数学实验融入线性代数

数学实验融入线性代数（精选4篇）

数学实验融入线性代数 第1篇

线性代数是一门应用性很强,但在理论上又可进行高度抽象的数学学科,因此它可以有两种发展方向.为了进一步搞数学理论,可以向抽象方向引导;为了解决工程实际问题,就应当向应用方向发展.其实,中学生就学过了二元一次代数方程的解法,代入法和消去法可能是每个人会记忆一辈子的,这就是最简单的线性代数.当把方程的变量增加到三元以上时,它不但要求较高级的抽象思维能力,而且也要求用十分繁琐的计算步骤才能解决问题,对于数学家来说,他们重视前者,这无可厚非;但对于大多数工科学生,他们更需要的是能用理论指导完成实际的计算.事实上,线性代数的那种单调、机械、枯燥的运算,只是由于计算机的出现才赋予它在应用方面的生命力.

线性代数的一些成果和结论已经被广泛应用到了概率论和数理统计、微分方程、离散数学等数学学科,并对这些学科的发展起到了积极的推动作用.因此它被列为大学本科阶段理工科、经济、管理等学科有关专业的重要数学基础课之一,对提高学生思维素质以及分析问题和解决问题的能力都有很大帮助.但由于课程本身高度的抽象性和严密的逻辑性,很多学生掌握不好,以至于影响了后续数学课程甚至专业课程的学习.因此,有必要针对“线性代数”课程进行教学改革,而通过数学实验来帮助学生提高学习效率,培养用线性代数知识分析解决实际问题的能力是一个可以尝试的改革方法.

2 数学实验

数学实验是一个以学生为主体,以实际问题为载体,以计算机为媒体,以数学软件为工具,以数学建模为过程,以优化数学模型为目标的数学教学活动过程.它把教师的“教授记忆测试”的传统教学过程,变成“直觉探试出错思考一猜想一证明”,将信息的单向交流变成多向交流.在教师指导下学习动脑又动手,并使用数学软件和编程技术,解决实践中提出的问题,是培养学生数学应用意识和能力极好的方式和载体,所以最近若干年数学教育界极力推崇它为大学本科生的必修数学课程.

数学实验的目的是提高学生学习数学的积极性、提高学生对数学的应用意识并培养学生用所学的数学知识和计算机技术去认识问题和解决实际问题的能力.它不同于传统的数学学习方式,强调以学生动手为主的数学学习方式.在数学实验中,由于计算机的引人和数学软件包的应用,为数学的思想与方法注入了更多、更广泛的内容,使学生摆脱了繁重的乏味的数学演算和数值计算,促进了数学同其他学科之间的结合,从而使学生有时间去做更多的创造性工作.

3将数学实验融入线性代数教学的必要性

3.1 数学实验使得数形结合的教学模式更形象

我国著名数学家华罗庚先生曾说过“数无形时少直观,形无数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休”.他充分地说明了数学的抽象性离不开直观形象,几何的直观有助于对数学理论、相关内容的理解.《线性代数》的某些概念在三维以下空间中具有形象的几何意义.同时,从数学的发展情况来看,几何与代数也是很难完全分离的.因此,在《线性代数》教学过程中,我们可以对某些教学内容先阐述概念以及结论的低阶的几何意义,并借助数学软件、多媒体演示实现数形的结合,让学生直观的体会其在二维、三维空间中的涵义,然后再引申到一般的高维空间中去.例如,向量组的线性相关性理论比较抽象,我们可以利用数学软件结合图形,从一维、二维、三维向量的线性相关性逐步推广到n维向量的情形.在数轴上取一个非零向量a1,它是线性无关的,再在数轴上任取一个向量β,则β可由a1线性表示,所以α1,β线性相关.在平面上任取两个不重合、不平行的非零向量α1,α2,则α1,α2线性无关,并且确定一个平面.再在α1,α2确定的平面上任取一个向量β,由分解定理β-定可以由向量组α1,α2线性表示,所以α1,α2,β线性相关.在空间直角坐标系中任取三个不重合、不平行、不共面的非零向量α1,α2,α3,则向量组α1,α2,α3线性无关,再任取一个向量β,β也一定可以由α1,α2,α3线性表示,所以向量组α1,α2,α3,β线性相关.由此推广到n维,若n个n维向量α1,α2,,αn线性无关,再任取一个n维向量αn+1,αn+1可由α1,α2,,αn线性表示,则α1,α2,,αn,αn+1线性相关,可得结论:n+1个n维向量一定线性相关.

其实线性代数的许多术语都来自几何,可见即使学科的创始人的概念都是从几何向代数延伸的.所以图是线性代数学习路上的桥.借助于数学软件强大的图形功能,可以赋予线性代数中抽象的概念以二维或三维的几何形象,可以做立体彩色图展示给学生,然后再用代数方法扩展至高维的公式和推理,增强了课程的直观性和可操作性.这样处理的好处是:能够将抽象与形象相结合,符合人们学习认识事物的习惯与规律,由直观到抽象,低维到高维,有利于学生理性认识与感性认识相结合,降低了相关概念、结论的抽象性,加深了学生对所学知识点的认识,还原了某些教学内容的本来面目,增加了学生对线性代数应用的了解,提高了学生对知识的应用能力.

3.2 数学实验的融入有助于提高学生解决问题的能力

传统的线性代数教学偏重自身的理论体系,强调线性代数的基本概念和推理.随着计算机技术和工程科技的发展,科学与工程计算日益重要.将计算机作为辅助工具引入教学,使用数学软件解决线性代数问题,把数学软件渗透到线性代数的各章节中去.当然线性代数的整个理论体系,并不因使用计算机而有所改变,只是有些理论可以通过计算机来验证,而且可以把大量的应用问题纳入课程的习题或作业中,加强它的工程背景.“需求牵引”是学术发展的推动力,通过软件实验解决大量工程技术中的实际问题,把抽象的代数理论变得简单明了,激发学生的学习兴趣,培养学生的创造性思维能力,使学生感到线性代数确实有用,并不是深不可测的抽象理论,而是解决实际问题的有力工具.由此带来的益处可以体现在以下几点:

一更为深刻地理解基本的数学原理;

二培养学生使用数学软件的习惯;

三会用数学软件解决大型的有关线性计算问题的能力.

通过对现有的教学方式进行改革,转变教学观念,树立新的教学理念,提高学生应用数学知识解决实际问题的能力.同时,在教学中引入数学软件,可为学生以后应用该软件在经济、工程领域进行控制、仿真、最优化、模拟等专业学习提供基础,起到桥梁作用.

3.3 引入数学实验缓解了教学学时不足的矛盾

引入数学实验为强化理论和方法原理教学提供了条件.对非数学专业的学生来说,学习数学的意义主要是两方面:一是得到一定程度的逻辑思维能力的训练;二是掌握必要的数学理论和方法,知道其应用条件和使用步骤.但以前学生过度轻视学习数学理论,只知道一些方法及其使用步骤,而对其原理一无所知,从而没有弄清方法使用的条件,造成许多数学方法使用上的错误.因此,必要的数学理论学生还是应该了解的.但既要抓方法教学,又不能轻视理论教学,教学时间上便产生了矛盾.

引入数学实验,增强了课程的直观性和可操作性.非数学专业的学生学习数学课程都是有实用目的,但方法的应用仅靠手工完成,学生不免对其实用性产生怀疑,容易降低学习兴趣.引入数学实验把繁琐的计算交给计算机去做,减少了手工计算的时间,所以软件实验在一定程度上缓解了线性代数学时不足的矛盾.

4线性代数中实验教学的实施

4.1 教学内容的整合

对教学内容的处理,可以适当降低教学要求并挑选恰当的内容进行实验教学,这样在教学过程中既推进数学知识的掌握,也增加了课堂的趣味性.例如:适当降低行列式的教学要求.现有的教材虽然也讲了二阶、三阶行列式,但高阶行列式则重起炉灶,从数论的全排列和逆序数的定义出发,再定义n阶行列式,这个定义让刚从中学出来的学生感觉不知所措,对于n阶行列式的多个性质更是望而却步.我们现在的做法是精讲二阶,三阶行列式的计算方法及性质,对于四阶及以上的行列式用数学软件给学生演示或者鼓励学生自己去求解.求逆矩阵及矩阵和向量组的秩,求解线性方程组,求矩阵的特征值和特征向量等等都可以适当降低教学难度,把学生从繁琐的计算中解脱出来,将注意力集中在基本概念和解题的基本步骤上,这样可以调动学生学习数学知识的兴趣,又加强了学生学习数学软件的积极性.

4.2 上机实习的安排

这一环节包括两种形式的作业,一种是给学生布置一些简单的既可手工计算也可用数学软件进行处理的题目,让学生真正做到边学边用,既可以巩固理论知识也达到逐渐熟练掌握数学软件的目的.另外一种是结合学生专业选择一些综合型的应用问题,但难度不宜过大,让学生自己上机实习.可以在实验上机时通过上网查资料寻找解决问题的方法,也形成团队,相互协助,共同完成.至于应用问题的选择,一定要结合学生的专业,也可以和其他专业老师共同协商,选择对课程和学生能力都有帮助的小课题.

4.3 实验教学和传统教学并重

线性代数中抽象的数学理论和方法体系是由一系列基本概念构成的,如行列式、矩阵、逆矩阵、初等矩阵、转置、向量、线性相关、线性无关、线性表示、特征值、特征向量等等.学生如果对有关概念的内涵和外延把握不准,则无法理解定理的内容,无法进行逻辑推理,也不知道计算方法的道理何在.此外,线性代数学科体系的严谨,内容的相互关联,正是训练学生抽象的逻辑推理能力的极好素材.通过对有关定理及其推论的证明,或习题中对有关命题的证明和讨论,不仅让学生得到充分的逻辑推理能力的训练,而且也是深入理解有关概念的重要途径,还能帮助学生训练良好的数学思维.

线性代数课程的教学中,由于大量的手工计算不仅需要学生掌握计算步骤,还需要掌握灵活多变的计算技巧,造成学生忙于应付计算的学习,从而轻视了方法原理的学习,其后果便是实际使用中常常把方法选择错误.用数学软件计算,较好地解决了这一问题.我们选择专业数学软件为线性代数软件实验的平台,采用一种传统的理论内容与实验内容交错进行的教学模式设计实验内容.实验中,一方面,讲解数学软件的基本功能及使用,另一方面讲解软件提供的线性代数运算功能.实验过程中,采用实验分层次、分步骤进行,采取讲练结合、循序渐进的方式进行实验学生的实践创新能力.在课堂教学过程中,巧妙地安排数学实验可以使学生的主体性得到充分的发挥.

将数学实验融入线性代数的教学,加深了学生对抽象数学概念的理解,使一些复杂的计算和推导过程在计算机上得以实现,极大地提高了学生的学习积极性.学生不但学习了数学知识,也提高了应用数学方法、借助计算机技术解决实际问题的能力,同时学生的创造性思维能力得到了开发.

5 结束语

两年来,我们以本校教学研究项目为依托,在线性代数课程的教学研究与改革上做了一些大胆的尝试,取得了初步的成果.但任何课程的教学探讨都是一个不断深化和完善的过程,我们认为在线性代数课程教学中引入数学实验是普及数学知识应用的一种手段,突破计算瓶颈,为数学的应用打开了一扇大门.同时学生掌握了软件计算技能,为其今后科研工作的开展奠定了基础.

参考文献

[1]同济大学数学系.线性代教(第5版)[M].北京:高等教育出版社,2007.

[2]叶家琛,詹佳.关于《线性代数》教材改革的几点想法[J].大学数学,2006,22(2):16-19.

[3]杜燕飞,肖鹏.加强线性代数实践教学,提高学生创新、实践能力[J].数学教学研究,2008,27 (8):54-55.

[4]杨雯靖.“线性代数”实验化教学的构想[J].中国电力教育,2009,(5):136-137.

数学实验融入线性代数 第2篇

关键词：高等代数；数学建模思想；课堂教学

一、高等代数与数学建模

高等代数课程作为数学专业的一门重要的专业基础课，它的应用领域非常广泛，但由于高等代数课程的抽象性和理论性较强，学生不知如何用所学的理论知识来解决实际问题。数学建模是一种数学思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化，建立能近似刻画并解决实际问题的一种强有力的数学手段。其思想是将知识由抽象转化为形象，由理论转化为应用的思想。在高等代数教学中渗透代数的应用内容，将数学建模思想融入课堂教学，有利于提高学生的应用能力，培养学生从实际问题中抽象出数学模型的能力和运用知识解决问题的实际动手能力等。数学建模融入教学已成为当前数学教学改革的重要内容。

二、在高等代数教学中融入数学建模思想的必要性

首先，在以往的高等代数教学中，教学过程偏重理论的推导，知识的实践与应用不够，而数学建模是联系数学与实际问题的桥梁，是数学向科学技术转化的主要途径。在教学中融入数学建模思想对提高学生分析和解决实际问题的能力，提高应用数学的意识与能力起着重要作用。

其次，以往的高等代数教学基本上采用“满堂灌”的教学模式，学生缺乏学习主动性，而数学建模是以学生为中心、以问题为主线、以培养能力为目标来组织教学，教学过程的重点是创造一个环境去诱导学生的学习欲望，培养自学能力，增强他们的数学素质和创新能力。因此，在教学中融入数学建模思想开辟了教学模式改革的新途径。

再次，将数学建模教学案例引入课堂教学，不仅需要课堂上师生的共同探讨，更需要学生课后主动查阅文献资料。在此过程中，学生不仅提高了数学素质，同时也培养了团队协作精神，为今后的学习及工作奠定良好基础。

三、在高等代数教学中融入数学建模思想的可行性

首先，多媒体教学与传统教学相结合，利用多媒体“声、图、动画”合一的优势，将知识由抽象转化为形象，由理论转化为应用的过程变得更加便利。在丰富教学手段的同时，节约了课时，提高了教学效率，为数学建模教学案例引入课堂教学提供了可能。

其次，计算机快速计算的特点及有关数学软件（如MATLAB软件）的应用，使复杂的计算过程快速实现。如行列式计算、矩阵计算、解线性方程组等，在学生掌握了基础理论知识后，这些复杂的计算过程都可以由计算机来完成，这使数学建模思想融入课堂教学成为现实。

再次，在高等代数各章节的教学内容中均存在相应的实际问题，如在多项式、行列式、线性方程组、矩阵、线性空间等都可以找到具体的应用问题，这使得在高等代数课堂教学中融入数学建模思想是完全可行的。

四、在高等代数教学中融入数学建模思想的现实意义

1.数学建模融入教学可实现快乐教学。现在的高等教育已从“精英教育”向“大众教育”发展。由于高等代数其概念性强、内容高度抽象、逻辑推理严密、实际应用的少、趣味性少等特点，很多学生在学习过程中不适应，兴趣下降，耐性和毅力在减少，最终产生厌学甚至弃学的思想。把数学建模思想融入高等代数教学中，不仅可以激发学生学习的兴趣，而且可使沉闷的课堂气氛变得轻松愉悦，从而创造快乐的教学环境，使学生对知识的理解达到事半功倍的效果。

2.数学建模思想融入教学可促进高等代数教学方法的改革。课堂教学时间是有限的，数学建模案例短时间又是不能解决的。教师可将事先设计好的教学案例任务布置给学生，以问题为驱动，促使学生课后主动查阅文献资料和学习新知识，积极开展课外讨论和辩论，主动地去分析问题、解决问题。教师坚持“以任务为导向，以学生为中心”为指导进行教学。这样的教学环节有效地实现了从以教为主向以学为主转变、从以课堂教学为主向课内外结合转变。

3.数学建模思想融入教学可促进高等代数教学模式的改革。由于高等代数课程的抽象性强、概念多、命题多、定理多等特点，以往的教学基本是“以教师为中心、以教材为中心、以课堂为中心”的教学模式，学生在被动接受知识的过程中丧失了学习的兴趣。将数学建模案例引入课堂教学，不仅可以使学生主动参与教学过程，而且在教师的启发引导下，学生经过独立思考、探究、讨论等环节，显著提高了自主学习能力和探究创新能力，这也为传统的教学模式改革开辟了新途径。

总之，在高等代数中融入数学建模思想有很多作用。其中，要注意以下几点：案例选择要做到案例简单、直观又能反映课本知识内容且在知识的应用上有典型例子；案例应该与高等代数内容紧密联系，应贴近实际问题；教学案例应具有实用性、可参与性，注意与课堂教学内容密切联系。

参考文献：

[1]徐为坚，周明发.普通高师数学专业高等代数课程改革的研究[J].玉林师范学院学报，2006（81）：35-37.

将数学软件融入线性代数课程的教学 第3篇

1 具体实施

我们在保证基础知识逻辑和结构的完整性的前提下, 当基础知识讲解完成后, 在每一章结束前, 介绍用数学软件计算的指令、方法, 并利用线性代数的知识解决相应的应用问题。这个时候, 可以根据相关专业的学科背景、后面要学到的课程的需要, 选择合适的实例。在总学时不变的前提下, 要加入数学软件的介绍和应用, 势必会缩短一些理论学习的课时。这时, 我们可以采取把一些比较难的定理证明省略不讲, 让学生自己学习, 降低课程的理论难度, 增加实用性。这样, 对于很多理工科学生来说, 对他们日后的科研、工作是很有益处的。而对那些准备在理论上继续研究的同学, 相信他们能够自己钻研或者请教老师。

2 实例

经过比较, 我们选用Maple软件做为线性代数课程的应用介绍。这是因为, Maple有超强的符号处理能力, 可以在计算机上进行准确的数学符号演算;Maple界面清新, 矩阵的输出形式完全符合我们的手写习惯;Maple可以直接进行矩阵的初等变换。对初学者, 利用Maple的初等变换功能, 可以方便的对矩阵初等变换, 也可以减少初等变换中一些不必要的低级计算错误[1], 使学生不被繁琐的计算纠缠, 把精力用在更有意义的地方。

使用实例的目的是强调线性代数与实际问题的联系、线性代数与后续课程的联系[2], 因此我们在内容的安排上尽量浅显易懂, 不涉及过多过深的后续专业知识, 主要是让学生认识到这种联系、认识到线性代数的作用即可。

例如, 我们在讲解完第二章矩阵的相关内容以后, 安排一次课介绍用Maple计算矩阵的运算。矩阵乘法、转置、逆矩阵、秩、行列式、向量组的线性相关性、特征值特征向量等运算都可以用Maple完成, 输入一个命令即可完成运算, 而对与计算过程则是不可视的。而在理论教学中, 逆矩阵、秩、行列式、向量组的线性相关性、特征值特征向量、解线性方程组等运算都是用初等变换实现的, 因此, 我们除了教会学生用这些软件的指令得到运算的最终结果以外, 着重讲解用Maple直接进行矩阵的初等变换来求逆矩阵、秩、行列式、向量组的线性相关性、特征值特征向量、解线性方程组等, 使学生不但会用软件求解矩阵的运算, 还能加深理论认识。

以求逆矩阵为例, 由理论课知道, 可以利用行初等变换法求逆矩阵:把要求逆的n阶矩阵A与同阶单位矩阵E并列在一起, 就构成一个n行2n列的矩阵B, 对B实施行初等行变换, 使其变为简化行阶梯形, , E所对应的矩阵就是A的逆矩阵。Maple环境下具体语句如下:

由上述计算可得, A的逆矩阵为:

或者直接用求逆阵的指令:

[>linalg['inverse'] (A) ;

也可以直接得到矩阵A的逆阵。

3 结语

把数学软件融入线性代数的教学有三大好处:首先, 提高了学生学习兴趣, 激发他们自己解决实际问题的欲望, 加强了学生利用计算机软件解决数学问题能力的锻炼。其次, 对于低阶 (三阶及以下) 的线性代数问题, 能提供图形帮助, 这对于理解线性代数的理论和概念是很有利的。此外, 对于高阶的线性代数问题, 通过调用函数或编程, 帮助学生快速而准确地进行大量数据的数值计算, 为其今后科研工作的开展奠定科学计算的基础。

参考文献

[1]朱熙湖, 邓生华, 姚琼.浅谈线性代数实验课中数学软件的选择[J].中国校外教育 (下旬刊) , 2010, 1:65-66.

[2]张娜, 王云鹏.将实例与数学软件融入线性代数教学的讨论[J].中国西部科技, 201019 (28) (总第225) .

[3]王军霞, 黄娟.将数学软件融入线性代数的教学[J].数学教学研究, 2011, 30 (2) :48-51.

数学实验融入线性代数 第4篇

通过高等教育心理学的学习, 我们都知道, 学生在学习时, 只有明确自己的学习目的, 认识到学习的意义, 才能产生学习的兴趣, 有强烈的学习动机.如果将数学建模的思想和方法融入到线性代数的日常教学中, 能够让学生把理论知识和实际问题联系起来, 认识到所学知识的用途, 不仅可以激发学生学习线性代数的兴趣, 而且可以调动学生使用线性代数的知识解决实际问题的积极性, 培养学生解决实际问题的能力.把数学模型思想融入到线性代数教学中, 不仅能帮助学生学习知识, 理解知识, 运用知识, 对教师本身的业务能力也有提高.教师在教学时, 不仅要具有扎实的理论知识功底, 还需要具有解决实际问题的能力, 这就迫使教师要查阅大量的资料, 整理出适用的案例, 不断学习新知识, 了解新技术, 进而提高教学和科研能力.

下面我们介绍一些在线性代数教学中融入了数学模型思想的实例.

1.投入产出问题

设有n个部门, 记一定时期内第i部门的总产出为xi, 对第j部门的投入为xij, 外部需求为di, 则

记直接消耗系数为aij, 它表示第j部门的单位产出中对i部门的直接消耗,

记直接消耗系数矩阵A= (aij) n×n, 产出向量x= (x1, x2, …, xn) T, 需求向量d= (d1, d2, …, dn) T, 则 (1) 式可写为x=Ax+d.

若I-A可逆, 则x= (I-A) -1d.

这是对矩阵乘法及其逆的应用.

2.公司采购问题

某公司计划用Y元钱采购物品A, B, C, D, 设每种物品单价分别为a1, a2, a3, a4元.他一共要买的数量为W个, 请给该公司计划一下能买到多少个物品A, B, C, D?

模型假设:公司购买的物品数量很大, 数量的个数可视为连续变量.

模型建立:设该公司购买的物品A, B, C, D的数量分别为x1, x2, x3, x4个, 则有方程组

由于此方程组未知数的个数大于方程的个数, 因此该方程组有无穷多解.设Y=100, W=50, a1=1, a2=1, a3=2, a4=3, 则可得方程组的解为

其中c1, c2为任意使得x1, x2, x3, x4为正整数的常数.

这是对线性方程组的应用.

除了我们前面所介绍的两类模型, 线性代数在很多其他数学模型中都有重要的应用.将数学建模思想融入到高等数学的线性代数教学过程中, 不仅是为了使学生有兴趣学习线性代数的知识, 更是为了培养学生解决问题的能力.如何将数学建模思想更好地融入到大学数学教学中是我们大学数学教师应该认真思考的问题之一.

摘要：线性代数在各学科, 各领域中有着广泛的应用, 而线性代数的知识是枯燥, 乏味的.我们分析了把数学模型的思想融入到线性代数教学中的重要意义, 并列举了两个简单实例.

关键词：线性代数,数学模型,建模

参考文献

[1]姜启源, 谢金星, 叶俊.数学模型 (第四版) [M].高等教育出版社.2011.

[2]杨庆.线性代数在数学建模中的一些应用[J].科技资讯, 2012, 8:199-201.

[3]许维珍.数学模型中矩阵的应用[J].湖南农业大学学报 (社会科学版) , 2008, 9 (5) :84-86.