三角形的面积范文

三角形的面积范文（精选12篇）

三角形的面积 第1篇

一、明:教学目标明

王老师认真钻研教材, 对照大纲要求, 制定出切实可行的教学目标: (1) 使学生理解和掌握三角形面积的计算公式; (2) 能运用公式正确地解答有关问题; (3) 培养学生的学习兴趣。

二、巧:教学结构巧

推导三角形面积公式, 整个操作过程分为两个层次。

1.指导操作, 化新为旧, 学会思维

在这节教学中, 王老师抓住了知识的生长点、连接点, 寻找出解决问题的新途径。

2.借助操作, 揭示规律, 活跃思维

通过操作活动, 使学生身临其境, 手脑并用, 不仅激发了学生的学习兴趣, 活跃了学生的思维, 而且也逐步发展了学生的抽象思维能力。

三、新:教学手段新

本节课重视将现代教学媒体与传统数学媒体有机结合, 优化了课堂教学。

1.利用触控一体机理解新知识

在推导“三角形面积计算公式”时, 王老师在学生动手操作得出“长方形的面积是它等底等高的三角形面积的2 倍;平行四边形的面积是它等底等高的三角形面积的2 倍”的基础上, 利用触控一体机及版贴图形演示了这一操作过程, 进一步证实了这一规律:三角形的面积=底×高÷2, 加深了学生对这一公式的理解。

2.利用综合片巩固运用知识

习题设计有梯度, 让不同层次的学生对本节课内容“吃好”“吃饱”, 并能消化得了。

3.利用学具化抽象为具体

针对小学生的心理特点, 通过学具给学生大量动手、动脑、动口进行实际操作的机会, 如摆一摆、拼一拼、剪一剪、量一量等练习, 让学生感到学习数学是一种轻松愉快、具有无限乐趣的事情。

四、好:习题设计好

1.精心设计铺垫

2.精心设计反馈练习

五、这节课的不足之处

1.数学教师也要咬文嚼字

在这节课上, 王老师出现了两次不严谨、不规范、随意性语言。

如, 有一位学生答:“这个阴影部分的三角形是这个空白三角形的一半。”王老师说:“回答得不准确。”我认为应该说:“回答得不正确。”因为两个三角形的面积完全相等, 这个学生答错了。

2.要重视反例的作用

教案-三角形的面积 第2篇

多边形的面积

《三角形的面积》教学设计

1.教学内容

人教版小学数学教材五年级上册第91页主题图、92页例2、“做一做”。

2.教学目标

2.1

知识与技能：

探索并掌握三角形的面积公式，能正确计算三角形的面积，并能应用公式解决简单的实际问题

2.2过程与方法：

是学生经历操作、观察、讨论、归纳等数学活动，进一步体会转化方法的价值，发展学生的空间观念和初步的推理能力。

2.3

情感态度与价值观：

让学生在探索活动中获得积极的情感体验，进一步培养学生学习的兴趣。

3.教学重点/难点

3.1

教学重点：

理解并掌握三角形面积的计算公式

3.2

教学难点：

理解三角形面积计算公式的推导过程

4.教学方法

创设情境——新知讲授——巩固总结——练习提高

5.教学用具

多媒体课件、三角形学具

6.教学过程

一、创设情境

播放小视频

师：同学们，刚才的简笔画画的可爱吗，生：可爱

师：他们都是以什么图形为基础画出来的生：三角形

师：其实呀，我们生活中蕴藏很多三角形呢，比如说我们每天佩戴的红领巾就是三角形的就是三角形的吧，现在，老师想知道我们每天佩戴的红领巾的面积是多少，同学们愿不愿意帮老师校解决这个问题？（屏幕出示红领巾图）？

生：愿意

师：三角形的面积怎么计算呢？这节课我们就一起来研究，探索这个问题。

板书：三角形的面积

师：请同学们齐读课题

二、新知探究

（一）、课件出示一个平行四边形

师：平行四边形的面积怎么计算？

生：平行四边形的面积=底×高（板书：平行四边形的面积=底×高）

师：平行四边形的面积用字母表示是什么

生：S=ah

师;平行四边形的面积公式是怎样得到的？

生：说出推导过程，利用剪一剪和拼一拼的方法，将平行四边形拼成学过的长方形或正方，并且二者的面积相等，得出平行四边形的面积公式

师：在研究平行四边形的面积的时，我门是把没有学过的平行四边形通过“剪一剪，拼一拼”的方法把它转化成学过了的长方形来研究的，从而轻而易举的得到了平行四边形的面积公式，那三角形的面积你打算怎么研究呢？

生1：我想把它转化成已学过的图形。

生2：我想看看三角形能不能转化成长方形或平行和四边形。

（二）、动手实验

师：请同学们拿出准备好的学具：看一下都有什么？

生：两个完全一样的锐角三角形，直角三角形，钝角三角形；

下面请大家利用这些图形依据PPT上的探究提示进行操作研究，并且填好手中的学习单，看哪一组能用多种方法发现三角形面积的计算公式。

师：谁来读一下操作要求

生：（操作要求：用两个同样的三角形拼一拼，并思考：能拼出什么图形，拼出图形的面积你会计算吗？拼出的图形，与原来的三角形有什么联系，组长填好学习单，组织组内的组员探究）

生小组合作，教师巡视指导。

（三）、展示成果，推导公式

师：同学们经过猜想，验证，已经推导出了三角形面积的计算公式。通过刚才的巡视老师找了几组优秀的，下面请他们展示给大家看。

生展示

汇报一：我们是用两个(锐角)三角形，拼成了一个(平行四边形)。

原三角形的（底）等于拼成的(平行四边)形的(底)；原三角形的高等于拼成的(平行四边)形的(高)；原三角形的面积等于拼成的(平行四边)形的面积(一半)。

汇报二：我们是用两个(钝角)三角形，拼成了一个(平行四边形)。

原三角形的（边）等于拼成的(平行四边)形的(底)；原三角形的高等于拼成的(平行四边)形的(高)；原三角形的面积等于拼成的(平行四边)形的面积(一半)。

汇报三：我们是用两个(直角)三角形，拼成了一个(长方形)。

原三角形的（一条边）等于拼成的(长方形)形的(长)；原三角形的（另一条边）等于拼成的(长方形)形的(宽)；原三角形的面积等于拼成的(长方形)形面积的(一半)。

或

除此之外，两个完全一样的直角三角形还可以拼成三角形

师;通过以上实验可以看出：两个完全一样的三角形都可以拼成一个平行四边形

三角形的面积=平行四边形或长方形的面积（正方形的面积）÷2

=底×高÷2

=长×宽÷2

师：为什么要÷2

生：因为原三角形的面积等于拼成后图形的一半

师：同学们你们太棒啦！一下就帮老师解决了这个难题，同学们让我们再次总结一下三角形的面积公式是怎么得来的，让我们一起说，因为平行四边形的面积=底×高，图中三角形的底等于平行四边形的底，三角形的高等于平行四边形的高，所以三角形的面积公式就是底×高÷2。如果我们用S表示三角形的面积，用a表示三角形的底，用h表示三角形的高，那么谁能写出三角形的面积公式

生：S=ah÷2

师：你们真的是太棒了！

三、解决问题

师：现在我们知道了三角形面积的计算公式，那么现在请大家帮我算一下每个红领巾的面积吧！

1.红领巾底是100cm，高33

cm，它的面积是多少平方厘米？

师：要想知道三角形的面积必须知道什么条件？

生：三角形的底和高的长度

四、巩固提升

2.这两个三角形的面积相等吗？为什么？

A

D

B

C

师：规律，等底等高的三角形面积相等

五、课堂小结

这节课你学习了什么？你有什么收获？（小组说--组内总结--组间交流）

六、教师总结

今天我们一起探索了三角形的面积计算公式，并能应用于实际问题的解决中。

板书设计

三角形的面积

平行四边形的面积=底×高

S=ah

三角形的面积

=

平行四边形的面积÷2

=

底×高÷2

S=ah÷2

五年级数学上册

《三角形的面积》学习单

一、平行四边形面积公式：。

二、三角形面积探究

探究一：

我们是用两个（）三角形，拼成了一个（）。

原三角形的（）等于拼成的（）形的（）；原三角形的高等于拼成的（）形的（）；原三角形的面积等于拼成的（）形的面积（）。

探究二：

我们是用两个（）三角形，拼成了一个（）。

原三角形的（）等于拼成的（）形的（）；原三角形的高等于拼成的（）形的（）；原三角形的面积等于拼成的（）形的面积（）。

探究三：

我们是用两个（）三角形，拼成了一个（）。

原三角形的（）等于拼成的（）形的（）；原三角形的（）等于拼成的（）形的（）；原三角形的面积等于拼成的（）形面积的（）。

探究四：

我们是用两个（）三角形，拼成了一个（）。

原三角形的（）等于拼成的（）形的（）；原三角形的（）等于拼成的（）形的（）；原三角形的面积等于拼成的（）形面积的（）。

总结：

三角形面积=。

三、解决问题

33cm

1.红领巾底是100cm，高33

cm，它的面积是多少平方厘米？

《三角形的面积计算》教学设计 第3篇

教学内容：义务教育课程标准实验教科书(人教版)五年级上册P84

教材分析：“三角形面积的计算”是学生学习了长方形、正方形，尤其是平行四边形面积计算后安排的教学内容，是学习梯形面积计算的基础。由于在上述学习过程中，学生已通过操作、实验、探索等积累了探索平面图形面积计算公式的基本方法与策略，并初步领悟了“新旧转化”的数学思想方法，这些都为学生探究“三角形面积的计算”这一新的学习任务提供了必要的条件，为他们实现个体意义上的“数学再创造”打下了良好的基础。本节课的教学，通过创设问题情境，提出探究问题，明确探究目标，然后放手让学生自主探索，在此基础上进行讨论、交流，获得多种解决问题的方法，进而在教师的指导下抽象概括出三角形面积的计算公式，建构起数学模型，让学生运用所学的知识解决数学问题，提高应用能力，感受数学与实际生活的联系，体验学习成功的乐趣。

教学目标：

1．能运用倍拼、割补的方法探索三角形面积的计算公式，进一步感受转化的数学思想。

2．掌握三角形面积计算公式，能够运用公式计算三角形面积和解决简单的实际问题。

3．通过操作、观察、比较，发展空间观念，提高运用转化的思想方法解决问题的能力。

4．增强合作交流意识，提高探索创新精神，感受学习成功的乐趣。

教学重点：掌握三角形面积计算公式。

教学难点：三角形面积计算公式的推导过程。

教具学具：准备三对三角形纸片(每对都是全等的)，剪刀。

教学过程：

一、创设情境，引入新课，让课开始趣已生

1．激活先前经验，引发转化思想

教师出示长方形、正方形和平行四边形的图形。

(1)提问：怎样计算这三个图形的面积?分别说出计算方法。

学生回答后，教师板书：

长方形的面积=长×宽

正方形的面积=边长×边长

平行四边形的丽积=底×高

(2)提问：平行四边形面积计算公式是怎样推导的?

学生回答后，教师指出：用割、补的方法把平行四边形变成一个与它面积相等的长方形，由长方形的面积公式推导出平行四边形的面积计算公式，这种重要的数学方法我们称为“转化方法”。在后面学习三角形、梯形的面积等内容时，常会用到这种重要的数学方法。

[设计意图：通过复习这三种图形面积的计算公式，尤其是回忆平行四边形面积计算公式的推导过程，目的是激活学生先前的经验，引发转化的思想，为新课的学习打下坚实的基础。]

2．创设问题情境，激发探究兴趣

教师出示如下三对三角形的图形。

提问：(1)这些图形是什么图形?

学生回答后，教师板书：三角形的面积计算

(2)现在，我们来学习三角形的面积计算。你们能从学过的方法中得到启发，先设计一种推导方案，再推导出三角形的面积计算公式吗?

[设计意图：从灵活使用教材入手，创设问题情境，激发学生的探究欲望和学习兴趣，使学生以最佳的心态投入到新课的探究之中。]

二、激思导学，探求方法，让课进行趣正浓

1．引导操作实验，探索计算方法

教师出示探究题：试一试，你能想出哪些方法把三角形转化成已学过的图形，从而得出三角形面积的计算方法?(让学生拿出课前准备好的三角形，独立思考与操作，探索三角形面积的计算方法。教师巡视指导。)

[设计意图：提出探究性的问题，留给学生独立学习的时间，让学生根据自己的知识经验、能力水平和个性特点，自主地、能动地、自由地、有目的地进行独立思考，操作实验，自主寻找方法解决问题，确立学生学习的主体地位，充分发挥学生学习的主体作用。]

2．组织讨论交流，小组代表汇报

(1)小组讨论：怎样把三角形转化成已学过的图形，从而得出三角形面积的计算方法?

(2)组际交流：请各小组之间互相交流，有哪些转化推导方法?

(3)汇报方法：请各组代表汇报本组的转化推导方法，哪个组先来汇报?

学生汇报后，教师引导学生归纳转化推导方法：

①用两个完全一样的直角三角形拼成一个长方形或正方形，从而推导出三角形面积的计算方法。

②把两个完全一样的锐角或钝角三角形拼成一个平行四边形，从而推导出三角形面积的计算方法。

③把一个等腰三角形沿底边上的高剪开再拼成一个长方形或正方形，得出三角形的面积计算方法。

[设计意图：在个体独立探究的基础上进行小组讨论，组际交流，小组代表向全班汇报，让学生们各抒己见，互相补充，互相启发，掌握不同的转化推导方法，加深对研究问题的理解，体会到合作的力量，并在讨论交流中增强交往能力。]

3．小结探究成果，概括计算公式

提问：根据以上几种不同的转化推导方法，你们能概括出三角形面积的计算公式，并用字母表示出来吗?

学生回答后，教师板书：

三角形的面积=底×高÷2

[设计意图：在充分发散的基础上，教师引导学生小结研究成果，比较、分析，共同概括出三角形面积的计算公式，并用字母表示出来，从而建构起解决问题的数学模型，培养和提高学生的观察、比较能力和归纳、概括能力，师生共同享受学习成功的快乐。]

三、实践应用，总结评价，让课结尾趣犹存

1．分层练习

(1)基本练习：看谁算得又对又快!P85做一做，P86第1、2题。

(2)变式练习：看谁能灵活解决问题!P86第3题。

(3)综合运用：看谁能解决实际问题!

①86第4题；

②把例题改为：学校有200名新人队的少先队员，要为他们制作红领巾，需要购买多少红布呢?

(4)拓展练习：看谁能攀登知识高峰!(题目略)

[设计意图：通过几个不同层次的练习，让学生巩固新学的知识，形成技能技巧，提高应变能力和应用能力，促进思维的发展；体会数学与实际生活的密切联系，感受数学的价值，发展对数学的兴趣。]

2．归纳总结

(1)今天大家探究学习的主要收获是什么?

(2)三角形面积计算公式推导过程中，三角形可以转换成什么图形?转换的方式有哪些?

(3)在学习这一知识时，要提醒自己或大家注意的问题是什么?

[设计意图：对探究内容作必要的归纳和总结，提出提醒自己或大家学习这一知识时要注意的问题，让学生了解自己的学习成果，自觉弥补缺陷与不足，增强对所学知识的记忆。]

3．评价激励

(1)在探究学习中，哪些同学有进步?哪些同学有新方法、新见解?

(2)在合作学习中，哪个小组合作得比较好?有哪些经验值得大家学习?

[设计意图：对学生在探究学习中的表现(含学习态度、学习方法、学习能力、学习效果等)作出激励性评价、表扬，让学生发现自己学习上的进步，不断获得学习预期的满足，体验学习成功的快乐。]

浅谈《三角形的面积》的设计思路 第4篇

不过从平行四边形入手来学习三角形的面积并不是什么新鲜事, 我想大多数老师肯定也是这么想的。根据以往的教学经验, 推导三角形的面积公式一般都有这么三步:先是计算出一个平行四边形的面积, 然后再将其切分成两个三角形, 求其中一个三角形的面积, 最后推出三角形的面积公式。

但稍加分析就可以发现, 传统的方法存在许多弊端:首先是学生并没有通过研究发现来获得知识, 尤其是分析对比、概念归纳以及图形的感知等方面的能力没有得到较深层次的培养;其次是用这种方法教完后, 学生能生成的东西并不多, 虽机械地掌握了计算面积的方法, 但在思考问题方面却是没有什么想法, 知识迁移思想等一些重要的数学能力没有让学生得到培养, 不利于今后的学习;最后就是知识传授时缺乏趣味性, 即便掌握了计算方法, 但在学生的脑海中没有留下深深的印象, 计算时也常常出错, 如找对应的底和高常出错, 还常常出现忘记除以2, 最后算成平行四边形的面积的情况等等。

虽然我也确定了从平行四边形的面积引入到三角形的面积, 但为了避免出现以上的问题, 从多方面来培养学生的数学综合素养, 对这节课进行了如下的设计, 具体分成五步:

一、剪一剪

从平行四边形入手就是要弄清楚一个三角形与其等底等高的平行四边形之间的面积关系。直接告知学生这一点, 显然效果是不理想的。怎样让学生深深地体会到两者之间的这种关系呢?我的做法是这样的:先出示一个平行四边形, 复习求平行四边形的面积。然后教师提问:如果将这个平行四边形沿对角线用剪刀剪开成两半, 分别是两个什么图形? (两个三角形) 再剪几个不同的平行四边形, 学生得出所有平行四边形都能剪出两个三角形。

二、拼一拼

教师提问:两个三角形能拼成一个平行四边形吗?学生这时出于一种思维定势答道:能。这时教师却给出两个大小不一样的三角形或是形状不一样的两个三角形, 有意让学生拼不成。在拼不成的情况下, 学生产生了强烈了的认知冲突, 从而引发了学生的积极讨论思考。这时教师提问:到底需要什么样的三角形才能拼出一个平行四边形?这时引导学生通过动手操作及对比发现得出:要两个完全相同的三角形才能拼成一个平行四边形。

三、比一比

先比一比这两个完全相同三角形, 观察它们之间的相同点, 板书设计如下:

对应的三个角一样大对应的三条边一样长

形状一样

对应的底一样长 (等底) 对应的高一样长 (等高)

大小一样面积一样

这样得出了等底等高和面积相等的概念, 这样做既培养了学生对比分析归纳的能力, 又为后面的进一步探索学习作好了铺垫。

再比一比这一个三角形和一个由这样的两个三角形拼成的平行四边形。教师提问:这个三角形和平行四边形又有什么相同之处和不同之处?有前面探索知识的方法作引领, 很快学生就得出两点:一是这个三角形与这个平行四边形是等底等高的, 二是这个平行四边形的面积是三角形的两倍, 反过来, 三角形的面积是平行四边形的一半。

板书设计如下:

相同之处:底相等, 高相等

不同之处:形状和大小不一样

两个图形之间的大小关系:三角形的面积是平行四边形的面积一半。

四、说一说

通过以上的比较, 让学生说一说, 说出等底等高的平行四边形和三角形之间的面积关系, 顺势提问:根据这个关系能不能列出求这个三角形的面积的算式?再根据算式让学生说出三角形的面积计算公式。

五、算一算

在得出公式的基础上, 分两个层次进行。先给出几个只标明了一组底和高的三角形, 让学生可以直接地运用条件计算出三角形的面积。在已完全掌握的基础上, 再增加难度, 给几个标了多个底和高的三角形, 需要学生有选择地运用条件来计算三角形的面积。

《三角形的面积》评课稿 第5篇

今天听了张老师的这节课，使我受益匪浅，感慨良多。对于新素质教育下的数学课堂究竟该如何把握，如何上好有了一个新的认识。

其中给我印象特别深刻的地方有以下几点：

一．教师基本功扎实，教态大方得体。不论是问题的设计还是问题的导入，处处彰显了张老师深厚的基本功底，特别是他那简练概括的语言，一句话都不多说，一个字都不多添，给我印象非常深刻，整堂课下来感觉是如此的流畅，如此的轻松。

二．对教材的理解把握到位。虽然从整堂课中看不出老师讲了多少，教了多少，但实际上无论是学生的动手操作还是动口表达，一切尽在老师的掌握之中。从中可以看出，老师平时对学生的训练非常到位，学生的整体水平非常高。

三．教学过程注重实践化。数学是一门实践学科，无论是数学基本概念的产生，还是基本算理的归纳，都不能离开实践。本节课的.重点就是三角形面积计算公式的推导。教师主要采取了由浅入深，动手操作，小组合作汇报的形式，很好的完成了由旧知向新知的转化，过渡自然，把复杂的问题进行简单化处理，取得了良好的教学效果。

四．注重了算法的多样化和练习的层次性。通过不同的方法解决同一个问题，让学生理解解决问题的多样化，同时让学生知道数学与实际生活是密不可分的，数学就在我们的身边。另外，公式教学中配以一定容量的练习题是十分必要的，只有让学生在训练中强化对公式本身的理解，才能加深记忆达到运用自如。本节课的练习就比较有层次，由易到难，由简到繁，符合学生的认知规律和技能生成性。特别是求三角形交通标志面积这个题目出的非常好，即训练了学生公式的运用，又让学生知道了求三角行的面积必须找对应的底和高。

另外，对于本节课我还有几点疑惑提出来和大家共同探讨。

1好的情景导入的确可以极大的调动学生的学习积极性，但本课的情景似乎与所学知识联系不大，有点生搬硬套的感觉。

2三角形公式是在学习了长方形，正方形，平行四边形面积公式的基础上进行教学的，因此对于公式可以放手让学生自己去总结，而不需要老师再去一一概括。

三角形面积在几何题中的巧妙应用 第6篇

将一个图形分成几个部分，这些部分的面积之和就是整个图形的面积.这个看似非常简单的知识点，如果在解题时能够巧妙地加以运用，有时能起到事半功倍的效果.

图1【例1】如图1，△ABC中，AB=AC，D是BC边上的一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BH是三角形的高.求证：DE+DF=BH.

分析：连接AD，使DE、DF分别成为△ABD和△ACD的高，利用S△ABD+S△ACD=S△ABC，并且AB=AC，证得结论.

证明：连接AD，∵DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BH是三角形的高.

∴S△ABD=112AB×DE，S△ACD=112AC×DF，

S△ABC=112AC×BH.

∵S△ABD+S△ACD=S△ABC，

∴112AB×DE+112AC×DF=112AC×BH.

又∵AB=AC，∴DE+DF=BH.

图2变式练习题：如图2，点P是等边△ABC内的一点，过点P分别画各边的垂线段PD、PE、PF，且PD=1，PE=3，PF=5，则等边△ABC的边长=.

简析：设等边△ABC的边长为a，连接PA、PB、PC，与上题同理可得，

112a（PD+PE+PF）=314a2，

将数据代入，求得a=63.

二、利用三角形的面积列方程解决图形中的计算问题

在几何计算题中，运用方程思想解决问题是一种常用的方法.而运用图形的面积来列方程往往使得方程简单易解.

图3【例2】如图3，△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，点D是BC上一点，将AB沿AD折叠，点B恰好落在斜边AC上的点E处.求BD的长.

分析：由折叠可知，AB=AE，BD=DE，∠B=∠AED=90°，设BD=x，则利用2S△ADC=AC×DE=CD×AB，可列出方程，求得BD的长.

解：∵将AB沿AD折叠，点B落在斜边AC上的点E处，

∴AB=AE，BD=DE，∠B=∠AED=90°.

∵△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，

∴AC=10，设BD=x，∵2S△ADC=AC×DE=CD×AB，

∴10x=6（8-x），解得x=3.

变式练习题：△ABC的周长为l，面积为S，试求△ABC的内切圆半径r.

简析：连接圆心与三角形各顶点，将△ABC的面积转化为三个小三角形的面积之和.而三个小三角形的底分别为AB、BC、AC，高都是内切圆的半径，因此得112lr=S，解得r=2S1l.

三、运用“相似三角形的面积比等于相似比的平方”解题

【例3】如图4，△ABC内接于⊙O，过点A的切线交BC的延长线于点D.试证明CD1BD=AC21AB2.

图4分析：由B、C、D三点共线，得S△ACD1S△ABD=CD1BD，

再证得△ACD∽△BAD，得S△ACD1S△BAD=AC21AB2，

所以，CD1BC=AC21AB2.

解：作直径AE，连接CE.

∵AD切⊙O于点A，∴AE⊥AD∴∠CAD+∠EAC=90°.

∵AE是⊙O的直径，∴∠ACE=90°∴∠E+∠EAC=90°.

∴∠E=∠CAD，又∵∠B=∠E，∴∠B=∠CAD，

又∵∠D=∠D，∴△ACD∽△BAD，∴S△ACD1S△BAD=AC21AB2.

又∵S△ACD1S△ABD=CD1BD，∴CD1BD=AC21AB2.

隐私保护的计算三角形面积协议 第7篇

该文的组织结构如下:第1节简单介绍本文所用到的基础知识和概念;第2节重点提出了两个三方计算面积协议,并对其进行了详细介绍以及安全性与复杂度分析;最后是对本协议的总结。

1 预备知识

以下给出本方案所用到的相关基础工具的简介,如下:

1.1 安全性定义

半诚实参与方安全多方计算的参与方诚实地执行协议,参与方可以记录中间结果,以试图推导出其他参与方的输入。计算结束后,参与方均不能从自己的输入与输出中得到关于其他参与方输入的任何信息。

1.2 同态加密

Sander和Tschudin提出了整数环上的加法和乘法同态加密机制(HES)。同态加密算法是指具有同态性质的公钥加密体制。同态加密必须满足下面的条件:如果存在运算*和运算+,使得对任意x、y,有E(x)*E(y)=E(x+y),称加密函数E是同态的。由上述等式可知,显然有E(x)*E(-y)=E(x-y)和E(x)y=E(x y)成立。这里要说明的是,公式中符号“=”的含义为等效,即符号两边的密文是等效的,而不是严格意义上的相等。常见的同态加密有ElGamal和Paillier加密。

2 三方计算面积协议的设计

2.1 问题描述

在同一平面区域上,有三个参与方,Alice有一个点A=(xA,yA),Bob有一个点B=(xB,yB),Carol有一个点C=(xC,yC),该三方之间的线段距离分别为:d1、d2和d3,如图1所示。三个参与方都不想把自己点的私有信息(点的坐标)告诉其他人,又想知道三个参与方的点所构成的三角形的面积的大小。两点(P,Q)间的距离可以间接地通过下面的表达式求出:d2(P,Q)=(xP-xQ)2+(yP-yQ)2。

2.2 协议一

2.2.1 初始化阶段

Alice、Bob和Carol都有自己的密码系统且该密码系统具有同态性,保密自己的私钥并向其他两人公布了自己的公钥,其中EA()、EB()和EC()分别表示用Alice、Bob和Carol的公钥加密。

2.2.2 协议执行阶段

步骤一Alice>Bob:EA(xA2+yA2),EA(-2xA),EA(-2yA)

步骤二Bob计算:

Bob>Alice:EA(d12)

步骤三Alice解密计算得:d1

Alice>Bob:d1

Alice>Carol:d1

这样Alice、Bob和Carol得知一条边的距离为:d1

(由于Alice和Carol交互计算另一边的距离d2,以及Bob和Carol交互计算第三边的距离d3的过程与上述相同,我们不再赘述。)

步骤四Alice、Bob和Carol都知道了:d1、d2和d3,根据海伦公式他们三人都可以求解三角形面积S:

2.3 协议二

2.3.1 三点面积公式

由几何知识知三点(xA,yA)、(xB,yB)、(xC,yC)所围成的面积S:

2.3.2 协议执行阶段

步骤一Alice、Bob和Carol商定一个具有同态性质的密码系统,Alice选定公私钥对,并将公钥告诉Bob和Carol,私钥保密,其中EA()表示用Alice的公钥加密。

步骤二Bob>Carol:EA(xB),EA(-xB),EA(yB),EA(-yB)

步骤三Carol计算:EA(xC)*EA(-xB)=EA(xC-xB)

步骤四Alice计算:EA(yB-yC)xA*EA(xC-xB)yA*EA(xByC-yBxC)

最后解密并计算出面积S=(xAyB+xByC+xCyA-yAxB-yBxC-yCxA)

2.4 安全性及复杂度分析

正确性分析:由于同态加密的性质可知,只要保证加密和解密过程以及计算过程的正确,就可以保证得到的结果,从而最后所求的面积是正确的。

安全性分析:协议一:步骤二中Bob不知道解密密钥,就无法得知Alice的信息;步骤三中解密得d1,但是并不知道Bob的坐标,只知道Bob点在以自己的点为中心,以d1为半径的圆周上,故Alice推不出Bob的点的坐标。所以该协议都是安全的且没有信息泄漏。协议二:Bob和Carol都不知道解密密钥,只有Alice知道,最后解密出面积S,协议二的安全性在于同态加密的安全性。

复杂度分析:协议一:计算一边距离时进行了4次加密计算、1次解密计算以及一些简单运算,进行了4次通信,一共进行了3轮,即求三边距离。协议二:Bob进行了4次加密,Carol进行了2次加密和5次运算,Alice进行了4次运算和1次解密操作,共进行4次通信。而且与协议一不同,只需一轮。

3 结束语

该文提出了两个在半诚实模型下保护隐私的三方计算面积协议。这个问题包含三个参与方,每个参与方都希望在不泄漏自己的信息(点的坐标)的情况下,共同计算出参与方拥有的点所围成的三角形的面积。设计了两个协议,来求解这个问题。协议一利用海伦公式来求解三角形面积,该协议泄露了部分信息,即参与方都知道了三角形的具体形状,但是不知道具体位置;协议二利用平面上的三点所确定的行列式的值来求解三角形面积,该协议没有泄露任何信息。

参考文献

[1]ATALLAH M J,DU W L,Secure Multi-party Computational Geometry[C]//Proceedings of the7th International Workshop on Algorithms and Data StructuresmLNCS2139,Berlin:Springer-Verlag,2001:165-179.

[2]DU W L,ATALLAH M J.Secure Multi-Party Computation Problems and Their Applications:A Review and Open Problems[C]//In Pro-ceedings of New Security Paradigms Workshop.New Mexico:Cloudcroft,2001:11-20.

[3]DAS A S,SRINATHAN K.Privacy Preserving Cooperative Clustering Service[C]//Advanced Computing and Communications.Washington,DC:IEEE Computer Society,2007:435-440.

[4]LI S D,DAI Y Q.Secure two-party computational geometry[J].Journal of Computer Science and Technology,2005,20(2):258-263.

三角形面积的向量坐标式及应用 第8篇

三角形面积的向量坐标式:

=12 (|AB||AC|) 2- (|AB||AC|cos) %2姨

=12 (|AB||AC|) - (ABAC) %2姨

=12 (x21+y21) (x22+y22) - (x1x2+y1y2) %2姨

=12|x1y2+x2y1|.

下面以近几年的两道高考题为例, 予以说明.

(Ⅱ) , (Ⅲ) 略

由公式 (1) , 得

评注:标准答案在求三角形的面积时, 是按传统的求解方法, 先求出弦PQ的长, 再求出点O到PQ的距离, 然后利用三角形的面积等于底乘高除以2进行求解, 运算量极大, 在考试的有限时间内, 很难完成.这里应用公式 (1) , 省略了求弦长和距离这两个步骤, 使解题过程变得简捷明快, 既节约了时间, 又提高了效益.

例2 (2008年全国卷II理21、文22题) 设椭圆中心在坐标原点, A (2, 0) 、B (0, 1) 是它的两个顶点, 直线y=kx (k>0) 与AB相交于点D, 与椭圆交于点E、F两点.

(II) 求四边形AEBF面积的最大值.

《三角形面积》教学实践与反思 第9篇

一、猜一猜

师:同学们, 猜测一下, 三角形面积可能与我们学过的什么图形的面积有关系?

生:可能与正方形的面积有关系, 可能与长方形的面积有关系, 可能与平行四边形的面积有关系。

二、小组活动

师:同学们的猜测对不对呢?请同学们以小组为单位, 积极动手、充分交流并讨论、验证你们的猜想。

三、学生汇报

生1:我们组将一条正方形手帕对角折后, 发现能折成两个三角形。所以, 我们认为三角形的面积与正方形的面积有关系。 (边解释边展示给同学看)

师:实践出真知。你们组是通过“折一折”来验证的, 这个做法很有说服力, 我同意你们的观点, 其他同学同意吗?

生 (异口同声) :同意!

生2:我们组认为三角形的面积与长方形的面积有关系。因为沿长方形对角剪开, 可以得到两个三角形。 (边说边剪, 展示给同学)

师:你们组是通过“剪一剪”来验证的。这个办法也很好!“一剪刀”就让老师和同学们都看明白了。

生3:两个三角形纸片可以拼成一个平行四边形。所以, 我们认为三角形面积与平行四边形的面积有关系。

师:是不是任意两个三角形都能拼成一个平行四边形呢?

生3:不是。我们试了好几次, 发现只有完全相同的两个三角形才可以拼成平行四边形。

师 (点头微笑) :你们组同学真能干!

四、探究三角形面积与平行四边形面积的关系

师:通过刚才的学习, 同学们知道了三角形的面积与正方形、长方形、平行四边形的面积有关系。到底有什么的关系呢?请同学们继续以小组为单位, 积极动脑、动手, 仔细观察, 充分讨论、交流。 (教师巡视, 并不断参与到小组活动里)

五、结论

小组汇报。

生1:把正方形手帕对角折后, 发现折成的两个三角形一模一样。所以, 我们组认为三角形的面积应该等于正方形面积的一半。

师:“一模一样”是什么意思?

生1:大小一样, 形状相同。

师:说得真好!

生2:把长方形纸沿对角剪开, 得到的是两个完全相同的三角形, 所以, 我们组认为三角形的面积等于长方形的面积的一半。

师:你们怎么知道两个三角形是完全相同的?

生2:我们发现两个三角形能够完全重合。

生3 (不屑的表情) :我们组早就发现三角形的面积等于平行四边形面积的一半。

师:说说你们的发现吧。

生3:在开始拼的时候我们就发现, 只有完全相同的两个三角形才可拼成一个平行四边形。所以三角形的面积当然等于平行四边形面积的一半了。

师:完全正确。为他们的自信鼓掌!很多同学的手里拿到的是完全不同的三角形 (事先准备的) , 那你们是怎么操作的?

生4:我们发现问题后, 和其他组互相交换三角形才拼成了平行四边形。

师 (竖起拇指) :合作是学习的好方法!

师:正方形和长方形属于什么图形?

生:是特殊的平行四边形。

师:你们能试着编出三角形的面积公式吗?

生 (踊跃举手回答) :三角形面积=底高÷2, 因为平行四边形的面积=底高。

教学反思

《课程改革纲要》提倡:“让学生主动参与、勤于动手, 培养学生收集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流与合作能力。”以上教学片段正是集中体现了“放手让学生去探索, 把教学的重心, 由教学生记现成的结论为主, 转到引导学生探索知识的形成过程上来, 启发学生去思考、去探索、去发现”这一新教学理念。

三角形的面积 第10篇

由于0

由此，我们得到了三角形面积的坐标公式，即:

三角形面积坐标公式的形式与向量共线充要条件的坐标形式特征极其相似，十分有益理解掌握，而且可以有效地解决与三角形面积相关的问题，尤其在解析几何中，笔者下面以近两年的几个高考题加以分析，以藉读者.

例1(2013年高考课标Ⅰ文科卷)O为坐标原点，F为抛物线C:的焦点，P为C上一点，若，则△POF的面积为()

解析:如图2,，准线方程为

设，则由抛物线定义得:

例2(2013年江西理科卷)过点引直线l与曲线相交于A,B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取最大值时，直线l的斜率等于()

因为α∈(0，π)，β∈(0，π)，所以-π<α-β<π，

所以当|sin(α-β)|=1时，△AOB面积最大，此时

所以，点O到AB的距离为，所以直线l的倾斜角为

所以直线l的斜率，故应选(B).

例3(2013年天津理科卷)已知双曲线(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p>0)的准线分别交于A,B两点，O为坐标原点.若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p=()

解析:因为，所以双曲线的渐近线为

依题意得:抛物线的准线为

所以p2=4，即p=2，故应选(C).

例4(2012年北京文科卷)已知椭圆C:(a>b>0)的一个顶点为A(2,0)，离心率为，直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M,N.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)当△AMN的面积为时，求k的值.

三角形的面积 第11篇

关键词:椭圆；三角形面积；最大值；几何法

文中提出：给定一个椭圆，以它的一条固定长的动弦为三角形的一边，以椭圆中心为顶点的等腰三角形，并探索面积的最大值问题. 证明定理的代数方法比较烦琐，引理中设置的辅助函数也十分意外，不容易想到. 不妨换个角度：从椭圆可以看成是圆压缩或拉伸变形的结果来讨论这个定理，不仅简单明了，还可以进一步看出△AOB面积变化的趋势.

引理1 顶点在原点，底边为圆周x2+y2=a2上的弦的等腰三角形，在圆被压缩成椭圆+=1（0

图1

证明 如图1建立直角坐标系. 设A（x1，y1），B（x2，y2），则以O为顶，弦AB为底边的等腰三角形OAB的面积为

S△OAB=001x1y1 1x2y2 1=x1y1x2y2.

当圆x2+y2=a2经压缩变换x′=x，y′=y（0

S△OA′B′=00 1x1y11x2y2 1=••001x1y1 1x2y2 1=•x1y1x2y2=S△OAB .

同理，圆x2+y2=a2经拉伸变换x′=x，y′=y（0

推论1 以圆x2+y2=a2内的弦为底，圆心为顶点的等腰三角形面积最大时，由圆经压缩（或拉伸）成椭圆后所对应的三角形面积也最大.

引理2 圆x2+y2=a2中以弦AB=l为底边，圆心O为顶点的等腰三角形，当顶角是直角时面积最大.

图2

证明 如图2，圆内长度为l的弦AB在任何位置时，它与圆心所构成的△OAB的面积S△OAB=ld=l=•.

因为l2+（4a2－l2)=4a2是定值，所以当l2=4a2－l2时S△OAB取得最大值. 即l=a 时有最大面积S△OAB=a•a=，此式也说明了当三角形的顶角是直角时面积最大.

推论2 半径为a的圆内接矩形，当一边（不妨设AB=l>0）逐渐增大至a时面积最大（此时邻边则逐渐减小至a）.

（为了保证压缩后弦AB的长度l保持不变，不妨假设弦AB始终与压缩方向垂直，平行于x轴的位置）

证明对于圆x2+y2=a2作压缩变换x′=x，y′=y（0

由推论2知，当弦长l在0

同理，对圆x2+y2=b2作拉伸变换

x′=x，y′=y（0

变为椭圆+=1，等腰△OAB变形为等腰三角形OA′B′，如图4.

S△OAB=ld=l=•，S△OA′B′=S△OAB=•l•=，

最大值S△OA′B′=S△OAB=•==S△OAB，

即等腰三角形OA′B′的面积S△OA′B′=•?摇随着l（0

最后可以归纳成定理.

三角形的面积 第12篇

如果仅以知识技能的掌握为目的,这样的操作活动是直观的,也是有效的。但从思维经验积累和思维能力发展的角度看,如果三节课的活动设计始终停留在动手操作层面,则体现出一定的局限性。我们有必要逐步加强数学活动的思维介入,让学生在更富挑战性的问题引领下积极主动地展开思维活动,为汲取“思维经验”创造更有利的条件。基于这样的考虑,在本节课的教学中我们在学习材料和活动形式上进行了调整,力图给予学生更大的探索和思考的空间。

一、思考需要直观基础

【教学片段】

在下图长方形和平行四边形中分别画一个面积最大的三角形。

反馈(如图2):

讨论中,多数学生认为长方形中(1)号三角形是最大的,(2)号与(3)号存在争议;而平行四边形中则认为(4)号、(5)号都是面积最大的三角形。

师:既然(2)号和(3)号的画法有争议,我们暂时不讨论。请看其他三幅图,这些三角形的面积与原图有什么关系?

生:这些图中的三角形面积正好是原图的一半,因为两个三角形(阴影部分与空白部分)一样大。

【思考】

从反馈的情况看,绝大多数学生都能画出正确的图形。但我们必须认识到这些只是学生未经逻辑分析的直观判断,其中学生在面积学习过程中所获得的经验(对平面图形大小的直观感悟)起着很重要的作用。换句话说,学生知道这样画出来的三角形面积是最大的,但并不知道为什么。这从随后的课堂争论中可见一斑,很多学生并不认同(2)号和(3)号三角形是长方形中面积最大的三角形。即便如此,这里的猜想和操作还是很有价值的。一方面它充分暴露了学情,便于我们把握教学的起点;另一方面则为进一步探索三角形面积计算积累了方法和经验。

二、思考需要问题驱动

【教学片段】

能否求出下面各三角形的面积?试一试。

反馈一(如图3.1~3.2):

生:把(1)号三角形中间剪开,拼成一个长方形(图3.1)。长方形的长是6cm,宽是高的一半,面积是6×2=12(cm2)。三角形与它的面积相等,也是12cm2。

生2:画一条底边的垂线,得到一个大长方形(图3.2),面积是6×4=24(cm2)。三角形面积正好是长方形的一半,24÷2=12(cm2)。

反馈二(如图4.1~4.2):

生:在(2)号三角形左右两边各画一条底边的垂线,就得到一个长方形(图4.1),面积是24cm2。三角形的面积是它的一半,6×4÷2=12(cm2)。

师:三角形的面积是这个长方形的一半吗?

生:是的。把它看成两个小长方形,左边三角形占了一半,右边也是一半,合起来三角形面积正好是大长方形面积的一半。

生:先画一条平行线,这样就得到一个平行四边形(图4.2),它的底和高和三角形是一样的,面积是6×4=24(cm2)。而三角形的面积是平行四边形的一半,24÷2=12(cm2)。

反馈三(如图5):

生:这两种方法是一样的,都是先画一条平行线,得到一个平行四边形,面积是6×4=24(cm2)。三角形的面积为24÷2=12(cm2)。

师:回顾刚才的思考过程,我们用什么办法算出了三角形的面积?

生:把三角形先看成长方形或者平行四边形。

师:长方形是特殊的平行四边形。平行四边形与原三角形有什么关系?

生:它们的底相等,高也相等,平行四边形面积是原三角形的2倍。

师:谁能概括一下三角形的面积计算方法?

生:三角形面积=底×高÷2。

师:这里的“底×高”算出的是谁的面积?

生:与这个三角形底相等,高也相等的平行四边形的面积。

【思考】

教学中,有效的问题设计决定了学生思维的开阔性与深刻性。“呈现三类不同的三角形并计算它们的面积”,这样的问题不仅指向明确,而且颇具挑战性。但从反馈的情况看,大多数学生都能积极主动地展开思考并顺利解决了问题。其主要原因在于学生在前面操作活动中所获得的直观感知为这里的思考奠定了坚实的基础。正因为学生建立了三角形与长方形、平行四边形之间的联系,使得这里的“化归”自然而然(事实上是作了逆向思考,即将三角形还原成长方形或平行四边形)。当然,在这个过程中学习材料的呈现方式也起到了减缓坡度、指引思考方向的作用,如“将三个三角形置于一组平行线内”“三类三角形先后次序的安排”等。值得注意的是,有了问题的驱动,“化归”已不再是操作活动的目的,而仅仅是解决问题的一种手段。

三、思考需要互动交流

【教学片段】

1.“三角形面积=底×高÷2”是否适用于计算任意三角形的面积?

生:我觉得可以。三角形按角分类只有三种情况:直角三角形、锐角三角形和钝角三角形。这里的三个三角形包括了所有情况。

生:不管怎样的三角形,都可以画两条平行线使它变成一个平行四边形,所以三角形的面积都可以这样计算。

生:我发现画两条平行线其实就是画了一个一模一样的倒着放的三角形,两个三角形拼成了一个平行四边形。所以“底×高”算出来的就是两个三角形的面积,再除以2就行了。

【思考】

尽管学生已经初步掌握了三角形面积计算的方法,但前面所讨论的仅仅是个例。由个例到一般,需要运用归纳思维展开合情推理。因而,这里的讨论是必要的。更重要的是,结合问题的讨论引发空间想象,进而完善公式推导过程,这使得学生的思维更为深刻,体验也更为充分。

【教学片段】

2. 图中的三角形(见前文图2)是不是长方形内最大的三角形?

师:刚才同学们对图(2)和图(3)有争议,现在再来看一看它们是图中最大的三角形吗?

生:图(2)和图(3)也是长方形中最大的三角形,它们的面积跟图(1)是一样的,都是长方形面积的一半。

生:也可以这样看,因为三角形的面积与它的底和高有关,这里几幅图中三角形的底和高都已经是最大的了,所以虽然形状不一样,但是面积肯定都是最大的。

师:那么除了这里的几种画法,还可以怎么画?

生:只要选一条边作三角形的底,另一个顶点在对边,这样的三角形面积就是最大的。

【思考】

这个问题的讨论是利用现场生成的资源展开的。学生之前对图(2)和图(3)是不是长方形内面积最大的三角形存在质疑,是因为这个结果是“看”出来的。在掌握了三角形面积计算的方法之后再次讨论这个问题,就不再是一种直观判断,而是一种逻辑思考。教学中展开这样的思辨活动有助于将学生的思考引向深入。

【教学片段】

3. 右图是一个梯形,你能在图中找到几对面积相等的三角形?

生:三角形ABC和BCD的面积相等,因为它们的底都是BC,高也相等,所以面积相等。

师:我们可以说这是两个“等底等高”的三角形,所以它们面积相等。还有吗?

生:三角形ABD和三角形ACD的面积也是相等的,它们也是“等底等高”。

生:我感觉三角形ABO和三角形CDO的面积也是相等的。

师:这两个三角形也是“等底等高”吗?

生:它们不是“等底等高”,但是因为三角形ABD和三角形ACD的面积相等,只要它们同时减去三角形AOD的面积,剩下的面积就相等了。

师:有没有听明白他的意思?还有什么方法也能证明这两个三角形是相等的?

生:用三角形ABC和三角形BCD也能证明,它们都减去三角形BOC的面积,余下的面积相等。

【思考】

这个问题具有一定的拓展性。在问题的讨论中涉及两个层次:第一层次主要是利用“等底等高”来判断面积相等的三角形;第二层次(梯形蝴蝶定理)则要用到几何推理。找到面积相等的三角形并说明面积相等的理由,这是一个思维水平不断深入的过程。结合教学内容适当引入合适的学习材料加以拓展,对于积累“思维经验”而言也不失为是一条有效的途径。

4. 这节课你学了什么?你是怎么学的?

生:今天学习了三角形的面积计算方法,三角形的面积=底×高÷2。

师:回忆一下,我们是通过什么办法得到了这个计算公式的?

生:画两条平行线把三角形转化成一个“等底等高”的平行四边形,平行四边形的面积除以2就得到了三角形的面积。

师:那我们再回忆一下前面平行四边形的面积公式又是怎么得到的?

生:把平行四边形转化成长方形。

师:是的,“转化”是一种很重要的数学思想。但同样是“转化”,它们有什么区别吗?

生:平行四边形转化成长方形面积是不变的,但三角形转化成平行四边形,面积要扩大2倍。

师:三角形转化成平行四边形,其面积一定要扩大2倍吗?

生:也可以不变的。但是面积不变的话,那么底或者高就要缩小到原来的一半。

学习过程的回顾与反思对于“思维经验”的积累是极其重要的。“经验”是需要交流和分享的,而交流的过程恰恰是“经验”积累的“固化”过程。也就是说,在学习活动中所获得的感性层面的体验需要借助语言的描述逐步积淀下来成为相对稳定的认知状态,这就是“经验”的积累。与此同时,从上述讨论中我们还可以看到通过联系与比较,前后获得的“经验”还可以链接、整合,融会贯通。因此,对于课堂小结我们绝不能走过场,也不能仅仅停留在“学了什么”,而更应关注“怎么学的”。

综上,由于“思维经验”具有综合性、内隐性的特征,使得我们难以像知识技能那样分门别类地展开教学。但正如史宁中教授所说,“如果能设计出好的教学方案,一定能够成为‘帮助学生积累数学思维经验’的有效载体”。这就需要我们在课堂上坚持以生为本、以学为本,尽可能创造条件引导学生主动参与学习、积极展开思考,从而获得更为丰富的感悟与体验。并且,这绝非一朝一夕之功,而是一个长期的累积过程。

摘要：数学是思维的科学,数学活动经验很大程度上体现为“思维的经验”。“三角形的面积”一课的教学实践指出,有效的思考需要直观基础,需要问题驱动,更需要互动交流。教学中,拓展问题思考的空间有助于引导学生积极主动地展开思维活动,从而为获得“思维经验”创造更有利的条件。

关键词：问题空间,思维经验,三角形的面积

参考文献

[1]史宁中.基本概念与运算法则[M].北京:高等教育出版社,2013(5).

[2]张奠宙,等.小学数学研究[M].北京:高等教育出版社,2009(1).