典型方程范文

典型方程范文（精选5篇）

典型方程 第1篇

例1 (2013·山东滨州,6分)解方程:

【分析】本题考查一元一次方程的解法, 按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1等步骤求解.

解:去分母,得3(3x+5)=2(2x-1).(1分)

去括号,得9x+15=4x-2. (3分)

移项、合并同类项,得5x=-17. (5分)

系数化为1得x=-17/5 . (6分)

【点评】解一元一次方程时,要注意去括号易出现符号错误或漏乘括号内的项. 这类试题属于中考中的容易题,只要概念清楚,方法正确,即可拿满分. 在解题时要写出完整答题,不跳步骤,这样即使出错, 也可以分步得分.

例2 (2013·浙江台州,8分)已知关于x、y的方程组的解为求m、n的值.

【分析】本题考查二元一次方程组解的概念和二元一次方程组的解法,将方程组的解代入这个方程组,得到关于m、n的新方程组,即可求得m、n的值.

【点评】已知方程(组)的解,可以列出关于待定系数的方程(组),解这个方程(组) 就可以求出待定系数. 这类试题属于中考中的中档题,解决这类问题的方法包括代解法和求解法,但要因题而异,灵活选用, 本题以用代解法为好.

例3 (2013·湖北黄冈,6分)解方程组:

【分析】本题考查二元一次方程组的解法,原方程组比较复杂,先将两个方程化简,再根据方程组的特点确定消元的方法求解.

解:方法1(代入法):原方程组整理得:

【点评】解二元一次方程组的基本思路是消元,即把“二元”变为“一元”,主要方法有代入消元法和加减消元法. 当方程组中某个未知数的系数绝对值等于1时, 利用代入消元法求解比较简单;如果方程组中同一个未知数的系数成倍数关系或绝对值相同,则采用加减消元法求解比较简单. 中考中解二元一次方程组的问题一般难度适中,主要考查同学们对方法的掌握,需要注意运算的准确性和选用恰当的方法.

例4 (2013·江苏泰州,8分)解方程:

【分析】本题涉及分式方程的解法,正确确定最简公分母是解题的关键,当分母是多项式时需先进行因式分解,再确定最简公分母,本题的最简公分母是x(x-2).此外, 忽视验根是最常见错误.

解:去分母得(2x+2)(x-2)-x(x+2)= x2-2,(2分)

去括号得2x2-2x-4-x2-2x=x2-2,(4分)

移项合并得-4x=2,(6分)

所以x=-1/2 ,(7分)

经检验知x=-1/2是原方程的解. (8分)

【点评】有关确定分式方程解的问题,在中考中一般处于基本题的位置. 解分式方程关键是通过去分母,将分式方程转化为整式方程. 在去分母时,要注意不能漏乘任何一项,特别是常数项.最后要注意验根, 看所得的解是否原方程的解.

例5 (2013·广东广州,9分)解方程: x2-10x+9=0.

【分析】本题考查一元二次方程的解法, 可运用配方法、求根公式法和因式分解法等方法求解.

解法一(配方法):将方程x2-10x+9=0变形为x2-10x=-9, 配方得x2-10x+25=-9+ 25,(3分)

即(x-5)2=16,∴x-5=4或x-5=-4,(6分)

解得,x1=9,x2=1. (9分)

解法二(求根公式法):因为a=1,b=-10, c=9,(3分)

Δ=100-36=64>0,(6分)

由求根公式解得x1=9,x2=1. (9分)

解法三(因式分解法):将方程x2-10x+ 9=0变形为(x-1)(x-9)=0,(6分)

解得x1=9,x2=1. (9分)

【点评】解一元二次方程通常有四种方法,即直接开平方法、配方法、求根公式法和因式分解法,只要方程有实数根,配方法和求根公式法都是万能的,但要根据具体的方程选择合适的方法,直接开平方法和因式分解法适合特殊形式的方程.

例6 (2013·广西贺州,5分)某校为了丰富学生的校园生活,准备购进一批篮球和足球,其中篮球的单价比足球的单价多40元,用1 500元购进的篮球个数与900元购进的足球个数相等.

(1)篮球与足球的单价各是多少元?

(2)该校打算用1 000元购进篮球和足球,问恰好用完1 000元,并且篮球、足球都买有的购买方案有哪几种?

【分析】本题考查分式方程和二元一次方程的应用.

(1) 首先设足球单价为x元,则篮球单价为(x+40)元,根据题意可得等量关系: 1 500元购进的篮球个数=900元购进的足球个数,由等量关系可得方程求解;(2) 设恰好用完1 000元,可购买篮球m个和购买足球n个,根据题意可得篮球的单价×篮球的个数m+足球的单价×足球的个数n=1 000, 再求出整数解即可.

解:(1) 设足球的单价为x元,则篮球的单价为(x+40)元,根据题意得(1分):

经检验,x=60是原分式方程的解,且符合题意. 所以x+40=100. (4分)

答: 篮球和足球的单价分别为100元、60元. (5分)

(2) 设恰好用完1 000元 ,可购买篮球m个和购买足球n个(m、n是正整数),(6分)

由题意得100m+60n=1 000,因此m=10- 3/5 n. (7分)

因为m、n都是正整数,所以n是5的整数倍,且n<50/3 . 所以n=5、10、15,因此得到m=7、4、1. 所以有3种购买方案:

方案1:购买篮球7个,足球5个;

方案2:购买篮球4个,足球10个;

方案3:购买篮球1个,足球15个.(10分)

【点评】在应用分式方程解决实际问题时,要注意两个检验:一是检验得到的解是否方程的增根,二是得到的解是否符合实际问题的意义,两者缺一不可. 二元一次方程是研究方案问题的有效模型,二元一次方程是不定方程,它的解一般有无数个,但是它的特殊解却是有限的,因此可以先建立二元一次方程模型,再利用二元一次方程的特殊解解题.

例7 (2013·湖南永州,8分)中国现行的个人所得税法自2011年9月1日起施行, 其中规定个人所得税纳税办法如下:

一、以个人每月工资收入额减去3 500元后的余额作为其每月应纳税所得额;

二、个人所得税纳税率如下表:

(1)若甲、乙两人的每月工资收入额分别为4 000元和6 000元,请分别求出甲、乙两人每月应缴纳的个人所得税;

(2)若丙每月缴纳的个人所得税为95元,则丙每月工资收入额应为多少?

【分析】本题是关于用一元一次方程解决纳税问题的应用题,理清不同工资收入对应不同的纳税税率是解题的关键. (1) 按计算方法求解即可;(2) 要估算出丙的工资范围,再根据丙每月缴纳的个人所得税列出方程求解.

解:(1) 甲每月应纳税所得额:4 000- 3 500=500(元),甲每月应缴纳的个人所得税为:500×3%=15(元)(2分);

乙每月应纳税所得额:(6 000-3 500)= 2 500(元),乙每月应缴纳的个人所得税为:1 500×3%+(2 500-1500)×10%=145(元) (4分).

(2) 若每月工资收入额为1 500+3 500= 5 000(元),则每月缴纳的个人所得税为 (5 000-3 500)×3%=45(元)<95元;

若每月工资收入额为4 500+3 500=8 000 (元),则每月缴纳的个人所得税为:1 500×3%+(3 500-1 500)×10%=245(元)>95元.

由丙每月纳税95元,可知丙每月工资在5 000~8 000元之间,纳税级数为2,其纳税额由两部分组成. 设丙每月工资收入额应为x元(5分),

则得:1 500×3%+(x-3 500-1 500)×10% =95(6分),解得x=5 500(元)(7分).

答:丙每月工资收入额应为5500元(8分).

三元一次方程典型练习题 第2篇

1．．

2． 当a为何值时，方程组的解x、y的值互为相反数．

3． ．

4．在y=ax2+bx+c中，当x=0时，y=﹣7；x=1时，y=﹣9；x=﹣1时，y=﹣3，求a、b、c的值．

5．若，求x，y，z的值

若上式等于K，试求x,y,z的比值

6．已知关于x，y的方程组的解也是方程4x﹣y=﹣9的解，求k．

7．已知：x+2y﹣z=9，2x﹣y+8z=18，求x+y+z的值

8．已知正实数a、b、c满足方程组，求a+b+c的值

对简易方程典型错例的思考与实践 第3篇

一、 发现错误：引起关注

为了便于叙述，笔者将从知识学习的三个分类（层次）作阐述。

1.陈述性知识错误

陈述性知识也叫说明性知识，在简易方程单元中含有不少陈述性质的数学知识，比如方程的概念、等式的性质等。

典型错题1：按要求将下面式子的编号填入对应的集合圈里。

① 2x+8=20 ②2x+8 ③2x+8<20

④2×6-8=4 ⑤20>2x+8 ⑥ 2（x+8）=20

⑦5x-6=4 ⑧6÷x=12 ⑨x+x+x=12

方程 等式 既不是方程也不是等式

错解：

第一种：①②⑥⑦⑧⑨ ①②④⑥⑦⑧⑨ ②⑤

第二种：①⑥⑦⑧⑨ ④ ②③⑤ （此种错误人数最多）

第三种：①⑥⑦⑧⑨ ①④ ②③⑤

第四种：①⑥⑦⑧⑨ ①⑥⑦⑧⑨ ②③④⑤

第一次教学方程概念时呈现的习题，在课堂中已经讨论、对比过方程与等式的关系：方程一定是等式，等式不一定是方程。

2.程序性知识错误

程序性知识是指怎样进行认知活动的知识，在简易方程中解设未知数、按题意列方程、解方程、答结果这一系列的操作行为就是属于上述范畴。

典型错题2：3年前父亲的岁数是儿子的7倍，今年父亲38岁。儿子今年几岁？（用方程解答）

错 解：

本题是学生学习了简易方程这一单元后作业本上出现的星号题。内容涉及年龄的问题，属于与生活密切相关的实际问题。

3.策略性知识错误

策略性知识是关于如何学习和如何思维的知识，它往往与问题解决融合在一起。

典型错题3：一个长为12厘米的长方形面积比边长是12厘米的正方形面积少36平方厘米，这个长方形的宽是多少厘米？

错 解：

解：设长方形的宽是x厘米。

学生已经学会了解简易方程的基本方法，此题是凭借方程算法，根据问题情境，运用顺向思维利用图形面积以及大小关系，求长方形的宽。

二、 错因探究：追踪溯源

错误是师生交流信息的一个“窗口”，是教学的一面“镜子”。成功运用学生的错误，需要教师善于观察、善于诊断，关注学生错误背后的故事，积聚智慧做学生典型错误的剖析者。

1.“思维定势”惹的祸

思维定势有时是一种熟练的表现，当学生的习惯思路和眼前要解决的具体问题不一致时，习惯性思维“战胜”了理性思考，结果就带来了错误。例如典型错题1中，认为等式只有④这项的同学最多，占了62.4%。学生接触了4年多的纯数字等式，受到之前学习中司空见惯的数字化等式的影响，思考时总偏向于这类式子的判断，而忽视新学的含有字母的等式。这种习惯思维导致学生漏掉方程是等式也就不足为奇了。

2.“形式假设”惹的祸

在教材编排中，用方程解决问题，都是先假设，然后再列出等量关系式进行解答。这样的安排无论从学生的现实起点还是从教材的逻辑起点来说都是合理的。但是这一呈现形式带来的负面影响也是不容忽视的：容易导致学生不论碰到什么问题，直接把问题中的未知数设为x，不进行深入的思考。如典型错题2中，学生都不约而同地设儿子今年为x岁，当列出方程7x=38-3后再计算5+3=8。这样的解题思路完全和解设不统一。学生解题时往往看到问就下笔抄写，然后把“多少”等疑问词换成x后就万事大吉，把未知数x表达的意义抛诸脑后。解设成为摆设，这种张冠李戴的现象比比皆是，不得不引起一线教师的关注。

3.“尴尬编排”惹的祸

新教材较好地解决了关于方程教学的中小学衔接问题，促进了学生由算术思维向代数思维方式的转变。等式的性质更有利于学生的可持续发展。为了便于说明等式的基本性质，又兼顾学生的思维水平，教材回避了a-x=b和a÷x=b二种方程。作为教材的编写者在编写解方程题目时可以有意避开这几种特殊情况，但是在列方程解决实际问题时，学生列出的方程却不可避免地会出现这几种特殊情况。如典型错题3中，学生找到最基本的等量关系——正方形面积-长方形面积=相差面积，根据相等关系，得到12×12-12x=36这样较复杂的方程。学生不明白在减数或除数中出现未知数时如何解答，只好生搬硬套地运用已学解法，结果当然是错误的。

三、 跟踪纠错：柳暗花明

面对学生形形色色的错误，教师是望“错”兴叹，袖手旁观？还是乘风破浪直面出击？教师可以有何作为？笔者以为可以从以下几个方面入手：

1.加强概念的建构性理解

学生在获取概念时容易出现“眉毛胡子一把抓”或孤立认识的现象。因此，教师在教学时既要重视学生有意义地获取概念，又要引导学生去伪存真抓本质。如典型错题1中多数学生还是以经验为思考方法，“惯性”使然导致错误。如何改变这样的现状？教师可在课堂中采取一些针对性的教学策略。例如教师通过设问——你知道为什么取名等式吗？什么是等式？从而引起学生注意。最后在提炼方程的意义时让学生横向比较等式20+X=50、20+X=100与等式20+30=50有什么不同，在对比中让学生深入透彻理解方程和等式的概念，避免数学概念的理解只停留在表象上。当然为了加深印象，在课末小结中，教师也可以对数学概念提取核心词。比如对于方程概念可以提取两个关键词：未知数、等式。对于等式可以提出判断性标志：等号。endprint

2.重视数量关系的分析

列方程解决问题的关键是寻找数量关系，这是方程教学的重点，亦是学生学习的难点。如典型错题2中很多种错解都是无法把握正确的等量关系：3年前父亲的年龄=3年前儿子的年龄×7。再如典型错题3，当学生列含有字母的式子时，因缺少参照系（数据直观的大小），往往忽略正确意义列出错误的方程。而这些错误的方程也能求解让学生误以为获得正解。在遇到图形问题时，教师要积极倡导学生动手操作。此题可以让学生画一画长方形和正方形。画的时候可以追问谁该画得大一些，目的是让学生在动手操作时必须考虑大小问题，从而把关注的目光聚焦到题目的理解上。用笔涂一涂它们的面积，目的是避免学生混用各自的面积和周长计算公式。在教学中，教师要善于运用多种策略，加强学生对数量关系的分析，让数量关系成为运算意义和解决问题的桥梁。

3.跨越未知数设置的障碍

如何防止未知数的假设与列出的方程出现“张冠李戴”的现象？笔者认为在教学时不妨多试问方程中未知数x的意义，是否与解设中x的意义相同。通过师生问答潜移默化地领悟x意义的一致性，接着在之后的学习过程中出现一些变式练习（设间接未知数后轻松快速解决问题的练习），出现时机建议在复习整理阶段。如四、五年级共植树80棵，五年级植树比四年级的2倍少4棵，五年级植树多少棵？学生会采用直接设法（设五年级植树x棵），接着列方程和解方程都会出现困难，教师引导学生采用间接设法，通过体验、对比让学生体会到适当的未知数设置不仅能降低列方程和解方程的难度，还能融合算术方法共同解决数学问题。

4.寻找新旧教法的融合点

针对简易方程新旧教法的差异，教师应采取撷长补短的策略，有机揉和传统教学和现代教学的精华，从而达到最佳的教学效果。首先按照新教材的教学思路学习等式基本性质并能熟练地解答方程。在练习课中引导学生解答练习十一（1）的问题时，学生列出了2个方程：x+835=6299和6299-x=835。对于第一个方程学生轻松解决，第二个方程就出现了困难。组织学生讨论：当减数位置出现未知数时该怎么办？先引导学生回忆减法模型：被减数-减数=差。再引导学生利用等式性质将其变形。除法也是同样的道理。由于在这个关系式的变化过程中不出现任何未知数，且结合了等式的基本性质，学生容易理解。

【责任编辑：陈国庆】endprint

2.重视数量关系的分析

列方程解决问题的关键是寻找数量关系，这是方程教学的重点，亦是学生学习的难点。如典型错题2中很多种错解都是无法把握正确的等量关系：3年前父亲的年龄=3年前儿子的年龄×7。再如典型错题3，当学生列含有字母的式子时，因缺少参照系（数据直观的大小），往往忽略正确意义列出错误的方程。而这些错误的方程也能求解让学生误以为获得正解。在遇到图形问题时，教师要积极倡导学生动手操作。此题可以让学生画一画长方形和正方形。画的时候可以追问谁该画得大一些，目的是让学生在动手操作时必须考虑大小问题，从而把关注的目光聚焦到题目的理解上。用笔涂一涂它们的面积，目的是避免学生混用各自的面积和周长计算公式。在教学中，教师要善于运用多种策略，加强学生对数量关系的分析，让数量关系成为运算意义和解决问题的桥梁。

3.跨越未知数设置的障碍

如何防止未知数的假设与列出的方程出现“张冠李戴”的现象？笔者认为在教学时不妨多试问方程中未知数x的意义，是否与解设中x的意义相同。通过师生问答潜移默化地领悟x意义的一致性，接着在之后的学习过程中出现一些变式练习（设间接未知数后轻松快速解决问题的练习），出现时机建议在复习整理阶段。如四、五年级共植树80棵，五年级植树比四年级的2倍少4棵，五年级植树多少棵？学生会采用直接设法（设五年级植树x棵），接着列方程和解方程都会出现困难，教师引导学生采用间接设法，通过体验、对比让学生体会到适当的未知数设置不仅能降低列方程和解方程的难度，还能融合算术方法共同解决数学问题。

4.寻找新旧教法的融合点

针对简易方程新旧教法的差异，教师应采取撷长补短的策略，有机揉和传统教学和现代教学的精华，从而达到最佳的教学效果。首先按照新教材的教学思路学习等式基本性质并能熟练地解答方程。在练习课中引导学生解答练习十一（1）的问题时，学生列出了2个方程：x+835=6299和6299-x=835。对于第一个方程学生轻松解决，第二个方程就出现了困难。组织学生讨论：当减数位置出现未知数时该怎么办？先引导学生回忆减法模型：被减数-减数=差。再引导学生利用等式性质将其变形。除法也是同样的道理。由于在这个关系式的变化过程中不出现任何未知数，且结合了等式的基本性质，学生容易理解。

【责任编辑：陈国庆】endprint

2.重视数量关系的分析

列方程解决问题的关键是寻找数量关系，这是方程教学的重点，亦是学生学习的难点。如典型错题2中很多种错解都是无法把握正确的等量关系：3年前父亲的年龄=3年前儿子的年龄×7。再如典型错题3，当学生列含有字母的式子时，因缺少参照系（数据直观的大小），往往忽略正确意义列出错误的方程。而这些错误的方程也能求解让学生误以为获得正解。在遇到图形问题时，教师要积极倡导学生动手操作。此题可以让学生画一画长方形和正方形。画的时候可以追问谁该画得大一些，目的是让学生在动手操作时必须考虑大小问题，从而把关注的目光聚焦到题目的理解上。用笔涂一涂它们的面积，目的是避免学生混用各自的面积和周长计算公式。在教学中，教师要善于运用多种策略，加强学生对数量关系的分析，让数量关系成为运算意义和解决问题的桥梁。

3.跨越未知数设置的障碍

如何防止未知数的假设与列出的方程出现“张冠李戴”的现象？笔者认为在教学时不妨多试问方程中未知数x的意义，是否与解设中x的意义相同。通过师生问答潜移默化地领悟x意义的一致性，接着在之后的学习过程中出现一些变式练习（设间接未知数后轻松快速解决问题的练习），出现时机建议在复习整理阶段。如四、五年级共植树80棵，五年级植树比四年级的2倍少4棵，五年级植树多少棵？学生会采用直接设法（设五年级植树x棵），接着列方程和解方程都会出现困难，教师引导学生采用间接设法，通过体验、对比让学生体会到适当的未知数设置不仅能降低列方程和解方程的难度，还能融合算术方法共同解决数学问题。

4.寻找新旧教法的融合点

针对简易方程新旧教法的差异，教师应采取撷长补短的策略，有机揉和传统教学和现代教学的精华，从而达到最佳的教学效果。首先按照新教材的教学思路学习等式基本性质并能熟练地解答方程。在练习课中引导学生解答练习十一（1）的问题时，学生列出了2个方程：x+835=6299和6299-x=835。对于第一个方程学生轻松解决，第二个方程就出现了困难。组织学生讨论：当减数位置出现未知数时该怎么办？先引导学生回忆减法模型：被减数-减数=差。再引导学生利用等式性质将其变形。除法也是同样的道理。由于在这个关系式的变化过程中不出现任何未知数，且结合了等式的基本性质，学生容易理解。

对简易方程典型错例的思考与实践 第4篇

一、发现错误:引起关注

为了便于叙述, 笔者将从知识学习的三个分类 (层次) 作阐述。

1.陈述性知识错误

陈述性知识也叫说明性知识, 在简易方程单元中含有不少陈述性质的数学知识, 比如方程的概念、等式的性质等。

典型错题1:按要求将下面式子的编号填入对应的集合圈里。

错解:

第一种:①②⑥⑦⑧⑨①②④⑥⑦⑧⑨②⑤

第二种:①⑥⑦⑧⑨④②③⑤ (此种错误人数最多)

第三种:①⑥⑦⑧⑨①④②③⑤

第四种:①⑥⑦⑧⑨①⑥⑦⑧⑨②③④⑤

第一次教学方程概念时呈现的习题, 在课堂中已经讨论、对比过方程与等式的关系:方程一定是等式, 等式不一定是方程。

2.程序性知识错误

程序性知识是指怎样进行认知活动的知识, 在简易方程中解设未知数、按题意列方程、解方程、答结果这一系列的操作行为就是属于上述范畴。

典型错题2:3年前父亲的岁数是儿子的7倍, 今年父亲38岁。儿子今年几岁? (用方程解答)

错解:

解:设儿子今年x岁

答:儿子今年8岁。

解:设儿子今年x岁

答:儿子今年5岁。

解:设儿子今年x岁

答:儿子今年8岁。

解:设儿子今年x岁

答:儿子今年8岁。

本题是学生学习了简易方程这一单元后作业本上出现的星号题。内容涉及年龄的问题, 属于与生活密切相关的实际问题。

3.策略性知识错误

策略性知识是关于如何学习和如何思维的知识, 它往往与问题解决融合在一起。

典型错题3:一个长为12厘米的长方形面积比边长是12厘米的正方形面积少36平方厘米, 这个长方形的宽是多少厘米?

错解:

解:设长方形的宽是x厘米。

学生已经学会了解简易方程的基本方法, 此题是凭借方程算法, 根据问题情境, 运用顺向思维利用图形面积以及大小关系, 求长方形的宽。

二、错因探究:追踪溯源

错误是师生交流信息的一个“窗口”, 是教学的一面“镜子”。成功运用学生的错误, 需要教师善于观察、善于诊断, 关注学生错误背后的故事, 积聚智慧做学生典型错误的剖析者。

1.“思维定势”惹的祸

思维定势有时是一种熟练的表现, 当学生的习惯思路和眼前要解决的具体问题不一致时, 习惯性思维“战胜”了理性思考, 结果就带来了错误。例如典型错题1中, 认为等式只有④这项的同学最多, 占了62.4%。学生接触了4年多的纯数字等式, 受到之前学习中司空见惯的数字化等式的影响, 思考时总偏向于这类式子的判断, 而忽视新学的含有字母的等式。这种习惯思维导致学生漏掉方程是等式也就不足为奇了。

2.“形式假设”惹的祸

在教材编排中, 用方程解决问题, 都是先假设, 然后再列出等量关系式进行解答。这样的安排无论从学生的现实起点还是从教材的逻辑起点来说都是合理的。但是这一呈现形式带来的负面影响也是不容忽视的:容易导致学生不论碰到什么问题, 直接把问题中的未知数设为x, 不进行深入的思考。如典型错题2中, 学生都不约而同地设儿子今年为x岁, 当列出方程7x=38-3后再计算5+3=8。这样的解题思路完全和解设不统一。学生解题时往往看到问就下笔抄写, 然后把“多少”等疑问词换成x后就万事大吉, 把未知数x表达的意义抛诸脑后。解设成为摆设, 这种张冠李戴的现象比比皆是, 不得不引起一线教师的关注。

3.“尴尬编排”惹的祸

新教材较好地解决了关于方程教学的中小学衔接问题, 促进了学生由算术思维向代数思维方式的转变。等式的性质更有利于学生的可持续发展。为了便于说明等式的基本性质, 又兼顾学生的思维水平, 教材回避了a-x=b和a÷x=b二种方程。作为教材的编写者在编写解方程题目时可以有意避开这几种特殊情况, 但是在列方程解决实际问题时, 学生列出的方程却不可避免地会出现这几种特殊情况。如典型错题3中, 学生找到最基本的等量关系正方形面积 - 长方形面积 = 相差面积, 根据相等关系, 得到1212-12x=36这样较复杂的方程。学生不明白在减数或除数中出现未知数时如何解答, 只好生搬硬套地运用已学解法, 结果当然是错误的。

三、跟踪纠错:柳暗花明

面对学生形形色色的错误, 教师是望“错”兴叹, 袖手旁观?还是乘风破浪直面出击?教师可以有何作为?笔者以为可以从以下几个方面入手:

1.加强概念的建构性理解

学生在获取概念时容易出现“眉毛胡子一把抓”或孤立认识的现象。因此, 教师在教学时既要重视学生有意义地获取概念, 又要引导学生去伪存真抓本质。如典型错题1中多数学生还是以经验为思考方法, “惯性”使然导致错误。如何改变这样的现状?教师可在课堂中采取一些针对性的教学策略。例如教师通过设问你知道为什么取名等式吗?什么是等式?从而引起学生注意。最后在提炼方程的意义时让学生横向比较等式20+X=50、20+X=100与等式20+30=50有什么不同, 在对比中让学生深入透彻理解方程和等式的概念, 避免数学概念的理解只停留在表象上。当然为了加深印象, 在课末小结中, 教师也可以对数学概念提取核心词。比如对于方程概念可以提取两个关键词:未知数、等式。对于等式可以提出判断性标志:等号。

2.重视数量关系的分析

列方程解决问题的关键是寻找数量关系, 这是方程教学的重点, 亦是学生学习的难点。如典型错题2中很多种错解都是无法把握正确的等量关系:3年前父亲的年龄 =3年前儿子的年龄7。再如典型错题3, 当学生列含有字母的式子时, 因缺少参照系 (数据直观的大小) , 往往忽略正确意义列出错误的方程。而这些错误的方程也能求解让学生误以为获得正解。在遇到图形问题时, 教师要积极倡导学生动手操作。此题可以让学生画一画长方形和正方形。画的时候可以追问谁该画得大一些, 目的是让学生在动手操作时必须考虑大小问题, 从而把关注的目光聚焦到题目的理解上。用笔涂一涂它们的面积, 目的是避免学生混用各自的面积和周长计算公式。在教学中, 教师要善于运用多种策略, 加强学生对数量关系的分析, 让数量关系成为运算意义和解决问题的桥梁。

3.跨越未知数设置的障碍

如何防止未知数的假设与列出的方程出现“张冠李戴”的现象?笔者认为在教学时不妨多试问方程中未知数x的意义, 是否与解设中x的意义相同。通过师生问答潜移默化地领悟x意义的一致性, 接着在之后的学习过程中出现一些变式练习 (设间接未知数后轻松快速解决问题的练习) , 出现时机建议在复习整理阶段。如四、五年级共植树80棵, 五年级植树比四年级的2倍少4棵, 五年级植树多少棵?学生会采用直接设法 (设五年级植树x棵) , 接着列方程和解方程都会出现困难, 教师引导学生采用间接设法, 通过体验、对比让学生体会到适当的未知数设置不仅能降低列方程和解方程的难度, 还能融合算术方法共同解决数学问题。

4.寻找新旧教法的融合点

典型方程 第5篇

类型一：巧用圆系求圆的过程

在解析几何中，符合特定条件的某些圆构成一个圆系，一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程。常用的圆系方程有如下几种：

⑴以为圆心的同心圆系方程

⑵过直线与圆的交点的圆系方程

⑶过两圆和圆的交点的圆系方程

此圆系方程中不包含圆，直接应用该圆系方程，必须检验圆是否满足题意，谨防漏解。

当时，得到两圆公共弦所在直线方程

例1：已知圆与直线相交于两点，为坐标原点，若，求实数的值。

分析：此题最易想到设出，由得到，利用设而不求的思想，联立方程，由根与系数关系得出关于的方程，最后验证得解。倘若充分挖掘本题的几何关系，不难得出在以为直径的圆上。而刚好为直线与圆的交点，选取过直线与圆交点的圆系方程，可极大地简化运算过程。

解：过直线与圆的交点的圆系方程为：，即

………………….①

依题意，在以为直径的圆上，则圆心（）显然在直线上，则，解之可得

又满足方程①，则

故

例2：求过两圆和的交点且面积最小的圆的方程。

解：圆和的公共弦方程为，即

过直线与圆的交点的圆系方程为，即

依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心必在公共弦所在直线上。即，则代回圆系方程得所求圆方程

例3:求证：m为任意实数时，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过一定点P，并求P点坐标。

分析：不论m为何实数时，直线恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。

解：由原方程得

m(x＋2y－1)－(x＋y－5)＝0，①

即，∴直线过定点P（9，－4）

注：方程①可看作经过两直线交点的直线系。

例4已知圆C：（x－1）2＋（y－2）2＝25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y－7m－4=0（m∈R）.（1）证明：不论m取什么实数，直线l与圆恒交于两点；

（2）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.剖析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得.（1）证明：l的方程（x+y－4）+m（2x+y－7）=0.得

∵m∈R，∴

2x+y－7=0，x=3，x+y－4=0，y=1，即l恒过定点A（3，1）.∵圆心C（1，2），｜AC｜＝＜5（半径），∴点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交于两点.（2）解：弦长最小时，l⊥AC，由kAC＝－，∴l的方程为2x－y－5=0.评述：若定点A在圆外，要使直线与圆相交则需要什么条件呢？

思考讨论

类型二：直线与圆的位置关系

例5、若直线与曲线有且只有一个公共点，求实数的取值范围.解：∵曲线表示半圆，∴利用数形结合法，可得实数的取值范围是或.变式练习：1.若直线y=x+k与曲线x=恰有一个公共点，则k的取值范围是___________.解析：利用数形结合.答案：－1＜k≤1或k=－

例6

圆上到直线的距离为1的点有几个？

分析：借助图形直观求解．或先求出直线、的方程，从代数计算中寻找解答．

解法一：圆的圆心为，半径．

设圆心到直线的距离为，则．

如图，在圆心同侧，与直线平行且距离为1的直线与圆有两个交点，这两个交点符合题意．

又．

∴与直线平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意．

∴符合题意的点共有3个．

解法二：符合题意的点是平行于直线，且与之距离为1的直线和圆的交点．设所求直线为，则，∴，即，或，也即，或．

设圆的圆心到直线、的距离为、，则，．

∴与相切，与圆有一个公共点；与圆相交，与圆有两个公共点．即符合题意的点共3个．

说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解：

设圆心到直线的距离为，则．

∴圆到距离为1的点有两个．

显然，上述误解中的是圆心到直线的距离，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1．

类型三：圆中的最值问题

例7：圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是

解：∵圆的圆心为（2，2），半径，∴圆心到直线的距离，∴直线与圆相离，∴圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是.例8(1)已知圆，为圆上的动点，求的最大、最小值．

(2)已知圆，为圆上任一点．求的最大、最小值，求的最大、最小值．

分析：(1)、(2)两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决．

解：(1)(法1)由圆的标准方程．

可设圆的参数方程为（是参数）．

则

（其中）．

所以，．

(法2)圆上点到原点距离的最大值等于圆心到原点的距离加上半径1，圆上点到原点距离的最小值等于圆心到原点的距离减去半径1．

所以．

．

所以．．

(2)

(法1)由得圆的参数方程：是参数．

则．令，得，．

所以，．

即的最大值为，最小值为．

此时．

所以的最大值为，最小值为．

(法2)设，则．由于是圆上点，当直线与圆有交点时，如图所示，两条切线的斜率分别是最大、最小值．

由，得．

所以的最大值为，最小值为．

令，同理两条切线在轴上的截距分别是最大、最小值．

由，得．

所以的最大值为，最小值为．

例9、已知对于圆上任一点，不等式恒成立，求实数的取值范围．

设圆上任一点

∴，∵恒成立

∴

即恒成立．

∴只须不小于的最大值．

设

∴即．