极值的充分条件

极值的充分条件（精选5篇）

极值的充分条件 第1篇

一、一元函数极值的第一充分条件

定理1设函数f(x)在点x0连续,在x0点的某个空心邻域内可导.

(1)如果当x < x0时,f'(x) > 0;当x > x0时,f'(x) < 0,那么x0是极大值点,f(x0)是函数f(x)的极大值.

(2)如果当x < x0时,f'(x) < 0;当x > x0时,f'(x) > 0,那么x0是极小值点,f(x0)是函数f(x) 的极小值.

(3)如果在点x0的左右两侧,f'(x) 同号,那么x0不是极值点,函数f(x)在点x0处没有极值.

问题1若函数f(x)在点x0不连续,其他条件不变,那结论是否成立?

x = 0是不是函数y = f( x) 的极点?

结论是显然:x = 0不是函数y = f(x)的极点.

一般的函数f(x)在点x0不连续有定义,在x0点的某个空心邻域内可导,则函数在间断点处取得极值情况:

二、一元函数极值的第二充分条件

定理2设函数f(x)在x0点的某个空心邻域内具有一阶和二阶导数,

且 f'(x0) = 0,f″(x)≠0,则

(1)如果f″(x0) < 0,则f(x)在点x0取得极大值;

(2)如果f″(x0) > 0,则f(x)在点x0取得极小值.

问题2函数f(x)在x0点的某个空心邻域内具有一阶和二阶导数且f'(x0) = 0,f″(x0) = 0,则x0是不是函数f(x)的极点?

例3 ( 1) x = 0是不是y = 2x3+ 3的极点? ( 2) x = 0是不是y = - 2x4+ 1的极点?

显然这两个函数在x = 0处的某个空心邻域内具有一阶和二阶导数,都有f' (0) = 0,f″(0) = 0,但x = 0是y =- 2x4+ 1的极点,x = 0不是y = 2x3+ 3的极点.

那么在“问题2”的条件下,函数f(x)满足什么条件x0才是极点?

定理3设函数f(x) 在x0的某一个邻域内存在直到n - 1阶的导数,且在x0处n阶可导,且f'(x0) = f″(x0) =f''( x0) = … = f(n - 1)(x0) = 0,f(n)(x0)≠0,则当

(1) n为偶数时,f(x)在x0处取得极值,且当f(n)(x0) <0时,f(x)在x0取得极大值;当f(n)(x0) > 0时,f(x)在x0处取得极小值.

(2)当n为奇数时,f(x)在x0处不取极值.

证明 (1)由泰勒公式和已知条件可得

同理可证:当n为奇数时,当f(n)(x0) > 0时,f(x)在x0处不取极值.

注意: 函数f(x)在x0点的某个空心邻域内具有一阶和二阶导数且f' (x0) = 0,若f″( x0) 不存在,则x0不一定是极点.

前提是必要条件还是充分条件 第2篇

假设A是条件，B是结论(1)由A可以推出B，由B可以推出A，则A是B的充要条件(A=B)(2)由A可以推出B，由B不可以推出A，则A是B的`充分不必要条件(AB)(3)由A不可以推出B，由B可以推出A，则A是B的必要不充分条件(BA)(4)由A不可以推出B，由B不可以推出A，则A是B的既不充分也不必要条件(A￠B且B￠A)有命题p、q，如果p推出q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件;如果p推出q且q推出p，则p是q的充分必要条件，简称充要条件。例如：x=y推出x^2=y^2，则x=y是x^2=y^2的充分条件，x^2=y^2是x=y的必要条件(x为负数，y为正数时，不能推出x=y)。(x^2表示x的平方)a、b一正一负推出ab<0，ab<0推出a、b一正一负，则a、b一正一负和ab<0互为充要条件。

对称函数的条件极值判定问题 第3篇

一、对称函数

1、定义:

对称函数可以分为关于某一轴线对称的线对称函数和关于某一点对称的点对称函数两种, 具体的定义如下:设f (x) 是定义域为D的函数, 如果可以找到一个数e, e∈R, 使得对于任意的x∈D, 有2e-x∈D, 若 (1) f (2e-x) =f (x) , 则成f (x) 为先对称函数, 且x=e为f (x) 的对称轴。 (2) 若f (2e-x) +f (x) =2f (e) , 则成f (x) 为点对称函数, 且 (e, f (e) ) 为该函数的对称点。另外, 在对称函数中e为对称函数的x轴对称特征值, f (e) 为对称函数的y轴对称特征值, 在下面的叙述中对e和f (e) 不在做特殊的介绍。如下几例便是比较简单的对称函数: (1) f (x) =2 (x-1) ²+3就是常见的线对称函数, 其中x=1为此函数的对称轴。 (2) f (x) =x+1就是一个很简单的点对称函数 (-1, 0) 便是此函数的对称点。 (2) 函数x=0是一个最简单的对称函数, 它既是线对称函数也是点对称函数。值得注意的是, 我们通常所说的奇函数就是以 (0, 0) 为对称点的点对称函数, 偶函数就是关于x=0对称的线对称函数。

2、性质:

对称函数因为其对称的特点具有一些和普通函数不同的性质, 奇偶性就是对称性的一个特例。但是研究对称函数的特点比研究函数的奇偶性更具有代表性, 下面我们就具体分析一下对称函数的性质: (1) 设f (x) 是关于x=e对称的函数, t为任意常数则f (x+t) 是关于x=e-t对称的函数。证明:若f (x) =f (2e-x) 则有f (x+t) =f (2e-x+t) =f (2e-t- (x+t) ) 即x=e-t为对称轴。 (2) 若 (e, f (e) 为函数f (x) 的对称点, 则 (e-t, f (e) +m) 为函数y=f (x+t) +m的对称点, 证明同上。 (3) 对称点相同的点对称函数其线性组合仍是点对称函数且对称点不便, 对称轴相同的先对称函数的线性组合仍是线对称函数且对称轴不变。 (4) 对称特征值相同的对称函数其积也为对称函数但对称特征值可能改变。 (5) 横轴对称特征值相同的点对称与线对称函数之积为点对称函数, 且对称特征值不变, 当函数不为零时, 其商也是点对称函数。

二、对称函数的条件极值

下面我们以多元函数为例来讨论一下对称函数条件极值的判断方法, 在多元函数中, 设多元函数F (x1, x2......, xn) , x1, x2......, xn为该函数的n个自变量, 若将函数表达式中的各个变量互调位置之后, 函数值不变则称这个函数为对称函数。例如f (x1, x2, x3) =x1+x2+x3变为对称多元函数。Lagrange法是求解对称的多元函数条件极值中十分有效的一个方法, 应用Lagrang法求解条件极值时主要需要突破一下几个问题: (1) 方程解是否唯一 (2) 方程的边界值大小, 一般情况下, 当函数的定义域为有限值时, 只要比较驻点值和边界值便可判断该驻点是否为极值点。但是在处理多元变量的函数问题时, 驻点的求解往往比较困难例如求函数f (x) =∏ (xi-1/xi) (∑xi=1) 的极值。此时很难求出该函数的驻点因此不便使用Lagrang方法。但是如果函数的对称性就可以大大减小只以为题的求解难度。可以想到如果目标函数是对称的则其解应该也具有某种性质, 因此在研究上述问题时我们首先需要知道对称函数的一些定理: (1) 设对称函数F (X1, X2, L, Xn) , 若条件为∑xi=T, 则必有唯一极值点 (1/n, 1/n, L, 1/n) .则用此对称函数的定理就变得十分容易了。及xi都取1/n即可。另外, 对称函数还具有如下定理可以用来求解极值, 例如 (1) 二元函数F (X1, X2) , 约束条件为a1x1+a2x2=t, 则可知FX有唯一极值点。 (2) 若多元函数F (X1, X2, L, Xn) 若当n=2时函数有唯一极值点。则当n取其他值时函数也有唯一极值点。以上定理有反证法很容易证明在这里不详细叙述。

三、结语

对称原理是一种思维方式对称性经常在事物的规律中表现出来当系统或数学函数以对称形式出现则必含有某种特征或特殊解的形式我们可以让对称美成为我们的一种思维习惯在求解问题时可先根据对称性作出合理推测再作进一步考虑

摘要：极值问题一直是高等数学中十分重要的一个问题, 而条件极值作为极值问题中典型的代表其重要程度便显而易见啦。在对极值问题的研究中, 我们经常会在函数自变量被限制在一个固定的范围内的条件下, 去讨论因变量的极值, 这就是我们通常所说的条件极值问题。由于自变量有一定的范围, 使得函数的极值求解变得比较复杂, 但是对于对称函数来说, 条件极值又有着几类不同的判定方法。求解判定对称函数的极值过程也充分的体现了对称思想在高等数学中的重要作用, 本文就从对称函数的极值判定这一问题入手, 重点分析一下求对称函数极值的具体的判定思路。

关键词：对称函数,条件极值,判定思路,判定过程

参考文献

[1]熊振翔:《单元及多元函数关于多点的一种插值多项式及其余项》, 《数学研究与评论》, 1986年02期。

[2]余小芬、李小梅、向星杰、刘成龙:《关于一类多元无理函数的最大值问题》, 《内江科技》, 2007年03期。

[3]刘成龙、余小芬:《一个多元函数最大值定理的别证及应用》, 《内江师范学院学报》, 2006年S1期。

极值的充分条件 第4篇

一、背景分析

1、学习任务分析：充要条件是中学数学中最重要的数学概念之一，它主要讨论了命题的条件与结论之间的逻辑关系，目的是为今后的数学学习特别是数学推理的学习打下基础。

教学重点：充分条件、必要条件和充要条件三个概念的定义。

2、学生情况分析：从学生学习的角度看，与旧教材相比，教学时间的前置，造成学生在学习充要条件这一概念时的知识储备不够丰富，逻辑思维能力的训练不够充分，这也为教师的教学带来一定的困难.因此，新教材在第一章的小结与复习中，把学生的学习要求规定为“初步掌握充要条件”(注意：新教学大纲的教学目标是“掌握充要条件的意义”)，这是比较切合教学实际的.由此可见，教师在充要条件这一内容的新授教学时，不可拔高要求追求一步到位，而要在今后的教学中滚动式逐步深化，使之与学生的知识结构同步发展完善。

教学难点：“充要条件”这一节介绍了充分条件,必要条件和充要条件三个概念,由于这些概念比较抽象,中学生不易理解,用它们去解决具体问题则更为困难,因此”充要条件”的教学成为中学数学的难点之一,而必要条件的定义又是本节内容的难点.根据多年教学实践,学生对”充分条件”的概念较易接受,而必要条件的概念都难以理解.对于“B=A”,称A是B的必要条件难于接受,A本是B推出的.结论,怎么又变成条件了呢?对这学生难于理解。

教学关键：找出A、B，根据定义判断A=B与B=A是否成立。教学中，要强调先找出A、B，否则，学生可能会对必要条件难以理解。

二、教学目标设计：

(一)知识目标：

1、正确理解充分条件、必要条件、充要条件三个概念。

2、能利用充分条件、必要条件、充要条件三个概念，熟练判断四种命题间的关系。

(二)能力目标：

1、培养学生的观察与类比能力：“会观察”，通过大量的问题，会观察其共性及个性。

2、培养学生的归纳能力：“敢归纳”，敢于对一些事例，观察后进行归纳，总结出一般规律。

(三)情感目标：

1、通过以学生为主体的教学方法，让学生自己构造数学命题，发展体验获取知识的感受。

2、通过对命题的四种形式及充分条件，必要条件的相对性，培养同学们的辩证唯物主义观点。

3、通过“会观察”，“敢归纳”，“善建构”，培养学生自主学习，勇于创新，多方位审视问题的创造技巧，敢于把错误的思维过程及弱点暴露出来，并在问题面前表现出浓厚的兴趣和不畏困难、勇于进取的精神。

三、教学结构设计：

数学知识来源于生活实际，生活本身又是一个巨大的数学课堂，我在教学过程中注重把教材内容与生活实践结合起来，加强数学教学的实践性，给数学找到生活的原型。我对本节课的数学知识结构进行创造性地“教学加工”，在教学方法上采用了“合作探索”的开放式教学模式，使课堂教学体现“参与式”、“生活化”、“探索性”，保证学生对数学知识的主动获取，促进学生充分、和谐、自主、个性化的发展。

整体思路为：教师创设情境，激发兴趣，引出课题 引导学生分析实例，给出定义 例题分析(采用开放式教学) 知识小结 扩展例题 练习反馈

整个教学设计的主要特色：

(1)由生活事例引出课题;

(2)采用开放式教学模式;

(3)扩展例题是分析生活中的名言名句，又将数学融入生活中。

努力做到：“教为不教，学为会学”;要“授之以鱼”更要“授之以渔”。

四、教学媒体设计：

本节课是概念课，要避免单一的下定义作练习模式，应该努力使课堂元素更为丰富。这节课，我借助了多媒体课件，配合教学，添加了一些与例题相匹配的图片背景，以激发学生的学习兴趣，另外将学生的自编题利用多媒体课件展示出来分析，提高了课堂教学的效率。

五、教学过程设计：

第一，创设情境，激发兴趣，引出课题：

考虑到高一学生学习这一章的知识储备不足，我利用日常生活中的具体事例来提出本课的问题，并与学生共同利用原有的知识分析，事例中包括几个问题，为后面定义的分析埋下伏笔。

我用的第一个事例是：“做一件衬衫，需用布料，到布店去买，问营业员应该买多少?他说买3米足够了。”这样，就产生了“3米布料”与“做一件衬衫够不够”的关系。用这个事件目的是为了第二部分引导学生得出充分条件的定义。这里要强调该事件包括：A：有3米布料;B：做一件衬衫够了。

第二个事例是：“一人病重，呼吸困难，急诊住院接氧气。”就产生了“氧气”与“活命与否”的关系。用这个事件的目的是为了第二部分引导学生得出必要条件的定义。这里要强调该事件包括：A：接氧气;B：活了。

用以上两个生活中的事例来说明数学中应研究的概念、关系，会使学生感到亲切自然，有助于提高兴趣和深入领会概念的内容，特别是它的必要性。

第二，引导学生分析实例，给出定义。

在第一部分激发起学生的学习兴趣后，紧接着开展第二部分，引导学生分析实例，让学生从事例中抽象出数学概念，得出本节课所要学习的充分条件和必要条件的定义。在引导过程中尽量放慢语速，结合事例帮助学生分析。

得出定义之后，这里有必要再利用本课前面两节的“逻辑联结词”和“四种命题”的知识来加强对必要条件定义的理解。(用前面的例子来说即：“活了，则说明在输氧”)可记作： 。

还应指出的是“必要条件”的定义，有如绕口令，要一次廓清，不可拖泥带水。这里，只要一下子“定义”清楚了，下边再解释“ ，A是B的必要条件”是怎么回事。这样处理，学生更容易接受“必要”二字。(因无A则无B，故欲有B，A是必要的)。

极值的充分条件 第5篇

在初等数学教学中,学生只学过一元函数的极值问题,对于多元的条件极值,由于难以理解其几何意义而影响解题思路。如果应用几何画板软件,把问题进行直观表达,通过软件的度量、函数、轨迹等功能动态地展现出几何元素的位置关系、运行变化规律,把“数”的问题转化为“形”的问题,化无形为有形,找到思维的依托,可以用求一元函数的极值问题的基本方法解决多元的条件极值问题提供思路。

1 表示条件

对于多元条件极值问题,首先要对约束条件进行直观表达。把代数式转化为几何图形,一般是把变量之间的关系式用线段关系表示出来。例如:在边长为a的正三角形ABC中,设P、Q、R分别在BC、CA、AB上。设BP=x、CQ=y、AR=z且x+y+z=a。求△PQR面积S的最大值。对于约束条件x+y+z=a,用线段直观表示出来的步骤如下。

(1)如图1所示,任取一自由点,用“变换” “平移”命令,调出“平移”对话框,选极坐标平移变换,设定固定距离的值,设定固定角度为0,得到定长a的线段,设线段标签为a。用点平移的办法画线段的目的在于对长度的精确控制。为方便起见固定距离a的值取3。

(2)在线段a上选取第一个自由点,再在第一个点与终点构造出来的线段上选取第二个自由点,这两个点把线段分成了三段,利用“构造” “线段”命令,依次把这三个线段构造出来,设三个线段的标签分别为x、y、z。拖动第一个点,x、y、z的长度跟着变化,取得(0,a)上的所有值。

2 构造图形

(1)任取一点B,选定B和线段a,利用“构造”“以圆心和半径作圆”命令,绘制边长为a的正三角形ABC。

(2)分别以A、B、C为圆心,以x、y、z为半径,依次在BC、CA、AB上截取P、Q、R三点,构造三角形PQR,如图2所示。

3 观测规律

(1)度量x、y、z的长和△PQR面积,如图3所示。

(2)选取x、y、z的长和△PQR面积的度量值,利用“数据”“制表”命令制表,如表1所示。

(3)选取x和△PQR面积,利用“绘图” “绘制点(x,y)”命令,在坐标系中绘制出一动点。

(4)选取该动点和线段a上的第一个点,利用“构造” “轨迹”命令,得到S-x图像,如图4所示。

(5)拖动图1中线段上的第一个点,第二个点跟着移动,图2中的△PQR、图3中x、y、z的长度、表1中的数据和图4中的点也跟着变化。观察表1中的数据和图4中的点,△PQR面积达到最大值时,x、y、z的长度分别约为1,即在$x=y=z=\frac{a}{3}$时,△PQR面积达到最大值。

事实上,将z=a-x-y代入:

$\begin{array}{l}S=\frac{\sqrt{3}}{4}[(a-x-y)(x+y)+xy]=\\ -\frac{\sqrt{3}}{4}(x+\frac{y-a}{2}){}^2-\frac{3\sqrt{3}}{16}(y-\frac{a}{2}){}^2+\frac{\sqrt{3}}{12}a{}^2\end{array}$

所示在$x=y=z=\frac{a}{3}$时,有$S{}_{\text{最}\text{大}}=\frac{\sqrt{3}}{12}a{}^2$。

4 结束语

用几何画板软件对多元的条件极值问题进行实验探索,对于理解问题和寻求解题思路有着积极的意义。解决问题的思路为:把约束条件的代数式转化为几何图形,在此基础上构造问题的几何图形,观测问题的内在规律,寻求解决问题的思路。应用几何画板软件探讨多元的条件极值问题,关键是要想办法把约束条件转图形化。

参考文献

[1]刘同军.几何画板在数学教学中的应用[M].山东:中国石油大学出版社,2005:171-173.

[2]王波.用“几何画板”的轨迹功能探讨数学问题的解法[J].数学通报,2008(11):19-22.