非线性灰色微分方程

非线性灰色微分方程（精选7篇）

非线性灰色微分方程 第1篇

1 非线性灰色微分方程

对a (1) ka建立非线性灰色微分方程

, 及=[p, q]T。利用= (BTB) -1BTY对模型中的参数列 =[p, q]T进行估计。由于微分进化算法 (Differential Evolution Algorithm, DE) 具有很强的全局寻优功能、较快的收敛速度及较好的稳定性的优点, 文章采用微分进化算法对参数α 进行优化。

2 基于非线性灰色微分方程的PPI预测模型的建立

全国2014年11月—2015年6月PPI见表1, 数据来源于财经网站http://data.eastmoney.com/cjsj/ppi.html。

以2014年11月—2015年4月PPI作为训练数据集, 以2015年5月—2015年6月PPI作为测试数据。用训练数据集建立非线性灰色微分方程预测模型并对2015年5月和2015年6月的PPI进行预测。具体算法如下。

Step1:输入样本数据X (0) = (a (0) (1) , a (0) (2) , Λ, a (0) (6) ) = (97.3, 96.7, 95.7, 95.2, 95.4, 95.4) 。设置DE的最大迭代循环次数D=500 、种群规模Np=200、放缩因子F=0.5 及交叉常数CR=0.4 等参数并设置参数 α 的搜索范围 (0, 9) 。令迭代的代数j=0 。

Step2:计算X的一阶累加生成序列的紧邻均值生成序列。在所设置的参数α的范围内随机生成初始种群, 计算。以作为训练集, 利用 (1) 分别对进行拟合得其拟合值。计算每个个体的适应度值, 记录各个体极值、全局极值和全局极值点。

Step3:通过变异、交叉和选择这三种操作对种群进行更新, 计算新种群各个体的适应度值, 并更新各个体极值、全局极值和全局极值点。

Step4:若j<D , 则j←j+1, 转Step3。否则, 输出全局极值点α*, 即为参数α 的最优取值。

Step5:利用α*建立PPI的非线性灰色微分方程预测模型。

利用matlab很方便地实现上述算法。2014年11月—2015年4月PPI的预测结果及2015年1月—2015年6月PPI的预测结果见图1和表2。

2015年1月—2015年6月PPI的拟合值与原始值的相对误差如表2。

3 结语

由图1、表2可知, 采用本文所建立的非线性灰色微分方程预测模型对2014年11月—2015年4月的PPI进行拟合所得的各拟合值和对2015年5月、6月的PPI进行预测所得的各预测值, 与其对应的原始值相比较, 相对误差都较小;其中, 对2015年5月、6月的PPI进行预测所得的预测值分别为95.2407和95.1526, 而2015年5月、6月的PPI的实际值分别是95.4和95.2, 相对误差分别为0.17%和0.05%, 与实际值较为接近, 这也表明了该预测模型的有效性。

摘要：由于工业品出厂价格指数 (PPI) 是衡量工业产品出厂价格变动程度的指数, PPI的变化会影响居民消费价格指数 (CPI) , 存在PPI向CPI的传导关系, 是有关部门制定经济政策的重要依据, 因而对PPI进行有效的预测具有现实的重要意义。由于微分进化算法 (DE) 具有很强的全局寻优功能、较快的收敛速度及较好的稳定性的优点, 该文采用微分进化算法对非线性灰色微分方程中的参数进行寻优, 从而建立起基于非线性灰色微分方程的PPI预测模型, 仿真结果表明了该模型的有效性。

关键词：工业品出厂价格指数,非线性灰色微分方程,微分进化算法,基于非线性灰色微分方程的PPI预测模型

参考文献

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非线性灰色微分方程 第2篇

研究二阶非线性变时滞微分方程x"(t)+p(t)∫(x(g(t)))=0.对振动因子p(t)变符号的情况讨论了方程的振动性.通过两个已有引理得到了方程振动的两个充分条件.所得结论推广了原有的二阶非线性微分方程与变时滞微分方程当系数不变号时的振动性结论,完善了具变符号振动因子的二阶非线性变时滞微分方程的`研究.

作 者：庄需芹 朱红霞 张建国 ZHUANG Xu-qin ZHU Hong-xia ZHANG Jian-guo 作者单位：庄需芹,张建国,ZHUANG Xu-qin,ZHANG Jian-guo(北方工业大学,理学院,北京,100041)

朱红霞,ZHU Hong-xia(河北廊坊师范学院,数学与信息科学学院,河北,廊坊,065000)

非线性灰色微分方程 第3篇

收稿日期： 20131124

基金项目： 国家自然科学基金仪器专项(2127013);云南省自然科学基金(60968001,61168003);云南省应用基础研究计划面上项目(2011FZ079,2009CD047);国家级大学生创新创业训练计划项目(2012103005)

作者简介： 徐林丽(1989),女,硕士研究生,主要从事多光谱成像及图像处理方面的研究。

通讯作者： 李宏宁(1975),男,讲师,博士,主要从事旋光检测和多光谱成像方面的研究。

摘要： 多光谱成像系统会改变输出光的波长,这就导致图像在不同波段下形成了不均匀亮度(阴暗图像和高亮度图像),严重影响了特征波段提取与测量。为了提高各波段的有效利用率,引用了一种增强多光谱灰度图像清晰度的有效方法。通过非线性的偏微分方程扩大梯度空间、保留梯度值较大的边缘,增强图像的纹理细节。由于多光谱图像阴暗波段的纹理较弱,不容易辨别其所有信息,为了更好地使增强效果完全体现出来,使用直方图均衡化来调节亮度的不均匀性。最后,通过人眼视觉的定性和客观函数的定量两方面对该组增强图像的清晰度进行了评价。结果表明:该方法能够有效地协调各波段的多光谱图像清晰度,并且图像的增强效果也非常明显。

关键词： 多光谱成像; 清晰度; 非线性偏微分方程; 直方图均衡化

中图分类号： TN 911.73文献标志码： Adoi： 10.3969/j.issn.10055630.2014.03.006

Multispectral images′ sharpness enhanced by

nonlinear partial differential equation

XU Linli, XU Haibin, FENG Jie, YANG Weiping, LI Hongning

(School of Physics and Electronic Information Technology, Yunnan Normal University, Kunming 650500, China)

Abstract： Multispectral imaging system can change the output wavelength of light well, forming the uneven brightness images in different wave bands(dark images and high brightness images), it will affect the extraction and measurement in the feature bands seriously. In order to improve the effective utilization of each band, this paper appoints an effective way to enhance multispectral grayscale images′ sharpness. First enlarge gradient space through nonlinear partial differential equation, keep the bigger edges of the gradient value, enhance the texture details of images. Because the texture is weak in dark bands, to identify all of its information is difficult, to incarnate heighten and effect preferably, this article combines with the histogram equalization to adjust nonuniformity of brightness. Finally, evaluate this sets of enhanced images in two aspects by human vision qualitatively and objective function quantitately. The result shows that this method can coordinate multispectral images′ sharpness in different bands, and images′ enhancement effect is very obvious.

Key words： multispectral imaging; sharpness; nonlinear partial differential equation; histogram equalization

引言多光谱成像系统是一组多源信道所采集的关于同一目标的图像成像系统,经过图像处理和计算机技术等可以最大限度地提取各自信道中的有利信息,最后综合成高质量的图像［1］。相比于一般的数字成像系统,具有较高的光谱分辨率,能十分方便连续地改变输出光的波长,协调成百上千幅可见光和近红外光波段的图像。因此,多光谱成像在颜色测量、地理空间分析、天文学以及拉曼化学成像等方面起着非常重要的作用［2］。然而由于多光谱成像系统其不同波段的光对同一物体的反射率不同,使得不同波段图像的亮暗程度非常不均匀,这就造成了阴暗和高光区域中的图像信息不能够很好地被人眼所观察［3］,这些区域内往往存在着很多对比度相对很小的细节信息,一旦这些信息丢失就会严重影响多光谱图像在其应用领域以及实际生产过程中的作用;因此,协调多光谱数字图像在这些波段中的清晰度具有重要的意义。一般的图像增强采用线性方法进行滤波处理,如卷积滤波、高频增强滤波、维纳滤波等［4］,这些方法都是基于实际的应用环境提出的,当应用于多光谱成像系统时,就表现出一定的局限性。目前就增强多光谱数字图像清晰度的研究方法还少见报道,本文是针对多光谱灰度图像中不同波段的差别较大的不均匀亮度图像,通过改进直方图均衡化提高图像对比度的增强方法,而引用一种基于非线性偏微分方程的图像增强方法［56］,来提高多光谱灰度图像的清晰度。为了客观地检验该方法是否真实有效,在进行人眼视觉系统(HVS)［7］主观判定的同时,又引入了适用于多光谱图像清晰度评价的客观函数［811］——灰度差分函数,分别对原图像、经直方图处理过后的图像、通过改进算法处理后的图像进行了定性定量的测量和比较。光学仪器第36卷

第3期徐林丽，等：非线性偏微分方程增强多光谱图像清晰度

1多光谱成像的特点多光谱成像系统是利用了光的色散原理(复色光分解为单色光谱,白光分解为彩色光谱)。将目标光波的波长分割成若干波段,并拍摄目标物在各个波段的图像,所采集的图像是被色散开的单色光按波长在各波段依次成的像。由于不同波段光照强度的不均匀性而形成了亮暗程度不一的多光谱灰度图像,这就导致在不同波段所采集的图像清晰度差别很大,尤其是在阴暗波段,严重影响其在应用领域的分析与测量。图1选取了多光谱各波段图像中具有代表性的亮暗程度不均匀的12幅波段图像,通过人眼的主观认知方式可以很明显地分辨出:该组图像随着波长的改变,其清晰度也会随之改变。在阴暗波段和高亮度波段的图像中很多细节都无法被人眼所察觉,而实际上,这些波段内的图像中存在着很多细节信息,并且这些信息在多光谱图像的分析以及应用中是不可缺少的。2直方图均衡化图像增强消除光的强度对图像的影响方法有很多,首先采用目前图像增强技术领域里发展较为成熟的,同时也是图像增强技术的一种基本方法——直方图均衡化。它是一种以积累分布函数CDF(cumulative distribution function)为基础的直方图修正法,其目的是将原始图像的直方图修正为均衡分布的形式,即将原始图像的梯度场进行均衡,增强梯度场中出现概率高的信息,抑制概率低的信息,从而可以增强阴暗波段和高亮度波段灰度图像的细节信息。对于一幅多光谱灰度图像,第i个灰度级ri出现的频率数用ni表示,该灰度级像素对应的概率pr(ri)为:pr(ri)=nini=0,1,…,k-1(1)其中,n为像素总数,i为灰度级数,ri满足归一化条件。图像变化的函数表达式为:S=T(ri)=∑k－1i=0pr(ri)=∑k－1i=0nin(2)

nlc202309032023

图1具有代表性的不同波段的多光谱图像

Fig.1Typical multispectral images in different bands

对该组多光谱图像进行直方图均衡化处理,效果如图2所示(选取450 nm、550 nm、600 nm、720 nm波段图像为例)。

图2原图像与直方图均衡化处理后所得的对比图像

Fig.2Contrast between original images and histogram equalization processing images

从图2四组图像中不难看出,直方图均衡化处理后,图像直方图灰度间隔被拉大了,从而有利于图像的分析与识别。但是该方法又存在一定的局限性,虽然在450 nm波段和720 nm波段图像的清晰度得到了很明显的提高,然而,在550 nm波段以及600 nm波段处理后的图像随着直方图均衡化将图像细节放大的同时,图像的噪声也随之放大,尤其在550 nm波段最为明显。可以看出该方法不仅对光照比较均匀的550 nm波段灰度图像的清晰度无明显增强效果,而且还带来了较大的噪声。3基于非线性偏微分方程的图像增强为了避免直方图均衡化的同时放大噪声,本文采用一种改进的基于非线性偏微分方程的图像增强方法,设增强后的梯度图像为A:A=1－cosu－uminumax－umin•π•umax2•uu(3)其中,u为原图像的梯度函数,umax为梯度模的最大值,umin为梯度模的最小值,uu表示梯度场的方向信息。经过该变换之后梯度函数使原梯度场从［umin,umax］映射到［0,umax］内,且分布按照所需要求变换,使原本不明显的纹理凸显,同时保留梯度值较大边缘,增强图像的纹理细节。图像增强后再经过最小二乘原理恢复出所要增强的图像,该过程可以增强图像中比较弱的纹理和出现概率较低的细节信息。为了使增强效果完全体现出来,本文用直方图均衡化与原图像的差乘上补偿因子λ来调节增强后图像,从而构建出重建图像，公式如下:Δu=div(A)+λ(S(u)－u)(4)其中,Δ为拉普拉斯算子,Δu=2ux2+2uy2,S(u)是对原图像的直方图均衡化,λ为补偿因子。通过该方法对多光谱图像的增强效果与直接直方图均衡化处理产生的效果如图3所示(以图2中无明显增强效果的550nm和600nm波段图像为例)。

图3改进的方法与直方图均衡化处理对比图

Fig.3Contrast between images of improved method and histogram equalization processing

从图3可以看出该方法能够明显弥补直方图均衡化处理对某些波段图像增强无明显效果的不足,同时能够很好地抑制带噪图像在图像增强过程中所引起的噪声放大,从而克服了上述方法的缺陷,可以达到更好的视觉效果。4结果分析与讨论对实验结果的检验本文从定性和定量两方面着手。定性是从人眼视觉效果进行的评价,图1、图2、图3分别展示了在某些特征波段的原图像、直方图均衡化处理后的图像、改进的方法处理后的图像,从以上三组图像中可以看出改进的方法与直方图均衡化处理相比可以明显地提高图像的细节信息,从而增强图像的视觉质量。由于定性评价具有一定的主观性,因此,本文又引入了具有客观性的定量评价。因为,图像清晰度是衡量图像增强效果的重要指标,它的客观函数评价有很多,就反映图像细节信息的函数有:熵函数、灰度差分函数、Tenengrad函数、能量梯度函数以及点锐度函数等,在这里选用最适用于多光谱数字图像清晰度客观评价函数——灰度差分函数［11］,来对实验的原始图像以及增强后的图像进行评价。灰度差分函数的算法是:先逐个算出各个像素点的平均灰度值,再将各像素点灰度值与平均灰度值之差累加,得到该图像的清晰度。公式如下:q(I)=∑x∑y［I(x,y)－μ］(5)

μ=∑x∑yI(x,y)(M×N)2(6)其中,I(x,y)为图像I在(x,y)处的灰度值,μ为图像I的平均灰度值,M×N为图像的像素总数,q(I)表示该函数的清晰度值。为了说明改进算法比直方图均衡化算法更具有优越性,本文选用比一般的多光谱成像系统有更高成像质量的LCTF成像系统,并且在D65光源下从450~720 nm波段(每隔5 nm,共55幅)采集一组多光谱数字图像进行清晰度分析。灰度差分函数对原图像、直方图均衡化处理后的图像、改进方法处理后的图像的清晰度值如图4所示。

图4各方法在不同波段的清晰度值分布

Fig.4The distribution of each method for images′ sharpness in different bands

通过图4三组波段图像清晰度的分布图可以看出，非线性偏微分方程图像增强能够很好地提高多光谱图像的清晰度,这为以后在多光谱图像的筛选和清晰度的视觉评价方面具有很大的帮助,然而又会导致多光谱数据立方体的能量分布的改变,因此,在多光谱图像的反射率重建等方面工作时将会进行后续的处理。5结论综合图1、图2、图3的定性评价和图4的定量评价可以看出多光谱图像在各波段成像质量是非常不均匀的,在550 nm左右的波段图像较为清晰,但在两端波段图像的清晰度相对较差,尤其是在470 nm以下和700 nm以上波段的图像非常不清晰,在此基础上如果采用直方图均衡化处理会使得较低波段和较高波段的图像清晰度得到明显的改善,然而随之而来会造成噪声的放大,结果导致在500～640 nm范围内被测的图像清晰度不升反降。而本文的方法不仅可以使几乎每个波段的图像清晰度获得提高,而且还可以使各个波段的清晰度基本维持在一条直线上,因此这种方法使得多光谱图像在各个波段图像质量得到了明显提高,克服了多光谱在不同波段成像不均匀这一缺点。实验结果表明:该方法不仅可以克服噪声较大时,直方图均衡化所带来的噪声同步放大的缺点,而且可使各波段图像清晰度值基本保持一致,有效地提高了不同波段多光谱灰度图像的清晰度,提高了图像的质量,为多光谱成像系统更多的应用研究提供了参考。参考文献：

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灰色系统非线性回归电力负荷预测 第4篇

电力负荷预测对电力系统调度、用电、计划及规划等工作有着重要的影响。提高负荷预测的水平,有利于合理安排电网运行方式和机组检修计划。因此设计好的模型提高负荷的预测水平具有重要的实际意义,是电力科学研究的重要课题之一。灰色预测具有要求样本数据少、原理简单、运算方便、可检验等特点,因而灰色模型尤其是GM(1,1)模型在电力负荷预测中得到了广泛关注[1,2,3]。但GM(1,1)模型主要适用于负荷增长较平稳的情况,在预测增长较快的电力负荷时,预测精度较低,使得GM(1,1)模型的应用受到了一定的限制。一些专家学者对此进行了研究[4,5,6],并提出了一些新方案,改善了GM(1,1)模型的预测结果。

文献[7]证明GM(1,1)模型引入背景值x(1)(k)是导致模型在预测非平稳变化序列时精度不高的原因。本文主要工作如下:1) 针对GM(1,1)预测原理进行了模型的修正,提出了一个改进的预测公式,将改进公式和原始公式进行耦合,用于负荷预测;2) 确定参数a和u的值,将所得结果作为初始值,利用非线性回归对其进行进一步的优化求解。仿真实验表明,这种改进的非线性回归灰色预测优化模型(Nonlinear Regression Optimization Grey Model,简记为:NROGM),有效提高了预测精度,所得结果优于GM(1,1)模型及文献[6]中PSOGM模型的结果,拓展了灰色预测模型的使用范围,为工程应用提供了重要参考。

1非线性回归

非线性回归模型一般形式为:yi=g(xi,θ)+e,e～N(0,δ)。其中xi为系统输入向量,yi为系统输出向量,θ=(θ1,θ2,,θk)T为待定参数向量,e是均值为0、方差为δ2的白噪声,模型结构g的形式已知。现已知观测数据对(xi,yi),i=1,2,,n,非线性参数估计问题就是要求根据已知的数据对估计出向量的值,即求解满足偏差平方和$f(\theta )={\displaystyle \sum _{i=1}^n(}y{}_i-g(x{}_i,\theta )){}^2$为最小的最优θ值,非线性回归模型参数优化的实质就是非线性函数优化问题。

在现实问题中,变量之间通常不是简单的线性关系,而是非线性的,这就使得对实际问题的分析变得较为困难。对于非线性回归问题,常用线性回归方法解决它的预测问题,但并非所有的非线性模型都可以线性化,即使可以转化为线性模型,也可能造成模型随机误差项性质的改变。在这种情况下,直接采用非线性最小二乘法估计将比较有利。但非线性最小二乘参数估计采用的是迭代法求解,必须先给出参数的初始值,并且求解结果比较依赖于参数初始值。

2GM(1,1)预测原理

GM(1,1)模型是电力负荷预测常用的一种灰色模型。原理如下:设有n个原始负荷样本数据x(0)=(x(0)(1),x(0)(2),,x(0)(n)),作一阶累加生成序列x(1)=(x(1)(1),x(1)(2),,x(1)(n)),序列x(0)和x(1)中对应数据之间的关系为$x{}^{(1)}(k)={\displaystyle \sum _{i=1}^{k}x}{}^{(0)}(i)(k=1,2,\cdots ,n)$。构造一阶线性灰色微分方程后,可得该方程的灰微分方程

$\frac{\text{d}x{}^{(1)}}{\text{d}t}+ax{}^{(1)}=u(1)$

其对应的差分方程组为

$\{\begin{array}{l}x{}^{(0)}(2)+\frac{1}{2}a[x{}^{(1)}(2)+x{}^{(1)}(1)]=u\\ x{}^{(0)}(3)+\frac{1}{2}a[x{}^{(1)}(3)+x{}^{(1)}(2)]=u\\ ⋮\\ x{}^{(0)}(n)+\frac{1}{2}a[x{}^{(1)}(n)+x{}^{(1)}(n-1)]=u\end{array}(2)$

利用最小二乘法求得参数

$\left(\begin{array}{l}a\\ u\end{array}\right)=(B{}^{\text{Τ}}B){}^{-1}B{}^{\text{Τ}}Y(3)$

式(3)中:

$B=\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{2}[x{}^{(1)}(1)+x{}^{(1)}(2)]& 1\\ -\frac{1}{2}[x{}^{(1)}(2)+x{}^{(1)}(3)]& 1\\ ⋮& ⋮\\ -\frac{1}{2}[x{}^{(1)}(n-1)+x{}^{(1)}(n)]& 1\end{array}\right)$

,

$Y=\left(\begin{array}{l}x{}_{}^{(0)}(2)\\ x{}_{}^{(0)}(3)\\ ⋮\\ x{}_{}^{(0)}(n)\end{array}\right)$

。

由式(3)求得a和u后,得原始数据预测公式

$\widehat{x}{}^{(0)}(k+1)=(1-e{}^a)\left[x{}^{(0)}(1)-\frac{u}{a}\right]e{}^{-ak}$;

k=1,2, (4)

3灰色系统非线性回归预测模型

利用GM(1,1)模型进行电力负荷预测具有要求负荷数据少、不需考虑负荷分布规律和变化趋势、运算方便的优点。但模型在预测增长较快的负荷时,预测精度会变差,其主要原因是引入了背景值$x{}^{(1)}(k)=\frac{1}{2}[x{}^{(1)}(k)+x{}^{(1)}(k+1)]$。

为避免背景值取值不当造成误差,参数优化陷入局部最优解,灰色系统非线性回归电力负荷预测模型做如下改进:1) 对预测公式进行修正得公式(5):

$\widehat{x}{}^{(0)}(k+1)=(1-e{}^a)\left[x{}^{(0)}(k)-\frac{u}{a}\right]e{}^{-ak}(5)$

在学习过程中采用式(4)、式(5)进行预测;2) 利用灰色系统对以上两个预测公式中的参数a和u进行计算,将所得结果作为线性回归的初始值进行优化,并利用公式(4)、式(5)对电力负荷进行预测,得两个预测结果;3) 利用黄金分割比例对两预测值进行耦合,将所得结果作为待预测年的电力负荷值。

4仿真实验

为正确评价预测模型的准确性,应用三组数据进行仿真实验,并将实验结果与GM(1,1)模型和文献[6] 中PSOGM模型所得的结果进行对比,原始数据如表1所示,表1中与前7个年份编号对应的数据作为考核模型的原始数据序列,而年份编号为8的数据就是k=8时对应的负荷值,该值将作为待预测年的准确值,用于对所得的预测结果的准确性进行评估。表1中的三组数据按近似的指数规律增长,增长率各不相同。

利用本文所提NROGM模型进行预测,结果如表2所示,表中还给出了GM(1,1)模型及PSOGM模型建模的结果。从表2中可以看出,随着负荷的不断提高,GM(1,1)模型的预测结果逐渐变差,PSOGM模型提高了预测模型的适应性,准确地预测了负荷的变化趋势。三种模型对负荷预测的相对误差比较如柱状图所示,从表2及柱状图1可以看出本文所提出的灰色系统非线性回归(NROGM)预测模型与GM(1,1)模型及PSOGM模型相比,其预测适应性更强、精度更高、误差更小。

5结论

针对GM(1,1)模型的应用局限性,文中建立了基于灰色系统的非线性回归 (NROGM) 预测模型,利用非线性回归对灰色系统所得的参数值进行优化、预测电力负荷值。实例分析表明,利用本文所提新模型、新算法预测的电力负荷结果精度较高,误差较小;另外,该模型本身不复杂,实现简单,操作方便,在科学与工程预测中具有一定的理论意义和应用价值。

参考文献

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非线性灰色微分方程 第5篇

其中a, b, c是任意常数。显然, 对于该类方程的显式解是很难研究的, 因此本文研究目的是通过定性分析研究该类方程的解问题。

方程 (1) 两边乘以y′后积分得到:

整理后得到:

为了进一步分析方程 (3) , 我们要借助于一些对微分方yx2=F (x) 已有的结果[4]:

(a) 若F (x) 在y=m处有一个简单零点, 即F (m) =0, F′ (m) ≠0, 则解在x→x0时有, %其中y在x=x0处取极值m。

(b) 若F (y) 在y=m处有一个二重零点, 即F (m) =0, F′ (m) =0, F″ (m) ≠0, 则解在x→∞时有, 且当x→∞时y→m。

利用上述结果, 我们很容易得到以下结论:

若满足F (y) >0和y1<y<y2, 则微分方程yx2=F (x) 有下列形式的解 (图1) :

(1) 如果函数F (y) 具有两个简单零点y1和y2, 那么微分方程具有周期解。

(2) 如果函数F (y) 具有一个简单零点y1和一个二重零点y2, 那么微分方程具有一个衰减解。

(3) 如果函数F (y) 具有一个二重零点y1和一个二重零点y2, 那么微分方程具有一个扭结解。

下面研究的零点分布, 本文只讨论a>0的情况。利用韦达定理以及根与系数的关系, 可以得到函数的9种图形以及相应的参数条件。

1.若c>0, 则微分方程的解为: (i) 当b>0时, 方程有负周期解 (c0<0) ;方程有负衰减的解 (c0=0) ;方程除了常数解没有其他形式解 (c0>0) 。 (ii) 当b=0时, 方程除了常数解外无解。 (iii) 当b<0时, 方程有正周期解 (c0<0) ;方程有正衰减的解 (c0=0) ;方程除了常数解没有其他形式解 (c0>0) 。

2.若c=0, 则方程除了常数解没有其他形式解。

3.若c<0, 则方程y′2=F (y) 的解为 (i) 当b>0时, 方程除了常数解外没有其他形式解 (c0≤0) ;方程有周期解, 正衰减解和负衰减解 (c0>0) ; (ii) 当b=0时, 方程除了常数解没有其他形式解 (c0≤0) ;方程有周期解和扭结解 (c0>0) ; (iii) 当b<0时, 方程除了常数解没有其他形式解 (c0≤0) ;方程有负周期解和负衰减解 (c0>0) 。

摘要：本文给出一类特殊二阶常系数非线性微分方程的定性解法。通过对零点分布的分析, 证明了该类方程具有周期解, 衰减解以及扭结解。本文的研究对高等数学的教材也是一种有益补充。

关键词：零点分布,周期解,衰减解,扭结解

参考文献

[1]同济大学数学系.高等数学[M].北京:高等教育出版社, 2007.

[2]罗梭M.常微分方程[M].叶彦谦, 译.上海:上海科学技术出版社, 1981.

[3]时宝, 张德纯, 盖明久.微分方程理论及其应用[M].北京:国防工业出版社, 2005.

非线性灰色微分方程 第6篇

考虑B样条基函数具有较好的性质,且Ramsay所提出的B样条估计也并未做局部影响分析。因此本文选择具有较好性质的B样条基函数进行参数的估计,并对局部的影响做出分析,最终与核光滑算法进行比较,说明该算法的优越之处。

1简单介绍两步估计法

假设非线性微分方程均可表示成如下形式

其中,X( t) 是k维状态变量,每个元素都是一个关于t的函数; θ 为未知参数; X( t) 是X( t) 的导函数。为方便起见,令k = 1。观测点为Yi= X ( ti) + εi,i = 1,2, …,n,其中 εi是服从独立同分布的随机变量,且Eεi= 0和Dεi= σ2。

则由最小二乘法得

其中,Φ 每一行表示基函数分别在观测时间ti,i = 1, 2,…,n的值,从而求得

将分别代入式(1)中,并求解下列问题,即可得到如下参数的估计值

2基于数据删除模型的异常点检测

利用提出的两步估计法进行局部影响分析。规定删除第i个观测值删除之后的变量用带有i的符号表示,比如Y(i)表示删除第i个观测点之后的Y。由的定义,并根据统计诊断中数据删除模型的理论有

因此广义Cook距离可定义为

由式( 10) 和式( 11) 可看出,只需对完全数据进行样条光滑,并估计原函数及其导函数,即可算出广义Cook距离,这使得计算量大幅降低。

3模型应用

FitzHugh - Nagumo方程

是FitzHugh和Nagumo等人所提出的。该动态系统清晰地描绘出V与R之间的相互依赖关系,模型的未知参数是 θ = ( a,b,c)T。

用R统计软件进行模拟实验。首先设定参数( a,b,c) = ( 0. 2,0. 2,3) ,然后利用4阶Runge - Kutta方法计算模型在区间[0,10]内的数值解,并对其添加标准正态分布的噪声得到V和R的观测值,本文选择3次B样条基函数进行模拟实验。为了方便表示,记: H代表核光滑算法,B代表样条光滑算法。表1显示在观测点个数分别为50,100,150和200时,H和B算法的参数估计值。

下面进行局部影响分析: 选择观测点为200,并考虑4种不同的偏移,即d =0. 5,1,2,4。为检验局部影响分析法的有效性,对第100个观测值进行增加均值偏移d。给定d,利用式( 9) 计算每个数据点的Cook距离。定义若第100个数据点对应的Cook距离是所有数据点中该距离的最大值,则算法有效,对该算法重复100次,有效率如表2所示。考虑到边界处的估计会产生较大的误差,故计算去掉前后各5个点的Cook统计量,结果如图1所示。

4结束语

在参数估计中引入了B样条基函数的结果精确, 并由模拟实验可知,参数的估计误差随着样本容量的增加而减小,这一点符合实际情况。而局部影响分析过程中,微小偏移下的检测效果并不明显,但偏移越大,效果则越明显,且在实验过程中发现边界处的拟合误差较大。此外,该算法的参数估计精确度比核光滑算法高,算法的优越性在局部影响分析中更为明显,检测效率也高于核光滑算法。因此该算法是实际生活中解决问题的一种有效途径。

摘要：通过引入B样条基函数,给出非线性常微分方程中未知参数的两步估计法。然后导出基于数据删除模型的广义Cook距离的计算公式,并说明该算法降低了计算量。最终利用FitzHugh-Nagumo方程的模拟实验,检验了该算法的有效性,同时与现有算法进行比较,分析证明了其优越性。

非线性灰色微分方程 第7篇

近些年来,分数阶微分方程已经成为国内外研究的一个热点,受到人们越来越多的关注和研究。基于目前人们对分数阶微分方程的广泛研究,因此深入探讨非线性分数阶微分方程边值问题解的性质有着广泛的理论和现实意义[17]。

文献[8]的作者应用Krasnoselskiis不动点理论、混合单调算子的唯一不动点理论研究了非线性分数阶微分方程边值问题

正解的多重性和唯一性,其中2<α<3是实数,参数λ是正常数,D${}_{0+}^{\alpha }$是标准Riemann-Liouville型微分,f:[0,∞)[0,∞)是连续的,并且f(t,u)可能在t=0或者t=1处有奇性。

据我们所知,到目前为止没有任何关于如何解决如下问题解的唯一性的文章。

式(1)中2<α3是实数,D${}_{0+}^{\alpha }$是标准Riemann-Liouville型微分,f∈C[0,1]。

本文类推了整数阶微分方程边值问题,首先我们获得了相应的Green函数,称之为分数阶Green函数,并且我们给出了Green函数的性质。通过Green函数把问题式(1)等价转化为一个相应的Fredholm积分方程。最后,应用混合单调方法得到方程解的唯一性。

1 预备知识

首先,我们给出一些必要的分数阶微积分理论的定义。

定义1[9] 连续函数y:(0,∞)R的α阶(α>0)Riemann-Liouville分数阶积分定义如下:

假设右边是逐点定义在(0,∞)上的。

定义2[9] 连续函数y:(0,∞)R的α阶(α>0)Riemann-Liouville分数阶微分定义如下:

其中n=[α]+1,[α]表示α的整数部分,假设右边是逐点定义在(0,∞)上的。

由上述Riemann-Liouville微积分定义,我们可以得到以下结论。

引理1[9] 令α>0,如果我们假设u∈C(0,1)∩L(0,1),那么分数阶微分方程D${}_{0+}^{\alpha }$u(t)=0有唯一解u(t)=C1tα-1+C2tα-2+...+CNtα-N;Ci∈R,i=1,2,...,N,其中N是大于或等于α的最小整数。

引理2[9] 假设u∈C(0,1)∩L(0,1),且具有α阶(α>0)分数阶微分,则有I${}_{0+}^{\alpha }$D${}_{0+}^{\alpha }$u(t)=u(t)+C1tα-1+C2tα-2+...+CNtα-N;Ci∈R,i=1,2,...,N,其中N是大于或等于α的最小整数。

下面,我们将求出分数阶微分方程边值问题的Green函数。

引理3 给定h∈C[0,1]且2<α3,分数阶微分方程

D${}_{0+}^{\alpha }$u(t)+h(t)=0,0<t<1 (2)

u(0)=u(1)=u′(0)=0 (3)

的唯一解是u(t)=∫${}_0^1$G(t,s)h(s)ds。

这里称G(t,s)是边值问题式(2)、式(3)的Green函数。

证明 由引理2,我们可以把式(2)转化为一个等价的积分方程

u(t)=-I${}_{0+}^{\alpha }$h(t)+C1tα-1+C2tα-2+C3tα-3,

式中C1,C2,C3∈R。于是,方程(2)的解为

由式(3),我们有C2=C3=0,以及$C{}_1=\frac{1}{\text{Γ}(\alpha )}{\displaystyle {\int }_0^1(}1-s){}^{\alpha -1}h(s)\text{d}s$。

因此,问题式(2)、式(3)的唯一解是

引理4 由式(4)得到的函数G(t,s)具有如下性质:

(1)对于∀t,s∈(0,1),G(t,s)=G(1-s,1-t);

(2)对于∀t,s∈(0,1),Γ(α)k(t)q(s)G(t,s)(α-1)q(s);

(3)对于∀t,s∈(0,1),Γ(α)k(t)q(s)G(t,s)(α-1)k(t)。

其中$k(t)=\frac{t{}^{\alpha -1}(1-t)}{\Gamma (\alpha )},q(s)=\frac{s(1-s){}^{\alpha -1}}{\Gamma (\alpha )}$。

(4)对于∀t,s∈(0,1),G(t,s)>0。

证明 由G(t,s)的表达式,显然,对于∀t,s∈(0,1),G(t,s)=G(1-s,1-t),所以(1)成立。

当st时,我们有1-t1-s,则

另一方面,

当ts时,因为α>2,所以有

另一方面,

综上所述,性质(2)成立。

由性质(1)和性质(2)知

Γ(α)k(t)q(s)G(t,s)=G(1-s,1-t)(α-1)q(1-t)=(α-1)k(t)。

对于

由于∀t,s∈(0,1),t-ts≥t-s,且t(1-s)>0,所以性质(4)成立。

令K是Banach空间E的正规锥,e∈K且‖e‖1,e≠θ。

定义Qe={x∈K|x≠θ,存在常数m,M>0,使得mexMe} (5)

下面我们再给出一个定义。

定义3[10] 假设A:QeQeQe称为是混合单调的,如果对于固定的y∈Qe,A(x,y)关于x是单调不减的;对于固定的x∈Qe,A(x,y)关于y是单调不增的。例如,对于任意y∈Qe,如果x1x2(x1,x2∈Qe),则有A(x1,y)A(x2,y);对于任意x∈Qe,如果y1y2(y1,y2∈Qe),则有A(x,y1)A(x,y2)。如果A(x*,x*)=x*,称x*∈Qe是A的不动点。

引理5[11] 假设A:QeQeQe是混合单调算子,且存在常数η(0η1),使得对于任意x,y∈Qe以及0<t<1,有$A\left(tx,\frac{1}{t}y\right)\ge t{}^{\eta }A(x,y)$成立,则A有唯一不动点x*∈Qe。

2 主要结论

假设(G1):f(t,x)=q(t)[g(x)+h(x)],t∈(0,1),其中g:[0,+∞)[0,+∞)是连续、单调不减的;h:(0,+∞)(0,+∞)是连续、单调不增的。

由引理4的Green函数性质(3),我们知道存在a,n∈C[0,1],a(t),n(s)>0,对于∀t,s∈(0,1),有$a(t)\frac{n(s)}{\text{Γ}(\alpha )}G(t,s)a(t)\frac{\alpha -1}{\text{Γ}(\alpha )}‚\forall t\in [0,1],\forall s\in [0,1]$。

其中n(s)=s(1-s)α-1,a(t)=tα-1(1-t)。显然$\parallel a\parallel =\underset{t\in [0,1]}{{\displaystyle \max }}a(t)<1$。假设x(t)是式(1)的解,则x(t)=∫${}_0^1$G(t,s)f(s,x(s))ds,0t1。

于是我们有

$\begin{array}{l}a(t){\displaystyle {\int }_0^1\frac{1}{\text{Γ}(\alpha )}}n(s)f(s,x(s))\text{d}sx(t)a(t)\\ {\displaystyle {\int }_0^1\frac{\alpha -1}{\text{Γ}(\alpha )}}f(s,x(s))\text{d}s。\end{array}$

于是,若x(t)是式(1)的解,则x∈Qe。这正如性质(4)所定义的,这里e(t)=tα-1(1-t)=a(t)。

令K={x∈C[0,1]|x(t)≥0,∀t∈[0,1]},显然,K是Banach空间C[0,1]中的正规锥。

定理1 假设(G1)成立,且存在η∈(0,1),使得

g(tx)≥tηg(x),∀t∈(0,1),∀x>0 (6)

h(t-1x)≥tηh(x),∀t∈(0,1),∀x>0 (7)

且当q∈C((0,1),(0,∞))时,有

∫${}_0^1$s1-η(α-1)(1-s)-ηq(s)ds<+∞ (8)

成立。则式(1)有唯一解x*。

证明 因为式(7)成立,令t-1x=y,我们有h(y)≥tηh(ty)。则

$h(ty)\frac{1}{t{}^{\eta }}h(y),\forall t\in (0,1),y>0$ (9)

令y=1,上述不等式变为

$h(t)\frac{1}{t{}^{\eta }}h(1),\forall t\in (0,1)$ (10)

由式(7),式(9)以及式(10),我们有

$\begin{array}{l}h(t{}^{-1}x)\ge t{}^{\eta }h(x),h\left(\frac{1}{t}\right)\ge t{}^{\eta }h(1),h(tx)\\ \frac{1}{t{}^{\eta }}h(x),h(t)\frac{1}{t{}^{\eta }}h(1),\forall t\in (0,1),\forall x>0。(11)\end{array}$

类似由式(6),我们有

g(tx)≥tηg(x),g(t)≥tηg(1),

∀t∈(0,1),∀x>0 (12)

令$t=\frac{1}{x}$,我们有

g(x)xηg(1),x≥1 (13)

令e(t)=a(t),我们定义如下:

$Q{}_e=\{x\in {\rm P}|\frac{1}{{\rm M}}a(t)x(t){\rm M}a(t),t\in [0,1]\}$ (14)

式(14)中M>1,并使得

对于∀x,y∈Qe,我们定义如下:

首先我们证明A:QeQeQe。

对于∀x,y∈Qe,由式(12)以及式(13),我们有

由式(11)我们有

则我们有

$\begin{array}{l}A(x,y)(t){\displaystyle {\int }_0^1\frac{\alpha -1}{\text{Γ}(\alpha )}}a(t)q(s)[g(x(s))+\\ h(y(s))]\text{d}s{\rm M}{}^{\eta }a(t){\displaystyle {\int }_0^1\frac{\alpha -1}{\Gamma (\alpha )}}q(s)\\ [g(1)+a{}^{-\eta }(s)h(1)]\text{d}s\\ {\rm M}{}^{\eta }a(t){\displaystyle {\int }_0^1\frac{\alpha -1}{\text{Γ}(\alpha )}}q(s)a{}^{-\eta }(s)[g(1)+\\ h(1)]\text{d}s{\rm M}a(t),\forall t\in [0,1]。\end{array}$

另一方面,对于∀x,y∈Qe,∀t∈(0,1),由式(11)以及式(12),我们有

于是,我们有

于是A正如所定义的,且有A(QeQe)⊂Qe。

对于任意l∈(0,1),我们有

于是引理5成立,因此方程有唯一解x*∈Qe,使得A(x*,x*)=x*成立。

3 例子

例1考虑下面边值问题

式(17)中$0<a,b<\frac{1}{2},\mu \ge 0$。

令$\eta =\max \{a,b\}<\frac{1}{2},q(t)=1,g(x)=\mu x{}^b,h(x)=x{}^{-a}$。

于是,对于∀t∈(0,1)以及∀x>0,因为$\eta <\frac{1}{2},2<\alpha 3$,所以有η(α-1)<1,η<1,所以

∫${}_0^1$s-η(α-1)(1-s)-ηds<+∞,且有g(tx)=tbg(x)≥tηg(x),h(t-1x)=tah(x)≥tηh(x),

所以定理1的所有条件都满足。由定理1,我们可知式(17)有唯一正解x*(t)。

参考文献

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