小学代数思维教学

小学代数思维教学（精选8篇）

小学代数思维教学 第1篇

一、代数思维在小学数学中的培养

代数思维是数学思维的重要内容之一，它在小学数学中有着神奇的作用。那么如何培养学生的代数思维呢?培养学生的代数思维就是充分发挥代数思维在小学数学学习过程中的作用，设置出直观的，贴近生活的，并且学生能够很容易理解接受的抽象问题，引导学生观察、思考、总结其中的规律，掌握所学的知识和技能，使学生在学习小学数学知识的同时，有意或无意识地接受代数思维的锻炼。

1. 打好培养代数思维的基础。

平衡算术思维与代数思维的关系，理清算术与代数之间的关系是代数思维形成的前提。算术思维的一定程度的积累是培养学生的代数思维的基本条件，当算术思维达到一定程度之后，又必然向代数思维过渡。因此，要为代数思维的培养打好基础，教师首先要重点训练学生的算术思维，并不断提出一些一般性结论，帮助学生总结规律，渗透代数思想，而不是急于求成，过分强调抽象概念。

2. 设定科学的教学目标。

小学阶段的主要任务是培养代数思维的意识，而不是代数思维的能力提升，因此，能否设定科学的教学目标是培养小学生代数思维的关键。根据不同学生，提出与其水平相对应的要求，绝不能将初中数学知识盲目地加入到小学数学教学中，导致教师急得一身汗，学生却仍旧一头雾水，最终适得其反，得不偿失。

3. 循序渐进，逐步深入。

大部分小学生都还停留在算术直观的思维当中，逻辑能力不强。在培养学生代数思维的初始阶段，不应该立刻导入字母或符号，应通过观察，思考再归纳总结算术中的一般规律和方法，然后用自然语言进行正确的表达，并在具体表达的指导下，将一般规律正确运用于具体问题比如先只要求学生能听懂，会表述，然后再要求学生能套用、能理解，最后达到能迁移的程度，这就已经达到了小学阶段对代数思维的最高要求了。

4. 运用生活中的抽象素材。

小学阶段的代数思维更侧重于培养意识，因此不能过早地引入抽象的代数符号，更不能涉及太多专业术语，以免增加学生的负担，因为学生很难吃透这些抽象的概念。选择生活中的抽象素材更能引起学生的兴趣，易于理解掌握。

二、代数思维在小学数学中的作用

代数思维就是学生运用字母或符号来代替具体数值进行思考的思维方式。它是一种特殊的抽象思维方式，它对小学数学的教学有着很重要的作用。

1. 表达一定的数量关系或规律。

如加法的交换律和结合律，分数性质，整除性质等。用字母来表示这些规律具有直观、简洁和易记等优点。如果单纯用语言记忆就比较繁琐。

2. 概括和表达知识的共性。

如解决问题分类时，需要总结出某类问题的共同特征和一般的数量关系。这便于学生从整体上把握一类问题，达到举一反三的效果，摆脱题海的困扰，实现知识的正迁移。

3. 更好地帮助学生抽象思维的健康发展。

具体的形象思维积累到一定程度后，学生的思维必然向抽象思维发展，而代数思维训练恰好给学生的抽象思维提供了具体而有力的素材。

4. 是小学到初中的顺利过渡的奠基石。

具体思维水平无论多高也不能代替简单的抽象思维。小学阶段代数思维的初步意识和简单模仿，为初中数学的衔接做好铺垫，使学生能够更有效地适应初中数学的字母和符号语言，适应中学阶段对代数思维的更高要求。

三、代数思维在小学数学中的运用

1. 计算知识中的运用。

计算是小学数学的重点之一，计算的目的就是将算式算出结果的过程，也就是得到数的过程，为了教好计算，教师们往往让学生死记硬背计算法则，但一些难题，还是让学生望尘莫及，无从下手，特别是四则混合运算，难度较大。如: (1+2012+2014+2016) (2012+2014+2016+2018) - (1+2012+2014+2016+2018) (2012+2014+2016) =____设2012+2014+2016=a;2012+2014+2016+2018=b;则原式= (1+a) b- (1+b) a=b+ab-a-ab=2018%%这里就是把几个数的叠加换成了字母, 变成另一种表示形式。不但有助于学生对代数式的理解, 而且能加强简便计算的理解。

2. 解决问题中的运用。

在解决问题时，为了更好地让学生理解解决问题的方法，应更快地使学生从具体形象思维过渡到抽象逻辑思维。例如：小明在一次登山活动中见到一块矿石，回到家后，他使用一把刻度尺，一只圆柱形玻璃杯和足量的水就测量出这块矿石的体积，如果玻璃杯的内直径为d，把矿石完全淹没在水中，测出杯中水面上升了高度h，则这块矿石的体积为()。矿石的体积等于水面上升的体积，为：3.14(d/2) 2h=0.785d2h。

在小学阶段恰当地培养和运用代数思维，不仅不会影响学生的正常学习，而且会促进学生对小学数学的深刻理解和掌握，并减轻学生的学习负担。教师要根据教学内容和学生的思维水平，运用恰当的教学方法，提出切实可行的要求，对学生进行代数思维的训练，只有这样，才能减轻学生的课业负担，适应初中数学的学习。

参考文献

[1]曹一鸣, 王竹婷.数学“核心思想”代数思维教学研究[J].数学教育学报, 2007 (1) :8-11.

小学代数思维教学 第2篇

如何在方程教学中帮助学生经历从算术思维向代数思维过渡

从算术思维向代数思维过渡，是学生认知发展的飞跃。绝大多数学生，经历认识上的这个过渡时，都不会自然而然、简简单单就完成的。需要教师精心地设计活动，让每个学生都有机会经历，有机会感悟，才可能慢慢地完成从算术思维向代数思维的过渡。

在小学教学的诸概念中，方程是一个抽象的概念，方程，其含义是指含有未知数的等式。它的刍形在各年级均有类似的式子反映，一年级的3＋（）＝75－（）＝３可以理解为方程的起步，高年级提出的解简易方程，作出了规范化要求，让学生熟悉等号的含义后，利用简笔画或借助课件利用天平原理辅助教学。天平是平衡的，即左右两边是相等的，现在开始改变盘中的数值，左边的6不要了，拿去它，要使天平保持平衡，右边该怎么办，学生立即就会想到右边的2０也该减去6，既得到的是2个Ｘ等于14，再想象一个Ｘ则为把14平均分成2份中的１份即得到7。再将刚才的思路反映到解题中，这样，教学可以使抽象的问题形象化，简单化，同时也培养了学生的观察能力和分析、比较能力，从而调动学生学习的积极性，并能快速有效地完成教学目标，使学生一看便知道其中的所以然，特别是要使学生认识到数学本身是有用的，促使他们碰到问题能想一想是否可以用数学来解决。在这样的思想指导下的应用问题的教与学，学会了如何利用各种手段收集和处理问题中隐含的信息，学会了如何从问题中发现隐含的数量关系，学会了如何从多个角度思考问题，获得了初步分析问题、解决问题的能力。

小学代数思维教学 第3篇

关键词：科学思维；科学方法；高等代数

中图分类号：G642.0 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2012）02-0165-02

高等代数是高校数学与应用数学、信息与计算科学专业本科生的一门重要的基础理论课。它既是中学代数的继续和提高，也是数学各分支的基础和工具。高等代数这门课程概念多，理论性强，内容抽象，前后联系紧密，环环相扣，相互渗透。充分体现了数学的严密逻辑性、高度抽象性、广泛应用性。提高学生数学素养，加强能力培养与科学思维方式培养，注重现代数学的思想和方法是本专业教学的重点。高等代数教学是学生掌握高等代数的基本理论与基本方法，一方面为学生学习相关课程及进一步扩大数学知识面奠定必要的基础，另一方面培养学生建立数学模型解决实际问题的能力。

一、激发学生学习高等代数的兴趣，提高学生的学习积极性和主动性

我们知道兴趣是最好的老师，对一门课程是否感兴趣是决定一个学生能否学好这门课程。大学教学方法与中学教学方法无论是在内容上还是在方法上都有很大的区别，不少刚踏入大学的学生一下子很难适应大学的学习节奏。高等代数又是大学生最先接触的课程之一，此时作为第一节的入门课就显得十分重要了。我们对第一次课的教学内容重新做了设计，首先说明本课程在整个大学课程中的地位和作用，要让学生知道它是一门很重要的基础课程，对它掌握的好坏将直接影响后继课程的学习和将来继续深造努力提高学生对高等代数课程的重视和学习高等代数的兴趣。其次，将它与已学初等数学课程从内容和方法上进行联系、比较，使学生的思维具有连贯性，接受新知识不觉得突然。再则介绍新课程的主要内容、体系及基本要求，介绍本课程的研究对象、研究内容和研究工具，将主要内容用一条线穿起来，使学生做到对一门新课程有一个整体印象。同时把重点放在实际应用中，并选取学生感兴趣的实例，来贯彻高等代数的实用性从而激发学生的兴趣。

二、明确教学定位，优化教学内容

考虑到一般工科院校主要是培养应用技术型人才的实际情况，我们在教学中明确我们的教学定位。我们选用的教材是北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编的《高等代数》，在保证课程内容科学性的前提下对课程中的部分内容作了处理，适当降低了课程内容的理论难度。我们所讲课程内容主要为：多项式，行列式，线性方程组，矩阵，二次型，线性空间，线性变换，λ-矩阵，欧几里得空间，其中不包括多元多项式，对称多项式，行列式的拉普拉斯定理，二元高次方程组，酉空间介绍及双线性函数与辛空间。同时在教学过程中我们注重习题课教学，配备专门的助课教师，负责批改作业、习题课教学和辅导，同时在习题课教学上我们的宗旨是概括总结，突出应用，适当提高，避免偏题难题。

三、注重学生科学思维方式的培养

科学思维、科学方法教育教学是全面提高学生素质，培养学生实践能力和创新精神的需要，也是当今时代的要求和适应未来激烈竞争的需要。

1.通过一题多解，培养学生发散思维能力。一题多解，即用不同的运算和推理方式，反映条件和结论之间的本质联系。选择典型的习题，有目的地对学生进行一题多解的训练，引导学生作多方位的思考，对于调动学生学习的积极性和主动性，激发学生的求知欲望，拓宽解题思路，培养学生的求異性和发散思维能力有着重要的意义。通过一题多解的训练，引导学生对不同的解题方法进行比较概括，对准确理解基本概念、熟练掌握基本理论及对基本理论和基本方法灵活运用有十分重要的意义。

2.通过多题一解，培养学生归纳推理能力。我们常说：读数学不如做数学，做题是学好数学的关键.但做题不是目的，这就要求学生通过做题对所学知识进行归纳、总结和概括，不能局限于做一道题的具体方法，要学会透过现象看本质，通过认真思考、分析归纳、综合概括，去发现题与题之间基本数学结构相同或相似的地方，然后由此及彼归纳出解题模式，把彼此孤立的知识联系起来，将知识结成网，构成面。通过有限的练习，从中悟出共同的解题规律，这样既达到举一反三、触类旁通的目的，又可提高学习效率，培养学生归纳推理及综合概括能力。

3.通过比较，培养学生类比思维能力。类比是根据两类事物某些属性相同或相似，而推出它们在其他属性上也可能相同或相似的思维形式。类比是以比较为基础，通过对两类事物进行比较，找出它们的相似点及不同点，把一类事物的已知属性，推演到另一类对象中去，并对它们的不同点进行比较，从而达到对后者有一个更清楚、更准确的理解和认识。因此，老师在教学过程中要尽可能多地运用类比进行知识的讲解。比如在讲解矩阵乘积的性质时，可以与数的乘积的性质相比较；在讲解逆矩阵的概念与性质时，可以与非零数的倒数相比较，找出它们的相同点和不同点，使学生抓住它们的个性和共性，这样既能达到“温故而知新”，又能使学生深刻理解概念和性质。

4.注重培养学生逆向思维能力。逆向思维，即“反过来想”。人们思考问题时常常只注重于沿着合乎习惯的正向进行顺推，但有时如果采用“倒过来”思考的逆向思维方式，往往会产生突破性的效果。这种思维方式对于开阔思路能起到积极的作用。因此在高等代数教学过程中应该积极地引导和鼓励学生去进行逆向思维。比如，当遇到某些问题结构比较复杂，直接从已知条件入手比较困难时，可以引导学生从命题的结论出发，逐步向上逆推，常常会收到较好的效果，这就是反推思考。这不仅有助于学生掌握所学知识，更重要的是启迪学生进行逆向思维。

四、注重一章内容的总结概括

虽然我们每章内容都安排几次习题课，但每章内容结束后我们都要进行一次总的概括综合，例如在对多项式这一章进行总结复习时将这一章的主要内容归结为三大基本定理及三大理论体系。三大基本定理为：带余除法定理、最大公因式的存在定理、因式分解的唯一性定理。三大理论体系为：1.整除理论：包括整除、最大公因式、互素及性质；2.因式分解理论：包括不可约多项式、因式分解、重因式、实系数与复系数多项式的因式分解、有理系数多项式不可约的判定等；3.根的理论：多项式的根、代数基本定理、有理系数多项式的有理根求法、根与系数的关系等。学生在学习过程中，如能掌握这三大基本定理和三大理论体系就能整体上把握一元多项式的理论，同时还可以用框架结构即知识脉络图来显示一章的所有内容，使学生对本章的基本内容、知识结构一目了然。

五、注重将现代教育技术融于教学之中

随着计算机技术迅速发展，为教学手段的改革与提高带来了新的可能与新的方向。现代教育技术的使用，给学生提供了全方位、多渠道、最直接的听觉、视觉感受，是高等教育发展的必然趋势.合理有效的利用现代教育技术，有助于不断改进教学方法、教学模式以及教学内容。但现代教育技术在教学中的应用，目前基本上还是以相对固定的多媒体课件教学为主.多媒体在课堂上可以直观、形象、生动、逼真地表现教学内容，但是多媒体教学也存在着一些缺陷。比如，信息量过大，效果往往容易被忽视，不利于学生思维从具体到抽象的过度。利用网络教学平台，对多媒体教学进行补充，提供与学生学习同步的信息，包括课前预习质疑与课后交流答疑，知识应用与综合训练，以及软件学习与应用，把最新的信息和知识、最真实的生活案例与课堂教学结合起来，拓展学生的联想空间，争取学生把知识学活，学有所用，促进学生创新能力的提高。因此在教学过程中，将板书、多媒体课件与网络三者有机结合起来，把握好现代教育技术在教学过程中应用的最佳时机和位置，是我们每位教师努力的方向。

参考文献：

[1]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代学（第三版)[M].北京：高等教育出版社，2003.

[2]徐仲，陆全，等.高等代数考研教案[M].西北工业大学出版社，2006.

小学代数思维教学 第4篇

一、代数渗透:算术教学中的资源构建

(1) 在习题中渗透方程意识。

对于低年级学生而言, 在学习10以内的加减法时有一定的学前基础, 教师可以利用相应的教学契机, 通过方程意识的渗透培养学生的代数思维。

例如在教学8+ () =10这样的题目时, 让学生能够意识到括号本身就代表着一个数字。

生1:我文具盒里有8支铅笔, 再放2支就是10支了。

生2:8和2组成10, 所以填2。

生3:10-8=2, 所以填2。

生1是据图思考, 属于形象思维;生2是利用数的组合得出的解法;而生3利用和减去加数等于另一个加数的法则, 尚属于算术思维。因此, 只有将这个等式视为一个整体, 将括号当成一个完整的数字, 代数思维才开始萌芽。而随着学生认知水平的提升, 扩展到20以内、100以内, 这样的思维历练普遍适用, 使学生代数思维可以得到反复练习。

(2) 在习题中渗透集合思想。

例如:10+20> () , 15+ () <20, 第一道题中, 小于30皆可;第二题中, 小于5都行。利用这样的题目, 其价值不完全在于让学生知道填写的数字, 更要让学生懂得 () 其实是若干个数的代表, 渗透的是一种集合的思想。

(3) 在习题中践行推理思维。

3个人第一次交朋友见面, 每每握手, 可以握手几次?对于低年级学生而言可以通过制作图片或者直接演示的方式, 尽管也可帮助学生顺利解决问题, 但殊途同归, 不同的解题路径却蕴含着不同的解题思路, 学生在一路上经历的数学风景也不尽相同, 其代数的意义彰显不够, 学生的思维历练也就相形见绌。

二、二重特性:代数思维中的结构凸显

众多代数概念具有鲜明的二重性的特点, 即表现为一种过程性的操作特征, 同时也是一种实践的对象。同理, 算术思维也可表现为过程性, 更是一种模型特征。x+y既可以看成是两个数字的相加的过程, 同时也是表示最终的结果。这种代数审视的视角对于学生代数思维的培养具有重要意义。

例如在教学“用字母表示数”的教学中, 教师让学生思考:一根黄瓜切一刀分为几根?切两刀, 三刀, 甚至是二十刀呢?教师引导学生发现形成的根数是切的刀数多1, 从而顺利总结出x+1的算式, 继而引导学生在练习中不断实施拓展, 形成代数思维

这样的代数思维还可以在其他的数学算理中不断加以实践运用, 即将两个不同的算式综合成一个算式加以表示, 利用字母等特殊符号将其中一个算式看作成为一个整体, 用替代的思想拓展学生的代数思维。

如在教学38=24、24+8=32这两道算式中, 教师可以引导发现第二道中一个加数24其实就是第一道算式的运算过程, 将其看作是一个整体, 直接用替代的思想形成38+8=32算式, 也可运用规定的特殊符号替代38, 代数特征跃然纸上。学生在这样的替代过程中, 强化了对于算式思维的理解, 更实现了代数思维的历练。

三、方法优越:例题彰显下的价值意蕴

(1) 理论认知层面:

小学阶段的简易方程是学生走进代数世界的重要媒介, 由于这种简易方程可以引导学生完全按照习题中的逻辑关系生动直观地再现数量等式, 是问题情境和数量联系的鲜活再现, 所以更易于让学生接受这样的过程。与算式思维相比, 方程的列式过程运用假想数字字母或者其他特殊符号参与思维排序, 整个过程无需学生的逆向思维, 而算式理解不仅需要列式, 而且需要学生对已知条件与所求的问题之间进行逆向思考, 无意间提升了学生的思维难度。

而在解题过程中, 由于方程本质上拥有相对的统一性, 其解法显得简单易行。而算式原理在列式思维过程中就要考量解法, 具有双重思维介入, 因而每一步的解题中都需要学生寻求列式下的思维支撑, 显得烦琐而繁杂, 不易让学生轻松掌握。有了这样的认知, 教师可以让学生在真正的数学思维和数学实践活动中充分体味代数思维下的方程在列式解答过程中的优越性。

(2) 例题验证层面:

对于代数思维下的优越性, 教师更可以在数学实践中运用恰当的例题让学生在动手实践感受。事实上, 很多学生在解决实际问题时, 不能利用方程列出正确的等式, 而需要重新回溯到算式思维中来帮助方程的呈现。细细反思不难发现, 学生在由算式思维向代数思维的迈进过程中还没有形成连续有效的思维路径, 算术思维中更接近生活实际的特点使得学生长久依赖。因此, 在解决问题过程中, 教师可选择以算术难而方程易的方式让学生在实际中感受体味。

小学数学教学中代数思想的渗透 第5篇

数学思想方法是人们对数学知识和本质规律的认识，是分析、处理与解决数学问题的根本途径。代数思想方法是数学思想方法的重要内容之一，也是培养学生抽象思维能力重要素材。代数思想方法是初中（第三学段）数学教学的核心内容，但这并不意味着思维与小学数学教学无关。任何一种思维的训练都是要经过直观认识、模仿运用、理解记忆和灵活掌握四个阶段，并且要随着学生思维水平的提高而逐渐完成的。初中是学生形成代数思想的关键期，但如果没有小学阶段的直观认识和简单模仿的训练，就会使学生的思维进程受到阻碍，影响初中及以后的学习。有的家长会发现自己的孩子在小学阶段成绩非常好，但上初中以后，成绩却迅速下降。造成这种现象的重要原因之一就是在小学阶段代数思想方法渗透不到位，而是过分强调算术思维的训练，造成学生抽象思维不足。本文将探讨在小学数学教学中，对学生进行代数思想方法渗透的必要性和应注意的问题。

一、代数思想的作用

代数思想方法就是学生运用字母来代替具体数值进行思考的思维形式。它是一种特殊的抽象思维形式，它对小学数学主要有以下几方面作用：

1、用于刻划一定的数量关系或规律。如加法的交换律和结合律，分数与除法关系，整除性质等。用字母表示这些规律具有直观，简洁和易记等优点。如果单纯用语言记忆就比较繁锁。

2、用于概括和表示某类知识的共同特征。如应用题分类时，需要总结出某类问题的共同特征和一般的数量关系。这样便于学生从整体上把握一类问题，所总结的公式便于学生实现知识的正迁移，起到举一反三的效果，摆脱题海的困扰。

3、促进学生抽象思维的健康发展。当具体的形象思维积累到一定程度后，学生的思维必然向抽象思维发展，而代数思维训练恰好学生的抽象思维提供了具体而有效的素材。如果不及时引导学生归纳总结，就会阻碍学生抽象思维的发展。

4、有利于小学到初中的顺利过渡。具体思维水平无论多高也不能代替简单的抽象思维。小学阶段如果能够适当培养学生的代数思想的初步意识和简单模仿，就会使学生进入初中后，很快适应初中数学的符号语言，使代数思维水平迅速提高。

综上所述，虽然代数思想方法是初中数学教学的核心任务之一，但在小学阶段恰当地培养和运用代数思想方法，不仅不会影响学生的正常学习，而且还会促进学生对小学数学的深刻理解和掌握，并减轻学生的学习负担。教学中关键在于把握“适当”二字。

二、如何“适当”培养代数思想

适当培养学生的代数思想就是充分发挥代数思维在小学数学学习过程中的作用，适时提出有丰富直观背景的学生能够接受的抽象问题，引导学生思考，总结规律，掌握所学知识和技能，使学生在学习小学知识的同时，自觉或不自觉地受到代数思维的训练，要做好此项工作，我们应注意以下几点：

1、要摆正算术思维与代数思维的关系。算术思维是学生运用具体数学，在某种实际背景下，进行思考的思维形式。它是代数思维形成的前提，没有算术思维的一定程度积累就无法培养学生的代数思维，当算术思维达到一定程序之后，又必然向代数思维过渡。因此，教师首先要重点训练学生的算术思维，并时刻注意引出一些一般性结论，帮助学生总结规律，渗透代数思想，而不能盲目提高，过分强调抽象思维。

2、讲求教学方法。在培养代数思想的初期，绝不能马上引进字母或符号，而是引导学生归纳总结算术中的一般规律和方法，然后用自然语言进行正确的表述，并在具体表述的指导下，将一般规律正确运用于具体问题。经过这样一段类似训练后，学生就会感到这样叙述比较麻烦，从而引进符号，以简化表述过程，使学生从感性认识自然上升到理性认识。比如，加法交换律教学时，应让学生观察一组加法的结果，它们具有顺序不同但结果相的特点，然后总结出加法的交换律，经过一段学习后，再引入符号表示。

3、注意挖掘已有的抽象素材。小学阶段的主要任务是培养代数思想的意识，因此不能过早地引入抽象的代数符号和不必要的术语，以免增加学生的负担。现行小学数学教学内容中就有许多抽象的表达形式的原型。只要将其作简单变形就可以成为代数思维的极好素材，如填空题中，常见下列形式：27＋□＝91这里的“□”是用来表示要填的数的位置，如果换个写法，就变成了：27＋X＝91，求X的值，这样就变成了一个方程问题了。这种形式的变化，有利于学生代数思维的形成，但在初期不必给X起名叫“未知数”，而只要告诉学生这个数就可以。

4、难度要适当。就是说要针对不同的学生水平，提出适当的要求，绝不能将初中数学下放的小学，适合学生接受能力的训练才是有益的。要随着学生思维水平的发展逐渐提高要求，比如先只要求学生能听懂，会表述，然后再要求学生能套用、能理解，最后达到能迁移的程度，这就已经达到了小学阶段对代数思维的最高要求了。

总之，在小学数学教学中进行适当的代数思想方法训练不仅是必要的而且是可能的。小学数学给我们提供了丰富的具体素材。关键在于教师要根据教学内容和学生的思维水平，运用恰当的教学方法，提出切实可行的要求，对学生进行代数思维的初步训练，只有这样，才能减轻学生的课业负担，与初中数学的学习接轨。

讲求教学方法。在培养代数思想的初期，绝不能马上引进字母或符号，而是引导学生归纳总结算术中的一般规律和方法，然后用自然语言进行正确的表述，并在具体表述的指导下，将一般规律正确运用于具体问题。经过这样一段类似训练后，学生就会感到这样叙述比较麻烦，从而引进符号，以简化表述过程，使学生从感性认识自然上升到理性认识。比如，加法交换律教学时，应让学生观察一组加法的结果，它们具有顺序不同但结果相的特点，然后总结出加法的交换律，经过一段学习后，再引入符号表示。注意挖掘已有的抽象素材。小学阶段的主要任务是培养代数思想的意识，因此不能过早地引入抽象的代数符号和不必要的术语，以免增加学生的负担。现行小学数学教学内容中就有许多抽象的表达形式的原型。只要将其作简单变形就可以成为代数思维的极好素材，如填空题中，常见下列形式：31＋□＝87这里的“□”是用来表示要填的数的位置，如果换个写法，就变成了：31＋X＝87，求X的值，这样就变成了一个方程问题了。这种形

小学代数思维教学 第6篇

【关键词】准变量思维 算术思维 代数思维

【中图分类号】G623.5【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）01-0129-02

一、定义阐述，准确把握概念

准变量思维的对象主要是准变量（表达式）及其代数关系与结构的非符号陈述；准变量思维的核心是充分利用算术中所隐含的代数关系与结构，以对算术及其问题进行“代数地思考”。它是介于算术思维与代数思维之间的一种数学思维形式。

二、现状分析，提高渗透意识

课改前的小学数学都以“算术”作为主要内容，2001年的《数学课程标准》（实验稿）和“《义务教育数学课程标准（2011年版）》”在各学段课程内容均安排了“数与代数”，用以联结算术与代数。作为小学数学教育工作者的我们不能把“算术与代数”割裂开来对待，而应积极探讨算术与代数间的数学联系，逐步在“数与代数”的教学中贯通他们内在的联系，有意识地在算术教学中挖掘代数特性。

在小学阶段，不少学生的数学成绩非常突出，进入中学后，逐渐出现学习困难的情况。究其原因，则是小学阶段的数学学习经历的是大量的计算及其正确率的练习，对于代数而言，令他们感到陌生，尤其是复杂的代数表达式及其关系。为了更好地衔接小学与中学“数与代数”的学习，在小学数学教学中应当渗透准变量思维。

三、实践滋养，架起思维桥梁

（一）在算术概念教学中培养学生的准变量思维。

准变量思维可以帮助学生更加深刻地理解数学概念。在平时概念的教学与复习中，教师往往认为概念教过了、学过了、练过了，学生已经理解了，但事实并非如此。学生对数学概念的理解，实际上不是直线发展的。不应要求学生在某一阶段的学习里一次性完成，而应在认识向前的过程中，不断反首回顾，不断重温旧知，逐步拓展对概念的理解。

如对单位“1”的理解，虽然在学生学习“分数意义”时知道了：一个物体、一个计量单位或由许多物体组成的一个整体，都可以用自然数“1”来表示。在后来的教学中，通过“把8千克、3千克、0.2千克糖平均分成5份，每分多少千克，每分占总数的几分之几”的练习，学生利用分数除法的知识进行探究，就会发现只要分成的“份数”不变，无论总数如何变化，“每份均占总数的几分之几”是一个确定的分数。从而使学生在总数的不断变化中帮助学生深刻理解单位“1”，运用变化的数8、3、0.2……来充当“变量”，对应的代数关系为■÷ a=■，从而真正培养学生的准变量思维。

（二）在算术运算教学中培养学生的准变量思维。

在义务教育阶段，“数与代数”的教学是一个不可分割的整体，其主要目标是培养和提高学生的数学素养。由于小学数学在内容上主要是算术，其思维形式倾向于程序思维，初中数学内容之一主要是代数，其思维形式倾向于关系思维。研究表明，小学生是可以具备早期代数思维的，这种思维需要超越对算术与计算熟练程度的精通，而去关注隐含的深层数学关系与结构。当然在算术运算教学中要解决思维的灵活性，促进学生的代数学习，需要教师转变观念，使用“代数的眼睛和耳朵”，敏锐发掘出可以培养学生准变量思维的素材，适时培养学生的准变量思维。

例如：一年级教学32-5，可以引导学生进行变式思考，通过32+5-10，让其知道减去一个数，可以加上另一个数，使其合成10，再减去10。这样在算术教学中适时对小学生进行准变量思维的培养，降低学生学习代数的困难。再如：在一节“两位数减两位数”的课上，我出示了一道减法算式（76-37）让学生计算。有一位学生半举着手胆怯地说：“37-6=31，70-31=39。”听了他的回答后，我为之一震，这不就是学生的一种初步代数思维——准变量思维吗？我不由自主地为他的这种算法鼓起了掌，虽然这种算法不是每个学生都能发现和掌握的。小学二年级学生能运用自然语言说出计算“76-37”的如下过程，就有了代数思维的萌芽，其对应的代数关系为：76-37=（70-30）-（7-6）。低年级儿童的这种“代数思维”之花应该在平时的教学中得到关注，适当进行培养。

（三）在运算律教学中培养学生的准变量思维。

《义务教育数学课程标准（2011年版）》中对运算律的要求是“探索并了解运算律，会应用运算律进行一些简便运算。”学生运用运算律进行简便计算的过程就是一种准变量思维的培养过程。在平常的运算律教学中，培养学生的准变量思维要注意学生正确思考习惯的养成，突出变式练习，锤炼学生灵活思考问题的能力，达到帮助学生充分理解运算律本质的目的。不但要知其然，而且要知其所以然。

例如：教学乘法分配律一课，让学生计算163×4+163×6，让学生先独立计算，然后仔细观察，并思考有没有简便的算法。学生会发现：163×4+163×6=163×（4+6）=163×10=1630。这样经过训练，让学生养成正确的计算习惯。自觉地将运算运算律运用于其他数学题目中。再通过变式训练，使学生明确运用乘法分配律进行简便算法必须符合两个条件：有相同的因数；相同因数的个数可以进行凑整。进而抽象出一般的代数关系与结构a×b+a×c=a×（b+c），使学生更好地掌握其中的本质属性。

运算规律是小学数学教学中的重要内容，学好这部分知识，可以培养学生的观察能力、综合应用数学知识的能力，尤其是合理应用简便计算以提高计算准确率的能力，培养学生的准变量思维。

小学代数思维教学 第7篇

关键词：高等代数,教学方法,抽象思维能力

高等代数是高校理工科专业一年级的基础必修课，该学科内容抽象，逻辑严密，包含有许多现代数学的基本观点和方法，它不仅是中学数学的继续和提高，而且是现代数学的基础，主要培养学生抽象思维能力和推理论证能力。其研究的主要对象是代数系统的结构，以及相互间的关系和法则，它以严密的逻辑推理形式来考察各种代数的结构并逐层抽象。由于这门课程理论性较强，教学难度较高，学生在学习高等代数，特别是在学习行式、线性空间，同构，线性变换等理论时会感到难以理解，学习起来有困难。下面我结合自己多年的高等代数教学实践，谈谈对概念教学的认识。

1. 概念教学中思维深刻性的培养

概念是思维的细胞，是浓缩的知识点。概念教学中需要重视培养学生思维的深刻性，培养学生分清概念与问题实质的能力。具体表现为能洞察所研究事物的本质及其相互联系;能从所研究的材料中揭示被掩盖的特殊情况;能通过对比、联想概念之间的异同，找出每个概念的特点，以挖掘出每个概念的关键所在。如讲到矩阵乘法：A=(aik) sn, B=(bkj) nm, C=AB=(cij) sm，要向学生说明乘法能作的条件：第一个矩阵的列数应等于第二个矩阵的行数。数的乘法与矩阵乘法有相同之处，但更注意其较大的不同之处：矩阵乘法有零因子，一般不满足交换律，那么矩阵的乘法就很值得研究了。再通过数的除法运算过渡到逆矩阵的概念与求法，等等。同时在授课中辅以电子课件讲解，习题课时可运用数学软件如：Maple或Matlab，向学生展示矩阵的加法，乘法及逆运算和线性方程组的求解等。这样一方面可获得更好的教学效果，另一方面也能充分调动学生学习高等代数的积极性，既省时又省力，还可带动学生加快思维，尽快消化所学知识，使其对新知识印象更深，掌握得更牢。为学生的思维由形象到抽象的转化奠定基础。

2. 形象思维与抽象的和谐统一

高等代数的概念较多，也比较抽象，必须准确地理解内涵，掌握概念的本质属性，才有可能正确地展开数学的一整套理论。在教学中可结合新概念，化抽象为具体，先可举几个符合定义条件的例子把概念具体化，这对多数学生来说是非常重要的;同时在教学中可结合教学内容，适当穿插一些高等代数发展的史料，介绍国外数学家的生平和成就，让学生了解高等代数的发展、演变过程。例如：讲行列式的定义时，可以结合行列式产生的概念背景，逐步介绍行列式理论的形成过程：行列式是在寻求线性方程组公式解的过程中产生的，为了将二元一次、三元一次方程组的解表示成容易记忆的形式，马克劳林引进了二阶、三阶行列式，经过猜想和实验，得出二、三阶行列式的值由对角线法则算出。继续推广表明，对于四阶以上的行列式，对角线法则失效，这就迫使人们重新观察二、三阶行列式的展开规律，并将所得规律加以推广归纳形成了n阶行列式的定义。然后由定义出发，在研究行列式七大性质的基础上，得到了求线性方程组的公式解:Cramer法则。这样讲解可让学生透彻理解行列式的概念与形成过程，在教学中增添了情趣，也活跃了课堂气氛。同时，数学教学要求把抽象的内容形象化，可通过直观的形象来深化抽象的内容，这种抽象中的形象，正是数学教学的真谛。如讲到实二次型化为标准型(即主轴问题)一节时，可以有意识地与中学所学的将有心二次曲线f (x, y)=ax2+bxy+cy2化为平方和的问题相联系，那么我们在中学所讲的坐标变换就是正交矩阵。这样，通过比较不仅为抽象的理论提供了形象的数学模型，而且提高了学生的抽象思维能力，进而从较高的层次对中学教材的内容有了更深刻的理解。例如对于线性方程组理论的各个结论，我们可以看做是中学课本中学到的三元一次方程组的解的求法推广，得到消元法和基础解系，最后使解的存在与判断得到了圆满解决。

3. 举例说明

当引入线性空间的定义时，可让学生做如下笔记加以说明：(1)线性空间具有一般性。其中的元素不一定是通常意义下的向量，可以是数、矩阵、多项式、函数等，但都可以简称为向量。(2)线性空间的抽象性。主要体现在两个运算上，其中的加法和数乘未必就是我们所熟知的向量、矩阵、函数、多项式等的加法与数乘运算;之所以这样称呼，是因为这两种运算满足通常的加法与数乘规律。如果在同一非空集合V和数域P上按不同的规则来定义这两种运算，所构成的线性空间一般是不同的。(3)线性空间涉及的数域P，当取不同的数域P时，线性空间的定义形式上没有改变，但线性空间的一些性质：如相关性、维数通常会改变。

下面以教材中的一道例子加以解释说明：

例：全体正实数R+，定义在实数域上，加法和数乘如下：a茌b=ab;k莓a=ak，问是否构成线性空间?

解：显然所给集合对定义的加法和数乘运算封闭，

3.1 是零元：

4. a的负元是

故R+，定义在实数域上，对规定的加法和数乘构成线性空间.

注：这里的加法和数乘运算已经泛化，零元是1, a的负元是，需特别加以引导，使学生加深理解。

总之，要高度重视高等代数这门基础课的教学，充分挖掘学生的潜能，培养学生对数学抽象概念的理解能力。

参考文献

[1]侯维民, 董春霞.谈高等代数理论的三条主线[J].天水师范学院学报, 2004, 10 (5) .

[2]杨存洁.在高等代数教学中转变学生思维方式[J].数学通报1999, 6.

[3]北京大学数学系几何与代数教研室高等代数 (第三版) [M].北京大学:高等教育出版社, 2003:83-88.

小学代数思维教学 第8篇

书上以二元一次方程组的解法作为行列式的引入, 除了中学所用的消元法外, 将方程的系数项和常数项组成的不同行列式相除, 也可得到方程的解。但是大多学生对系数所确定的行列式不等于零时有唯一解所对应的几何意义, 不太理解。线性代数是一门几何与代数紧密结合的学科, 教师在第一节课就可结合几何思维方法, 带给学生们引导和思考。于是举例进行进一步解释:可将方程组看作列向量的线性组合, 那么问题就变成了, 能否找到一组数字x1、x2, 使得x1倍的向量和x2倍的向量合成第三个向量 (又可以称为能否用向量线性表示这个向量。学生较容易看出前两个向量是不共线的, 且x1、x2分别取1和2即可成立。在此基础上提问:如果将常数项向量改成其他它的向量, 例如等, 方程有没有解。学生们经过思考, 能够总结出:在二维空间中两个不共线的向量总可以唯一地线性表示出第三个任意的向量。接着, 让学生计算由两个不共线的列向量组成的行列式, 易得出其值不为零, 进而在教师的引导下明白:系数项组成的二阶行列式不等于零, 对应着列向量不共线的情况, 因此方程组有唯一解。然后, 推广到三维空间的情况, 学生经过思考会得出结论:三个不共面的向量总可以唯一地线性表示出第四个任意的向量。在课堂的最后留下一个思考问题:猜想三个不共面的三维向量组成的三阶行列式值的情况, 以及其值为什么会不等于零。以上从中学几何出发讲解行列式, 利用学生已学过的向量合成法则推导出行列式与线性方程组的关系, 一方面可以提高学生的学习兴趣和几何思维能力, 另一方面为以后向量空间的教学内容做好铺垫。特别是在后面章节介绍完线性相关的概念后, 可以很自然地过渡到接下来的结论:如果一个n阶方阵对应的行列式的值不等于零, 则组成方阵的n个列向量不共“面” (此处的面指的是n维空间的n-1维超曲面) , n个列向量中的任何一个都无法用其他向量线性表示, 因此其列向量组是一个线性无关组。

第二章是关于矩阵运算的介绍, 其中, 一个矩阵Am×s和另一个矩阵Bs×n相乘是本章的重点和难点。然而书上的定义为纯粹的代数规则, 较为烦琐, 学生很难记准确。因此, 矩阵相乘除了“左行右列”这个方法外, 还有“列乘以列”与“行乘以行”的几何方法也需要介绍。首先从同学们熟悉的多元一次方程组

引入, 其可以用矩阵表示法记为Ax=c, 其中。改写方程组为

记A的各个列向量依次为α1, α2, …αs, 则上式可以从几何角度理解为, 用矩阵A的s个列向量线性表示向量c:c=x1α1+x2α2+…+xsαs。在学生熟悉这种几何表示后, 再把被乘矩阵从列向量xs×1推广到更普遍的多列矩阵的情况。记Am×s和Bs×n的积为Cm×n, 则C的任意一列 (假设是第j列γj, j=1, 2…n。) , 可看作由A的列向量α1, α2, …αs分别乘上矩阵B第j列对应的各元素后, 合成而得:γj=b1jα1+b2jα2+…+bsjαs (3) 同理, 记B的各个行向量依次为β1T, β2T, …βsT, 则C的任意一行 (假设是第i行ηiT, i=1, 2…n。) , 可看作由B的行向量β1T, β2T, …βsT分别乘上矩阵A第i行 (ai1ai2……ais) 对应的各元素后, 合成而得:ηiT=ai1β1T+ai2β2T+…+aisβsT (4) 以上两种方法相比于代数方法, 更容易被学生接受, 而且为向量组的线性相关性方面的内容打下了基础。

第三、四章分别从代数和几何上分析线性方程组解的情况。首先一个很重要的概念———矩阵的秩, 其定义为矩阵的最高阶非零子式所含有的阶数。以上是代数描述, 从几何上来说, 矩阵的行秩或列秩对应于矩阵的行向量组或者列向量组所含独立 (线性无关) 向量的个数, 且行秩等于列秩。学生有了几何概念后, 更容易理解秩的一些重要定理, 例如, 若AB=C, 则R (C) =min嗓R (A) , R (B) 瑟。这需要结合我们上面介绍的矩阵的两种“几何”乘法 (“列乘以列”和“行乘以行”) , 由 (3) 式可以看出:矩阵C的各个列向量是由矩阵A的列向量线性表示的, 因此C的秩必然小于等于A的秩;同理, 由 (4) 式可以看出:矩阵C的各个行向量是由矩阵B的行向量线性表示的, 因此C的秩也必然小于等于B的秩。以上如果只用代数解释, 学生们很难理解并记住, 但是从几何上解释就较容易接受了。在熟练掌握秩的定理和性质后, 便可以介绍它的应用。下面分析由m个s元一次方程组成的线性方程组 (1) 式, 矩阵记法为Am×sxs×1=cm×1 (简写成Ax=c) 。先将增广矩阵B= (A, c) 通过行变换化为行最简型, 然后比较系数矩阵A的秩和增广矩阵B的秩:如果两者相等, 则方程有解;反之则无解。这在几何上代表:如果秩相等, 则向量c可以用A的各个列向量α1, α2, …αs线性表示 (即c=x1α1+x2α2+…+xsαs) ;反之, 如果秩不相等, 则A的列向量α1, α2, …αs不能线性表示出向量c。接着进一步讨论秩相等所对应的具体情况:若RA=RB=s, 则方程有唯一解 (相当于方程组有s个未知数, 也有s个独立的方程, 因此方程有唯一解) ;若RA=RB=r<s, 则方程有无数个解 (相当于方程组有s个未知数, 却只有r个独立的方程 (r<s) , 只能固定r个未知数, 其他r-s个未知数无法固定, 因此方程有无数个解) 。用几何来解释:若A、B的秩等于s, 则A的s个列向量线性无关, 向量c可由它们唯一线性表示;若A、B的秩小于s, 则A的列向量子组最大能找到r个线性无关的向量, 它们和其他的s-r个向量有多种方法线性表示出向量c (相当于“r”维空间中, 本来r个线性无关的向量即可唯一表示出向量c, 但是除此之外又有其他s-r个向量, 它们也可用前面r个向量线性表示, 因此全部s个向量线性表示c的方法并不唯一) 。

由此可见, 对于这门课程, 几何和代数是相辅相成、密不可分的。而且线性代数内容丰富, 应用广泛, 只看一本教材是不够的, 需要学生参考其他中英文书籍文献[2-4], 多做习题。但是这对初学者来说是比较困难的, 尤其大一新生课程很多。因此在教学过程中, 需要老师将各章节连成一个系统来讲, 并适当地引导学生思考, 从一开始就培养学生的几何思维能力。以上内容浅谈了如何将单一的代数运算结合几何思维方式来讲解, 有助于改善工科数学教学中多数学生将代数、几何分开学习的情况。

摘要：线性代数和解析几何有着密切的联系, 然而很多学生在学习行列式和矩阵时, 常常只从代数角度强制记忆运算规则, 事倍功半, 同时导致其学习兴趣不足。本文结合笔者个人教学实际, 浅谈如何引导学生通过几何思维方式来学习、理解线性代数中的若干问题, 以期提高学生的独立思考能力和学习兴趣。

关键词：线性代数,解析几何,几何思维方式,独立思考能力

参考文献

[1]同济大学数学系.工程数学.线性代数[M].第五版.北京:高等教育出版社, 2007.

[2]Gilbert Strang, Linear Algebra and Its Applications, Thomson Brooks Cole Press, Fourth edition (2004) .

[3]Steven J.Leon, Linear Algebra with Applications, Prentice Hall Press, Sixth edition (2006) .