赫尔曼的模态结构主义

赫尔曼的模态结构主义（精选5篇）

赫尔曼的模态结构主义 第1篇

一模态结构主义的基本框架

模态结构主义的思想最初源于普特南( H. Putnam) 年的经典论文“没有基础的数学”( Mathematics without Foundations,1967) ,在文中他详细阐述了模态结构主义方法的转换及发展,指出数学不应以任何特殊的数学理论为基础。他试图用模态逻辑的框架重塑数学,明确提出将数学可能性替代数学存在性的概念,从而解决有关假定最大全体的集合论悖论。其模态框架并不是要代替集合论基础,而是要用“在一个模型中满足”概念来阐明“数学可能性”。数学完全可以在没有任何特殊基础的情况下,得以保留和发展[1]。在普特南的启发下,赫尔曼提出了模态结构主义的观点,试图在不依赖集合论的情况下,直接用模态结构主义来阐释算术、分析、代数和几何等数学理论。

在《没有数的数学》( Mathematics without Numbers,1989) 中,赫尔曼系统提出了模态结构主义的思想。与其他结构主义一样,模态结构主义也主张数学是关于结构的理论,在数学理论中重要的不是对象而是这些对象共同例示的结构。如对于自然数来说,其结构是指一些连续序列或者 ω 序列。算术是关于数列的理论,而不是处理抽象对象的某个特殊数列的基本原理。而模态结构主义的主要特征是,强调避免对结构或位置进行逐个量化,而是将结构主义建立在某个域以及该域上恰当关系( 这些关系满足由公理系统给出的隐含定义条件) 的( 二阶)逻辑可能性上。在结构的本体地位上,模态结构主义属于消除的结构主义,即反对任何形式的本体化归,试图消除对任何数学对象的指称,其中包括对抽象结构的指称。

1. 模态中立主义

通过一个表示( 二阶) 逻辑可能性的初始模态算子、前面加上模态算子的数学结构中的任何量词以及对二阶逻辑概括原则的限制,可以避免对可能对象、类或这种关系的承诺。尽管模态结构主义的逻辑基础也是二阶的,但它是一种模态逻辑。此外,通过使用布勒斯( G. Boolos) 的多元量词以及通过将多元量词与分体论相结合而得到的关于个体有序数对的成果,基本可以断定,模态结构主义是一种“唯名论”学说。也就是说,人们无需提及具有特定关系的个体集合的可能性,而只谈及“某些个体”的可能性并且表明这些个体通过遵循特定条件的个体BHL数对的多元量化如何相互关联就足够了。在整个过程中,实际上没有引入任何抽象对象。通过反复使用相同的程序,人们可以获得基于一个原子命题的可数无穷性的典型多式三阶数论。如果假定原子命题连续统的可能性,那就可以上升到四阶数论。这一纲领在一般数学中非常有效,它可为大量的拓扑理论、测量理论以及其他抽象数学提出结构主义解释,无需对类和关系进行量化。一旦背景二阶逻辑得到确定,就可以在所讨论的特定数学理论上加入模态存在性假设。此外,超出三阶或四阶数论的理论,模态结构主义的进路同样适用。即使不使用二阶逻辑,也不必对类和关系、甚至模态下的类与关系的存在性进行承诺。特别是,集合论和范畴论的模态结构主义解释也是成立的。需要指出,赫尔曼的模态结构主义用“模态中立主义”( modal neutralism) 而不是“模态唯名论 ”( modal-nominalism) 来定位更为准确,因为他始终强调,对象的本质与数学是完全无关的。总之,模态结构主义的信条是“对象是有待抽象,而不是抽象对象”[2]

赫尔曼的基本策略就是把普通的数学陈述转化为其模态结构主义形式。以算术的模态化为例,模态结构主义解释由假设( Hypothetical Component) 和确定( Categorical Component) 两部分构成[3]。

2. 模态结构主义的假设部分

模态结构主义的假设部分就是模态结构主义转化模式,即在转化过程中使用一种模态化的条件句。具体来看,任何算术命题S都可以根据下面线路进行转化:

如果X是任何一个 ω 序列,那么S在X中成立。( 1. 1)

由于( 1. 1) 中隐含着一个全称量词,为避免对抽象对象或抽象结构进行量化,赫尔曼把( 1. 1) 变为:

如果存在任何 ω 序列,那么S在它之中成立。

( 1. 1’)

其中“它”这个代词表明表观的存在量词的确是全称的。“如果存在”确保了模态结构主义期望表明的情况与“对任何( 真实的) x,如果x是……”是不同的。对于后者而言,人们必须把有可能符合这种情形的每一个( 真实的) 内容作为理解它的前提。于是( 1. 1) 具有下述外在逻辑形式:

□∀X( X是一个 ω 序列⊃S在X中成立) ,

( 1. 1”)

其中的全称量词处于模态算子的范围之内。通过这一基本假设,模态结构主义的转化就会得到人们所期望的普遍性。

依据同样的方式,也可以给出模态结构主义的存在性假设。关于PA( 皮亚诺算术) 解释的确定部分将断言:

◇∃X( X是一个 ω 序列) , ( 1. 2)

而不是

∃X◇( X是一个 ω 序列) 。

在( 1. 2) 中的可能性完全是数学和逻辑意义上的,因此这里的背景模态逻辑是不包括贝肯公式的S - 51。值得注意的是,模态结构主义解释在关于数学结构的真实存在性方面保持中立,即不存在把这种结构的实际指称作为对象的问题,从而有效规避“在我们与抽象结构之间没有关联的情况下,我们的语言如何能描述抽象结构”这种认识论难题。

同样需要强调的是,模态结构主义者并不对可能体( possibilia) 进行量化,因而避免把模态转化模式扩展至“所有可能 ω 序列的全体”。这种全体是不合法的,任何 ω 序列的全体都可以构成一个新 ω序列的基础,同任何集合的全体一样令人满意,比如可以把ZF公理扩张到一个更丰富的模型上。

在对任意算术命题进行模态化处理的基础上,进一步的工作就是对算术命题构成的要素进行形式化。一种选择是采用集合论语言,即根据集合从属关系来表达“ω 序列”、“满足”或“成立”。但此种选择的缺点在于,将模态转化完全变为在元语言学意义上进行,结构主义的计划成为模态集合论的一部分,这显然与模态结构主义的基本框架不符。

赫尔曼选择二阶逻辑作为其背景逻辑,利用数学理论的二阶公理化,即结构的单一类型可以通过有穷多个二阶公理表征为同构。由此可以直接用数学理论来表述模态结构主义解释MSI1的假设部分。在皮亚诺公理系统中,记∧PA2为有穷多个二阶皮亚诺公理的合取。( PA2) 中的命题S就可以写为:

( 1. 3) 具有形式精简的优势,但仍存在问题。因为其中除了纯逻辑符号以外,至少还有一个表示后继的关系常量“S”。一方面,为了不像柏拉图主义者那样对常量S做任何本体论上的预设,另一方面免于完全落入模型论的框架之下( 把S当作一个表示内涵的词,在不同的可能世界表示不同函数) ,赫尔曼的具体做法是在二阶框架下通过对关系进行量化来避免上述问题。如下述语句:

其中,二元关系变量f取代了上述条件句中的常量S。然而( 1. 4 ) 仍是关于元数学断言的一种先验图式。于是赫尔曼使用了一个类变量X以及对该变量的相关量化,并在公式中后加入一个全称量词X,则( 1. 4) 变为下列形式:

以上是对的命题A的模态结构主义解释,记为Amsi。

对于可以用同样的方法来表述。A是表示的一个命题,用三元关系变量分别替代∑和∏,则Amsi变为:

( 1. 5) 与( 1. 6) 分别是的模态结构主义的假设部分。假设部分完成了将一般数学语言向模态结构主义解释转化的表征部分,下面具体来看,模态结构主义转化模式如何对于数学实践中关于定理证明以及定理真假判定问题进行说明。

3. 模态结构主义的确定部分

赫尔曼模态结构主义的目标是: 数学理论的模态结构主义解释必须在某些意义下等价于它们的初始状态。那么问题的关键就在于,如何理解“等价性”以及如何确立“转化模式”。

首先,需要考虑的是如何重新实现关于定理证明的实践。对于PA中的任何定理T,如果关于T的证明实践已经在PA的标准公理系统中得到表征,则可直接得到T的模态结构主义解释Tmsi。基本步骤如下:

步骤一: 采用一个二阶逻辑的标准公理系统,该公理系统包括完全的概括公式:

其中xi是个体变量,R在A中不是自由的,A可以有参变量,但没有模态算子。根据( CS) 可以从二阶归纳公理得到一阶归纳公理的所有例子。

步骤二: 把转化模式应用到每一个PA的原始证明中,这样原始证明的公理就变为二阶逻辑的( 必然性) 公理。也就是说,如果T是( 有穷多个) 一阶公理的正确推理结论,那么在二阶逻辑与“□”的基本规则下可推出Tmsi。根据公理化模态逻辑的必然性规则,可以得到( CS) 的必然性规则,其形式为

具体来看,在模态结构主义的解释下,重新实现数学定理证明的路径是: 用适当类型的关系变量来代替T的原始证明中的所有关系常量; 使用演绎定理来确保条件化过程的实施,得到

其中∧AX是用于推出T的那些公理的合取; 用∧PA2来代替前件; 对X的量词进行相对化处理; 对二阶变量进行全称概括,并使之变成必然命题。由此,普通证明仅仅是相对于任意域的自由变量的论证。

其次,转化模式的确立需要该模式的确定部分作为前提。该模式的确定部分是指“ω 序列是可能的”,如果没有这一组成部分,模态结构主义就会陷入“如果 - 那么主义”( if - thenism) 。对于如果 - 那么主义的情况,假定一个实质条件句表征算术语句A,形如: ∧PA2A,同时假定恰巧不存在真实的 ω序列,即上述条件句中的前件为假,则显然原始语言中每一个语句A的转化都会是真的。其结果是,整个转化模式会因其不准确性而遭到否定。因而对于模态结构主义,模式的确定部分是不可或缺的。基于此,赫尔曼选择以下形式作为其模态数学的一个基本论述:

该论述确保了 ω 序列这一概念的一致性,尽管这种一致性是人们普遍接受的,但它的确形成了数学实践中所隐含的不可或缺的“实际预设”。可以说,在算术的模态结构主义重构中,它是数论推理的根本出发点。

二模态结构主义的辩护

赫尔曼模态结构主义的解释是通过对数学进行转化模式的处理而达成,因此其转化模式本身是否具有准确性和充分性,是该种解释需要回答的首要问题。他们需要证明: 对于原始算术语言中的任何语句A,Ap和Amsi“在数学目的上完全是等价的”,其中“发现真理”就是一个数学目的。因此,转化模式的“准确性”意味着,在某种适当的意义下,Amsi成立当且仅当Ap成立,也就是说,转化模式是保真的; 转化模式的“充分性”是指: 转化模式适用于原始语言中的所有语句。

1. 转化模式的保真性

转化模式是否具有保真性,这一问题与何为真理标准有关。柏拉图主义者认为,真理就是“在标准模型( 自然数模型或者集合论模型) 中是真的”;模态结构主义者则认为,真理就是“在任何可能的模型中是真的”,即相关反事实条件句的真。由于模态主义者并没有把关于反事实条件句的概念还原到模型论中,因此对反事实条件句使用的真理概念仅仅是去引号的。在模态主义者看来,根本不存在( 现实的) 标准模型,所有柏拉图主义的数学语句在严格意义上都是假的。可以用Amsi代替Ap,但二者并非真正等价。严格意义上模态主义不可能接受“Amsi成立当且仅当Ap成立”,而柏拉图主义也拒绝模态的概念。

在评价转化模式是否具有保真性时,模态主义和柏拉图主义者采用完全不同的框架。那么在哪一框架中,可以表明转化模式的准确性呢? 显然根本就没有一个系统,既能够证明Ap和Amsi在数学上等价,又完全包含两种观点都接受的假设。面对这种情况,赫尔曼的策略是: 接受柏拉图主义与模态主义之间的这个僵局,让每一个系统都分别拥有其自身的假设。如果柏拉图主义者能够充分理解模态主义者,在柏拉图主义的框架下证明等价性,那么至少可以在数学上消除柏拉图主义对模态结构主义解释的反对。需要强调的是,如果模态结构主义的转换模式在哲学上令人满意,那么它至少能够包含其自身的内在证明。也就是说,人们至少从内部必须有能力辨别原始命题的真值,否则会导致模态主义本身在方法论上的不可靠[3]。

根据柏拉图主义式的外在观点,转化( 1. 5) 和( 1. 6) 中除了模态算子的问题以外,还有其他问题:如果一个原始算术命题A在集合论等标准模型中成立,则Amsi也在其中成立。可以把后面的部分称为Am-si,它仅仅是二阶逻辑中一个真理或假命题( 相对化处理) 。A要么在标准模型N中成立,要么不成立。如果A在N中成立,由于PA2中所有满模型都是同构的,则A在所有的结构中都成立; 如果A在标准模型中不成立,那么A在PA2的所有满模型中也不成立,即不仅Am-si是假的,而且( ~ A)msi也是真的。当然,由于这里预设了N的存在,柏拉图主义者会主张“并非Am-si和( ~ A)m-si同时成立”。因而柏拉图主义者认为,在使用标准模型的理论推理时,除了模态算子外,转化模式是完全二值的,且具有保真性。但这里唯一缺少的是关于模态算子的解释。

2. 转化模式的等价性

我们知道,逻辑数学模态的预设为S - 5公理系统提供了支持,而且在模态转化中,所有相关的条件在条件句的前件中得到了明确陈述。也就是说,在判定反事实条件句的过程中,不必依靠其他因素不变的条件,也不必依靠可能世界中的任何相对的相似性概念。这些反事实条件句遵循严格蕴含的原则,因而与日常或因果反事实条件句具有显然的差别。众所周知,后者( 即因果反事实) 对关于“相关背景条件”的假设非常敏感,且这种敏感性在为这些背景条件提出一种语义学或真理理论时引发了深层问题。但对数学反事实条件句而言,情况完全不同。柏拉图主义者可能通过为所讨论的模态提供一种集合论语义学解释,对其做出合理说明,而无需给出集合从属关系之外的额外机制。但这实际上是把一种从模态转化转回到集合论语言去。事实上,模态结构主义已经为逻辑模态提供了一种恰当的语义学解释。根据这种语义学,某一给定类型的模型论结构表示可能世界,该结构建立在一个给定的确定域上。由于这种结构的可能性与所讨论的逻辑可能性概念具有同样的种类,因此人们会把它作为“初始语义学”( primary semantics)[4],其中给定域上某恰当类型的( 集合论意义上可能的) 所有结构,都被假定处于为 该模型结 构所组成 的世界集 合中[3]。

在上述初始语义学的基础上,赫尔曼约定,对于高阶量词的量化范围,非模态数学语言的结构( 相关世界) 本身是满的。1因此,所有世界都是相互可达的。总之,一个基于的二阶量化模态语言中的模态命题S,只有当它在某给定无穷域上所有满的自由模型结构中的所有指派下都成立时,才是有效的或在逻辑上是真的。其中,这种模型结构的世界都是满的二阶结构。根据这种语义学,可以把的语句A与它的模态翻译Amsi之间的关系表示为:

PA2在逻辑上蕴涵了“A当且仅当Amsi”是一条模态逻辑真理。( 1. 8)

上述逻辑蕴涵的左边仅仅是关于满的二阶非模态逻辑的一般模型论概念,右边的逻辑真理只是为了引入模态语句才有的概念。二者的联系为模态结构主义的定义提供了基本依据。( 1. 8) 给出了柏拉图式的等价性定理( equivalence theorem)[3]44,它与二阶非模态的蕴涵结果共同表明,模态结构主义转化模式是准确和充分的。

三模态结构主义的困境

1. 二阶逻辑的预设问题

赫尔曼的模态结构主义试图用模态理论来重解全体数学,并说明模态结构主义数学与原有数学的等价性,用同等方式对待集合与全域V,分析与实数域R,算术与自然数系N。而作为一种消除的结构主义解释,其要消除对任何数学对象的本体论预设的宗旨不允许存在任何公理的确定集合。因此要将全序域公理与分析进行对比,并确保算术的二阶皮亚诺假设成立,模态结构主义就必须以二阶逻辑为其逻辑前提。但是,二阶逻辑并未获得学界内的普遍认可,其自身的合法性依赖于集合论的发展。在二阶逻辑的语义学中,连续统假设、良序公理是否二阶有效等问题都实质上是集合论问题。如蒯因认为,二阶逻辑披着“集合论”的外衣,因为它涉及“集合”的讨论,在论题上没有中立性,而逻辑应该在论题上保持中立,即它的有效性是不依赖于某些特殊的数学对象如集合的预设性质的。[5]此外,与一阶逻辑不同,二阶逻辑的语义是不完备的,其中存在着不完备的证明程序。对于二阶算术中的“∃F”和“F”的表达,约束变元的量化范围是所有个体域的关系类,即F的取值范围是在一阶量词范围内的所有对象集合。这意味着基于二阶逻辑表达的公理系统隐含了某些集合的存在性,显然与赫尔曼模态结构主义消除本体预设的初衷相悖。

2. 初始模态事实的预设问题

赫尔曼模态结构主义转化模式是以公理系统的一致性为基础的,它强调数学理论的真是“任何可能模型中的真”而非“特定标准模型中的真”。这意味着,其理论依赖于模态假设,即某一给定类型的模型论结构表示可能世界,该结构建立在一个给定的确定域上。这导致其面临一个潜在问题: 一个理论的一致性就是指它在集合论域中具有一个模型。比如,如果假定了皮亚诺公理系统的一致性,就要承认“存在无穷多个素数”等存在性断言是皮亚诺公理的推论。这就是说,皮亚诺公理一致性意味着隐含了某一特定数学对象的存在,即一个集合论模型的存在。其结果是,模态结构主义在本体论上也要承担与柏拉图主义相同的负累。当然,模态结构主义者反对将基于一致性的模态说划归为基于集合论模型存在的非模态说。但他们有必要说明,如果基于公理系统一致性的初始模态事实不能划归为集合的非模态事实,那么这些初始模态事实究竟是什么?如果承认这种初始模态事实的存在,那么模态结构主义者也必然要面临类似于贝纳塞拉夫的认识论挑战,即人们如何能获得关于初始模态事实的认识。

3. 数学的可应用性问题

模态结构主义观点提供了一种关于公理化数学理论的理解,这种理论为其中的基础概念语境地做出定义,比如自然数的皮亚诺公理将符合系统中任意对象的公理系统称为一个自然数系统。比如,当一个数学家在某一数论的语境下做出语句“存在无限多个素数”,将被理解为称“如果〈0,N,s〉是一个自然数系统,则在N中存在无限多个素数。”[6]模态结构主义者主张用“初始语义学”来说明数学命题的真理性,即使用在满足公理的任意对象系统中为真的断言或能从理论的公理中逻辑推出的断言取代关于特定数学对象真理的直观断言。在纯数学理论语境中做出这种断言是合理的,但是在纯数学之外,即在科学与数学的混合情形中如何说明数学对象的真理性呢? 比如,当人们说出语句“行星的个数是9”时,不可避免要对数字“9”进行直接指称,该语句中对数字单称词的指称是不能从数学公理中推出的。而该语句显然不是皮亚诺公理的结论,皮亚诺公理不会告诉我们任何关于行星的信息。因此如果想要用模态结构主义观点来回避认识论难题,就必须要说明“行星的个数是9”这一语句的真理性依据何在? 也就是说“初始语义学”除了适用于数学命题以外,是否可以用来解释经验命题? 是否可以合理解释数学与经验混合命题的含义?

结语

赫尔曼的模态结构主义为规避对特殊的结构对象做出本体论承诺,提出其消除的结构主义进路,为如何认识数学提供了较为合理的解释。然而这种基于公理系统本身一致性的主张,所付出的代价是数学提供一种特殊的语义学解释,它不可避免要面对贝纳塞拉夫的语义难题,即如何为数学与科学提供一种一致的语义学。这意味着,我们应当立足于数学与科学的实践,为数学的本质提供一种恰当的解释,它既可以说明数学自身的真理性,还可以充分揭示数学不可思议的有效性。

摘要：以消除本体论预设为宗旨,赫尔曼提出了模态结构主义思想,并发展为数学结构主义中极富影响力的理论框架。模态结构主义强调避免对结构或位置进行逐个量化,而是将结构主义建立在某个域以及该域上满足由公理系统给出隐含定义条件之关系的二阶逻辑可能性上。但以二阶逻辑与初始模态事实为基础,导致其理论实际建立在集合论之上,显然与结构主义初衷不符。此外,其对结构的模态中立主义态度,导致无法说明数学的可应用性,难以规避语义学难题。

关键词：模态,数学基础,结构主义

参考文献

[1]Putnam H.Mathematics without Foundations[J].The Journal of Philosophy,1967,64(1):5-22.

[2]Hellman G.Three Varieties of Mathematical Structuralism[J].Philosophia Mathematica,2001,9(3):199.

[3]Hellman G.Mathematics Without Numbers:Towards a Modal-Structural interpretation[M].Clarendon Press,Oxford University Press,Oxford and New York,1989.

[4]Cocchiarella N.On the Primary and Secondary Semantics of Logical Necessity[J].Journal of Philosophical Logic,1975(4):13-27.

[5]转引自徐涤非.经典数学的逻辑基础[J].哲学研究,2012(3):100;Quine W V O.Philosophy of Logic[M].Englewoods Cliffs,NJ:Prentice-Hall,1970.

压电结构的自适应模态阻尼控制实验 第2篇

文[1]提出了用分布式的、实时可调的压电片组建模态传感器及作动器实现准独立模态控制的.方法,为结构的自适应控制提供了物质基础.本文在文[1]的基础上,结合自适应控制技术,进一步进行了基于这种独立模态控制策略的自适应阻尼控制实验研究,在压电板上取得了理想的控制效果.

作 者：姚军 李岳锋 姚起杭 作者单位：姚军(北京航空航天大学自动化科学与电气工程学院,北京,100083)

李岳锋(南京航空航天大学振动工程研究所,南京,210016)

姚起杭(飞机强度研究所,西安,710065)

赫尔曼的模态结构主义 第3篇

引 言

传统的结构抗震试验可分为拟静力试验、振动台试验和拟动力试验。拟静力试验技术简单、稳定，但是其不考虑地震作用对结构的影响。振动台试验能够重现地震动，可以真实地反映地震对结构的作用，但是由于振动台承载能力及尺寸的限制，往往无法进行大尺度结构试验。由于小尺度结构模型的动力相似律很难得到满足，尤其是在弹塑性范围内，试验结果往往很难推广到原型结构中去［1］。

拟动力试验通过理论计算来考虑结构惯性力和阻尼力的影响，对结构进行慢速加载试验测量结构的恢复力。拟动力试验解决了理论分析计算中恢复力模型及参数难以确定的困难，可以获得结构体系的真实反应特征，同时又比振动台试验更经济，对试验装置要求较低，更易实现。子结构拟动力试验技术对结构的关键部位进行足尺实验或大尺度实验，其他部位用计算机进行模拟，降低了试验费用。

传统的子结构试验中数值子结构采用线弹性假定或事先假定的恢复力模型。假定恢复力模型与真实恢复力特性可能存在较大差异，这种差异可能引入较大的额外试验误差。当数值子结构中包含与试验子结构相同的结构或构件时，可以利用试验子结构试验观测数据在线预测或修正相应的数值子结构模型，将这种改进的试验方法称为自适应子结构试验方法。Yang等人提出根据试验子结构的数据在线训练恢复力神经网络，并用预测数值子结构的恢复力［2］。

研究发现，采用神经网络预测结构恢复力时，可能存在恢复力误差均值的偏差。而非线性结构对于恢复力误差均值的偏差比误差标准差更敏感，微小的误差均值偏差可能导致非线性结构位移反应很大的差异［3］。

除了可以通过神经网络方法预测数值子结构恢复力外，还可以通过参数识别方法（比如隐性卡尔曼滤波器），在线识别恢复力模型参数。本文提出基于隐性卡尔曼滤波的自适应子结构试验方法，该方法核心思想是在子结构试验过程中，通过观测试验子结构恢复力，采用隐性卡尔曼滤波器在线识别试验子结构模型参数，实时更新与试验子结构相同的数值子结构恢复力模型参数。通过数值仿真研究该方法的精度。

1 隐性卡尔曼滤波器的基本原理

1995年，Julier和Uhlmann基于经典卡尔曼滤波器提出了隐性卡尔曼滤波器（Unscented Kalman Filter）［4］，并将它应用于非线性系统状态估计中［5］。隐性卡尔曼滤波器假定系统的状态量及噪声符合高斯分布，采用确定性采样方法产生第k步状态量的样本点（σ点），然后由系统状态方程得到k＋1步状态量的样本点，通过统计方法计算得到第k＋1步状态量的均值、方差和协方差。这个计算过程就称之为隐性变换（Unscented Transformation）［5］。确定k＋1步状态量的均值、协方差后，通过经典卡尔曼滤波器更新方程就可求得状态量的后验条件概率分布均值及协方差，其中条件均值即k＋1步状态量的估计值［6］，具体过程如下。

设所考虑的问题可写成如下离散形式的状态方程和观测方程

式中xk∈Rn为n维随机状态向量；uk为系统输入；yk＋1∈Rm为m维随机观测向量；vk～N（0，Qk）为过程高斯白噪声，wk＋1～N（0，Rk＋1）为观测高斯白噪声，Qk和Rk＋1分别为过程噪声和观测噪声协方差矩阵。隐性卡尔曼滤波算法分为预测步和更新步，具体步骤如下［6］：

（1）预测步：即在不考虑第k＋1步观测值的情况下，根据状态方程通过UT变换得到第k＋1步状态xk＋1估计的均值mk－和协方差Pk－。首先按下式确定第k步系统状态xk的2n＋1个样本点

然后按式（5），（6）计算预测状态的均值和协方差［7］

式（5），（6）中的权重向量Wm及权重矩阵W由下式确定

常数α，κ为该方法中与状态概率分布类型有关的参数，α决定了样本点在均值周围的分布［8］。UT变换可使自变量和因变量的均值和方差至少达到泰勒展式的二阶精度［9］。对于不同的概率分布，权值和λ合理的取值，均值和方差的精度可以达到更高。α，β和κ的具体定义及意义参见文献［8］。当协方差权值均取非负数时，可以保证状态量的协方差矩阵为半正定矩阵。

（2）更新步：根据观测方程通过UT变换得到观测量的均值、协方差矩阵，以及观测量与状态量的互协方差矩阵；然后利用Kalman更新方程计算k＋1步状态估计均值和协方差。

计算滤波增益Kk＋1以及更新的状态估计均值mk＋1和协方差Pk＋1

式中yk＋1为第k＋1步的观测。

2 双折线恢复力模型参数在线识别

双折线恢复力模型增量形式可表示成下式

式中Rk为恢复力；f（θk，uk，tk）为结构恢复力增量函数，与模型参数和加载历程有关；θk为恢复力模型的 参 数 向 量，θk＝ ［k1，kk2，kRy，k］T，式 中k1，k，k2，k和Ry，k分别为结构第一、第二刚度及 屈 服力；f（θk，uk，tk）＝kkuk＝kk［x（tk＋Δt）－x（tk）］，式中kk应根据滞回阶段取k1，k或k2，k，而滞回阶段不仅与位移有关，还与屈服力有关。

下面以一算例说明隐性卡尔曼滤波方法的识别效果。真实结构恢复力模型参数分别为：第一刚度40 000kN／m，第二刚度1 000kN／m，屈服力400 kN。对结构进行位移控制加载，作用于结构的位移命令选用El Centro（1940，NS）的地面运动位移记录，位移峰值为5cm。滤波器参数设置为α＝1，β＝0，κ＝0。利用隐性卡尔曼滤波在线识别双折线恢复力模型参数时，设系统状态为xk＝［Rkk1，kk2，k Ry，k］T，结构的状态方程和观测方程分别为

噪声协方差矩阵，结构状态量初始状态的均值m0和协方差矩阵P0如下：

采用Intel双核CPU（2．33GHz）的普通台式计算机，数值仿真耗时6．20s，结果如图1～5所示。从图1和2的仿真结果可以看出，在线识别预测得到的结构恢复力与真实值十分接近，两者几乎重合。从图3～5的结构恢复力模型参数识别时程曲线可以看出，隐性卡尔曼滤波可以快速地识别出结构的恢复力模型参数，所识别出的结果与真实值相差均不超过1%，具有很高的精度。另外，在仿真时观测量恢复力中加入了观测噪声，证明该方法对折线型恢复力模型参数在线识别也具有很好的鲁棒性。经仿真分析发现，隐性卡尔曼滤波对于状态方程初始状态量的协方差矩阵值比较敏感。当初始状态量的协方差矩阵取为主对角矩阵时，隐性卡尔曼滤波相应参数识别效果主要与初始状态量协方差矩阵中对应主元素绝对值有关，与其他值关联不大。

图1 结构滞回曲线Fig．1 Structure hysteretic curves

图2 恢复力时程曲线Fig．2 Time history curves of restoring force

图3 第一刚度识别时程曲线Fig．3 Time history curves of the first stiffness identification

图4 第二刚度识别时程曲线Fig．4 Time history curves of the second stiffness identification

图5 屈服力识别时程曲线Fig．5 Time history curves of the yield force identification

3 基于隐性卡尔曼滤波的自适应子结构拟动力试验方法

从第2节算例可以看出，隐性卡尔曼滤波能快速准确地识别出结构的恢复力模型参数。因此本文将隐性卡尔曼滤波应用于子结构试验中，提出了基于隐性卡尔曼滤波器自适应子结构试验方法。该方法的具体步骤如下所示：

（1）初始化。建立试验子结构恢复力参数识别的状态方程及观测方程，根据经验确定系统噪声、观测噪声协方差矩阵，结构系统初始状态量的均值及协方差矩阵。

（2）利用数值积分方法计算出数值子结构的位移，把位移命令发送给作动器。

（3）对试验子结构进行加载，将测得的观测量（恢复力）传递给结构模型识别模块。

（4）利用隐性卡尔曼滤波及测得的观测量对试验子结构恢复力模型参数进行在线识别，根据识别结果更新数值子结构相应恢复力模型参数。

（5）转至第（2）步，直至试验结束。

下面对图6所示两层带支撑框架结构进行自适应子结构拟动力试验的数值仿真，检验基于隐性卡尔曼滤波子结构试验方法的性能。

图中下层层间支撑作为试验子结构，其他部位作为数值子结构。框架下层及上层结构的质量分别为MN1＝MN2＝2 000t，刚度分别为KN1＝KN2＝80 000kN／m，阻尼系数分别为CN1＝CN2＝1 550 kN／（m／s）。上下层结构层间支撑均采用 Bouc－Wen模型，其表达式如下

假定下层试验子结构支撑模型参数取值为kb＝40 000kN／m，β＝60，γ＝40，n＝1．1。支撑与楼面的夹角均为28．81°。地震动选取 El Centro（1940，NS）地震记录，地震动峰值加速度为4m／s2。数值积分算法采用4阶Runge－Kutta方法，积分时间步长为0．01s。

在自适应试验中，利用UKF识别试验子结构支撑的刚度kb以及滞回参数β，γ和n，并实时更新数值子结构支撑模型参数。观测量选用试验子结构的恢复力。试验子结构的状态方程和观测方程分别为下式所示

式中˙x′为试验支撑加载速度，第k步加载速度˙x′k可以根据试验子结构位移加载命令差分得到。试验子结构状态量的初始均值m0、协方差矩阵P0和过程噪声的方差矩阵Qk如下式所示。

图6 支撑结构子结构试验示意图Fig．6 Schematic of the substructure testing for the frame－brace structure

在观测向量中加入协方差为恢复力真实值标准差1%的观测高斯白噪声。由于位移相关型子结构试验中的试验子结构的状态方程中不存在阻尼，且状态量之间的联系相对较差，因此抗噪能力相对较差。当观测量加入较大噪声时有时会出现计算发散。自适应子结构试验仿真耗时7．01s，试验仿真结果如图7～14所示。

图7 下层结构层间位移时程曲线Fig．7 Time history curves of the lower structure interstory displacement

图8 上层结构层间位移时程曲线Fig．8 Time history curves of the upper structure interstory displacement

传统子结构试验数值子结构中支撑恢复力模型采用Bouc－Wen模型，模型参数采用自适应子结构试验中试验子结构模型参数估计初始值，分别为kb＝50 000kN／m，β＝40，γ＝50，n＝2。从图7～10可以看出，位移相关型自适应子结构试验结果与结构真实反应基本吻合，较传统子结构试验结果有很大改善。由于数值子结构中支撑恢复力模型的初始参数与实际值差别较大，在传统子结构试验仿真中，数值子结构仍基本处于线性段，未进入非线性。从图11～14可以看出自适应子结构试验可以很快地准确地识别出结构刚度k和恢复力模型参数n，恢复力模型参数β和γ也很快趋近于真实值。虽然β和γ最终值与真实值有一定的差异，但对试验精度并无太大影响。

图10 上层支撑滞回曲线Fig．10 Hysteretic curves of upper brace

图11 刚度识别时程曲线Fig．11 Time history curves of the stiffness identification

图12 β识别时程曲线Fig．12 Time history curves ofβidentification

图13 γ识别时程曲线Fig．13 Time history curves ofγidentification

图14 n识别时程曲线Fig．14 Time history curves of nidentification

4 结 论

本文利用隐性卡尔曼滤波在线识别结构的恢复力模型参数，并提出了基于隐性卡尔曼滤波在线识别的自适应子结构试验方法，对两层框架支撑结构进行了试验仿真分析。结果表明基于隐性卡尔曼滤波的恢复力模型参数在线识别方法具有较好的精度和收敛速度，且耗时较短。基于隐性卡尔曼滤波的自适应子结构试验方法与传统子结构试验方法相比，其结构反应更接近真实值。

［1］ 邱法维，钱稼茹，陈志鹏．结构抗震实验方法［M］．北京：科学出版社，2000：1—153．

Qiu F W，Qian J R，Chen Z P．Seismic Test Methodology for Structures［M］．Beijing：Science Press，2000：1—153．

［2］ Yang W J，Nakano Y．Substructure online test by using real－time hysteresis modeling with a neural network［A］．Proceedings of the First International Conference on Advances in Experimental Structural Engineering［C］．2005：267—274．

［3］ 张健．自适应子结构拟动力试验方法［D］．哈尔滨：哈尔滨工业大学，2010．

Zhang J．Adaptive substructure pseudo－dynamic testing method［D］．Harbin：School of Civil Engineering，Harbin Institute of Technology，2010．

［4］ Julier S J，Uhlmann J，Durrant－Whyte H F．A new approach for filtering nonlinear systems［A］．Ameri－can Control Conference［C］．Seattle， Washington，1995：1 628—1 632．

［5］ Julier S J，Uhlmann J．Unscented filtering and nonlinear estimation ［J］．Proceedings of The IEEE，2004，92（3）：401—422．

［6］ Julier S J，Uhlmann J．A general method for approximation nonlinear transformation of probability distributions［R］．Technical Report，Robotics Research Group，Department of Engineering Science，University of Oxford，1996：1—27．

［7］ Xiong K，Zhang H Y，Chan C W．Performance evalu－ation of UKF－based nonlinear filtering［J］．Automatica，2006，42（2）：261—270．

［8］ Merwe R．Sigma－point Kalman filters for probabilistic inference in dynamic state－space models［D］．Oregon Health ＆Science University，2004．

赫尔曼的模态结构主义 第4篇

利用美国Alaska一14层的办公大楼及周围场地上记录到的地震动,对此结构进行了低阶模态频率和阻尼的识别,和考虑土-结构动力相互作用后的土-结体系的低阶模态的`频率和阻尼的识别.提供了一种ARX参数模型辨识方法,并与非参数模型辨识比较分析,发现两种模型得到的低阶模态频率和阻尼基本一致,但在高阶模态上会出现明显的差异.通过分析还发现考虑土-结相互作用后,体系的传递函数幅值有所降低.并编制了相应的Matlab计算程序.

作 者：王满生 周锡元 胡聿贤 WANG Man-sheng ZHOU Xi-yuan HU Xu-xian 作者单位：王满生,WANG Man-sheng(北京科技大学,土木与环境工程学院,北京,100032;中国地震局地球物理研究所,北京,100081)

周锡元,ZHOU Xi-yuan(北京工业大学,抗震与减灾研究所,北京,100022)

胡聿贤,HU Xu-xian(中国地震局地球物理研究所,北京,100081)

赫尔曼的模态结构主义 第5篇

车辆 NVH（Noise/Vibration/Harshness）技术是以控制振动、噪声水平来满足用户日益提高的安全保障和舒适乘坐环境的要求。在整车设计阶段，NVH性能成为重要参考指标。

板件等的振动对于NVH性能有至关重要的影响。模态分析作为振动工程理论的一个分支，常被用来确定结构部件等的振动特性，即固有频率和振型。模态分析结果为NVH性能评估和后续开展各种动态结构设计方法提供了强有力的参数依据。

基于CAE仿真技术的结构优化设计整体属于多学科技术综合的优化控制系统，常见种类有形貌优化、尺寸优化等，国内外的学者做过大量理论与实践方面的研究工作［1］。

本课题以某型号矿用自卸汽车驾驶室为研究对象，采用Pro/E建CAD模型，如图1所示。在HyperMesh中完成几何清理、网格划分及相关参数设置前处理。提交文件至MSC.NASTRAN分析求解，获得驾驶室结构动态特性参数。

一阶频率是评价驾驶室动态性能的一个重要指标［2］。

要求驾驶室的各阶固有频率远离外部激励源（如路面不平度，发动机的工作运转，传动系的不平衡等）的频率，避免共振发生。

针对低阶模态频率过低、刚度不足的问题，用OptiStruct求解器作灵敏度分析高效快速选定影响低阶关注模态的灵敏结构部件，将板件的厚度作为设计变量，重新计算模态，结果表明低阶模态频率有了较大程度的提高。

1 有限元建模

有限元分析方法依托计算机技术和数值分析方法的发展，采用“化整为零又积零为整”的数学思想，模型是建立在近似的力学模型上。有限元法进行结构分析的流程如图2所示。

Altair公司开发的Altair HyperWorks软件包是一个创新、开放的企业级CAE平台，集成设计与分析所需的各种工具［3］。其包含的HyperMesh是杰出的有限元分析前后处理平台。

将驾驶室CAD模型导入其中，在保证不影响结构整体动态特性及分析精度前提下做简化处理，删除反光镜及支架、车内饰、橡胶密封件等非承载类零件。

在拓扑模式下针对几何信息转换中存在的边界错位、不必要的缝隙和面的缺失等问题做几何清理，重点修改调整自由边、共享边、压缩边和T形连接边，删除模型中如倒角、圆角、孔等细微特征，抑制小的几何。

驾驶室由钣金冲压薄板零件组合而成，由于壳单元结合了平面应力板单元和受弯曲的薄板单元的共有特征。可以承受平行及垂直板中面的载荷，每个节点有6个自由度，也有6个节点力分量［4］，所以在用Midsurface抽取中面后，选用SHELL单元（QUAD4和不超过总单元10%的TRIA3单元）离散结构，以10尺寸大小划分网格。在网格划分同时需在Quality Index面板中设置单元划分标准，以控制网格的变形。因为这直接关系到有限元分析计算结果的精度和收敛性。实际操作中网格质量检查与网格划分需同步进行。

根据实车结构的连接方式，该驾驶室模型采用Connectors模块提供的一维Rigid单元模拟铆接和螺栓连接的刚度特性及其对周围零件的影响。采用ACM2模型（见图3）模拟点焊，它通过焊核（一个处于两被焊接件间、垂直于被焊接面的六面体单元）和RBE3单元分别与两被焊接件连接而成［5］。

驾驶室板壳材料均为Q345B，属性见表1。

表1 材料属性

玻璃门窗在很大程度上影响结构特性，安装了钢化玻璃的整个驾驶室结构模型有405 323个单元，412 995个节点和1 795个连接体（见图4）。

2 模态分析

2.1 模态分析的理论基础

绝大多数振动的结构在结构动力分析中可将其离散成有限个自由度的多自由度系统，用n个独立的物理坐标描述其物理参数模型。运动微分方程为［6］。

式中：［M］、［C］、［K］分别为系统的质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵分别为系统的加速度、速度和位移列向量；［F］为研究对象（系统）所受的激励力。

对系统进行固有模态分析，不考虑阻尼和激励力，即［C］、｛ ｝

F 均为零的情况下，存在：

对于任何线性系统而言，式中的［M］、［K］都是实对称矩阵，求解时设｛x｝=｛φ ｝sin（ωt）代入得

2.2 驾驶室模态结果分析

根据模态频率计算分析规范，释放载荷和约束。由于Block-Lanczos方法采用稀疏矩阵方程求解，运算速度快，输入参数少，特征值、特征向量求解精度高，故文件提交到MSC.NASTRAN中用Lanczos法进行模态计算［8］。

驾驶室结构的前几阶整体模态对振动的贡献度大，同时也反映出驾驶室的整体刚度性能［9］。经MSC.NASTRAN计算得到的固有频率和振型以计算云图显示，例出典型的几阶展示如图5所示。

具体的模态频率和振型描述见表2。

表2 驾驶室整体结构模态频率及其振型

结构的低阶弹性模态不仅反映汽车车身的整体刚度性能，而且是控制汽车常规振动的关键指标。鉴于以往的同类型车辆的研究成果，整体来看，模型建立合理，整体设计满足要求。

该驾驶室存在顶棚、侧围等局部模态过多现象，一阶模态频率偏低，说明其动态刚度偏小。为了在保证驾驶室有必要的结构强度和刚度情况下，可以修改设计方案以提高这些低阶模态频率。

提高低阶模态频率的途径一是应用密度小的材料，如铝、工程塑料等做板件，以降低关注模态的模态质量；另一种是改变驾驶室关键零部件的板厚、材料、泊松比、弹性模量、截面形状和采用加强筋等结构形式与尺寸［10］［11］。

本课题采用的是通过改变板块的尺寸厚度来实现的。

3 驾驶室结构模态特性灵敏度分析

3.1 模态灵敏度分析的理论基础

驾驶室一阶模态灵敏度主要反映驾驶室一阶模态频率对结构设计变量的变化梯度，也就是结构响应对设计变量的偏导数。由模态理论知：

式中：δ为单元节点位移矢量。

根据灵敏度的定义，对设计变量xi求偏倒，得：

将上式左乘δT，由于K为对称矩阵，整理得到：

由式知（Kδ-ω2Mδ）T=0 代入（6）式简化为：

将振型向量对质量矩阵做归一化处理，并对上式简化，结合ω=2πf得到系统的固有频率对设计变量xi的灵敏度关系式：

3.2 板厚对驾驶室一阶频率的灵敏度

选取驾驶室的几个典型部件（见表3）的板块厚度为设计变量，运用Optistruct求解器进行计算分析，以提高一阶模态频率为目标函数，质量上限为原来的99%作为约束条件，即在不增加驾驶室重量的前提下改善振动特性，计算出一阶固有频率对板厚的灵敏度（见图6）。

表3 驾驶室部件

由图6、表3可以看出，顶盖内板、地板内侧、左右门内板等部件板厚的改变对驾驶室一阶模态频率影响较大。

4 优化分析

尺寸优化是Optistruct提供的一种优化设计方法，是在对模型的形状有了一定的设计思路后所进行的一种细节设计［12］，由灵敏度分析确定顶盖内板、地板内侧和左右门内板为修改对象，采用不同厚度进行模态分析，兼顾生产成本，最终确定将顶盖内板和左右门内板厚度提高1.5mm，地板内侧厚度提高3mm，重新计算模态频率如表4所示。

表4 优化后各阶模态频率

5 结论

介绍了驾驶室模型有限元分析的具体流程，用HyperMesh进行几何清理和网格划分，提交MSC.NASTRAN对模型求解、分析模态，进而通过灵敏度分析寻找到灵敏区域，这一分析思路与流程为后续其他的结构修改提供参考，具有一定实际意义。

针对驾驶室一阶模态频率（17.8 Hz）偏低的问题，利用灵敏构件的尺寸优化来指导驾驶室结构的改进与优化设计，进而提高驾驶室的动态特性。结合优化前后的结果对比，可见提出的方案可行，有效的实现了提高一阶模态频率（44.8 Hz）的目标。

［1］刘显贵.基于刚度灵敏度分析的轿车白车身结构优化［J］.机械设计.2009：26（12）：58-60.

［2］曹树谦，张文德，萧龙翔.振动结构模态分析［M］.天津：天津大学出版社.2001.

［3］曾力.基于HyperWorks的卡车车身有限元分析及改进研究［D］.成都：西南交通大学，2010.

［4］ 刘海江，肖丽芳.翼子板结构刚度模态分析与优化 ［J］.机械设计与制造.2009，（1）：4-5.

［5］段月磊，毕传兴.轿车车身刚度有限元分析与优化［J］.噪声与振动控制，2010.（6）：79-82.

［6］刘永超.基于有限元法的微型轿车车身结构的动力学研究［D］.武汉：华中科技大学，2005.

［7］ 杨炯年，钱立军，关长明.某轿车白车身模态分析［J］.机械设计与制造，2010.（2）： 235-237.

［8］ 曹树谦，张文德，萧龙翔.振动结构模态分析［M］.天津：天津大学出版社，2002.

［9］谷正气.汽车车身现代技术［M］.北京：机械工业出版社，2009.