不等式性质教案

不等式性质教案（精选12篇）

不等式性质教案 第1篇

不等式性质教案

西南大学2010级4班 孙丹 【课标要求】

1．不等关系

通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系；

2不等式的性质

了解不等式的性质，并会用其证明不等式；

【教学重难点】

1、教学重点：掌握不等式性质的三条公理，并运用公理进行比较大小。

2、教学难点：正确运用不等式的三条公理进行不等式变形。

【教学目标】

1、探索并掌握不等式的基本性质；

2、会用不等式的基本性质进行简单化简。

【教学方法】

通过观察、分析、讨论，引导学生归纳总结出不等式的三条公理，从具体上升到理论，再由理论指导具体的练习，从而加强学生对知识的理解和掌握。【命题走向】

不等式历来是高考的重点内容。对于本将来讲，考察有关不等式性质的基础知识、基本方法，而且还考察逻辑推理能力、分析问题、解决问题的能力。本将内容在复习时，要在思想方法上下功夫.预测高考命题趋势：

1．从题型上来看，选择题、填空题都有可能考察，把不等式的性质与函数、三角结合起来综合考察不等式的性质、函数单调性等，多以选择题的形式出现，解答题以含参数的不等式的证明、求解为主；2．利用基本不等式解决像函数f(x)x

考察的重点和热点，应加强训练。a,(a0)的单调性或解决有关最值问题是x

【教学过程】

一、创设情境 复习引入

（设计说明：设置以下习题是为了温故而知新，为学习本节内容提供必要的知识准备．）问题：

1、什么是等式?等式的基本性质是什么?

2、什么是不等式?

1．不等式的性质比较两实数大小的方法——求差比较法

公理： abab0；

abab0；

abab0。

性质1：若ab，则ba；若ba，则ab．即abba。

说明：把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向，称为不等式的对称性。性质2：若ab，且bc，则ac。

说明：此定理证明的主要依据是实数运算的符号法则及两正数之和仍是正数，定理2称不等式的传递性。

性质3：若ab，则acbc。

说明：（1）不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向；

（2）定理3的证明相当于比较ac与bc的大小，采用的是求差比较法；

（3）定理3的逆命题也成立；

（4）不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边。

推论1：不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边。（移项法则）

推论2：若ab,且cd,则acbd。

说明：（1）推论2的证明连续两次运用定理3然后由定理2证出；（2）这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即：两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向；（3）同向不等式：两个不等号方向相同的不等式；异向不等式：两个不等号方向相反的不等式.定理4．如果ab且c0，那么acbc；如果ab且c0，那么acbc。推论1：如果ab0且cd0，那么acbd。

证明：∵ab0,c0,acbc，又∵cd0,b0,bcbd，∴由传递性，有acbd，得证。

说明：（1）不等式两端乘以同一个正数，不等号方向不变；乘以同一个负数，不等号方向改变；（2）两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向；（3）推论1可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘。这就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向。

nn推论2：如果ab0，那么ab(nN且n1)。

推论3：如果ab0，那么ab(nN且n1)。【典例解析】

例1：应用不等式的性质，证明下列不等式：

（1）已知a>b，ab>0，求证：1/a>1/b；

（2）已知a>b，cb－d；

（3）已知a>b>0，0 b/d

证明：

（1）因为ab>0，所以 1/ab>0又因为a>b，所以 a.1/ab>b.1/ab即1/b>1/a因此 1/a>1/b

（2）因为a>b，cb，－c>－d，根据性质3的推论2，得a+(－c)>b+(－d)，即a－c>b－d.（3）因为01/d>0 又因为a>b>0，所以a.1/c>b.1/d即a/c>b/d

例2.已知a>b，不等式:（1）a2>b2；（2）1/a>1/b ；（3）1/(a-b)>1/a

成立的个数是（）

（A）0（B）1（C）2（D）

3答案：A

例3．设A=1+2x4，B=2x3+x2，x∈R，则A，B的大小关系是。

答案：A≥B

例4．（1）如果30

（2）若－3

答案：（1）18

（2）因为－4

例5．若-π/2 ≤a＜b≤π/2，求(a +b)/2 ,(a-b)/2的取值范围。

-π/2＜(a +b)/2＜π/2,-π/2 ≤(a-b)/2＜0

练习1已知函数f(x)= a x²-c,-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,求f(3)的取值范围。

解：因为f(x)= a x²-c，所以f(1)= a-c,f(2)=4 a-c解得a=1/3[f(2)=-f(1)],c=1/3f(2)-4/3f（1）

所以f(3)=9a－c=8/3f(2)-5/3f(1)

因为-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,所以8/3≤8/3f(2)≤40/3,5/3≤-5/3f(1)≤20/3

练习2已知－4≤a－b≤－1，－1≤4a－b≤5，求9a－b的取值范围。

解：设9a－b=m(a－b)+n(4a－b)=(m+4n)a－(m+n)b，令m+4n=9，－(m+n)=－1，解得，m=-5/3,n=8/3

所以9a－b=-5/3(a－b)+8/3(4a－b)

由－4≤a－b≤－1，得 5/3≤-5/3(a-b)≤20/3

由－1≤4a－b≤5，得由－1≤4a－b≤5，得-8/3≤8/3(4a-b)≤40/3

以上两式相加得－1≤9a－b≤20.五．【思维总结】

1．不等式证明常用的方法有：比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方法。

（1）比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述：如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证；

（2）综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提，充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野。

2．不等式证明还有一些常用的方法：换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等。换元法主要有三角代换，均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性。放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考查。有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法.凡是含有“至少”、“惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法.证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点.

不等式性质教案 第2篇

知识与技能：了解实数的基本事实，能够比较两个实数的大小，掌握不等式的基本性质并运用基本性质证明一些简单的不等式。

过程与方法：通过对基本不等式的基本性质的证明，使学生在不等式证明中逐渐掌握基本性质，并有运用基本性质的意识。能够用类比的方法从等式的基本性质来推出不等式的基本性质。

情感态度与价值观：通过类比等式的基本性质来联系不等式的基本性质，是学生掌握类比的数学方法。

教学重点：比较两个实数的大小关系，掌握不等式的基本性质。教学难点：通过运用基本性质来证明不等式。教学过程：

一．新知引入

以人们常用的长与短，多与少，轻与重等现实中存在的数量上的不等关系来引入数学中人们用不等式来表示事物的不等关系。

说明研究不等式的出发点是实数的大小关系，并举例说明：（i）设存在a,b两个实数，它们在数轴上的对应的点分别是A,B，当A在点B的左边时，a与b有着怎样的大小关系？（a

（ii）设存在a,b两个实数，它们在数轴上的对应的点分别是A,B，当A在点B的右边时，a与b有着怎样的大小关系？(a>b)（i）（ii）边说边在黑板上画出数轴，呈现出相应的图形，并让全班一起回答，把答案写在对应图形的右边。

由上面两个实数的不等关系以及已经学过的等式关系，得出实数a,b存在的三种大小关系并且构成了实数的基本事实。

a>b a-b>0.ab（或a

二．练习巩固

例1． 比较(x3)(x2)和(x4)(x9)的大小.（答案：>）

让学生思考片刻，让学生说出解答的过程，并在黑板上写出详细过程。最后总结比较两个实数的大小关系，可以通过考察它们的差与0的大小关系来解答，并说明这种方法是作差比较法。

三．以旧推新

在学习和证明不等式的过程中，我们需要广泛运用基本性质，那么不等式有哪些基本性质？我们要怎么去研究和运用不等式的基本性质？

提示语发问，引起学生思考，并且加以引导：我们已经知道实数的基本事实以及两个实数的三种关系，而这三种关系又可以分为相等关系和不等关系。既然如此，它们之间应该会有一定的联系，那我们可不可以试着用等式的基本性质来推出不等式的基本性质？ 回顾等式的基本性质，让一些同学回答，教师再进行完善，并写在黑板的草稿区。由等式的对称性和传递性容易得到不等式的两个性质： 性质1：a>bbb,b>ca>c（单向传递性）

由等式的加减法和乘法运算法则是否可以推出不等式的相应的性质？尝试和学生一起思考，先在黑板试着写出不等式的相应性质，并让学生在已有的经验上去说明其正误。

尝试写出：

a>bac>bc a>bac>bc 学生很容易判断前者是成立的，而后者不一定成立，与c的取值有关，从而总结得出以下性质：

性质3：a>bac>bc 性质4：a>b，c>0ac>bc a>b，c<0ac

性质5：a>b>0anbn(nN,n2)性质6：a>b>0nanb(nN,n2)

给学生演示性质5,6的证明过程。

说明这些基本不等式是不等式证明和运用的基础，提醒学生在运用这些性质时要注意实数的符号（是否大于0）。

四．推论证明

利用不等式的基本性质还可以得出不等式的相关推论。性质3推论：

（i）如果a+b>c，那么a>c-b（ii）如果a>b,c>d,那么a+c>b+d（iii）如果a>b,c>d,那么a-d>b-c 对这3个推论都让学生思考运用不等式的基本性质进行证明，1分钟后，教师在黑板上演示推论（i）(ii)的证明过程，并强调运用的是哪个性质，推论（iii）让一个学生根据前面的演示来回答解答过程，并要说出是依据什么性质。教师板书过程。性质4推论：

（i）如果a>b>0,c>d>0，那么ac>bd（ii）如果a>b>0,c>d>0，那么

ab dc让学生思考片刻证明过程，推论（i）让学生回答解答过程及依据，教师完善并板书。推论（ii）由教师引导思考过程和方向：

要证ab1111，即证，在已知c>d>0的前提，问学生的证法。dcdcdc学生可能会运用函数的单调性质来证明，说明这个方法可行，并要求学生思考运用不等式的基本性质该怎么证明，引导学生回顾比较实数大小的方法并运用基本性质证明。

让学生回答11的证明过程： dc由c>d>0，得出cd>0,c-d>0,111cd0, 则0，cddccd11 dcaa0 dc接着证明推论（ii）： 由a>0及性质4，得由a>b>0, c>0,1ab0及性质4，得0 cccab 由性质2得，。

dc五．小结与作业

小结：回顾本节课的内容，重复比较两个实数大小的方法是作差比较法，回顾不等式的基本性质及其推论，强调证明不等式的过程中要熟练运用这些基本性质及其推论。

不等式性质的应用初探 第3篇

一、直接考查不等式的性质

例1 (2006年湖北) 若则下列不等式中, 正确的不等式有 () .

A.1个B.2个C.3个D.4个

分析方法一:由可得b

方法二:由题意, 可取a=-1, b=-2, 代入 (1) (4) 成立, 故选B.

例2 (2005年全国) 对于实数a, b, c有下列命题 (1) 若a>b, 则ac>bc, (2) 若a>b, 则ac2>bc2, (3) 若aab>b2, (4) 若a

A.1个B.2个C.3个D.4个

分析当c≤0时, (1) 不成立;当c=0时, (2) 不成立;aab, 又由ab2, 故a2>ab>b2, 故 (3) 成立;对于 (4) 显然成立;对于 (5) 可取a=-3, b=-2, 代入验证可知其不成立.故选B.

二、利用不等式性质比较两代数式的大小

例3 (2004年北京春) 已知三个不等式: (其中a, b, c, d均为实数) , 用其中两个不等式作为条件, 余下的一个不等式作为结论, 组成一个命题, 可组成的正确命题的个数为 () .

A.0 B.1 C.2 D.3

分析易知:

例4设a>0, b>0, 且a≠b, 试比较aabb与abba的大小.

∴aabb>abba.

综上可知, 当a>0, b>0, 且a≠b时, 都有aabb>abba.

三、利用不等式性质求范围

例5 (2000年上海) 若已知二次函数y=f (x) 的图像过原点, 且1≤f (-1) ≤2, 3≤f (1) ≤4, 求f (-2) 的范围.

解方法一:设f (x) =ax2+bx.则

又∵f (-2) =4a-2b=3f (-1) +f (1) ,

∵1≤f (-2) ≤2, 3≤f (1) ≤4,

∴6≤f (-2) ≤10.

方法二: (待定系数法)

设f (-2) =4a-2b=m (a+b) +n (a-b) .

∴f (-2) = (a+b) +3 (a-b) =f (1) +3f (-1) .

又∵1≤f (-2) ≤2, 3≤f (1) ≤4, ∴6≤f (-2) ≤10.

四、利用不等式的性质证明不等式

例6 (2006年陕西) 设a>b>c, 求证

证明∵a>b>c, ∴-c>-b.∴a-c>a-b>0.

五、函数与不等式的综合

例7 (2006年成都二诊) 已知奇函数f (x) 在区间 (-∞, +∞) 上是单调减函数, α, β, γ∈R, 且α+β>0, β+γ>0, γ+α>0.试判断f (α) +f (β) +f (γ) 与0的关系, 并证明.

解f (α) +f (β) +f (γ) <0.证明如下:由α+β>0, 得α>-β.

又∵f (x) 在R上是单调减函数, ∴f (α)

又∵f (x) 为奇函数,

∴f (α) <-f (β) , f (α) +f (β) <0.

同理可证:f (β) +f (γ) <0, f (α) +f (γ) <0.

不等式·概念与性质 第4篇

1. 若[a，b]为实数，则“[01a]的（ ）

A. 充分而不必要条件

B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

2. [x2-x-6x-1>0]的解集为（ ）

A. [{x|x<-2或x>3}]

B. [{x|x<-2或1

C. [{x|-23}]

D. [{x|-2

3. 不等式[|x-2x|>x-2x]的解集是（ ）

A. [（0，2）] B. [（-∞，0）]

C. [（2，+∞）] D. [（-∞，0）?（0，+∞）]

4. 不等式[x-12x+1≤0]的解集为（ ）

A. [（-12，1]]

B. [[-12，1]]

C. [（-∞，-12）?[1，+∞）]

D. [（-∞，-12]?[1，+∞）]

5.已知一元二次不等式[f（x）<0]的解集[{x|x<-1或x>12}]，则[f（10x）>0]的解集为（ ）

A. [{xx<-1或x>-lg2}]

B. [{x-1

C. [{xx>-lg2}]

D. [{xx<-lg2}]

6. 下列选项中，不等式[x<1x

A. [（-∞，-1）] B. [（-1，0）]

C. [（0，1）] D. [（1，+∞）]

7. [设a

A. [1a>1b] B. [1a-b>1a]

C. [a>-b] D. [-a>-b]

8. 命题“[?x∈[1，2]，x2-a≤0]”为真命题的一个充分不必要条件是（ ）

A. [a≥4] B. [a≤4]

C. [a≥5] D. [a≤5]

9. 对实数[a]与[b]，定义新运算“[?]”：[a?b=a，a-b≤1，b，a-b>1.] 设函数[f（x）=x2-2?x-x2，x∈R.]若函数[y=f（x）-c]的图象与[x]轴恰有两个公共点，则实数[c]的取值范围是（ ）

A. [-∞，-2?-1，32]

B. [-∞，-2?-1，-34]

C. [-∞，14?14，+∞]

D. [-1，-34?14，+∞]

10. 设函数[f（x）=-2（x>0），x2+bx+c（x≤0），]若[f（4）=][f（0），][f（-2）=0]，则关于[x]的不等式[f（x）≤1]的解集为（ ）

A. [（-∞，-3]?[-1，+∞）] B. [[-3，-1]]

C. [[-3，-1]?（0，+∞）] D. [[-3，+∞）]

二、填空题（每小题4分，共16分）

11. 不等式[2-xx+4>0]的解集是 .

12. 不等式[2x2+1-x≤1]的解集是 .

13. 已知[f（x）]是定义域为[R]的偶函数，当[x]≥[0]时，[f（x）=x2-4x]，那么，不等式[f（x+2）<5]的解集是 .

14. 设[a∈R]，若[x>0]时均有[（a-1）x-1（x2-][ax-1）≥0]，则[a=] .

三、解答题（共4小题，44分）

15. （10分）证明：[a2+b2+c2≥ab+bc+ca.]

16. （10分）已知[t∈R，a>b>1，f（x）=txx-1，]试比较[f（a）与f（b）的大小.]

17. （12分）已知函数[f（x）=ax2-c]，且[-4≤f（1）][≤-1]，[-1≤f（2）≤5]，求[f（3）]的取值范围.

18. （12分）已知关于[x]的不等式[（a2-4）x2+][（a+2）x-1][≥0]的解集是空集，求实数[a]的取值范围.

《不等式及其基本性质》教案2 第5篇

【教学内容】

课本上不等式的五个基本性质，并学会应用.【教学目标】

1、掌握不等式的五个基本性质并且能正确应用.2、经历探究不等式基本性质的过程，体会不等式与等式的异同点，发展学生分析问题和解决问题的能力.3、开展研究性学习，使学生初步体会学习不等式基本性质的价值.【重点难点】

重点：理解不等式的五个基本性质.难点：对不等式的基本性质3的认识.【教学方法】

本节课采用“类比－实验－交流”的教学方法.【教学过程】

一、回顾交流.1、等式的基本性质 解一元一次方程的基本步骤

2、问题牵引：

用“﹥”或“﹤”填空，并总结其中的规律：

（1）5>3，5+2

3+2，5－2 3－2 ；

（2）–1<3，-1+2 3+2，-1－3 3－3 ；

结果：

（1）>、>（2）<、< 根据发现的规律填空：

当不等式两边加或减去同一个数（正数或负数）时，不等号的方向______

3、继续探究，接着又出示（3）、（4）题： 5 2×5，6×（3）6＞2，6×（-5）

2×（-5），6 3×6，（4）2<3，（-2）×（-2）×（-6）

3×（-6）.得到：

当不等式的两边同乘以一个正数时，不等号的方向不变； 当不等式的两边同乘以一个负数时，不等号的方向改变.总结出不等式的性质： 不等式的性质1：不等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变.c

> b±c 字母表示为：如果a＞b，那么a±不等式的性质2：不等式的两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.字母表示为：如果a>b，c>0那么ac

> bc，不等式的性质3：不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.字母表示为：如果a＞b，c＜0那么ac

< bc，不等式的对称性：如果a>b，那么bb，b>c，那么a>c

二、范例学习，应用所学.1、利用不等式的性质解下列不等式．（1）x-7＞26

（2）3x<2x+1（3）3x﹥50

（4）-4x﹥3

22、逐题分析得出结果.（1）x-7＞26 分析：解未知数为x的不等式，就是要使不等式逐步化为x﹥a或x﹤a的形式．

解：（1）为了使不等式x-7＞26中不等号的一边变为x，根据不等式的性质1，不等式两边都加7，不等号的方向不变，得 x-7+7﹥26+7 x﹥33（2）3x<2x+1

为了使不等式3x<2x+1中不等号的一边变为x，根据不等式的性质1，不等式两边都减去2x，不等号的方向不变.3x-2x﹤2x+1-2x x﹤1 通过两小题得到：解不等式时也可以“移项”，即把不等式的一边的某项变号后移到另一边，而不改变不等号的方向．（3）3x ﹥50 2为了使不等式 32x﹥50中不等号的一边变为x，根据不等式的性质２，不等式的两边都乘

23不等号的方向不变，得 x﹥75（4）-4x﹥3

数学教案－不等式的性质二 第6篇

定理1说明，把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向.在证明时，既要证明充分性，也要证明必要性.

证明

由正数的相反数是负数，得

说明：定理1的后半部分可引导学生仿照前半部分推证，注意向学生强调实数运算的符号法则的应用.

定理2：若  ，且  ，则  .

证明：

根据两个正数的和仍是正数，得

∴  说明：此定理证明的主要依据是实数运算的符号法则及两正数之和仍是正数.

定理3：若  ，则

定理3说明，不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向.

证明

说明：（1）定理3的证明相当于比较  与  的大小，采用的是求差比较法；

（2）不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边，理由是：根据定理3可得出：若  ，则  即  .

定理3推论：若  .

证明:

说明：（1）推论的证明连续两次运用定理3然后由定理2证出；

（2）这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即：两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向；

（3）两个同向不等式的两边分别相减时，就不能作出一般的结论；

（4）定理3的逆命题也成立.（可让学生自证）

三、课堂练习

1．证明定理1后半部分；

2．证明定理3的逆定理.

说明：本节主要目的是掌握定理1，2，3的证明思路与推证过程，练习穿插在定理的证明过程中进行.

课堂小结

通过本节学习，要求大家熟悉定理1，2，3的证明思路，并掌握其推导过程，初步理解证明不等式的逻辑推理方法.

课后作业

1．求证：若

2．证明：若

板书设计

§6.1.2  不等式的性质

1．同向不等式          3.定理2     4.定理3      5.定理3

异向不等式          证明          证明         推论

2．定理1 证明           说明          说明         证明

第三课时

教学目标

1．熟练掌握定理1，2，3的应用；

2．掌握并会证明定理4及其推论1，2；

3．掌握反证法证明定理5.

教学重点：定理4，5的证明.

教学难点：定理4的应用.

教学方法：引导式

教学过程（）：

一、复习回顾

上一节课，我们一起学习了不等式的三个性质，即定理1，2，3，并初步认识了证明不等式的逻辑推理方法，首先，让我们来回顾一下三个定理的基本内容.

（学生回答）

好，我们这一节课将继续推论定理4、5及其推论，并进一步熟悉不等式性质的.应用.

二、讲授新课

定理4：若

若

证明：

根据同号相乘得正，异号相乘得负，得

当

说明：（1）证明过程中的关键步骤是根据“同号相乘得正，异号相乘得负”来完成的；

（2）定理4证明在一个不等式两端乘以同一个正数，不等号方向不变；乘以同一个负数，不等号方向改变.

推论1：若

证明：

①

又

∴      ②

由①、②可得  .

说明：（1）上述证明是两次运用定理4，再用定理2证出的；

（2）所有的字母都表示正数，如果仅有  ，就推不出  的结论.

（3）这一推论可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘.这就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向.

推论2：若

说明：（1）推论2是推论1的特殊情形；

（2）应强调学生注意n∈N  的条件.

定理5：若

我们用反证法来证明定理5，因为反面有两种情形，即  ，所以不能仅仅否定了  ，就“归谬”了事，而必须进行“穷举”.

说明：假定  不大于  ，这有两种情况：或者  ，或者  .

由推论2和定理1，当  时，有  ；

当  时，显然有

这些都同已知条件  矛盾

所以  .

接下来，我们通过具体的例题来熟悉不等式性质的应用.

例2    已知

证明：由

例3  已知

证明：∵

两边同乘以正数

说明：通过例3，例4的学习，使学生初步接触不等式的证明，为以后学习不等式的证明打下基础.在应用定理4时，应注意题目条件，即在一个等式两端乘以同一个数时，其正负将影响结论.接下来，我们通过练习来进一步熟悉不等式性质的应用.

三、课堂练习

课本P7练习1，2，3.

课堂小结

通过本节学习，大家要掌握不等式性质的应用及反证法证明思路，为以后不等式的证明打下一定的基础.

课后作业

课本习题6.1 4，5.

板书设计

§6.1.3  不等式的性质

定理4      推论1         定理5          例3     学生

内容                     内容

等式的性质教案 第7篇

授课教师 实验一中耿晓菊

教学目标

1、知识目标：掌握等式的性质；会运用等式的性质解简单的一元一次方程。

2、能力目标：通过观察、探究、归纳、应用，培养学生观察、分析、综合、抽象能力，获取学习数学的方法。

3、情感目标：通过学生间的交流与合作，培养学生积极愉悦地参与数学学习活动的意识和情感，敢于面对数学活动中的困难，获得成功的体验，体会解决问题中与他人合作的重要性。

教学重点与难点

重点：理解和应用等式的性质。

难点：应用等式的性质，把简单的一元一次方程化为“x=a”的形式。教学方法 多媒体教学 教学过程

（一）创设情境，复习导入。请问，什么是等式？

请同学们思考下面三个式子是等式吗？（1）x-2=4（2）1+2=3（3）m+n=n+m 像这样用等号“=”表示相等关系的式子叫等式．在等式中，等号左（右）边的式子叫做这个等式的左（右）边． 下面就让我们一起来讨论等式的性质吧！

1、让学生能找出等式，分清等式的左边与右边。

2、从学生已有的知识出发，提出新问题，激发学生学习的兴趣和动机。（引入新课）

(二)教师演示，学生观察。

在教师的引导下，学生自主观察：

1、使学生明确学习的内容和要求。

2、结合天平的例子，让学生形象、直观地初步感知等式的性质。

3、注重学生知识的形成过程，让学生自主学习，自主探索，获得成功的体验，培养良好的学习习惯。

（三）归纳概括，得出性质。

１、在学生观察的基础上结合课本总结规律，得出性质。

等式性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。等式性质2：等式的两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，所的结果仍相等。

2、提出问题：你能用式子的形式表示等式的性质吗？

3、学生观察多媒体演示，说出式子，教师板书： 等式性质1：如果a=b 那么 a±c=b±c 等式性质2：如果a=b 那么 ac=bc 如果a=b(c≠0)那么

ab cc4、得出等式的性质后，为了加深理解，再用具体的例子验证，体现了从具体到抽象、抽象到具体的认知规律。

（四）解释说明，学以致用。

1、掌握等式的性质后，关键在于运用。因此，出示一组口答题，利用性质进行等式变形。

(1)从x=y能否得到x+5=y+5？为什么？(2)从x=y能否得到

xy = ?为什么？ 99(3)从a+2=b+2能否得到a=b？为什么？(4)从-3a=-3b能否得到a=b？为什么？

2、例1，例2的讲解，让学生学会利用性质解方程的过程与方法。教师可照应开始提出的问题，使学生体会等式性质的用途。例

1、利用等式性质解下列方程：（1）x+7=26(2)-4=x-6 解：（1）两边减7,得x+7-7=26-7 于是 x=19(2)两边同时加上6，得-4+6=x-6+6 于是 x=2 练习

1、利用等式性质解下列方程：(巩固等式的性质1)（1）x-5=6(2)x+4=9(3)y+7=-1 例

2、利用等式性质解下列方程：

y=-1 35x20解:(1)两边同除以-5,得 55（1）-5x=20(2)于是 x=-4

y(2)两边同时乘3，得313

3于是 y=-3 练习

2、利用等式性质解下列方程：（巩固等式的性质2）（1）3y=-2(2)-0.3x=12(3)-

2y =12 73.通过课堂练习，使学生感受成功的喜悦。

（五）课堂小结，巩固练习1．等式的性质的探索过程。

2、利用等式的性质解方程，就是把方程变形，变为 x = a（a为常数）的形式。

3、通过巩固练习，全面检查本节所学的知识。

利用向量的性质破解不等式问题 第8篇

性质1 m·n≤|m|·|n|, 当且仅当m与n同向时取等号.

性质2 m·n≥-|m|·|n|, 当且仅当m与n反向时取等号.

用以上两个性质来解不等式问题, 解答过程简单明了, 给人耳目一新的感觉, 现介绍如下, 供大家参考.

例1已知定义在R上的函数f (x) =|x+1|+|x-2|最小值为a.

(1) 求a的值;

(2) 若p, q, r是正实数, 且满足p+q+r=a, 求证:p2+q2+r2≥3. (2014年福建卷)

解 (1) a=3, 过程略.

则m·n=p+q+r=a=3,

由m·n≤|m|·|n|, 得

即p2+q2+r2≥3,

当且仅当p=q=r=1时取等号.

点击不等式的基本性质 第9篇

等式性质 教案1 第10篇

教辅专家

《课堂点睛》

《课堂内外》

《作业精编》

2.1.2等式性质（2）（第二课时）

【知识技能】（1）通过解一元一次方程进一步理解等式的性质；

（2）会用等式的性质解简单的（两次运用用等式的性质）一元一次方程；；

（3）培养学生言必有据的思维能力和良好的思维品质；；

（4）初步具有解方程中的“化归”的能力．。【数学思考】（1）初步体会有条理的推理；

（2）经历运用等式性质解方程的过程，能有条理地阐述自己的观点。【解决问题】能解简单的一元一次方程。【情感态度】（1）能积极的参与数学活动；

（2）感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。【教学重点】用等式的性质解方程。

【教学难点】需要两次运用等式的性质，并且有一定的思维顺序。【教学过程】

一． 复习引入：

解下列方程：（1）x＋5=1.4;（2）

23x 32在学生解答后的讲评中围绕两个问题：

① 每一步的依据分别是什么？

② 求方程的解就是把方程化成什么形式？ 这节课继续学习用等式的性质解一元一次方程。

二． 探究新知：

对于简单的方程，我们通过观察就能选择用等式的哪一条性质来解，下列方程你也能马上做出选择吗？

例1 利用等式的性质解方程：（）0.6－x=2.4（2）1x54 3先让学生对第（1）题进行尝试，然后教师进行引导：

① 要把方程0.6－x=2.4转化为x=a的形式，必须去掉方程左边的0.6，怎么去？ ② 要把方程－x=1.8转化为x=a的形式，必须去掉x前面的“－”号，怎么去？

然后给出解答：

解：两边减0.6，得0.6－x－0.6=2.4－0.6 化简，得

－x=1.8 两边同乘－1，得l x=－1.8 小结：（1）这个方程的解答中两次运用了等式的性质（2）解方程的目标是把方程最终化为x=a的形式，在运用性质进行变形时，始终要朝着这个目标去转化．

你能用这种方法解第（2）题吗？ 在学生解答后再点评．

解：两边加5，得 化简，得 1x5545 31x9 3两边同乘-3，得 x=27 解后反思：

①第（2）题能否先在方程的两边同乘“一3”？ 梯田文化

教辅专家

《课堂点睛》

《课堂内外》

《作业精编》

②比较这两种方法，你认为哪一种方法更好？为什么？

允许学生在讨论后再回答．

例2（补充）服装厂用355米布做成人服装和儿童服装，成人服装每套平均用布3．5米，儿童服装每套平均用布1．5米．现已做了80套成人服装，用余下的布还可以做几套儿童服装？

在学生弄清题意后，教师再作分析：如果设余下的布可以做x套儿童服装，那么这x套服装就需要布1.5x米，根据题意，你能列出方程吗？

解：设余下的布可以做x套儿童服装，那么这x套服装就需要布1.5米，根据题意，得

80×3.5＋1.5x＝355．

化简，得

280＋1.5x＝355，两边减280，得

280＋1.5x－280＝355－280，化简，得

1.5x＝75，两边同除以1.5，得x＝50．

答：用余下的布还可以做50套儿童服装．

解后反思：对于许多实际间题，我们可以通过设未知数，列方程，解方程，以求出问题的解．也就是把实际问题转化为数学问题．

问题：我们如何才能判别求出的答案50是否正确？

在学生代入验算后，教师引导学生归纳出方法：检验一个数值是不是某个方程的解，可以把这个数值代入方程，看方程左右两边是否相等，例如：把x=50代入方程80×3.5＋1.5x=355的左边，得80×3.5＋1.5×50=280＋75=355 方程的左右两边相等，所以x=50是方程的解。

你能检验一下x=－27是不是方程1x54的解吗？ 3三．巩固新知：

1．课本P73练习（3）、（4）解答：（3）x=-4

（4）x4 52．补充练习：小刚带了18元钱到文具店买学习用品，他买了5支单价为1.2元的圆珠笔，剩下的钱刚好可以买8本笔记本，问笔记本的单价是多少？（用列方程的方法求解）解： 设笔记本的单价为x元

根据圆珠笔和笔记本的钱的总和为18元，得方程 5×1.2+8x=18 化简，得 6+8x=18 两边减6，得6+8x-6=18-6 化简，得 8x=12 两边同除以8，得 x=1.5 答：笔记本的单价是每本1.5元。

四.归纳总结：

（学生总结，教师评价和补充）

（1）这节课学习的内容。（2）我有哪些收获？

（3）我应该注意什么问题？

五．课后作业： 梯田文化

教辅专家

《课堂点睛》

《课堂内外》

《作业精编》

1．课本P73习题2.1的4题

(答案：（1）x=33（2）x=8（3）x1（4）x=1)2．补充作业

1用等式的性质解方程：①3＋4x=13;②4x5

25（答案：①x ②x=-2）

23．P74第10题

【设计理念】

1、力求体现新课程理念：数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者．本设计从新课的引人、例题的处理（包括解题后的反思）、反馈练习及小结提高等各环节都力求充分体现这一点．

2、在传统的课堂教学中，教师往往通过大量地讲解，把学生变成任教师“灌输”的“容 器”，学生只能接受、输入并存储知识，而教师进行的也只不过是机械地复制文化知识．新 课程的一个重要方面就是要改变学生的学习方式，将被动的、接受式的学习方式，转变为动手实践、自主探索与合作交流等方式．本设计在这方面也有较好的体现．

数学教案【不等式的性质及证明】 第11篇

二、教学目标：

1.了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景． 2.理解不等式的性质，掌握不等式证明的基本方法．

三、重点难点：

1.了解不等式的有关概念及其分类，掌握不等式的性质及其应用，明确各个性质中结论成立的前提条件．

2.利用不等式性质的基本性质进行简单的推理及证明，培养学生的逻辑推理能力及分析问题、解决问题的能力．

四、教学过程：

（一）知识要点

1、不等式的基本性质

（1）对于任意两个实数a、b，都有

abab0； abab0； abab0．

（2）比较两实数a、b大小的方法——求差比较法，即通过判断它们的差ab的符号来判断a、b的大小．

2、不等式的性质定理

定理1：若ab，则ba；若ba，则ab．即abba． 说明：把不等式的左边和右边交换，所得不等式与原不等式异向，称为不等式的对称性． 定理2：若ab，且bc，则ac．

说明：此定理证明的主要依据是实数运算的符号法则及两正数之和仍是正数；定理2称不等式的传递性．

定理3：若ab，则acbc．

说明：① 不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与原不等式同向； ② 定理3的证明相当于比较ac与bc的大小，采用的是求差比较法； ③ 定理3的逆命题也成立；

④ 不等式中任何一项改变符号后，可以把它从一边移到另一边． 定理3推论：若ab，且cd，则acbd．

说明：① 推论的证明连续两次运用定理3然后由定理2证出；

② 这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加，即：两个或者更多个同向不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向；

③ 同向不等式：两个不等号方向相同的不等式；异向不等式：两个不等号方向相反的不等式．

定理4：如果ab且c0，那么acbc；如果ab且c0，那么acbc． 推论1：如果ab0且cd0，那么acbd．

说明：① 不等式两端乘以同一个正数，不等号方向不变；乘以同一个负数，不等号方向改变；

② 两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向；

③ 推论1可以推广到任意有限个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘．这就是说，两个或者更多个两边都是正数的同向不等式两边分别相乘，所得不等式与原不等式同向．

nn推论2：如果ab0，那么ab(nN且n1)．

定理5：如果ab0，那么nanb(nN且n1)． 例题1 对于实数a、b、c，判断下列命题的真假．

（1）若ab，则acbc；

（2）若ab，则acbc；（3）若acbc，则ab；

（4）若ab0，则aabb；（5）若ab0，则22222211ba；

（6）若ab0，则． ababcc． ab◆应用Ⅰ 证明简单的不等式

例题2.1 已知ab0，c0，求证：

应用练习设a、b是非零实数；若ab，则下列不等式成立的是（）A.ab

B.abab

C.◆应用Ⅱ 判断命题的真假

例题2.2 对于任意实数a、b、c，在下列命题中，真命题是（）A.“acbc”是“ab”的必要条件 B.“acbc”是“ab”的必要条件 C.“acbc”是“ab”的充分条件 D.“acbc”是“ab”的充分条件

应用练习已知a，b，c，d为实数，且cd，则“ab”是“acbd”的（）A.充分而不必要条件

B.必要而不充分条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件 ◆应用Ⅲ 比较实数的大小 222211ba

D.

ab2a2bab1122、、a、b的大小关系． ab11112222提示：首先利用a、b是正数，、是负数，再分别去比较a、b、、的大小．

abab例题2.3 若1ab0，试比较

应用练习已知a0，且a1，mn0，比较Aa

◆应用Ⅳ 求取值范围问题 例题2.4 已知

m11n和的大小． Bamnaa22，求

2的范围．

11应用练习若、满足，试求3的取值范围．

123提示：可将3用，2表示出来，问题可得解． 3．证明不等式的基本方法（1）比较法

比较法证明不等式的一般步骤：作差—变形—判断—结论；为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以便判断其正负．

以上介绍的是差值比较法，用比较法证不等式还可采取商值比较法，即左、右两边作商判断商值与1的大小．（2）综合法

利用某些已经证明过的不等式（例如算术平均数与几何平均数的定理）和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法；利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质时要注意它们各自成立的条件．

综合法证明不等式的逻辑关系是：AB1B2BnB，及从已知条件A出发，逐步推演不等式成立的必要条件，推导出所要证明的结论B．（3）分析法

证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都已具备，那么就可以断定原不等式成立，这种方法通常叫做分析法．

分析法是从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，即“执果索因”．

例题3.1已知a,bR，求证：abab．

分析：本题可以尝试使用差值比较和商值比较两种方法进行．

〖练习〗若实数x1，求证：3(1xx)(1xx)．

例题3.2 已知a，b，m都是正数，并且ab．求证：

应用练习证明：(ab)(cd)(acbd)．

（1）

变式训练 证明函数f(x)

应用练习证明函数y2

x24x3abba2422ama（1）．

bmb222221在其定义域上是减函数．

xx在[2,)上是增函数． 五．课堂小结：

1．不等式的概念和性质式本章的基础，是证明不等式和解不等式的主要依据，复习时要高度重视．对每一条性质，要弄清条件和结论，注意条件加强和放宽后，条件和结论之间发生的变化；记住不等式运算法则的结论形式，掌握运算法则的条件，避免由于忽略某些限制条件而造成解题失误．掌握证明不等式性质的方法，可以进一步提高逻辑推理能力．

2．不等式证明常用的方法有：比较法、综合法和分析法，它们是证明不等式的最基本的方法．

（1）比较法证不等式有作差(商)、变形、判断三个步骤，变形的主要方向是因式分解、配方，判断过程必须详细叙述：如果作差以后的式子可以整理为关于某一个变量的二次式，则考虑用判别式法证；

（2）综合法是由因导果，而分析法是执果索因，两法相互转换，互相渗透，互为前提，充分运用这一辩证关系，可以增加解题思路，开扩视野．

3．不等式证明还有一些常用的方法：换元法、放缩法、反证法、函数单调性法、判别式法、数形结合法等．换元法主要有三角代换，均值代换两种，在应用换元法时，要注意代换的等价性．放缩性是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩要有的放矢，目标可以从要证的结论中考查．有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法．凡是含有“至少”、“惟一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法．

证明不等式时，要依据题设、题目的特点和内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点．

4．利用性质求数（式）的取值范围的方法

应用不等式的性质求多个变量线性组合的范围，由于变量间彼此相互制约，在“取等”的条件上会有所不同，故解此类题目要特别小心．一般来说，可采用整体换元或待定系数法．

例如，已知1xy4且2xy3，则z2x3y的取值范围是__________．（答案用区间表示）

方法一：设2x3ys(xy)t(xy)，通过对比系数求出s、t的值． 方法二：画出1xy4的可行域为ABCD，z(3,8)的最优解为A、C两点．

不等式和它的基本性质1教案 第12篇

（一）教学目标：1．了解不等式的意义，掌握不等式的基本性质，并能正确运用它们将不等式变形；

2．提高学生观察、比较、归纳的能力，渗透类比的思维方法；

重、难点：掌握不等式的基本性质并能正确运用它们将不等式变形。教

法：尝试、讨论、引导、总结 教

具：投影仪 教学内容及程序：

一、前提测评

1．前边，我们已学习了等式和它的基本性质。请同学们思考并回答下列问题。2．由“等式表示相等关系”，教师问：在现实生活中，同种量间有没有不等的关系呢？（如身高与身高、面积与面积等）请学生举一些实例。

3．这节课，我们就来认识表示不等式关系的式子，并研究它的性质。（板书：不等式和它的基本性质）

二、达标导学

我们先来认识不等式。（板书：“1.不等式的意义”）1． 教师出示下列式子（板书）：

-7<-5 ，3+4>1+4 ，5+31≠2-5 ，a≠0 ，a+2>a+1 ，x+3<6。学生观察上面式子时，教师问：哪位同学能由等式的意义，说说“什么叫做不等式？”（对学生的回答作以修正并板书：“不等式的意义：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式”。）

2． 例

1、用不等式表示：

①a是负数；

② x的6倍减去3大于10；③ y的1与6的差小于1 ④ x与2的和是非负数；

⑤ x的2倍与y的一半的差不大于1 3． 练习：P56 练习1、2、3 4． 学生做了课本第56页练习后，教师：本章我们主要研究含有未知数的不等式，如x+3<6。对于“x+3<6”中，当x取某些数值（-

1、0、„„）时，不等式成立；当x取另外一些数值（如3、6、„„）时，不等式不成立。与前面学过的方程类似，使不等式成立的数，我们说它是不等式的解，反之，使不等式不成立的数，我们说它不是不等式的解。完成课本上P56想一想 5． 练习：P57 练习4 ▲下面，我们研究不等式的基本性质。（板书：“2.不等式的基本性质“）1．引导发现

教师引导学生回忆等式的基本性质（教师叙述）为促使类比，教师说明；“等式”和“不等式”都是表示同种量间的数量关系。并提

出问题：不等式作类似变形后，所得结果左、右两边的不等式关系会不会发生变化呢？

学生讨论3-5分钟。教师视学生讨论情况可再做适当引导。讨论结果：有时两边大小关系不变，有时两边大小关系改变了。

6． 实例探究

不等式在作上述哪种变形时，两边大小关系不变或两边大小关系改变呢？

将学生分组，对下列不等式作：①两边都加上（减去）同一个数；②两边都乘以（除以）同一个正数；③两边都乘以（除以）同一个负数，这三种变形。

A组：7>4

B组-3<5；

C组-4>-5；

D组-2<-1。

变形教师了解各组学生变形的结果，引导归纳：“不等式的三条基本性质”（板书）。3．强化认识

①学生再作“对数字不等式”的第三种变形即给两边都乘以（除以）一个负数。②口答：判断：

①∵3>2

∴-3>-2

（）

②∵-1<2

∴1<-2

（）

③∵1x0

∴x>0

（）2④∵-a<-3

∴a<3

（）

三、达标检测(另附纸)

四、评价总结：

五、作业：

P12 A1－

3B1