创新函数范文

创新函数范文（精选10篇）

创新函数 第1篇

一、定义新运算, 考察函数奇偶性

定义型问题是给出一个新定义, 新运算, 新函数, 新概念, 要求学生利用其解决问题, 这种问题不能利用以往的公式, 定理, 把考察的方向由死记硬背转向考察学生的能力运用.

例1 定义两种运算:undefined, 则函数undefined为 ( )

(A) 奇函数 (B) 偶函数

(C) 奇函数且为偶函数

(D) 非奇函数且非偶函数

解:由题意undefined, 则undefined, 函数f (x) 的定义域为x∈[-2, 0]∪ (0, 2], 定义域关于原点对称, 得undefined, 即f (-x) =-f (x) .应选 (C) 答案.

点评:本题的一个技巧是只有利用定义域才能把函数的表达式化成最简, 这可能是学生致错的焦点.

二、与算法相交汇, 考察数形结合

计算机既是数学的创造物, 又是数学的创造者, 算法既是计算机理论和实践的核心, 也是数学的基本内容之一, 把算法与数形结合交汇, 更显命题者的匠心.

例2 图1所示的流程图是将一系列指令和问题用框图的形式排列而成, 箭头说明下一步是到哪一个框图.阅读这个流程图, 回答问题:若x0∈R, 记输出值构成函数F (x) , 则F (x) 的最大值是____.

解: 知输出值为函数f (x) =2-x2, g (x) =x中较小值, 又因为x0∈R, 则在同一坐标系内作出两个函数图象如图, 其中实线即为F (x) 的图象, 可知其最大值为1.

点评:本题的关键是看懂程序框图的意思是求两个函数中的较小值, 进而画出图形解题.

三、联系实际背景, 考察函数的周期性

我国成功获得了2008年奥运会的举办权, 全国上下都为这一振奋人心的盛会即将到来而欢欣鼓舞, 在数学的学习中, 许多与奥运相关的问题也应运而生.

例3 第1届现代奥林匹克运动会在雅典举行, 比赛项目有田径、游泳、举重、射击、自行车、古典式摔跤、体操、击剑和网球9个大项, 第29届奥林匹克运动会在北京举行, 比赛项目包括:田径、赛艇、羽毛球、棒球、篮球、拳击、皮划艇、自行车、马术、击剑、足球、体操、举重、手球、曲棍球、柔道、摔跤、游泳、现代五项、垒球、跆拳道、网球、乒乓球、射击、射箭、铁人三项、帆船和排球共28个大项. 为示庆贺, 某数学爱好者构造了“奥运函数”已知该函数满足下列性质

(1) f (1) =9

(2) 函数为偶函数, 且满足f (x+6) =f (6-x) .

(3) 对任意x∈[0, 6]有undefined, 试求f (29) 的值.

解: 因为f (x) 是偶函数, 所以f (-x) =

f (x) , f (x+6) =f (6-x) =f (x-6) , 得f (x+12) =f (x) 即f (x) 是周期为12的函数, 而

undefined

点评:本题与实际问题相结合, 考察函数的周期性, 对称性, 诸如此类的抽象函数问题在高考中经常见到, 只是与奥运相联显得有点牵强.

四、创设新函数, 考察解决问题的能力

创新是高考命题永恒不变的旋律, 从近几年高考题来看, 创设新颖的情境, 激发学生独立思考, 从数学的角度去发现和提出问题, 并加以探索和研究的问题屡见不鲜.

例4 对于函数y=f (x) (x∈D) , 若同时满足下列条件:①f (x) 在D内是单调函数;②存在区间[a, b]⊆D.使f (x) 在[a, b]上的值域为[a, b], 那么y=f (x) 叫闭函数.

(1) 判断函数undefined是否闭函数.并说明理由;

(2) 求闭函数y=-x3, 符合条件的区间[a, b];

(3) 若undefined是闭函数, 求实数k的取值范围.

undefined

f (x) 在undefined上不是单调函数. 不是闭函数.所以

undefined不是闭函数.

解得undefined

点评:解决创设新函数问题, 需要通过阅读分析材料, 捕捉相关信息, 通过归纳猜想, 发现解题方法, 由于这类题立意新, 构思巧, 既考查学生的阅读理解能力, 数学语言转化力, 又考查学生分析问题和解决问题的能力, 因此慢慢成为高考创新的主流方向.

创新函数 第2篇

教材分析

这节课是在初中学习的锐角三角函数的基础上，进一步学习任意角的三角函数．任意角的三角函数通常是借助直角坐标系来定义的．三角函数的定义是本章教学内容的基本概念和重要概念，也是学习后续内容的基础，更是学好本章内容的关键．因此，要重点地体会、理解和掌握三角函数的定义．在此基础上，这节课又进一步研讨了三角函数的定义域，函数值在各象限的符号，以及诱导公式

（一），这既是对三角函数的简单应用，也是为学习后续内容做了必要准备．

教学目标

1.让学生认识三角函数推广的必要性，经历三角函数的推广的过程，增强对数的理解能力．

2.理解和掌握三角函数的定义，在此基础上探索与研究三角函数定义域、三角函数值的符号和诱导公式

（一），并能初步应用它们解决一些问题．

3.通过对任意角的三角函数的学习，初步体会数学知识的发生、发展和运用的过程，提高学生的科学思维水平．

任务分析

在初中，我们只是学习了锐角三角函数，现在学习的是任意角的三角函数．定义的对象从锐角三角函数推广到任意角的三角函数，从四种三角函数增加到六种三角函数．定义的媒介则从直角三角形改为平面直角坐标系．为了便于学生体会和理解，突出定义适用于任意角，通常要把终边出现在四个象限的情况都画出来（注意表示角时不用箭头），学习时，必须弄清并强调：

这六个比值的大小都与点P在角的终边上的位置无关，只与角的大小有关，即它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，符合函数的定义，从而归纳和总结出任意角的三角函数的定义．对于三角函数的定义域、函数值在各象限内的符号和诱导公式

（一），可放手让学生探索、研究、讨论和归纳，用以培养学生的数学思维能力．

教学设计

一、情景设置 了当α

初中我们学习过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，由其所在的直角三角形的对应边的比值为函数值，并且定义角α的正弦、余弦、正切、余切的三角函数．这节课，我们研究是一个任意角时的三角函数的定义．

在初中，三角函数的定义是借助直角三角形来定义的．如图32-1，在Rt△ABC中，现在，把三角形放到坐标系中．如图32-2，设点B的坐标为（x，y），则OC＝b＝x，CB＝a＝y，OB＝，从而

即角α的三角函数可以理解为坐标的比值，在此意义下对任意角α都可以定义其三角函数．

二、建立模型

一般地，设α是任意角，以α的顶点O为坐标原点，以角α的始边的方向作为ｘ轴的正方向，建立直角坐标系xOy．P（x，y）为α终边上不同于原点的任一点．如图：

那么，OP＝，记作r，（r＞0）． 对于三个量x，y，r，一般地，可以产生六个比值：.当α确定时，根据初中三角形相似的知识，可知这六个比值也随之相应的唯一确定．根据函数的定义可以看出，这六个比值都是以角为自变量的函数，分别把角的正弦、余弦、正切、余切、正割和余割函数，记为

称之为α

对于定义，思考如下问题：

1.当角α确定后，比值与P点的位置有关吗？为什么？

2.利用坐标法定义三角函数与利用直角三角形定义三角函数有什么关系？ 3.任意角α的正弦、余弦、正切都有意义吗？为什么？

三、解释应用 ［例 题］

1.已知角α的终边经过P（－2，3），求角α的六个三角函数值． 思考：若P（－2，3）变为（－2m，3m）呢？（m≠0）2.求下列角的六个三角函数值．

注：强化定义． ［练习］

1.已知角α的终边经过下列各点，求角α的六个三角函数值．（1）P（3，－4）．（2）P（m，3）． 2.计 算．

（1）5sin90°＋2sin0°－3sin270°＋10cos180°．

四、拓展延伸

1.由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系，三角函数可以看成以实数为自变量的函数，如sina＝，不论α取任何实数，恒有意义，所以sina的定义域为｛α｜α∈R｝．类似地，研究cosa，tana，cota的定义域．

2.根据三角函数的定义以及x，y，r在不同象限内的符号，研究sina，cosa，tana，cota的值在各个象限的符号．

3.计算下列各组角的函数值，并归纳和总结出一般性的规律．（1）sin30°，sin390°．

（2）cos45°，cos（－315°）．

规律：终边相同的角有相同的三角函数值，即sin（α＋k360°）＝sina，cos（α＋k·360°）＝cosa，tan（α＋k·360°）＝tana，（k∈Z）．

五、应用与深化 ［例 题］

1.确定下列三角函数值的符号．

2.求证：角α为第三象限角的充要条件是sinθ＜0，并且tanθ＞0． 证明：充分性：如果sinθ＜0，tanθ＞0都成立，那么θ为第三象限角．

∵sinθ＜0成立，所以θ的终边可能位于第三或第四象限，也可能位于y轴的负半轴上． 又∵tanθ＞0成立，∴θ角的终边可能位于第一或第三象限． ∵sinθ＜0，tanθ＞0都成立，∴θ角的终边只能位于第三象限．

必要性：若θ为第三象限角，由三角函数值在各个象限的符号，知sinθ＜0，tanθ＞0． 从而结论成立． ［练习］

1.设α是三角形的一个内角，问：在sina，cosa，tana，tan取负值？为什么？

中，哪些三角函数可能2.函数的值域是 ____________ ．

点 评

这节课在设计上特别注意了以下几点：①前后知识的联系，知识的产生、发展过程，如任意角的三角函数的定义，由初中所讲“0°～360°”的情况逐渐过渡到“任意角”的情况，讲清了推广的必要性及意义．②注重了知识的探究，如三角函数值在各象限的符号，及诱导公式

（一）．这里由学生自己去研究，讨论，探索得出一般性结论，培养了学生获取知识、探究知识的能力，强化了自主学习的意识．③注意了跟踪练习的设计．

例题典型，练习有层次和变化，巩固知识到位．

反比例函数创新题面对面 第3篇

一、条件探索型

题型特点：条件探索试题是指问题中的结论明确，而需要补充条件以使结论成立的试题。

解题策略：从所给结论出发，逆向追索，设想出合乎要求的一些条件，逐一列出，并进行逻辑证明，从而寻找出满足结论的条件。

＞y2。

x的增大而减小，故答案不唯一。如：x1

点评一般试题只要求推出使结论成立的条件之一即可。但同学们平时在训练时，要尽可能推出所有的条件，这样既有利于大家对基础知识的全面了解，又可养成缜密思考的好习惯。这类试题结论是明确的，而需要补足使结论成立的条件。解题思路：从给定的结论出发，通过逆向思维寻求使结论成立的条件。

二、结论探索型

题型特点：结论探索型试题是指由给定的已知条件，去探求相应的结论的问题。

解题策略：从所给条件（包括图形特征）出发，透彻分析，进而探索、归纳，大胆猜想结论，然后对探索出的结论进行证明。

例2（2008年甘肃省白银市）一个函数具有下列性质：

①它的图像经过点（-1，1）；②它的图像在二、四象限内； ③在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大。则这个函数的解析式可以为

。

点评这类问题的特征是有条件而无结论，要确定这些条件下可能出现的结论，应考虑所有情况。解题思路：从所给条件出发，通过分析、比较、猜想、寻求等方式找出多种解法和结论，再说明理由。此类问题有很强的探索性，思维空间较大。

三、规律探究型

题型特点：通常是给定（或计算得到）一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴涵的规律。

解题策略：通过观察、比较、分析、猜想、归纳等一系列探究活动，从特殊到一般，把潜在的规律挖掘出来。

A2A3，…An-1An都在x轴上。

高中数学构建函数与创新思维 第4篇

一、函数关系式与定义域

函数关系式包括定义域和对应法则,所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域,否则所求函数关系式可能是错误的. 如:

例1某单位计划建筑一矩形围墙,现有材料可筑墙的总长度为100 m,求矩形的面积S与矩形长x的函数关系式.

解设矩形的长为x米,则宽为( 50 - x) 米,由题意得:

S = x( 50 - x) .

故函数关系式为: S = x( 50 - x) .

如果解题到此为止,则本题的函数关系式还欠完整,缺少自变量x的范围. 也就说学生的解题思路不够严密. 因为当自变量x取负数或不小于50的数时,S的值是负数,即矩形的面积为负数,这与实际问题相矛盾,所以还应补上自变量x的范围: 0 < x <50.

即函数关系式为: S = x( 50 - x) ( 0 < x <50) .

这个例子说明,在用函数方法解决实际问题时,必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响. 若考虑不到这一点,就体现出学生思维缺乏严密性. 若注意到定义域的变化,就说明学生的解题思维过程体现出较好的思维严密性.

二、函数值域与定义域

函数的值域是该函数全体函数值的集合,当定义域和对应法则确定,函数值也随之而定. 因此在求函数值域时, 应注意函数定义域. 如:

例2 求函数 的值域.

故所求的函数值域是[7 /8,+ ∞) .

剖析: 经换元后,应有t≥0,而函数y =2t2+ t + 1在[0, + ∞ ) 上是增函数,所以当t = 0时,ymin= 1.

故所求的函数值域是[1,+ ∞) .

以上例子说明,变量的允许值范围是何等的重要,若能发现变量隐含的取值范围,精细地检查解题思维的过程,就可以避免以上错误结果的产生. 也就是说,学生若能在解好题目后,检验已经得到的结果,善于找出和改正自己的错误,善于精细地检查思维过程,便体现出良好的思维批判性.

三、函数单调性与定义域

函数单调性是指函数在给定的定义域区间上函数自变量增加时,函数值随着增减的情况,所以讨论函数单调性必须在给定的定义域区间上进行. 如:

例3 指出函数f( x) = log2( x2+ 2x) 的单调区间.

解先求定义域:

∵ x2+ 2x > 0,∴ x > 0 或 x < - 2.

∴函数定义域为( - ∞ ,- 2) ∪( 0,+ ∞ ) .

令u = x2+ 2x,知在x∈( - ∞ ,- 2) 上时,u为减函数,

在x∈( 0,+ ∞) 上时,u为增函数.

又∵f( x) = log2u在[0,+ ∞ ) 上是增函数,

∴函数f( x) = log2( x2+ 2x) 在( - ∞ ,- 2) 上是减函数, 在( 0,+ ∞) 上是增函数.

即函数f( x) = log2( x2+ 2x) 的单调递增区间是( 0,+ ∞ ) ,单调递减区间是( - ∞ ,- 2) .

如果在做题时,没有在定义域的两个区间上分别考虑函数的单调性,就说明学生对函数单调性的概念一知半解, 没有理解,在做练习或作业时,只是对题型,套公式,而不去领会解题方法的实质,也说明学生的思维缺乏深刻性.

四、函数奇偶性与定义域

判断函数的奇偶性,应先考虑该函数的定义域区间是否关于坐标原点成中心对称,如果定义域区间关于坐标原点不成中心对称,则函数就无奇偶性可谈. 否则要用奇偶性定义加以判断. 如:

例4判断函数y = x3,x∈[-1,3]的奇偶性.

解∵2∈[-1,3]而

∴定义域区间[- 1,3]关于坐标原点不对称.

∴函数y = x3,x∈[-1,3]是非奇非偶函数.

若学生像以上这样的过程解完这道题目,就很好地体现出学生解题思维的敏捷性.

如果学生不注意函数定义域,那么判断函数的奇偶性得出如下错误结论:

∵f( - x) = ( - x)3= - x3= - f( x) ,

∴函数y = x3,x∈[-1,3]是奇函数.

错误剖析: 因为以上做法是没有判断该函数的定义域区间是否关于原点成中心对称的前提下直接加以判断所造成,这是学生极易忽视的步骤,也是造成结论错误的原因.

奇函数加奇函数是什么函数？ 第5篇

奇函数±奇函数=奇函数

偶函数±偶函数=偶函数

奇函数奇函数=偶函数

偶函数偶函数=偶函数

奇函数偶函数=奇函数

公式推导

设f(x)，g(x)为奇函数，t(x)=f(x)+g(x)，t(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)+(-g(x))=-t(x)，所以奇函数加奇函数还是奇函数;

若f(x)，g(x)为偶函数，t(x)=f(x)+g(x)，t(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=t(x)，所以偶函数加偶函数还是偶函数。

奇偶函数定义

奇函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。

多媒体与函数单调性教学的创新融合 第6篇

关键词 信息技术；函数单调性教学；多媒体设备

中图分类号：G633.6 文献标识码：B 文章编号：1671-489X（2012）34-0055-02

迁安市第二中学是省级示范高中，有优越的多媒体设备，学生数学基础较好，有强烈求知欲，具备一定分析观察等能力。但动手操作与合作学习方面，发展却不均衡。新课标提倡用信息技术呈现以往教学中难呈现的课程内容，多媒体可以构建多元联系、灵活可变、蕴涵数学内容、有交互性的学习平台，与数学教学的创新融合，能够实现魅力数学课堂。

1 融合意义

1.1 知识动态化

多媒体与函數单调性教学创新融合，有助于学生多角度观察图形惟妙惟肖，有助于函数单调性知识获取保持，有助于在形数结合中感知数学内在美，在图形语言、文字语言、符号语言的转化中感知数学严谨美。

1.2 学法兴趣化

多媒体与函数单调性教学的创新融合，有助于激发学生情感培养兴趣，有助于拓展学生探究式学习空间，有助于培养创新精神和实践能力，有助于学生自主协作式学习达成，有助于提高学习质量和学习效率。

1.3 教法新颖化

多媒体与函数单调性教学的创新融合，有助于学生手、脑、眼、耳并用，有助于唤发学生新颖感、惊奇感、独特感、直观感，有助于制定教学方案筹谋设计，有助于学生认识数学本质。

1.4 资源共享化

多媒体与函数单调性教学的创新融合，有助于促成师生与生生互动思维启迪，有助于总结经验交流成果，有助于师生情绪、交流和目标达成和谐统一，有助于学习资源师生快乐成长共享。

2 融合时机

2.1 准确作图时

学生对函数单调性难以感性领悟，课前设计好的Flash课件演示作图，画龙点睛，探究函数单调性动态变化规律，落实课堂动态高效。

2.2 多元联系时

从形上判断函数单调性，从数上理解单调性概念，借助信息技术多元联系的学习平台，将变化过程通过图形、数据、图象、运动等方式一起呈现，加深学生对数学实质领悟。

2.3 互动实践时

小组互动交流讨论，归纳抽象出单调增函数概念，类比出减函数定义，借助投影、Flash课件展示探究结果，提高学生动手操作与合作学习能力。

3 融合方式

3.1 学习内容的融合

高一数学开始触及抽象函数符号语言、图形语言，从常量数学思想过渡到变量数学，用运动、变化、发展、统一的观点进行学习，学生初高中容易衔接不好，上课易存在思维障碍，跟不上教师思维，从而产生学习障碍，影响学数学兴趣。

在函数的单调性新授课教学时，笔者以课本教材、课程标准对本节课要求、学生认知水平为起点，结合学生实际，采用“创设情境引入课题、归纳探究形成概念、定义应用知识迁移、归纳小结知识整合、课后反思回顾感悟”五环节教学法，通过多媒体Flash课件演示，投放重点知识、思想方法、温馨提示，增加课堂容量，增强数学的可视化，提高课堂教学效率。

为突出重点，以教师为导演，以学生为主体，利用设计好的Flash课件，让学生体验认知结构升华发现过程，巧妙渗透数形结合思想。为突破难点，通过多媒体演示，让学生体会图像直观性，感受函数值随自变量变化的趋势，用任意x1和x2大小关系来判断f（x1）和f（x2）大小关系，得到函数单调性的整体性质，使学生理解并给出单调性定义，深化用数形结合思想、转化思想研究函数问题的方法，体验如何用局部点的任意性推演到函数的整体单调性的方法。同时，用Flash课件演示例题解答过程，教会学生清晰思维、严谨推理，规范书写表达，实现推理论证能力培养和良好思维习惯养成。

3.2 学习方式的融合

高三数学一轮复习时，笔者坚持以学生为主体，教师为主导，训练为主线，将多媒体巧妙运用于教学实践中，重基础，抓落实，提能力，构建数学思想方法体系。

在函数的单调性复习课教学中，笔者先认真分析考纲、考试说明和近五年有关省市高考题，结合学情考情，以低起点小台阶高落点，采用“问题导入、知识索引、典例点拨、方法重组、思想展联”五环节教学法：

课前设置好学案，用投影展示学生出现的问题，针对疑问导入新课；解疑中索引出增函数、减函数、单调性概念，用Flash课件展示本节课学习目标；选取教材中的典型例题，学生独立思考，互动梳理单调性相关知识，用Flash课件展示解题过程，一题多解方法，点拨解题的通性通法；变式例题，目标检测，小组讨论，师生合作，探究函数单调性的判断法（定义法、图像法、导数法等基本方法）；小组长将讨论结果归纳总结，理解函数单调性的实质，会用函数单调性解决相关问题，形成函数单调性知识网络，构建函数思想、数形结合、转化思想方法体系，用Flash课件快捷呈现知识网络结构图，对主要内容进行概括，理出线索，展示联系，强调重点与难点，使复习课紧凑有序，简捷明了。

为突破难点，在学习方式融合中，课前预设学生熟悉的教学和学习情景，课间还穿插让学生运行画函数图象的程序，动手操作画函数图象方法步骤引入概念，对照分析定义，概括出证明方法及步骤：“取量定大小，作差定符号，判断得结论。”体验解题过程的规范性与严谨性。激发用电脑如何画出函数图象的好奇心，演示和剖析函数的单调性实质，感受到用计算机程序解决问题的魅力和思想，巧妙化解教学难点，激发学生学数学的乐趣。

3.3 教学方式的融合

据学生的思维特点，运用现代教育技术教学，设疑激趣，化静为动，增大课容量，亲历知识形成过程，虚拟现实，把知识还原于生活实际。发挥多媒体直观、形象、化静为动的优势，为学生提供想象力的介质，创造宽松、和蔼的学习氛围，架设起思维的桥梁，实现师生教学相长。

课前，笔者先在电脑上拷贝课前设计好的Flash课件，投影仪展台调试好，以备课上适时合理利用多媒体。课上动静结合，节约空间时间，强化学生感知，突破视觉的限制，多角度观察对象，精讲讲练，培养发展思维和想象能力。课后学生学会从不同角度、不同层次提出问题的各种思路和方法，并能选出最佳方案；学会用运动变化观点发现问题、探索问题、解决问题，增强学生创新意识，体会到数学的简捷美、和谐美。

4 融合说明

以“知识、思想、方法、能力”四大体系为重点，以研究考试说明、把握高考方向、落实高考为切入点，遵循因材施教原则，对信息技术在高中数学课堂教学中的运用，把握运用时机，让学生在多彩信息世界里构建体系，为学生提供动手实践、自主探索、合作交流的学习平台。

4.1 内容适合

多媒体教学并非对高中数学教学内容都适合，必须针对教材特点和学生认知规律合理选用，所学内容应该难度适宜，有挑战性、探索性，并且以教师制作课件、学生观察为主。

4.2 重点突出

多媒体教学中，要避免插入过多动画或视频文件，否则会分散学生注意力，使学生被动地接受授课内容。缺乏思维的过程重点不突出，关键抓不住，难点没突破。

4.3 恰到好处

课前周密思考，教材中难以用言语表达，学生缺少感性认识而难以领悟，而现场演示条件不足时，利用多媒体演示才起到画龙点睛的作用。教师不能成为播音员和解说员，注意该用时才用，掌控好课堂教学，用到实处。

参考文献

[1]张劲松.普通高中数学课程与信息技术的互动与整合[J].课程·教材·教法，2004（9）：32-36.

[2]李冬梅.如何在信息技术教学中提高学生的信息素养[J].中小学信息技术教育，2010（5）：17-19，35.

创新函数 第7篇

如果一个企业具备领先的技术实力、拥有优秀的研发人员、良好的研发条件、丰富的技术积累,就可以为技术创新提供良好的条件,也有利于企业在市场上获得成功。因此,很多研发能力很强而且抗风险能力强的企业在技术开发上执着追求,希望通过率先开发出最新技术领先于其他竞争者,以获得“先入为主”的优势,甚至在一定时期内独占市场。但是,近几十年来,越来越多的技术领先企业开始遭遇挫折。

索尼公司是世界上民用与专业视听产品、游戏产品、通信产品和信息技术等领域的先导之一。索尼公司开创了便携式数码产品的时代,是世界电子产品行业的领头企业,但是经过时代的变迁索尼公司逐渐淡出人们的视线。本文基于索尼公司的生存现状,运用企业盈利的效用函数,深入分析索尼公司陷入经济瓶颈的问题,并提出一些必要的对策。

1 索尼的生存现状

自2000年以来,索尼公司的领先优势逐步被削弱。越来越多的厂商拥有了先进的技术,每当索尼推出一种新的产品,他们很快就能跟上,产品的性能没有很大的差别。索尼能独占市场的时间越来越短。以前的技术创新在现在已经不能给索尼带来太多的竞争优势。同时,这些厂商产品的定价往往比索尼的产品要低。因此,索尼的市场占有率很快被这些产品所瓜分,利润率连年下降,导致索尼全球70个制造基地中的15个被关闭,裁员1.7万人。

索尼中国工厂2005年出口和国内的销售额为52.91亿元,中国国内销售额占销售总额的80%,而2006年1~10月份销售总额为32.69亿元,只达到了2005年销售总额的60%,国内销售额更是大幅度下降,仅为2005年销售总额的30%。索尼全球的销售情况更是不容乐观,2003年一季度索尼公司亏损10亿美元,导致股价下跌25%。虽然这之后索尼采取了很多措施想要挽回亏损局面,但是索尼的营业利润率始终徘徊在2%左右。而在十年前,索尼的营业利润率是10%。

2 企业经营的效用函数

在激烈竞争的经济环境下,成本收益分析成为每个企业关注的焦点问题。科学分析企业的各项成本构成及影响利润的关键要素,让企业的管理者全面、清晰地掌握影响公司业绩的核心环节,全面了解企业的成本构架、盈利情况,从而把握正确的决策方向,从根本上改善企业成本状况,帮助企业克服盲目性减少浪费,提高企业经营管理水平。下面,通过建立企业经营的效用函数来逐一分析影响索尼产品陷入困境的因素。

其中,Ui表示企业产品所获得的总效用;Pi表示企业生产的产品的市场价格;Qi表示企业产品的市场需求量。(1)式满足:

由(2)式可知,企业产品的总效用由产品在销售市场的总收入与企业的投入成本决定。并与前者呈正比关系,与后者称反比关系。即产品的收入越高,企业的总效用越大,产品的投入成本提高,将会降低企业的总效用。

2.1 成本控制

成本控制是企业增加盈利的根本途径,无论在什么情况下,降低成本都可以增加利润。企业成本控制绝不仅仅是单纯的压缩成本,还要运用科学合理的成本控制程序和方法,从根本上改善企业成本状况,真正实现有效的成本控制直接关系到企业经济效益的好坏。

目前,一些企业对于成本控制的理念落后,使得成本预算流于形式。首先,大多数企业对自身延续性技术的过度投入造成性能过度供给,无法保证技术的先进性和成本的经济性之间的合理权衡,使客户不愿为这项属性的后续性能提升支付较高的溢价。其次,企业控制思想仍处于生产成本控制的范围内,制约了成本控制与企业战略管理、质量管理、产品工艺设计、物资采购、人力资源等的接轨,无法把握企业成功控制的节约性和经济性原则。

2.2 价格竞争

价格会直接影响产品或服务的需求量及市场竞争力。价格确定是否合理,价格调整是否适当直接关系到企业营销目标的实现。

网络时代,电子产品不仅是技术的竞争而且也是价格的竞争,追求技术领先造成产品高端定位,高端定位造就高价格,高价格造就高端目标群体。一个新产品刚推出时价格可能较高,但是随着同类产品的推出,产品的价格也不断的下降。如今,索尼的技术优势随着其他厂商对技术研发的大量投入正越来越弱。而其他厂商往往集中精力对某一个或几个方面的技术进行研究,生产的产品技术水平较高而且价格比索尼的同类产品低,从而获得了原先属于索尼的市场份额。而索尼公司没有意识到其价格优势正在减弱,加大投入研发的力量与其他公司的产品相竞争,使其利润额逐年下降。

2.3 需求分析

产品的市场需求由其市场份额来反映,市场份额越大,消费人群越大,表明该产品的市场需求量越多。市场变化和消费者需求日益重要,使技术领先企业必须加倍重视非技术部门的作用,才能顺利地把技术转化为市场能够接受的新产品。而如今,人们处在互联网时代,各企业都要和网络有或多或少的联系。作为传统电子设备制造商的索尼并没有转型为互联网企业,其业务核心仍然是实体产品,这注定了它难以立于这个时代的风口浪尖。虽然索尼公司仍能不断推出优秀的硬件产品,创造一个个世界最轻、最薄的纪录,但并没有引领潮流的产品。因此,相对于与网络脱节的索尼产品来说,人们更愿意选择能够搭载网络技术的产品。而索尼公司为了保护自己的技术优势,采取保守封闭的研发方式,脱离了目标顾客的消费需要,使得消费群体数量骤减,市场份额下降,最终走向失败。

3 结论与解决策略

索尼公司目前的生存现状,引发人们对于技术创新型企业的思考。本文通过引入成本收入函数,针对函数的每个变量分析索尼公司逐渐步入衰落的原因,并对日后品牌企业应该如何转变经营策略,提高市场占有率提出以下几点建议。

3.1 目标聚集战略

产品的多元化使得索尼公司的资源分散化,导致在专业领域被其他企业所赶超。索尼公司应分析产品的销售收入和成本情况,停止生产亏损或是利润率低的产品,以集中资源生产利润率高的产品。同时,可以购买其他企业研发的新技术或是和其他企业进行合作,使资源达到最优配置。

3.2 迎合目标顾客需求

如今市场和消费者的喜好对企业日益重要,产品开发的重心已从提供新功能,开始转向提供消费者真正需要的功能;工业设计的重心也从设计“好看”的产品,开始转向设计“易用”的产品。而索尼一直都在坚持自己的技术,强调技术引导市场,没有从顾客的角度出发去选择技术和确定设计方案,也就很难生产出为市场所欢迎的产品。因此,索尼应及时调整创新战略,以迎合目标顾客的需求为重心,紧跟时代潮流,生产出更多符合大众口味的产品,吸引广大消费者,扩大市场份额,提高产品的市场竞争力,获得高额的利润。

3.3 成本领先战略

通过品类创新并采取精确的品牌策略,完全能避开价格战。在本文的前半部分提到索尼公司产品较高的价格不能适应竞争如此激烈的市场。与其被动的等待降价,不如采用成本领先的战略,利用索尼的跨国公司的优势,以及大规模采购的优势,降低生产经营中的成本。也可以利用索尼的技术优势,研发较低成本的产品,提高产品竞争力。

参考文献

[1]郭计川.浅谈企业成本控制的现状和途径[J].财经界,2010(5).

[2]邓长才.企业成本控制的探讨[J].工业审计与会计,2008(5).

创新函数 第8篇

1抓住学生的课前时间

在学生们中间流传着这样一句话:“实变函数要学十遍才能学会”。这样的说法我是深有体会的。我记得我上大学的时候,第一次接触这门课程,总觉得有一些内容理解不透,其内容不能清晰的形成一个体系,后来工作了,我又踏踏实实的深入地学习了两遍,在学的过程中,书中的体系脉络一点点的清晰。可以说,合上书,闭上双眼,书中的每个章节、每个知识点的前后联系都历历在目。根据我自己的实际经验我就在想,这么难的一门课程,如果学生课前不预习,只靠老师上课的这点时间,学生是很难真正掌握其内容的。所以我很注重每次讲新课的课前时间。有时候我利用早自习或晚自习的机会,把下一节要学的任务布置下去,让学生们对新知识有个初步的印象,了解自己的劣势所在,使学生达到"知己知彼"的效果,对新知识能够"有的放矢"。经过长时间的坚持,我和学生都感受到了巨大的收获。不仅能复习学过的内容,对新知识的学习与理解也有着极大的帮助,无形当中也提高了学生的自学能力。

2适当的介绍数学背景,培养数学潜能

在实变函数的某些内容教学过程中,我有意让学生了解实变函数理论发生和发展的过程,这样学生就不会感到特别抽象难懂。比如我在讲Lebesgue积分的时候,我先介绍了Lebesgue积分的由来。先从傅里叶提出的一个观点出发:

我们在不考虑他所提出的观点对错与否的情况下,我们发现了一个问题,f (x)sin nx和f (x)cos nx在[-π,π]上是否是可积的呢?一些数学家就针对函数的可积性问题进行了研究。黎曼提出了黎曼积分,即

定义在[a,b]上的有界函数经过了下面的几个过程:

若极限存在,设为A,则称f(x)在[a,b]上可积。

后来科学家在研究的过程中发现了一些缺陷,比如

(1)在学黎曼积分的时候我们经常遇到这样的问题:即极限符号与积分号交换,而这种交换需要一致收敛的条件。如果有些函数不满足这样的条件是否有什么新的方法可以交换呢?

(2)黎曼积分中可积函数空间是不完备的。

数学家Lebesgue经过长时间的研究得到了Lebesgue积分,这种积分经过了这样的过程:

若极限存在,我们则称f(x)在[a,b]上可积。

在研究中也发现何为集合的长度?长度又如何定义?长度是否存在?这就促使Lebesgue去一种新的方法来表示长度。所以在学习Lebesgue积分之前要学一些预备知识,即第二章的内容测度。

3与已有的知识相联系,从而培养创新能力

实变函数是数学分析课程的延续,发展与拓广。所以他们之间有着密不可分的联系。比如在讲集合列的上、下极限的时候,我先讲数列的相关知识然后我给出递增集合列,递降集合列的定义及计算以及一般集合列的极限的定义及计算。这样学生对所学的新知识能够从本质上了解其实质,理解其精髓。如果学生对基本的定义都理解不透,那么他们就很难掌握解题技巧,遇到问题就不知道如何下手,更不用说灵活运用,达到创新的效果。

4改变传统的教学模式,让学生深入课堂

从我工作以来我发现,几乎所有的老师上课的课堂模式都是一样的,特别是高校,学生没有了高考成绩的压力,有些学生课堂上溜号,课后恶补笔记,考前再复习,这种情况下学生无法在课堂上充分理解教师讲述的知识,教师在课堂上讲的滔滔不绝,而学生接受不了多少,根本达不到预期的效果,长此以往,就造成了一个恶性循环。针对这种情况,我在教学上也作了一些大胆的尝试,改变以教师为中心的教学方法,在了解学生基础知识掌握的基础上,给学生布置任务,遇到一些比较简单的内容,让学生们以小组的形式交流讨论,遇到问题及时沟通,当然学生专业知识层次不一样,这就要求教师要十分了解学生,给他们分配力所能及的任务,鼓励学生主动提问,我在教学中发现,有的学生没有提出问题的能力,即不会提问。提的问题不在点上,也有的甚至不能称之为是问题。所以说提出问题是一种能力,这种能力需要老师长期的坚持与引导才能看见效果。

5注重考研学生的培养,增强科研意识

众所周知实变函数是很多学校考研的必考课程,在我所教的学生中大部分都是把复习实变函数放在了最后面。他们抱着这样一种思想,有时间就复习,没有时间就放弃。针对这种情况,我一般是先了解哪些同学有考研意向。在平时课堂上教学过程中会指出哪些知识点是易考的、让同学们多留意。比如我在讲鲁津定理和Riesz定理时,会把这几个定理及逆定理以及他们的证明讲给学生,再引导学生总结这几个定理中的各种收敛的关系。讲E的L-覆盖会强调它与有限覆盖的联系,讲到E的Lebesgue外侧度的时候会从具体的实例出发,采用覆盖的方法,从外部覆盖的方法来度量图形的面积,这样所求的面积要比实际点集的面积要大,所以定义中会出现对这一切这种覆盖所求出的面积总和取下确界。顺便我还会简单介绍内测度,让学生简单了解其中的思想方法,这样能增强学生的科研意识。

6精选习题,注重实用性

很多学生接触实变函数之后向我反应,为什么上课的时候听得很明白,一旦遇到习题就不知道从何入手呢?对于老师留的作业,经常是看答案书,有时候看答案也是一知半解。长此以往,习题就成为学生的一种负担,进而会影响学生的积极性。对于这种情况,我在处理的时候是把相似的题型放在一起,先重点讲一道题把该种题型的解题思路,解题方法所用到的基本概念、性质、定理一一罗列出来。剩下的让学生独立完成。对于涉及知识点较多,难度较大的习题,我会给出一些过渡性的习题,然后再引导学生去做,再让学生自己总结所用到的典型方法和技巧。对于一些大型考试经常出现的题型及其各种变化形式加以练习,更加注重其实用性。我也会看大量的课外资料,习题册,选择好的题型来丰富自己的知识水平,是自己在教的过程中不断进步。

上面是我在从事实变函数教学多年的的一点体会,希望广大实变函数爱好者批评指正,以促进我向更高更远的目标前进。

参考文献

[1]龙汉武,何中全.普通高师"实变函数"课程分层教学研究[J].高等理科教育,2009,6,29-33.

[2]蔡礼明.实变函数课程教学方法研究[J].高师理科学刊,2014,34,4,66-69.

创新函数 第9篇

科技创新是我国科研道路可持续发展的重中之重。早在1982年梁培朝就提出我国要走复合型科技创新发展道路[3]。随后,诸多学者针对科技创新机制、模式、现状及出路展开了一系列研究,如早期茶宏旺[4]到近期董美玲[5]等人对科技创新机制进行了研究,早期王喜国[6]到近期叶建木[7]等人对科技创新模式进行了剖析,早期顾瑞琦[8]到近期毛淳镭[9]等人对科技创新现状及出路进行了探讨。

目前研究影响高校创新能力因素的方法有很多,其中最主要的方法有因素分析法[10]、建模分析法[11]、DEA法(数据包络分析法)[12]和柯布-道格拉斯生产函数分析法[13,14,15]。这些方法各有优势也各有局限性。因素分析法无法对创新能力各因素进行量化研究,其结论缺乏数据支持;建模分析法缺少基础理论支持,模型局限性大,模型分析结果公认程度不高;DEA法主要用于科技创新效率的研究,并且在决策单元非相对有效的DEA模型,其投入型和产出型效率不一致[16];柯布-道格拉斯生产函数分析法需要大量准确的样本及基础数据来进行回归分析[15]。在有详实、准确和大量的基础数据的情况下,运用柯布-道格拉斯函数分析法能够得到影响高校创新能力各因素的量化的、最接近事实的结论。本文采用2006—2014年度广东省内多所普通高等学校科技统计年报表中的相关数据,运用柯布-道格拉斯函数分析法建立模型,对影响广东高校创新能力的各因素进行分析,从量化的角度来研究各控制变量中对广东高校创新能力有着怎样的影响,不同的控制变量在不同类型的高校中对创新能力起着多大的作用。

1 建立模型与分析样本

科技创新过程本质上是一种科技新知识的生产过程,在有关生产过程的实证文献中,柯布-道格拉斯函数是最普遍采用的生产函数形式:

其中,表示第i个地区第t年的产出,表示全要素生产率,Cαit是除了劳动投入和物质资本投入外的所有其他影响产出的要素,表示第i个地区第t年的物质资本投入,Lβit表示第i个地区第t年的劳动投入。

目前衡量创新能力的指标主要有两种,一种是通过DEA方法等从创新的投入和产出多个角度进行综合评价从而构建指标体系来衡量[17,18],另外一种是直接寻找创新能力的代理指标,如在研究FDI对中国企业的创新能力的溢出效应中,Hu[19]使用了新产品销售收入作为创新指标,冼国明[20]则使用了专利申请量作为创新指标。对于广东省高等院校而言,本文基于以下三点原因选取专利申请量P作为高校创新能力指标:一是随着高校知识产权保护意识的提高,现在高校中普遍都采用专利申请的形式来对其创新成果进行保护;二是在高校科技统计中,专利申请量是一个非常准确而且易于获取的数据;三是现在专利申请量作为高校创新能力指标已经被文献所承认[20,21]。

在高等院校中,科研创新是一种R&D(研究与发展)的过程,因此,本文选取R&D支出经费K作为物质资本投入指标,选取科技人力资源L作为劳动投入。高校科研的全要素生产率受到政府支持力度、与企业协同创新程度和其他资金支持力度(如院校自身支持力度、通过国际合作引入国外资金支持力度和银行贷款程度等)的影响,因此,本文采用政府经费投入G(包括科研事业费、主管部门专项费、国家发改委、科技部专项费、国家自然科学基金项目费、国务院其他部门专项费和省、市、自治区专项费)、企事业单位委托经费E和其他经费O(包括当年学校科技活动经费、金融机构贷款、国外资金和其他资金)作为全要素生产率的解释指标,分别代表政府支持力度、产学研合作深度和其他影响因素。综上所述,通过对方程两边取对数,(1)可以改写成:

α、β、γ、δ、分别代表R&D投入力度、人员投入力度、政府支持力度、产学研合作程度和其他影响因素的产出弹性,其中,δ是本文关注的重点,其他产出弹性都是控制变量。计量分析过程中采用的所有数据均来源于2006-2014年度广东省高校编制的《全国普通高等学校科技统计年报表》,该统计报表由广东省教育厅每年度组织省内各高校进行统计汇总,最后上报教育部制订《高等学校科技统计资料汇编》。本文进行回归的数据涉及2006-2014年所有参加科技统计的广东省高校,样本数为552。对于个别高校而言,存在着当年企事业委托经费或者其他经费为零的情况,会导致(2)式无法运算,因此,在计量过程中将这些院校数据删除,最终确定样本数为426。

2 模型检验及分析

2.1 解释变量的内生性和多重共线性检验

在(2)式中,本文把R&D支出经费和政府经费、企事业委托经费和其他经费纳入了回归模型。按照《全国普通高等学校科技统计年报表》中的指标解释,政府经费、企事业委托经费和其他经费都是不能重复统计的,因此G、E、O之间不存在任何内生性问题;R&D支出经费是所有科研经费中用于R&D方面的支出经费,因此,(2)式中K与G、E、O之间可能存在着内生性和多重共线性,对此,必须对模型进行检验。

对于共生性问题,本文把K作为解释变量来解释L、G、E、O,回归结果如表1所示。

说明:*表示通过5%水平显著性检验;**表示通过1%水平显著性检验;***表示通过0.1%水平显著性检验;括号中为t检验值。

从回归结果来看,R&D支出经费K和人力资源L、政府经费G、企事业委托经费E和其他经费O都存在着显著的内生性问题,而且用R&D支出经费K来解释政府经费G的R2高达0.856,说明了R&D支出经费中绝大部分是来自于政府经费。基于这一回归结果,可以初步判断应该将K从(2)式中删除。

为了进一步确定该结论,可以计算各变量之间的相关系数,以解释变量的多重共线性问题,结果如表2所示。

从各变量间的相关系数可以看出,R&D支出经费K和人力资源L、政府经费G、企事业委托经费E和其他经费O都存在着显著的相关性,特别是和政府经费G的相关系数高达0.913。此外,人力资源L、政府经费G、企事业委托经费E也存在着一定程度的相关性,这是因为对于广东高校而言,科研实力较强的院校,其科研人力资源雄厚,因此有更多的能力和机会获取政府经费和企事业委托经费的支持。鉴于人力资源L、政府经费G、企事业委托经费E和其他经费O都是不能重复统计的数据,因此这种相关性可以接受。

基于解释变量间的内生性问题和多重共线性问题的计算结果,R&D支出经费K在很大程度上都能被人力资源L、政府经费G、企事业委托经费E和其他经费O所解释,同时其也是多重共线性的主要贡献者,因此本文将R&D支出经费K从回归中删除,(2)式可以简化为:

2.2 广东高校创新能力影响因素分析

为更加深入分析不同类型创新能力的影响因素,本文将申请专利的类型对控制变量进行了分组。首先确定各组样本的回归模型。各组变量的F检验结果如表3所示。

表中所有的F2值都小于最低临界值1,因此接受H2假设,采用不变参数模型。在此基础上进行Hausman检验,所有类型专利的P值均大于5%,因此全部采用随机效应模型。回归结果如表4所示。

说明:*表示通过5%水平显著性检验;**表示通过1%水平显著性检验;***表示通过0.1%水平显著性检验;括号中为t检验值;所有回归均使用随机效应模型。

从回归结果来看,人力资源因素、产学研合作因素和政府支持因素都对创新能力产生了显著的正面溢出效应。从分组结果来看,所有影响因素对发明专利的溢出效应最强,对外观设计专利的溢出效应最弱,这一结果主要是因为高等院校作为广东省高新技术的主要研发力量之一,其科研人员具有较高的创新能力和吸收知识的能力,具有较好的解决技术问题的能力和对现有技术吸收再创造的能力,因此在研发过程中产生的创新性成果,更倾向于选择申请代表着更好创新能力的发明专利和实用新型专利来保护。其他经费对广东高校的创新能力无溢出效应,因此,(3)式最后的回归结果为:

比较各解释变量的回归系数,可以发现,人员投入力度回归系数最高,说明人力资源因素仍然是广东高校创新能力的最主要影响因素;企事业委托经费回归系数比政府经费回归系数高51%,说明产学研合作因素比政府宏观统筹因素对广东高校创新能力的影响大许多。3个回归系数在同一个数量级,说明人力资源、产学研合作和政府支持对广东高校的创新能力都具有很重要的影响。综合整个回归结果来看,要提升广东省高等院校的科技创新能力,首先应当优化人力资源,在引入高层次人才的同时也应当考虑优化人力资源结构,其次应当加强高校产学研合作力度,引导科研人才多与企业接触合作,以免科研人员闭门造车最后脱离社会实际需求,最后,还应当调整政府经费支持的方向,积极引导科研人员将更多的精力投入到解决实际社会需求的创新活动中。

为进一步分析科研实力不同的高校的创新能力的影响因素,本文将426个样本高校按其学科实力分成三组:博士点授权高校、硕士点授权高校和其他高校,样本数分别是:122、32和272。为确定回归模型,先对各组变量进行F检验,结果如表5所示。

表中所有的F2值都小于最低临界值1,因此接受H2假设,采用不变参数模型。在此基础上进行Hausman检验,所有类型专利的P值均大于5%,因此全部采用随机效应模型。回归结果如表6所示。

说明:*表示通过5%水平显著性检验;**表示通过1%水平显著性检验;***表示通过0.1%水平显著性检验;括号中为t检验值;所有回归均采用随机模型。

回归结果显示,对于科研实力很强的博士点授权高校而言,产学研合作对其创新能力没有显著的溢出效应,政府支持力度对其创新能力具有显著的溢出效应,对不同类型的创新能力的影响从强至弱分别为:发明专利、实用新型专利和外观设计专利,是表4中政府支持力度对广东高校创新能力溢出效应的主要贡献者。这一结果表明了对具有博士点授权的广东高校而言,其科研创新成果产出基本由政府支持力度来决定。对于样本数量占28.6%,人力资源占43.1%,获取政府经费高达85.3%的博士点授权高校,这样的结果并不难理解。这一方面说明了政府科研政策相对合理、项目任务指标得到很好的落实,另一方面也揭露了广东省科研实力很强的博士点授权高校过于依赖政府支持,其内部产学研合作力度不足,尚未能将产学研合作的优势完全发挥出来。其原因主要是在广东省科研实力较弱的时候,通过政府科研经费扶持一批高校发展壮大,这一政策在过去十年间的效果很显著,这批高校科研实力发展飞快,极大程度上壮大了广东省整体科研实力,但是也导致了这些高校一定程度上安于现状,过于依赖政府扶持,不适合当前新形势下的科研发展。改变这一现状,一方面需要政府转变职能,从支持转向引导,引导这批科研实力很强的高校积极进行产学研合作对接,另一方面也需要这些高校转变科研评价体系,激发科研人员的产学研合作积极性。现在广东省正在实行的“创新强校计划”就是一种很好的尝试,说明政府正在积极引导广东高校走上可持续发展的产学研合作道路。

目前广东省硕士点授权高校13个,其中9个为文科高校,不参与科技统计工作,因此硕士点授权高校样本很少,仅32个样本,其结果说服力不足。

回归结果显示,对于科研实力较弱的其他高校而言,产学研合作对其创新能力有很显著的溢出效应,对不同类型的创新能力的影响从强至弱分别为:实用新型专利、发明专利和外观设计专利,是表4中产学研合作力度对广东高校创新能力溢出效应的主要贡献者。这是因为对于这些高校而言,获取政府支持力度难度相对较大,为其自身科研实力发展寻求与企业进行产学研对接,在接触新技术时具有较高的技术吸收转化能力,对原设计有着很好的改进能力,因此在结果中体现了对实用新型专利有着最显著的溢出效应。这些高校虽然整体科研实力不强,但是在产学研过程中确确实实解决这现实技术问题,具有较好的科研创新能力。政府在引导广东省高校进行产学研合作时,应借鉴这些高校的产学研模式和经验。

3 总结与建议

函数与函数的图象 第10篇

◎ 函数的概念：设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A. 其中x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域；与x对应的y值叫作函数值，函数值的集合{f（x）x∈A}叫作函数的值域. 注意：函数是映射的特例（对应集合为非空数集）.

◎ 函数三要素：定义域、对应法则、值域

如果两个函数的定义域和对应法则相同，则这两个函数是同一个函数.

◎ 函数定义域的求法

由整体到局部，列出使函数有意义的自变量的不等关系式（组）并求解.常见依据为：

①分式中分母不为0；

②偶次根式（n为偶数）中被开方数x≥0；

③对数logax的真数x>0，底数a>0且a≠1；

④零指数幂x0的底数x≠0；

⑤求抽象函数定义域要认准自变量，如： f（x-1）的定义域为：x∈[2，3），则f（t）的定义域为：t∈[1，2）；

⑥应用题要考虑实际意义等.

【提醒】

①对于函数定义域中的任意一个数x，在值域中都有唯一确定的数f（x）和它对应.

②解定义域不等式组时注意利用图象和数轴等几何工具，确保不疏不漏，且定义域和值域都应写成集合或区间的形式.

③定义域是一个基本且重要的概念，不能只机械地掌握以上所列定义域的求解方法，要深刻理解定义域在函数问题中的作用，把对函数定义域的认识深化到任何与字母范围有关的问题中去，形成求定义域的意识.

易错情景有：解方程忽略方程本身要有意义；求函数解析式、函数值域、函数最值时忽视定义域；判断函数单调性、奇偶性时忽视定义域的影响；代数变形中扩大或缩小了定义域；换元过程忽视换元变量与原变量之间的关系，导致扩大或缩小变量取值范围；忽视新引入变量的取值范围等.

【自查题组】

（1） 已知函数f（x），x∈F，那么集合{（x，y）y=f（x），x∈F}∩{（x，y）x=1}中所含元素的个数有 个.

（2） 若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”. 那么函数解析式为y=2x2+1、值域为{5，19}的“孪生函数”共有 .

（A） 10个 （B） 9个 （C） 8个 （D） 7个

（3） 下列四组中，函数f（x），g（x）表示同一函数的是 .

（A） f（x）=（）2，g（x）=x （B） f（x）=（）2，g（x）=x

（C） f（x）=x0，g（x）= （D） f（x）=，g（x）=x-1

（4） 若函数y= f（x）的定义域是[0，2]，则函数g（x）=的定义域是 .

知识要点：函数值域的求法

◎ 单调函数直接法：直接判断函数在给定区间范围内的单调性，常用于求定义在闭区间上函数的值域. 如：函数f（x）=2x-，x∈[1，3]在给定区间[1，3]上单调递增，所以值域为[f（1），f（3）]，即1，.

◎ 复合函数换元法： 将函数中的变量单元看作整体，转化为求常用基本函数的值域.这个过程重在对基本初等函数的模式识别以及换元后变量取值范围的求解和使用.

常见基本函数类型有：二次函数型、幂函数型、指数函数型、对数函数型、三角函数型、双勾函数型.要结合各自的函数图象来帮助记忆函数的性质、特点.

◎ 其他常用方法：

①利用导数求高次多项式等非基本函数类型的最值（极值）.（必修不作要求）

②利用函数与方程的思想，把函数转换为方程求解. 如二次函数型可利用一元二次方程求解、三角函数可利用其有界性求值域等.

③利用基本不等式或联系几何意义求解. 如利用均值不等式或根据题意联想斜率、距离等几何意义，含二元变量的问题也可作为线性规划问题来解决.

【提醒】

①求基本函数及其复合函数的值域是很重要的考查类型，采用换元法求值域时注意通过换元所设变量与原变量之间的函数关系，应求出所设变量的取值范围，在此范围内求解.

②求特定范围内的函数值域问题，在不清楚所求范围内的函数单调性情况时，切不可盲目代值求解，应结合函数图象，找出图象的最低点（最小值）和最高点（最大值）.

③形如y=（分式型函数）的最值是高考解析几何等综合问题常考的类型，求解时常常先转化为双勾型函数、反比例型函数或二次函数的形式，再求最值.

【自查题组】

（5） y=2x-5+log3，x∈[2，10]的值域为 .

（6） y=2x+1-的值域是 .

（7） 若函数f（x）=2+log3 x（1≤x≤9），则函数y=[f（x）]2+f（x2）的最大值为 .

（8） 用min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，设f（x）=min{2x，x+2，10-x} （x≥0），则f（x）的最大值为 .

（9） 函数y=+的值域是 .

（10） 函数y=的值域是 .

知识要点：函数图象

◎ 两类易混淆的函数图象

①对称函数：若对于一切x∈R，都有f（a-x）=f（b+x），那么函数y=f（x）的图象关于直线x==对称，称为“自身对称”；

函数y=f（a-x）与y=f（b+x）的图象关于直线x=（由a-x=b+x求得）对称，称为“相互对称”.

②周期函数：若函数y=f（x）对于一切x∈R，都有f（x+a）=f（x+b），那么函数y=f（x）是周期函数，a-b是它的一个周期.

◎ 常用图象变换方法

①平移：函数y=f（x+a）的图象可由y=f（x）的图象沿x轴向左（a>0时）或向右（a<0时）平移a个单位得到；

函数y=f（x）+a的图象可由y=f（x）的图象沿y轴向上（a>0时）或向下（a<0时）平移a个单位得到.

②伸缩：函数y=f（ax）（a>0）的图象可由函数y=f（x）的图象的横坐标长度伸长或缩短为原来的得到；

函数y=af（x）（a>0）的图象可由函数y=f（x）的图象的纵坐标长度伸长或缩短为原来的a倍得到.

③翻折：y=f（x）的图象可以看作y=f（x）的图象在x轴上方部分不变，把x轴下方部分沿x轴向上翻折后所得；

y=f（x）的图象可以看作y=f（x）的图象在y轴右侧部分沿y轴向左翻折覆盖y轴左侧图象，并保留y轴右侧图象所得.

④对称：函数y=f（x）与y=f（-x）的图象关于直线x=0对称；

函数y=f（x）与y=-f（x）的图象关于直线y=0对称；

函数y=f（x）与y=-f（-x）的图象关于坐标原点对称.

【提醒】

①识图、辨图类题目，应先找出选项的差异，然后结合函数性质和特征，如单调、对称、特殊点、函数值的正负等来解决.

②在进行函数图象变换时，一定要准确确认变换过程和步骤，尤其是针对自变量多重变换的问题，切记“要变只变自变量”. 如函数y=sin（2x+1）的图象右移1个单位的过程是：y=sin[2（x-1）+1].

③数形结合是解决函数问题的重要思想方法，利用数形结合思想解题时要注意把握所画函数图象的特征点、对称轴（点）、渐近线等关键特征，必要时需要通过运算比较，提高准确性.

【自查题组】

（11） 函数y=的图象大致为 .

（12） 已知函数y=f（x）的图象如图1所示，则函数y=f（x）的图象为

（13） 已知函数f（x）的图象如图2所示，那么f（x）的解析式可以是 .

（A） f（x）=x2-1

（B） f（x）=x2-2x

（C） f（x）=x2-2x

（D） f（x）=

（14） 为了得到函数y=sin（x+1）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点 .

（A） 向左平行移动1个单位长度

（B） 向右平行移动1个单位长度

（C） 向左平行移动π个单位长度

（D） 向右平行移动π个单位长度

（15） 如图3所示，函数y=f（x）的图象由两条射线和三条线段组成.若对于所有的x∈R， f（x）>f（x-1），则正实数a的取值范围为 .

【参考答案】

（1） 0或1

（2） B 【x的取值必须满足从{-，}中至少选择一个元素，且从{-3，3}中也至少选择一个元素，组合方法共9种】

（3） C 【关键是分析各函数的定义域】

（4） （0，1）

（5） ，33 【 f（x）=2x-5和 g（x）=log3在x∈[2，10]上均为增函数】

（6） ，+∞ 【令t=，则t≥0，y=2（x-1）-+3=2t2-t+3=2t-2+】

（7） 13 【y=（2+log3x）2+（2+log3x2）=（log3x+3）2-3，f（x）的定义域为1≤x≤9，则在y中应有x>0且1≤x2≤9，即1≤x≤3，因为log3x为增函数，故当x=3时，y的最大值为13】

（8） 6 【在同一坐标系中分别画出当x≥0时函数y=2x，y=x+2，y=10-x的图象，如图4所示.相关区域内不满足题意的部分函数图象，在图中用虚线表示】

（9） [10，+∞）

（10） -， 【原式等价于y（x2+4）=3x，整理得：yx2-3x+4y=0.当y=0时，得x=0；当y≠0时，关于x的一元二次方程有解，则Δ=（-3）2-4×4y2≥0，解得y∈-，0∪0，.综上可得，y∈-，】

（11） B 【由f（-x）=f（x）可知y是偶函数，图象关于y轴对称，当x→∞时函数值趋近于1】

（12） B

（13） B 【由图象知f（0）=0，排除选项A； f（1）>0，排除选项C、D】

（14） A

（15） 0， 【f（x-1）的图象是f（x）的图象向右平移1个单位后所得，若对任意x∈R都有f（x）>f（x-1），则两个函数图象不能有交点，示意图如图5所示，故0<6a<1】

②周期函数：若函数y=f（x）对于一切x∈R，都有f（x+a）=f（x+b），那么函数y=f（x）是周期函数，a-b是它的一个周期.

◎ 常用图象变换方法

①平移：函数y=f（x+a）的图象可由y=f（x）的图象沿x轴向左（a>0时）或向右（a<0时）平移a个单位得到；

函数y=f（x）+a的图象可由y=f（x）的图象沿y轴向上（a>0时）或向下（a<0时）平移a个单位得到.

②伸缩：函数y=f（ax）（a>0）的图象可由函数y=f（x）的图象的横坐标长度伸长或缩短为原来的得到；

函数y=af（x）（a>0）的图象可由函数y=f（x）的图象的纵坐标长度伸长或缩短为原来的a倍得到.

③翻折：y=f（x）的图象可以看作y=f（x）的图象在x轴上方部分不变，把x轴下方部分沿x轴向上翻折后所得；

y=f（x）的图象可以看作y=f（x）的图象在y轴右侧部分沿y轴向左翻折覆盖y轴左侧图象，并保留y轴右侧图象所得.

④对称：函数y=f（x）与y=f（-x）的图象关于直线x=0对称；

函数y=f（x）与y=-f（x）的图象关于直线y=0对称；

函数y=f（x）与y=-f（-x）的图象关于坐标原点对称.

【提醒】

①识图、辨图类题目，应先找出选项的差异，然后结合函数性质和特征，如单调、对称、特殊点、函数值的正负等来解决.

②在进行函数图象变换时，一定要准确确认变换过程和步骤，尤其是针对自变量多重变换的问题，切记“要变只变自变量”. 如函数y=sin（2x+1）的图象右移1个单位的过程是：y=sin[2（x-1）+1].

③数形结合是解决函数问题的重要思想方法，利用数形结合思想解题时要注意把握所画函数图象的特征点、对称轴（点）、渐近线等关键特征，必要时需要通过运算比较，提高准确性.

【自查题组】

（11） 函数y=的图象大致为 .

（12） 已知函数y=f（x）的图象如图1所示，则函数y=f（x）的图象为

（13） 已知函数f（x）的图象如图2所示，那么f（x）的解析式可以是 .

（A） f（x）=x2-1

（B） f（x）=x2-2x

（C） f（x）=x2-2x

（D） f（x）=

（14） 为了得到函数y=sin（x+1）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点 .

（A） 向左平行移动1个单位长度

（B） 向右平行移动1个单位长度

（C） 向左平行移动π个单位长度

（D） 向右平行移动π个单位长度

（15） 如图3所示，函数y=f（x）的图象由两条射线和三条线段组成.若对于所有的x∈R， f（x）>f（x-1），则正实数a的取值范围为 .

【参考答案】

（1） 0或1

（2） B 【x的取值必须满足从{-，}中至少选择一个元素，且从{-3，3}中也至少选择一个元素，组合方法共9种】

（3） C 【关键是分析各函数的定义域】

（4） （0，1）

（5） ，33 【 f（x）=2x-5和 g（x）=log3在x∈[2，10]上均为增函数】

（6） ，+∞ 【令t=，则t≥0，y=2（x-1）-+3=2t2-t+3=2t-2+】

（7） 13 【y=（2+log3x）2+（2+log3x2）=（log3x+3）2-3，f（x）的定义域为1≤x≤9，则在y中应有x>0且1≤x2≤9，即1≤x≤3，因为log3x为增函数，故当x=3时，y的最大值为13】

（8） 6 【在同一坐标系中分别画出当x≥0时函数y=2x，y=x+2，y=10-x的图象，如图4所示.相关区域内不满足题意的部分函数图象，在图中用虚线表示】

（9） [10，+∞）

（10） -， 【原式等价于y（x2+4）=3x，整理得：yx2-3x+4y=0.当y=0时，得x=0；当y≠0时，关于x的一元二次方程有解，则Δ=（-3）2-4×4y2≥0，解得y∈-，0∪0，.综上可得，y∈-，】

（11） B 【由f（-x）=f（x）可知y是偶函数，图象关于y轴对称，当x→∞时函数值趋近于1】

（12） B

（13） B 【由图象知f（0）=0，排除选项A； f（1）>0，排除选项C、D】

（14） A

（15） 0， 【f（x-1）的图象是f（x）的图象向右平移1个单位后所得，若对任意x∈R都有f（x）>f（x-1），则两个函数图象不能有交点，示意图如图5所示，故0<6a<1】

②周期函数：若函数y=f（x）对于一切x∈R，都有f（x+a）=f（x+b），那么函数y=f（x）是周期函数，a-b是它的一个周期.

◎ 常用图象变换方法

①平移：函数y=f（x+a）的图象可由y=f（x）的图象沿x轴向左（a>0时）或向右（a<0时）平移a个单位得到；

函数y=f（x）+a的图象可由y=f（x）的图象沿y轴向上（a>0时）或向下（a<0时）平移a个单位得到.

②伸缩：函数y=f（ax）（a>0）的图象可由函数y=f（x）的图象的横坐标长度伸长或缩短为原来的得到；

函数y=af（x）（a>0）的图象可由函数y=f（x）的图象的纵坐标长度伸长或缩短为原来的a倍得到.

③翻折：y=f（x）的图象可以看作y=f（x）的图象在x轴上方部分不变，把x轴下方部分沿x轴向上翻折后所得；

y=f（x）的图象可以看作y=f（x）的图象在y轴右侧部分沿y轴向左翻折覆盖y轴左侧图象，并保留y轴右侧图象所得.

④对称：函数y=f（x）与y=f（-x）的图象关于直线x=0对称；

函数y=f（x）与y=-f（x）的图象关于直线y=0对称；

函数y=f（x）与y=-f（-x）的图象关于坐标原点对称.

【提醒】

①识图、辨图类题目，应先找出选项的差异，然后结合函数性质和特征，如单调、对称、特殊点、函数值的正负等来解决.

②在进行函数图象变换时，一定要准确确认变换过程和步骤，尤其是针对自变量多重变换的问题，切记“要变只变自变量”. 如函数y=sin（2x+1）的图象右移1个单位的过程是：y=sin[2（x-1）+1].

③数形结合是解决函数问题的重要思想方法，利用数形结合思想解题时要注意把握所画函数图象的特征点、对称轴（点）、渐近线等关键特征，必要时需要通过运算比较，提高准确性.

【自查题组】

（11） 函数y=的图象大致为 .

（12） 已知函数y=f（x）的图象如图1所示，则函数y=f（x）的图象为

（13） 已知函数f（x）的图象如图2所示，那么f（x）的解析式可以是 .

（A） f（x）=x2-1

（B） f（x）=x2-2x

（C） f（x）=x2-2x

（D） f（x）=

（14） 为了得到函数y=sin（x+1）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点 .

（A） 向左平行移动1个单位长度

（B） 向右平行移动1个单位长度

（C） 向左平行移动π个单位长度

（D） 向右平行移动π个单位长度

（15） 如图3所示，函数y=f（x）的图象由两条射线和三条线段组成.若对于所有的x∈R， f（x）>f（x-1），则正实数a的取值范围为 .

【参考答案】

（1） 0或1

（2） B 【x的取值必须满足从{-，}中至少选择一个元素，且从{-3，3}中也至少选择一个元素，组合方法共9种】

（3） C 【关键是分析各函数的定义域】

（4） （0，1）

（5） ，33 【 f（x）=2x-5和 g（x）=log3在x∈[2，10]上均为增函数】

（6） ，+∞ 【令t=，则t≥0，y=2（x-1）-+3=2t2-t+3=2t-2+】

（7） 13 【y=（2+log3x）2+（2+log3x2）=（log3x+3）2-3，f（x）的定义域为1≤x≤9，则在y中应有x>0且1≤x2≤9，即1≤x≤3，因为log3x为增函数，故当x=3时，y的最大值为13】

（8） 6 【在同一坐标系中分别画出当x≥0时函数y=2x，y=x+2，y=10-x的图象，如图4所示.相关区域内不满足题意的部分函数图象，在图中用虚线表示】

（9） [10，+∞）

（10） -， 【原式等价于y（x2+4）=3x，整理得：yx2-3x+4y=0.当y=0时，得x=0；当y≠0时，关于x的一元二次方程有解，则Δ=（-3）2-4×4y2≥0，解得y∈-，0∪0，.综上可得，y∈-，】

（11） B 【由f（-x）=f（x）可知y是偶函数，图象关于y轴对称，当x→∞时函数值趋近于1】

（12） B

（13） B 【由图象知f（0）=0，排除选项A； f（1）>0，排除选项C、D】

（14） A