极坐标法范文

极坐标法范文（精选10篇）

极坐标法 第1篇

1 ZY点设站极坐标法圆曲线测设概述

应用此方法测设圆曲线时, 仪器可以安置在任意控制点上, 包括路线上的交点、转点等已知点。其测设数据主要是计算圆曲线主点和细部点的坐标, 然后根据控制点和细部点的坐标, 反算出极坐标法的测设数据测站至待测设点的方位角和水平距离。使用全站仪测设时, 则可直接将已知点、圆曲线主点及细部点的坐标编辑成文本文件, 然后上传到仪器中进行测设。

2 圆曲线坐标计算函数模型

2.1 圆曲线主点坐标计算函数式[3]

如图1所示, 圆曲线主点ZY、YZ和QZ点的坐标计算公式为:

式中, α1为ZD1JD的方位角 (由已知坐标反算得到) :α2=α1+Δ;undefined。

2.2 圆曲线细部点坐标计算函数式[3]

设圆曲线上任意一点为Pi, 则其坐标计算公式为:xPi=XZY+cicosαPi;yPi=yZY+cisinαPi

式中, αPi=α1+γi;ci为其弦长, 则undefined, 其中undefined为其曲线长) 。

3 Excel实现测设数据计算的步骤

3.1 圆曲线主点里程计算

如表1所示, 已知JD的桩号为K3+182.76, 测得转角 (即图1中的△) α=24°48′20″, 圆曲线设计半径R=500m。使用Excel实现圆曲线主点里程计算时, 首先在B19单元输入半径“500”, F19输入交点里程“3182.76”;C18、D18、E18单元分别输入转角的度、分、秒值“24”、“48”、“20”, 并设计好表格内容, 则可进行圆曲线元素计算, 其具体算法如下:

B18=RADIANS (C18+D18/60+E18/3600) 将转角单位由度转化为弧度;

D19=B19*TAN (B18/2) 切线长T的计算公式;

D20=B19*B18 圆曲线长L的计算公式;

D21=B19* (1/COS (B18/2) -1) 外矢距E的计算公式;

D22=2*D19-D20 切曲差q的计算公式;

F20=F19-D19 ZY点里程的计算;

F21=F20+D20/2 QZ点里程的计算;

F22==F21+D20/2 YZ点里程的计算;

F23=F19+D19-D22 YZ点里程的检核计算;

3.2 圆曲线细部点坐标计算

使用Excel进行圆曲线细部点坐标计算, 结果如表1所示, 具体算法如下:

B4 =F20;B16 =F22;B1=F21, 其余按弧长l0值的整倍数输入整数桩号。

C4 =B4-$B$4 曲线长li的计算公式

D4=DEGREES (C4/$B$19) /2 偏角γi的计算公式 (以度为单位) ;

E4=2*$B$19*SIN (RADIANS (D4) ) 弦长ci的计算公式;

F4为ZYJD的已知方位角, 由坐标反算得到;

F5 =$F$4+D5+IF ($F$4+D5>360, -360, 0) 弦长方向的坐标方位角αPi的计算公式;

G5 =$G$4+E5*COS (RADIANS (F5) ) 细部点的x坐标计算公式;

H5=$H$4+E5*SIN (RADIANS (F5) ) 细部点的y坐标计算公式;

分别将C4、D4、E4、F5、G5和H5单元的公式复制到C5～C17、D5～D17、E5～E17、F6～F17、G6～G17和H6～H17单元中, 即可完成全部放样数据的计算。

4 精度分析

极坐标法放样一个点P时, 其点位误差mP主要来源于三个方面:起始点的点位误差m起、放样误差m放和标定误差m标。

即mundefined=mundefined+mundefined+mundefined

实际工程中主要是要求工程各部分的相对位置关系, 所以起算点的点位误差m起一般不考虑;而放样误差由角度放样误差mβ和长度放样误差mS产生, 标定误差是标定P点位置时所产生, 一般为估算值。因此, 极坐标法放样点位P时, 其点位误差估算公式为[6]:

mundefined=mundefined+mundefinedundefined标

全站仪放样时, 上式中角度放样误差mβ和长度放样误差mS由仪器标称精度决定, 为固定值;而当测站点到放样点距离S增大时, 点位误差mP也将增大。所以, 测站点的选取必须根据实际情况, 结合以下两点考虑: (1) 各点与测站点通视; (2) 各点与测站点距离不易过长。

5 结束语

编制好上述计算表格 , 不同的测设曲线对象, 仅需更改相应的已知参数即可;若增加放样点, 则只需在相应的位置内插行, 再复制相应的公式即可完成计算[1]。总之, 在测量计算中使用Excel具有编程简便, 计算过程直观, 计算结果表格化等优点, 加之该软件普及程度高, 在生产实践中, 既可以提高工作效率, 又能满足工程精度要求。

参考文献

[1]徐旭.EXCEL在曲线测设计算中的应用[J].江西测绘, 2007 (4) :59-64.

[2]周艳, 宋君超, 张华英.基于VB的全站仪极坐标法实地放线程序设计方法研究[J].北方交通, 2009 (9) :37-40.

[3]覃辉.土木工程测量[M]. (第2版) .上海:同济大学出版社, 2005.

[4]张廷斌.弦线极坐标法测设圆曲线[J].矿山测量, 2007 (4) .18-19.

[5]任维成, 杨玉坤, 孔祥皓.一种任意平面曲线放样的实用新方法[J].测绘与空间地理信息, 2008 (3) :164-168.

[6]张晓东, 赵国忱.工程测量学[M].北京:教育科学出版社, 2003.

[7]叶巧云.快速放样线路中桩及边桩的技术方法[J].测绘信息与工程, 2002 (2) :21-22.

涡轮叶片温度场插值的坐标变换法 第2篇

涡轮叶片温度场插值的坐标变换法

研究了利用坐标变换求涡轮叶片温度场的插值方法.选择等叶高面间的叶片体为研究对象,利用20个节点包络此叶片体,在物理坐标与虚拟坐标之间建立坐标变换函数,确立物理坐标节点与虚拟坐标节点的映射关系,通过坐标变换把形状复杂的叶片体变换为规则的正方体,在虚拟坐标系中、规则的正方体上插值求得涡轮叶片体任意点的`温度值.通过算例验证了该方法的可行性和正确性.

作 者： 作者单位： 刊 名：航空发动机 英文刊名：AEROENGINE 年，卷(期)： 35(5) 分类号：V2 关键词：涡轮叶片   温度场   坐标变换   插值  

论全站仪极坐标法在桥梁测量中应用 第3篇

近年来, 我国公路建设事业发展迅速, 特别是高等级公路的兴建, 大大推动了我国现代化交通事业的发展进程, 其中桥梁的建设是关键。桥梁正在向着跨径大、结构轻、造型美的方向发展, 这就对桥梁建设提出了更高的要求, 特别是施工测量是一项精密而细致的工作, 稍有不慎, 就有可能产生误差, 一旦产生错误而又未及时发现, 就会影响下步工作, 从而造成推迟工作进度或返工浪费, 给国家和单位造成损失。

2 极坐标法

主要先根据设计图纸计算路桥各里程中桩、边桩和节点、变坡点等的坐标, 然后使用全站仪在沿途施工线路已布设的控制点上设站, 再对各里程中桩、边桩及节点、变坡点等进行放样测量, 从而达到指导路桥施工的目的。

3 控制测量

有了全站仪, 路桥的控制点布设主要是附合导线或闭合导线, 其测量方法及各项限差参数, 请参考大地测量。

4 内业计算坐标

4.1 直线部分:

已知路标直线中桩上A、B两点坐标为 (Xa, Ya) 、 (Xb, Yb) , 如图1, A、B桩的里程为ka、kb, 那么:

a) 该直线段上任意桩号点Pi的坐标为:

AB的方位角Tab=arctan[ (Yb-Ya) / (Xb-Xa) ]

任意点Pi的坐标

Xp=Xa+ScosTap

Yp=Ya+SsinTap

式中:S=|Kp-Ka| (Kp为Pi点的里程)

b) A、B为路桥设计中线, C、D为边桩或桩位等节点, 求C、D坐标。

PiC的方位角Tpic=Tab+90°;PiD的方位角Tpid=Tab-90°;则C点的坐标为:

Xc=xp+SpccosTpic

Yc=yp+SpcsinTpic

同样可以求得D点坐标:

Xd=xp+SpdcosTpid

yd=yp+SpdsinTpid

4.2 曲线部分

曲线的平面线形一般是直线―缓和曲线―圆曲线―缓和曲线―直线的组合。

4.2.1 主点测设元素的计算

圆曲线内移值P和切线增量q的计算公式为

undefined

曲线主点测设要素的计算公式为

切线长undefined

曲线长undefined

其中圆曲线长undefined

外距undefined

切曲差J= 2T -L

式中undefined为缓和曲线长, R为圆曲线半径, △为路线转角。当△为右偏角时取“+”、为左偏角时取“一”。

这时五个主点ZH、HY、QZ、YH、HZ桩号里程分别为:

Zzh=Zjd-T (Zjd为路线转角两直线交点里程)

Zhy=Zzh+Lh

Zqz=Zzh+L/2

Zyh=Zhy+Ly

Zhz=Zyh+Lh

4.2.2 各里程点测设元素的计算

设直线与缓和曲线的交点ZH点里程为Z, 缓和曲线上任一点里程为Ah。

圆曲线上任一点里程为Ay, 则Kh=Ah-Z、Ky=Ay-Z

4.2.2.1缓和曲线线上一点到ZH点的坐标增量为

Xh=Kh-Kundefined÷ (40R2Lundefined) +Kundefined÷ (3456R4Lundefined)

yh=Kundefined÷ (6RLh) -Kundefined÷ (336R3Lundefined) +Kundefined÷ (42240R5Lundefined)

其切线方向增角为E=90Kundefined÷ (πRLh)

而其方位增角为F=tan-1 (yh/xh)

其极距为S= (xundefined+yundefined) 0.5

当△>0时, 该点到ZH点的坐标方位为α=α0+F, 切线方位α切=α0+E;当△<0时, α=α0-F, α切=α0-E (α0为起始直线方位值) 。

这样该点的坐标为x=xZH+scosα

y=yZH+ssinα

其国桩C、D坐标为xc=x+spiccos (α切+90°)

yc=x+spicsin (α切+90°)

xD=x+spiDcos (α切-90°)

yD=y+spiDsin (α切-90°)

4.2.2.2圆曲线上一点到ZH起点的坐标增量为Xy=RsinE+qYx=R (1-cosE) +P其中E=90 (2Ky-Lh) ÷ (πR)

其方位增角F=tan-1 (yx/xy)

极距S= (xundefined+yundefined) 0.5

同缓和曲线一样, 圆曲线上任一点的坐标为

x=xzh+Scosα

y=xzh+Ssinα

圆曲线上任一点的边桩坐标为xc=x+spiccos (α切+90°)

yc=y+spicsin (α切+90°)

xD=x+spiDcos (α切-90°)

yD=y+spiDsin (α切-90°)

注意:以上各种计算公式较为繁杂, 计算点数很多 (通常桥梁需要5米计算一个中柱、边桩及柱位等节点;公路施工需要10米计算一个中桩及边桩) , 所以建议同行们使用可编程工程计处器 (如CASIO+X-4800) 电脑进行编程序计算。

5 外业放样测量

有了这些计算的各节点坐标, 就可以使用全站议在控制点上对各中柱、边柱、柱位、支座点等节点进行放样, 指导路桥施工。

6 结束语

桥梁工程的测量工作是桥梁施工中不可忽视的重要一环, 是确保工程总体质量与进度的关键。 [ID:3776]

摘要：随着全站仪的推广普及, 公路桥梁施工测量中极坐标法的应用越来越广, 而且让测量工作变得更简单、更准确。本文总结了个人工作经验, 重点介绍在路桥工程建设中如何应用全站仪极坐标进行工程测量的方法, 供同行参考。

极坐标法 第4篇

河北师范大学 程海奎

解析几何的核心思想是“坐标法”。在直角坐标系中，平面上的点用坐标把曲线看成是满足某种条件的点的集合或轨迹，用曲线上点的坐标程

表示，所满足的二元方表示曲线，用代数方法研究方程的性质，进而间接地研究曲线的性质。这合理性的要求就是能通过方程研究曲线的性质。我们面临两个数学对象：曲线C和方程，如果 就要求曲线和方程之间必须具有某种等价关系，即给“曲线的方程”下一个合理的定义，对（1）曲线上点的坐标都是方程的解（完备性）；

（2）以方程的解为坐标的点都在曲线上（纯粹性）。

那么就称

为曲线C的方程，称C为方程的曲线。

“曲线的方程”概念是解析几何教学中公认的难点。这大概就是数学演绎体系的直接反映。对于习惯于演绎推理的数学家来说可能觉得容易理解，但是对于学生会有什么样的反应呢？由于“概念”是突然出现的，学生会疑问：为什么要“曲线的方程”这个概念？为什么

这样定义？这样的定义是否合理？

由于数学本身具有“抽象性”和“准确性”的特点，加上种种因素的制约，教材对数学概念及定理大多是以演绎的方式呈现的。在课堂教学中，教师一般都会对教材加以“处理”，进行“再创造”。关于“曲线与方程”概念的教学设计，我们先对以下几种设计进行比较，作一简单评析。1．纯粹演绎模式

（1）直接给出“曲线的方程”的定义，然后加以说明。完备性是说“曲线上没有坐标不满足方程的点”，纯粹性是说“满足方程的点

都在曲线上”。

（2）从集合对应的观点解释概念。令P表示曲线C上所有点的集合，N表示方程的解集，即，P和N之间具有一一对应关系。如果令，则

N且M

N，M

N表示完备性，M

。N表示纯粹性。M=N即M（3）分别举出不满足完备性和纯粹性的实例，从反面加强对概念的理解。（4）给定曲线的几何特征利用定义求曲线方程，或证明某方程是曲线的方程来强化概

念的理解。

这种教学模式满足了准确性的要求，而且也揭示了概念的本质：两个集合之间的一一对应关系。但遗憾的是学生的疑问没有得到很好地解决。也许学完解析几何内容后能够得到释

疑，但那已经是马后炮了！

2．归纳——演绎模式

对直线与直线方程、圆和圆的方程的概念学生已有初步的认识，引导学生从直线与直线方程、圆和圆的方程之间的关系、集合之间的一一对应等进行辨析概括，归纳得出曲线的方

程概念。

（1）求过点

且斜率为k的直线l方程，探究直线上点的坐标与方程的解之间的关系，进一步探究直线上点的集合与方程的解集之间的关系。

点P在直线l上 ①。

直线l上点的坐标都是方程①的解，且以方程①的解为坐标的点都在直线l上。从集合的观点看：直线l上点（用坐标表示）的集合与方程①的解集相等。（2）求以O为圆心，以r为半径的圆的方程，探究圆上点的坐标与方程的解之间的关系；进一步探究圆上点的集合与方程的解集之间的关系。

点P在圆O上

②

圆O上点的坐标都是方程②的解，以方程②的解为坐标的点都在圆O上。从集合的观点看：圆O上点（用坐标表示）的集合与方程②的解集相等。

（3）由特殊到一般，归纳出“曲线的方程”的概念。（4）通过实例从正反两个方面来加深对概念的理解。

归纳——演绎是揭示概念本质的有效方法。采用上述归纳方式揭示数学概念符合学生的认知规律，定义也显的比较自然，同时将直线方程和圆的方程纳入曲线的方程这个一般概念之中。但就“曲线的方程”概念而言，在归纳过程中，只关注了曲线和方程的联系以及集合之间的一一对应关系，没有适时渗透坐标法的思想，学生不了解曲线的方程的概念在解析几何中的地位和作用，对定义的合理性就缺乏认识，对曲线方程的完备性和纯粹性理解难以深

刻。

3．类比——归纳模式

类比“函数与图像”的联系，归纳得出“曲线的方程”概念。

如果将函数的解析式

看成是关于x，y的二元方程，函数的图像看成曲线，将函数解析式纳入了曲线的方程概念中。由于学生对“函数与图像”认识比较深刻，选择几个具体的函数，通过分析函数图像上点与方程的解之间的联系，归纳出一般的“曲

线的方程”概念。

“函数与图像”和“曲线与方程”之间既有联系，又有区别。函数是刻画变量y随x变化的变化规律的数学模型，对任意x要求有唯一的y值与其对应。虽然二元方程在某些条件下也能确定一个y关于x的函数，但

一般是作为x和y之间的约束条件，其中x和y的地位是平等的。另外，从研究方法看，函数图像作为变量间变化规律的直观表示，我们一般是借助图像的直观研究函数的性质，而在解析几何中，我们通常是通过方程研究平面曲线的性质。因此，用类比“函数与图像”的方法归纳曲线的方程的概念不是最佳选择。

解析几何的核心思想方法是“坐标法”，在直角坐标系中，根据曲线的特征建立曲线方程是研究的基础。“曲线的方程”既是我们研究的直接对象，更是研究曲线几何性质的桥梁。而只有当曲线上点的集合与方程的解集之间具有一一对应关系时，才能通过研究方程得到曲线的性质，无论完备性和纯粹性得到破坏都不能由方程得到曲线的性质。

基于这样的认识，尝试进行如下的设计：

本节课的教学目标主要为：（1）理解曲线的方程和方程的曲线的概念；（2）体会由曲线的几何特征求曲线的方程的基本步骤；（3）通过对简单曲线的方程的研究，体会坐标法的基本思想。但重点是理解曲线的方程概念的本质，了解曲线的方程概念作为坐标法思想的重要组成部分，以及概念在解析几何中的地位和作用。

教学过程中，设计了几项要求学生完成任务。任务之一：定义“曲线的方程”概念之前，求曲线的方程。其意图是辨析曲线与方程的关系，曲线和方程的转化，为归纳一般概念做铺垫。任务之二：通过方程研究曲线的对称性。其意图是体会“曲线的方程”定义的合理性，渗透坐标法的思想。任务之三：在“曲线的方程”概念之后，求给定曲线C的方程。其主要目的是强化概念的理解，体会求曲线的方程的步骤。总之，所有的任务都是围绕揭示“曲线的方程”“方程的曲线”概念的本质，体会定义的合理性而展开的。由于先期已经学习了如何求直线方程和圆的方程，并通过方程研究直线与直线的位置关系，点到直线的距离公式，直线和圆的位置关系等，学生对坐标法的思想已有初步的认识。这样的设计理论上是可行的，但有待实践的检验。

教学过程如下表。

设曲线上任意一点的坐标为的坐标都是方程解，则点，根据曲线的特征得，这说明曲线上点是方程的的解（满足完备性）。反之，假设到两个坐标轴的距离的乘积为1，即点

2在曲线上（满足纯粹性）。由定义得曲线C的方程为。如果由程的解（不满足完备性）。

极坐标法 第5篇

一、定三角形（已知两边和其夹角或已知三边）

例1（2007年天津理科卷）已知△ABC中，∠BAC=120°,AB=2,AC=1,D是边BC上的一点，DC=2BD，则AD•BC=.

分析根据本题的条件求数量积，容易想到选AB，AC作为基底，将AD，BC表示出来求解.

其实此三角形已知了两边和其夹角，即此三角形是确定的，所以可以建立平面直角坐标系，快速求得各点的坐标，将向量的运算转化为其坐标的运算.

图1

解以AC所在直线为x轴，A为原点建立如图1所示的平面直角坐标系，

则C（1，0），B（-1，3），D-13,233，

故AD=-13,233，BC=（2，-3），

所以AD•BC=-83.

二、定一边的三角形

例2（2008年江苏卷）若△ABC中，AB=2，AC=2BC，则其面积S△ABC的最大值为.

分析本题的条件是边长之间的关系，很多考生想到利用余弦定理以及三角形面积公式（两边与其夹角的正弦的积的一半）求解，结果因为计算量大,而未得其果，或者即使做出来了，也用了大量的时间.

其实此三角形一边AB为定值（可看成底边），第三个顶点C满足AC=2BC，故可用三角形面积公式S△ABC=12|AB|h（h为点C到AB的距离），将问题转化为求点C的轨迹，故可用“坐标法”轻松求解.

图2

解以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立如图2所示的平面直角坐标系，则A（-1，0），B（1，0）.

设C（x,y）,由AC=2BC，得(x+1)2+y2=2•(x-1)2+y2，化简得（x-3）2+y2=8(x≠0)，所以点C的轨迹是以（3，0）为圆心，22为半径的圆（除去其在x轴上的两点），

所以S△ABC=12|AB|•|yC|=|yC|≤22，当且仅当点C为（3,±22）时等号成立，故（S△ABC）max=22.

三、定一角的三角形

例3（2008年湖南理科卷）在一个特定时段内，以点E为中心7海里以内的海域被设为警戒水域，

点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A的北偏东45°方向且与点A相距402海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A的北偏东45°+θ（其中sinθ=2626，0°<θ<90°）方向且与点A相距1013海里的位置C.

(1)求该船的行驶速度（单位：海里/小时）；

（2）若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.

分析如图3(1)，若先分别利用余弦定理和正弦定理，在△ABC和△ACQ中求得BC，AQ，再在Rt△EPQ中求得EP，则运算量相当大.其实解本题的关键是求直线BC的方程，故可建立直角坐标系轻而易举求解本题.

图3(1)

图3（2）

解如图3（2）所示，以A为原点,正东为x轴正方向建立平面直角坐标系，

设点B，C坐标分别是B（x1,y1），C(x2，y2)，BC与x轴的交点为D.

由题设，有x1=y1=22AB=40，

x2=ACcos∠CAD=1013cos(45°-θ)=30，

y2=ACsin∠CAD=1013sin(45°-θ)=20.

所以过点B，C的直线l的斜率k=2010=2，故直线l的方程为y=2x-40.

故点E（0,-55）到直线l的距离d=|55-40|1+4=35<7，

所以船会进入警戒水域.

四、不定的三角形

图4（1）

例4（2006年湖南理科卷）如图4（1），OM∥AB，点P在由射线OM，线段OB及线段AB的延长线围成的区域内

（不含边界）运动，且OP=xOA+

yOB，则x的

取值范围是；当x=-12时，y的取值范围是.

分析由OP=xOA+yOB，易想到用平面向量基本定理将OP分解，再利用三角形相似比求得答案，但运算复杂.其实这是一道填空题，故可将△AOB的图形特殊化，建立平面直角坐标系迅速求出结果.

图4（2）

解将△AOB视为等腰直角三角形，其中AO⊥BO，且AO=BO，以OA所在直线为x轴，OB所在直线为y轴建立如图4（2）所示的直角坐标系.

则A（1，0），B（0，1），

∠BAO=∠MON=45°.

设P（x,y），由图易知x的取值范围是（-∞，0），当x=-12时，y的取值范围是12，32.

巩固练习

1.在△ABC中，AB=1，BC=6，CA=2，△ABC的外接圆的圆心为O，若AO=λAB+μAC，则实数λ，μ的值分别为,.

2.已知OA=a,OB=b，a•b=|a-b|=2，当△AOB的面积最大值时，a,b的夹角为.

图5

3.如图5所示，在某定点A测得一船初始位置B在A的北偏西60°处，十分钟后船在A正北C处，又过十分钟后船到达A的北偏东45°的D处.若船的航向与速度都不变，且船的航向为北偏东θ，则tanθ=.

4.在△AOB中，OA=a,OB=b,OC=14OA,OD=12OB，AD与BC交于点M，则OM=.（用a,b表示）

极坐标法 第6篇

在野外地形图测绘时, 经常会根据地形、地物测量的需要, 使用全站仪极坐标法布设图根点或测站点。在《城市测量规范》和《工程测量规范》中对此均有相应的规定说明。要保证地形图的质量达到国家规范的精度, 首先必须保证图根点或测站点的精度符合要求。在野外测绘作业时, 只是对测区进行任务划分, 并没有按图幅进行测量, 所以就没有了图幅范围的限制。而全站仪测量直接得到点的坐标, 从能力上说, 只要能够通视且在全站仪测距范围内的地形地物点, 都是可以测量的。但是, 在使用全站仪极坐标法布设图根点时, 如果不顾距离和测站数的限制, 不断地增加测站数, 就会导致测量点位误差越积越大, 结果使所测得地形图出现偏差和扭曲的现象。本文拟对生产中使用全站仪极坐标法布设图根点的距离和测站数加以分析, 并对其平面点位精度进行估算, 以作为野外作业时的参考。

1 起算数据误差及其对点位的影响

在控制网平差计算和全站仪外业测量时, 大多数情况下并没有顾及起算数据的误差, 但在选择起算数据时对其精度有严格的要求。在传统的控制网形式三角网的主要技术要求中, 对起始边长相对中误差的精度有明确的规定。如果在控制网平差时要考虑起算数据的影响, 就需要收集起算数据的平差资料, 比如单位权方差和起算点的协因数矩阵或者起算点坐标的方差协方差矩阵[1]。对于一般的控制网而言, 这样做给计算带来一定的麻烦和难度。现在规范中规定的点位误差也是一个相对的概念, 比如规范规定四等控制网中最弱相邻点的相对点位误差不得大于5 cm, 图根点点位误差相对于邻近等级控制点不超过图上0.1 mm。按照这个规定, 如果测绘1∶500的地形图, 则图根点的点位误差不能超过5 cm[2]。

当采用全站仪极坐标法布设图根点, 起算数据包括已知点坐标和起算方位角。由于图根点精度是相对于起算点而言, 所以在讨论起算数据的影响时, 就只考虑起算方位角的误差。假设起算边长为Sij, 起始方位角为αij, 则有

根据两点间坐标增量的方差和协方差, 按协方差传播定律就有边长的误差和方位角的误差分别为

上面是根据协方差矩阵计算出来的边长和坐标方位角的误差[3]。

由于Δx=ScosαΔy=Ssinα代入式 (2) 并化简得到

式 (1) +式 (3) 得到

根据等影响的原则, 假设距离测量误差和方位角误差相等, 那么则有

等式两边开方后得到式 (5) 。

从表1计算结果可以看出方位角误差随着控制网等级的降低增加很快, 并且四等以下控制网, 边长方位角的误差较大。

起始方位角的误差除了起始边所固有的误差外, 在测量过程中还有来自测站偏心和后视目标偏心的影响。假设后视距离为S, 测站偏心距为e1, 后视目标偏心距为e2, 那么这二者引起后视方位角的误差用公式表示为

当仪器对中偏心的方向和后视方向垂直时, 此时对后视方位角的影响最大;但如果仪器对中偏心的方向与目标偏心的方向发生在同一侧, 则二者对后视方位角的共同影响最小, 反之, 对后视方位角的影响最大。在这里按影响最大的情况考虑, 则上面的公式简化为

方位角的误差可以用式 (7) 表示。

采用极坐标法布设图根点测量时, 后视已知方向的方位角误差对图根点点位的影响为

2 测量误差对点位精度的影响

测量误差包括测距误差、测角误差和在测量过程中仪器的对中误差、目标的偏心误差、读数误差以及环境的影响带来的误差[4]。

2.1 距离测量误差

用ms表示, 包括全站仪标称误差、仪器对中误差和目标偏心误差等。全站仪的标称误差包含与距离长短无关的测相误差和棱镜常数误差, 称为固定误差;也包含与距离长短有关的仪器频率误差和气象因素有关的误差, 称为比例误差。全站仪标称误差通常用式 (9) 表示。

而仪器对中和目标偏心的误差和距离长短无关, 它们对测量距离直接产生影响。综上所述, 距离测量的误差ms可以表示为

式 (10) 中, md的大小和使用的仪器精度有关, 仪器的对中误差常取±3 mm, 目标的偏心误差也和使用的设备有很大关系, 如果使用支架对中杆测量图根点的话, 目标偏心应该有±5 mm。

2.2 测角误差

用mβ表示, 包括仪器标称的测角误差、仪器对中, 目标偏心, 瞄准引起的误差、仪器显示读数误差以及外界环境的影响带来的误差。可以用式 (11) 表示测角误差mβ。

(1) m标和使用的仪器有关, 由仪器的精度决定。

(4) 瞄准误差与望远镜的放大倍率有关, 取全站仪的放大倍率V=30, 则m瞄=60/v=±2″。

(5) 仪器的读数显示误差取m读=±2″。

(6) 外界环境对测角的影响m外=±3″。

2.3 距离测量

引起点位产生纵向方向的误差, 而角度测量导致点位产生横向方向的误差, 测量误差对点位的影响可用下面公式表示

3 极坐标法图根点点位误差的计算分析

综合起算方位角的误差和测量误差对图根点的平面位置产生的影响为

假设已知边AB为一条一级导线边, 平均边长为300 m, 最弱边相对中误差为1/20 000, 使用的全站仪测角精度2″, 测距标称精度为3 mm+2×10-6D。如图1所示进行图根点的布设, 其中A、B点是已知点, P1、P2、P3是待测的图根点。表2中计算列出的点位误差均为累积误差, 这样就和实际外业测量的情况较为一致, 计算出来的数据才真实可靠, 才能说明采用极坐标法测量图根点时测站数和距离对点位误差的影响。在表2用Bs代表后视距离, Sp代表测点距离, Maz代表后视方位角引起的误差, Ms代表测距误差, Mβ代表测角引起的误差, Mp代表点位误差。

从表2可以看出, 随着测点距离的增长, 测角引起的误差在增大, 后视方位角引起的误差增加更快, 并且后视方位角引起的误差在点位误差中所占的比重越来越大;但是距离测量的误差几乎没有变化。如果以5 cm作为限差的话, 以300 m为后视的情况下, 测点距离最远可以达到800 m, 而点位误差并不超限。

以已知点测站计算结果为基础, 继续讨论多测站情况下随着测站数的增加图根点的点位误差的累计值的大小。全站仪安置在P1点, 后视已知点A。此时, 由前一测站的所有误差传递给P1点, 形成了P1点的点位误差。在P1站上, 后视方位角的误差仅包括仪器对中和目标偏心的误差。P2点的点位误差计算表见表3。

表3计算了在不同后视距离和测点距离的情况下P2点的点位误差的大小。细观察发现, 当后视距离在200~400 m的情况下, P2点的距离可以达到800~900 m, 点位误差仍然没有超过5 cm的限差;并且后视距离越大, 在保证点位误差不超限的前提下, 测点距离就越短。从计算结果来看, 继续向前支测图根点的精度的潜力还很大, 在野外测量时可以参考上表计算的数据, 来选择最为有利的后视和测点的距离, 也要考虑为下一测站P2站上测点P3的精度留有余地。

由于P2点的点位误差仍具有向前支测的精度优势, 同时为了验证这种精度上的潜力, 继续在P2点上设立测站, 在不同的后视距离和测点距离下, 计算P3点的点位误差。由于计算数据较多, 表4中只列出了点位误差小于5 cm的有代表性的部分。

表4中的测点/后视列下面的数字是P2站的后视, 实际上就是P1测站上的后视和测点的距离值。表中灰色底纹的部分误差没有超过5 cm。从表4可以得出:

(1) 在点位误差5 cm的范围内, 图根点P3点的距离值比上一测站短了许多, 这是由于误差不断积累所至, 但可以测量的最大距离仍达到600 m。

(2) 经过3个测站的测量, P3点的误差大多数超过了4 cm, 特别是当P2站的后视距离为500~600 m, 或其前一站P1站的后视距离为400~600 m时, P3点的误差接近5 cm的限差。

(3) P1测站上后视和测点的距离在100~300m、200~500 m或300~400 m时, P2站保持精度的余地范围较大, 此时P2站上P3点所能测量的距离就较长, 而误差不超过5 cm。

从已知点测站到最后一个图根点P3点的图根支导线总长度, 在点位误差5 cm范围内, 最大达到1 100 m。但从表格计算结果分析, 保守地认为支导线的总长不宜超过800 m, 在这取1 100×0.7=770 m较为恰当, 主要是为精度留有余地。这样支导线的平均边长为770/3=260 m。在进行地形测量时, 每个点可以测量的面积为3.14× (0.26/2) 2×0.7=0.037 1 km2, 则每平方公里需要的图根点为1/0.037 1=27 (个) , 每幅图需要27/16=1.68≈2 (个) 。这和《工程测量规范》规定一致[5]。但是《城市测量规范》规定每幅图需要4个图根点[2], 个人认为该规定过严格, 有浪费精度的可能。

4 结论和建议

全站仪极坐标法测量是野外测绘工作中频繁使用的一种确定图根点和测站点坐标的方法。这种方法灵活方便实用, 极大地提高了外业工作效率, 如果使用得当, 能够保证野外数字测图的精度。但是, 为了保证测量的精度, 应注意以下几点:

(1) 由于已知后视边的方位角的误差对图根点的精度影响较大, 应用全站仪极坐标法连续测量图根点时, 尽量选择精度较高的等级控制点边作为起始点和起算边。

(2) 总的测站数不要超过3个测站, 因为第3测站时图根点的误差大多数接近5 cm。如果再向前发展, 误差就会超限。

(3) 要严格控制测站上后视和测点的距离, 要避免用短边作后视控制长边。如果在野外出现了这种情况, 要注意测点至测站的距离不能大于3倍后视距离。

(4) 根据计算结果, 当后视为200~300 m时, 图根测点至测站的距离不要大于2~1.5倍后视距离;当后视距离为500 m或更大时, 不建议再向前支测图根点。同时认为在一个测站上后视距离和图根测点距离相等或相近 (距离不超过100 m) , 此时图根点的精度最可靠, 特别是这两者的距离在100~300 m或200~400 m之间时, 图根点向前发展的能力最强。

参考文献

[1] 於宗俦, 鲁成林.测量平差基础.北京:测绘出版社, 1983:46 —52Yu Z S, Lu C L.Foundation of surveying adjustment.Beijing:Surveying&Mapping Press, 1983:46—52

[2] CJJ/T 8—2011, 城市测量规范.北京:中国建筑工业出版社, 2012:21—28, 60—62CJJ/T 8—2011.Code for Urban Survey.Beijing:China Architecture&Building Press, 2012:21—28, 60—62

[3] 张正禄.工程测量学.武汉:武汉大学出版社, 2004:35—39Zhang Z L.Engineering Surveying.Wuhan:Wuhan University Press, 2004:35—39

[4] 孔祥元, 梅是义.控制测量学.武汉:武汉大学出版社, 2002:38 —47Kong X Y, Mei S Y.Control surveying.Wuhan:Wuhan University Press, 2002:38—47

极坐标法 第7篇

关键词：全站仪,极坐标法,曲线整正,缓和曲线,拨距计算

1 概述

随着时代的进步, 工程测量仪器的发展, 计算机的应用, 铁路曲线整正手段发生很大变化。过去基于渐伸线理论常用的偏角法、角图法由于理论不严密, 误差大, 在既有线加之行车干扰, 已经淘汰, 很少有人使用, 取而代之的是用全站仪通过极坐标法直接取得线路上各测点的平面坐标, 内业应用计算机编程进行整正计算。全站仪极坐标法测量既有曲线安全可靠, 误差不累计, 效率高, 不受行车干扰。但整正理论中的拨距计算鲜有论述, 特别是缓和曲线部分的拨距计算有人这样算, 有人哪样算, 相互矛盾, 彼感困惑。因此, 有必要对坐标法的曲线整正拨距计算给予讨论, 以获得正确的方法。

2 拨距计算

全站仪极坐标法测量曲线不同于绳正法, 测得的是点在平面中的位置。如图1, 点P位于曲线外, 其拨距应是距曲线最近点E的距离, 求出E的坐标, 就可根据两点距离公式求得拨距。问题是E有可能在直线上, 有可能在缓和曲线上, 有可能在圆曲线上, 因此, 求解拨距先要确定既有测点在曲线中的相对位置, 再根据最近点E在不同线形单元分别求解。

2.1 确定既有测点在曲线中的相对位置。

已知曲线单元的起终点B、E的坐标分别为 (xb, yb) 、 (xe, ye) 、切线方向tb, te, 以及测点p的坐标 (xp, yp) , 如图2, 连接PB、PE, K点为最近点, d为拨距, αb, αe分别是PB与切线方向tb、PE与切线方向te的夹角, 既有测点在曲线中的位置则由αb, αe决定:a.当 时, 最近点K在本单元上;b.当 时, 最近点K在前进单元上;c.当 时, 最近点K在后退单元上;

2.2 求最近点, 计算拨距。

a.当最近点在直线上时, 不必求最近点的坐标, 拨距是切线坐标系x-zh-y下的y坐标, 或是后面切线坐标系xzh-y下的y坐标, 结果是正数上挑, 负数下压;b.当最近点在圆曲线上时, 也不必求最近点的坐标, 拨距是设计半径减去圆心坐标至既有测点的距离, 结果为正数时, 上挑, 负数时下压;c.当最近点在缓和曲线上时, 由于曲率不断变化, 数学模型复杂, 应用公式根本无法求解, 只能采用趋近原理由计算机实现解算。

根据古语“一尺之棰, 日取其半, 万世不竭”的道理, 设定极限微小值ε=0.0005m, 第一次以缓和曲线的始点为单元起点B, 单元终点E为缓和曲线长二分之一处, 计算αb, αe, 判断相对位置, 若在本单元上, 终点继续减半, 再判断相对位置, 若不在本单元, 终点前移, 增加余量的二分之一, 来判断相对位置。如此反复, 最后的步长精度达到设定值时, 即可认为是该点的最近点K, 这样取得了K点的坐标, 再按两点距离公式计算相对距离, 即拨距, 最后在统一的ZH为原点的切线坐标系下比对一下两个点的y与x的比值:当 时, 取正, 为上挑, 反之为下压, 取负。

其中, 两端缓和曲线中间点的方位角和坐标按下面公式计算, 并换算至以ZH点为原点的切线坐标系中。

式中, φi缓和曲线中间点的方位角;χ缓和曲线中间点的X坐标 (坐标系x-zh-y) ;y缓和曲线中间点的Y坐标 (坐标系x-zh-y) ;l缓和曲线起点至中间点的长度;l0缓和曲线全长;R曲线半径。

复心曲线的中间缓和曲线, 如图3, 两圆曲线的半径为R1、R2, R1>R2, R1在前, E"点为R1圆曲线的终点, E'点为R2圆曲线的起点, E'、E"在两圆心联线的延长线, A点为中间缓和曲线的起点, 和R1相切于F, 和R2相切于M, FM段就是中间的缓和曲线lz, 设AM=l2, AF=l1, 则

其中Cz为中间缓和曲线半径变更率,

起点方位角

其中, α1为R1的转角, 。

起点坐标:

中间点的方位角:

其中, , li为该处至起点f的缓和曲线长。

中间点的坐标:

其中, αA、xA和yA分别为中间缓和曲线起点A在x-zh-y坐标系下的方位角、x坐标和y坐标;

αA=φb+β1

xA=xb+xb'cosαA-yb'sinαA;yA=yb+xb'sinαA-yb'cosαA

xb'、yb'为以中间缓和曲线起点A为原点, 其假想坐标系x'-A-y'下B点的坐标 (图2中的B点, 图3中的F点) , 按 (1) 、 (2) 式计算。

3 实际应用中注意的问题

从以上讨论分析可知, 求解拨距的关键是确定单元起终点的坐标和方位角。因此, 实际编程应用时, 要注意以下细节:a.单元起终点应是一段完整曲线元的起终点, 如缓和曲线的起点~终点, 圆曲线的起点~终点;b.所有的坐标和方位角均换算到x-zh-y坐标系内计算, PB与切线方向tb的夹角αb=αbp-φb, 其中, αbp为向量BP的方位角, 按两点坐标计算后, 根据所在象限以0~2π表示, αe计算类似。c.对于复心曲线的中间缓和曲线计算, 以上讨论的是R1>R2, 且R1在前的情形, 当大圆在后时, 相应公式的取值不一样。

结束语

以上方法主要是受文献[1]的启发形成。通过对哈尔滨铁路局嫩林线K97+953-K99+276曲线等数据实际编程计算验证, 生成的曲率图正确, 计算结果与实际相符, 方法可靠。

参考文献

[1]李柏林.道路坐标测量技术[M].重庆:重庆大学出版社, 2007.

基于坐标变换法的红外成像模型 第8篇

红外成像导引头是寻的末制导导引头的一种类型。它对目标自身的红外辐射和图像进行探测、识别、跟踪,确定目标相对导弹的角位置、角速率,提供导弹制导信号。它与雷达导引头相比具有定位迅速、抗干扰性强、隐蔽性好、灵敏度及分辨率高及可全天候工作等优点。据报道,在过去的几次冲突中,导弹击落的飞机90%以上是被红外制导的导弹击落的。因此,红外成像导引头受到军方的重视,其技术从七十年代中期开始发展以来,在各军事强国中得到迅速发展[1,2,3,4,5,6]。

然而,高速导弹在稠密大气层内高速飞行时,气流对高速导弹产生的气动加热在导弹头部周围将产生高温,导弹头部激波与弹体冷却层、气流与外部气流之间形成强湍流边界层。它使光线发生轨迹偏转、散射、衍射、部分干涉和吸收等物理现象,这大大影响了导引头的探测、识别和跟踪目标的能力,降低了导弹命中目标的精度。这种效应被成为“气动光学传输效应”,本文就是针对它展开分析,对它进行模拟仿真计算。

光线向折射率大的地方偏转造成了图像的视线误差(Boresight error)、模糊(Blur)和重心的抖动(Jitter)。而散射等现象造成部分光能量离开了传输方向,产生了图像的能量减弱(Intensity attenuation)。只有定量地计算出这些效应,才能对降晰机理有透彻的研究,从而为复目标图像提供理论依据[7,8,9]。

最早提出湍流对光学图像影响的是美国科学家Liepmann,因此气动光学效应的研究可以追溯到20世纪50年代初。在70年代,他们用风洞进行了一些实验,取得了一些理论和实验上的成果。现在已经有了一些专门计算气动光学传输效应的软件被广泛地应用在很多重大的国防项目中[10,11]。

国内是从二十世纪九十年代初开始气动光学效应研究的。经过国家的“九五”规划研究和“十五”,国内气动光学研究到目前为止进行了十几年的跟踪研究,也取得了大量的成果[12,13,14,15]。

综上可见,光学传输效应的研究对国防事业的发展有举足轻重的作用。本文从两个湍流场的密度和密度脉动数据出发,以几何光学成像、湍流及坐标旋转理论为依据,通过追迹若干条光线计算出了流场对成像的降晰影响,得到了气动光学传输效应,并对流场参数变化造成的影响进行了讨论。

2 仿真背景

红外成像导引头主要由红外成像器和红外图像视频信号实时处理器两大子系统组成,其成像子系统的组成见图1[16]。图1中的图像信号送往弹载计算机处理后生成制导指令控制导弹,可见其技术关键主要是多元红外探测器、计算机图像处理及模式识别与跟踪算法[17]。本文的研究目的就是为了提高图像处理及目标识别跟踪的效率。气动光学效应示意图见图2[12]。

图2中紧贴导弹头罩的就是附面层,本文为了简化计算过程,只选取这一层进行仿真计算,厚度取为80 mm。而对头罩头部包含激波层的厚度为米级整个流场的计算,仍可以使用该模型,只是计算量增加。

图2中凹陷部分就是导引头的视窗即弹载成像系统的窗口,飞行器侧窗成像系统简图见图3。成像系统的出瞳一般是直径60~80 mm的圆孔或边长60~80 mm的方孔,等效透镜的焦距一般是120~150 mm。为了精确地描述模糊效果,把图像选择为和出瞳的大小一致即不考虑几何放大缩小效应,故选择一幅64 mm64 mm的方形数字图像来模拟真实目标进行仿真计算。

本文中飞行器选为飞行高度分别为30 km和40 km,速度都为7 Ma的两个导弹作对比。湍流流场范围都选在紧贴侧窗口在其正上方的一个64 mm64 mm80 mm的长方体内,其中80 mm是厚度方向。该长方体被划分为646480个1 mm3大小的均匀网格。流场网格空间分布见图4。

运用大涡模拟法计算出每个网格内的平均密度ρ和密度脉动ρ′,用这样一个网格分布来逼近真实流场中连续的不均匀分布,由G-D关系可知相应地折射率也用这样的网格分布来逼近连续的不均匀分布来计算其降晰效应。本文选择一幅目标易于提取识别的大小为64 mm64 mm的数字图片和波长为5µm的红外光进行仿真。

3 基本理论

如前面的分析,用光线微分方程理论分析在非均匀介质内光线传输问题[18]。定义一条光线的曲率矢量为K,则可得:

式中ρ是曲率半径;ν是光线上某个代表点处的单位主法线;n是介质内折射率;grad代表梯度算子。因为ρ总是正的,故此式表示沿主法线前进时,折射率是增大的,即光线总是弯向折射率高的一边,见图5。

正因为光线轨迹的弯曲造成了球面波的畸变从而引起了一系列的气动光学效应,所以我们要追迹光线来研究成像。计算过程见式(2)~(7)[15,19,20]。把图像的一个像素看作一个点光源,发出的光线组成一个球面波,其振幅大小与像素的亮度的平方根成正比。我们追迹其中若干条,按式(2)得各自光程长OPL:

式中ni为光线传输路径上第i个网格的折射率;d是网格厚度即1 mm;kGD是由G-D常数,用来确定密度与折射率的关系。然后选择正中间的一条光线为参考光线,它的光程长为参考光程长OPLref,这样按式(3)就可以求出相对光程差OPDr。

按式(4)可以获得光线在流场中传输产生的波前相差:

式中:(x,y)为光线入射到探测窗口平面的位置;k为波数。

本模型把高速流场看作一个相位变换因子,式(5)给出光波通过高速流场后的在成像系统的焦平面上的复振幅分布为

式中:U(x,y)表示为入射光的复振幅;F代表傅里叶变换;U′(x,y)为出射光波的复振幅,即出瞳上的光瞳函数,它就是相干情况下的点扩散函数。相干点扩散函数的模的平方就是非相干点扩散函数即非相干出射光波的强度,用PSF(Point Spread Function)表示非相干点扩散函数,则有:

对PSF进一步傅里叶变换得OTF,用OTF在频域内运算。并且由于是非相干成像,传递的变量是光强I,计算式如下:

式中F与IF分别代表傅里叶变换与傅里叶反变换,Io和Ii分别表示目标图与模糊后图的光强分布,由Ii就可以得到仿真结果[20,21,22]。

4 模型的建立

此模型是用几何光学理论来研究光传输过程。由于湍流尺度的数量级在10-3~1 m之间,而本文选的红外光波长的数量级是10-6 m,衍射、干涉等效应很小,故它的精度是可以保证的[19]。此模型的精度完全取决于光程长数据,而光程长又与折射率直接相关,因此在计算前必须保证折射率数据的精度。大涡模拟法解算出来的密度脉动ρ′代表了密度值在解算时刻的不确定性,这是由于湍流内部微粒团无规则地运动引起的。它其实就描述了该网格内密度不确定性的大小,因此把它引入用来修正密度值可以提高折射率的精度。修正公式见式(8):

式中:下标表示X-Y-Z方向的序号,xijk表示相应网格内的一个均值为0,方差为1的正态随机数。

上述过程可以解决连续折射率场中的光线追迹问题,但此处给出的折射率分布是按网格划分的离散值,只能寻求新的计算方法,较直观的方法是建立基于CFD网格的几何光学传输模型。也就是认为光线在每个网格内沿直线传播,在网格之间的界面处发生折射或全反射,然后把所追迹的光线穿越网格的路径记录下来作为光程长。但在三维空间内追迹计算过程十分复杂而且累积误差大,更重要的是由于所有的光线要追迹到参考光线所成的参考球面为止,而不同角度入射的光线穿越流场的所走的路径长短有很大差异,故所需补偿的流场外部分的路径也有很大的计算量,图6为示意图[22,23]。

图6中的虚线部分代表追迹时所需的补偿量,可见光追迹光线在流场中的路径是不够的,还需要很大的计算量来计算补偿部分。正是为了解决这个问题,本文提出了坐标旋转法。根据相对性原理,光倾斜入射时,把流场作相应的旋转让光线变成正入射。若把流场中网格序号看作坐标则流场的新旧坐标间由刚体旋转理论可以推得一个关系,而新坐标即正入射时穿越的80个网格序号是很容易求出的,这样把它变换回去就得到了斜入射时光所穿越的网格。具体的变换关系与步骤见图7和8[24]。

图7和8中粗箭头代表入射光线,虚线方框代表整个流场。图7表示光线以X轴为旋转轴旋转了角度α,图8表示光线在图7的位置上又以Y′为旋转轴旋转了角度β,相应地流场也作如此两次旋转以保证始终与光线垂直。由刚体旋转理论知由这样两次旋转可以到达空间任意一个位置,故次此算法可以追迹任何一个空间位置的光线。

这样旋转流场的方法最大的好处就是,它把以各个角度入射的光线所穿越的网格都规整为80个,而不像传统方法随角度变化有很大差异从而省去了补偿量的计算,若入瞳选在视窗口处,只要按这种方法追迹流场内的路径就可以了。这样简化相当于通过缩短光线在流场内的路径来省去补偿量的计算,这样肯定会带来一定的误差,但由于流场的折射率脉动部分大都在10-4到10-6之间,与真空情况差别不大,故误差也可以控制在一定范围内。若设原坐标为(i,j,k);新坐标为(i′,j′,k′),则有如下关系:

易得:

式(10)中的inv代表矩阵的求逆运算;式(9)和(10)中的{}代表四舍五入取整运算。只要知道了光线到达流场的上表面的坐标i0,j0,k0(k0=1),按照式(11)计算出i0′,j0′,由于在新坐标下是正入射情形很容易算出这条光线穿越的所有网格的坐标i′=i0′,j′=j0′,k′=1,2,,80,再按式(10)算得这条在原流场中实际走过的网格顺序。

5 模型的建立

按照上面的模型进行仿真计算。对每一个像素追迹了81条光线(超出流场范围的光线用真空中路径补偿),α和β分别在集合[0°,±20°,±40°,±60°,±80°]中取值。按照式(2)到(7)的计算过程算出一个99的模板,即PSF,它的物理意义就是作为点光源的像素通过流场后所成的像。这只是考虑一个独立像素的情况,实际的数字图像是由很多像素紧密地排列起来得到的故PSF外围的值在此处是代表了周围像素对本像素影响值的大小,故把PSF应当作降晰模板作用到目标图上。这种模型其实是把降晰过程看作一个空变的99模板作用到目标图上的过程。模拟目标的清晰数字图及仿真结果见图9、10和11。

按数字图像处理理论[21]计算原始图与仿真结果图之间的降晰效应,结果见表1。“偏移”的单位是一个像素的尺寸0.125 mm,正的X方向代表向右,正的Y方向代表向下;“能量减弱”表明了仿真结果图整体灰度值分布与原图差异的大小;“相关测度”衡量了结果图与原图之间的相关性,越接近1就表示两幅图的差异越小。通过表1可见流场1比流场2造成的目标模糊和偏移都要稍大一些,这是因为流场2的高度更高,空气更稀薄,造成了折射率脉动更微弱从而流场对成像的影响也更小。

6 结论

本文用几何光学理论完成了成像模型的建立与仿真计算。得到了两个附面层流场的气动光学效应并作了对比讨论。

模型中忽略了光的物理特性,没有考虑任何衍射和干涉效应,在波长较长或湍流长度尺度较细密时会带来很大的误差,这时需要用物理光学、波动光学及统计光学理论出发寻求新的模型来研究气动光学效应。本模型是用数字图像来模拟真实目标的降晰过程,当引入真实目标的红外辐射理论后可以用于实际的气动光学效应的研究中[25,26]。为简化计算过程只考虑光学传输过程造成的降晰效应,忽略了其它过程。

摘要：针对气动光学传输效应,本文提出一种用坐标旋转法追迹空间任意若干条光线得到光学传递函数(OTF)来计算成像的模型。该方法根据几何光学成像和坐标旋转变换原理,采用基于计算流体力学(CFD)网格的超高声速流场密度数据建立了成像模型,模拟出了流场的降晰效应,并且对仿真结果进行了对比分析。实验结果表明,该模型在一定的精度内反映了现有的气动光学降晰现象。最后探讨了模型的精度及工程应用的意义。

坐标解析法测算房屋面积的误差分析 第9篇

目前常用的量算房屋面积的方法为实地量距法, 即根据房屋的实测边长和相应的几何关系来计算房屋面积。但随着数字化技术的发展, 以及房地产数据库和房地产信息系统的建立, 用坐标解析法和实地量距法测算房屋面积将会交叉使用。

2 坐标解析法及其误差估算

坐标解析法是根据房屋用地界址点或边界点的坐标计算房屋用地或丘的面积, 也包括利用房角点的坐标计算房屋面积的方法。其面积计算公式为:

对应用于房角点计算房屋面积来说, 式中:S为房屋面积;xi、yi分别为房角点的坐标;n为房角点的个数;i为房角点的序号。

当利用房角点的坐标计算房屋面积时, 其面积中误差为:

式中, △S为按坐标解析法根据房角点的坐标测算房屋面积时的面积中误差, m2;mj为房角点的点位中误差, m;S为所测的房屋面积, m2;

《房产测量规定》中规定:房屋用地界址点和房角点的精度分为三级, 即一级, 二级, 三级。由于常用的房产测量精度等级是二级, 所以将二级房角点的点位中误差代入式 (2) 中, 可得用坐标解析法测算的面积中误差:。

现将坐标解析法 (二级) 与实地量距法所测常用面积的中误差列于表1的二三列中。从表1的二三列可看出, 用坐标解析法与实地量距法所测算的面积中误差不一致, 对小于1000m2的面积, 坐标解析法测算的中误差大于实地量距法测算的中误差。这为采用坐标解析法计算房屋面积带来了限制。这是按照规定的房角点精度来计算的, 但实际生产中, 以全站仪现有的精度测得的房角点, 其精度是要高于此精度标准的。

3 全站仪测量房角点 (界址点) 精度估算

全站仪测房角点一般都采用极坐标法, 但由于观测目标是一个有体积的单棱镜, 因此常会产生目标偏心的问题。不偏心观测和纵向偏心的精度一般会高于横向偏心观测的精度, 所以下文对横向偏心观测的精度进行估算。

图1中, 房角点P的测量误差主要包含仪器对中误差m对, 测距误差m距, AP方位角误差m角, 即:

m2

由上可知, 横向偏心观测的精度约为31mm。经计算, 纵向偏心和不偏心观测的精度约为12mm。

4 坐标解析法与实地量距法测算房屋面积的中误差比较

将坐标解析法按实测精度 (0.31cm、0.12cm) 计算的常用面积的中误差列于表1的四五列中。

由于坐标解析法和实地量距法计算误差的模型不同, 所以得出的结果不同 (表1中二三列) , 这就为实际生产中采用哪种标准带来了难题, 但由于现在的仪器精度较高, 实际生产中房角点的精度一般都能达到1~3cm, 其计算出的面积中误差高于或略等于实地量距法的精度要求 (表1中四五列) 。所以可以以实地量距法测算的面积中误差为精度标准, 那么采用坐标解析法测算的面积其精度也能达到要求。

参考文献

[1]吕永江.房产测量规范与房地产测绘技术[M].北京:中国标准出版社, 2001.

巧选正交分解法的坐标轴 第10篇

关键词：正交分解法,坐标轴的选取

正交分解法是解决物理学中矢量问题的最有力的工具,正交分解法运用“欲合先分”的策略,降低了运算的难度,是解题中的一种重要思想方法。在运用正交分解法讨论或计算物理问题时,关键是坐标轴的选取。

[例1]如图1,质量为m的人,站在自动扶梯上,已知鞋底与扶梯台阶间的动摩擦因数是μ,扶梯与水平面的夹角是θ。人随扶梯以加速度a一起向上运行。人受的支持力大小为＿＿＿＿＿＿,摩擦力大小为＿＿＿＿＿＿。

分析与解一:因人随扶梯以加速度a一起向上运行,故人受竖直向下的重力、竖直向上的支持力、水平向右的静摩擦力。如选沿a方向为x轴正方向,垂直a方向为y轴正方向时则须分解三个力,如图2,则有方程组:

解此方程组需用如下方法:

分析与解二:上两式方程立式繁琐,计算繁难,而图中N、G均与f垂直,故可选如图3所示的坐标轴,这样就只需将a进行水平竖直两个方向的正交分解,则有方程组:

很简单的立方程很简捷的计算(只需移项),解得:N=mg+masinθ,f=ma-cosθ

说明:例1的解法中所选的坐标轴方向实质上就是选人站在扶梯上时沿两者的接触面和垂直于接触面两个方向为x、y坐标轴方向,那么这种选择真的就能使所列方程简洁,计算简便吗?下面再通过两条例题进行研究:

[例2]一物体放置在倾角为θ的斜面上,斜面固定于加速上升的电梯中加速度为如图4所示在物体始终相对于

A.①③B.②④

C.①④.②③

分析与解一:物体受方情况如图5所示,通常选a的方向为x轴正方向,水平向右方向为y轴正方向,则有方程组:

解此方程组同样如例1的解一:

由③式可知:θ一定时,a越大,Fμ越大;a一定时,θ越大,Fμ越大。

由④式可知:θ一定时,a越大,FN越大;a一定时,θ越大,FN越小,故选D。

分析与解二:而如果选沿接触面和垂直于接触面两个方向为x、y坐标轴,如图6所示,将需将加速度沿平行于斜面方向和垂直于斜面方向分解,则有方程组:

此方程组同样只需移项就可很简单的得到解一中的答案③④。

[例3]如图7所示,一个光滑的圆锥体固定在水平面上,其轴线沿铅直方向,母线与轴线间夹角θ=30°。一条长为l的轻质细绳,一端固定在锥体顶点0处,另一端拴着质量为m的小球,球以速率v绕锥体轴线作水平匀速圆周运动.求:当v=时,绳对球的拉力及锥面对球的支持力。

分析与解一:物体受力情况如图8所示,若选向心加速度an的方向为x轴正方向,竖直向上方向为y轴正方向,则有方程组:

解此方程组同样如例1解一:

①×sinθ+②×cosθ

得:T=mgcosθ+mansinθ③

①×cosθ-②×sinθ

得:N=mgsinθ-mancosθ④

分析与解二:如果选沿接触面和垂直于接触面两个方向为x、y坐标轴,如图9所示,将加速度an沿平行于斜面方向和垂直于斜面方向分解,分别在该两方向应用牛顿第二定律,则有方程组:

由⑤式移项得③式,由⑥式移项得④式

由③④⑦三式可看出,当v增大时,向心加速度an增大,球受支持力N减小,绳拉力T增大。当N=0时,,由⑦式即,此时小球虽与斜面有接触但无压力,处于临界状态。

本题因,故球受重力、支持力、拉力三个力。由③得

由④式得