三角形三边关系不等式的证明题

三角形三边关系不等式的证明题（精选14篇）

三角形三边关系不等式的证明题 第1篇

三角形边角不等式关系练习题

一、边的不等关系证明

1、如图1，在△ABC的边AB上截取AD=AC，连结CD，（1）说明2AD＞CD的理由（填空）；

解：∵AD+AC＞CD（）又∵AD=AC（）

∴AD+AD＞CD（）

A ∴2AD＞CD（2）说明BD＜BC的理由。

D解：∵_______＜BC（）

又∵AD=AC（）B图1 C ∴AB–AD＜BC（）

而AB–AD=BD A ∴BD＜BC（）

2、如图2，△ABC中，AB=BC，D是AB延长线上的点，说明AD＞DC的理由。

B DC 图2

2、如图3，已知P是△ABC内任意一点，则有AB+AC＞PB+PC.图3

3.如图所示，在△ABC中，D是BA上一点，则AB+2CD>AC+BC成立吗？•说明你的理由．4.如图，已知△ABC中，AB＝AC，D在AC的延长线上．求证：BD－BC＜AD－AB．

5．如图，△ABC中，D是AB上一点．求证：（1）AB＋BC＋CA＞2CD；（2）AB＋2CD＞AC＋BC．

6.在右图中，已知AD是△ABC的BC边上的高，AE是BC边上的中线，求证：AB+AE+证明：∵AD⊥BC()∴AB＞AD()在△AEC中，AE+EC>AC()又∵AE为中线()∴EC=

1BC>AD+AC 211BC()即AE+BC>AC()221BC＞AD+AC 2 ∴AB+AE+7.已知如图：D、E为△ABC内两点,求证:AB＋AC＞BD＋DE＋CE.参考答案

A2.解：延长BP交AC于E，在△PEC中，PE+EC＞PC ∴BP+EP+EC＞BP+PC 即BE+EC＞BP+PC.在△ABE中，AE+AB＞BE∴AE+EC+AB＞BE+EC，即AC+AB＞BE+EC，∴AB+AC＞PB+PC P

4.AD－AB＝AC＋CD－AB＝CD，∵ BD－BC＜CD，∴ BD－BC＜AD－AB． B

5.（1）AC＋AD＞CD，BC＋BD＞CD，两式相加：AB＋BC＋CA＞2CD．（2）AD＋CD＞AC，BD＋CD＞BC，两式相加：AB＋2CD＞AC＋BC． 7.（法一）将DE两边延长分别交AB、AC 于M、N，在△AMN中，AM＋AN ＞ MD＋DE＋NE;（1）

在△BDM中，MB＋MD＞BD；（2）

在△CEN中，CN＋NE＞CE；（3）

由（1）＋（2）＋（3）得：

AM＋AN＋MB＋MD＋CN＋NE＞MD＋DE＋NE＋BD＋CE ∴AB＋AC＞BD＋DE＋EC

AA

F MDEGN

DE

BCB 图11图12C

EC3

三角形三边关系不等式的证明题 第2篇

三角形三边关系定理及推论的作用

①判断三条已知线段能否组成三角形；

②当已知两边时，可确定第三边的范围；

③证明线段不等关系。

★ 全等三角形教案

★ 课程教案

★ 《三角形的分类》教案

★ 《和三角形娃娃交朋友》教案

★ 《醉翁亭记》课程教案

★ 高中生物课程教案

★ 幼儿园经典课程教案

★ 等腰直角三角形三边比例

★ 等腰直角三角形三边比例

三角形三边关系不等式的证明题 第3篇

教学目标:

1.知识目标:知道“三角形任意两边的和大于第三边”;能判断给定长度的三条线段是否能围成三角形。

2.技能目标:通过猜想验证、合作探究, 算一算、比一比, 经历发现“三角形任意两边的和大于第三边”的活动过程, 发展空间观念, 培养逻辑思维能力;能运用三角形任意两边之和大于第三边解决生活中的简单问题, 感受生活中处处有数学。

3.情感目标:体验“做数学”的成功感, 激发学习数学的兴趣。

教学重点:三角形三边关系的探究。

教学难点:在活动中探索三角形三边的关系, 发现“三角形任意两边的和大于第三边”的性质。

教学准备:彩色纸条若干、课件、红、绿圆片。

教学过程:

一、情境激趣, 发现问题

师 (电脑出示例3图) :看, 小明正准备去上学呢!这是他上学的路线图, 看一看, 他上学的路线有几条?

生:有三条。

师:走哪条路距离最近?

生:走中间这条路距离最近。

师:你怎么知道的?

(学生结合自己的生活经验各自表述。)

师:同学们很爱思考, 能结合自己的生活经验来谈, 说得都有道理。请同学们再看看图, 小明上学的这几条路线围成两个什么图形?

生:围成了两个三角形。

师:小明上学的这几条路线围成了三角形, 每一段路正好是三角形的一条边。那么, 我们能不能用三角形三条边的关系来解释走哪条路最近的问题呢?今天, 我们就一起来研究三角形三条边之间的关系。

(板书课题:三角形三边的关系)

二、合作探究, 发现规律

1.初步感知, 提出猜想。

师:老师准备了些纸条 (a.10厘米, 15厘米, 20厘米;b.10厘米, 10厘米, 20厘米;c.10厘米, 12厘米, 26厘米) , 谁愿意把这几组纸条分别当作三角形的三条边使它们首尾相接在黑板上摆出三角形?

(学生踊跃上台摆三角形, 用第一组纸条能顺利地摆出三角形, 而用第二组和第三组纸条摆不出三角形。)

小组讨论, 提出猜想。

生1:两条短的边太短了, 围不起来。

生2:那条长的边太长了。

2.动手操作, 发现结论。

师:请大家拿出信封里的纸条摆三角形, 每摆一个, 就把自己摆的结果和所用纸条的长度记录在表格中, 最后算一算。然后在小组内讨论, 把你的发现记下来。

(小组合作, 动手操作, 填写记录表。然后小组代表上台汇报并展示记录表。)

汇报要求:a.哪些情况下能摆成三角形?b.哪些情况下不能摆成三角形?c.你们有什么发现?

生1:两条线段的和大于第三条线段就能围成三角形。

生2:最长的那条线段小于另外两条线段的和才能围成三角形。

生3:任意两条线段的和一定要大于第三条线段, 才能围成三角形。

生4:三角形较短的两条边的和大于最长的边。

生5:三角形两边的差小于第三边。

3.深入思考, 完善结论。

师:三条线段中只要其中两条线段的和大于第三条线段就一定能围成三角形吗?说说黑板上的第二、三组线段为什么不能围成三角形。

生1:第二组线段中10厘米加10厘米等于20厘米, 所以围不成三角形。

生2:第三组线段中10厘米加12厘米比26厘米小, 所以围不成三角形。

师:请同学们读书上的结论, 说说“任意两边”是什么意思。

生1:“任意两边”就是随便哪两边。

生2:“任意两边”就是任何两边。

三、运用新知, 解决问题

1.红绿灯:请看下列各组线段, 能围成三角形的请亮出绿灯, 不能围成三角形的请亮出红灯。

4厘米, 5厘米, 6厘米;4厘米, 6厘米, 4厘米;3厘米, 3厘米, 6厘米;16厘米, 28厘米, 11厘米;47厘米, 52厘米, 9厘米;13厘米, 13厘米, 13厘米。

师:说说判断的时候你有什么好办法。

生:如果较短的两线段加起来比最长的那条线段长, 就一定能围成三角形。

师:你能用今天所学的知识解释小明上学路线的问题吗?

2.找朋友:在下列所给的线段中, 哪三条线段能围成三角形?

2厘米4厘米5厘米8厘米10厘米

3.动脑筋。

学校的木工师傅有两根木条的长分别是70厘米和100厘米, 他要选择第三根木条 (整厘米) , 将它们钉成一个三角形木架。你能帮助他确定第三根木条最长是多少厘米?最短是多少厘米吗?

四、整体回顾, 总结评价

请给自己本节课的表现进行公正的评价。

情感自测题 (在相应的表情上打√)

教学反思:

以上是根据教学设计进行的教学实践。从练习检测可以看出, 学生对于三角形三边的关系已经掌握, 90%以上的学生能应用三角形三边的关系解决生活中简单的实际问题, 达到了这节课的教学目标。课后反思, 我有几点体会。

1.学生是学习的主人。在设计时我对学生情况进行了充分估计, 我“怎样教”是围绕学生“怎样学”来进行的。教学中, 学生主动参与, 积极探索, 在愉快、主动中得到了发展。学生能掌握和应用三角形三边的关系较小两条线段之和大于第三条线段, 便可围成三角形。让我没有想到的是, 有几个爱思考的学生还在课中告诉我:如果较短的两边的和等于或小于第三条边的话, 短的两条边接不起来, 最多只能和较长的边重合, 不可能围成三角形。由此看出学生探究学习潜能是不可估量的!

2.学习是学生的“再创造”活动。在学习中, 我让学生经历了探究发现的全过程。学生在掌握和灵活运用知识的同时, 也获得了“探究”的能力, 有利于创造精神的培养。让我感到遗憾的是, 在小组活动中少部分学生不敢大胆操作, 不敢大胆提出自己的真实想法。这就告诉我, 在今后的教学中一定要多为学生营造协作互动, 自主探究的课堂教学氛围。

3.数学教学要注重情感因素的培养。情境的创设、教师欣赏的神态和鼓励性的语言与课末学生多方位的自主评价, 都是培养学生积极情感因素的手段。这些手段不仅可以让学生带着愉快的心情学习新知识, 更有利于学生形成积极的情感态度和价值观。

巧用三角函数关系证明不等式 第4篇

一、巧用“倒数关系”——“tanθ·cotθ=sinθ·cscθ=cosθ·secθ=1”

若条件中有xy≤t（或≥t），可考虑做如下之一变换：

（1）x=r1tanθ，x=r2cotθ； （2）x=r1sinθ，x=r2cscθ；

（3）x=r1cosθ，x=r2secθ。

例1：已知x，y∈R+，xy=2，求证： 。

证明：设x=tanθ，y=2cotθ （θ∈（0， ）），

二、巧用“平方关系”之一：“sin2θ+cos2θ=1”

1.若条件可化为 ，可考虑做变换

。

例2：已知实数x，y满足x2+3y2=6y，证明：-4≤x2-y2≤。

证明：条件可变形为 ，设x=√3sinθ，y=1+

cosθ（θ∈[0，2π]），则x2-y2=3sin2θ-（1+cosθ）2=-4（cosθ+）2

+ ，易知-4≤x2-y2≤ 。

2.若条件有x，y∈R+，且x+y≤t（或≥t），可考虑做变换x=rsin2θ，y=rcos2θ。

例3：已知x，y∈R+，且x+y≤1，证明：|3x2-2xy-3y2|≤3。

证明：设x=rsin2θ，y=rcos2θ（0＜r＜1），则3x2-2xy-3y2=r2（3sin4θ-

3cos4θ-2sin2θcos2θ）= r2[3（sin2θ

-cos2θ）（sin2θ+cos2θ）-2（1-cos2θ）cos2θ]=r2[2（cos2θ-2）2-5]。

易知|3x2-2xy-3y2|≤3。

3.若题干中含有诸如b2-（x-a）2，√b2-（x-a）2，a-x， √a-x，的因子，可考虑做类似（1）与（2）中的变换。

三、巧用“平方关系”之二：“sec2θ

-tan2θ=csc2θ-cot2θ=1”

1.若条件可化为 ≤（或

≥）r2，可考虑做变换

，。

例4：已知y≠0且x2-y2=1，证明：

。

证明：设x=secθ，y=tanθ（θ≠kπ

+，kπ（k∈Z）），则

=|(secθ-cosθ)(tanθ+cotθ)cos2θ|

=。

2.若条件有x，y∈R+且x-y≤（或≥）t，可考虑做变换x=

rsec2θ,y=rtan2θ或x=rcsc2θ,y=rcot2θ。

例5：已知x＞1，y＞0，x-y=1，

证明：。

证明：设x=sec2θ，y=tan2θ（θ∈（0，）），则

=。

因θ∈（0，），故命题得证。

上述虽然总结了几条规律，但不足以概括三角换元法全貌，以祈读者能有更多更深的思考。

《三角形的三边关系》教学反思 第5篇

《三角形的三边关系》一课是在学生知道了三角形有三条边、三个角、三个顶点以及三角形具有稳定性的基础上学习的，是本章的一个难点。通过前面的学习，学生虽然知道了三角形有三条边，但三角形“边”的研究却是学生首次接触，一节课的时间，要让学生从抽象的几何图形中得出结论，并加以运用，并非易事。因此，教学中，我让学生在观察、感知的基础上，动手操作，摆一摆，比一比，看一看，想一想，分组讨论、合作学习，运用多媒体课件辅助教学，老师恰当点拨，适时引导。

通过本节课的教学，既让我感受到了成功的喜悦，同时也从课堂中暴露出了一些实际问题，下面我将从以下几方面反思本节课的课堂教学：

一、关注学生亲身经历本节课的一个突出特点就在于学生的实际动手操作上，具体体现在以下两个环节：一是导入部分：学生从5根小棒中任意拿出3根，摆一摆，可能出现什么情况?结果有的学生摆成了三角形，而有的学生没有摆成三角形，此时，老师接过话题：能否摆成三角形估计与三角形的“边的长度”有关系，它们之间有着怎样的关系呢?今天我们就一起来研究这个问题。这样很自然地就导入了新课，为后面的新课做了铺垫。

二、是新授部分：学生用手中的小棒按老师的`要求来摆三角形，并且做好记录。这个过程必须得每个学生亲自动手，在此基础上观察、发现、比较，从而得出结论。苏霍姆林斯基曾说：“在人的心理深处都有一种根深蒂固的需要，这就是希望自己是一个发现者、研究者和探索者。而在儿童的精神世界中，这种需要特别强烈。”教学中，我有意设置这些实际动手操作、共同探讨的活动，既满足了学生的精神需要，又让学生在浓烈的学习兴趣中学到了知识，体验到了成功的快乐。

三角形三边的关系说课 第6篇

《三角形三边的关系》说课稿

各位评委、老师大家好：我说课的内容是人教版四年级下册82页的例3三角形的三边关系。

一、说教材

三角形三边的关系这一内容是新教材新增加的内容，并安排在第二学段。通过这一内容的学习，使学生在已经建立三角形概念的基础上，进一步深化理解三角形的组成特征，加深学生对三角形的认识，同时，也为以后学习三角形与四边形及其他多边形的联系与区别打下基础。

根据新课标的精神，要改变学生学习的方式，让学生经历“数学化”、“做数学”等过程，并注重与生活实际紧密联系，学有价值的数学。根据这一教学内容在教材中所处的地位与作用，以及新课标的要求，我认为设计这节课的理念是：活动参与、自主建构，联系生活、应用数学。

新课标的基本理念要求“人人学习有价值的数学，人人都能获得必须的数学，不同的人在数学上得到不同的发展”。结合教材，根据学生的知识现状和年龄特点，我制定了以下教学目标：

（一）教学目标

1、通过创设问题情景、直观演示、观察比较，初步感

知三角形边的关系。

2、学生通过动手实践、猜想验证、自主探索、合作交

流发现三角形任意两边之和大于第三边。

3、能判断给定长度的三条线段是否围成三角形，能运

用三角形任意两边之和大于第三边这一知识解决生活中的简单的实际问题,感受到生活中处处有数学。

4、通过学习发展学生的空间观念，使学生体验成功的喜悦,激发学生学习数学的兴趣。

（二）教学重难点

引导学生猜测、实验、验证三角形的三边关系，得出三角形任意两边的和大于第三边的结论。

二、学情分析

在正式学习三角形三边关系之前，学生在生活中已经积淀了很多关于三角形三边关系的感性经验，这些经验构成了学生学习的认知基础。过程中，学生在抽象概括三角形三边之间的关系时，可能在数学语言的描述上会有一定的困难，表达上也可能不够严密，但只要学生表达的意思对，教师就应该积极的给以肯定，同时教师要给学生更多探讨的空间和交流的机会，毕竟数学模型的建立和思维的发展需要经历一个渐近思辩的过程。

三、说教法和学法

在“活动参与、自主建构，联系生活、运用数学”的设计理念指导下，我的教学思路是：问题引领、动手操作、探究规律，并在解决生活实际问题中促进每一位学生获得不同的发展。

（一）创设问题情景，激发学生学习兴趣

根据四年级学生的认知规律，以及小学生以形象思维为主、空间观念薄弱的特点，我先给学生创设情景，引起悬念，运用多媒体教学课件辅助教学，让学生在观察、感知的基础上，激发学生学习数学的兴趣。

（二）动手操作、合作探究、自主建构数学规律

新课标强调要从学生已有的生活经验出发，自主地建构数学知识。在设计课程方案时，充分发挥学生的主体精神，留有足够的时间和空间激发他们主动探索。让学生动起来，活起来，让他们在猜想、质疑、验证、探究、实践操作、问题解决等过程中，经历想一想，猜一猜，比一比等活动，努力营造协作互动、自主探究、议论纷纷的课堂教学氛围，将课堂真正还给学生，让学生在自主活动中得以发展。

（三）联系生活，体会数学应用价值

数学《课程标准》指出“学生只有将数学与生活联系起来，才能够切实体会到数学的应用价值，学习数学的积极性才能够真正被激发”。因此，我将有意识地引导学生从数学的角度，应用所学的知识“三角形任意两边的和大于第三边”去解决生活中实际问题，让学生学有价值的数学。

四、说教学程序设计

（一）创设情境 使学生对三角形三边关系的探索成为

一种需要

学生对于三角形三边关系的认识并不是一片空白，他们对三角形两边的和大于第三边有一定的生活经验和感性认识。既然学生已不再是一张白纸，教师就要学会如何引导学生在这张已有颜色的纸上进行再创造。因此，我寻找知识在生活中的数学原型，创设了这样的数学情境：小明去学校一共有几条路可走，走哪条路最近，为什么？这样的问题情境贴近学生的生活，学生凭着自己的生活经验，知道走哪条路更近，但却苦于表达不出其中蕴含的道理，就使得对于三角形三边关系的探索内化成学生的一种需要。

（二）通过围三角形的游戏培养学生良好的学习态度

课前我准备好两个纸袋，袋里分别装有三根小棒，然后选一个男生代表和一个女生代表来围三角形，其他同学仔细观察围的过程，看谁围得最标准最快。通过这个游戏使学生知道围三角形时，任意两根小棒首尾一定要相连，为下一环节小组合作做好铺垫，培养学生认真严谨的学习态度，同时使学生知道并不是所有的三根小棒都能围成三角。

（三）通过小组合作探索新知

1、事先给每个小组准备好一个纸袋，纸袋里分别装有一张实验表格和4根小棒，分别长4cm、5cm、9cm、10cm，让学生任选3根小棒围成三角形。围前师生先确定好每次怎么选？有几种选法？让学生阅读小组合作要求，这样才能做到小组合作井然有序，达到预期的合作效果，在围的过程中让每个学生都参与其中，体验到学习数学的乐趣。

2、小组合作后，让小组长汇报实验结果，教师相机点拨，能围成三角的3根小棒有什么特点？不能围成的有有什么特点？从而得出三角形任意两边的和大于第三边。

3、借助课件展示围4组三角形的过程，让学生更直观的感受到三角形任意两边的和大于第三边。

（四）巧设练习，促进思维的发展，体验数学的意义和价值。

1、让学生用获得的新知解释小明上学为什么走中间这条路最近的原因，做到首尾呼应。

2、在练习1中设计了几组线段，让学生判断能否围成三角形，分析这几组数据，得出只要比较较短的两条线段之和是否大于第三条边就可以判断能否围成三角形了。这一过程使学生巩固了基本的知识点，强化教学重点和难点，提高学生对组成三角形的规律的认识，掌握更好的判断方法——较小两条线段之和大于第三条线段，便可构成三角形。

3、练习2是在生活的原型中创设小朋友上学抄近路践

踏草坪情境，通过你想对他说什么培养学生爱护花草树木，保护地球家园的道德情操，从而使学生感受到数学源于生活，生活中处处有数学。

五、板书设计：（简明扼要，突出重点。）

三角形的三边关系

《三角形三边的关系》教学反思 第7篇

数学教学应结合生活实际问题和从学生已有的知识出发，使学生能在认识、学习和使用数学知识的过程中，初步体验到数学知识之间的联系，进一步感受到数学与现实生活的密切联系，增强学好数学的信心，培养应用数学的意识和能力。学生在生活中已经明确知道的拐弯要比走直路远，利用这一生活经验，我在这一课的开始借鉴了课本中把学生从家到学校多路选择的场景来激发学生的兴趣，使学生感觉更亲切自然。但是在这儿我有意识的对课本原图作了一些改变，取消了原图中经过商店的一条道路，目的是让学生更容易把三点之间的道路抽象成三角形，跟本节内容更容易过渡衔接，跟以前教学本节内容时相比，我认为效果还是不错的。

2、小组活动要精心设计，力求有序有效、目的明确、可操作性强。

新课程标准认为，数学的知识、思想和方法应由学生在现实的数学活动中加以理解，通过实践活动，让学生获得更多的直接经验，从而激发学生的求知欲、增进自信心，从学生已有的生活经验和已有的知识出发，给学生提供观察、操作、实验、讨论、及独立思考的机会，通过共同的讨论交流，从而得出结论。因此，在数学活动中，要充分给予学生动手和思考的空间，同时要保证学生活动的有序性，从而实现活动的有效性。为了达到这一效果，我在这节课数学活动的设计中，注意了教师引导，在活动中从“有什么发现”到“为什么这样”逐层提出问题，让学生始终明确方向，有动手的强烈欲望，从而避免了以往教学过程中部分学生重结论轻过程，甚至直接去课本中寻找结论的现象，进一步培养了学生深入探究的习惯和能力。

3、汇报交流过程中，教师要注意把握重点，选例有针对性。

每次活动过程中及结束后，必然存在讨论交流的过程，这其中包括小组内的交流和在全班汇报交流。汇报不是小组交流的重复，在汇报过程中要看抓住具有代表性的例子，在存疑处适时引发下一次的实验活动及讨论过程。本课在小组汇报实验结果后，我先选择不能组成三角形的两组小棒组织学生讨论，并在大屏幕上动态演示，学生的注意力很自然地引导到研究三角形两边之和与第三边之间的关系。在此基础上，再一次组织小组讨论，研究其他几组能围成三角形的小棒的长度有什么共同点。通过比较分析，学生自然而然地发现了“三角形任意两边之和大于第三边”的规律。

4、练习设计向教学目标层层推进,注重强化知识生成及应用。

练习是数学教学重要的组成部分，恰到好处的练习，不仅可以巩固知识，形成技能，而且还可以启发思维，培养能力。在教学过程中除了为强化巩固设计的一般练习题，还要根据教学目标设计一些综合性题目和开放型题目，可以培养学生思维的灵活性和深刻性，克服学生思维的呆板性，更主要的是能激发学生求知的欲望、学习数学的兴趣。本节课中，我围绕“三角形任意两边之和大于第三边”这一性质设计了较为简单的“练一练”，目的是让学生正确应用知识；又通过设计“算一算”，目的是让学生充分理解三角形三边的关系，会求已知两条边，第三条边最小可以是几；又设计了“挑战自己”题目，此题为后面用字母表示三角形三条边的关系奠定了基础（a+b>ca+c>bb+c>a）；最后一题设计了“做一做”，这道题目有一定难度，能够综合培养学生深入理解知识、灵活运用知识、学会有序思考、发展逻辑思维等多方面作用。总归，环环相扣的练习能使学生熟练正确的掌握知识。总得来说，这节课也留下了许多缺憾和不足，主要表现在：

1、学生动手操作、同伴互助不够充分，学生主观能动性没有调动起来，没能让学生充分体验到学习数学所带来的乐趣；

2、让学生总结“三角形三边的关系”时，学生尽管能说出“任意”两边之和大于第三边就能围成三角形，但在这个环节中我给学生说的机会不多，没能让更多的学生尝试说一说；

3、在分小组探讨“三角形三边的关系”性质时，由于担心耗时过多，怕完成不了后面的练习题目，没能放手让学生大胆、自主地探索三角形三边的关系；

二倍角三角形的三边关系初探 第8篇

定理设△ABC的三内角∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c,

若∠A=2∠B, 则a2=b2+bc.

证明如图, 延长CA到D, 使AD=AB, 连结BD, 则有∠CAB=2∠D, 又∵∠CAB=2∠CBA, ∴∠D=∠CBA, 又∵∠C=∠C, ∴△ABC∽△BDC,

易证此定理的逆定理也成立。

上述定理揭示了二倍角三角形中三边之间的关系, 运用它解决二倍角三角形中的有关问题, 能起到化繁为简、化难为易的作用。下面以几道数学竞赛题为例说明它的应用。

1 求边长

例1已知△ABC中, 最大角A是最小角C的2倍, 且b=5, c=4,

求第三边a. (上海市数学竞赛题)

解∵∠A=2∠C, 运用二倍角三角形定理得a2=c2+bc.

∴将b=5, c=4, 代入上式, 得a=6

2 求角

例2在△ABC中, 角A、B、C的对边为a、b、c, 角A、B、C成等比数列, 且b2-a2=ac, 则角B的弧度是----------- (全国高中数学联赛题) [1]

解由角A、B、C成等比数列, 知

由二倍角三角形定理的逆定理得

将 (2) 代入 (1) 得C=4A

∴A+B+C=A+2A+4A=7A=π

3 证明等式

例3在△ABC中, 已知∠A:∠B:∠C=4:2:1

求证 (前苏联数学竞赛题) [2]

证明∵∠A=2∠B, ∠B=2∠C, 由二倍角三角形定理得

4 证明不等式

例4在△ABC中, 已知∠B=2∠A,

求证AC<2BC (徐州市数学竞赛题)

证明∵∠B=2∠A, 由二倍角三角形定理得b2=a2+ac, 于是有

∴b<2a, 即AC<2BC

5 判定三角形的形状

例5在△ABC中, 若AB=2BC, ∠B=2∠A, 则△ABC是------

A锐角三角形 B直角三角形

C钝角三角形 D不能确定 (黄冈地区数学竞赛题)

解∵∠B=2∠A, 由二倍角三角形定理得b2=a2+ac, 即

AC2=BC2+BC×AB, 将AB=2BC代入上式得

∴△ABC是直角三角形, 故选B

6 求轨迹方程

例6已知点A (-1, 0) , B (2, 0) , M (x, y) 为动点, ∠MBA∈[0, π) ,

求使得∠MBA=2∠MAB的点M的轨迹方程 (苏州市数学竞赛题)

解 (1) 若点M不在线段AB上, 则在△MAB中,

∵∠MBA=2∠MAB, 由二倍角三角形定理得

(2) 若点M在线段AB上, 显然有∠MBA=2∠MAB=0,

7 证明其它问题

求证只有一个三角形其三边为连续自然数且一角为另一角的两倍

(第10届IMO试题)

证明设△ABC中,

角A、B、C所对的边分别为k、k+1、k+2, (k∈N)

(1) 当∠B=2∠A时, 由二倍角三角形定理得

解得k=-1 (舍去) , k=1

此时三边分别为1, 2, 3, 这是不可能的。

(2) 当∠C=2∠B时, 由二倍角三角形定理得

这与k是自然数相矛盾。

(3) 当∠C=2∠A时, 由二倍角三角形定理得

解得k=-1 (舍去) , k=4

此时三边为4, 5, 6

故只有边长为4, 5, 6的三角形符合条件。

摘要：三角形中如果一个内角是另一个内角的两倍, 那么它的三边长之间也必然存在着一定的数量关系。本文对这种数量关系作了初步的研究, 并对其在求边长、求角、证明等式、证明不等式、判定三角形的形状、求轨迹方程及其它方面的应用作了有益的探索。

关键词：三角形,二倍角,性质,应用

参考文献

[1]熊斌等, 高中数学竞赛教程, 武汉大学出版社, 1993.5

对话三角形的三边关系 第9篇

数学练习课上，周老师给同学们出了一道习题：

已知两根木棒的长分别是7 cm和10 cm，要选择第三根木棒，将它们钉成一个三角架，第三根木棒的长有什么限制？

小明读完题，便不假思索地写出了解答：

设第三根木棒长为x cm，由题意及三角形的三边关系，有7+10＞x，7+x＞10，10+x＞7.解得3＜x＜17.

小明解答完毕，看到同桌小亮仍在苦思冥想，不由得露出一副得意洋洋的样子.片刻，但见小亮眉头舒展，列得式子10+7＞x，10－7＜x，并解出和小明一样的结果.

这下倒使小明迷惑不解了.此时，周老师走了过来，审视了一下两人的解答，满意地笑了.然后走到讲台前，打开了话匣子：“我们已经学过三角形三边之间的关系：三角形任意两边的和大于第三边.设三条线段长分别为a，b，c，则用这三条线段构成一个三角形，必须满足三个条件：a+b＞c，b+c＞a，c+a＞b.这三个条件缺一不可.这就是小明解法的依据.”

“但是，”周老师话锋一转，又说道，“三角形三边关系还有一个重要推论，即三角形任意两边之差小于第三边.于是三角形的三边关系又可用式子表达为：a+b＞c，a－b＜c（a≥b）.小亮就是基于此解决问题的.”

“可是，小亮的这种解法究竟对不对呢？”小明不解地问.

“答案是肯定的.”周老师停顿片刻，接着又讲道，“实际上，两者比较一下，不难由推论a－b＜c（a≥b）推出另外两个不等关系式b+c＞a与c+a＞b来……”

“哦，我明白了，推理过程就让我来完成吧.”没等周老师说完，小明迫不及待地站起来，兴奋地说道，“由a－b＜c，易知b+c＞a.又因为a≥b，且c＞0，所以c+a＞b.”

回答完毕，小明和小亮互相望了一眼，会心地笑了.

周老师最后强调说：“三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，是三角形的重要性质.这两个关于三角形三边长的不等关系有着广泛的应用，我们必须牢固掌握.特别要提醒同学们，‘两边之差’是指‘长边与短边的差’，否则，解题时容易产生错误.倘若两边大小关系无法确定时，可借助绝对值来表示.”

巩固训练：

在△ABC中，若AB=8，BC=6，则第三边AC的长度m的取值范围是.

参考答案：

2＜m＜14

你能拾起放在你面前的一枚硬币吗？

两腿并拢，脚跟靠墙站着，在你脚前33 厘米远的地上放一枚硬币，你能脚不动膝盖不弯拾起这枚硬币吗？

怎么样？我想你是没法拾起这近在呎尺的硬币的．

这是什么缘故呢？当你靠墙站直时，身体的重心就在你的双腿以上，当身体向前倾斜时，重心也就跟着向前移动．为了保持身体的平衡，你的腿必须向前迈，否则人就会跌倒．但是游戏规则规定了不能迈腿，你只能眼睁睁地望着唾手可得的东西而无法把它拿到手．如果你求胜心切，一定要设法拾起这枚硬币，那就非摔个嘴啃泥不可．

《三角形三边的关系》教学反思 第10篇

而我对这一部分教学内容进行了重组。首先我出示了分別由三条线段组成的三个图形，让学生说“哪个是三角形？”学生很容易找到，接着问他们“什么是三角形了？”学生说后出示小学和初中课本中的三角形定义，目的是为了夯实三角形的概念，从而为下面的动手实践“围三角形”扫清障碍。接着，我安排了两次动手操作活动，使学生在动手、动口、动脑等活动中，初步感悟，理解三角形三边的关系，为下一次环节规律的总结，知识的建构做好充分的准备，同时，用课件直观演示“围三角形”的过程和用投影仪展示“画一画，比一比”的结果，使学生理解了三角形三边之间的关系，再次把学生的思维激活，从而进一步深化了对规律内涵的理解。最后，再出示“小明去学校”的主题图，让学生说“为什么选择中间那条路？”让学生深刻的的感受到“生活中处处有数学”，从而学会用数学的眼光观察和分析周围的世界。练习设计力求多层次，让学生的思维在巧妙的设疑中引向深入，做到学以致用。

本节课通过让学生动手实践，认真思考、合作交流、共同分享，引领学生经历了一次“研究与发现”的完整过程，调动学生的多种感官参与学习活动体现了自主、合作、探究的教学方式，体现了以生为本的教学理念，既注重数学知识教学，更注重数学学习方法和数学思想的渗透，从而养成深入思考的良好学习习惯。

这一节课也有很多遗憾的地方。比如：在汇报不能围成三角形的数据时，有位同学说：“9厘米、10厘米、11厘米能围成三角形时，教者并没有记录，而是强调要不能围成三角形的数据时，这样做打消了这位同学的学习积极性；有的同学回答不够全面时，教者让其他同学进行补充……以上情况出现时，教者没有及时给予启发，引导学生得到正确、完整的答案，让学生能“体面的坐下”，这说明教者在教学过程中没有灵活的教学机智，以后要多多关注学生的情感，对学生进行积极性评价。

《三角形三边的关系》教学反思 第11篇

《三角形的三边关系》三角形的三边关系是在学生了解了三角形的一些基本特征的基础上学习的，学生虽然知道了三角形有三条边，但三角形“边”的研究却是学生首次接触，短短的三十五分钟之内，要让学生从抽象的几何图形中得出三角形三边的关系这个结论，并加以运用，并非易事。因此，教学中，我让学生亲身经历了探究的过程，围绕“任意的三条线段能不能围成一个三角形？”这个问题让学生自己动手操作，发现有的能围成，有的不能围成，再次由学生自己找出原因，为什么能？为什么不能？初步感知三条边之间的关系，接着重点研究“能围成三角形的三条边之间到底有什么关系？”通过观察、验证、再操作，最终发现三角形任意两边之和大于第三边这一结论。这样教学符合学生的认知特点，既增加了兴趣，又增强学生的动手能力。通过本节课的教学，既让我感受到了成功的喜悦，同时也从课堂中暴露出了一些实际问题，下面我将从以下几方面反思本节课的课堂教学：

一、关注学生亲身经历

本节课的一个突出特点就在于学生的实际动手操作上，通过教师提问：能否摆成三角形与三角形的“边的长度”有关系，它们之间有着怎样的关系呢？今天我们就一起来研究这个问题。这样很自然地就导入了新课，为后面的新课做了铺垫。在新授部分：学生用手中的小棒按老师的要求来摆三角形，并且做好记录。这个过程必须得每个学生亲自动手，在此基础上观察、发现、比较，从而得出结论。苏霍姆林斯基曾说：“在人的心理深处都有一种根深蒂固的需要，这就是希望自己是一个发现者、研究者和探索者。而在儿童的精神世界中，这种需要特别强烈。”教学中，我有意设置这些实际动手操作、共同探讨的活动，既满足了学生的精神需要，又让学生在浓烈的学习兴趣中学到了知识，体验到了成功的快乐。

二、练习设计层层深入

本节课我设计了四个练习：

1、判断能否围成三角形。

2、小明从家到学校走哪条路最近？

3、从五根小棒中选择3根小棒组成三角形，4、找第3根边组成三角形

评价一节数学课，最直接有效的方式就是通过练习得到的反馈。而学生之间参差不齐，为了能兼顾全班学生的整体水平，我在练习设计上主要采用了层层深入的原则，先是基础知识的练习，并从中发现3根一样长的小棒一定能组成三角形；然后用三角形的知识解决实际问题；最后增加拓展延伸题，让优等生在这个知识点上的学习更进一步。而每一道题都运用了本节课的知识，每一道题目的呈现方式又都不同。这样既能让后进生跟得上，又能让优等生吃得饱，从而让全班同学共同进步。

但是从教学过程中我也反思了自己的不足之处。

一、时间安排不够合理，当发现学生在填写表格时有困难，应及时引导学生填写，在这部分时间有所浪费；

《三角形三边的关系》说课稿 第12篇

今天我说课的内容是《三角形三边的关系》。首先我对教材进行简单的分析：

一、说教材

《三角形三边的关系》是人教版义务教育课程标准实验教科书《数学》第八册第82页的教学内容，属于”空间与图形“的领域。这部分内容是在学生知道了三角形有三条边、三个角和具有稳定性的基础上探索三角形三边的关系。大家知道，在平面图形里，三角形是由3条线段围成的，但并不意味着任意三条线段都能围成三角形。所以掌握这部分内容，可以进一步丰富学生对三角形的认识和理解;它既是对所学知识的延续，又是后继学习多边形的基础，在知识体系上具有承上启下的作用。

几何初步知识无论是线、面、体还是图形的特征、性质，对于小学生来说都比较抽象，要解决数学的抽象性和小学生思维之间的矛盾，就要充分运用直观性进行教学，让学生动手做数学，而不是用耳朵听数学，让学生经历”数学化“、”做数学“等过程，强调在教师的引导作用下，由”获得知识结论快乐“转变为”探究发现知识快乐“,并注重与生活实际紧密联系，让学生获得良好的数学教育。依据新课标的精神、结合学生的知识现状和年龄特点，以及这一教学内容在教材中所处的地位与作用，我制定了以下教学目标：

(一)教学目标

1、认知目标：通过创设情景、实物操作、观察比较，发现三角形任意两边之和大于第三边。

2、能力目标：培养学生自主探究、观察、比较和概括能力以及小组合作的意识，能根据三角形三边关系解释生活中的现象，提高解决问题的能力。

3、情感目标：结合教学内容，渗透数学文化、思想、方法的教育。

(二)说教学重难点

探究发现”三角形任意两条边的和大于第三边“是教学重点，而理解”任意两边“是本节课的教学难点。

接下来说说这节课的教法与学法

二、说教法

新课标指出，教无定法，贵在得法。数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。新课程改革要求教师要由传统意义上知识的传授者和学生的管理者转变为学生发展的促进者和帮助者;课堂教学要体现以学生为中心，让学生真正成为学习的主人。因此，我主要采用了情境导入法、设疑诱导法、操作发现法等来组织学生开展探索性的活动，让他们在这一系列活动中经历”数学化“的过程

三、说学法

有效的数学学习活动不是单纯的依赖模仿与记忆，而是一个有目的、主动建构知识的过程，动手操作法、观察发现法、自主探究法、合作交流法是这一节课的学习方法。整节课让学生体验”做数学“的过程。

以下是我的而教学流程。

四、说教学流程 教学流程按照8个环节进推进：

第一环节：矛盾冲突。

兴趣是最好的老师，上课一开始，我给学生变魔术，用长度分别是 15厘米，13厘米 10厘米的三根小棒首尾相接围成三角形，在学生认为我的魔术太简单而不屑一顾时，我让一个学生也上来变一个(给表演的学生提供长度是15厘米，9厘米，26厘米的小棒)学生围不了三角形。我说，他没能围出一个三角形，你能吗?(不能)问题到底出在哪?学生估计会把注意力集中在第三根小棒上，认为第三根小棒太长了，如果是这样，我就把第三根小棒换成5厘米的，还是围不了，此时，教师引导学生提出疑问：怎么就围不起来的呢?看来，看来，三根小棒是否能围成三角形跟它们的长度有关，这节课，老师和你们一起来研究三角形三边的关系。(板书课题)

在教师能变魔术，而学生却变不成的矛盾冲突中，可能已经有大部分学生开始这节课的数学思考了。此处”魔术“的价值不仅仅在于激发学生学习的兴趣，还在于成功地将学生引入到数学思考之中。

第二环节：初建模型。

新课标强调要从学生已有的生活经验出发，让学生动起来，活起来，让他们在猜想、质疑、验证、探究、问题解决等过程中，经历摆一摆、围一围、比一比、想一想、议一议等活动，努力营造协作互动、大胆表达课堂教学氛围，将课堂真正还给学生，让学生在自主活动中得以发展。

给学生提供研究的材料，(5根小棒，不同颜色长度不同，红色(2根)3厘米，绿色5厘米，蓝色7厘米，黄色8厘米。)并提出操作要求(ppt出示)

(1)从这5根小棒中任意选取3根围一个三角形;

(2)同桌2人合作，共同摆小棒。

(3)摆完后共同观察，并把结果记录在表格中。

(4)音乐响起开始，音乐停止时活动结束。

看哪一组完成最多最好。

这一环节是要发挥每个人的.作用，全员参与，人人有事做，避免小组合作流于形式。

反馈(1)3 3 5 (2)3 3 7

(3)3 3 8 (4)3 5 7

(5)3 5 8 (6)3 7 8

(7)5 7 8 (ppt出示表格)

Ppt演示(2) (3) (5)

观察：三根小棒在什么情况下能围城三角形呢?

最后引导归纳：三角形两条边的和大于第三条边(师板书)

随着教学活动的逐步展开，教师围绕”核心知识"精心设疑，引导学生操作观察比较，使学生的思考沿着教学目标不断深入。

第三个环节，完善模型。

回到变魔术的环节，验证学生没有围成的三角形三边的关系，9+15<26再一次引起冲突，但是9+15>5怎么也不能围成三角形呢?

完善性质：三角形任意两边的和大于第三边

验证老师变出的三角形三边的关系，10+13>15 10+15>13 15+13>10

第四环节：验证模型。

验证：让学生画出任意三角形，量出三条边的长短再算一算，三边之间的关系。

引导学生经历从特殊到一般的数学思考过程，让学生猜想，发现，归纳，验证，寻找反例等数学活动中思考、辨析、释疑、概括、推理，有效渗透从特殊到一般的数学思想，为学生构建了一种结构严谨、逻辑严密的数学思维模式。

第五环节：应用模型。

判断下面的小棒能否围成三角形

(1)2厘米 3厘米 8厘米 ( )

(2)4厘米 7厘米 8厘米 ( )

(3) 6厘米 5厘米 8厘米 ( )

(4)5厘米 14厘米 9厘米 ( )

(5)5厘米 9厘米 13厘米 ( )

第六环节：优化模型、并体会极限思想。

――优化

有的学生很快做出判断，他们有什么诀窍?

这一过程实际上是打破刚才建构的数学模型，抓住问题本质属性，留下两条短边与长边比较，形成最优化的数学模型结构――两条短边的和大于第三边，

――极限思想

让学生重点观察(4)中的数据

提问：5厘米和9厘米能与多长的小棒围成三角形?

学生思考：第三边不比4厘米短，不能超过14厘米(课件演示)

这一环节是通过直观操作让学生感悟数学的极限思想，让学生感受当两边的长度是5厘米和9厘米时，第三边的长度在4与14厘米之间，感受当第三边变成4厘米或14厘米时，三角形便不存在，将成为一条直线，感受量变到质变的过程，充满理性的思考的数学课堂才是真正扎实有效甚至高效的数学课堂。

第七个环节、走进生活

三角形三边关系不等式的证明题 第13篇

围绕教材的编排意图, 第一次课堂实践采取了围小棒的方式, 通过“操作—观察—推测—验证”的模式进行教学。

第一次课堂片段聚焦

一、动手操作发现问题

师:是不是任意的三根小棒都能围成三角形呢?老师为同桌两位同学准备了红 (6厘米) 、黄 (7厘米) 、蓝 (8厘米) 、绿 (14厘米) 四根小棒。请你们任意选三根小棒, 自由组合围一围, 看是不是都能围成三角形, 或者有的组合围不成。

1.学生操作 (同桌两位学生一组进行操作)

2.交流反馈

在反馈中, 学生一致认同红 (6厘米) 、黄 (7厘米) 、绿 (14厘米) 这三根小棒围不成三角形;认为红 (6厘米) 、蓝 (8厘米) 、绿 (14厘米) 围不成三角形的只有2组学生。教师用多媒体演示, 在围的过程中红色和蓝色的线段合起来和绿色的线段一样长, 这时仍有一组学生说我们能围的。

片段问题探讨:采用围小棒的方法让学生发现三角形的三边关系, 这种方法有什么欠缺的地方?

课后我们在对这一片段进行讨论的过程中提出了以上问题, 通过对课堂的分析我们有了自己的想法:

1.在平面图形的教学过程中, 无论是研究长方形、正方形, 还是研究平行四边形……都是先有这些图形再进行研究的。而在研究三角形三边关系的时候却是在没有三角形的情况下围几个三角形进行研究。那么在教学过程中是否也能通过已有的三角形进行研究呢?

2.用围小棒的方法让学生体验有时能围成三角形, 有时围不成三角形, 从没有围成三角形的两种情况中猜想能围成三角形的三条边之间的关系。我们认为这种方法具有局限性, 因为无论有多少根小棒都是有限的, 那么围的各种组合也就不具备普遍性。其次, 因为小棒是教师提供的, 学生在选择小棒的过程中也不需要进行思考, 选这三根围得成, 选那三根围不成, 对于小棒的选择是无意识的。

3.本堂课最难突破的是学生思维的“临界点”。在教学过程中发现对于两根小棒之和小于第三根小棒的组合围不成三角形, 学生通过操作都能感悟、理解。而对于两根小棒之和等于第三根的时候是围不成三角形的, 而只能形成两条相等的线段, 利用围小棒的方法恰恰很难突破这个“临界点”。从学生的心理原因分析, 今天老师让我们围小棒, 学生就会千方百计地想去围成。从客观原因分析, 用小棒围三角形, 因为小棒是立体的, 在围的过程中很难达到相邻的端点相连, 也就会出现课堂上大多数同学都说能围成的现象。更难的是学生以自己的操作为第一表象, 当教师用课件演示完以后, 仍然有学生认为是围得成的。说明在这个过程中, 学生空间想象完全是缺失的。

二、观察思考引发推测

师:仔细观察, 推测一下为什么这三条线段围不成三角形?

生:其中两条线段的和比第三条短或一样长。

师:那怎么样的三条线段能围成三角形呢?

生:两条线段的和比第三条长。

教师小结:这三条线段在三角形中我们叫它边。也就是说, 三角形中两边之和大于第三边。

片段问题探讨:从研究怎样的三条线段能围成三角形到三角形三边关系的描述中间, 还应为学生的思维铺垫什么?

在对这个片段的课堂分析中, 老师们感觉在学生探讨“为什么这三条线段围不成三角形”的过程中, 得出了其中两条线段的和比第三条短或一样长就围不成。进而教师设问:“那怎么样的三条线段能围成三角形呢?”学生也能描述两条线段的和比第三条长时能围成。这时教师马上小结:“这三条线段在三角形中我们叫它边。也就是说, 三角形中两边之和大于第三边。”这样跳跃性很强。探究三角形三边关系的过程完全是教师个人把学生的思维硬拉过来的过程, 中间缺少铺垫。

那么除了借助围小棒的方法到底有没有更合乎学生思维起点又能提升学生思维能力的方法呢?怎样循着学生的思维让学生对三角形三边关系的认识逐步深刻呢?学生在“实践操作, 进行验证”这一环节中, 认为把绿色的小棒剪短到12、11、10、9、8、7、6、5、4、3、2厘米都可以和6厘米的红色小棒、7厘米黄色小棒围成三角形。教师提出:“绿色的线段从11变到2, 三角形会怎么变?”大多数学生都能通过想象感悟到三角形由矮、扁变成高、瘦。这一教学环节给了我们启发:本堂课能否以已有三角形一条边的变化为切入点进行动态研究, 充分发挥学生的想象, 在空间想象感悟、操作验证等数学活动中, 经历探索三角形三边关系的过程。

第二次课堂片段聚焦

一、空间想象

师:同学们已经知道了由三条线段围成的图形叫三角形。那么有没有想过是不是任意的三条线段都能围成三角形, 三角形的三条边应该有怎样的关系呢?

生:两条很短, 一条很长就不行了。

生:任意的三条都行的。

教师小结:今天这节课我们就来继续研究三角形, 研究三角形三条边之间的关系。

师:现在有红、蓝、绿三条线段, 红线段长4厘米、蓝线段长5厘米、绿线段长6厘米, 想不想看看这三条线段围成的三角形是怎样的?

(多媒体呈现三条线段围成的三角形)

1.第一次想象

师:如果把6厘米的绿色线段换成一根长7厘米的线段。想想围成的三角形会有什么变化?

生:红色和蓝色的要斜下去了。

生:三角形要变扁了。

多媒体呈现4厘米 (红) 、5厘米 (蓝) 、7厘米 (绿) 三条线段围成的三角形。

2.第二次想象

师:如果把绿色线段再换成8厘米, 围成的三角形又会怎么变呢?

生:更扁了。

生:更矮了。

多媒体呈现4厘米 (红) 、5厘米 (蓝) 、8厘米 (绿) 三条线段围成的三角形。

3.第三次想象

师:现在请你们继续想象, 如果绿色的小棒变成9厘米会怎样呢?

生:更扁了。

生:马上要平了。

生:快要撑不起来了!

多媒体演示4厘米 (红) 、5厘米 (蓝) 、9厘米 (绿) 三条线段围三角形的情况。

生 (开心) :真的平了!

师:和你想象的一样吗?发现了什么?

生:蓝色和红色的线段连起来和绿色线段一样长了。

生:重叠了, 围不成了。

4.第四次想象

师:绿色的线段再换一根长10厘米的呢?

生:绿色的要长出来了。

生:红色和蓝色中间要空出1厘米了。

师:你是指红色和蓝色的碰也碰不住了, 是吗?

多媒体演示4厘米 (红) 、5厘米 (蓝) 、10厘米 (绿) 三条线段围三角形的情况。

片段分析:以三角形一条边的变化为切入点进行动态研究, 充分发挥学生的想象, 来感悟三角形的三边关系。

1.通过空间想象, 提升学生的思维能力

想象力的缺失, 往往会让人变得呆板。在第二次课堂实践中我们通过三角形一条边不断变化的动态研究, 让学生在头脑中不断地想象和建构。学生的想象经历了第三边不断延长, 三角形不断变矮、变扁直至无法围成的变化过程。在这个过程中, 学生感受了三角形由于边的变化而产生的形与结构的变化, 这种想象相对于选择有限的小棒围三角形而言更具有普遍性。同时在想象的过程中学生的思维得以充分的展示, 课堂也由此充溢着生命的灵动。“扁下去了”“马上要平了”“快要撑不住了”“快要瘦成一条线了”“要空出来了”……学生们用自己最真实、最朴素的语言描绘了自己的想象画面, 同时也揭示了三角形的本质, 即三条线段要围成三角形, 相邻的端点相连, 其中的两根必须撑得起来。可以说, 学生通过自己的想象已完全领悟了三角形的三边关系。以致课堂最后在解决课本情境图时, 有学生竟然还会通过想象认为“把上面两条边往下压肯定比第三条边长”。

2.通过空间想象, 轻松“跃过”学生思维的“临界点”

在学生想象三角形绿色线段由6厘米换至7厘米、8厘米“两次变扁”以后, 教师再一次让学生想象4厘米的红色线段, 5厘米的蓝色线段不变, 绿色线段换长到9厘米, 会怎样?学生想象到“更扁了”“快要平了”“快要撑不住了”……这时候媒体适时的介入让学生介于清晰和模糊之间的想象豁然开朗, 于是课堂中就有了学生一片带着新奇又快乐的声音———“真的平了”, 真可谓“难题一攻而破”。

二、引导探究

教师引导:仔细回忆刚才的学习过程, 现在你感觉三角形的三条边应该有怎样的关系?

(学生探究交流)

生:两条边的和不能等于或小于第三边。

生:两条边的和大于第三边。

生:较短两条边的和大于第三条边。

片段分析:让学生自主经历由“围三角形”到“三边关系”的转化。

相对于第一次课堂实践, 在第二次教学实践的过程中, 课始就让学生思考“是不是任意的三条线段都能围成三角形, 三角形的三条边应该有怎样的关系呢”。学生根据已有的知识经验和空间想象, 认为两条很短、一条很长的时候就不行了, 也有学生认为任意的三条线段都能围成。在这个过程中, 教师给予了学生明确的学习任务, 即今天要研究“三角形的三边关系”。在学生经历了第三边不断延长, 三角形不断变矮、变扁直至无法围成的变化过程之后, 教师再一次重复了课始的问题:“现在你感觉三角形的三条边应该有怎样的关系?”在思考的过程中学生自我经历了两个过程, 先思考怎样的三条线段能围成三角形, 再此基础上转化为三角形的三边关系, 避免了第一次课堂实践中教师把在研究怎样的三条线段能围成三角形的学生强拉到三角形三边关系中来的现象。

三、深刻认识

师:同学们, 刚才我们让这个三角形中绿色的边不断延长, 发现三角形越来越扁, 最后红、蓝两条边撑不起来, 围不成三角形了。你们由此对三角形的三边关系有了自己初步的想法。

多媒体再次呈现4厘米 (红) 、5厘米 (蓝) 、6厘米 (绿) 三条线段围成的三角形。

师 (引导第五次想象) :接下来我们继续研究, 现在让绿色的边变短, 变短到5厘米, 三角形会怎么变?

生:变高了。

生:变瘦了。

多媒体演示4厘米 (红) 、5厘米 (蓝) 、5厘米 (绿) 三条线段围成的三角形。

师 (引导第六次想象) :当绿色的线段从5厘米变短到4厘米, 那么三角形又会怎么变呢?

生 (齐答) :更高, 更瘦了。

多媒体演示4厘米 (红) 、5厘米 (蓝) 、4厘米 (绿) 三条线段围成的三角形。

师 (引导第七次想象) :看着绿色的边, 绿色的边再变短、变短……那么会出现什么情况呢?

生:围不成三角形了。

教师引导:绿色的线段短到几厘米的时候围不成三角形了呢?

生:1厘米。

教师引导:按照刚才同学们认为的三边关系:两边之和大于第三边, 那么5+4>1为什么又围不成了呢?

生:现在最长的那根是蓝色了。

生:红、绿两根的和等于蓝色的了。

多媒体演示4厘米 (红) 、5厘米 (蓝) 、1厘米 (绿) (竖成一条直线)

教师引导:现在是哪两根的和与哪一根比?

完善推测:现在你认为刚才两种三角形三边关系的描述哪一种更合理?

生 (齐) :三角形中较短两边之和大于第三边。

生:我认为任意两边之和大于第三边。

片段分析:再一次的想象让学生对三角形三边关系的认识更全面完善。

当学生的空间想象经历了第三边不断地延长, 三角形不断地变矮、变扁直至无法围成的过程时, 更多学生对三边关系的认识局限于两边之和大于第三边, 只有少部分学生关注到必须是较短两边大于第三边。为了让更多学生完善自己的认识, 教学时通过绿色边的两次缩短, 让学生想象三角形不断地变高、变瘦。再此基础上进一步让学生想象“绿色的边再变短、变短……那么会出现什么情况呢?”学生通过想象认为, 缩短到1厘米的时候三角形又围不成了。因为蓝色的那条边变成了最长的边, 红色、绿色两边的和等于蓝色的边了。学生自主地改变了比较的对象 (在绿边延长时是红色、蓝色边的和与绿色边比) , 深刻地领悟了“两边之和大于第三边”的两边必须是较短的两边, 课堂中更有一位学生感悟到了“任意两边之和大于第三边”。

四、动手操作, 验证推断

教师引语:同学们通过研究, 感悟到三角形中应该较短两边的和大于第三边。那么是不是所有三角形中的三条边都有这样的关系呢?老师觉得我们有必要再摆一摆、围一围来证明一下。

一部分学生脱口说一定, 小部分学生脱口说不一定。

师:老师为同桌两位同学准备了三根小棒, 请你围一围, 然后再量一量。

1.学生用教师准备的小棒围三角形。

2.学生测量验证。

教师小结:看来我们的推断是完全正确的, 在三角形中较短两边一定大于第三边。

片段分析:通过想象后的操作, 让结论从个别走向普遍。

在本堂课中借助一个三角形中一边不断变化的动态研究让学生充分想象, 感悟三角形三边的关系。但有一部分学生的思维还局限在刚才变化过程中的几个三角形中。课堂中教师的提问可以证实这部分同学的想法。当提出问题, “在改变三角形一条边的过程中得到了我们的推断, 三角形中较短两边的和大于第三边。那么这个推断在这些三角形中适用, 在其他的三角形中呢?”有学生马上说不一定。因此教学中为学生准备了不同长短的小棒, 让学生先围一围, 在操作的基础上再进行测量, 验证能围成的三角形是否都是较短两边之和大于第三边, 围不成的是否较短两边等于或小于第三边。通过操作, 和判断全部一致。这样的过程让学生的推测由个别走向普遍, 认识由局部变得完整, 同时也让学生在想象的基础上进行了亲手实践, 使操作充满了学生的期待。

《三角形的三边关系》教学设计 第14篇

【中图分类号】G 【文献标识码】A

【文章编号】0450-9889（2015）09A-

0069-02

在聋校数学课堂中，聋生由于听力障碍造成语境的缺失，因而理解能力和表达能力较差，数感的形成和发展也相对迟缓，直接影响了对数学知识的掌握与运用。同时，师生之间手语沟通的局限性也成为聋生学习数学知识的障碍，这是因为数学概念具有较强的抽象性、概括性，很难用手语表达清楚，加上有些教师的手语不规范，经常会用不同的手语表示同一个概念或用相近的手语来表示不同的概念，导致聋生思维混乱，为数学学习带来了困难。基于以上认识，我校开展了情境教学课题研究，通过有目的地引入或创设具有一定情绪色彩的、以形象为主体的生动具体的场景，切实加强书本知识与现实世界之间的联系，让聋生体会到数学抽象过程的细节，了解其内容，掌握其方法，理解其意义，从而激发他们学习数学的兴趣，培养他们解决实际问题的应用能力。

在数学教学过程中，我们针对聋生的生理特点，努力创设有效的认知情境，增加实践环节，并适时地开展合作学习，让聋生在直观、形象的情境活动中学得主动，学得自然，学得高效。

教学内容：苏教版数学四年级下册第七章第一节《三角形的三边关系》。

教学目标：

1.基础知识：让学生了解三角形三条边的关系，知道三角形任意两边之和大于第三边。

2.基本技能：让学生在由实物到图形的探究抽象过程中发展空间观念，锻炼思维能力。

3.基本思想：让学生丰富对现实空间及图形的认识，建立初步的空间观念，发展形象思维。

4.基础活动经验：让学生初步认识数学与人类生活的密切联系，体验数学活动充满着探索与创造。

学习重点：知道三角形中任意两边长度之和大于第三边。

学习难点：能根据三角形三条边的关系解决实际生活中的问题。

学具准备：

1.每组一套小棒、三角尺、钉子板、方格纸，每人一张活动单。

2.每组4根小棒，长度分别为8厘米（红色）、5厘米（绿色）、4厘米（黄色）、2厘米（黄色）。

教学过程：

活动一：情境导入，诱发探究欲望

1.用电子白板出示小明从家到学校的三条线路。

2.问题设计：小明快要迟到了，从小明家到学校有三条线路，你们猜猜小明走哪条路能最快到达学校？

3.先让学生自主思考，然后全班讨论交流。

4.提问：什么样的图形叫做三角形？（三条线段首尾相接围成的图形叫做三角形）

5.追问：如果任意给你3根小棒，你能不能围成一个三角形？（预设：大多数聋生凭直觉都会自信地说“可以”）学了今天这节课，我相信大家就能用数学语言来解释小明家到学校的最快路线，得出三角形三条边之间的关系。这就是我们今天要学习的内容——“三角形的三边关系”。（板书课题：三角形的三边关系）

设计意图：陶行知先生说过：“问题从生活中来。”从学生常见的生活问题入手，创设趣味性的学习情境，能有效地激发学生的学习兴趣，自然而然地拉开让学生猜想、探究、讨论的序幕，使学生积极主动地带着探究的心态投入课堂学习中。

活动二：动手操作，揭示三角形的三边关系

1.每组准备四根小棒，分别是8厘米（红色）、5厘米（绿色）、4厘米（黄色）、2厘米（黄色），请任意选三根小棒，尝试能否围成三角形，并完成以下表格的填写。

2.学生小组操作，独立完成表格填写工作。

3.学生交流操作结果（有的三根小棒能围成三角形，有的三根小棒不能围成三角形）。

4.交流：为什么有些三根小棒不能围成三角形？（学生交流：三根小棒，其中有两根太短了，所以不能首尾相连）

5.提示：从围成三角形的三根小棒中任意选出两根，将它们的长度和与第三根比较，结果怎样？（引导学生得出：大于第三边）让学生完成填空：三角形任意两边长度的和（ ）第三边。

6.师生小结并板书：三角形任意两边长度的和大于第三边。

设计意图：通过动手操作、小组合作、展示交流、发现归纳的过程，聋生在操作中体验，在体验中感悟，在感悟中发展，化动为静，学做合一。从感性认识上升到理性认识，从理性认识上升到形成数学思想，聋生亲身体会到了“做数学”的乐趣，有助于培养主动探究、主动交流、大胆质疑、大方展示的学习意识，以及发展动手操作能力和归纳推理能力。

活动三：拓展延伸，促进思维发展

拓展一：

1.过渡：同学们学得真棒，你们能在玩的过程中发现数学问题。现在你们能运用三角形三边关系的知识判断哪些能围成三角形吗？

2.课件出示：

（1）3、4、5 （2）4、4、4

（3）6、2、2 （4）3、5、3

3.让学生自主判断，并说出理由。

拓展二：

1.电子白板出示：从学校到少年宫有几条路线？走哪一条路最近？

2.学生讨论交流，教师小结。

课堂小结：同学们，现在你一定知道小明上学为什么选择中间这条路的原因了吧？（学生汇报交流，教师点评）

设计意图：通过两组拓展题引导学生从数学的角度，应用所学的“三角形任意两边长度的和大于第三边”知识去解决生活中的实际问题，从小明上学的路线探究开始，到小明上学的路线解决结束，学生经历了三角形三边关系的探究过程，这也是积累数学活动的过程和形成归纳推理思想的过程。

教学反思：三角形的三边关系是小学阶段图形与几何部分十分重要的基础知识之一。学好这部分内容，学生既可以积累平面图形的学习经验，又可以培养初步的观察、操作、比较、分析、归纳等能力，发展空间观念和抽象思维，为今后二维思维向三维思维的发展打下良好的基础。

聚焦一：课始情境驱动，让学生在质疑中激发学习需求

课的开始，教师以小明上学的三条线路为切入点，创设了一个质疑的现实情境——让学生独立思考、自主探究哪一条线路是最短的，从而产生迫切需要了解为什么的心态。然后，教师适时地引出“三角形的三边关系”的研究内容。接着，抛出“任意给你3根小棒，你能不能围成一个三角形？”这样一个新问题，使学生进入新的思考。

聚焦二：课中动手操作，让学生在情境中探究知识内涵

数学教学应是数学活动的教学。全国著名特级教师李吉林认为：“爱动”是每个儿童的天性。在生活与学习中，儿童总是喜欢亲眼看一看，亲手摸一摸，亲自试一试。“从四根小棒中，任意选择三根进行围三角形的操作”，这样的操作活动是以学生生活经验为基础，使学生在观察中积累感性知觉，在操作中建构空间观念，在归纳中深化思维发展。在教学中，教师根据“感知—表象—思维”的认知规律，让学生运用多种感官体验“做数学”的乐趣。

聚焦三：课后拓展延伸，让学生在实践中促进思维发展

数学只有回到现实生活中，才能显示价值和魅力；学生只有在实际生活中运用数学，才能真正显现学习水平。因此，设计了拓展应用的环节，就是检验学生所学，展示学生所用。这样，既深化了学生对于三角形三边关系的认识，又促进了学生归纳思想的形成。

2014年7月教育部组织专家审定《全日制聋校义务教育教学课程标准（送审稿）》指出：通过义务教育阶段数学学习，聋生能获得初步适应未来社会生活和继续学习所必需的数学基础知识、初步的数学思维方法和简单的应用技能。因此，我们要努力创设适合聋生的探究情境，让他们顺利从形象思维过渡到抽象思维，从直接经验到间接经验的融合，为今后的学习和生活打下坚实的基础。

注：本文为江苏省教育科学“十二五”规划普教重点自筹课题《情境教学法在聋校数学教学中的应用研究》阶段性研究成果。（课题编号：B-b/2013/02/403）