库存决策范文

库存决策范文（精选7篇）

库存决策 第1篇

混合系统的特点

混合系统具有两大鲜明特点:存在一个由顾客向企业流动的旧产品流;有两个可替换的供应选择, 即旧产品翻新与新产品制造或对外订货。与混合系统相比, 传统生产系统只需采购原料进行加工制造, 而完全旧产品翻新系统只需从第三方采购旧产品作为原材料进行翻新, 二者均将原料与旧产品作为一种投入资源, 其质量、数量与时机相对可控, 可直接应用传统的库存决策理论和方法;而混合系统将旧产品与原料分别作为生产新产品的两种资源, 情况将截然不同。其差异表现为:旧产品回流使得介于两次制造新品补货之间的库存水平不一定单调下降, 相反可能上升。这种单调性丧失使得潜在的数学模型变得更加复杂。满足需求有两种方式, 使得决策者增加了另一种选择, 对外部订货或制造时必须考虑翻新可能性。对可翻新品与服务性产品的进行区分使得生产系统由传统的单级库存系统变为两级库存系统。另外, 因存在旧产品返回, 混合系统还具有一些与众不同的特征:旧产品返回的数量、时机的不确性;需要平衡产品的需求量与旧产品的返回量;返回品可翻新物料的不确定性, 即旧产品质量的不确定性等。这些特征将使得传统的库存决策理论与方法不能直接应用于混合系统的库存决策问题, 需要对其加以修正。

与其他库存系统的区别与联系

修理库存系统与那些可修理或可恢复到可用状态而被丢弃的产品有关。修理库存一般由高成本、长寿命商品组成, 如军事领域的飞机或飞机部件、商业领域的复印机和运输设备等, 其目标是提供最有效的存储数量和最大化服务水平。在修理库存系统中, 产品一旦失效, 马上用新产品替换, 产品需求与旧产品返回完全相关, 即有一个缺陷产品产生就引发对一个完好产品的需求, 并假定有缺陷的产品完全可修复。因此, 系统中产品数目恒定, 不必通过制造或对外订购新品来满足顾客需求。而在混合系统中, 当期需求与产品返回的关联性不大, 主要表现为返回品对以前需求的依赖, 因为产品使用与产品返回之间存在一定时间延迟。

两个供应商库存系统要解决的是采购成本与提前期的平衡问题。一般而言, 这个系统包含了一个慢而廉价的供应商和一个快而昂贵的供应商。这种情形在单周期订货中应用比较普遍, 通过两个供应商可以实现两阶段订货的合理搭配, 以使得订货总成本最低。但在混合系统中, 因可翻新品的有限可得性, 单纯利用旧产品翻新无法满足顾客的全部需求, 需要利用制造或订货来补充, 这里引入制造或订货不是为了缩短提前期, 而是为了满足顾客需求, 而且混合系统中较便宜的渠道翻新通常也是较快的供应源。

备件库存系统的经典假设包括:新产品的需求是由产品失效而引起的, 隐含了需求与回收之间完全相关;系统中备件的数量保持不变。尽管修理库存与备件库存都服务同一目的, 即在产品失效时提供完好产品的可得性, 其目标也是实现库存成本和服务水平之间的平衡。但备件问题通常不考虑产品回流或产品修理问题。而在混合系统中, 产品需求与旧产品返回不完全相关, 而且系统中服务性产品库存水平或可翻新品库存水平均随时间而变化。对于从顾客处返回的旧产品, 首先考虑对其进行翻新, 对无法用于翻新的才考虑对其进行处置。

当返回的旧产品不经过翻新直接进入服务性产品库存进行销售时, 混合系统中的可翻新品库存与翻新过程消失, 得到仅包含服务性产品库存的单级库存模型。这类模型应用于直接重用的产品, 如运输包装或由于订货过多的商业退货。尽管此系统是混合系统的一种简化, 但与混合系统不同, 因为混合系统的可翻新品库存与服务性产品库存有明显区别, 对应的是二级库存模型, 并且翻新是一个附加值增加的过程。

除了上述相类似的系统, 完全的旧产品物料翻新系统和完全的再制造系统也不同于混合系统。对于完全的旧产品物料翻新系统, 考虑的决策包括回收过程的价格决策和旧产品翻新的数量决策, 而完全的再制造系统包括了采购旧产品和新零部件的数量决策, 但二者都只有一个生产过程, 前者为制造, 后者为再制造, 都不涉及到制造与翻新业务的相互协调, 库存决策相对简单。很明显, 没有哪一类库存系统完全具备了混合系统的全部特点。

混合系统的分类

库存决策 第2篇

摘要：研究库存优化模型时有若干考虑因素，本文基于经济学中营销研究观，考虑随机需求下提前期的不确定与否对供应链库存优化的影响，并基于此建立缺货回补情况下的最佳订货量Q和再订货点R的库存决策优化模型。

关键词：库存 （Q，R）库存模型 提前期

1 概述

著名供应链专家马丁·克里斯多弗曾说：“真正的竞争不是企业与企业之间的竞争，而是供应链和供应链之间的竞争。”这就强调供应链系统优化和运作过程整合的重要性。其中，众多企业不能摒弃的库存又是供应链增值的决定性环节之一。在实际的企业操作中，随机的需求和提前期是影响库存优化与决策的主要驱动因素，如何有效的优化与决策供应链库存的问题，成为影响供应链增值的关键因素之一。就此，本论文基于随机需求的（Q，R）库存模型（如图1），分别考虑两种情况——提前期为常量和提前期为特定分布时——的供应链库存优化与决策。以下所有模型考虑的产品均为单一的功能型产品，单位产品价格为p，并且考虑缺货要补。

图1 （Q，R）库存控制策略

2 模型的符号与假设

2.1模型的基本假设如下：

假设1 研究基于一次性订货模型，即一个提前期内仅有一次订货，不发生订货合同交叉问题[1]；

假设2 计划期内的平均需求量为D，单位时间内的需求X服从密度函数为？渍（x），分布函数为？准（x）的正态分布，其中均值为？滋D，标准差为σD；

假设3 库存物品采取连续盘点方式，一旦库存水平低于再购点R，则发出订单[2]；

假设4 假设整个两级供应链系统允许缺货，但所缺货量在到货时全部补上；

假设5 假设除库存成本外所产生的其他一切成本为M。

2.2符号说：

h——单位时间内的库存持有成本（货币/数量单位）

k——固定订货成本（货币/数量单位）

b——单位物品固定的缺货成本（货币/数量单位）

P（Q，R）——总利润（货币）

G——总收入（货币）

C（Q，R）——总库存成本（货币）

B——平均缺货量

OF——平均订货频率

D——平均需求量

I——平均库存

L——提前期（时间单位）

Q——订货量

R——再订货点

3模型的建立

首先，我们将库存的一个完整周期T划分成两部分（如图2），一部分是从T周期起始点到订货点t，此部分为库存正常周期Ⅰ；第二部分是从订货点t到货点t+L，该部分为库存补充周期Ⅱ，在划分好周期T后，我们进一步将库存补充周期Ⅱ再分为两部分，第一部分的库存是被持有的Ⅱ（1）；第二部分出现缺货Ⅱ（2）。接下来的所有模型计算均基于以上库存补充周期的两部分进行分析。

3.1 提前期为常量的库存优化模型

由于服从正态分布的随机变量的线性函数仍然服从正态分布。[4]因此固定提前期L0内，需求X仍然服从密度函数为？渍（x），分布函数为？准（x）的正态分布，此时，需求期望值为？滋D■=？滋DL0，方差为σD■2=σD2L0。则：

根据前提假设，可以得到一定时间内的平均订货频率：OF=■ （1）

在一个周期内，部分Ⅰ和部分Ⅱ（1）中不存在缺货量，即缺货量为0；部分Ⅱ（2）中出现缺货，所以平均缺货为：

BT=■ （x-R）？渍（x）dx （2）

则平均总缺货为：B=■■ （x-R）？准（x）dx （3）

同样，在一个周期内，部分Ⅰ和部分Ⅱ（1）中均存在库存；部分Ⅱ（2）中无库存。此时在计划期内的平均库存Ⅰ为：I=■ （R+■-X）？渍（x）dx （4）

=R+■-？滋D■ （5）

因此，得总库存成本为：

C（Q，R）=■+h（R+■-？滋D■）+■■（x-R）？准（x）dx （6）

同时，不考虑其他收入来源，总收入为：G=PD （7）

因此，固定其他成本情况下，总期望利润为：

P（Q，R）=G（C（Q，R）+M） （8）

将（6）、（7）式代入（8）式，为了求得（8）式中的总利润最大，接下来我们分别对P（Q，R）关于Q，R求偏导数，并令■=0，■=0即：

■=-■+■-■■（x-R）？准（x）dx=0 （9）

■=h-■■？准（x）dx=0 （10）

则，最优订货批量Q*为：

Q=■ （11）

■？准（x）dx=■ （12）

3.2随机提前期的库存优化模型

以上研究是基于提前期为固定值时随机需求的库存模型，若我们更改提前期条件，将会转化为更为复杂的模型。这里，我们在现有假设的基础上，更改有关提前期的假设，即假设需求和提前期的随机变量是相互独立的。其中，设提前期L服从密度函数为V（L），分布函数为V（L）的正态分布，其中，提前期的均值为？滋L，均方差为σL2。

由于服从正态分布的随机变量的线性函数仍然服从正态分布。[4]因此近似地我们认为在随机提前期V（L）内，需求XL依然服从密度函数为f（XL），分布函数为F（XL）的正态分布。其中，需求期望值？滋D■=？滋D？滋L；方差σD■2=（？滋DσL）2+？滋LσD2。则总库存成本为：

C（Q，R）=■+h（R+■-？滋D■）+■■（x-R）f（xL）dxL （13）

将（13）式代入（8）式，同理，为了求得总利润最大，接下来我们分别对P（Q，R）关于Q，R求偏导数，并令■=0，■=0得：endprint

Q=■ （14）

■f（xL）dxL=■ （15）

4 供应链库存优化与决策

紧接着，对于上述所建（一）、（二）模型的可行性，我们进行如下分析验证。

我们应用下述迭代方法对式（11）、（12）、（14）和（15）进行求最优解上述方程组，具体操作如下所示：

步骤1 取Q1为EOQ模型[3]下的最佳订货批量，即Q1=■；

步骤2 令Q=Q1代入式（12）或（15）中，求出R1；

步骤3 令R=R1代入式（11）或（14）中，求出Q2；

步骤4 再令Q=Q2代入式（12）或（15）中，重复步骤2和步骤3，迭代到收敛为止，求出最优订货点R*和最佳订货量Q*。

首先进行前提假定：■=780件/年，h=20元/件，k=200元/订单，b=50元/件，p=120元/件，M=8000元，一年以52周计算，？滋D=15件/周，σD=7件/周。

4.1 基于模型（一）检验库存优化决策的可行性

这里我们基于前提假定，研究提前期分别固定为3周和6周时，根据式（12）与（13）进行计算比较库存决策优化的有效性，结果如表1所示：

表1 基于模型（一）检验库存优化决策的可行性

■

从表1中我们可以看出，若在提前期相同情况下，企业如果单方面增大订货量或再订购点对库存成本和总利润都有影响，其中，订货量与再订购点的改变都会增加库存成本，降低总的利润。在考虑到缺货成本后，采用模型（一）可以很好地均衡Q和R，找到式（8）的最大值时，最佳的订货点R和订货量Q*，此时，总库存成本最小，总利润最大。其中，库存成本利润率为库存成本与总利润的比值。

4.2 基于模型（二）研究提前期变化时对库存决策的影响。

基于前提假定，我们新增假定：以下研究的提前期变量均服从密度函数为V（L），分布函数为V（L）的正态分布，其中：第一组提前期的均值同为？滋L=3周时，研究提前期均标准差分别为σ■=0.5，σ■=2时对库存优化决策的影响；第二组提前期的均标准差均为σ■=2时，研究提前期均值分别为？滋L=3周，？滋L=6周时对库存优化决策的影响。根据式（15）与（16）进行计算比较，结果如表2所示：

表2 基于模型（二）随机提前期对库存决策影响

■

从表2中，我们对比不同提前期变化程度下的库存成本利润率，我们可以更为直观的看出在提前期的不确定情况下，当提前期波动较大时，库存成本利润率相对较高，此时在考虑库存决策时，通过增加再订购点R来平衡波动，此现象在不同提前期变量之间更为显著。通常的解决办法是各节点供应链企业加强信息沟通，削弱提前期的影响率。

5结论与展望

在强调供应链增值的时代，能否制定最优库存决策，成为企业与企业间竞争的筹码之一。良好的库存的控制可以大大增加企业收益，同时也更好地缩短供应链系统的整体周期，满足供应链时间竞争的要求。在以上对比研究中，我们发现提前期的改变对利润和库存优化具有的深远影响。因此，企业在考虑优化库存时，适当采取措施削弱提前期的影响力度。各供应链节点企业间通过建立战略联盟，实现信息合理共享，这样做不仅可以优化时间，还可以削弱“蝴蝶效应”。基于当前供应链管理环境下，库存的优化不再是仅仅考虑需求随机时的订货模型，[5]逐渐地库存优化过程中考虑的因素扩展到时间、服务水平、周转率等其他影响因素，一些文献在研究提前期时增加了服务水平因素，更好的考虑了缺货量的影响因素。这里，只考虑所有缺货均补上的情况，未对缺货时顾客的满意度进行研究。但随着市场的不断发展，市场的竞争必然会涉及到服务水平的评价，因此以后的研究重点将放在延迟需求和顾客服务水平对库存决策的影响。

参考文献：

[1]蒋志明，时明荣.基于随机需求、随机提前期的（Q、R）库存模型[J].科技和产业，2012（11）.

[2]陈鋩，龚存宇.可控前置时间的连续盘点联合库存策略研究[J].计算机工程与应用，2012（31）.

[3][美]保罗·齐普金[著]，马常松[译].库存管理基础[M].中国财政经济出版社，2013年6月第1版.

[4]王学民.应用多元分析[M].上海财经大学出版社，2009年8月第3版.

[5]马士华，林勇.基于随机提前期的（Q，r）库存模型[J].计算机集成制造系统，2002年5月第5期.endprint

Q=■ （14）

■f（xL）dxL=■ （15）

4 供应链库存优化与决策

紧接着，对于上述所建（一）、（二）模型的可行性，我们进行如下分析验证。

我们应用下述迭代方法对式（11）、（12）、（14）和（15）进行求最优解上述方程组，具体操作如下所示：

步骤1 取Q1为EOQ模型[3]下的最佳订货批量，即Q1=■；

步骤2 令Q=Q1代入式（12）或（15）中，求出R1；

步骤3 令R=R1代入式（11）或（14）中，求出Q2；

步骤4 再令Q=Q2代入式（12）或（15）中，重复步骤2和步骤3，迭代到收敛为止，求出最优订货点R*和最佳订货量Q*。

首先进行前提假定：■=780件/年，h=20元/件，k=200元/订单，b=50元/件，p=120元/件，M=8000元，一年以52周计算，？滋D=15件/周，σD=7件/周。

4.1 基于模型（一）检验库存优化决策的可行性

这里我们基于前提假定，研究提前期分别固定为3周和6周时，根据式（12）与（13）进行计算比较库存决策优化的有效性，结果如表1所示：

表1 基于模型（一）检验库存优化决策的可行性

■

从表1中我们可以看出，若在提前期相同情况下，企业如果单方面增大订货量或再订购点对库存成本和总利润都有影响，其中，订货量与再订购点的改变都会增加库存成本，降低总的利润。在考虑到缺货成本后，采用模型（一）可以很好地均衡Q和R，找到式（8）的最大值时，最佳的订货点R和订货量Q*，此时，总库存成本最小，总利润最大。其中，库存成本利润率为库存成本与总利润的比值。

4.2 基于模型（二）研究提前期变化时对库存决策的影响。

基于前提假定，我们新增假定：以下研究的提前期变量均服从密度函数为V（L），分布函数为V（L）的正态分布，其中：第一组提前期的均值同为？滋L=3周时，研究提前期均标准差分别为σ■=0.5，σ■=2时对库存优化决策的影响；第二组提前期的均标准差均为σ■=2时，研究提前期均值分别为？滋L=3周，？滋L=6周时对库存优化决策的影响。根据式（15）与（16）进行计算比较，结果如表2所示：

表2 基于模型（二）随机提前期对库存决策影响

■

从表2中，我们对比不同提前期变化程度下的库存成本利润率，我们可以更为直观的看出在提前期的不确定情况下，当提前期波动较大时，库存成本利润率相对较高，此时在考虑库存决策时，通过增加再订购点R来平衡波动，此现象在不同提前期变量之间更为显著。通常的解决办法是各节点供应链企业加强信息沟通，削弱提前期的影响率。

5结论与展望

在强调供应链增值的时代，能否制定最优库存决策，成为企业与企业间竞争的筹码之一。良好的库存的控制可以大大增加企业收益，同时也更好地缩短供应链系统的整体周期，满足供应链时间竞争的要求。在以上对比研究中，我们发现提前期的改变对利润和库存优化具有的深远影响。因此，企业在考虑优化库存时，适当采取措施削弱提前期的影响力度。各供应链节点企业间通过建立战略联盟，实现信息合理共享，这样做不仅可以优化时间，还可以削弱“蝴蝶效应”。基于当前供应链管理环境下，库存的优化不再是仅仅考虑需求随机时的订货模型，[5]逐渐地库存优化过程中考虑的因素扩展到时间、服务水平、周转率等其他影响因素，一些文献在研究提前期时增加了服务水平因素，更好的考虑了缺货量的影响因素。这里，只考虑所有缺货均补上的情况，未对缺货时顾客的满意度进行研究。但随着市场的不断发展，市场的竞争必然会涉及到服务水平的评价，因此以后的研究重点将放在延迟需求和顾客服务水平对库存决策的影响。

参考文献：

[1]蒋志明，时明荣.基于随机需求、随机提前期的（Q、R）库存模型[J].科技和产业，2012（11）.

[2]陈鋩，龚存宇.可控前置时间的连续盘点联合库存策略研究[J].计算机工程与应用，2012（31）.

[3][美]保罗·齐普金[著]，马常松[译].库存管理基础[M].中国财政经济出版社，2013年6月第1版.

[4]王学民.应用多元分析[M].上海财经大学出版社，2009年8月第3版.

[5]马士华，林勇.基于随机提前期的（Q，r）库存模型[J].计算机集成制造系统，2002年5月第5期.endprint

Q=■ （14）

■f（xL）dxL=■ （15）

4 供应链库存优化与决策

紧接着，对于上述所建（一）、（二）模型的可行性，我们进行如下分析验证。

我们应用下述迭代方法对式（11）、（12）、（14）和（15）进行求最优解上述方程组，具体操作如下所示：

步骤1 取Q1为EOQ模型[3]下的最佳订货批量，即Q1=■；

步骤2 令Q=Q1代入式（12）或（15）中，求出R1；

步骤3 令R=R1代入式（11）或（14）中，求出Q2；

步骤4 再令Q=Q2代入式（12）或（15）中，重复步骤2和步骤3，迭代到收敛为止，求出最优订货点R*和最佳订货量Q*。

首先进行前提假定：■=780件/年，h=20元/件，k=200元/订单，b=50元/件，p=120元/件，M=8000元，一年以52周计算，？滋D=15件/周，σD=7件/周。

4.1 基于模型（一）检验库存优化决策的可行性

这里我们基于前提假定，研究提前期分别固定为3周和6周时，根据式（12）与（13）进行计算比较库存决策优化的有效性，结果如表1所示：

表1 基于模型（一）检验库存优化决策的可行性

■

从表1中我们可以看出，若在提前期相同情况下，企业如果单方面增大订货量或再订购点对库存成本和总利润都有影响，其中，订货量与再订购点的改变都会增加库存成本，降低总的利润。在考虑到缺货成本后，采用模型（一）可以很好地均衡Q和R，找到式（8）的最大值时，最佳的订货点R和订货量Q*，此时，总库存成本最小，总利润最大。其中，库存成本利润率为库存成本与总利润的比值。

4.2 基于模型（二）研究提前期变化时对库存决策的影响。

基于前提假定，我们新增假定：以下研究的提前期变量均服从密度函数为V（L），分布函数为V（L）的正态分布，其中：第一组提前期的均值同为？滋L=3周时，研究提前期均标准差分别为σ■=0.5，σ■=2时对库存优化决策的影响；第二组提前期的均标准差均为σ■=2时，研究提前期均值分别为？滋L=3周，？滋L=6周时对库存优化决策的影响。根据式（15）与（16）进行计算比较，结果如表2所示：

表2 基于模型（二）随机提前期对库存决策影响

■

从表2中，我们对比不同提前期变化程度下的库存成本利润率，我们可以更为直观的看出在提前期的不确定情况下，当提前期波动较大时，库存成本利润率相对较高，此时在考虑库存决策时，通过增加再订购点R来平衡波动，此现象在不同提前期变量之间更为显著。通常的解决办法是各节点供应链企业加强信息沟通，削弱提前期的影响率。

5结论与展望

在强调供应链增值的时代，能否制定最优库存决策，成为企业与企业间竞争的筹码之一。良好的库存的控制可以大大增加企业收益，同时也更好地缩短供应链系统的整体周期，满足供应链时间竞争的要求。在以上对比研究中，我们发现提前期的改变对利润和库存优化具有的深远影响。因此，企业在考虑优化库存时，适当采取措施削弱提前期的影响力度。各供应链节点企业间通过建立战略联盟，实现信息合理共享，这样做不仅可以优化时间，还可以削弱“蝴蝶效应”。基于当前供应链管理环境下，库存的优化不再是仅仅考虑需求随机时的订货模型，[5]逐渐地库存优化过程中考虑的因素扩展到时间、服务水平、周转率等其他影响因素，一些文献在研究提前期时增加了服务水平因素，更好的考虑了缺货量的影响因素。这里，只考虑所有缺货均补上的情况，未对缺货时顾客的满意度进行研究。但随着市场的不断发展，市场的竞争必然会涉及到服务水平的评价，因此以后的研究重点将放在延迟需求和顾客服务水平对库存决策的影响。

参考文献：

[1]蒋志明，时明荣.基于随机需求、随机提前期的（Q、R）库存模型[J].科技和产业，2012（11）.

[2]陈鋩，龚存宇.可控前置时间的连续盘点联合库存策略研究[J].计算机工程与应用，2012（31）.

[3][美]保罗·齐普金[著]，马常松[译].库存管理基础[M].中国财政经济出版社，2013年6月第1版.

[4]王学民.应用多元分析[M].上海财经大学出版社，2009年8月第3版.

时变需求情形下供应链库存决策研究 第3篇

在许多供应链随机库存模型中假设需求是平稳的, 即需求无时变性。当需求具有时变性时, 库存策略会发生明显变化。在需求平稳的情形下库存决策与时间无关, 如在基本库存补货模式下, 各期基本库存水平相同;而当需求时变时, 库存决策与时间相关, 如基本库存水平就随时间变化, 主要是因为基本库存水平与需求量有关, 而需求量又随时间变化。尽管有些文献对时变需求环境下的库存问题进行了研究[1,2,3], 但只考虑单个企业的库存, 没有涉及两个企业之间的相互关系, 从供应链角度研究时变需求环境下库存问题很少。此外, 在需求具有时变性的情形下, 等周期补货模式会造成各周期的需求量会发生明显的变化。各期需求量的不平稳使得供需双方的库存成本居高不下。尽管在等周期补货模式下基本库存水平优化能够降低供应链的库存成本, 但由于受到等周期补货的约束, 成本下降幅度十分有限。其主要原因是各补货期平均需求量不能得到充分的调整。笔者在文[4]中对确定性时变需求环境下非等周期补货的供应链库存决策问题作了研究, 在文[5]中对随机时变需求和等周期补货情形下供应链库存决策问题做了研究。那么, 在随机时变需求和非等周期补货情形下供应链库存决策如何优化, 库存决策优化对供需双方的库存成本又产生什么影响, 对此, 本文将进一步作深入研究。

2 模型假设

(1) 零售商单位时间内需求量X (t) 服从正态分布N (μ (t) , σ2 (t) ) , 均值和标准差分别为μ (t) =a+bt, σ (t) = (1/r) (a+bt) ;

(2) 由于需求随时间而变化, 各补货周期的库存成本与时间有密切关系, 因而库存成本绩效的评价不能仅仅限于一个补货周期, 应该在一个计划期内进行考察。所以, 本文的库存系统均是在计划期跨度H内构建的。

(3) 零售商补货次数为n, 每次补货的补货时点分别为T1, T2, , Ti, , Tn, 其中T1=0, 计划期末为Tn+1=H, 其中i为零售商的补货期数。批发商的补货次数为m, 每次补货的补货时点分别为Tk1, Tk2, , Tkj, , Tkm, kj为批发商的补货需求期数, 即批发商第j期补货时零售商的补货期数。所以, 批发商在零售商第kj期补货时进行其第j期补货。

(4) 零售商和批发商均采取基本库存 (Base Stock) 补货模式, 即每期期末检查库存位置 (Inventory Position) , 根据当前的库存位置与基本库存水平 (Base Inventory level) 的差额进行补货, 使库存位置达到基本库存水平S。这里的库存位置是指未到定货加持有库存减待补订货。所有未满足的订货按照先进先出的原则在后续各期中补足[6]。用Sr, i表示零售商在其第i个补货期初的基本库存水平, Sw, j表示批发商在其第j个补货期初的基本库存水平。

(5) 当零售商的顾客需求量超过其库存持有量时, 缺货发生, 需求量由后续补货来满足, 但在最后一期不允许缺货。单位时间内单位存货持有成本为hr, 单位时间内单位缺货惩罚成本为pr。若批发商没有足够的存货满足零售商的订货量, 批发商花费更高的成本从替代供应源获取一定数量的产品以满足对零售商的订货。假设单位时间内单位持有成本为hw, 单位时间内单位缺货成本为pw。

3 基本库存水平优化

3.1 零售商基本库存水平局部优化

为了得到零售商各周期的库存成本, 笔者首先考察零售商在第i期内t时刻库存状况 (见图1) 。由于第t个单位时间内需求量为X (t) , 所以从第i期初Ti到t时刻的需求量为$\text{Y}{}_{\text{i}}(\text{t})={\displaystyle \sum _{\text{u}=\text{Τ}{}_{\text{i}}}^{\text{t}}\text{X}}(\text{u})$。而X (u) 是服从正态分布的, 所以Yi (t) 也服从正态分布。为了更准确地反映顾客需求的变化, 及时响应顾客需求, 需求的单位时间长度应该取得比较小。因此, 时间变量t可看成连续变量, 所以有Yi (t) ≈∫${}_{\text{Τ}{}_{\text{i}}}^{\text{t}}$X (u) du, 其均值为μYi (t) =∫${}_{\text{Τ}{}_{\text{i}}}^{\text{t}}$μ (u) du, 方差为σ${}_{\text{Y}{}_{\text{i}}(\text{t})}^2$=∫${}_{\text{Τ}{}_{\text{i}}}^{\text{t}}$σ2 (u) du。

当零售商期初到时刻t的需求量低于期初的基本库存水平, 即Yi (t) <Sr, i, 此时零售商在第i期的t时刻将存在持有库存, 持有库存量为Sr, i-Yi (t) ;当零售商期初到时刻t的需求量超过期初的基本库存水平, 即Yi (t) >Sr, i, 零售商在第i期的t时刻将会缺货, 缺货量为Yi (t) -Sr, i。由于Yi (t) 是随机变量, 因而持有库存量和缺货量均是随机的, 为此, 取其期望值得到零售商在第i期内t时刻的平均持有库存量和缺货量 (待补订货) [7]:

E (Sr, i-Yi (t) ) +=∫Sr, i (Sr, i-y) fYi (t) (y) dy (1)

和E (Yi (t) -Sr, i) +=∫${}_{\text{S}{}_{\text{r}‚\text{i}}}^{+\infty }$ (y-Sr, i) fYi (t) (y) dy (2)

其中x+=max{x, 0}, fYi (t) (y) 为Yi (t) 的正态分布密度函数。

所以, 零售商第i期内的平均库存成本为

ICr, i=∫${}_{\text{Τ}{}_{\text{i}}}^{\text{Τ}{}_{\text{i}+1}}$hrE (Sr, i-Yi (t) ) +dt+∫${}_{\text{Τ}{}_{\text{i}}}^{\text{Τ}{}_{\text{i}+1}}$prE (Yi (t) -Sr, i) +dt=hr∫${}_0^{\text{S}{}_{\text{r}‚\text{i}}}$ (Sr, i-y) Gi (y) dy+pr∫${}_{\text{S}{}_{\text{r}‚\text{i}}}^{+\infty }$ (y-Sr, i) Gi (y) dy (3)

其中Gi (y) =∫${}_{\text{Τ}{}_{\text{i}}}^{\text{Τ}{}_{\text{i}+1}}$fYi (t) (y) dt。

由此得到零售商在整个计划期内的库存成本:

$\text{Ι}\text{C}{}_{\text{r}}=\text{h}{}_{\text{r}}{\displaystyle \sum _{\text{i}=1}^{\text{n}}{\displaystyle {\int }_0^{\text{S}{}_{\text{r}‚\text{i}}}(}}\text{S}{}_{\text{r}‚\text{i}}-\text{y})\text{G}{}_{\text{i}}(\text{y})\text{d}\text{y}+\text{p}{}_{\text{r}}{\displaystyle \sum _{\text{i}=1}^{\text{n}}{\displaystyle {\int }_{\text{S}{}_{\text{r}‚\text{i}}}^{+\infty }(}}\text{y}-\text{S}{}_{\text{r}‚\text{i}})\text{G}{}_{\text{i}}(\text{y})$dy (4)

(4) 式第一项是零售商在计划期内总持有成本, 第二项是零售商在计划期内总缺货惩罚成本。

将 (4) 式关于Sr, i求导, 并令导数等于零得:

$\frac{1}{(\text{Τ}{}_{\text{i}+1}-\text{Τ}{}_{\text{i}})}{\displaystyle {\int }_{\text{Τ}{}_{\text{i}}}^{\text{Τ}{}_{\text{i}+1}}\text{Φ}}(\frac{\text{S}{}_{\text{r}‚\text{i}}-\text{u}{}_{\text{Y}{}_{\text{i}}(\text{t})}}{\text{σ}{}_{\text{Y}{}_{\text{i}}(\text{t})}})\text{d}\text{t}=\text{p}{}_{\text{r}}/(\text{h}{}_{\text{r}}+\text{p}{}_{\text{r}})$ (5)

其中Φ () 是标准正态分布函数。

由方程 (5) 可求得零售商最优的基本库存水平Sr, i。

3.2 批发商的基本库存水平局部优化

由于零售商的订货量 (即批发商所面对的需求量) 影响批发商的库存, 所以首先必须分析零售商的订货量。假设零售商在第i期的订货量为Qi。在第i期初且补货前的库存位置是前一期 (i-1期) 期初的基本库存水平减去前一期的需求量 (记为Di-1) , 即为 (Sr, i-1-Di-1) 。根据基本库存补货策略, 零售商的第i期订货量是该期的基本库存水平与补货前的库存位置之差[8], 即

Qi=Sr, i- (Sr, i-1-Di-1) =Sr, i-Sr, i-1+Di-1 (6)

Qi的均值为μQi=Sr, i-Sr, i-1+∫${}_{\text{Τ}{}_{\text{i}-1}}^{\text{Τ}{}_{\text{i}}}$μ (t) dt方差为σ${}_{\text{Q}{}_{\text{i}}}^2$=∫${}_{\text{Τ}{}_{\text{i}-1}}^{\text{Τ}{}_{\text{i}}}$σ2 (t) dt。由 (6) 式不难看出, 零售商的订货量是随机的, 它受随机需求量Di-1的影响。

首先考察批发商在其第j个补货周期内零售商第i期需求时的库存。批发商库存状况见图2。批发商在第j期初到零售商第i期需求时的需求量 (记为Zj (i) ) 是零售商在该时段内订货量的和, 即$\text{Ζ}{}_{\text{j}}(\text{i})={\displaystyle \sum _{\text{v}=\text{k}{}_{\text{j}}}^{\text{i}}\text{Q}}{}_{\text{v}}$, 它服从正态分布, 其均值和方差分别为

μZj (i) =Sr, i-Sr, kj-1+μj, i (7)

和

σ${}_{\text{Ζ}{}_{\text{j}}(\text{i})}^2$=σ${}_{\text{j}‚\text{i}}^2$ (8)

其中μj, i=∫${}_{\text{Τ}{}_{\text{k}{}_{\text{j}}-1}}^{\text{Τ}{}_{\text{i}}}$μ (t) dt, σ${}_{\text{j}‚\text{i}}^2$=∫${}_{\text{Τ}{}_{\text{k}{}_{\text{j}}}-1}^{\text{Τ}{}_{\text{i}}}$σ2 (t) dt。

当Zj (i) <Sw, j时, 批发商在第i期需求时存在持有库存, 库存量为Sw, j-Zj (i) ;当Zj (i) >Sw, j时, 批发商在第i期需求时缺货, 缺货量为Zj (i) -Sw, j。将库存量和缺货量分别取期望得批发商在第i期需求时的平均持有库存及缺货量:

E (Sw, j-Zj (i) ) +=∫${}_0^{\text{S}{}_{\text{w}‚\text{j}}}$ (Sw, j-z) fZj (i) (z) dz (9)

E (Zj (i) -Sw, j) +=∫${}_{\text{S}{}_{\text{w}‚\text{j}}}^{+\infty }$ (z-Sw, j) fZj (i) (z) dz (10)

批发商第j (1j<m) 期的库存成本为:

$\text{Ι}\text{C}{}_{\text{w}‚\text{j}}={\displaystyle \sum _{\text{i}=\text{k}{}_{\text{j}}}^{\text{k}{}_{\text{j}+1}-1}\text{h}}{}_{\text{w}}(\text{Τ}{}_{\text{i}+1}-\text{Τ}{}_{\text{i}})\text{E}(\text{S}{}_{\text{w}‚\text{j}}-\text{Ζ}{}_{\text{j}}(\text{i})){}^{+}{\displaystyle \sum _{\text{i}=\text{k}{}_{\text{j}}}^{\text{k}{}_{\text{j}+1}-1}\text{p}}{}_{\text{w}}(\text{Τ}{}_{\text{i}+1}-\text{Τ}{}_{\text{i}})\text{E}(\text{Ζ}{}_{\text{j}(\text{i})}-\text{S}{}_{\text{w}‚\text{j}}){}^{+}=\text{h}{}_{\text{w}}{\displaystyle {\int }_0^{\text{S}{}_{\text{w}‚\text{j}}}(}\text{S}{}_{\text{w}‚\text{j}}-\text{z})\text{Η}{}_{\text{j}}(\text{z})\text{d}\text{z}+\text{p}{}_{\text{w}}{\displaystyle {\int }_{\text{S}{}_{\text{w}‚\text{j}}}^{+\infty }(}\text{z}-\text{S}{}_{\text{w}‚\text{j}})\text{Η}{}_{\text{j}}(\text{z})$dz (11)

其中$\text{Η}{}_{\text{j}}(\text{z})={\displaystyle \sum _{\text{i}=\text{k}{}_{\text{j}}}^{\text{k}{}_{\text{j}+1}-1}(}\text{Τ}{}_{\text{i}+1}-\text{Τ}{}_{\text{i}})\text{f}{}_{\text{Ζ}{}_{\text{j}}(\text{i})}(\text{z})‚\text{f}{}_{\text{Ζ}{}_{\text{j}}(\text{i})}(\text{z})$为zj (i) 的密度函数。

所以批发商在计划期H内的库存成本为

$\text{Ι}\text{C}{}_{\text{w}}={\displaystyle \sum _{\text{j}=1}^{\text{m}}\text{Ι}}\text{C}{}_{\text{w}‚\text{j}}=\text{h}{}_{\text{w}}{\displaystyle \sum _{\text{j}=1}^{\text{m}}{\displaystyle {\int }_0^{\text{S}{}_{\text{w}‚\text{j}}}(}}\text{S}{}_{\text{w}‚\text{j}}-\text{z})\text{Η}{}_{\text{j}}(\text{z})\text{d}\text{z}+\text{p}{}_{\text{w}}{\displaystyle \sum _{\text{j}=1}^{\text{m}}{\displaystyle {\int }_{\text{S}{}_{\text{w}‚\text{j}}}^{+\infty }(}}\text{z}-\text{S}{}_{\text{w}‚\text{j}})\text{Η}{}_{\text{j}}(\text{z})$dz (12)

将 (12) 式关于Sw, j求导并令导数等于零得:

$\frac{1}{(\text{Τ}{}_{\text{k}{}_{\text{j}+1}}-\text{Τ}{}_{\text{k}{}_{\text{j}}})}{\displaystyle \sum _{\text{i}=\text{k}{}_{\text{j}}}^{\text{k}{}_{\text{j}+1}-1}(}\text{Τ}{}_{\text{i}+1}-\text{Τ}{}_{\text{i}})\text{Φ}(\frac{\text{S}{}_{\text{w}‚\text{j}}-\text{μ}{}_{\text{Ζ}{}_{\text{j}}(\text{i})}}{\text{σ}{}_{\text{Ζ}{}_{\text{j}}(\text{i})}})=\text{p}{}_{\text{w}}/(\text{h}{}_{\text{w}}+\text{p}{}_{\text{w}})$ (13)

由方程 (13) 可求得批发商的基本库存水平Sw, j。

3.3 基本库存水平整体优化

将 (1) 和 (2) 相加得批发商与零售商的总的库存成本:

$\text{Ι}\text{C}=\text{h}{}_{\text{r}}{\displaystyle \sum _{\text{i}=1}^{\text{n}}{\displaystyle {\int }_0^{\text{S}{}_{\text{r}‚\text{i}}}(}}\text{S}{}_{\text{r}‚\text{i}}-\text{y})\text{G}{}_{\text{i}}(\text{y})\text{d}\text{y}+\text{p}{}_{\text{r}}{\displaystyle \sum _{\text{i}=1}^{\text{n}}{\displaystyle {\int }_{\text{S}{}_{\text{r}‚\text{i}}}^{+\infty }(}}\text{y}-\text{S}{}_{\text{r}‚\text{i}})\text{G}{}_{\text{i}}(\text{y})\text{d}\text{y}+\text{h}{}_{\text{w}}{\displaystyle \sum _{\text{j}=1}^{\text{m}}{\displaystyle {\int }_0^{\text{S}{}_{\text{w},\text{j}}}(}}\text{S}{}_{\text{w},\text{j}}-\text{z})\text{Η}{}_{\text{j}}(\text{z})\text{d}\text{z}+\text{p}{}_{\text{w}}{\displaystyle \sum _{\text{j}=1}^{\text{m}}{\displaystyle {\int }_{\text{S}{}_{\text{w},\text{j}}}^{+\infty }(}}\text{z}-\text{S}{}_{\text{w},\text{j}})\text{Η}{}_{\text{j}}(\text{z})$dz (14)

将 (14) 式关于Sr, i求导, 并令导数等于零得:

$(\text{h}{}_{\text{r}}+\text{p}{}_{\text{r}}){\displaystyle {\int }_{\text{Τ}{}_{\text{i}}}^{\text{Τ}{}_{\text{i}+1}}\text{Φ}}(\frac{\text{S}{}_{\text{r}‚\text{i}}-\text{μ}{}_{\text{Y}{}_{\text{i}}(\text{t})}}{\text{σ}{}_{\text{Y}{}_{\text{i}}(\text{t})}})\text{d}\text{t}-\text{p}{}_{\text{r}}(\text{Τ}{}_{\text{i}+1}-\text{Τ}{}_{\text{i}})=[(\text{h}{}_{\text{w}}+\text{p}{}_{\text{w}})\text{Φ}(\frac{\text{S}{}_{\text{w}‚\text{j}}-\text{μ}{}_{\text{Ζ}{}_{\text{j}}(\text{i})}}{\text{σ}{}_{\text{Ζ}{}_{\text{j}}(\text{i})}})-\text{p}{}_{\text{w}}](\text{Τ}{}_{\text{i}+1}-\text{Τ}{}_{\text{i}})\text{k}{}_{\text{j}}\text{i}\text{k}{}_{\text{j}+1}-1‚1\text{j}\text{m}$ (15)

将 (15) 和 (13) 联立求解可得零售商与批发商的整体优化的基本库存水平。

4 算例分析

在非等周期补货模式下基本库存水平的优化依赖于补货时点的选择。因此, 补货时点优化是基本库存水平优化的前提。补货时点优化模式不同, 基本库存水平优化结果也不同。由于在随机需求情形下库存成本比较复杂, 对补货时点作精确优化十分困难。笔者提出确定性等价近似优化法:不考虑需求的波动性, 基于平均需求量对补货时点近似优化。这里所谈到的近似优化方法就是将平均需求量看成确定性需求, 而基于确定性需求的补货时点的优化已在文[4]中做了研究, 因而完全可以利用该文的结果。尽管补货时点近似优化没有反映需求的波动性, 但基本库存水平优化却充分考虑了需求波动性的影响。

4.1 基本库存水平局部优化

为了与等周期补货模式下的优化结果进行比较, 本部分的参数取值与文[5]中等周期补货情形下的假设相同。计算过程如下:将文[4]中的 (18) 式确定性需求d (t) 换成平均需求μ (t) , 然后基于该公式计算零售商的局部优化补货时点 (确定性等价近似优化) , 并通过搜索找到最优的批发商补货时需求期数, 然后利用 (5) 式和 (13) 式得零售商与批发商的局部优化基本库存水平。

设参数取值如下:H=100, a=10, b=2, hr=0.2, pr=0.8, hw=0.15, pw=0.3, r=3, n=10, m=4。根据本文模型计算得到表1中的结果, 其中等周期补货模式下的优化结果来自于文[5]中表1。

从图1和图2可看出, 在非等周期补货模式下供需双方的库存成本曲线变得更加平缓, 即各期的基本库存水平的变化大大缩小, 需求的时变性对库存的影响被弱化。这意味着非等周期补货通过调整各补货时点间隔时间, 缩小各期需求的变动幅度, 使得各期的基本库存水平更加平稳。

从成本绩效来看, 非等周期补货使零售商的库存成本大大降低。由表1中的成本数据, 与等周期补货相比, 零售商库存成本下降了1388.2, 下降比率为14.7%。由此看来, 对于零售商而言, 非等周期补货模式在降低库存成本方面十分明显。但非等周期补货会增加批发商库存成本, 因为在有替代供应源的情形下, 零售商处于优势地位。由于批发商利用替代供应源完全满足了零售商的订货, 因而零售商的补货时点不受批发商的补货决策的影响, 而批发商的补货时点依赖于零售商的补货时点。当零售商局部优化其补货时点时, 尽管会降低其自身的库存成本, 但对批发商可能带来不利影响。由表1中的数据, 非等周期补货使得批发商库存成本增加了4.2%。从供应链角度来看, 非等周期补货使供应链库存成本下降了3.6%。所以, 优化零售商的补货时点对于降低零售商的库存成本非常有效, 但对整个供应链效果不是很明显。不过, 当供需双方补货次数相同时, 即供方采取一对一补货, 批发商的库存主要由需求波动性决定, 与平均需求量无关, 此时批发商成本很小, 供应链库存成本主要是零售商的库存成本, 所以零售商库存成本下降幅度与供应链库存成本下降幅度比较接近。在这种情况下非等周期补货对整个供应链来说也是具有成本效益的。

4.2 基本库存水平整体优化

本部分的参数取值与基本库存水平局部优化部分相同。计算过程如下:基于文[4]中的 (18) 式计算零售商的局部优化补货时点, 并通过搜索找到最优的批发商补货需求期数, 然后利用 (15) 式和 (13) 式求得零售商与批发商的整体优化的基本库存水平。计算结果见表2。根据表2和图3, 图4, 在两种优化模式下, 零售商的基本库存水平存在明显差异。局部优化的零售商基本库存水平比较平缓, 并且几乎随时间推移而增加 (最后一期除外) 。在整体优化情形下, 零售商基本库存水平变化幅度相当大, 并且围绕局部优化基本库存水平上下波动。对批发商而言, 整体优化后基本库存水平接近一根直线, 即几乎线性增加, 上下波动幅度较小。

从库存成本数据来看, 整体优化后零售商库存成本增加了2450.1, 而批发商的库存成本下降了4709.5, 批发商库存成本的下降幅度超过零售商库存成本的增加幅度, 所以供应链库存成本下降了2260.0, 下降比率为10.3%。将非等周期基本库存水平整体优化与等周期补货基本库存水平局部优化比较, 供应链库存成本下降了13.5%。因此, 在时变需求环境下, 基于非等周期补货时点的基本库存水平整体优化明显改善供应链的成本绩效。所以, 在时变需求环境下, 非等周期补货优于等周期补货, 基本库存水平整体优化优于基本库存水平局部优化。

5 结 论

由于需求时变性和等周期补货的局限性, 本文提出非等周期基本库存补货模式, 研究了随机时变需求环境下非等周期补货的基本库存水平和补货时点优化问题, 通过模型推导得到基本库存水平局部优化与整体优化方程, 并利用确定性等价优化法对补货时点进行优化。通过算例分析得到如下主要结论:在随机时变需求环境下, 非等周期补货优于等周期补货, 基本库存水平整体优化优于基本库存水平局部优化。

摘要：由于需求的时变性, 等周期补货造成各期需求量变化幅度很大, 各补货期的库存极不均衡, 等周期补货模式没有充分考虑需求时变性对库存的影响。为此, 本文研究了随机时变需求环境下非等周期补货模式的供应链库存决策问题。本文首先通过模型推导得到非等周期补货模式下基本库存水平局部优化方程, 然后在供需双方合作的情形下对基本库存水平整体优化, 得到整体优化方程, 同时采取确定性等价近似优化法对补货时点进行优化。最后, 通过算例分析得到如下主要结论:在随机时变需求环境下, 非等周期补货优于等周期补货, 基本库存水平整体优化优于基本库存水平局部优化。

关键词：时变需求,非等周期补货,供应链,库存决策

参考文献

[1].S.Kar, A.K.Bhunia, M.Maiti.Deterministic InventoryModel with Two Levels of Storage, a Linear Trend in Demandand a Fixed Time Horizon[J].International Journal on Produc-tion Economics, 2001, 28 (2) :1315~1331

[2].B.R.Sarker, G.R.Parija.An optimal Batch Size for aProduction System Operating under a Fixed-quantity, PeriodicDelivery Policy[J].Journal of the Operational Research Soci-ety, 1994, 45 (8) :891~900

[3].A.Onegoro, R.Bhaba, Sarker.Determining Manufac-turing Batch Sizes for a Lumpy Delivery System with Trend De-mand[J].International Journal on Production Economics, 2002, 77:131~143

[4].柳键.基于时变需求的一对一供应链库存决策研究[J].管理科学学报, 2006, 9 (1) :38~46

[5].柳键.基于时变需求的供应链基本库存水平优化研究[J].管理工程学报, 2006, 20 (4) :146~148

[6].P.C.Cerard, F.Marshall.Supply Chain Inventory Man-agement and the Value of Shared Information[J].ManagementScience, 2000, 46 (8) :1032~1048

[7].E.hebbi, J.M, P.Morton, A Lost-sales Continuous-review Inventory System with Emergency Ordering[J].Int.JProduction Economics, 1999.58 (1) :93~112

库存决策 第4篇

在大型炼油企业中,不论是采购的原油还是生产出来的成品油,都必须存储到仓储设备里。库存能力对炼油企业生产计划有着重要影响。如果库存能力过低,会严重制约企业的生产活动,进而降低企业的效益;提高库存能力则需要追加大量的投资,如果库存能力过高,会造成仓储设备的闲置。如何科学合理地确定库存能力对炼油企业至为重要。另一方面,在一定的库存能力约束下,成品油定价的高低对生产计划和利润也有着重要影响。可见,合理地协调库存能力决策和定价决策,可以节约资源,提高企业的经营效益。

考虑库存能力约束的批量问题研究可以分为两类:一类是研究产品到达后,先满足当前周期的需求,剩余产品再进入仓库,例如Love研究了生产费用和库存费用都是分段凹函数的库存能力受限批量问题,提出了时间复杂度为O(T3)的动态规划算法[1];Chu等研究了生产费用是线性函数、库存费用和需求延迟费用是凹函数的库存能力受限的批量问题,提出了时间复杂度为O(T2)的动态规划算法[2]。另一类是研究产品到达后,先进入仓库再满足各周期的需求,例如Gutierrez等针对生产、库存费用是凹函数情形,研究了库存能力为常数的批量问题,提出了时间复杂度为O(T3)的动态规划算法[3];Gutierrez等研究了允许需求延迟且库存能力时变的批量问题,提出了时间复杂度为O(T3)的动态规划算法[4];针对生产、库存费用函数是线性的库存能力受限批量问题,Gutierrez等提出了时间复杂度为O(TlogT)的贪婪算法[5],Sedeno-Noda等提出了时间复杂度为O(TlogT)的动态规划算法[6]。

上述研究成果认为需求是外在的、不可控制的, 定价决策和生产决策由企业完全不同的职能部门负责的。 一般地,市场营销部门制定价格,市场对此价格作出反应,产生一定水平的需求。生产(或采购)部门根据市场需求进行批量决策,使得总成本最小化。这种分散决策方式缺乏有效的机制来协调生产/订购决策、库存决策和定价决策,往往不能使企业效益最佳。联合决策机制同时考虑定价决策和批量决策,可以有效克服分散决策机制的缺点,提高企业生产经营的柔性和稳定性,提高企业市场竞争力。

本文针对非减库存能力约束情形,运用联合决策机制研究批量决策与定价决策的协调问题,提出基于动态规划的精确算法,该算法时间复杂度为O(T3)。

1 数学模型

本文中各周期的需求量与价格是一一对应的关系。因此,需求量和价格是等价的概念,可以交互使用。为了利用需求与库存能力之间的关系,便于求解模型,本文以各周期的需求量为决策变量,价格是需求量的函数。

符号说明如下:

T:计划期内的周期数;

OCt:第t周期固定生产费用;

vt:第t周期单位产品变动生产费用;

ht:第t周期单位产品存贮费用;

It:第t周期末的库存量;

St:第t周期的库存能力,本文假设库存能力是非减的,即S1S2ST;

Rt:第t周期产品的需求量;

Pt(Rt)=αt-βtRt:第t周期的产品销售价格,价格是需求的函数;

xt:第t周期的生产量;

yt:是一个二进制变量,第t周期如果进行生产,则取值为1,否则取值为0。

下面给出问题的数学模型。

模型1:

$\begin{array}{l}\max {\displaystyle \sum _{t=1}^{{\rm T}}(}{\rm P}{}_t(R{}_t)R{}_t-({\rm O}C{}_{t}y{}_t+v{}_{t}x{}_t+h{}_t{\rm I}{}_t))(1)\\ {\rm I}{}_{t-1}+x{}_t=R{}_t+{\rm I}{}_t‚t=1,\cdots ,{\rm T}(2)\\ 0{\rm I}{}_{t}S{}_t‚t=1,\cdots ,{\rm T}(3)\\ 0x{}_{t}y{}_t(S{}_t+R{}_t)‚t=1,\cdots ,{\rm T}(4)\\ y{}_t\in \{0,1\}‚t=1,\cdots ,{\rm T}(5)\\ 0R{}_t\frac{\alpha {}_t}{\beta {}_t}‚t=1,\cdots ,{\rm T}(6)\\ {\rm I}{}_0={\rm I}{}_{{\rm T}}=0(7)\end{array}$

目标函数(1)是企业的总利润;约束条件(2)表示库存量、生产量和需求量间的关系;约束条件(3)要求各周期库存量不超过库存能力;约束条件(4)是生产量约束;约束条件(5)规定yt是二进制变量;约束条件(6)要求每周期的需求量和价格是非负的;为简便起见,约束条件(7),要求计划期期初和期末的库存量都为零。

2 相关的定义和定理

X(R)表示需求向量为R时的生产计划,其中R={R1,R2,,RT}。

定义1 如果It=0或St,称周期t为再生点;如果xt>0,则称周期t为生产点。

定义2 如果Sab(1abT)表示可行生产计划X(R)的一个子集,且Sab={xi,i=a,,b|周期a-1和周期b是再生点,且0<Ii<Si,ai<b},则称Sab为子生产计划。求解子生产计划的最优化问题称为子问题(a,b)。

定理1 存在最优解X(R),具有下面的特征:任意两个连续的生产点之间,至少有一个再生点;换句话说,任意两个连续的再生点之间,至多有一个生产点。

证明 反证法,假设X(1)(R)是最优解,t0和t1是该最优解两个连续生产点,且0<Ii<Si(i=t0,t0+1,,t1-1),即最优解X(1)(R)存在两个连续生产点t0和t1,它们之间没有再生点。分以下三种情形进行证明:$v{}_{t{}^0}+{\displaystyle \sum _{i=t{}^0}^{t{}^1}h}{}_i<v{}_{t{}^1}‚v{}_{t{}^0}+{\displaystyle \sum _{i=t{}^0}^{t{}^1}h}{}_i>v{}_{t{}^1}‚v{}_{t{}^0}+{\displaystyle \sum _{i=t{}^0}^{t{}^1}h}{}_i=v{}_{t{}^1}$.

情形一:$v{}_{t{}^0}+{\displaystyle \sum _{i=t{}^0}^{t{}^1}h}{}_i<v{}_{t{}^1}$.

令A=min{Si-Ii|t0i<t1}。根据假设, 对于周期i(t0i<t1), 不等式0<Ii<Si成立, 因而A>0。把最优解X(1)(R)在周期t1的生产量减少min{xt1,A}, 周期t0的生产量增加min{xt1,A}, 从而得到一个新的可行解X(2)(R)。X(2)(R)和X(1)(R)在各周期的需求与价格是相等的,即两者的总收益是相等的,而前者的总成本小于后者的总成本,因此前者的利润大于后者的利润。这与假设X(1)(R)是最优解相矛盾。因此命题成立。

情形二:$v{}_{t{}^0}+{\displaystyle \sum _{i=t{}^0}^{t{}^1}h}{}_i>v{}_{t{}^1}$.

令A=min{Ii|t0i<t1}。根据假设, 对于周期i(t0i<t1), 不等式0<Ii<Si成立, 因而A>0。把最优解X(1)(R)在周期t0的生产量减少min{xt0,A},周期t1的生产量增加min{xt0,A},从而得到一个新的可行解X(3)(R),且优于X(1)(R)。与假设X(1)(R)是最优解相矛盾。因此命题成立。

情形三:$v{}_{t{}^0}+{\displaystyle \sum _{i=t{}^0}^{t{}^1}h}{}_i=v{}_{t{}^1}$.

令A=min{Si-Ii|t0i<t1},γ=min{i| Si-Ii=A,t0i<t1}。根据假设,对于周期i(t0i<t1),不等式0<Ii<Si成立,因而A>0。把最优解X(1)(R)在周期t1的生产量减少min{xt1,A},周期t0的生产量增加min{xt1,A},从而得到一个新的可行解X(4)(R)。X(4)(R)和X(1)(R)的利润相等,因此X(4)(R)也是最优解,且Iγ=Sγ. 因此命题成立。定理1证明完毕。

3 算法

根据定理1,模型1存在最优生产计划,它由若干个子生产计划构成。因此,算法的求解思路是:先求解所有可能的子问题,然后运用动态规划法求得子问题的最优组合,从而得到原问题的最优解。

3.1 子问题的求解方法

下面以子问题(a,b)(1abT)为例。令(a,b,δva-1,δwb)表示对于子问题(a,b), Ia-1=δva-1,周期b的库存量是δwb,其中v(或w)取值为0或1,δ1t=St,δ0t=0。令E(a,b,δva-1,δwb)表示子问题(a,b)在(a,b,δva-1,δwb)时,从周期a初到周期b末的最大利润。子问题(a,b)的数学模型如下:

模型2

$\begin{array}{l}\begin{array}{l}E(a,b,\delta {}_{a-1}^v,\delta {}_b^w)\\ =\max {\displaystyle \sum _{t=a}^b[}(\alpha {}_t-\beta {}_{t}R{}_t)R{}_t-({\rm O}C{}_{t}y{}_t+v{}_{t}x{}_t+h{}_t{\rm I}{}_t)]\end{array}(8)\\ {\rm I}{}_{t-1}+x{}_t=R{}_t+{\rm I}{}_t‚t=a,a+1,\cdots ,b(9)\\ 0x{}_{t}y{}_t(R{}_t+S{}_t)‚t=a,a+1,\cdots ,b(10)\\ 0<{\rm I}{}_t<S{}_t‚t=a,a+1,\cdots ,b(11)\\ {\rm I}{}_{a-1}=0\text{或}S{}_{a-1}(12)\\ {\rm I}{}_b=0\text{或}S{}_b(13)\\ 0R{}_t\frac{\alpha {}_t}{\beta {}_t}‚t=a,a+1,\cdots ,b(14)\end{array}$

根据δva-1和δwb的取值情况,子问题(a,b)可以分为四种类型:(a,b,0,0)、(a,b,0,Sb)、(a,b,Sa-1,0)、(a,b,Sa-1,Sb)。

下面以类型(a,b,0,0)为例,讨论子问题(a,b)的求解方法。

根据定理1,子问题(a,b)在类型(a,b,0,0)时,可以分为两种情形:第一种情形是没有生产点,第二种情形是有且仅有一个生产点a.

① 无生产点情形

显然,此时子问题(a,b)的利润为零。

② 当且仅当一个生产点情形a

松弛模型2中的约束条件(11)后,可以得到下面的模型:

模型3

$\begin{array}{l}\begin{array}{l}E(a,b,0,0)\\ =\max {\displaystyle \sum _{t=a}^b[}(\alpha {}_t-\beta {}_{t}R{}_t)-(v{}_a+{\displaystyle \sum _{i=a}^{t-1}h}{}_i)]R{}_t-{\rm O}C{}_a\end{array}(15)\\ {\displaystyle \sum _{t=a+1}^{b}R}{}_{t}S{}_a(16)\\ 0R{}_t\frac{\alpha {}_t}{\beta {}_t}‚t=a,a+1,\cdots ,b(17)\\ {\rm I}{}_{a-1}=0‚{\rm I}{}_b=0(18)\end{array}$

当t=a时,

$R{}_a=\frac{\alpha {}_a-v{}_a}{2\beta {}_a}(19)$

把式(19)代入式(15)后,目标函数式(15)中(αa-βaRa)Ra-OCa是常数,因此,式(15)等价于

$\max {\displaystyle \sum _{t=a+1}^b[}(\alpha {}_t-\beta {}_{t}R{}_t)-(v{}_a+{\displaystyle \sum _{i=a}^{t-1}h}{}_i)]R{}_t(20)$

当a+1tb时, 以周期数b-a为阶段数,周期t的需求量Rt为决策变量,从周期a+1到周期t的积累需求量$\tilde{R}$a+1,t为状态变量,用动态规划法求解模型3。

显然,目标函数式(15)是关于需求向量(Ra+1,,Rb)的二次多项式。$\tilde{R}$a+1,t可以由需求向量(Ra+1,,Rb)线性表示,因此目标函数式(15)也是关于累积需求向量($\tilde{R}$a+1,,$\tilde{R}$b)的二次多项式。令SF(a,b,0,0,$\tilde{R}$a+1,t)表示从周期a+1到周期t的积累需求量是$\tilde{R}$a+1,t,从周期a+1初到周期t末的最大利润。

$\begin{array}{l}SF(a,b,0,0,\tilde{R}{}_{a+1,t})\\ =\max L{}_t+{\rm M}{}_t\tilde{R}{}_{a+1,t}+{\rm N}{}_t\tilde{R}{}_{a+1,t}^2\\ =\max L{}_{t-1}+{\rm M}{}_{t-1}(\tilde{R}{}_{a+1,t}-R{}_t)\\ +{\rm N}{}_{t-1}(\tilde{R}{}_{a+1,t}-R{}_t){}^2+(\alpha {}_t-\beta {}_{t}R{}_t)R{}_t\\ -(v{}_a+{\displaystyle \sum _{i=a}^{t-1}h}{}_i)R{}_t\end{array}(21)$

令$\frac{\partial \{SF(a,b,0,0,\tilde{R}{}_{a+1,t})\}}{\partial R{}_t}=0$,可以求得周期t(t=a+1,,b)的最优需求:

$R{}_t=\frac{2{\rm N}{}_{t-1}\tilde{R}{}_{a+1,t}+{\rm M}{}_{t-1}-\alpha {}_t+v{}_a+{\displaystyle \sum _{i=a}^{t-1}h}{}_i}{2({\rm N}{}_{t-1}-\beta {}_t)}(22)$

把式(22)代入式(21),可以得到式(21)中系数的递推关系式(t=a+2,,b):

$\begin{array}{l}L{}_t=\frac{(\alpha {}_t-v{}_a-{\displaystyle \sum _{i=a}^{t-1}h}{}_i-{\rm M}{}_{t-1}){}^2}{4(\beta {}_t-{\rm N}{}_{t-1})}+L{}_{t-1}(23)\\ {\rm M}{}_t=\frac{\beta {}_t{\rm M}{}_{t-1}-{\rm N}{}_{t-1}(\alpha {}_t-v{}_a-{\displaystyle \sum _{i=a}^{t-1}h}{}_i)}{\beta {}_t-{\rm N}{}_{t-1}}(24)\\ {\rm N}{}_t=\frac{\beta {}_t{\rm N}{}_{t-1}}{\beta {}_t-{\rm N}{}_{t-1}}(25)\end{array}$

初始条件是:La+1=0,Ma+1=αa+1-va-ha,Na+1=-βa+1.

t=b时,由$\frac{\partial \{L{}_b+{\rm M}{}_b\tilde{R}{}_{a+1,b}+{\rm N}{}_b\tilde{R}{}_{a+1,b}^2\}}{\partial \tilde{R}{}_{a+1,b}}=0$,得到${\tilde{R}}^{\prime }{}_{a+1,b}=-\frac{{\rm M}{}_b}{2{\rm N}{}_b}$。如果$-\frac{{\rm M}{}_b}{2{\rm N}{}_b}S{}_a$, 则$\tilde{R}{}_{a+1,b}=-\frac{{\rm M}{}_b}{2{\rm N}{}_b}$; 否则,$\tilde{R}{}_{a+1,b}=S{}_a$. 把$\tilde{R}$a+1,b代入式(22),求得Rb. 然后,根据$\tilde{R}{}_{a+1,t}=\tilde{R}{}_{a+1,t+1}-R{}_{t+1}$和式(22),逆推求得Rb-1,,Ra+1.

由于模型3是松弛模型2中的约束条件(11)得到的,因此需要检验需求量是否满足约束条件(11),约束条件(11)可以改写成下面的形式:

$0{\displaystyle \sum _{i=t+1}^{b}R}{}_{i}S{}_t‚t=a,\cdots ,b(26)$

由于子问题的可行域是凸集,目标函数是凹函数,因此如果存在某个周期,不满足(26)式,则模型2中,这条约束条件取等号。也就是说,该子问题可以再分解成若干个子问题,不必考虑当前情形下的子问题。

在两种情形中,E(a,b,0,0)的值取利润最大者,相应的各周期需求量和生产计划是子问题在类型(a,b,0,0)时的最优解。类似地,可以求解出子问题其它类型的最优解。

3.2 整个问题的求解方法

令F(t,δwt)表示It=δwt时,从计划期初到周期t末的最优利润。

由定理1,得到顺序动态规划递推公式:

$\begin{array}{l}F(t,\delta {}_t^w)=\underset{1kt}{{\displaystyle \max }}\{F(k-1,\delta {}_{k-1}^v)+E(k,t,\delta {}_{k-1}^v,\delta {}_t^w)\}‚\\ k=1,\cdots ,{\rm T}(27)\\ F(0,\delta {}_0^0)=0(28)\\ F(0,\delta {}_0^1)=+\infty (29)\end{array}$

其中,式(28)、式(29)为初始条件,式(27)中的E(k,t,δvk-1,δwt)可以根据3.1节的算法思想进行求解。F(T,δ00)就是模型1的最大利润,对应的各周期需求量(或生产量)就是模型1的最优需求量(或最优生产量)。

3.3 计算复杂度分析

子问题(a,b)的计算复杂度是O(T)。由于子问题数至多是0.5T(T-1),因此整个问题的计算复杂度为O(T3)。

3.4 算法的具体步骤

步骤一:令F(0,δ00)=0,F(0,δ10)=+∞,t=1。

步骤二:令k=1,F(t,δwt)=F(k-1,δvk-1)+ E(k,t,δvk-1,δwt)=-∞。

步骤三:运用3.1节中的方法求解E(k,t,δvk-1,δwt),如果F(t,δwt)<F(k-1,δvk-1)+E(k,t,δvk-1,δwt),则F(t,δwt)=F(k-1,δvk-1)+E(k,t,δvk-1,δwt);并更新周期t末库存量是δwt时,周期1到周期t的需求量和生产量。

步骤四:令k=k+1,若kt,则返回到步骤三。

步骤五:令t=t+1,如果t<T,则返回到步骤二;否则,如果t=T,则令δwT=δ0T,返回到步骤二。

步骤六:程序结束,F(T,δ0T)是原问题的最优利润,对应的各周期需求量是原问题最优需求量,相应的生产计划是原问题的最优生产计划。

4 算例

为简洁起见,产品各周期的库存能力为常数1000,生产提前期是1,其它参数取值见表1。从表2可以看出,联合策略下生产计划与传统的分散策略下生产计划主要不同:前者各周期的需求量和价格事先未知,是决策变量;后者各周期的需求量和价格事先已知,是状态变量。联合决策下,各周期的最优需求和最优价格见表2的第一行和第二行,最优生产计划是由子问题(1,2)、(3,4)、(5,8)和(9,10)构成,再生点是周期0、2、4、5、6、8、10,生产点是周期1、3、5、6、9。

表3给出10种不同生产时间跨度下,运用固定时间批量法求得的利润。运用本文提出的方法求得的利润比固定时间批量法至少增加$\frac{30673-30301}{30301}100\%=1.23\%$.

图1分析了库存能力的变化对利润的影响。图1中,相邻两点间线段的斜率,其管理意义就是库存能力的边际利润。总的来说,库存能力的边际利润随着库存能力的增加而减少。当库存能力增加到一定水平时,边际利润为零。因此,我们的模型对企业,特别是物流型企业和仓储型企业确定合理的库存容量具有重要的指导意义。

5 结论

本文研究了需求是价格的线性函数、库存能力是非减情形的批量问题与动态定价的联合决策。通过联合决策机制合理地进行定价决策和批量决策,保证公司获得最佳经济效益。设计了基于动态规划思想的精确算法,其计算复杂度为O(T3)。模型对于大型炼油企业制定合理的采购计划和成品油定价具有指导意义,并且为合理确定仓储能力提供科学依据。

参考文献

[1]Love S F.Bounded production and inventory models withpiecewise concave costs[J].Management Science,1973,20(3):313～318.

[2]Chu F,Chu C.Polynomial algorithms for single-item lot-sizing models with bounded inventoryand backlogging or outsourcing[J].IEEETransactions on Automation Science andEngineering,2007,4(2):233～251.

[3]Gutierrez J,et al.A new characterization for thedynamic lot size problem with bounded inventory[J].Computers&Operations Research,2002,30:383～398.

[4]Gutierrez J,et al.A polynomial algorithm for theproduction/ordering planning problem withlimited storage[J].Computers&OperationsResearch,2007,34:934～937.

[5]Gutierrez J,et al.An efficient approach forsolving the lot-sizing problem with time-varyingstorage capacities[J].European Journal ofOperational Research,www.sciencedirect.com.

库存决策 第5篇

关键词：状态维修,备件,库存,协同,成本

0 引言

设备备件管理的主要内容包括备件的需求计划、采购管理、供应管理、仓储管理、周转消耗管理等, 主要目标是要保证设备的正常维修, 确保各类别备件的性能、数量, 对设备故障停机时进行压缩, 使得设备维修成本得以降低等。作为设备维修管理的重要工作, 设备备件管理在一定程度上能够使得企业的管理水平得以反映, 加强对设备备件库存管理决策, 对于设备维修的及时性确保以及设备的可靠性提升, 对于设备维修成本的全面降低都非常重要。

1 备件管理及分类

ABC分类法在目前设备备件库存管理方法中, 最为常见和常用。该方法通过对备件进行定量和定性分析, 按照备件的重要程度、影响程度、价值大小等一系列指标将其分为A、B、C三类, 并分别采取不同的控制策略。

企业目前主要采用的维修方式主要为计划维修和事后维修, 两种方式对备件储备的依赖程度以及备件的自身的特性都不相同, 采取有差别的库存控制策略, 既可以保证维修及时, 又能够降低维修成本。按照设备维修方式不同, 可以把备件分为易损件、故障件和状态维修备件等。

易损件指的是设备运行过程中一部分容易损坏、消耗量及使用量大、更换和采购相对容易的备件, 在日常保养及点检的时候通常及时更换。

故障件是指为应对偶发设备故障而进行先行存储的备件。故障件分为标准件和非标件, 标准件虽然消耗规律不好掌握, 但易于采购, 可以少备或者不备, 如垫片、螺栓等;非标件既很难预测消耗规律又采购困难, 应重视该类备件对设备维修工作的影响。

状态维修备件是指按周期进行预防维修或状态维修的备件, 可以根据维修计划进行储备, 一般对设备维修影响不大。

考虑易损件价值较低, 其库存管理模式和控制策略与状态维修备件相似, 可参考状态维修备件的管理模式, 结合ABC分类法, 并分为六类, 见表1。

2 备件库存管理模式

2.1 企业静态单级库存管理模式

对于企业传统的静态单级库存管理模式而言, 企业对库存进行管理因为供应链上各节点而导致有所不同, 因整体系统观念的缺乏, 企业间信息优于处于独立供应链节点而导致沟通存在问题, 配合与协调不足, 导致供应链的整体效率比较低下, 对于企业来说盈利能力较差。

2.2 供应商管理库存模式

所谓供应商管理库存也就是说签订框架协议的供需双方, 把最低成本设为相应目标, 进行库存管理的是供应商, 并且对协议内容进行不断优化, 使得库存管理得到持续改进, 并允许上环节对下环节的库存策略、订货策略进行管理, 因此有助于提升服务和加快周转, 实现供需双赢。但需要靠长期的战略合作, 并取得供应商的理解和信任才能实现。

2.3 联合库存管理模式

对于联合库存管理模式来说, 它指的是以同行业备件用户一体化为前提, 库存管理模式建立的备件能够共存共享, 参与方共同参与、库存控制策略制定得到强调, 企业间协同关系得到体现, 它对于供应链中的牛鞭效应解决非常有利, 所以对于库存管理而言, 已经告别了独立经营、各自为政的状态, 使得供需双方的协调中心和衔接纽带得以形成。如果从备件库存要素进行考虑的话, 一般情况下可以划分为实体联合库存以及虚拟联合库存等模式。

2.4 协同预测、规划、补给联合库存管理模式 (通常叫CPFR模式)

CPFR模式建立在VMI和JMI的基础上, 注重企业间的全方位、全领域协同, 各方从在各个环节、时点、层级收集和整理各类数据信息, 通过共享信息来提高预测的准确性, 降低需求的牛鞭效应, 降低库存成本, 最终使总供应链成本得到有效的控制。上下节点企业间建立长期、可靠、互信的协作关系, 有助于供应商准确预测、快速响应客户需求。

3 状态维修备件的库存管理模式

在状态维修模式下, 企业一般有较为充裕的时间来准备备件资源, 可以预先制订维修计划, 备件管理工作较为主动。对备件的需求数量是基本能够预测, 可实现备件供应商按时供应, 最大幅度缩短库存资金的占用时间。考虑上述因素, 建议对较重要的A类状态维修备件, 采取如CPFR模式的零库存管理模式;对介于A类和C类之间的、价值较高的B类状态维修备件, 也采取A类状态维修备件的库存控制策略;对C类状态维修备件则采取传统库存管理模式。

通过分析, 对于设备状态维修模式而言, 选择CPFR联合库存管理模式的是A、B类备件, 选择传统库存管理模式的是C类备件。

4 基于CPFR模式的A、B类状态维修备件库存管理

4.1 CPFR模式的实施流程

联合预测、联合计划以及联合补货等三个环节主要构成了CPFR实施流程, 用来对库存数量的影响较大等VMI未能解决的问题以及备件需求量改变对需求预测进行解决。其中联合预测环节作为CPFR模式的最主要环节, 通过共享数据来避免各方信息不对称和数据不一致, 形成相同的预测结果。联合补货环节是CPFR的执行环节, 是采购合同的形成和履行, 吸取VMI的长处, 真正实现对需求计划调整的有效应对。

4.2 备件需求的联合预测

联合预测是CPFR的核心, 强调了对备件预期的需求量形成一个协调一致的预测结果, 备件供应商以此制定供应计划, 主要用于识别和处理预测结果异常。

联合预测异常分析应从两方面入手, 一是各方检查预测流程是否有可靠, 保证基础数据的及时和完整, 如有差异, 进行修正后再预测;二是进行对比分析各方的预测模型的结果, 假如由于预测模型的不同产生对比差异, 那么一个各方都接受的预测结果的确定就需要通过协调来进行。

4.3 CPFR的协同补货策略

确定了联合预测结果, 备件供应商即可应根据预测结果, 确定每次补货的补货量。CPFR模式下, 供应链的总成本的组成是四个部分, 它包含供应商的生产、库存、用户的库存成本以及运输成本, 它的协同补货策略模型体现如下。

1) 考虑实际影响因素较为复杂, 本文做如下假设:a.由单独供应商和单独用户组成供应链;b.根据联合预测结果进行补货, 并认为需求是确定的;c.供应商对用户采取补货策略, 其周期是固定的。

2) 符号定义:hv为单位时间单个备件的供应商库存费用;Av为供应商单个备件的生产成本;Qv为供应商的生产量;D为用户的需求 (联合预测的结果) ;Au为供应商向用户补货的固定运输费用;hu为用户单个备件单位时间的库存费用;Qu为供应商向用户补货的补货量。

3) 目标函数分析。根据Goyal (1988) 的研究结论, 在确定性需求数量下, 要使供应链的平均总成本最小, 供应商的订购批量Qv一般应是向用户补货批量Qu的整数倍, 即

由图3、图4可知, 用户的平均库存水平为Qu/2, 供应商的平均库存水平为 (n-1) Qu/2。

a.一次补货期间供应商单个备件的平均生产成本:

b.一次补货期间供应商单个备件的平均库存成本:

c.一次补货期间供应商单个备件的平均运输成本:

d.一次补货期间用户单个备件的平均库存成本:

供应链单个备件的平均总成本为

由一阶最优性条件得最优补货量Qn*满足:

将式 (3) 代入式 (2) 得到:

将n看成连续的的变量, 由式 (3) 的一阶最优性条件得到:

利用式 (5) 计算n*的值, 如果n*是正整数, 可以利用式 (3) 得出最优补货量Qn*。如果n*<1, 则令n*=1, 同样可以得出Qn*。如果n*>1且不为正整数, 令n1=[n*], n2=[n*], 计算n1、n2相应的Q*u1和Q*u2, 令Qu*=max (Q*u1, Q*u2) 。

5 C类状态维修备件库存控制策略

根据分析, C类状态维修备件采用传统的库存管理模式, 其备件库存控制策略首先要确定采用连续检查库存策略还是规律性检查策略, 然后对具体的库存控制策略确定, 包括:1) 重订购点或库存检查周期的确定;2) 进行补货的数量。

对于C类状态维修备件, 由于需求量相对比较确定, 可以采用周期检查策略, 具体的补货策略为定期订货 (t, R) 策略。

5.1 库存控制目标分析

备件库存控制策略的目标是保证供应的情况下, 选择使存储系统的总存储成本最低的存储策略作为最优策略。对于备件库存成本来说, 一般构成它的三部分主要是缺货成本、订货成本以及存储成本。

订货成本, 指用户在订货以及收到货物时产生的成本。一般由备件本身相应的价值、运输成本和管理成本构成, 备件订购量对它影响很大。存储成本, 指在存储以及保管的时候所产生的成本, 库存备件的价值、数量、库存时间和它息息相关。对于缺货成本而言, 包括由于备件供应不足造成设备停机时间延长, 影响生产而造成的损失成本, 还包括由于不能生产而带来的利润、信誉的损失费等, 与缺货的数量和缺货的时间有关。

5.2 (t, R) 库存控制策略

(t, R) 策略需确定的两个问题:订货周期的长度t和每个周期开始时订货的数量R。每期的订货量是变化的, 要根据周期结束时剩余库存量来确定。

事先可以根据实际情况给定订货周期的长度t, 同时总费用最小来也可以作为确定的依据。如果是状态维修备件, 那么设备的维修周期可作为确定依据。

假设订货周期为t, 提前期为L, 在t+L内备件消耗x为随机变量, 密度函数为f (x, t) , 分布函数为F (x, t) , A为一次采购费用, h为单位存储费用, p为单位缺货成本, 每次订货至库存水平R (如果检查时库存量为I, 则订购量为R-I) , 其中t、R为待定的未知数。一定时间内的平均需求量可以用D进行表示, 提前期内的平均需求量可以用l表示, 那么平均库存量在一个订货周期内就是R-l-Dt/2。

单位时间内的总库存成本TC (R, t) 为:

由一阶最优性条件得:

通过求解上述方程组可以得出订货周期长度t和订货的上限R*。

6 备件库存策略决策

以电力机车的牵引电机和橡胶垫为例, 电力机车牵引电机采用状态维修方式, 轴承为其核心备件之一, 即为A类状态维修备件, 采用CPFR联合库存管理模式;橡胶垫为通用备件, 即C类状态维修备件, 采用传统的库存管理模式。电机轴承需要根据备件供应商和设备用户的联合预测的结果, 确定每次补货的数量。而橡胶垫库存控制策略, 则根据其库存状况确定补货的周期和补货量。

根据联合预测的结果, 电机轴承2014年的需求量为340件, 供应商单个备件每年的库存成本hv=12元, 供应商单个备件的生产成本Av=100元, 供应商向用户补货的固定费用Au=500, 企业单个备件每年的库存费用hu=15元。根据以上数据, 可以得出该供应链的最优补货策略。

令n1=1, n2=2, 则有:

所以, Qu*=64, 即供应商的最优补货量为64件。

橡胶垫的相关参数如表2所示, 定期订货周期t与订购量R的确定过程如下。

提前期内的平均需求为l=DL=200。

假设L+t内的平均需求服从均值为800 (L+t) , 方差为的正态分布。根据式 (6) , 一年的总库存费用为

通过求TC (R, t) 的最小值, 可以得出R*和t*的最优值分别为260、0.3, 即橡胶垫的订货周期为3.6个月, 订购批量为260。

7 结语

本文通过对备件在设备状态维修模式下进行分类, 并结合CPFR联合库存模式进行备件库存决策, 形成备件CPFR协同决策实施流程, 并分别对A、B类状态维修备件进行CPFR模式协同补货, 对C类备件进场传统方式补货, 并在企业实际设备管理过程中加以运用, 达到了减少备件库存、降低设备维修成本的目的。

参考文献

[1]司书宾, 贾大鹏, 孙树栋, 等.服务水平约束下的多-单维修备件协同库存控制模型及其仿真研究[J].中国机械工程, 2007 (23) :2844-2847.

[2]杨华, 郭伟, 毕海玲, 等.大型设备制造企业维修备件联合库存优化研究[J].中国机械工程, 2009 (15) :1802-1806.

[3]左洪福, 蔡景.维修决策理论与方法[M].北京:航空工业出版社, 2008.

[4]李巍巍, 戚宏亮.基于联合库存管理的煤炭企业供应链管理策略研究[J].煤炭工程, 2009 (9) :133-135.

[5]隆玉玲, 王文杰, 方向华.CPFR组合预测方法研究[J].东华大学学报 (自然科学版) , 2009 (2) :216-221.

库存决策 第6篇

电子类产品的出现及其生命周期短的特性, 使得其定价及订购量的控制问题成为电子产品零售商亟待解决的重要问题。电子类产品属于易逝品, 销售期较短, 更新换代速度快[1], 如果零售商对市场分析预测不准可能导致库存过剩, 造成积压产品迅速失去价值;另一方面也可能造成库存不足, 延误商机, 导致竞争对手迅速获取市场的情形。iphone4手机上市初始, 许多零售商由于订购量不足造成了缺货现象而贻误了大好商机, 惠普、三星等高科技电子新产品的上市也都面临着相同的问题。类似的高科技电子产品, 在最初投放市场时, 产品的市场价值和市场前景较为模糊, 这时零售商在期初就会根据自身对产品未来价值已有信息选择适度的订购量, 然后根据实际的市场销售情况获取关于产品的心理价格, 在此基础上零售商结合先前的订购价格来做出下一期的订购决策。

面对顾客的这种参照效应下的购买决策和市场的不确定性, 零售商的定价和订购量分配问题更进一步成为它们的重要决策问题。 这类经济现象在现有的电子产品销售渠道中已广泛存在, 并对供应链的优化产生了重要的影响。一般情况下, 零售商会考虑价格的参照效应根据价格和参照价格选择适度的订货量。

传统经济模型或理论认为顾客是完全理性的, 顾客根据现有市场价格、收入和市场条件确定需求量。但是在重复购买的的情形下, 如频繁购买的商品 (如汽油、日用品等) 或服务 (如经常去的旅馆、个人保险) , 顾客的购买决策更多地会考虑过去观察到的销售价格。顾客根据观察到的以往的价格确定一个期望价格, 并将该期望价格作为参照点与现有的市场价格进行比较, 如果现价高于参照价格, 顾客就认为承受了一定的损失, 当现价低于参照价格时, 顾客就认为取得一定收益, 这正是Kahneman和Tversky的展望理论所揭示的现象[2]。同时Kahneman和Tversky估计, 在适度规模的损失和收益之间, 人们对损失的看重程度是对收益看种程度的两倍[3]。所以说, 顾客的参照效应已经成为影响市场需求的重要因素。对于更新换代较快的电子类商品, 顾客会根据此款商品上一代产品的价格作为参照价格, 进行购买决策。

现已有大量的文献研究了参照价格对需求的影响。Helson的适应水准理论 (Adaption Level Theory) 指出一个人会以过去对刺激所做的反应作为其他刺激评量的标准, 消费者的价格知觉依赖于外部参考价格与内部参考价格的差距[4]。Sorge研究了价格参照效应下动态价格和广告策略的局部稳定性[5];Kapalle和Fibich分析了线性参照价格下的动态定价问题[6,7];Popescu等也研究了价格参照下的动态定价问题, 并研究了顾客为风险中性和风险偏好的情形[8]。Kapalle等将产品的质量引入参照效应, 分析了顾客对价格和质量都存在参照效应的情形[6]。Oliver和Winer, Zeithaml分析认为参照效应已成为影响市场需求的关键因素[9,10]。但是已有文献都没有考虑到零售商的订购策略问题, 大都针对于市场营销理论的定价问题, 并没有将参照效应引入到此系统中分析零售商的订货量和库存问题。本文将价格参照理论引入供应链系统, 分析了顾客存在价格参照时零售商的动态定价问题, 并在此基础上研究了零售商的订购策略。

2 问题描述

本文考虑某电子类产品单制造商生产单一商品并投放市场的情况。由于电子类产品的生命期短, 本文研究有限时间期间的情形, 零售商在N个时期订购该产品并投放市场, 零售商根据市场需求在每期t订购一定量的产品x (t) , 并制定某个零售价格p (t) 。在产品生命期的某个时间点, 零售商选择引入更新换代的新产品。顾客根据自己对商品的评价和已有价格确定一个参照价格pr (t) , 当零售价格高于参照价格时, 顾客认为承受了一定的损失;当零售价格低于参照价格时顾客认为获得一定的收益[3]。同时, 零售商在t期未销售掉的剩余商品i (t) 转移到t+1期, 并作为t+1期初的库存。我们采用经济学常用的线性需求函数, 探讨在考虑顾客价格参照效应的情况下, 零售商如何制定零售价格并确定每期的订购量实现N期的收益最大化。

与本文相关的符号及参数设置如下:

i (t) :t期期末剩余商品, 或t+1期期初库存

x (t) :t期零售商订购产品量

d (t) :t期的顾客需求水平

p (t) :t期零售商制定的零售价格

h:单位残余商品的单期持有成本, 常数

s:零售商的单位商品的单期缺货成本, 常数

pr (t) :t期顾客的参照价格

π (t) :t期零售商的收益

3 模型构建

最近有大量的实证研究证明了价格参照效应的影响作用。同时, 也出现了关于参照价格的方程, 其中, 重要的实证分析就是基于展望效应, 展望理论认为价格和参照价格的差异会影响到产品的需求, 同时这种效应也是不对称的, Kahneman和Tversky估计, 在适度规模的损失和收益之间, 人们对损失的看重程度是对收益看重程度的两倍[3]。对于同等程度的差异, 顾客更关注价格高于参照价格的情形[11]。Kalyanaram和Winer通过实证研究证实了价格参照情形下展望理论的强大的效用[12]。

假设时间t顾客的需求水平为d (t) , 它是价格p (t) 和参照价格pr (t) 的函数。采用经济学常用的线性需求方程, 该需求形式已被大量研究采用[13]。所以, 需求为:

$d(t)=a-bp(t)+m\{p{}_r(t)-p(t)\}(1)$

其中, a, b>0且为常数,

$m=\{\begin{array}{l}\theta {}_1,\\ \theta {}_2,\end{array}\begin{array}{l}p{}_r(t)>p(t)\\ p(t)>p{}_r(t)\end{array}$

, 且θ1>θ2>0。

对于价格高于参照价格的情况, 每单位的损失销量为θ2, 且每单位价格低于参照价格的额外销量为θ1.根据以往文献对于参照价格的研究, 本文采用对过去价格加权平均的形式[14]

$p{}_r(t)={\displaystyle {\int }_{-\infty }^{t}w}(t-\tau )p(\tau )d\tau (2)$

其中, w (t-τ) 反映t-τ时间内价格水平的权重因子, 为了不失一般性, 假设距离决策时间越近的决策点其价格权重水平越高, 也即近期的价格对顾客的参照价格影响更大, 同时权重函数是时间t的非增函数。基于以上分析, 指数衰减的加权方程更适合本文研究的需要[5]。该公式为:

$w(t)=\gamma (t)e{}^{-\gamma (t)t}(3)$

对参照价格 (2) 求时间t的导数, 应用莱布尼茨公式, 得

$\frac{dp{}_r(t)}{dt}=\gamma (t)(p(t)-p{}_r(t))(4)$

根据式 (4) , 其离散状态的差分方程形式为:pr (t+1) =γ (t) p (t) + (1-γ (t) ) pr (t) , 0γ1。为了反映γ与记忆效应的一致, 将差分方程形式进行变换为pr (t+1) =γ (t) pr (t) + (1-γ (t) ) p (t) 。其中, γ表示顾客对于历史价格的记忆能力, 且γ越大, 顾客的记忆效应越大, 特别地, 当γ=1时, 为理想状态, 参照价格等于最初的参考价格。

本文考虑了生产某类电子产品的某品牌制造商的情形, 由于电子类产品生命周期相对较短, 考虑零售商在有限时间范围[0, N-1]内订购一定量的产品并规定相应的市场售价来最大化自己的收益。同时假设零售商的单位成本是固定不变的, 为c, 这种假设已普遍的使用。固定可变成本符合厂商的规模效应的情况, 该情形下生产成本最低, 同时这种假设也是相当普遍的[15]。所以, 该零售商t期的收益函数为

$\begin{array}{l}\pi (t)\\ =p(t)d(t)-c\cdot x(t)\\ -h\text{m}\text{a}\text{x}\{i(t-1)+x(t)-d(t),0\}\\ -s\text{m}\text{a}\text{x}\{d(t)-i(t-1)-x(t),0\}\end{array}(5)$

假设不变的时期间折扣因子为α, 在有限期间[0, N-1]内的零售商收益为

$\begin{array}{l}\pi ={\displaystyle \sum _{t=0}^{{\rm N}-1}\pi }(t)={\displaystyle \sum _{t=0}^{{\rm N}-1}e}{}^{-\alpha t}[p(t)d(t)-c\cdot x(t)\\ -h\text{m}\text{a}\text{x}\{i(t-1)+x(t)-d(t),0\}\\ -s\text{m}\text{a}\text{x}\{d(t)-i(t-1)-x(t),0\}]\\ \text{s}.\text{t}.p{}_r(t+1)=\gamma (t)p{}_r(t)+(1-\gamma (t))p(t)\\ p{}_r(0)=p{}_{r0}\end{array}(6)$

4 模型分析

本文研究假设顾客是同质的, 即顾客拥有相同的记忆效应γ (t) 。以下分别针对记忆效应γ (t) 为共同知识和非共同知识两种情况展开讨论。

4.1 当顾客的记忆效应γ (t) 为共同 知识时, 零售商的决策情形

定理1 在顾客的记忆效应γ (t) 为共同知识时, 零售商单期的最佳订购量为x (t) =d (t) 。

证明 根据基本报童模型理论, 零售商的第二部分成本为hmax{i (t) +x (t) -d (t) , 0}+smax{d (t) -i (t) -x (t) , 0}, 为使该部分成本最小化, 并且在信息完全的条件下, 零售商知道需求函数的真实分布, 从初始阶段t=0开始, 必然有d (0) =x (0) , 所以i (0) 必然为0, 然后扩展到t=1, , N-1的情形, 有d (t) =x (t) , 所以i (t) 必然为0, 即hmax{i (t) +x (t) -d (t) , 0}+smax{d (t) -i (t) -x (t) , 0}=0。

所以零售商的单期订购量与市场需求完全吻合x (t) =d (t) , 该状态是一种理想情况下的结果。由于市场需求的不确定性和价格的波动性, 零售商往往不能实现产量不足时的机会成本和产量过剩时的付现成本的归零。

根据定理1, 可以得到当顾客的记忆效应γ (t) 为共同知识时, 零售商的动态订购量为x (t) =d (t) =a-bp (t) +m{pr (t) -p (t) }。

根据定理1, 零售商目标函数转换为

$\begin{array}{l}\pi ={\displaystyle \sum _{t=0}^{{\rm N}-1}\pi }(t)={\displaystyle \sum _{t=0}^{{\rm N}-1}e}{}^{-\alpha t}[(p(t)-c)d(t)]\\ \text{s}.\text{t}.p{}_r(t+1)=\gamma (t)p{}_r(t)+(1-\gamma (t))p(t)\\ p{}_r(0)=p{}_{r0}\end{array}(7)$

此时, 零售商的目标函数转换为单状态变量pr (t) , 和单决策变量p (t) 的最优控制问题。在以上分析的基础上, 本文使用动态规划方法寻找零售商目标函数的一般性质。假设Vt (p (t) , pr (t) ) 表示从阶段0到t的总的利润的函数。

所以, 有Bellman方程[16]为

$\begin{array}{l}V{}_t(p(t),p{}_r(t))\\ =(p(t)-c)d(t)+e{}^{-\alpha t}V{}_{t+1}(p(t+1),p{}_r(t+1))\\ \text{s}.\text{t}.p{}_r(t+1)=\gamma (t)p{}_r(t)+(1-\gamma (t))p(t)\end{array}$

定理2 零售商价值函数Vt (p (t) , pr (t) ) 是价格p的减函数和参考价格pr的增函数。

证明 证明参考[8]。

引理1 最大化每期收益的价格$p(p{}_r)=\underset{p\in {\rm P}}{{\displaystyle \text{a}\text{r}\text{g}\text{m}\text{a}\text{x}}}\pi (p,p{}_r)$是参考价格pr的增函数。

证明 根据定理2, 应用动态规划顺推解法, 从t=0时期开始求解利润函数的阶段最优价格, 单期收益函数的一阶条件为∂π0 (p (0) , pr (0) ) /∂p (0) =a+ (b+m) c+mpr (0) -2 (b+m) p (0) =0, 同时二阶条件满足∂2π0 (p (0) , pr (0) ) /∂p (0) 2-2 (b+m) <0, 所以有p (0) =[a+ (b+m) c+mpr (0) ]/[2 (b+m) ], 价格对参考价格的一阶条件为∂p (0) /∂pr (0) =m/[2 (b+m) ]>0。继续迭代, 得到每期价格的形式p (1) =[a+ (b+m) c+mpr (1) ]/[2 (b+m) ], , p (t) =[a+ (b+m) c+mpr (t) ]/[2 (b+m) ]。所以有∂p (t) /∂pr (t) =m/[2 (b+m) ]>0。考虑到价格形式的简洁, 此处价格形式中并未对参照价格进行迭代。

通过对引理1的证明得到零售商每期的最优定价p (t) =[a+ (b+m) c+mpr (t) ]/[2 (b+m) ]。

为了进一步分析顾客的记忆效应与零售商定价和订购量的关系, 本文对相关参数进行取值, 并研究在不同取值下, 参数值对零售商整体收益的影响效果。根据以上对参数的分析, 参数取值分别为:a=30, b=2, m=3 (θ1=4, θ2=2) , c=4, pr (0) =5。同时选取T=5的6个时期作为滚动研究时间窗口。考虑到研究时期较短, 这里假设折扣因子α=0。

考虑到顾客记忆效应为共同知识, 零售商的订购量即为预测的市场需求量d (t) , 在参照价格效应的条件下, 零售商动态的决定每期的订购价格。

从图1可以发现, 在明确顾客初始参考价格的情况下, 零售商在第一期会选择高于初始参考价格的定价, 然后从第二期到第三期大幅度提高产品定价, 在第三期达到最高价格;在从第四期降低价格, 并且降低幅度逐渐减少, 且显示出收敛于γ=0的定价趋势。在一般的撇脂策略和渗透策略的基础上的一个整合。

对于易逝性产品和更新换代快的产品, 尤其是在新产品投放市场的情况下, 零售商考虑到顾客参照价格效应的存在, 在期初开始会选择通过逐步的提高价格来进一步的将顾客的参照价格提升, 在某个时期后, 零售商逐步的降低价格, 这样就造成零售商的定价低于顾客的参照价格, 零售商就通过这种策略最大化收益。当价格降到一定程度时, 零售商就开始销售新投放市场的产品, 重复以上的定价策略。

推论1 对于同一时期t的定价, 顾客的记忆效应越小, 即γ越小, 零售价格p (t) 越高。

推论2 顾客的记忆效应越小, 零售商的定价和订购量波动越大;当记忆效应完全时 (理想状态) , 即γ=1时, 零售商的最优定价策略是保持初始定价不变, 最优订购量同样是保持初始的订购水平 (这地方我不明白初始的订购水平是指多少) 。

由于零售商期初定高价格的目的在于在期初提高顾客参照价格, 这样考虑到顾客的记忆效应不同, 零售商就会不同程度的提高零售价格。极端情况下, 即γ=1时, 零售商就选择恒定的零售价格, 因为顾客可以记住以前的所有价格。当γ>0时, 考虑到参考价格对后期销售价格和订购量的影响, 零售商就会根据自己的定价策略设定每期的零售价格;同时, 记忆效应γ越小, 零售商在前期的定价越高, 这样越会形成一种信念:顾客认为该产品的价值是较高的, 而且后期可能会升高。而且参照效应γ越高, 这种信念的强度越高。

根据表1的参照价格与零售价格的关系, 可以得到:

结论1 参照价格和零售价格在每种记忆效应下都呈现出先增加, 然后递减的一种趋势 (γ=1的情况除外) 。

结论2 在记忆效应γ<0.5的条件下, 顾客参照价格的最高价格滞后零售商的最高价格一期, 并且从该期开始零售商的定价始终小于顾客的心理价格;当记忆效应γ>0.5时, 零售价格始终高于参照价格。

零售商的订购量是与市场需求紧密联系的, 在顾客记忆效应为共同知识的条件下, 零售商的订购量就是市场需求量。

根据图2可以发现, 第1期到第2期, 价格提高, 但是订购量增加, 这是由于参照价格效应的存在, 顾客预测产品价值提高会增加需求量;第3期由于零售价格大幅提高造成价格效应高于顾客对于产品价值提升对需求的影响, 需求量大幅下降。

本文对定价策略的研究结果与Kopalle, Rao和Assuncao的分析是一致的。Kopalle, Rao和Assuncao在市场营销背景下对价格参照效应的分析认为在变化的市场环境下, 销售商的最优定价策略是维持固定价格或者是一种周期性循环的定价策略[6]。本文对价格的研究结果正是这种循环定价策略的一个周期内的定价路径部分。由于本文的研究对象是易逝性的电子类产品, 其订购销售次数较少, 产品生命期短, 动态的定价分析仅局限在有限时间的情形。

4.2 顾客的记忆效应γ (t) 为非共同知识时, 零售商的决策情形

顾客的记忆效应γ (t) 为非共同知识, 零售商并不知道γ (t) 的确切数值。在此我们假设零售商对记忆效应γ (t) 有一个先验估计γ′ (t) , 然后零售商根据预测的需求量与实际需求水平之间的差距来调整t+1对记忆效应的预测水平γ′ (t+1) 。根据锚定和决策调整理论, 我们做出零售商的记忆效应预测调整量±λΔd (t) , λ (0λ1) 表示零售商固定的决策调整系数, Δd (t) 表示零售商的预测调整水平。

引理2 对于订购量过剩和订购量不足形成存在以下四个条件:

①估计记忆效应γ′>γ且pr>p时, 订购量过剩;

②估计记忆效应γ′<γ且pr<p时, 订购量过剩;

③估计记忆效应γ′>γ且pr<p时, 订购量不足;

④估计记忆效应γ′<γ且pr>p时, 订购量不足。

在条件①和条件③下, 零售商会提高对记忆效应的预测水平且提高-λΔd (t) 个单位;在条件②和条件④下, 零售商会降低预测水平且降低λΔd (t) 个单位。

证明 零售商的订购水平为d′ (t) =a- (b+m) p (t) +m{γ′ (t-1) pr (t-1) + (1-γ′ (t-1) ) p (t-1) }, 顾客的需求量为d (t) =a- (b+m) p (t) +m{γ (t-1) pr (t-1) + (1-γ (t-1) ) p (t-1) }, 所以Δd (t) =d′ (t) -d (t) = (γ′ (t-1) -γ (t-1) ) (pr (t-1) -p (t-1) ) , 具体表示为

$\Delta d(t)=\{\begin{array}{l}{d}^{\prime }(t)-d(t)\ge 0,\\ \begin{array}{l}{\gamma }^{\prime }(t-1)\ge \gamma (t-1),p{}_r(t-1)\ge p(t-1)①\\ {\gamma }^{\prime }(t-1)<\gamma (t-1),p{}_r(t-1)<p(t-1)②\end{array}\\ d^{\prime }(t)-d(t)<0,\\ \begin{array}{l}{\gamma }^{\prime }(t-1)\ge \gamma (t-1),p{}_r(t-1)<p(t-1)③\\ {\gamma }^{\prime }(t-1)<\gamma (t-1),p{}_r(t-1)\ge p(t-1)④\end{array}\end{array}$

所以, 当条件①和③成立时, 零售商的决策调整为γ′ (t) =γ′ (t-1) -λΔd (t) ;当条件②和条件④成立时, 零售商的决策调整为γ′ (t) =γ′ (t-1) +λΔd (t) 。

定理3 在顾客的记忆效应γ (t) 为非共同知识时, 零售商在t+1期的最优订购量E[x (t+1) |γ (t-1) ]=E[d (t+1) |γ (t-1) ]-i (t) =a- (b+m) p (t+1) +m{[γ′ (t-1) ±λΔd (t-1) ]p (t) + (1-[γ′ (t-1) ±λΔd (t-1) ]) pr (t) }-i (t) 。

证明 在顾客的记忆效应γ (t) 为非共同知识时, 零售商对记忆效应γ (t) 有一个先验概率, 在零售商观察到t期顾客的需求量后, 零售商在t+1期对顾客记忆效应的估计为γ′ (t+1) =γ′ (t) ±λΔd (t) 。 所以i (t) =max{EE[γ (t) |γ (t-1) ][d (t) |d (t-1) ]-d (t) , 0}。 因此在t+1期时, 零售商对需求的估计后的订购量为EE[γ (t+1) |γ (t) ][d (t+1) |d (t) ]-i (t) 。

此时, 零售商的目标函数转换为单状态变量pr (t) 和决策变量p (t) 的最优控制问题。同时对于记忆效应γ (t) , 零售商对于顾客参照记忆效应的预测为γ′ (t) , 并且零售商会根据每期的预测准确水平对下期的γ′ (t+1) 进行预测。所以, 有Bellman方程[18]为

$\begin{array}{l}V{}_t(p(t),p{}_r(t))\\ =p(t)d(t)-c\cdot x(t)\\ -h\text{m}\text{a}\text{x}\{i(t-1)+x(t)-d(t),0\}\\ -s\text{m}\text{a}\text{x}\{d(t)-i(t-1)-x(t),0\}\\ +e{}^{-\alpha }V{}_{t+1}(p(t+1),p{}_r(t+1))\\ \text{s}.\text{t}.p{}_r(t+1)=\gamma (t)p{}_r(t)+(1-\gamma (t))p(t)\\ p{}_r(0)=p{}_{r0}\end{array}(8)$

特别地, 在t=0期的订购量为x (0) =d (0) 。

可以简单证明定理2在记忆效应γ (t) 为非共同知识的情况下依然成立。

引理3 最大化每期收益的价格$p(p^{\prime }{}_r)=\underset{p\in {\rm P}}{{\displaystyle \text{a}\text{r}\text{g}\text{m}\text{a}\text{x}}}\pi (p,p^{\prime }{}_r)$是其估计参考价格p′r的增函数。

证明 本文假设当期不能满足的订单部分不能转入下期, 成为单期收益机会损失。应用动态规划的顺推解法, 过程如下: x (0) =d (0) , V (p (0) , pr (0) ) = (p (0) -c) {a- (b+m) p (0) +mpr (0) }, 由一阶条件得: p (0) =[a+ (b+m) c+mpr (0) ]/[2 (b+m) ], 同时有∂2V (P (0) , Pr (0) ) /∂P (0) 2<0。

继续迭代, t=1期订购量为x (1) =d′ (1) =a- (b+m) p (1) +m{γ′ (0) p (0) + (1-γ′ (0) ) pr (0) }, 零售商定价方式为max{ (p (1) -c) x (1) }, p′r (1) =γ′ (0) p (0) + (1-γ′ (0) ) pr (0) , t=1期最优价格为p* (1) =[a+ (b+m) c+mp′r (1) ]/[2 (b+m) ];零售商的真实收益为:V1 (p (1) , pr (1) ) = (p* (1) -c) d (1) +V0 (p (0) , pr (0) ) , pr (1) =γ (0) γp (0) + (1-γ (0) ) pr (0) ;这样就滞留了一定库存量i (1) =x (1) -d (1) =max{m{ (γ′-γ) (p (0) -pr (0) ) }, 0};顺序迭代到第t期时, 零售商的收益为Vt (p (t) , pr (t) ) = (p (t) -c) d (t) +Vt-1 (p (t-1) , pr (t-1) ) , t期最优价格为p* (t) =[a+ (b+m) c+mp′r (t) ]/[2 (b+m) ]。 p′r (t) =γ′ (t-1) p (t-1) + (1-γ′ (t-1) ) pr (t-1) , t期零售商的真实收益为πt (p (t) , pr (t) ) = (p* (t) -c) d (t) , 订购量为x (t) =d′ (t) -i (t-1) 。同时最优定价满足∂p* (t) /∂p′r (t) =m/[2 (b+m) ]>0。

为了进一步分析, 本文对相关参数进行取值, 并研究在不同取值下, 参数值对零售商整体收益的影响效果。根据以上对参数的分析, 参数取值分别为: a=30, b=2, m=3 (θ1=4, θ2=2) , c=4, pr (0) =5, λ=0.04。零售商期初对顾客价格参照效应指数的预测值为γ′ (1) =0.5;同时选取T=5的6个时期作为滚动研究时间窗口。考虑到研究时期较短, 我们这里假设折扣因子α=0。

根据顾客战略购买行为理论, 顾客将根据对将来价格的走势决定当期的订购决策 (订购量) [17]。同时作为供应链的中间环节的渠道商, 零售商的订购决策会随着市场成熟度的提高更多地根据对市场需求的预测来确定。结合高科技类电子产品市场投放的特点, 这里假设顾客的记忆效应存在一个逐期递减的趋势, 其具体形式为γ=γ (0) -δt, 且δ≥0, 这里取δ=0.02。

以下分析是假设零售商对顾客初始记忆效应为γ′ (1) =0.5的条件下得到的结果。

引理1分析了价格与参照价格的关系, 图3在此基础上分析了在零售商初始估计为γ′ (1) =0.5, 顾客的真实记忆效应分别为γ=0.2, 0.4, 0.6, 0.8, 1的情况下价格的路径策略。从图3可以得出整体的价格趋势是递增的。

推论3 随着记忆效应的增加, 价格的增加趋势越平缓, 高的记忆效应导致低价格策略, 这与3.1节的研究成果相吻合。但是针对具体的记忆效应, 零售商的定价策略表现为随时间而提高, 提高幅度随时间减小。

订购量与记忆相应的关系与3.1节的研究结果存在不同, 在t=1期之后, 订购量与记忆效应成负相关的关系;同时, 在γ=0.8和γ=1时, 订购量在t=1期之后表现出现降低, 然后趋平的趋势;在γ=0.2、γ=0.4和γ=0.6时, 订购量随时间递增, 并表现为趋缓的趋势。

图4刻画了零售商对顾客记忆效应的预测调整情况。具体调整策略为γ′ (t) =γ′ (t-1) ±λΔd (t) , 同时根据引理2的证明, 零售商的调整策略是根据每期的库存 (如图5所示) 水平, 同时结合价格水平和估计参照价格水平的大小设定的。引理2全面证明了零售商针对不同条件下的调整策略。在不同的顾客记忆效应水平下, 零售商根据库存水平进行调整, 其趋势为零售商的记忆效应估计水平向实际的记忆水平无限逼近。

根据记忆效应的逼近理论, 零售商的库存水平也表现趋近于0的趋势。由于零售商对记忆效应预测准确度水平的提高, 其产量水平也趋近于顾客的真实购买水平 (如图4所示) , 也即库存水平趋近于0。订购量的利用效率η=d (t) /x (t) 逐步提高。

结论3 随着制造商对记忆水平预测准确度的提高, 其产量x (t) 无限逼近于d (t) 。

5 结论及未来研究方向

本文采用动态规划方法研究了考虑价格参照效应零售商的定价和订购量的联合决策问题。在由零售商和顾客组成的两级供应链系统中, 分别研究了顾客价格参照的记忆效应为共同知识和非共同知识的情形下零售商的定价策略和产量分配策略。在模型分析的基础上, 通过实证分析指出在记忆效应为共同知识时, 零售商的定价策略是循环策略的单周期情形, 即先提高价格, 后降低价格, 尤其是γ=1时, 采用固定价格策略;订购量完全吻合市场需求。当记忆效应为非共同知识时, 零售商根据自身的决策特质, 结合库存水平调整对顾客记忆水平的预测水平, 订购量在有限期间内逼近市场需求, 价格轨迹是关于时间递增的凹函数。未来研究方向包括在价格参照的基础上供应链协调问题, 以及整合制造商、批发商的战略采购策略到供应链系统。

库存决策 第7篇

随着科学技术的进步和新经济的迅猛发展, 市场竞争日趋激烈, 企业为了在竞争中求得生存和发展, 其管理思想和管理模式需要发生根本的改变。在管理思想方面, 企业已经意识到合作带来的效益, “在竞争中合作, 在合作中共赢”已经成为众多企业公认的主导思想。在管理模式方面, 企业的管理不再局限于企业内部, 而是借助于供应链管理等新型的管理模式, 将企业及其上下游合作伙伴联合在一起, 增强供应链的整体竞争力。当前, 企业及其所属供应链的竞争已经从基于成本、质量、品种的竞争转向了基于时间的竞争, 如何适应环境的变化并以较低的成本快速响应客户需求成为企业在竞争中获胜的关键。因此, 探索如何在缩短物流系统整体响应时间的同时降低物流运作成本、提高企业物流运作效率、协调各物流活动参与方的决策与控制势在必行。

2 文献综述

2.1 在库存-选址联合优化模型中考虑中心化库存问题

Das C[1] (1997) 考虑到运输成本和库存成本的背离关系, 探讨五种情境下的中心化库存程度及策略。Shu J[2] (2004) 考虑到风险分担效益, 允许部分零售点当作配送中心为其它零售店供货, 考虑不同情景下的选址、运输和库存成本 (经营性库存成本和安全库存成本) 建立两阶段模型, 第一阶段进行选址决策;第二阶段进行服务对象安排、不同情景下的经营性库存和安全库存量。Miranda P A[3] (2004) 建立了风险分摊效应下的联合选址-库存控制模型, 研究发现随着单位持有成本增加和需求变化加剧集中库存更能带来成本的下降。Gaur&Ravindran[4] (2006) 考虑了库存成本、选址成本、运营成本、订货成本和运输成本, 提出了一个最低成本和最快反应速度的双目标非线性随机整数规划模型, 给出了运用Risk Pooling效应来优化供应链分销网络库存问题的方法。Vidyarthi N[5] (2007) 建立基于risk pooling安全库存表达式, 考虑运输成本的整合生产、库存和配送系统的模型。Snyder L V[6] (2007) 以库存成本、选址成本和运输成本总和最小为目标, 研究了随机的、多情景的、考虑风险分摊的选址模型。陈兴[7] (2007) 通过对各个阶段采用级的节点化, 形成系列系统, 同一级上的节点对同种产品的订购周期相同, 从而实现中心化的多级库存管理策略;并综合分析运输成本、库存成本、配送中心建设成本等之间的联系, 建立配送中心选址模型, 对比中心化和非中心化库存管理策略的优化结果。Ozsen L[8] (2008) 以最小化选址成本、运输成本和库存持有成本为目标, 建立了以最大需求作为容量限额、配送中心集中存放安全库存的选址-库存模型, 并通过降低订购数量来降低库存。Park S[9] (2010) 考虑Risk pooling效应及提前期, 建立最小化系统选址、库存和运输成本, 并对相关参数进行了扩展性研究。Liu K[10] (2010) 考虑利用已有的、有容量限制的区域性仓库满足在线需求, 建立了考虑在线需求的需求函数;模型研究了共享效应和运输成本之间的关系, 并考虑惩罚成本、库存持有成本及提前期对库存成本的影响。Liao S H[11] (2011) 探讨了WMI策略下、存在聚集效应的库存表达式, 建立以最小成本和最大化顾客服务 (订单满足率和反应速度) 为目标的多目标模型。李辉[12] (2011) 考虑采用多级中心化库存控制策略, 建立了以下游supply hub选址成本、库存及运输成本最小化为目标的联合优化模型, 用混合遗传算法对模型进行了求解, 并对选址成本、运输成本和订货成本的敏感性进行了分析。毕娅[13] (2012) 以物流成本最低和对需求量覆盖最大为目标, 通过模糊函数对不确定性需求的拟合, 在云物流服务模式下允许多配送中心服务一个需求点, 构建基于集合和最大松弛覆盖的选址-库存模型, 且作者在其博士论文中针对时间和容量约束、单一商品下需求点的优先级以及不确定需求问题对模型进行了扩展。Kang J H[14] (2012) 考虑到随着配送中心数量的减少, 风险分摊效应的加大, 会降低配送中心的运营费用和库存费用, 但是会增加需求点的库存水平和运输成本, 建立了基于VMI库存策略和总成本最低的最优风险分摊模型。Firoozi[15] (2012) 在库存决策时考虑价格的数量折扣, 并利用聚集效应的安全库存表达式, 建立包括采购成本、库存成本、运输成本和订货成本的模型。

2.2 在库存-选址联合模型中考虑横向转运问题

最早在模型中考虑库存地址因素的做法是在模型中假设补货时间或者转运时间不为零、转运成本固定且已知, 如Tagaras G[16] (1992) 考虑补货时间对转运策略的影响, 并对比完全转运和部分转运策略对总成本的影响。Tagaras G[17] (1999) 探讨了一个仓库、三个零售店、补货时间不为零的库存系统, 发现只要销售点完全共享库存, 转运策略对总体绩效影响不大;随着共享点的增加, 共享的效果更明显, 但是太多也会带来服务水平和可达性降低;构建共享网络时要考虑各个销售点间的关系。Tagaras G[18] (2002) 考虑转运时间, 探讨了几个转运策略, 证明Risk pooling效益只有在需求变化率较大时才体现出来, 需求分布函数的类型也是影响转运决策的一个很重要的因素。Wong[19] (2005) 分别分析了是否考虑转运时间的延迟转运的几种情况。Gong Y[20] (2006) 建立了一个供应商、多个零售商系统, 考虑补货时间的多点转运模型。Noonas L M[21] (2007) 考虑了单周期、4个储点、允许转运、不考虑转运时间的库存系统, 探讨了最佳库存策略和最优转运策略, 并证明在2、3个存储点最优, 如果是多个存储点则要满足合适的订单数量、需求类型和合适的成本结构才能达到最优。熊浩[22] (2007) 考虑安全库存的存放位置、是否集中存放、各个分仓库是否转载等因素, 形成几种不同的策略, 并探讨了库存节约与运输费用增加的关系。Li W[23] (2008) 考虑需求提前期、转运提前期和补货提前期等时间因素, 基于多级代理和博弈模型来进行转运决策, 利用无限次重复博弈和合作进化理论确定最优转运策略, 并利用软件Anylogic获得最优解。Kutanoglu E[24] (2009) 构建无容量限制、 (s, s-1) 库存策略、需求部分满足、有时间窗允许横向转运的系统模型, 并对转运成本、持有成本、惩罚成本、基于时间窗的服务水平等因素进行了敏感性分析。Naseraldin H[25] (2011) 考虑客户的在线随机需求, 由于共享减少零售点的数量、横向转移增加零售点的数量, 探讨了它们之间的最佳平衡策略, 并对一些重要参数进行了敏感性分析。

综上所述, 可以发现: (1) 现有研究都是单方面对中心化存储或横向转运进行研究, 虽然中心化存储可以降低安全库存量, 但是增加了服务时间和配送成本;横向转运可以做到零安全库存, 但是缺货成本和转运成本大大增加。将这两种优化方法结合起来运用将是一种有益的探索, 但这方面的研究成果还未出现。 (2) 现有的研究仅仅探讨单级 (几个存储点或几个需求点间) 的中心化库存或者横向转运问题, 而供应链多个层级内部都有横向转运和中心化安全库存的情况缺乏研究。 (3) 未有学者将选址问题与中心化安全库存和横向转运联合起来研究, 已有的研究成果均直接给出转运成本或者是转运时间、补货时间, 但没有建立时间、成本两者与地理位置的关系式, 即没有真正考虑选址因素的影响。所以, 基于中心化存储和横向转运的选址-库存联合问题值得研究。

3 模型构建

3.1 情景假设

(1) 单一产品、单周期、单一供应商、多配送中心、多需求点, 供应商和需求点的位置已知;

(2) 一个配送中心可以向多个需求点供货, 但是一个需求点只能由一个配送中心进行配送;

(3) (Q, R) 库存检查策略, 给定备选地址, 无容量约束;

(4) 各需求点的需求完全独立且均服从正态分布;

(5) 在配送中心级和需求级同时采取中心化安全库存策略, 存储各自满足下游节点需求的安全库存;

(6) 允许配送中心间、同一群组内 (由同一配送中心配送的需求点) 的需求点通过横向转运对缺货进行瞬间补充, 不计缺货成本和转运时间;

(7) 只考虑发生一次转运的情形、不考虑二次转运, 转运途中库存的持有成本不再另外计算, 包含在转运成本中。

3.2 模型参数与决策变量

(1) 模型参数:

I为备选配送中心集合, 某一个配送中心用i表示;J为需求点集合, 某一个需求点为j;

K:用来衡量库存可得性指标, 即安全系数, 与服务水平有关 (如k=1.28, 表示在提前期内的缺货可能性为0.1, 货物的可得性为0.9) ;

S:每次订货的订购成本;

C0:从供应商到配送中心的单位运输成本;

C1:从配送中心到需求点的单位运输成本;

C2:单位横向转运成本;

h:单位库存持有成本;

uj:需求点j的需求量的均值;

σj:需求点j的需求量的标准差;

Tj:需求点j的提前期均值 (天) ;

Sj:需求点j的提前期标准差 (天) ;

ui:配送中心i的需求均值;

σi:配送中心i的需求标准差;

Ti:从供应商到配送中心i的提前期 (天) ;

Si:从供应商到配送中心i的提前期标准差 (天) ;

fi:配送中心i单位时间建设成本;

dij:配送中心i到需求点j的距离;

di:供应商到配送中心i的距离;

dii’:备选配送中心间的距离;

djj’:需求点间的距离

(2) 决策变量:

Xij为0, 1变量, 如果需求点j由配送中心i服务, 取1, 否则取0。

Xi为0, 1变量, 如果配送中心选在i位置, 取1, 否则取0。

Xijp为0, 1变量, 选择在需求点p (p∈j) 为配送中心i所服务的需求点j存储安全库存时取1, 否则取0。

Xijpw为0, 1变量, 表示第p (p∈j) 个需求点为同组的第w (w∈ (j-p) ) 个需求点提供安全库存转运时取1, 否则取0。

Xim为0, 1变量, 在已选定的配送中心当中选择m (m∈i) 作为配送中心级安全库存存储点时取1, 否则取0。

Ximv为0, 1变量, 表示由配送中心m (m∈i) 为配送中心v (v∈ (i-m) ) 提供安全库存转运时取1, 否则取0。

3.3 各项成本计算

(1) 配送中心建设成本。

(2) 运输成本。

所以, 从供应商到配送中心的运输成本:

从配送中心到所有需求点的运输成本:

(3) 周转库存成本。

(Q, R) 库存检查策略时, 利用两步近似法计算其周转库存成本, 首选使用EOQ模型来确定最佳订购批量, 其中的需求量用随机需求的均值来表示。

配送中心级总周转库存成本为:

(4) 安全库存成本。

假设各需求点的需求完全不相关, 即ρj=0。每个配送中心服务的需求点可以划分为n个 (P+W) 组, 每个 (P+W) 组都在P点中心化存储, 所以, 每个 (P+W) 组的安全库存量为

则配送中心i所服务需求点的安全库存量:

需求点级的总安全库存成本为:

另外, 安全库存中心化存储条件下, 配送中心i的标准差为:

则配送中心级的总安全库存成本为:

另外, 安全库存中心化存储条件下, 配送中心i的标准差为:

ui和σi由式 (2) 和式 (12) 求得。

(5) 横向转运成本。

假设缺货通过转运瞬间补充, 所以总转运量等于总缺货量。在提前期服从均值为L、标准差为S的正态分布;需求服从均值为u、标准σ差为的正态分布;k为安全库存系数的情况下, 订货点:

式中:

所以, 配送中心i的缺货量为:

需求点j的缺货量为:

配送中心级总转运成本:

需求级总转运成本:

3.4 总体模型

基于中心化存储和横向转运的选址-库存联合决策问题可以分为两个子问题:一是选址及各需求点由哪个配送中心服务的分配问题;二是确定配送中心级和需求级的中心化存储方案, 即划分中心化存储组, 并确定m、v点, p、w点问题。二层规划为解决这类问题提供了一个可行的方法, 将第一个子问题作为上层规划、第二个子问题作为下层规划来构建二层规划模型, 下层规划的Xi和Xij由上层规划来确定, 而下层规划中Xijp、Xim、Xijpw、Ximv的也会影响上层规划。

(1) 上层规划 (U) :

式 (20) 为建设成本和运输成本 (包括从供应商到配送中心、从配送中心到需求点) 最小;式 (21) 表示每个需求点仅有一个配送中心为其送货;式 (22) 表示只有开设的配送中心才能为需求点服务;式 (23) 表示至少在备选点中选择一个作为配送中心;式 (24) 表示0, 1变量。

(2) 下层规划 (L) :

式 (25) 第1项表示配送中心级周转成本, 第2项表示需求级周转成本, 第3项表示需求级安全库存成本, 第4项表示配送中心级安全库存成本;第5项表示配送中心级横向转运成本;第6项表示需求级横向转运成本;式 (26) 表示只有选定作为集中存储点的需求点才能为其它需求点提供服务;式 (27) 表示至少选择一个同组的需求点作为安全库存的存储点;式 (28) 表示在需求级, 每个非安全库存集中存储点仅有一个集中存储点为其提供横向转运;式 (29) 表示只有选定作为集中存储点的配送中心才能为其它配送中心服务;式 (30) 表示至少选择一个配送中心作为配送中心级安全库存的存储点;式 (31) 表示在配送中心级, 每个非安全库存集中存储点仅有一个集中存储点为其提供横向转运;式 (32) 表示0, 1变量。

4 算例验证

现有1个供应商、3个备选配送中心、10个需求点构成的配送网络, 要求从3个备选配送中心中选2个来服务10个需求点, 其相关数据如下:

(假设供应商的坐标为 (0, 0) , dijdidii’djj’均可通过下表坐标求得)

利用MATLAB7.10.0 (R2010a) 编写求解程序, 编程基本思路如下: (1) 首先对配送中心进行选取遍历 (比如3选2, 有3种情况) ; (2) 对选取的配送中心组合 (如3选2中的1、2) 进行需求点分配 (比如6个需求点, 分1、2、3和4、5、6两组) ; (3) 对分组的需求点进行p和w分配 (例如1、2、3, 令1为p, 2、3为w) ; (4) 对配送中心进行m和v分配 (比如1为m, 2为v) ; (5) 最后进行所有情况的遍历。所有的实验在一个CPU i5-3230M@2.60GH z, 内存4G, 以windows 7为操作系统的电脑上运行, 计算结果如表5所示。

从表5可以看出最优方案为第二次迭代时, 即选择配送中心1、3, 且配送中心级的安全库存中心化储存在1点;需求点1、2、6、7、8、10由配送中心1服务, 其余的由配送中心3服务;7、6、10、4、5作为需求级的安全库存中心化存储点来对1、2、8、3、9分别进行横向转运, 其最低成本为111840元。并且可以发现如果考虑单位库存持有成本、转运成本、运输成本等因素的影响, 安全库存的集中存放策略并不是聚集在某一个地方, 而是在多个地方进行有限、适度的集聚, 其成本更低。

5 结论及展望