仅当x=y或|a1-a2|=|b1-b2|时等号成立.

[定理2证毕]

三、一些应用

例 当x,y∈R+时,比较:

(1)x6y9+x9y6与x7y8+x8y7;

undefined与undefined的大小.

解 (1)∵x,y∈R+,6+9=7+8,9-6>8-7,

∴根据定理2,得x6y9+x9y6≥x7y8+x8y7.

(2)方法同(1),可得

参考文献

均值不等式 第10篇

关键词：均值不等式,和定积最大,积定和最小

一、均值不等式 (基本不等式) 内容

二、均值不等式证明

方法一:

方法二:如右图

(1) 作线段AB=a+b, 使AD=a, DB=b;

(2) 以AB为直径作圆O;

(3) 过D点作CD⊥AB于D, 交半圆于点C;

三、均值不等式应用———求函数的最值问题

1.求和的最小值

解析:为了使利用均值不等式求最小值更加方便, 把均值不等式的内容稍作变形得到以下的式子.

解析:所给条件是和求最小值, 但不满足两项积是定值, 考虑将x变成x-2, 此时满足一正和积为定值.

解析:所给条件不满足和求最小值, 考虑将x-1换元成t将式子化简成两项和的形式, 再观察一正和积是否为定值.

解:令x-1=t, 则t>0.

∵t>0

解析:所给条件满足一正, 但不满足两项积为定值, 考虑将两项展开, 重新组合成积为定值的形式, 再用均值不等式.

2.求积的最大值.

解析:为了使利用均值不等式求最大值更加方便, 把均值不等式的内容稍作变形得到以下的式子.

为了方便大家记忆, 把均值不等式分为:前提条件, 简记为一正, 不等式内容 (和定积最大) , 简记为二定, 验证取等条件, 简记为三等, 即使用均值不等式求最小值需要有三个步骤, 一正、二定、三等.

解:∵x>2, y>4

∵a, b∈R+