Verhulst模型

Verhulst模型（精选5篇）

Verhulst模型 第1篇

关键词：灰色Verhulst模型,参数新解,人口预测

1 引言

灰色预测是灰色系统理论的重要组成部分，GM(1,1）模型是灰色预测模型中最核心的模型，但对于具有S形序列的数据，则不适宜用GM(1,1）模型预测，而适用于灰色Verhulst模型。Verhulst模型是1837年德国生物学家Verhulst在研究生物繁殖规律时提出的，主要用以描述数据具有饱和状态过程，并成功地解决了人口预测、生物生长、繁殖预测等系统中不完全信息的预测问题。许多学者相继对灰色Verhulst模型进行了研究。文献[1]从初始条件修正的方面对灰色Verhulst模型进行了改进，得到了较好的模拟预测效果。文献[2]通过改进灰导数优化了灰色Verhulst模型。文献[3]基于无偏GM(1,1）模型的思想构建了无偏灰色Verhulst模型，消除了灰色Verhulst模型本身具有的偏差。王正新[4]提出了基于离散指数函数优化的GM(1,1）模型，提高了灰色预测模型的拟合精度和预测精度。薛焕斌[5]在文献[4]的基础上分析了误差原因，提出新方法进行了再优化。文献[6]通过分析灰色Verhulst模型传统背景值的误差来源，对灰色Verhulst模型的背景值进行了重构。然而上述研究，均是通过累加方式寻找蕴含在序列之中的灰规律，然而在已知建模序列为S形的前提下，则不必对序列进行累加建模以及累减还原。相对于传统的灰色Verhulst模型，本文在优化灰作用量的基础上提出了一种省略累加及累减过程的建模方法，即直接建模法。再加上，通常传统和改进的Verhulst模型中参数估计都是采用的最小二乘准则。文献[7]利用线性规划方法求解Verhulst模型中的参数，文献[8]则提出基于最小一乘准则估计模型参数，文献[9]对灰色Verhulst模型离散时间响应式进行了改进，并利用优化方法优化估计其模型结构参数。

灰色Verhulst模型不仅从理论上得到了一定的发展，且较广泛的应用于实际。罗战友等将灰色Verhulst模型用于建筑物沉降的预测。曹萃文等将灰色动态新陈代谢模型应用于预测产品价格和需求中，并得到了较好的预测效果。杨小康等将灰色Verhulst模型应用于人口预测中，因为按照人口学的理论，人口的增长将在一段时间之后达到一个阈值，即达到一个较为饱和的状态。而灰色Verhulst模型主要用来描述具有饱和状态的过程，故能进行中长期的人口预测，且结果较为理想。

本文继续对Vehulst模型的参数估计方法以及新方法应用于人口预测进行研究。在灰作用量优化后的灰色Verhulst直接建模模型的基础上，通过几何平均和算术平均两种参数估计方法求解出时间响应式中的参数，从根本上有效的降低了参数求解带来的误差，并通过算例和实例表明本文新方法的可行性和优越性。

2 灰色Verhulst的直接建模模型

设非负原始序列X(0)=(x(0)(1),x(0)(2），…，x(0)(n）），其中k=1,2，…，n;X(0）的1-IAGO序列为：X(-1)=(x(-1)(1),x(-1)(2），…，x(-1)(n）），其中,k=1,2，…，n;Z(0）为X(0）的紧邻均值生成序列：Z(0)=(z(0)(2),z(0)(3），…，z(0)(n）），其中,k=2,3，…，n.

定义1设X(0）为非负原始数据序列，X(-1）为X(0）的1-IAGO序列，Z(0）为X(0）的紧邻均值生成序列，则称

为灰色Verhulst的直接建模模型。

定义2称

为灰色Verhulst的直接建模模型的白化方程。

式（2）的解为

将式（3）离散化，则灰色Verhulst的直接建模模型的时间响应式为

具有近似非齐次指数函数形式。

传统的方法是对（1）式采用最小二乘原理，求解出参数a,b2,b1，代入式（4）求得模拟预测值。本文提出一种新的求解参数的方法。通过（5）式直接估计参数，使得参数估计只由原始数据序列影响，避免了参数估计受背景值的影响，大大降低了模拟预测误差。

3 灰色Verhulst的直接建模模型的参数估计新方法

根据式（5）得

同理可得

如果原始数据序列为严格非齐次指数序列，则由式（5），式（6），式（7），式（8），式（9）得：

但是，大量的数据并不是严格非齐次指数序列，只是近似非齐次指数序列，ea,b2,b1,C就都与k有关，分别应记为eak,b2k,b1k,Ck.

3.1 参数a,b2,b1,C的几何平均估计方法

此时用eak,b2k,b1k,Ck的几何平均分别估计ea,b2,b1,C．由式（5），式（6），式（7），式（8），式（9）得：

3.2 参数a,b2,b1,C的算术平均估计方法

此时用eak,b2k,b1k,Ck的算术平均分别估计ea,b2,b1,C．由式（5），式（6），式（7），式（8），式（9）得：

4 实例应用及效果对比

例1表1的实际值来源于文献[6]，分别建立本文新方法下的模型、文献[6]中优化背景值的Verhulst模型（记为文献[6]模型）对第2～6个数据进行模拟，对第7～8个数据进行预测，分析比较它们的模拟预测精度。

依据本文参数估计的新方法，每个参数有两种确定方法，由乘法原理知4个参数有24=17种组合法。针对该实例，只存在4种组合法参数具可操作性，另外12种组合法由于出现底数为负数，负数是没有偶次方根而无法计算。鉴于这4种组合法计算结果大致接近，本文选取效果最好的组合方式，只对“用eak的几何平均估计ea（即用ak的算数平均估计a），用b1k的算术平均估计b1，用b2k的算术平均估计b2，用Ck的算术平均估计C”的一种情形列表与传统方法，文献[6]的方法对比其效果。

这时a=-0.890930,b1=-0.137151,b2=-0.000003243,C=0.088194，代入模拟预测公式：

计算结果见表1、表2。

注：实际值，传统Verhulst模型和文献[6]模型的模拟值，相对误差都源于文献[6]之表1。

注：实际值，传统Verhulst模型和文献[6]模型的预测值、相对误差都源于文献[6]之表2。

由表1、表2可以看出，本文基于参数估计新方法下的模型，从模拟值到预测值其相对误差都不仅远远低于传统Verhulst模型，也远远低于经优化后已经大幅度提高了预测精度的文献[6]模型，说明该方法的有效性和实用性。

Verhulst模型在管理科学与系统科学中有着广泛的应用，如未来数年甚至数10年的人口数量是政府许多部门作规划及发展决策的依据，也是许多工业商业制定规划发展决策，方案选择的依据。因此，对未来人口数量预测的准确性将直接影响规划及发展决策的准确性。故下面将本文模型用于人口预测并剖析其效果。

例2选取西安市1993～2012年人口数据按本文方法建立灰色Verhulst模型，其中西安市1993～2012年人口数据来源于文献[10,13],[14]，且与传统的灰色Verhulst模型分析比较它们的模拟精度。

注：真实值，传统Verhulst模型的模拟值，相对误差都源于文献[10]之表1。

由表3可知，本文基于参数估计新方法下的模型对1993～2012年人口数据的模拟误差基本都低于传统Verhulst模型的模拟误差，且本文新方法下建立的模型的平均相对误差为0.6125%小于传统Verhulst模型的平均相对误差0.7812%，因此从整体来看，本文提出的新方法更具有优势。利用本文方法得到的模型预测西安市未来五年的人口数量见表4。

5 结束语

Verhulst模型 第2篇

随着我国的经济技术的不断发展, 对于企业的财务预警也得到了更多人的重视, 为了加强对企业的财务监管, 做好内部控制工作, 出现了大量的财务预警模型。根据国内已有的文献资料研究表明, 迄今为止, 财务预警模型研究涉及的模型类型极为丰富, 经历了从单变量到多变量、从统计方法到非统计方法、从单一模式到混合模式的发展过程。基于上述考虑, 本文运用灰系统理论中Verhulst模型结合BP神经网络模型构建出的预测模型, 对四川省矿产资源类企业的财务状况作出及时有效的预警。

2 模型建立

2.1 指标选取

本文对以上16个指标中选取变量指标进行t检验和相关性检验相关性检验, 以0.05作为t检验标准, 去掉大于0.05的指标, 以0.7作为各变量指标间多重共线性评估的标准, 去掉具有高度共线的变量指标。

综合各种分析, 本文最终选取每股净资产、每股收益、每股现金含量以及流动比率作为预警模型采用指标。

2.2 样本的选取

为了更好的获取数据, 本文选取两类样本, 一类是用于训练BP神经网络的训练样本, 这类样本选取了全国20家上市公司 (其中20家为st企业, 20家为非st) 。另一类是预测样本, 选取的是四川省6家矿产资源型上市公司 (3家st公司和3家非st公司) 。所有训练样本中st公司选择其被特殊处理的前一年的数据, 即t-1年的数据。而预测样本中st公司的数据为其被特殊处理前一年即t-1年的前四个季度的数据, 若数据缺失则向前顺延。

2.3 Verhulst与BP神经网络预测模型

本文构建Verhulst与BP神经网络预测模型具体步骤如下:

建立一个三层BP神经网络模型模型, 其中由于指标为四个, 则输入层神经元个数由财务预警指标确定为4个, 输出层神经元只有1个即企业财务状况的综合评分, 由于输入神经元是4个, 本文选取了9个节点。对于传递函数, 其中中间层本文采用S型正切函数tansig, 而输出层本文则采用了S型对数函数logsig, 目的是满足输出值映射到0, 1之间。对于BP神经网络的训练函数, 本文采用trainlm函数, 设置训练次数为1000次, 训练目标为0.01。为了更好, 更方便的实现其预警能力, 本文利用训练样本训练BP神经网络。其中网络训练样本的输入即建模样本中上市公司的4种财务预警指标数据, 目标输出即当前上市公司的实际财务状况。由于本文所选的上市公司分为ST与非ST两大类别, 因此将其分为两个判别组, 即安全与危机。为了便于建模, 需要对安全与危机概念进行量化处理, 建设各训练样本的目标输出为y, 则有:当y=0, 输入样本为ST公司;当y=1, 输入样本为非ST公司。

利用灰系统理论中Verhulst模型对四川省6家矿产资源型企业的t-1年财务指标做动态预测。

将灰色系统模型动态预测的结果作为训练完毕的BP神经网络的输入, 获得企业的综合评分, 完成对企业的财务预警。如果输出值越接近0, 表示财务危机程度越严重, 即财务状况越危机;如果输出值越接近1, 表示财务危机程度越轻微, 即财务状况越健康。

3 实证分析

3.1 训练好的BP神经网络模型

通过训练样本训练出的BP神经网络。

建立一个三层BP神经网络模型模型, 让训练样本训练这个网络, 得出训练好的神经网络模型。通过Matlab 7.0得出图1所示的结果。

从图1可以看出训练到第6步时, 网络的目标误差达到要求。

3.2 灰系统Verhulst模型的预测结果

利用灰系统理论中Verhulst模型对四川省6家矿产资源型企业的t-1年财务指标做动态预测。表2为预测的结果。

3.3 预测样本的预警结果

将灰色模型的动态预测结果作为训练好的BP神经网络模型的输入, 从而建立企业财务危机的动态预警模型, 模型所得预测结果如表所示。

从结果可以看出, ST公司财务状况都被判定为危机, 而非ST公司的财务状况都被判定为健康, 无一错判。因此本文多建立的财务危机预警模型是有效的, 可以对上市公司财务状况进行动态预警。

4 结束语

Verhulst与BP神经网络预测模型可以实现财务指标的趋势预测实现财务危机的动态预警。实证分析显示该方法具有良好的预警效果, 能够在实践中加以利用。

参考文献

[1]张玲.财务危机预警分析判别模型及其应用[J].预测, 2000, (6) .

[2]李帆, 杜志涛, 李玲娟.企业财务预警模型:理论回顾及其评论[J].管理评论, 2011.

[3]秦小丽, 田高良.基于灰色理论和神经网络的公司财务预警模型[J].统计与决策, 2011, (16) .

[4]童新安, 魏巍.灰色Verhulst-BP网络组合模型在预测中的应用研究[J].计算机工程与应用, 2011, 47 (23) .

Verhulst模型 第3篇

复合土钉支护结构体系是在深基坑支护、边坡支护中应用很普遍的一种支护结构体系, 复合土钉支护结构通过综合土钉支护结构和复合支护结构形成的复合挡土结构可以有效地弥补土体抗拉强度和抗剪强度低的弱点, 同时可以改变基坑和边坡和变形和破坏特性, 对于提高其整体的刚度和稳定性具有良好的作用。

基坑和边坡在开挖支护的过程中受到了基坑边坡土质、开挖深度和尺寸、周围荷载、支护结构及施工方法等多种因素的影响, 很难确定用某一种原因或因素来分析其对基坑支护的确切作用。影响基坑支护工程的因素具有不确定性, 即灰色特性。

灰色系统理论适用于环境系统的内部作用机制, 可以将环境系统内部不明确、难以定量的灰色量以数学模型的形式提出, 并运用时间序列来确定微分方程的参量。灰色预测预报把观测到的时间数据序列视为一个随时间变化的灰色量和灰色过程, 通过累加生成和累减生成而使灰色量逐渐白化, 从而建立相应于微分方程的模型并做出预测[1]。其实质便是通过已有的实测数据来分析数据的变化趋势和规律以用来预测未知的数据值。

1 常规灰色预测模型构建与灰色Verhulst模型原理

常规的灰色预测模型是由邓聚龙教授提出的GM (1, 1) 模型, 模型根据原始观测数据序列这一组信息不完全的灰色量, 将其进行生成处理, 以提供更多的有用信息。一般通过一次累加或多次累加生成有规律的数据列, 然后在生成的数据列的基础上, 用线性动态模型对生成数据进行拟合和逼近, 通过求解微分方程解的系数而得出具体的预测函数表达式。

微分方程的解是

然后再进行累减生成还原后, 得到预测数据, 也可根据具体情况, 对模型进行修正, 以提高模型的应用效果[2]。

Verhulst模型是由荷兰数学家Verhulst首先发现的, 它在生物繁殖、人口增长等过程的描述和分析中有广泛的应用[3]。Verhulst模型属于单序列一阶非线性数理统计动态模型, 其基本思想是将监测得到的离散的、随机的原始位移-时间序列, 经过累加处理, 得到一个累加生成序列, 根据该序列建立模型进行计算, 最后将模型计算值进行累减还原后即可得到变形预测值[4]。模型进行一次累加的目的是削弱原始数据中随机项的影响, 这也是灰色理论不同于需要大量样本进行数据分析研究的统计理论的特点[5]。

Verhulst模型通过采用最小二乘法和极值原理求出方程中的参数a和b后, 代入模型中可以得到该模型的唯一解为

根据时间序列即可求出累加变形解序列, 再经过累减可得到变形解序列。

2 非等间隔时距的处理问题[3,6,7]

在具体的工程实践中, 由于受到施工等各方面的因素的影响, 可能导致不能获得等时距的变形观测数据, 而灰色模型要求建模数据必须为等时距的, 为此, 必须建立非等时距的灰色预估模型, 其建模的方法与等时距序列的建模方法基本相同, 不同之处在于数据的等时距处理和非等时距模型值的还原生成上。对于Verhulst灰色模型, 本文采用:

再通过对累加预测值的累减而得到不同时间的变形预测值。

3 残差修正[8]

当灰色模型的预测结果不能满足精度要求时, 应用最多、最有效的方法就是对残差序列进行修正。傅里叶变换提供了一个很好的数学工具, 运用傅里叶变换对灰色模型的预测残差进行修正, 可以补偿系统的随机误差, 提高预测精度。具体的修正方法是首先建立残差序列, 然后利用傅里叶公式将残差序列近似表示为:

然后将实测数据代入e赞 (ti) , 经过对j反复取值运算, 对应j的取值使得拟合值的累积残差值最小。预测值的最终表达式为:

4 模型案例分析

4.1 工程概况

湖南某拟建基坑支护工程设置二层地下室, 基坑开挖深度为7.50-9.00m, 场地地貌单元属于丘陵, 原始地貌为水塘间稻田, 场地较平整。与本次基坑设计有关的地层依次为填土、耕植土、淤泥质粉质粘土、粉质粘土、全风化砾岩、强风化砾岩。根据场地地质情况、周边环境等条件, 本基坑边坡部分坡段采用预应力锚杆复合土钉墙进行支护。基坑按临时支护考虑, 设计使用年限为2年。本基坑支护高度为7.50-9.00m, 安全等级为二级。

选取基坑支护部分坡段观测时间2个月基坑水平位移观测数据作为分析数据, 该段支护坡段主要采用预应力锚杆复合土钉支护结构体系进行边坡支护。

4.2 数据分析

按照已获得的实测数据序列, 采用非等间隔时序Verhulst模型进行数值分析。计算中进行数据序列的等时距处理。采用常规Verhulst灰色模型进行分析处理, 根据模型的分析精度情况用修正函数对模型残差进行修正, 建立残差修正模型。取前7组数据开始, 根据工程实际中获取数据进度, 依次往后进行递进分析。

根据观测数据建立常规的Verhulst模型, 则可得到如下所示的结果:

经计算, 常规Verhulst模型1的预测参数a=0.5063, b=0.0021。常规Verhulst模型2的预测参数a=0.4926, b=0.0019。常规Verhulst模型3的预测参数a=0.4644, b=0.0017。

由表1可以看出Verhulst模型基本上反映了位移变化的基本规律, 但是具体的预测值和实际的观测值仍旧存在一定误差, 因此, 有必要对该预测模型进行修正, 以进一步提高其精度。

根据原始模型的残差变化的波动性规律, 采用傅里叶函数进行残差修正。

经计算, 常规Verhulst模型1的傅里叶修正参数为a0/2=5.016, a1=-0.7178, b1=3.209, a2=-0.9679, b2=-6.351, a3=-4.078, b3=-0.1895, w=0.2795。常规Verhulst模型2的傅里叶修正参数为:a0/2=5.693, a1=0.309, b1=3.207, a2=-2.670, b2=-8.000, a3=-6.061, b3=-0.606, w=0.276。常规Verhulst模型3的傅里叶修正参数为:a0/2=6.834, a1=1.940, b1=2.674, a2=-5.562, b2=-9.052, a3=-8.774, b3=-2.967, w=0.275。

支护结构的位移在工程初期增长较快, 随着工程的进行, 位移增长速度放缓, 并逐渐趋向稳定。Verhulst模型反映了基坑工程的这种规律, 但在具体的数值上还是存在一定的误差, 而通过采用傅里叶函数来修正模型, 使得模型的精度提高并接近真实值。经过分析可知, 修正后的Verhulst模型相比未经过修正的模型而言可以更好地拟合原始数据序列。

4.3 讨论

通过以上的数表分析过程, 发现Verhulst模型在具体的复合土钉支护结构体系的位移预测中的使用具有如下一些特征:首先, 由于工程实践中的条件所限, 无法做到完全按照等间隔时距对相关参量进行观测, 因此, 应该采用非等间隔时序模型对实际情况进行分析。其次, 在预测初期阶段, 模型的预测值体现了与工程实际的观测值相似的发展变化趋势, 差距较小, 但随着时间的延长, 对于未来长时间的观测, 模型的预测值与实际的观测值则存在着一定的差距, 实际的观测曲线到后面逐渐趋向于稳定, 预测值则仍显示出一定的波动特性, 而且, 由于模型本身的原因, 其预测效果会受到变形规律的影响, 对此在分析的过程中引入合适的修正函数来对原有分析函数进行补充和修正以提高模型整体上的分析效果是必要的。最后, 由于工程实践是一个不断发展的过程, 因此需要合理地选用新的实测数据来进行模型的预测分析, 通过不断调整模型的参数, 来逐渐修正模型和提高模型的预测效果。

5 结论

复合土钉支护结构对于基坑支护具有较好的效果, 对其位移的变形规律进行分析和有效的预测对于指导工程实践具有积极的意义。采用灰色Verhulst模型进行结构体变形分析时, 在具体的工程实践中, 由于获取数据不一定是等时序的, 而常规灰色模型理论一般要求是等时序的数列, 因此应该采用非等时距的模型分析方法。由于模型本身的局限性, 考虑到工程实践的复杂性和分析理论的单一性, 当模型不能很好地达到分析要求的精度时, 可以考虑采用基于原始数据或者其残差的数理函数来对模型进行修正, 以进一步提高整个数学模型的分析效果, 本文考虑到原始模型计算值与原始值的残差具有波动的特性, 而采用傅里叶函数来对原始模型进行修正, 结果表明分析效果良好, 对于修正原始模型和提高原始模型的精度有较好的帮助。在具体的实践中, 由于工程是分阶段进行的, 所以, 对于工程的分析也应该考虑根据工程进度逐步进行分析, 以提高分析的效果。

灰色Verhulst模型在数学预测方面具有其自身的优越性, 所需的样本数据较少, 通过对模型进行必要的修正, 可以较好地提高模型的预测效果, 在实际的复合土钉支护工程实践中可以发挥相关的指导作用。

摘要：复合土钉支护结构在基坑支护工程领域有着越来越广泛的应用。支护结构在使用的过程中涉及到很多方面的影响因素, 各种因素对支护结构体系的影响往往具有不确定性, 即具有灰色特性。本文通过将非等间隔时序Verhulst灰色模型应用到预应力锚杆复合土钉支护的实际变形预测中, 发现在对常规灰色Verhulst模型采用傅里叶函数进行残差修正以后, 模型的预测分析效果可以得到较好的提升, 可考虑将傅里叶变换用于Verhulst模型修正。在复合土钉支护的位移变形的应用分析中具有一定的参考指导价值。

关键词：灰色系统理论,复合土钉支护,位移变形预测,残差修正模型

参考文献

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[4]宋彦辉, 聂德新.基础沉降预测的Verhulst模型[J].岩土力学, 2003, 24 (1) :123-126.

[5]常方强, 涂帆, 贾永刚.Verhulst模型在预测软基路堤沉降中的应用[J].岩石力学与工程学报, 2007, 26 (增1) :3122-3126.

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[8]张仕新, 陈春良, 刘义乐等.基于残差修正的非等时距GM (1, 1) 模型及其应用[J].数学的实践与认识, 2012, 42 (20) :75-81.

Verhulst模型 第4篇

随着电网不断互联、电力市场的开展、分布式电源以及新能源不断接入,新型输变电技术的逐渐应用,现代电力系统的运行更加靠近其稳定极限。相量测量单元(PMU)和广域测量系统(WAMS)的应用,实现了对发电机功角等相关信息的实时监测,为暂态稳定实时预警提供了关键的测量基础[1]。如果能够对扰动后发电机功角轨迹进行快速预测,准确而超前地把握其走势,就可以在一定的时间裕度内采取措施,维持全网的稳定运行。因此,用于暂态稳定预警和紧急控制的受扰轨迹实时预测技术受到了广泛关注。

扰动后功角轨迹的预测技术可分为两类。一是基于网络降阶化简的功角轨迹超实时仿真方法[2,3];二是基于曲线拟合的功角轨迹外推方法。由于后者完全基于数值序列分析和数据挖掘,而不依赖电力系统参数等先验知识,具有更好的应用前景,受到更多的关注。文献[4]首先提出发电机角度和角速度的受扰轨迹可以采用时间序列展开式来表达。基于文献[4]的角速度多项式模型,文献[5]提出基于实测数据采用最小二乘法进行参数的估计。文献[6]采用一定时间窗的功角量测建立发电机功角轨迹。文献[7-8]在PMU量测下,拟合得到功角轨迹模型参数,通过外推计算未来时刻的功角预测值。在上述研究的基础上,文献[9-10]提出了自回归差分法,但是自回归模型存在自修正因子,在预测的过程中,需要一个自我调节过程,且前期的调节时长不可控制,对预测的整体精度造成相当大的影响。文献[11]提出组合三角函数法,三角函数预测由正弦与余弦项累加构成,由于模型自身的周期变化性质,更适合对稳定轨迹进行预测;对于功角单调变化的失稳故障,跟踪预测中会出现一定偏差。文献[12-14]采用泰勒级数法,通过插值得到角速度轨迹,进而通过对连续时刻角速度进行积分来预测受扰功角轨迹,其实质是功角数据微分后预测再积分的操作,并没有从本质上提高预测效果。

受扰轨迹的拟合外推本质上是一种时序数值分析。灰色系统理论可用于时间序列分析。它最早由邓聚龙等人于1982年提出[15],通过对已知信息的生成、开发,提取有价值的信息,实现对系统未来运行行为、演化规律的正确描述和有效监控。灰色预测具有要求数据少,原理简单,运算方便等优点。灰色模型已被成功运用于电价预测[16],电力负荷预测[17]等实际工业场合中。

本文提出将灰色Verhulst模型应用于发电机功角受扰轨迹的预测。选取无偏模型以避免灰色模型自身误差,并采用二参数线性插值手段估算预测误差,加以补偿。通过大量算例表明,本文方法具有高的预测精度和好的适用性。

1 功角受扰轨迹分析

若电网发生一个扰动,发电机的电磁功率与机械功率平衡被破坏,产生角加速度。功角轨迹因而出现摇摆过程。角度与角速度在扰动发生之后不会发生突变,均连续可微,这为预测创造了条件。但其整体运行轨迹表现出非自治、非线性特性,又给等值发电机模型参数的精确辨识带来了极大影响。因此,基于量测提取功角轨迹的整体特性,选用符合其运动规律的模型去跟踪预测,是本文的研究重点。

多摆情况下,发电机角度轨迹如图1所示。

从局部上去观测,可发现在每一个摇摆过程中,转子角轨迹均呈现S形变化规律:开始时刻角速度逐渐增大,在一定时刻后受到抑制,逐渐减速运行,最终到达极限点。而趋向失稳时,角速度持续增大,满足S形轨迹上升走向。因此,用一个S型增长规律的函数曲线去进行拟合,能够得到较好的效果。

灰色幂指数模型[18]曲线如图2所示。

模型整体呈现S状,在开始与末端的变化率较小,中间区段有最大的增长速率。这与角摇摆轨迹相似,可较好地反映其运动情况,跟踪并预测其拐点数值,用于失稳的提前判别。

2 基于灰色Verhulst模型的受扰轨迹预测

2.1 灰色Verhulst模型

将扰动后发电机转子角量测时间序列{δ(t),δ(t+T),,δ(t+n T)}作为灰色模型输入数据1-AGO序列。写作X(1)={x(1)(1),x(1)(2),,x(1)(n)},其白化方程为

式中:α为灰色幂指数模型阶数;a,b为系数参数。通过一次差分操作,得到组成模型基础序列。即

通过平均值操作,得到紧邻均值序列。即

根据灰导数的信息覆盖原理[18]求取参数α的最佳估计为

式中:

为获得参数α的最佳值,本文对IEEE39节点和中国南方电网不同扰动情况下的功角轨迹数值代入式(4)计算,通过综合评估,选取α=2,即采用了灰色Verhulst模型[18]。后续研究表明,该模型对受扰轨迹预测具备较好的普适性。

设A=[a,b]T为系数参数向量,则其可由最小二乘法求取,如式(5)。

这样,灰色Verhulst的离散响应函数为

建立等维新息模型[18]:维持数据窗开度不变,通过PMU不断采集和更新最新角度量测,实时得到响应函数。即可对未来的功角运行状况进行预测与评估。

2.2 模型偏差修正

传统灰色模型存在一定的模型误差,即便使用完全满足灰色模型响应函数形式的数据建立灰色模型仍然会产生误差。这种误差来源于模型本身,须对模型进行改进以消除误差。本文引入无偏灰色模型[19]以消除模型误差。

无偏Verhulst模型为

参数向量β=[β1,β2]T通过最小二乘法获得。

无偏Verhulst模型的解为

采用无偏模型有效消除了模型的固有误差。

2.3 计算误差补偿

曲线拟合外推预测无需发电机实际运行参数,不可避免地存在计算误差,若计算误差具备一定的规律,可考虑采取特定的预测后补偿手段,进一步提高预测精度。

设功角量测序列为{δ(t),δ(t+T),,δ(t+n T)}。利用无偏Verhulst模型,对未来时刻进行连续预测产生预测序列。而实际的功角数值为{δ(1)(1),δ(1)(2),,δ1()(k)},则绝对误差为

本文通过大量算例分析后发现,在相同数据窗下,对未来连续时刻的预测,所产生的偏差将可能逐渐增大或者减小,即预测效果随预测窗开度将持续良性或者持续恶性发展,这与预测模型本身存在密切联系。灰色Verhulst响应函数的主增长因子为指数型,指数函数呈现单调变化趋势,随着预测时间的延长,将会愈发超前或者滞后于原功角轨迹。

仿真后发现,ε(k)序列在短时间内具备一定的线性规律。针对上述规律,可对未来时刻的误差进行估计计算,令

式中,c,d为线性系数参数。

为了保证预测的时效性,尽可能在短时间内对误差进行修正。等待两个采样周期(本文采样周期为0.01 s),计算其误差数值ε)1(与ε()2,即可完成误差补偿方程的求解,参数解为

得到最终预测数值为

3 算法流程

基于改进灰色Verhulst预测,在灰色Verhulst模型的基础上引入模型无偏修正,通过录入最新两个量测数据进行计算误差补偿,算法流程如图3所示。

4 仿真算例

应用本文方法对IEEE39节点系统与中国南方电网不同故障情况进行了仿真验证。并与基于三角函数与自回归模型的受扰轨迹预测方法进行比较。

4.1 IEEE39节点系统

IEEE39节点系统结构如图4所示。

对原灰色Verhulst模型与改进灰色Verhulst模型进行预测测试。观测机组选取38与39节点对应电机,利用PSASP仿真出两机的实时相对功角加以分析,仿真步长为0.01 s。从故障结束时刻开始进行角度实时采集,利用最新的10个功角数据进行模型参数的求取,并计算0.25 s后的功角数值,绘制于图5和图6相应时刻。采取等维新息进行滚动预测。

算例1:设置故障为线路26-29的首端发生三相短路接地,0时刻故障发,0.1 s切除故障,即稳定算例。观察第一个波峰的整体贴合情况,如图5所示。

算例2:设置相同故障点与故障类型,持续时间为0~0.15 s,对应单摆失稳情况,观察角度差在400°以下的预测效果,如图6所示。

从图5和图6中可以看出,不论是稳定算例或是单摆失稳算例,灰色模型均具有较好的预测效果,未来每个时刻的预测误差均维持在较小的范围之内。图5的稳定算例中,通过无偏修正与误差补偿手段,改进灰色Verhulst模型的预测效果获得进一步提高,特别是峰值的估算。因此,本文算法可以有效地应用于发电机角度的实时预测。

4.2 中国南方电网

中国南方电网地域广阔,结构复杂,故障后各机组角度轨迹更加复杂。本文在不同地点设置故障进行仿真与观测,以更好地验证本文所提出预测方法的效果。

观测机组选取云南阿鸠田发电机,广东沙角发电机,利用BPA仿真软件计算出实时相对功角,仿真步长0.01 s。预测起始时间为故障结束时刻,选取最新10个数据进行滚动预测,预测时间为0.25 s。预测模式与4.1节相同。

算例3:南方电网罗平-百色三相永久短路,故障持续时间0~0.2 s。稳定算例轨迹如图7所示。

算例4:安阳-贵州三相永久短路,故障持续时间0~0.2 s。失稳算例轨迹如图8所示。

从图7、图8中可以看出,灰色Verhulst预测对于发电机角度的预测具有较高的准确度,经过修正后精度有所提高,对于复杂多变的实际电网亦适用。

利用中国南方电网上述算例,对灰色Verhulst预测、三角函数预测、自回归预测三种预测模型进行测试,计算其最大误差与平均误差,结果如表1所示。

由表1可以看出,改进灰色Verhulst预测不论在稳定或是失稳算例中,都表现出良好的预测精度以及预测平滑度。相比三角函数预测及自回归预测,整体适用性更强。

延长算例3仿真时长至5 s,预测模式同上文所述,连续跟踪预测四次功角摇摆过程,记录角度轨迹波峰与波谷的预测精度,与常规预测模型进行比较,结果如表2所示。

通过表2可知,改进灰色Verhulst预测针对多摆稳定的轨迹峰谷,有很高的预测精度。对于多摆失稳情形,可按其轨迹特征从时域上分为多次摇摆过程与单摆失稳过程,前期的多次摇摆过程与多摆稳定轨迹相仿。因此,本文方法对于多摆过程中波峰与波谷的预测均有很高的精度。

5 结论

基于电力系统暂态过程中发电机角度轨迹的特征,与灰色Verhulst模型的走势有一定的相似性,建立了一种新的功角轨迹快速预测方法。并引入了无偏修正与误差补偿手段,使预测精度进一步提高。通过对IEEE39节点系统与中国南方电网实际系统的大量算例进行数值仿真,结果表明,本文方法易于实现,所需要量测少,计算量小,对于多摆失稳、多摆稳定和单摆失稳的情形都有很好的预测效果,并解决了常规预测算法存在的一些问题。如三角函数模型仅适用于周期性功角轨迹预测,普适性较差;自回归模型存在自修正过程,影响前期的预测精度。为进一步研究暂态稳定预警和紧急控制奠定了基础。

摘要：提出了一种基于改进灰色Verhulst模型的受扰轨迹拟合外推预测方法。发电机角度的受扰轨迹在每一个摇摆过程中,呈现S形走势,与灰色Verhulst模型变化规律相符。采用无偏模型来消除灰色模型的自身误差,并通过采集最新的两个数据补偿误差,进一步提高预测精度。该方法易于实现,所需要量测数据少,计算简单,对于多摆过程中波峰与波谷的预测有很高的精度。应用该方法对IEEE39节点系统与中国南方电网实际系统的不同故障情形进行了仿真计算,结果表明,该方法具有好的预测效果。

Verhulst模型 第5篇

本文基于组合模型的思想, 将灰色模型与小波神经网络相结合, 探讨灰色-小波神经网络组合模型在装备故障预测中应用价值, 以某航空装备为例, 建立了其灰色-小波神经网络组合模型, 通过对比实验, 考察灰色-小波神经网络组合模型的有效性, 以期为装备故障预测研究提供理论参考。

1 灰色Verhulst-小波神经网络组合模型

1.1 灰色Verhulst模型

灰色模型是基于理论框架而形成的一种建模方法[8], 具有所需样本数少, 弱化原始数据的随机性等优点。其模型建立步骤如下:

设装备的原始非负数据序列为:

序列为:

令z (1) (k) =0.5x (1) (k) +0.5x (1) (k-1) , 则X (1) 的紧邻均值生成序列为:

则灰色模型的基本形式为:

对应的白化方程为:

采用最小二乘法求解该模型, 得到时间响应序列为:

进一步进行一次累减还原, 则装备的原始数据X (0) 的还原值序列为:

X赞 (0) ={x赞 (0) (1) , x赞 (0) (2) , , x赞 (0) (k) }其中x赞 (0) (k+1) =x赞 (1) (k+1) -x赞 (0) (k) 。

1.2 小波神经网络结构及学习算法

本文用于装备故障预测的小波神经网络的结构如图1所示。

该小波神经网络结构是一个三层前馈网络, 其中:n为输入层节点数, i=1, 2, , n;l为隐含层节点数, j=1, 2, , l;m为输出层节点个数, k=1, 2, , m;ωij为输入层与隐含层之间的权值;ωjk为隐含层与输出层之间的权值, hj为小波基函数。本文在装备故障预测研究中采用的基小波是国内外常用的Morlet小波, 即:

在输入数据序列为Xi (i=1, 2, , n) 时, 则隐含层的输出计算式为:

其中, h (j) 为隐含层第j个节点的输出;aj和bj分别为小波基函数hj的伸缩因子和平移因子。

小波神经网络输出层的计算式为:

本文采用梯度修正法来调整网络的权值和小波基函数的参数, 具体调整过程如下:

计算机网络预测误差为:

其中, yn (k) 为模型的期望输出;y (k) 为模型的预测输出。

根据预测误差e调整网络的权值和小波基函数的参数为:

其中, η为学习速率。

小波神经网络的学习算法的具体步骤如下:

(1) 网络初始化。赋予ωij、ωik、aj和bj相应的随机初始值, 设置学习速率η。

(2) 样本分类为训练样本和测试样本, 分别用以训练网络和测试网络预测精度。

(3) 预测输出。根据输入样本, 计算网络输出, 并计算预测误差e。

(4) 网络的权值调整。根据预测误差e调整网络的权值和小波基函数的参数。

(5) 终止规则。判断算法是否结束, 如未结束, 返回步骤 (3) 。

1.3 组合模型

灰色系统具有只需要贫信息和小样本的优势, 小波神经网络兼具小波分析技术与人工神经网络技术的优点, 使得其具有灵活的函数逼近能力和较好的容错性能。本文尝试将灰色模型和小波神经网络方法进行结合, 用于装备的故障预测研究。构建的灰色-小波神经网络组合模型的结构如图2所示。

灰色-小波神经网络组合模型预测的具体实施步骤如下:

(1) 输入装备原始数据序列X (0) ={x (0) (1) , x (0) (2) , , x (0) (n) }和灰色Verhulst模型所需的最小数据个数k。

(2) 构建X (0) 的模型组: (Verhulst) (k) , (Verhulst) (k+1) , , (Verhulst) (n) 。根据装备原始数据x (0) (t) , t=1, 2, , n, 计算模型组中每个模型的拟合值 , 构成模型组的拟合向量XWNN (t) 。

(3) 采用小波神经网络进行训练。以向量XWNN (t) 作为小波神经网络的输入样本, 以x (0) (t) , t=1, 2, , n作为期望, 直到训练达到设置的训练精度为止。

(4) 采用灰色-小波神经网络组合模型进行预测。用模型组的预测向量XWNN (t) 耦合成小波神经网络的输入, 用步骤 (3) 中的小波神经网络进行仿真, 可以得到原始数据的预测值。

2 实例分析

为考察本文方法的有效性, 选用参考文献[6]中的应用实例 (某航空设备工作电压故障预测) , 将本文方法的预测结果与参考文献[6]方法及BP神经网络方法对比, 验证本文方法的先进性。

某航空设备工作电压范围为17~24 V, 从0计时, 监测间隔为25 h, 选择15个电压值作为样本数据, 其中前12个数据作为训练样本, 后3个数据作为测试样本。在Matlab 2012a软件环境下[9], 实现了3种模型, 得到3种模型训练和检验的结果分别如表1和表2所示。

以均方误差 (MSE) 为指标, 进一步考察对比本文方法和参考文献[6]方法及BP神经网络方法的预测精度。

其中, N为模型预测检验样本的个数, di为模型的期望输出值, yi为模型的预测值。比较结果见表2。

综合表1和表2中的数据, 可以得到故障预测趋势图, 如图3所示。可知:本文方法的预测精度明显优于参考文献[6]方法和BP神经网络方法, 而BP神经网络方法比参考文献[6]方法的预测精度略高。这是因为本文方法由于综合了灰色模型和小波神经网络方法的优点, 因而具有更好的预测精度, 提高了装备故障的预测性能。

本文提出一种基于灰色Verhulst-小波神经网络组合模型的装备故障预测方法。该方法综合了灰色Verhulst模型所需样本少、弱化原始数据随机性等优点, 以及小波神经网络良好的时频局域化性质和学习能力。以某航空设备为研究对象, 建立了其灰色Verhulst-小波神经网络组合预测模型, 预测结果表明:本文方法具有良好的预测精度, 能够提高装备故障预测的性能, 可以为装备维修保障决策提供理论支持。

参考文献

[1]王锟, 王洁, 冯刚, 等.复杂装备故障预测与健康管理体系结构研究[J].计算机测量与控制, 2012, 20 (7) :1740-1743.

[2]史佩, 高山, 苏艳琴.一种改进的GM (1, 1) 模型在装备故障预测中应用[J].计算机测量与控制, 2012, 20 (5) :1176-1178.

[3]柯宏发, 陈永光, 胡利民.基于灰色Verhulst优化模型的电子装备故障预测方法[J].装甲兵工程学院学报, 2012, 26 (3) :65-68.

[4]范爱锋, 孟亚峰, 张宏伟.神经网络在雷达装备故障趋势预测中的应用[J].火力与指挥控制, 2011, 36 (10) :180-181, 185.

[5]文莹, 肖明清, 胡雷刚, 等.基于粗糙神经网络的航空电子设备故障预测研究[J].计算机测量与控制, 2010, 18 (4) :807-809.

[6]贾宝惠, 雷先铎.基于组合预测法的航空设备故障预测研究[J].制造业自动化, 2012, 34 (1) :93-94, 98.

[7]童新安, 魏巍.灰色Verhulst-BP网络组合模型在预测中的应用研究[J].计算机工程与应用, 2011, 47 (23) :245-248.

[8]刘思峰, 谢乃明.灰色系统理论及其应用[M].北京:科学出版社, 2008:1-7, 94-123.