几何解析范文

几何解析范文（精选12篇）

几何解析 第1篇

关键词：解析几何,精品课程建设,“服务型”人才,教学策略

1 概述

高校人才培养模式改革的根本所在是课程建设特别是精品课程建设, 学校各种软硬件条件、各项规章制度的制定、各个办学环节主要依托的也是课程建设。解析几何作为高等数学的重要组成部分之一, 与分析、代数都有着密切的联系, 它的教学成果的好坏直接影响到数学分析等现行课程以及一些后继课程的教学。随着高等教育体系的日趋完善与发展, 数学作为一门基础学科, 它的课程建设有待于进一步发展和提高, 因此基于解析几何在数学领域的重要性, 我们必须对解析几何进行合理的课程定位, 完善解析几何的课程体系, 从而使解析几何以学生为载体真正融入到社会实践的各个角落。[1]

在以下部分将依托黑河学院, 具体对边境大学解析几何精品课建设的各个方面进行细致而深入的探讨。

2 科学定位是边境大学精品课程建设的基础

黑河学院于2004年升级为本科院校, 所以以前采用的教学模式与教学策略都是适合于专科学生的, 升级为本科院校后, 由于生源结构和水平都有了明显的改变和提高, 师资结构也发生变化, 因此在教学和课程建设中不能继续沿用以前的体制和模式, 必须要转换成适合本科院校特点的体制和模式, 因此升本以后学校建设与课程建设的过程中, 面临的困难很多。课程建设是学生培养途径中的重要环节, 高校应根据自己的实际情况制定适合自己发展的课程建设体系。

黑河学院升本后, 经过不断的努力与发展, 逐渐形成了自己的办学理念, 明确了以下几个方向, 即在办学定位上, 明确建设成为服务型大学;在人才培养模式上, 强调以培养学生实际应用能力为主, 从而达到服务社会的目的;在学科建设上, 注重适应经济发展和人才市场供求的需要;在师资队伍建设上, 努力构建一支全方位, 高素质的教师队伍;在办学模式上, 利用边境大学优势走国际化道路, 实行开放式办学和联合办学。鉴于以上我校的办学实际, 我们明确了自己的人才培养目标与规格, 之后才能有效地展开具有符合边境大学特色的课程建设。

3 黑河学院解析几何的教学现状

解析几何是黑河学院数学与应用数学系的基础课程之一, 因此, 近年来, 我校对于解析几何的课程建设投入很大, 并取得了一定成效。但由于其办学历史较短, 课程资源不足, 教学经验缺乏等原因, 在一定程度上存在的问题也很多, 主要表现在以下几个方面:师资不足、教学观念陈旧、教材选用不合理、教学方法不适当、现代化教育手段不能充分利用等。

4 解析几何精品课程建设的策略探究

立足于黑河学院的办学定位及人才培养模式, 结合数学与应用数学的专业特点, 总结以往经验, 针对我校解析几何课程建设中存在的诸多问题, 本部分提出了解析几何的精品课程建设中的一些改革措施和建议如下:

4.1 转变教学理念

自古以来观念决定行为, 观念陈旧是一切改革的障碍。由于地处边境, 与外界交流较少, 我校解析几何以前都采用传统的教学模式即教师在台上讲, 学生在台下听, 教学的目的就是传授书本知识。这种传统的教学模式已经无法适应我国高等教育迅速发展的形势和培养新世纪创新人才的需求。

近些年来, 高校的培养目标已由原来的精英教育向大众型、服务型转变。解析几何的教学理念也应从传统的培养学生的逻辑思维能力、空间想象能力、计算能力等数学思维和能力模式转变为适应当代中国社会发展和社会主义现代化建设需要的人才培养模式。

4.2 改革教学内容与课程体系

教学内容与课程体系的改革, 是教育改革的关键与核心, 也是教育改革的难点。因此, 我们必须积极的改革传统教学内容。教学内容的主要载体就是教材, 因此教材的选用是解析几何精品课程建设很重要的一个环节。针对现行解析几何教材存在的问题, 必须对教学内容及课程体系进行改革, 重新整合教材内容, 建立适合新形势下的课程体系。结合我校的实际情况, 提出我校的解析几何教材应涵盖以下几个方面思想和内容:

4.2.1 数学模型思想的渗透。

解析几何与生活密切相关, 因此我们经常遇到需要用解析几何来解决实际问题的情况, 所以在教材中, 我们应适当例举用数学模型解决实际问题的实例。

4.2.2 体现数学软件的应用。

数学软件应用能力的培养是解析几何教学环节中必不可少的一部分。因此在教材中我们应体现出一些MATLAB, Mathematic等数学软件的简单应用。

4.2.3 体现理论与实际的联系。如利用旋转抛物面来模型探照灯内的反射镜等。[2]

4.2.4 注重与其他数学分支的联系。

解析几何与高等代数紧密相关。几何为高等代数中许多概念和理论提供了几何背景或几何解释, 而高等代数为几何问题的解决提供了有效的方法。从几何的角度看, 代数与几何结合产生了代数几何;分析与几何结合产生了微分几何。而代数几何, 微分几何反过来为代数和分析提供了几何背景, 解释和研究课题, 促进它们的发展, 并使它们的应用更加广泛和深入。

4.3 改进教学的方式方法

在我校作为师范类的数学与应用数学专业的解析几何教学中教师通常负责一个固定的班级。教师可以使用的课时也非常有限, 因此以讲授为主的教学模式是切实可行的, 但是单一的讲授法不能实现师生之间的相互作用, 学生的积极性受到压抑, 学习中的问题不能及时反馈。在讲授法的教学中应采用启发式并辅以非讲授的教学手段, 如配备非讲授性质的习题课等。[3]

采用启发式的教学方法和配以多媒体的教学手段, 改革教学方法和手段与教学内容、课程体系的改革相辅相成, 互相促进。要改变教学策略, 以学生发展为本制定教学策略, 改变“灌输式”的教学方法, 采用“启发式”的教学方法。实现“启发式”教学, 教师应由知识的传授者转变为学生学习的指导者, 教学中应帮助学生发现信息、更新知识, 培养他们“会学”的能力。我们的学生是师范生, 所以, 我们“不仅教数学, 还要教怎样教数学”, 即要进一步培养学生“会教”的能力。

制作多媒体课件, 配合教材制作多媒体教学课件, 融图、文、声、像、动画于一体, 将几何图形生动形象地展现在教学屏幕上。[4]

结束语

目前, 我校解析几何的课程建设还处于初级阶段, 在不断的摸索与前进中, 逐步总结、完善程建设体系。提出的解析几何课程建设体现了完整性与现代性的结合, 理论性与实际性的接轨, 符合我校的办学实际, 切实我校“服务型”人才的培养模式。

参考文献

[1]乔建国.谈高师课程与教材的改革[J].数学教育学报2000.5

[2]黄廷祝, 傅英定, 成孝予.国家精品课程“线性代数与空间解析几何”的建设[J].大学数学, 2006, (2) .

[3]许清海.解析几何教学随感[J].泉州师专学报 (自然科学版) , 2000, (2) .

解析几何 第2篇

字号: 小 中 大 发布: 2009-04-08 23:10:20 查看(1129)/ 评分(6 / 0)/ 我要评论(3)个人分类: 心意小语

清华校长送给毕业生5句话——未来的世界：方向比努力重要，能力比知识重要，健康比成绩重要，生活比文凭重要，情商比智商重要！

方向比努力重要

现在是讲究绩效的时代，公司、企业、政府，需要的是有能力且能与企业方向共同发展的人，而不是一味努力但却南辕北辙的人。自己适合哪些行业，哪些职业，有很多东西是先天决定的，只有充分地发掘自己的潜力，而不是总与自己的弱点对抗，一个人才能出人头地，就像现在很多企业招聘的时候，他们相信通过培训和教育可以让火鸡学会爬树，但是还是觉得选只松鼠方便一些。方向不对，再努力、再辛苦，你也很难成为你想成为的那种人。

能力比知识重要

知识在一个人的构架里只是表象的东西，就相当于有些人可以在答卷上回答如何管理企业、如何解决棘手的问题、如何当好市长等等，但是在现实面前，他们却显得毫无头绪、不知所措，他们总是在问为什么会是这种情况，应该是哪种情况等等。他们的知识只是知识，而不能演化为能力，更不能通过能力来发掘他们的潜力。现在很多企业都在研究能力模型，从能力的角度来观察应聘者能否胜任岗位。当然，高能力不能和高绩效直接挂钩，能力的发挥也是在一定的机制、环境、工作内容与职责之内的，没有这些平台和环境，再高的能力也只能被尘封。

健康比成绩重要

成绩只能代表过去，这是很多人已经认同的一句话。对于毕业后走入工作岗位的毕业生，学生阶段的成绩将成为永久的奖状贴在墙上，进入一个工作单位，就预示着新的竞赛，新的起跑线。没有健康的身心，如何应对变幻莫测的市场环境和人生变革，如何应对工作压力和个人成就欲的矛盾？而且在现代社会，拥有强健的身体已经不是最重要的，健康的心理越来越被提上日程，处理复杂的人际关系、承受挫折与痛苦、缓解压力与抑郁，这些都将成为工薪族乃至学生们常常面对的问题。为了防止英年早逝、过劳死，还是多注意一下身体和心理的健康投资吧。

生活比文凭重要

曾经有一个故事，说有个记者问放羊的小孩，为什么放羊？答：为了挣钱，挣钱干啥？答：盖房子，盖房子干啥？答：娶媳妇，娶媳妇干啥？答:生孩子，生孩子干啥？答：放羊！

记得去年在人大听一个教授讲管理学基础课，他说你们虽然都是研究生，但很多人本质上还是农民！大家惊愕，窃窃私语。他说你们为什么读研究生，很多人是不是想找个好工作，找好工作为了什么，为了找个好老婆，吃喝住行都不错，然后生孩子，为了孩子的前途更光明，这些不就是农民的朴素想法吗？哪个农民父母不希望自己的子女比自己更好？说说你们很多人是不是农民思想，什么时候，你能突破这种思维模式，你就超脱了。当这个社会看重文凭的时候，假文凭就成为一种产业，即使是很有能力的人，也不得不弄个文凭，给自己脸上贴点金。比起生活，文凭还重要吗？很多人找女朋友或者男朋友，把学历当作指标之一，既希望对方能够给他/她伴侣的温暖与浪漫，又希望他/她知识丰富、学历相当或更高，在事业上能蒸蒸日上；我想说，你找的是伴侣，不是合作伙伴，更不是同事，生活就是生活，这个人适合你，即使你是博士他/她斗大字不识一个，那也无所谓，适合就会和谐融洽，人比文凭更重要。很多成功的人在回头的时候都说自己太关注工作和事业了，最遗憾的是没有好好陪陪父母、爱人、孩子，往往还伤心落泪，何必呢，早意识到这些，多给生活一些空间和时间就可以了。我们没有必要活得那么累。

情商比智商重要

这个就很有意思了。大家忽然一下子对情商重视了起来，因为在新的世纪，情商将成为成功领导中最重要的因素之一。比如在许多员工和自己的亲人因恐怖袭击丧生的时刻，某公司CEO Mark Loehr让自己镇定下来，把遭受痛苦的员工们召集到一起，说：我们今天不用上班，就在这里一起缅怀我们的亲人，并一一慰问他们和亲属。在那一个充满阴云的星期，他用自己的实际行动帮助了自己和他的员工，让他们承受了悲痛，并把悲痛转化为努力工作的热情，在许多企业经营亏损的情况下，他们公司的营业额却成倍上涨，这就是情商领导的力量，是融合了自我情绪控制、高度忍耐、高度人际责任感的艺术。曾经有个记者刁难一位企业家：听说您大学时某门课重考了很多次还没有通过。这位企业家平静地回答：我羡慕聪明的人，那些聪明的人可以成为科学家、工程师、律师等等，而我们这些愚笨的可怜虫只能管理他们。要成为卓越的成功者，不一定智商高才可以获得成功的机会，如果你情商高，懂得如何去发掘自己身边的资源，甚至利用有限的资源拓展新的天地，滚雪球似得积累自己的资源，那你也将走向卓越。在世界上出人头地的人，都能够主动寻找他们要的时势；若找不到，他们就自己创造出来！

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几何画板在解析几何中的应用点滴 第3篇

【关键词】解析几何 圆锥曲线 几何画板

在解析几何教学中，如何让学生理解椭圆、双曲线、抛物线的定义是难点，课本上给了椭圆、双曲线、抛物线的直观解释，还有圆锥曲线教学仪可以演示定义。笔者对几何画板“情有独钟”，利用几何画板的动画功能展示圆锥曲线的定义效果也很好。特别在进行圆锥曲线统一定义的教学时，如果通过建立方程、化简方程，再由方程特征确认曲线有些枯燥，学生兴趣很低，若能用几何画板的强大功能，通过改变“e”的大小来得到不同曲线，学生很容易理解，容易记住结论，也对离心率的变化对曲线形状的改变有了直观认识. 同时增强学生的学习兴趣.

以下是笔者利用几何画板展示三种圆锥曲线的统一定义的制作过程，同大家共享，欢迎改进.

1. 打开几何画板，作一条直线l和一个定点F.

2. 在l上取自由点A，过A作直线l的垂线AP，连结AF，取线段AF上的自由点B.

3. 过B作AP的垂線，垂足记为C.

4. 以B为圆心，BC为半径画圆. 度量BC，计算arccos（BC/BF）.

5. 以B为旋转中心，线段BF旋转“—arccos（BC/BF）”与圆B交于点D. 连结DF并延长与AP交于点M.

再以B为旋转中心，线段BF旋转“arc（BC/BF）”与圆B交于点E. 连结EF并延长与AP交于点N.

6. 隐藏辅助线和点. 依次选定A、M（或N），在构造菜单栏点“轨迹”.

根据上述做法，MB（或NB）为角AMF（或角ANF）的平分线，则BF/AB=MF/MA（或BF/BA=NF/NA）.

在屏幕上方显示MF/MA（NF/NA）的值.

移动点B，即可看到MF/MA的值随之改变.

当点B是线段AF中点时，显示点M的轨迹是抛物线；

当点B靠近点A一侧时，显示点M的轨迹是双曲线；

当点B靠近点F一侧时，显示点M的轨迹是椭圆.

教学中，教师和学生一起研究如何找动点M使得M到定点F的距离与点M到定直线l的距离的比值是定值（等于BF/BA），让学生参与制作过程增加兴趣. 完成后移动点B，让学生观察MF/MA的值，并观察点M的轨迹，让学生在“好玩”中理解圆锥曲线的统一定义，理解离心率e的几何意义. 本节教学笔者试验后学生兴趣浓厚，效果较好.

数学是比较抽象的学科，如何让学生增强学习数学的兴趣，一直是数学老师们思考的问题. 我们在在教学中多应用一些教学软件，让课堂变得生动些，灵活些，会增强学生的好奇心，提高学习兴趣. 《几何画板》、 《z+z智能平台》都是比较好的软件，功能强大，可以展示动画，或进行计算等，让学生直观地理解概念，分析问题等.

【参考文献】

[1]何敏藩，余剑华. 几何画板在解析几何教学中的创新应用[J]. 电脑知识与技术，2016，10：132-134.

[2]杨丽萍，张廷琦. 几何画板轨迹功能在解析几何探究性学习中的应用[J]. 中国教育技术装备，2009，04：96-97.

浅析解析几何综合题 第4篇

意识一用参数表示出圆或直线的方程, 转化为方程恒成立问题

例1 ( 2008 年江苏卷18 改编) 设平面直角坐标系x Oy中, 圆C的方程为x2+ y2+ 2x - ( b + 1) y + b =0. 问圆C是否经过某定点 ( 其坐标与b无关) ? 请证明你的结论.

解析: 考察了圆过定点, 我们用参数表示出圆的方程后转化为方程恒成立问题即可.

解: x2+ y2+ 2x - y + b ( y - 1) = 0

圆C必过定点 ( 0, 1) 和 ( - 2, 1) .

例2 (2009年江苏卷18) 在平面直角坐标系x Oy中, 已知圆C1: (x+3) 2+ (y-1) 2=4和圆C2: (x-4) 2+ (y-5) 2=4.设P为平面上的点, 满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2, 它们分别与圆C1和圆C2相交, 且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等, 试求所有满足条件的点P的坐标.

解析:此题载体依然是圆, 只不过圆的个数增加成两个, 但问题最终依然转化成方程恒成立问题.

解:设点P坐标为 (m, n) , 直线l1、l2的方程分别为:

因为直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等, 两圆半径相等.由垂径定理, 得:圆心C1到直线l1与C2到直线l2的距离相等.

故有:

化简得: (2-m-n) k=m-n-3或 (m-n+8) k=m+n-5.

关于k的方程恒成立, 有:

解之得:点P坐标为或.

意识二从特殊情况开始分析, 再进行检验 (特别适用于填空题)

例3 (2010年江苏卷18) 在平面直角坐标系x Oy中, 已知A、B为椭圆的左、右顶点, F为右焦点.设过点T (9, m) 的直线TA、TB分别与椭圆交于点M (x1, y1) 、N (x2, y2) , 其中m>0, y1>0, y2<0.求证:直线MN必过x轴上的一定点.

解析:用参数m表示出点M、N的坐标, 进而表示出直线MN的方程, 转换为方程恒成立问题.

证明:直线MTA方程为:, 即,

直线NTB方程为:, 即.

分别与椭圆联立方程组, 同时考虑到x1≠-3, x2≠3,

当x1≠x2时, 直线MN方程为:.

令y=0, 解得:x=1.此时必过点D (1, 0) ;

当x1=x2时, 直线MN方程为:x=1, 与x轴交点为D (1, 0) .

所以直线MN必过x轴上的一定点D ( 1, 0) .

解析: 如果此题从直线的特殊位置着手找出点D, 再验证它的普遍性, 将减少运算量.

方法2:若x1=x2, 则由及m>0, 得,

此时直线MN的方程为x = 1, 过点D ( 1, 0) .

若x1≠x2, 则, 直线MD的斜率, 直线ND的斜率, 得kMD=kND, 所以直线MN过D点.

因此, 直线MN必过x轴上的点 ( 1, 0) .

意识三回归基础计算, 根据条件列出表达式求出定值

例4 (2011年江苏卷18) 在平面直角坐标系x Oy中, 如图3, 椭圆的顶点分别是M、N, 直线过坐标原点且交椭圆于P、A两点, 点P在第一象限, 点C在x轴上, PC垂直于x轴, 线段AC的延长线交椭圆于点B, 设直线PA的斜率为k, 对任意k>0, 求证:PA⊥PB.

解析:用k表示出P、A、B三点的坐标, 根据条件列出表达式直接求出定值 (kPA·kPB=-1) .

证明: 将方程y = kx代入

则P (μ, μk) , A (-μ, -μk) , 于是C (μ, 0) , 故直线AB的斜率为, 其方程为

, 代入椭圆方程得 (2+k2) x2-2μk2x-μ2 (3k2+2) =0 (*) 解得或x=-μ, 因此.

于是直线PB的斜率.

因此k1k=-1, 所以PA⊥PB.

意识四转化为解一元二次方程问题, 巧用韦达定理

仔细分析以后我们发现, 处理好这些问题的根本在于处理好与之相关的点. 最常见的是直线和曲线的交点, 这类问题应将直线方程和曲线方程联立方程组, 消元之后解方程, 这个方程通常是一元二次方程, 要知道二次函数, 一元二次方程, 一元二次不等式是高中数学的重点内容, 我们应该认真对待. 有时方程中含有参数, 如果用求根公式, 方程的解表达形式会非常繁杂, 不利于解题, 就像上述例3 一样, 这时我们应发掘题目中的已知条件, 比如是不是已知方程组的一解要求另一解, 如果是, 我们消元之后用韦达定理可快速完成.例如, 上述例3 中求M, N两点的坐标应该将直线方程和椭圆方程联立方程组后消元, 再使用韦达定理, 因为方程的一个根即A, B两点的横坐标已知, 且此题韦达定理选更好, 例4 中 ( * ) 方程的解不需要直接解出, 因为方程的一个解已知 ( 即: 点A的横坐标) 所以亦可以使用韦达定理求出方程的另一解 ( 即: 点B的横坐标) . 2014 年江苏高考数学第17 题体现了这个意识的重要性.

意识五设点

遇到一些位置关系特殊的点 (关于坐标原点对称, 关于坐标轴对称等等) 可尝试设出点的坐标, 利用相互间的关系整体代换, 不必具体求出点的坐标.例如, 上述例4中可以设P (x1, y1) , B (x2, y2) , 则x1>0, x2>0, x1≠x2, A (-x1, -y1) , C (x1, 0) .因为A、B、C三点共线, 所以.

接下来或者用点差法, 或者将y21, y22分别用x21, x22表示, 整理即可得k1k=-1, 所以PA⊥PB.

意识六降维

此外如果点和线段长结合在一起, 我们联立方程组后应结合距离转换将二维问题向一维问题转换从而减少运算量, 提高解题速度, 我们来看例5.

例5 (2012年江苏卷19改编) 已知椭圆, A、B是椭圆上位于x轴上方的两点, F1、F2分别为椭圆的左右焦点, 且直线AF1与直线BF2平行, , 求直线AF1的斜率.

解法1: 设直线AF1的斜率为k,

则直线AF1的方程为y=k (x+1)

解析:解法1耐心地解出了点A、B的坐标, 虽然将方程组消元后是个含参数的一元二次方程, 但用求根公式化简整理后形式相当简洁美观, 解法2运用了椭圆的第二定义进行了距离转换, 将一个涉及横纵坐标的二维问题转换成了仅与横坐标相关的一维问题, 相对于解法1而言减少了计算A、B两点的纵坐标, 而解法3用了距离转换之后还使用了设而不求, 减少了运算过程.

上述三种方法应属解决这个问题的基本方法, 虽然结合直线的参数方程知识 (解法4) 解此题是最快的, 但不具备借鉴意义, 请同学们欣赏即可.

解法4:直线 (l为参数)

将直线参数方程代入椭圆方程化简整理得: (cos2θ+2sin2θ) ·l2-2cosθ·l-1=0.

设点A, B'对应的参数分别是l1, l2, 则AF1=l1, B'F1=-l2, 因为所以, 所以.

2015 年江苏高考数学第18 题体现了这个意识的重要性.

如图6, 在平面直角坐标系x Oy中, 已知椭圆 (a>b>0) 的离心率为, 且右焦点F到左准线l的距离为3.

(1) 求椭圆的标准方程;

(2) 过F的直线与椭圆交于A、B两点, 线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P、C若PC=2AB, 求直线AB的方程.

解析: 第二问中涉及两条线段长, 这两条线段长的处理均可采用降维的方法.

解: (1) 由题意得, c=1, 则b=1, 所以椭圆的标准方程为.

(2) 当AB⊥x轴时, , 又CP=3, 不合题意.

当AB斜率为0时, 线段AB的垂直平分线为y轴, 与左准线平行, 不合题意.

所以可设直线AB的方程为y=k (x-1) , A (x1, y1) , B (x2, y2) , C (x3, y3) , P (x4, y4) 将AB的方程代入椭圆方程, 得 (1+2k2) x2-4k2x+2k2-2=0,

整理后两边同时平方得: (1+3k2) 2=8k2 (1+k2) 2, 所以 (k2-1) 2=0, 解得k=±1.

所以直线AB的方程为y=x-1或y=-x+1.

“定点、定值”问题是解析几何中常见的考查形式, 本质上研究的是点的坐标和线段长问题的处理方法, 涉及到一元二次方程、两直线位置关系、直线和圆的位置关系、两圆位置关系、圆锥曲线等知识点.我们在教学过程中应首先让学生掌握好基本知识, 基本方法, 具备基本的运算能力, 不能一味地投机取巧.上述六个意识是在学生基础比较扎实的情况下引导学生自主探究得出的意识, 灵活运用这些意识可增强目标意识, 优化解题过程, 减少运算步骤, 提高运算正确率, 提升解题信心.

参考文献

解析几何教案(三) 第5篇

由于确定平面的几何条件不同，所以方程有许多不同的形式。1.由平面上一点与平面的方位矢量决定的平面方程

（1）决定平面的几何条件：过点M0与两个不共线矢量a，b平行。（2）导出方程：取标架{O；e1，e2，e3}，设r0=OM0。OM=r。

点M在平面上a，b，M0M共面。因为 a，b不平行，所以存在实数u，v使

M0M=ua+vb，又M0M=OMOM0=rr0，所以rr0=ua+vb，即（3.1-1）叫平面的矢量式参数方程，其中u，v为参数 r=r0+ua+vb，如果M0(x0,y0,z0)，M(x,y,z)，a{x1,y1,z1}，b{x2,y2,z2}则平面的坐标式参数xx0x1ux2v方程为yy0y1uy2vzzzuzv012(u,vR)

（3.1-2）

消去参数u，v，得(rr0,a,b)0

（3.1-3）

xx0或yy0y1y2zz0z1z20

（3.1-4）x1x2点位式方程

例：求过点(1,0,1)，方位矢量a{1,1,1}，b{2,0,1}的平面参数方程的点位式方程。

x1x1u2v解：yuz1uvx1y即：

(u,vR)

z110 11210例1 已知不共线三点M1(x1,y1,z1)，M2(x2,y2,z2)，M3(x3,y3,z3)，求通过M1,M2,M3的平面方程。

解：取平面的方位矢量aM1M2{x2x1,y2y1,z2z1}，bM1M3{x3x1,y3y1,z3z1} xx1(x2x1)u(x3x1)v平面的坐标式参数方程为yy1(y2y1)u(y3y1)vzz(zz)u(zz)v12131xx1消去参数u，v得x2x1(u,vR)

yy1y2y1y3y1zz1z2z10

（3.1-8）z3z1x3x1三点式方程

作为特例M1(a,0,0)，M2(0,b,0)，M3(0,0,c)abc0

xa三点式方程为：ayzab00 0c展开整理：bcxacyabzabc 由于abc0，所以上式可写成

xyz（3.1-9）abc（3.1-9）叫平面的截距式方程，a,b,c分别叫做在x,y,z轴上的截距。2平面的一般式方程

因为空间任一平面都可以用它上面的一点M0(x0,y0,z0)和它的方位矢量a{x1,y1,z1}，b{x2,y2,z2}确定，因而的方程可写成 xx0x1x2yy0y1y2zz0z1z20展开可写成（3.1-10）

y1AxByCzD0其中Ay2z1z1，Bz2z2x1x1，Cx2x2y1 y2因为a，b不共线，A,B,C不全为零，这表明空间任一平面可用x,y,z的一次方程来表示：反过来，可以证明关于x,y,z的一次方程（3.1-10）总表示一个平面。这是因为A,B,C不全为零，不失一般性，不妨设A0，那么（3.1-10）可以写成：

A2(xD)AByACz0 AxBCDAyA0z00 AD,0,0)，方位矢量为{B,A,0}和{C,0,A}的平面。因此，我们有定理 A定理3.11 空间中任一平面的方程都可表示成一个关于x,y,z的一次方程；反过来，每个关于x,y,z的一次方程都表示一个平面。这是过点(方程（3.1-10）叫做平面的一般式方程。一般式方程的特力：：AxByCzD0 1.D0平面过原点

2.A,B,C中有一个为零，比如C0，这时AxByD0

D0（0，0，z）不满足方程，无交点 与z轴平行

D0 过z轴

C0，平面过z轴或平行z轴

3.A,B,C有两个为零，BC0，这时AxD0

D0 与xoy平行

D0 x0

与xoy重合

例2 求过点M1(2,1,1)，M2(3,2,1)且平行于z轴的平面方程。解：设平行于z轴的平面方程为AxByD0（1）它过M1,M2两点，代入（1）得

2ABD0

（2）3A2BD0

（3）

111221由（2）（3）得 A:B:D::1:1:1

211332所以所求平面方程为xy10

AxByD0令：因为2ABD0

关于A,B,D有非零解

3A2BD0x所以2y1110

即：xy10

3213.平面的法式方程

（1）确定平面的几何条件：过定点M0且与非零矢量n垂直的平面唯一确定

法矢量：与平面垂直的非零矢量叫做平面的法矢量。

（2）导出方程：取直角坐标系{O;i,j,k}，设r0=OM0，r=OM点M在平面上

M0Mn

即：n(rr0)0（3.1-11）

矢量形式的点法式方程

用坐标表示： 设n{A,B,C}，r0(x0,y0,z0)，r(x,y,z)则A(xx0)xB(yy0)C(zz0)0（3.1-12）点法式方程

展开

记D(Ax0By0Cz0)则可写成 AxByCzD0

由此可见，在直角坐标系下，平面的一般式方程中一次项系数A,B,C由简明的几何意义：它们是平面的一个法矢量！

例3 已知两点M1(1,2,3)，M2(3,0,1)，求线段M1M2的垂直平分面的方程。解：因为M1M2{2,2,4}2{1,1,2}垂直于平面，所以平面的一个法矢量

n{1,1,2}，又平面过M1M2中点M0(2,1,1)，由点法式得(x2)(y1)2(z1)0

即xy2z10为所求平面的方程。（3）点法式方程的特殊情形：

平面上的点M0取自原点O向平面的射影P，而的法矢量n取单位矢量n，其方向：

0不过原点时n指向平面；当过原点时，n方向在垂直于的两个方向中任取一个。

设|OP|p，那么OPpn，由3.1-11，由点P和n决定的平面的方程为 0000n(rpn)0

即：nrp0

（3.1-13）矢量式法式方程

如果r(x,y,z)，n{cos,cos,cos} 那么由3.1-13得 0000xcosycoszcosp0

3.1-14 坐标式法式方程。特征：（1）一次项系数是单位法矢量的分量，平方和等于1。

（2）因为p是原点到平面的距离，则p0 4.化平面的一般方程为法式方程

AxByCzD0

（1）设n{A,B,C}，r{x,y,z}则上式可写为

nrD0与3.1-13比较可知，只要以1|n|1ABC222乘（1）就可得法式方程

AxABC222ByABC222CzABC222DABC2220

其中正负号选取一个，使他满足Dp0

即当D0时，与D异号，当D0时，符号任取一个。3.2 平面与点的相关位置

点M0(x0,y0,z0)

平面：AxByCzD0

在与不在两种 1.点到平面的距离 定义：（点到平面的离差）

如果自点M0向平面引垂线，垂足为Q，那么QM0在平面的单位法矢量n上的射影叫做点M0与平面间的离差，记作射影QM0

n00从定义可知

0|QM0|cos(n,QM0)

00QM0与n同向，0

QM0与n反向

0

|||QM0|

定理：点M0与平面：nrp0间离差nrp，其中r0OM0 证：OM0ONNQQM0 QM0rONNQ 0000射影QM0n0QM0n(rONNQ)nrnON0nrp

n00000000所以 nrp 00推论1 用坐标表示，点M0(x0,y0,z0)与平面：xcosycoszcosp0离差

x0cosy0cosz0cosp

推论2：点M0(x0,y0,z0)与平面：AxByCzD0间距离d|AxByCzD|ABC222 2.平面划分空间问题—————三元一次不等式的几何意义 三元一次方程：AxByCzD0表示平面

那么 AxByCzD0和AxByCzD0有什么几何意义呢？ 设M1(x1,y1,z1)，M2(x2,y2,z2)不在上两点，我们可以证明

若M1,M2在同侧，则(Ax1By1Cz1D)(Ax2By2Cz2D)0 若M1,M2在异侧，则(Ax1By1Cz1D)(Ax2By2Cz2D)0

这是因为，当M1,M2在同侧时，Q1M1与Q2M2同向，所以(M1)与(M2)同号，设是的法式因子，则

(M1)(M2)

11(Ax1By1Cz1D)1(Ax2By2Cz2D)

2(Ax1By1Cz1D)(Ax2By2Cz2D)0

所以(Ax1By1Cz1D)(Ax2By2Cz2D)0

同理：当M1,M2在异侧时(Ax1By1Cz1D)(Ax2By2Cz2D)0

因此，三元一次不等式的几何意义是：平面AxByCzD0将空间分成两部分，每一部分叫做半空间，可用不等式表示。

3.3 两平面的相关位置

1：A1xB1yC1zD10 2：A2xB2yC2zD20

1.位置关系：相交：有一条直线的公共点

平行：没有公共点

重合：两平面上点都是公共点

相交n1不平行n2 即A1:B1:C1A2:B2:C2

平行A1B1C1D1

A2B2C2D2A1B1C1D1

A2B2C2D重合2.两平面夹角 (n1,n2)或 (1,2)(n1,n2)cos(1,2)cosn1n2|n1||n2|

3.4 空间直线的方程

1.由直线上一点与直线的方向所决定的直线方程

（1）确定直线的几何条件：过定点M0与非零定方向v平行的直线被唯一确定。直线的方向矢量：与直线平行的非零矢量v叫做直线的方向矢量。（2）导出方程：取标架{O;e1,e2,e3}，设r0OM0，rOM 点M在直线l上M0M∥v存在实数t，使M0M=tv 又M0MOMOM0rr0

所以rr0tv

即：rr0tv

（3.4-1）直线的矢量式参数方程。用坐标表示上式得，设M0(x0,y0,z0)，v{x,y,z}

xx0xtyy0ytzzzt0消去参数(tR)（3.4-2）坐标式参数方程

xx0yy0zz0

（3.4-3）xyz直线l的标准方程，也称对称式方程。

2.直线的一般方程。

因为空间直线l总可以看作过l的两个不同平面1与2的交线，设1：A1xB1yC1zD10

2：A2xB2yC2zD20

A1xB1yC1zD10则(A1:B1:C1A2:B2:C2)叫做直线l的一般式方程。A2xB2yC2zD203.直线的一般方程与标准方程互化。（1）标准方程xx0yy0zz0是一般方程的特例。xyzxx0zz0xazczx当xyz0时，上式即为

即：

yyzzybzd00zyxx0yy0y 当x,y,z有一个为零，不妨设z0，xy0，则有xzz00当x,y,z有两个为零，不妨设yz0，则有

xx0yy0zz0，根据约定，这时x00yy00，因此，标准方程总可变形为一般方程。zz00（2）一般方程A1xB1yC1zD10A2xB2yC2zD20

（2）总可化成标准方程。

xazcyaxcxayc或或

（3）ybzdzbxdzbyd因为A1:B1:C1A2:B2:C2

即n1n20

B1所以B2C1C1，C2C2A1A1，A2A2B1A1不全为零，不妨设B2A2

由克莱姆法则

B10 B2则（2）化为A1xB1y(C1zD1)A2xB2y(C2zD2)B1B2A1A2(C1zD1)B1B1C1(C2zD2)B2BC2x2zA1B1A1B1A2B2A2B2C1C同理y2A1A2A1A2zB1B2D1D2A1A2A1A2 B1B2D1D2 B1B2B1C1BC2令2a.A1B1A2B2xazc则有

ybzd同理，若B1B2A1A2D1D2c，B1B2C1C2A1A2A1A2b,B1B2D1D2A1A2A1A2d B1B2B1B2C1C2C1yaxc0，将有

C2zbxdA1xayc0，将有 A2zbyd方程（3）叫做直线l的射影式方程。

xatc在（3）中，令zt，则有ybtd

参数方程

ztxcydz

标准方程 ab1一般式 先化成射影式再化成参数式再化成标准方程。4.直线的方向数、方向角、方向余弦

直线l的方向矢量的方向角,,与方向余弦叫做直线l的方向角与方向余弦。

直线l的方向矢量的分量X,Y,Z或与它成比例的一组数l,m,n(l:m:nX:Y:Z)叫做直线l的方向数。

设l,m,n为l的一组方向数，则取v{l,m,n}

cos/llmn222,cosmlmn222,cosnlmn222 又vv{l,m,n} 所以

cosllmn222,cosmlmn222,cosnlmn222 这说明直线的方向角与方向余弦各有两组。3.5直线与平面的相关位置

1.直线与平面相关位置有三种。相交：有且只有一个公共点。平行：无公共点

直线在平面内：直线上的点都是公共点 直线l：xx0yy0zz0（1）XYZ平面：AxByCzD0（2）

为了研究直线与平面的交点，将（1）改为参数方程。

xx0Xtyy0Yt

（3）代入（2）整理得 zzZt0(AxByCz)tAx0By0Cz0D0（4）

当且仅当AxByCz0时，（4）有唯一解。t这时直线与平面有唯一公共点。

当且仅当AxByCz0,Ax0By0Cz0D0时，方程（4）无解，直线与平面无公共点。

当且仅当AxByCz0,Ax0By0Cz0D0时，方程（4）有无数个解。这时直线与平面有无数多个交点，即直线在平面内。

2.直线与平面的交角。

（1）定义：当直线与平面不垂直时，直线与平面间的角是指着直线和它在平面内射影所构成的锐角。当直线与平面垂直时，交角规定为直角。

（2）导出交角公式：当直线与平面不垂直，设直线与平面内射影交角为

3.6 空间两直线的相关位置 1.空间两直线的相关位置 位置关系：（1）异面（2）共面

Ax0By0Cz0D

AxByCzL1：xx1yy1zz

1（1）X1Y1Z1xx2yy2zz

2（2）X2Y2Z2L2：L1与L2共面M1M2，v1，v2共面 L1与L2异面M1M2，v1，v2异面

2.空间两直线的夹角

就是它们方向矢量的夹角，即(l1,l2)(v1,v2)或(l1,l2)(v1,v2)

l1l2v1v2X1X2YY12Z1Z20

3.异面直线间的距离与公垂线方程。

空间两直线上点之间的最短距离叫做这两条直线之间的距离。相交线、重合线——————距离为零平行线————点到直线的距离 异面直线间距离————

异面直线的公垂线：与两条异面直线都垂直相交的直线。

设两异面直线l1与l2，公垂线为l0，垂足分别为N1,N2，设P1,P2分别为l1与l2上任意点，则P12||PP12||cos(l0,PP1)||PP12| 1,P2在l0上射影为N1,N2，|N1N2||射影l0PP这说明异面直线上任意两点间距离公垂线最短。

d|N1N2||射影l0M1M2||射影x2x1X1X2Y1Y2Z1Z22v1v2M1M2||(v1v2)M1M2||v1v2||(M1M2,v1,v2)||v1v2|

y2y1Y1Y2Z1Z2X1X22z2z1Z1Z2X1Y12

X2Y2公垂线方程

设公垂线l0，方向矢量v0v1v2，那么l0可以看作过直线l1平行于v0的平面1与过直线l2且平行于v0的平面2的交线。xx1X1X因此公垂线方程为xx2X2Xyy1Y1Yyy2Y2Yzz1Z10Zzz2Z20Z

其中v0v1v2{X,Y,Z}{Y1Y2Z1Z1,Z2Z2X1X2X2Y2,X1Y1}

3.7空间直线与点的相关位置。

点与直线位置关系：点在直线上与点不在直线上两种： 点到直线的距离 直线L：xx1yy1zz1

点M0(x0,y0,z0)XYZ设M1(x1,y1,z1)，v{X,Y,Z}，M1M0{x0x1,y0y1,z0z1} d|M1M0v||v|y0y1Yz0z1z0z1ZZ22x0x1x0x1XX222y0y1Y2XYZ 3.8平面束 定义：空间中通过同一条直线的所有平面的集合叫做有轴平面束。那条直线叫做平面束的轴。

解析几何核心完美突破 第6篇

重要考点分布规律为：（1）圆、椭圆、双曲线和抛物线的定义、标准方程与图形的几何性质常常出现在客观题和主观题的第一小题，属于低、中档题；（2）与直线和圆锥曲线的位置关系相关的问题（如弦长、三角形面积、夹角等数量关系等）常常出现在主观题中的第二小题，属于难题由于考查重点和难点聚焦在最值、定点定值、探究存在性这些热点问题上，所以同学们的复习备考也是有章可循的。

考点1：直线和圆

名师圈点

在求过某点A（m，n）的圆的切线方程时，应先判断点与圆的位置关系，若点在圆上，切线有且只有一条；若点在圆外，切线必有两条，此时如果仅求得一条。则漏了斜率不存在的情况，即x=m，应补上。

考点2：圆锥曲线的定义、标准方程与图形的几何性质

命题点

（1）圆、椭圆、双曲线和抛物线的定义、标准方程与图形的几何性质；

（2）离心率的计算方法；

（3）焦半径的范围；

（4）轨迹方程的求法.

名师圈点

焦点三角形PFlF2中，常常想到圆锥曲线的定义，从而通过己一知建立a，b，c的关系以便解出离心率。

名师圈点

如果所给几何条件能够确定动点轨迹符合椭圆、双曲线、抛物线。圆等曲线的定义，则？可直接利用，曲线定义写出方程.这种方法称为定义法（条件中常含有两对称的定点。一定点和一定直线、线段的中垂线、两圆相切等几何条件）。

考点3：圆锥曲线中的最值问题

（1）求数量积的最值；

（2）求线段长度的最值； （3）求三角形面积的最值.常常要注意字母隐含的范围（如直线与圆锥曲线相交时，△>0；图形上的点的坐标的约束范围等）

考点4：圆锥曲线中的存在性问题

（1）探究符合某条件的点的存在性；

（2）探究符合某条件的直线的存在性；

（3）探究符合某条件的图形的存在性.

名师圈点

解决存在性问题的方法为：先假设存在，由已知或假设等推出矛盾则不存在；找到了存在的对象且没有推出矛盾.则由推理论证可知存在。

考点5：圆锥曲线中的定点定值问题

（1）探究某图形过定点；

（2）探究某代数式为定值.

名师圈点

证明或探究定值问题，常常设出相关点的坐标或相关直线的方程，结合几何图形通过代数运算化简消参得定值。

整体处理,简化解析几何计算 第7篇

一、利用圆锥曲线定义, 整体处理

例1已知:椭圆, F1、F2为焦点, 点P为椭圆上一点, , 求S△F1PF2.

解:注意到点P为椭圆上一点, 根据椭圆的定义, 有|PF1|+|PF2|=10, 设|PF1|=r1, |PF2|=r2.

(1) 2- (2) 得, r1r2=12

所以

二、利用动点在特定曲线上, 消去中间参数, 整体处理

例2已知双曲线的左、右顶点分别为A1, A2, 点P (x1, y1) , Q (x1, -y1) 是双曲线上不同的两个动点.求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程.

三、利用设而不求, 整体处理

例3求过椭圆x2+4y2=16内一点A (1, 1) 的弦PQ的中点M的轨迹方程.

解:设动弦PQ的方程为y-1=k (x-1) , 设P (x1, y1) , Q (x2, y2) , M (x0, y0) , 则:

(1) - (2) 得, (x1+x2) (x1-x2) -4 (y1+y2) (y1-y2) =0.

(3) 式与y0-1=k (x0-1) 联立消去k得

当x1=x2时, k不存在, 此时, x0=1, y0=0, 也满足 (4) .

故弦PQ的中点M的轨迹方程为:x2+4y2-x-4y=0.

四、利用根与系数的关系, 整体处理

例4直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1相交于点A, B且OA⊥OB, O为坐标原点.求:实数a的值.

解:设A (x1, x2) , B (x2, y2) , 由OA⊥OB得:

由根与系数的关系得:代入 (1) 式求得a=±1.

将a=±1代入方程 (2) 均有Δ>0, 合题意.

即a=±1为所求.

五、构造方程, 整体处理

例5已知直线y=kx+4, 交椭圆于A、B两点, O为坐标原点, 若直线OA、OB斜率之和kOA+kOB=2, 求实数k的值.

解:设A (x1, y1) , B (x2, y2) , 则

由y=kx+4, 得, 将其代入得:

整理得:

由题意知:是上述方程的根, 则:

所以, k=-15为所求.

六、借助有关动态问题中的不变量, 整体处理

例6已知AC、BD为圆O:x2+y2=4的两条相互垂直的弦, 垂足为, 求四边形ABCD的面积的最大值.

解:设圆心O到AC、BD的距离分别为d1、d2注意到d21+d22=OM2=3为定值, 则四边形ABCD的面积

七、通过先化简再代入, 整体处理

例7已知椭圆C过点, 两个焦点为 (-1, 0) , (1, 0) .

(1) 求椭圆C的方程;

(2) E, F是椭圆C上的两个动点, 如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数, 证明直线EF的斜率为定值, 并求出这个定值.

(2) 设直线AE方程为:得

设E (xE, yE) , F (xF, yF) , 因为点A (1, 3/2) 在椭圆上, 所以

又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数, 在上式中以-k代k, 可得

所以直线EF的斜率

八、通过巧设点的坐标, 整体处理

例8过椭圆内一点M (2, 1) 引弦, 被M平分, 求弦所在直线的方程.

解:记弦的两端分别为A、B, 设点A (x, y) , 则B的坐标为 (4-x, 2-y) .

由A、B在椭圆上, 得:

解析几何中的“动与静” 第8篇

一、动中有静, 借形辅数, 水到渠成

① 以不等式为背景的问题1:椭圆, F1, F2分别为椭圆的两个焦点, 椭圆的半焦距为c, 椭圆上存在一点M, 满足MF1⊥MF2求离心率e的范围.

分析 求离心率e的范围实质就是构建a, b, c不等式.

解 在椭圆上存在点M使∠F1MF2=90°即以点为原点, OM=c为半径的⊙O与椭圆相交, 而椭圆方程中a、b、c都是动态的, 我们可锁定a、b, 即椭圆不动, 使得⊙O与椭圆相交, 只要⊙O足够大, 即c2≥b2即2c2≥a2.

即, 得解.

反思 本题在解题过程中, 第一要明确目标;第二要选准动静双方.如果前期工作做好了, 运用动静的关系, 解题就即方便, 又准确.

二、静中有动, 参变互换, 一蹴而就

② 以直线为背景的问题3: (2009 年普通高等学校招生全国统一考试 (江西卷) ) 设直线系M:xcom θ + (y - 2) sin θ =1 (0 ≤ θ ≤ 2π) , 对于下列四个命题:

A. M中所有直线均经过一个定点

B. 存在定点P不在M中的任一条直线上

C. 对于任意整数n (n ≥ 3) , 存在正n边形, 其所有边均在M中的直线上

D. M中的直线所能围成的正三角形面积都相等

其中真命题的代号是________ (写出所有真命题的代号) .

分析 如果我们把xcomθ+ (y-2) sinθ=1式子中x, y变成相对静止的参数θ而把参数θ看成变量, 就会联想到公式:

上的点M (x, y) 都在以 (0, 2) 为圆心, 1 为半径的圆上或者圆外, 如图所示;

显然, A错误, 又因为 (0, 2) 点不存在任何直线上, 所以B正确.

又因为x cosθ+ (y-2) sinθ=1所以点P (0, 2) 到M中每条直线的距离即M为圆C:x2+ (y-2) 2=1:的全体切线组成的集合, 对任意n≥3, 存在正n边形使其内切圆为圆C, 故C正确.

直线系M中边能组成两个大小不同的正三角形, 如图△ABC和△AEF, 故D错误.所以故命题中正确的序号是:B、C.

反思 本题的解题关键在于知道动态的直线系M为圆C:x2+ (y - 2) 2= 1 的全体切线组成的, 在坐标平面中形成了一个静态的空洞, 理解静态的空洞内的点和空洞外的点分别和直线系的关系就可以了, 此解法独特, 用好“动与静”的关系, 解题效果颇佳.

三、动静互换, 巧构坐标系, 出奇制胜

③ 以曲线为背景例题4:已知椭圆的长轴长为10, 短轴为6, 在第一象限内保持与两坐标轴相切地运动, 求椭圆的中心的轨迹.

分析 变换一下动与静的双方, 即坐标系动起来, 而把椭圆静止一下, 研究椭圆的两条互相垂直的切线的交点的性质, 就会把看上去困难的问题解决.

解 由已知可以设椭圆方程为

设两切点为A (x1, y1) , B (x2, y2) , 则两切线方程分别为又设两切线的交点P (x0, y0) .

可以化简得x02+ y02= 25 + 9 = 34.

这就是说点P到椭圆中心距离为, 故所求轨迹方程为x2+ y2= 34, 并且x∈[3, 5].轨迹图形是一段圆弧.

以“动———静———再动———再静———再动—”, 不断地使创新思维向更高的水平发展.在思维过程中, 如果动不以静为目标, 思维就不会获得成功;静不以动为先导, 也不会有创新.因此, 动, 静思维也是一种重要的思维形式.

解析几何综合题求解思维视角 第9篇

解析几何综合题是高考数学试题的必考内容之一, 一般一卷一题, 难度不同位置也不同, 时常出现在最后一题压轴题位置, 是学生惧怕的题型之一.其内容主要涉及:直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线、二次函数、平面几何知识等, 形式上涉及求点轨迹、最值 (范围) 、定点、点线是否存在、某种关系是否成立等等, 近年又多与向量、导数、数列、不等式交汇, 因此其综合性强, 求解运算过程繁琐, 解法也比较灵活, 还蕴含丰富数学思想, 如方程思想、函数思想、数形结合、转化思想, 有时还要同平几知识相结合.解决此类题要求学生有扎实基础知识、基本技能, 有较强的认识问题、分析问题、把握问题、解决问题能力.其求解难度虽然大, 但就常见题而言, 还是有学生能够把握的一般思维角度, 本文选取部分2009年高考试题加以分析, 提取常见思考方法, 常见思维模块, 常规解题技巧, 常涉及数学思想, 从而形成有效的分析、切入、解决问题视角, 以便于学生理解、掌握、迁移、运用, 以期对大家有所启发.

1 联立直线与二次曲线方程, 结合韦达定理, 是通行之路

直线与圆锥曲线位置关系是解析几何类综合题的重点题, 也是主要题型.当涉及直线与圆锥曲线相交时, 因其交点既在直线上, 又在圆锥曲线上, 故其横、纵坐标既满足直线方程, 又满足圆锥曲线方程, 因此是直线方程与圆锥曲线方程联立一元二次方程的解, 这就沟通了形与数的关系, 再通过韦达定理, 沟通两交点坐标之间的联系, 直线、圆锥曲线、交点坐标、方程联系到一起, 为顺利解决问题理顺关系, 做好铺垫, 成为解决此类问题的通行之路.

例1 已知椭圆$\frac{x{}^2}{a{}^2}+\frac{y{}^2}{b{}^2}=1(a＞b＞0)$的左、右焦点分别为F1, F2, 离心率$e=\frac{\sqrt{2}}{2}$, 右准线方程为x=2.

(Ⅰ) 求椭圆的标准方程;

(Ⅱ) 过点F1的直线l与该椭圆相交于M, N两点, 且$|\stackrel{}{F{}_2{\rm M}}+\stackrel{}{F{}_2{\rm N}}|=\frac{2\sqrt{26}}{3}$, 求直线l的方程.

解析1 (Ⅰ) 易求得椭圆方程为

$\frac{x{}^2}{2}+y{}^2=1.$

(Ⅱ) 要求直线l的方程, 由于已知其过焦点F1, 故只需求出斜率即可, 设直线l的方程为x=ky-1, 交点M (x1, y1) , N ( x2, y2) , 此时可以化$|\stackrel{}{F{}_2{\rm M}}+\stackrel{}{F{}_2{\rm N}}|=\frac{2\sqrt{26}}{3}$模形式为坐标形式, 涉及到x1+x2, y1+y2, 自然想到联立直线方程与椭圆方程, 再结合根与系数关系进行转化, 这就建立了关于k的方程, 解之即可.

联立方程得

$\begin{array}{l}(1+k{}^2)y{}^2-2ky-1=0‚\\ y{}_1+y{}_2=\frac{2k}{2+k{}^2}.\\ \stackrel{}{F{}_2{\rm M}}+\stackrel{}{F{}_2{\rm N}}\\ =(x{}_1-1‚y{}_1)+(x{}_2-1‚y{}_2)\\ =(x{}_1+x{}_2-2‚y{}_1+y{}_2)‚\\ \sqrt{(x{}_1+x{}_2-2){}^2+(y{}_1+y{}_2){}^2}=\frac{2\sqrt{26}}{3}.\end{array}$

又 x1+x2=ky1-1+ky2-1=k (y1+y2) -2,

$\begin{array}{l}\text{故}\left(k\cdot \frac{2k}{2+k{}^2}-4\right){}^2+\left(\frac{2k}{2+k{}^2}\right){}^2\\ =\frac{426}{9}‚\end{array}$

解之得k=±1, 所以, 所求直线l方程为

x+y+1=0, x-y+1=0.

解析2 若将$|\stackrel{}{F{}_2{\rm M}}+\stackrel{}{F{}_2{\rm N}}|=\frac{2\sqrt{26}}{3}$转化为$\left|\frac{\stackrel{}{F{}_2{\rm M}}+\stackrel{}{F{}_2{\rm N}}}{2}\right|=\frac{\sqrt{26}}{3}$, 联想三角形中线向量形式, 故只需求出线段MN的中点坐标, 此时亦可用“点差法”解决, 关键是抓住中点坐标在直线上, 满足直线方程, 也可以用椭圆方程“作差”表示出来, 这是中点坐标的“双重”身份, 进一步建立关于k的方程.

设M (x1, y1) , N (x2, y2) , 直线l的斜率为k, MN的中点P (x0, y0) , 则

$\frac{x{}_1^2}{2}+y{}_1^2=1‚\frac{x{}_2^2}{2}+y{}_2^2=1.$

两式相减得

$\frac{(x{}_1-x{}_2)(x{}_1+x{}_2)}{2}+(y{}_1-y{}_2)(y{}_1+y{}_2)=0‚$

即$\frac{x{}_0}{2}+ky{}_0=0$, 联立y0=k (x0+1) , 解之得

$y{}_0=\frac{k}{1+2k{}^2}‚x{}_0=\frac{-2k{}^2}{1+2k{}^2}.$

又$|\stackrel{}{F{}_2{\rm M}}+\stackrel{}{F{}_2{\rm N}}|=\frac{2\sqrt{26}}{3}$, 即

$\left|\frac{\stackrel{}{F{}_2{\rm M}}+\stackrel{}{F{}_2{\rm N}}}{2}\right|=\frac{\sqrt{26}}{3}$,

$\begin{array}{l}\text{故}(x{}_0-1){}^2+y{}_0^2=\frac{26}{9}‚\\ \left(\frac{k}{1+2k{}^2}-1\right){}^2+\left(\frac{-2k{}^2}{1+2k{}^2}\right)=\frac{26}{9}‚\end{array}$

解得k=±1, 直线l方程为

x+y+1=0, x-y+1=0.

评析 明确求解目标, 建立关于“k”的方程是解决此题的思维核心, 认识到这一点, 无论是用韦达定理, 还是通过点差法, 都是常用解决的手段, 虽途径不同, 但本质一样.善于从“方程”角度思考问题, 是解题成功的关键.当题中涉及到交点线段的中点时, 既可以用韦达定理去转化, 也可以用点差法去求, 一般点差法相对简单一点.当直线可能含有斜率不存在情况时, 改变直线方程设问形式设为x=ky+b形是常用的处理方法.

2 理顺条件间相互制约关系, 设点 (量) 以静制动, 是成功之路

世界上的万事万物都是有联系的, 相互关联的.一个几何问题必涉及点与点、点与线、线与线之间关系, 且都是有联系的, 甚至是相互制约的.分析问题中深入理解各量之间关系, 提高对问题本质的认识, 抓住关键点 (量) , 即引起各点 (量) 变化的点 (量) , 理顺关系, 建立联系, 以静制动, 问题即可轻松获解, 是解决问题成功之路.

例2 已知以原点O为中心的椭圆的一条准线方程为$y=\frac{4\sqrt{3}}{3}$, 离心率$e=\frac{\sqrt{3}}{2}‚{\rm M}$是椭圆上的动点.

(Ⅰ) 若C, D的坐标分别是$(0‚-\sqrt{3})‚(0‚\sqrt{3})$, 求|MC||MD|的最大值.

(Ⅱ) 如图1, 点A的坐标为 (1, 0) , B是圆x2+y2=1上的点, N是点M在x轴上的射影, 点Q满足条件:$\stackrel{}{{\rm O}Q}=\stackrel{}{{\rm O}{\rm M}}+\stackrel{}{{\rm O}{\rm N}}‚\stackrel{}{QA}\cdot \stackrel{}{BA}=0$.求线段QB的中点P的轨迹方程.

解析 (Ⅰ) 易求椭圆方程为$x{}^2+\frac{y{}^2}{4}=1.$

而C, D两点恰是椭圆的两焦点, 又根据定义知|MC|+|MD|=4, 和为定值求积最大值, 基本不等式是首选, 从而

$\begin{array}{l}|{\rm M}C|\cdot |{\rm M}D|\left(\frac{|{\rm M}C|+|{\rm M}D|}{2}\right){}^2\\ =2{}^2=4‚\end{array}$

当且仅当|MC|=|MD|, 即点M的坐标为 (±1, 0) 时上式取等号, |MC||MD|的最大值为4.

(Ⅱ) 线段QB是中点P的变化当然是与Q, B两点变化相联系的, 根据$\stackrel{}{{\rm O}Q}=\stackrel{}{{\rm O}{\rm M}}+\stackrel{}{{\rm O}{\rm N}}‚Q$点与M点直接相关, 根据$\stackrel{}{QA}\cdot \stackrel{}{BA}=0‚B$点与Q点直接相关, 这样点M成为制约点P的关键点, 因此设出点M的坐标即可, 但由于B点坐标“不好”求, 故采取同时设出M, B两点坐标, 再用已知条件关系, 消去M, B两点坐标参数即可.

设M (xM, yM) , B (xB, yB) , Q (xQ, yQ) , 则${\rm N}(x{}_{{\rm M}}‚0)‚x{}_{{\rm M}}^2+\frac{y{}_{{\rm M}}^2}{4}=1.$

因为$\stackrel{}{{\rm O}{\rm M}}+\stackrel{}{{\rm O}{\rm N}}=\stackrel{}{{\rm O}Q}$, 故

xQ=2xM, yQ=yM,

x${}_Q^2$+y${}_Q^2$= (2xM) 2+y${}_{{\rm M}}^2$=4. (1)

又$\stackrel{}{QA}\cdot \stackrel{}{BA}=0$, 即

(1-xQ-yQ) (1-xB-yB)

= (1-xQ) (1-xB) +yQyB=0,

故 xQxB+yQyB=xB+xQ-1. (2)

记P点的坐标为 (xP, yP) , 因为P是BQ的中点, 所以

2xP=xQ+xB, 2yP=yQ+yB.

又x${}_B^2$+y${}_B^2$=1, 结合 (1) , (2) 整体思维得

$\begin{array}{l}x{}_{{\rm P}}^2+y{}_{{\rm P}}^2=\frac{1}{4}((x{}_Q+x{}_B){}^2+(y{}_Q+y{}_B){}^2)\\ =\frac{1}{4}(x{}_Q^2+x{}_B^2+y{}_Q^2+y{}_B^2\\ +2(x{}_{Q}x{}_B+y{}_{Q}y{}_B))\\ =\frac{1}{4}(5+2(x{}_Q+x{}_B-1))\\ =\frac{3}{4}+x{}_{{\rm P}}.\end{array}$

故动点P的轨迹方程为

$\left(x-\frac{1}{2}\right){}^2+y{}^2=1.$

评析 从点P出发, 深入分析, 顺藤摸瓜, 找出相关点M, B, 寻找点M, Q, B, P之间内在制约关系, 通过条件建立联系, 抓住矛盾的主要方面, 集中焦点, 有的放矢, 转移变量, 以不变应万变, 是解决问题的成功关键.当然, 由于参量较多, 故采取整体消元, 这也是处理轨迹问题中常用的方法.

3 挖掘题目中隐含条件联系, 注意处理技巧, 是简捷之路

对于几何问题同样要注意挖掘题目中隐含条件之间的联系, 包括解题过程中隐含的隐性思维方法, 有些是认识上的, 注意处理技巧, 灵活运用, 可以大大简化解题思维过程.

例3 已知椭圆C经过点$A\left(1‚\frac{3}{2}\right)$, 两个焦点为 (-1, 0) , (1, 0) .

(Ⅰ) 求椭圆C的方程;

(Ⅱ) E, F是椭圆C上的两个动点, 如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数, 证明直线EF的斜率为定值, 并求出这个定值.

解析 (Ⅰ) 易求椭圆方程为$\frac{x{}^2}{4}+\frac{y{}^2}{3}=1.$

(Ⅱ) 由于A点是定点, 直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数, 故若直线AE的斜率确定, 则直线AF的斜率也随之确定, 因此设出直线AE的方程, 借助直线方程与椭圆方程即可求得E点坐标, 进而可得F点的坐标, 故直线EF的斜率可求.

设直线AE的方程为$y-\frac{3}{2}=k(x-1)$, 代入椭圆方程整理得

$\begin{array}{l}(3+4k{}^2)x{}^2+4k(3-2k)x\\ +4\left(\frac{3}{2}-k\right)-12=0.(3)\end{array}$

又$A\left(1‚\frac{3}{2}\right)$在椭圆上, 所以x=1是方程 (3) 的解, 有

$1x{}_E=\frac{4\left(\frac{3}{2}-k\right)-12}{3+4k{}^2}$,

$\begin{array}{l}\text{即}x{}_E=\frac{4\left(\frac{3}{2}-k\right)-12}{3+4k{}^2}‚\\ y{}_E=kx{}_E+\frac{3}{2}-k.\end{array}$

因为直线AF的斜率与直线AE的斜率互为相反数, 故用-k代上式中的k即有

$\begin{array}{l}x{}_F=\frac{4\left(\frac{3}{2}+k\right)-12}{3+4k{}^2}‚\\ y{}_F=-kx{}_F+\frac{3}{2}+k.\\ k{}_{EF}=\frac{y{}_F-y{}_E}{x{}_F-x{}_E}=\frac{1}{2}.\end{array}$

所以直线EF的斜率为定值, 其值为$\frac{1}{2}.$

评析 过已知点A设直线方程, 则其横坐标必是直线方程与椭圆方程联立的一元二次方程的一个根, 认识到这一点, 据此用韦达定理 (两根之积) 求另一根, 即另一交点的横坐标显得十分简单, 免去解方程, 而且-k直接代替已求点坐标中的k, 进而求得另一个交点的坐标, 省去中间设直线方程代入求解的过程, 这是对问题求解本质认识的结果, 是对基本技能的灵活运用, 有了这样的认识, 剩下的只是一个运算操作过程, 减轻了学生心理压力.两个处理技巧, 增大思维量, 减少运算量, 使解题过程非常简捷、流畅, 体现“多考一点想, 少考一点算”的高考考查思想.

4 选择好参量先表示后求解, 函数导数不等式, 是常用之路

求图形面积的最值, 求某个参量的范围, 是解析几何题时常出现的设问形式.其思维方式是借助一般的处理方法, 选择好参量, 求“什么”, 先表示“什么”, 建立目标函数, 然后或借助函数的性质解决, 或使用导数求其最值, 或用基本不等式一步到位.

例4 如图2, 已知抛物线E:y2=x与圆M: (x-4) 2+y2=r2 (r>0) 相交于A, B, C, D四个点.

(Ⅰ) 求r的取值范围;

(Ⅱ) 当四边形ABCD的面积最大时, 求对角线AC, BD的交点P坐标.

解析 (Ⅰ) 将抛物线E:y2=x与圆M: (x-4) 2+y2=r2 (r>0) 的方程联立, 消去y2, 整理得

x2-7x+16-r2=0. (4)

抛物线E:y2=x与圆M: (x-4) 2+y2=r2 (r>0) 相交于A, B, C, D四个点的充要条件是:方程 (4) 有两个不相等的正根即可.易得$r\in \left(\frac{\sqrt{15}}{2}‚4\right).$

(Ⅱ) 根据对称性设出A, B, C, D四点坐标, 再通过方程沟通坐标间关系.

设$A(x{}_1‚\sqrt{x{}_1})‚B(x{}_1‚-\sqrt{x{}_1})‚C(x{}_2‚-\sqrt{x{}_2})‚D(x{}_2‚\sqrt{x{}_2})$, 则由 (Ⅰ) 根据韦达定理有

$\begin{array}{l}x{}_1+x{}_2=7‚\\ x{}_{1}x{}_2=16-r{}^2‚r\in \left(\frac{\sqrt{15}}{2}‚4\right).\\ S=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot |x{}_2-x{}_1|(\sqrt{x{}_1}+\sqrt{x{}_2})\\ =|x{}_2-x{}_1|(\sqrt{x{}_1}+\sqrt{x{}_2})‚\\ S{}^2=[(x{}_1+x{}_2){}^2-4x{}_{1}x{}_2]\\ \cdot (x{}_1+x{}_2+2\sqrt{x{}_{1}x{}_2})\\ =(7+2\sqrt{16-r{}^2})(4r{}^2-15).\end{array}$

令$\sqrt{16-r{}^2}=t$, 则

S2= (7+2t) 2 (7-2t) .

利用求导处理, 具体解法略.

下面来处理点P的坐标.设点P的坐标为P (xP, 0) , 则由A, P, C三点共线, 得

$\begin{array}{l}\frac{\sqrt{x{}_1}+\sqrt{x{}_2}}{x{}_1-x{}_2}=\frac{\sqrt{x{}_1}}{x{}_1-x{}_{{\rm P}}}‚\\ x{}_{{\rm P}}=\sqrt{x{}_{1}x{}_2}=t=\frac{7}{6}.\end{array}$

以下略.

评析 利用设而不求、整体代入、转换参量的方法处理本小题是一个较好的切入点.最值 (范围) 问题是解析几何最基本的题型之一, 这类题大致有4条求解途径:①利用圆锥曲线的定义, 特别是圆锥曲线的第二定义, 结合曲线的有界性求解;②选择参量构造函数表达式后, 再结合函数性质求解, 对于三次或三次以上函数借助导数解决;③借助基本不等式求解;④利用数形结合及平面几何知识来处理也可以.

5 树立整体观, 解析几何结合平面几何, 适时恰当运用, 是优化之路

有图形就可能涉及平面几何知识, 如三角形的全等、相似, 比例线段, 直角三角形中的勾股定理、射影定理, 与圆相关的切割线定理、相交弦定理等, 解决解析几何问题时, 注意解几与平几结合, 转化求解条件, 改变求解方向, 改变处理方式, 可以大大优化解题过程, 减少运算量, 提高解题的成功率

例5 椭圆E:$\frac{x{}^2}{a{}^2}+\frac{y{}^2}{b{}^2}=1(a‚b＞0)$过${\rm M}(2‚\sqrt{2})‚{\rm N}(\sqrt{6}‚1)$两点, O为坐标原点.

(Ⅰ) 求椭圆E的方程;

(Ⅱ) 是否存在圆心在圆点的圆, 使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A, B, 且$\stackrel{}{{\rm O}A}\perp \stackrel{}{{\rm O}B}$ 若存在, 写出该圆方程, 并求|AB|的取值范围;若不存在说明理由.

解析 (Ⅰ) 易求椭圆的方程为

$\frac{x{}^2}{8}+\frac{y{}^2}{4}=1.$

(Ⅱ) 若存在这样的圆, 则圆心O到直线AB的距离应为定值, 在直角三角形OAB中, 即有$\frac{{\rm O}A\cdot {\rm O}B}{AB}$为定值, 此时若OA的斜率为k (存在) , 则OB的斜率为$-\frac{1}{k}$, 因此A, B两点坐标可以用k表示出来, 进而线段OA, OB, AB的长都可以用k表示.

设OA的方程为y=kx (当OA, OB的斜率都存在) , 则由

$\{\begin{array}{l}\frac{x{}^2}{8}+\frac{y{}^2}{4}=1‚\\ y=kx‚\end{array}$

解得$A\left(\frac{8}{1+2k{}^2}‚\frac{8k{}^2}{1+2k{}^2}\right).$

所以${\rm O}A{}^2=\frac{8+8k{}^2}{1+2k{}^2}.$

又$\stackrel{}{{\rm O}A}\perp \stackrel{}{{\rm O}B}$, 故

$\begin{array}{l}{\rm O}B{}^2=\frac{8+8\left(-\frac{1}{k}\right){}^2}{1+2\left(-\frac{1}{k}\right){}^2}=\frac{8+8k{}^2}{2+k{}^2}‚\\ AB{}^2={\rm O}A{}^2+{\rm O}B{}^2\\ =\frac{8+8k{}^2}{1+2k{}^2}+\frac{8+8k{}^2}{2+k{}^2}‚\\ \frac{{\rm O}A{}^2\cdot {\rm O}B{}^2}{AB{}^2}=\frac{\frac{8+8k{}^2}{1+2k{}^2}\cdot \frac{8+8k{}^2}{2+k{}^2}}{\frac{8+8k{}^2}{1+2k{}^2}+\frac{8+8k{}^2}{2+k{}^2}}=\frac{8}{3}.\end{array}$

所以存在这样的圆, 其方程为$x{}^2+y{}^2=\frac{8}{3}.$

$\begin{array}{l}\text{令}1+k{}^2=t＞1‚\text{则}0＜\frac{1}{t}＜1‚\\ AB{}^2=\frac{8+8k{}^2}{1+2k{}^2}+\frac{8+8k{}^2}{2+k{}^2}\\ =\frac{24(1+k{}^2){}^2}{(1+2k{}^2)(2+k{}^2)}\\ =\frac{24t{}^2}{2t{}^2+t-1}\\ =\frac{24}{-\left(\frac{1}{t}-\frac{1}{2}\right){}^2+\frac{9}{4}}‚\\ \frac{32}{3}AB{}^2＜12.\end{array}$

当k不存在时, 易求得AB2=12.

所以|AB|的取值范围$\left[\frac{4\sqrt{6}}{3}‚2\sqrt{3}\right].$

评析 将条件$\stackrel{}{{\rm O}A}\perp \stackrel{}{{\rm O}B}$转化为直角三角形, 再用直角三角形面积的不同表达进行沟通, 转化条件使用形式, 改变了求解方向, 化繁为简, 优化解题过程.

6 把握本质换个角度去理解, 合理有效转化, 是探索之路

解析几何的本质是借助代数方法研究几何问题, 使几何问题代数化, 所以解决解析几何综合题对代数的方法、思维要求都比较高.对于解析几何类探索性问题, 要充分利用条件, 合理而有效地转化解题方向, 几何与代数相融合, 特殊与一般相结合, 归纳与推理相联合, 高效地探索求解之路.

例6 如图3, 在平面直角坐标系xOy中, 已知圆C1: (x+3) 2+ (y-1) 2=4和圆C2: (x-4) 2+ (y-5) 2=4.

(Ⅰ) 若直线l过点A (4, 0) , 且被圆C1截得的弦长为$2\sqrt{3}$, 求直线l的方程;

(Ⅱ) 设P为平面上的点, 满足:存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2, 它们分别与圆C1和圆C2相交, 且直线l1被圆C1截得的弦长与直线l2被圆C2截得的弦长相等, 试求所有满足条件的点P的坐标.

解析1 (Ⅰ) 略.

(Ⅱ) 设P点坐标为 (m, n) , 直线l1的斜率为k, 则直线l2的斜率为$-\frac{1}{k}$.所以, 过点 (m, n) 的两条互相垂直的直线方程分别为

$\begin{array}{l}y-n=k(x-m)‚\\ y-n=-\frac{1}{k}(x-m).\end{array}$

再根据弦心距相等, 有

$\begin{array}{l}\frac{|1-k(-3-m)-n|}{\sqrt{1+k{}^2}}\\ =\frac{\left|5+\frac{1}{k}(4-m)-n\right|}{\sqrt{1+\frac{1}{k{}^2}}}.\end{array}$

化简整理得

|1+3k+mk-n|=|5k+4-mk|,

即 1+3k+mk-n=5k+4-m-nk,

或 1+3k+mk-n=-5k-4+m+nk.

“无穷多对互相垂直的直线”, 即有无穷多个k满足条件, 这就说明关于k的方程是恒等的, 或转化成k0=0型, 所以,

$\{\begin{array}{l}3+m=5-n‚\\ 1-n=4-m‚\end{array}$

或

$\{\begin{array}{l}3+m=-5+n‚\\ 1-n=-4+m‚\end{array}$

解得

$\{\begin{array}{l}m=\frac{5}{2}‚\\ n=-\frac{1}{2}‚\end{array}$

或

$\{\begin{array}{l}m=-\frac{3}{2}‚\\ n=\frac{13}{2}.\end{array}$

这样P点只可能是$\left(\frac{5}{2}‚-\frac{1}{2}\right)$与$\left(-\frac{3}{2}‚\frac{13}{2}\right)$, 经检验$\left(\frac{5}{2}‚-\frac{1}{2}\right)$与$\left(-\frac{3}{2}‚\frac{13}{2}\right)$满足题目条件.

解析2 先从特殊情况入手, 再寻求一般情况的解, 这是解决数学问题的重要思维方式.因为过P点互直垂直的直线l1和l2, 若同时过两圆的圆心, 则点P的坐标就满足题意, 此时P点在以C1C2为直径的圆上, 若旋转后所得的两弦长仍相等, 则两弦所对的弦心距也相等, 即C1E=C2F, 则必有∠C1PE=∠C2PF, 所以, 此时△PC1E≌△PC2F, 所以PC1=PC2, 即P点到两圆圆心的连线互相垂直, 且距离相等, 如图3, 列出方程组, 即可求出m, n的值.

设点P的坐标为 (m, n) , 两圆的圆心坐标为 (-3, 1) , (4, 5) , 则有

$\{\begin{array}{l}\frac{n-5}{m-4}\cdot \frac{n-1}{m+3}=-1‚\\ \sqrt{2}\cdot \sqrt{(m+3){}^2+(n-1){}^2}\\ =\sqrt{(4+3){}^2+(5-1){}^2}.\end{array}$

同解析1, 略.

评析 解析几何综合题以探索性问题形式出现越来越多, 其融代数与几何于一体, 思维是既要归纳, 又要推理, 既要直观感知, 又要运算求解, 能较好考查学生综合思维能力.其解决思维是先假设后求解, 求出即存在, 求不出, 即不存在.此类题主要类型是:①探索曲线过定点问题, 其解决方法利用曲线方程, 转化成方程恒成立问题解决, 从方程中挖定点;②探索有关定值问题, 其解决方法是或建立方程求出, 或整体消元而得到, 或从特殊情况入手再找一般情况而来;③探索图形是否存在问题, 解决办法是建立决定图形主要参量的方程解决, 如圆, 则是圆心和半径.

一道解析几何题的研究 第10篇

例题给定抛物线C: y2= 4x, F是C的焦点, 过点F的直线l与C相交于A, B两点.设, 若λ∈[4, 9], 求l在y轴上的截距的变化范围.

解法一常规思路是设直线l: y = k ( x - 1) ( k≠0) , A ( x1, y1) , B ( x2, y2) .

这种方法的优点是设直线比较好想, 但是在过程中消去x1, x2, 建立k和λ的等量关系是难点, 学生不知道往这个方向算.

解法二设交点A ( x1, y1) , B ( x2, y2) , 且满足

这种方法的优点是解析几何中设交点也是比较好想, 但是最后交点、直线都是用λ表示, 用λ来表示k过程比较痛苦.

参数方程设直线难度不大, 但是对t1, t2的理解最后消掉还是得到跟λ有关的式子是难点.

解法四极坐标建系: 以F为极点, x轴为极轴, 建立极坐标系.

1°设B ( ρB, θ) , AρA (, π + θ) 满足抛物线的极坐标方程

2° 设 A ( ρA, θ) , B (ρB, π + θ) .

极坐标的方法过程简洁, 但是要熟记圆锥曲线的极坐标方程, 用极坐标设点是难点.

专题五 解析几何（3） 第11篇

1. 已知两条直线[y=ax-2]和[3x-（a+2）y+1=0]互相平行，则[a]等于（ ）

A. 1或-3 B. -1或3

C. 1或3 D. -1或3

2. 过椭圆[x2a2+y2b2=1]（[a>b>0]）的左焦点[F1]作[x]轴的垂线交椭圆于点[P]，[F2]为右焦点，若[∠F1PF2=60?]，则椭圆的离心率为（ ）

A. [22] B. [33]

C. [12] D. [13]

3. 若抛物线[y2=2px]的焦点与双曲线[x22-y22=1]的右焦点重合，则[p]的值为（ ）

A. -2 B. 2 C. -4 D. 4

4. 设[M（x0，y0）]为抛物线[C：x2=8y]上一点，[F]为抛物线[C]的焦点，以[F]为圆心、[|FM|]为半径的圆和抛物线[C]的准线相交，则[y0]的取值范围是（ ）

A. [（0，2）] B. [[0，2]]

C. [（2，+∞）] D. [[2，+∞）]

5. 已知[M（x0，y0）]为圆[x2+y2=a2（a>0）]内异于圆心的一点，则直线[x0x+y0y=a2]与该圆的位置关系是（ ）

A. 相切 B. 相交

C. 相离 D. 相切或相交

6. 椭圆的中心在原点，焦距为[4]，一条准线为[x=-4]，则该椭圆的方程为（ ）

A. [x216+y212=1] B. [x212+y28=1]

C. [x28+y24=1] D. [x212+y24=1]

7. 设[F1]，[F2]分别为双曲线[x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）]的左、右焦点. 若在双曲线右支上存在点[P]，满足[|PF2|=|F1F2|]，且[F2]到直线[PF1]的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（ ）

A. [3x±4y=0] B. [3x±5y=0]

C. [5x±4y=0] D. [4x±3y=0]

8. 设[A]为圆[（x+1）2+y2=4]上的动点，[PA]是圆的切线，且[|PA|=1]，则[P]点的轨迹方程为（ ）

A. [（x+1）2+y2=25] B. [（x+1）2+y2=5]

C. [x2+（y+1）2=25] D. [（x-1）2+y2=5]

9. 点[P]是双曲线[x24-y2=1]的右支上一点，[M，N]分别是[（x+5）2+y2=1]和[（x-5）2+y2=1]上的点，则[|PM|-|PN|]的最大值是（ ）

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

10. 若点[O]和点[F（-2，0）]分别是双曲线[x2a2-y2=1（a>0）]的中心和左焦点，点[P]为双曲线右支上的任意一点，则[OP?FP]的取值范围为（ ）

A. [[3-23，+∞]] B. [[3+23，+∞]]

C. [[-74，+∞]] D. [[74，+∞]]

二、填空题（每小题4分，共16分）

11. 已知圆[x2+y2=4]， 直线[l： y=x+b]. 圆上至少有三个点到直线[l]的距离都是1，则[b]的取值范围是 .

12. 抛物线[C：y2=2px]的焦点坐标为[F（12，0）]，则抛物线[C]的方程为 ，若点[P]在抛物线[C]上运动，点[Q]在直线[x+y+5=0]上运动，则[PQ]的最小值等于 .

13. 圆[C：x2+y2=4]被直线[l：x-y+1=0]所截得的弦长为 .

14.已知[x2a2+y2b2=1（a>b>0，xy≠0）]，则[a2x2+b2y2]的最小值为 .

三、解答题（15、16题各10分，17、18题各12分，共44分）

15. 在直线[l]：[x+y-4=0]上任取一点[M]，过点[M]且以双曲线[x2-y23=1]的焦点为焦点作椭圆.

（1）[M]点在何处时，所求椭圆长轴最短；

（2）求长轴最短时的椭圆方程.

16. 已知椭圆[C]：[x2a2+y2b2=1（a>b>0）]的离心率为[22]，且过点[A（2，1）]. 直线[y=22x+m]交椭圆[C]于[B]，[D]（不与点[A]重合）两点.

（1）求椭圆[C]的方程；

（2）[△ABD]的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由.

17. 已知双曲线[C]的两条渐近线都过原点，且都以点[A（2，0）]为圆心，1为半径的圆相切，双曲线的一个顶点[A1]与[A]点关于直线[y=x]对称.

（1）求双曲线[C]的方程.

（2）设直线[l]过点[A]，斜率为[k]，当[0

18. 如图，在平面直角坐标系[xOy]中，抛物线的顶点在原点，焦点为[F（1，0）]. 过抛物线在[x]轴上方的不同两点[A]，[B]作抛物线的切线[AC]，[BD]，与[x]轴分别交于[C]，[D]两点，且[AC]与[BD]交于点[M]，直线[AD]与直线[BC]交于点[N].

（1）求抛物线的标准方程；

（2）求证：[MN⊥x]轴；

（3）若直线[MN]与[x]轴的交点恰为[F（1，0）]，求证：直线[AB]过定点.

解析几何中的“斜化直”初探 第12篇

一、 “斜化直”基本思想

斜:指解析几何中与坐标轴不平行的直线 (线段) .

直:指解析几何中与坐标轴平行 (含重合) 的直线 (线段) .

思想:遇斜化直.

二、解析几何教学中一些“斜化直”实例

1.两点间距离公式

【例1】 已知:平面上两点P1 (x1, y1) 、P2 (x2, y2) , 求P1、P2两点间的距离.

略解:把斜的线段转化为平行于坐标轴的线段.

(1) 当P1 、P2两点连线与x轴平行时, 得

|P1P2|=|x1-x2|;

当P1 、P2两点连线与y轴平行时, 得

|P1P2|=|y1-y2|.

(2) 当P1 、P2两点连线与坐标轴不平行时, 如图1所示, 过P1、P2分别作x轴、y轴的平行线, 两平行线交于点P, P1、P2、P组成一个直角三角形, 可得P (x2, y1) , 则

|P1P|=|x1-x2|, |P2P|=|y1-y2|,

在Rt△P1P2P中, 由勾股定理得

|P1P2|2=|P1P|2|+|P2P|2

=|x1-x2|2+|y1-y2|2.

所以, $|{\rm P}{}_1{\rm P}{}_2|=\sqrt{(x{}_1-x{}_2){}^2+(y{}_1-y{}_2){}^2}.$

另解:当已知直线的倾斜角为θ时, 如图1,

结合三角形知识, 可得

$\sin \theta =\frac{|{\rm P}{}_2{\rm P}|}{{\rm P}{}_1{\rm P}{}_2}|\Rightarrow |{\rm P}{}_1{\rm P}{}_2|=\frac{|{\rm P}{}_2{\rm P}|}{\sin \theta }=\frac{|y{}_1-y{}_2|}{\sin \theta }$,

或者$|\cos \theta |=\frac{|{\rm P}{}_1{\rm P}|}{|{\rm P}{}_1{\rm P}{}_2|}\Rightarrow |{\rm P}{}_1{\rm P}{}_2|=\frac{|{\rm P}{}_1{\rm P}|}{\cos \theta }=\frac{|x{}_1-x{}_2|}{\cos \theta }.$

注:两点连线平行于坐标轴的两点间距离可看作是任意两点距离的特例.

2.焦半径

焦半径:圆锥曲线上任意一点与圆锥曲线焦点的连线段, 叫做圆锥曲线的焦半径, 其长度不是定值, 而是一个变化的量, 相对位置也在不断地变化.

过圆锥曲线上一点M (x0, y0) 的焦半径公式:

注:正 (轴) 、负 (轴) 指焦点所在坐标轴.

【例2】 如图2所示, M (x0, y0) 是椭圆$\frac{x{}^2}{a{}^2}+\frac{y{}^2}{b{}^2}=1(a＞b＞0)$上一点, F1 (-c, 0) 、F2 (c, 0) 分别是椭圆的左、右焦点, 右准线l:$x=\frac{a{}^2}{c}$, 连结MF2, 过点M作直线l的垂线, 垂足为N, |MF2|=r, |MN|=d, 求证r=a-ex0.

略解:依题意得$\frac{a{}^2}{c}＞x{}_0$, 根据椭圆的第二定义有

$e=\frac{|{\rm M}F{}_2|}{|{\rm M}{\rm N}|}=\frac{r}{d}\Rightarrow r=ed=e|\frac{a{}^2}{c}-x{}_0|=e\cdot \frac{a{}^2}{c}-ex{}_0=a-ex{}_0.$

对于左焦点、上焦点、下焦点情形类似可证.

【例3】 如图3所示, M (x0, y0) 是双曲线$\frac{x{}^2}{a{}^2}-\frac{y{}^2}{b{}^2}=1(a＞0,b＞0)$上一点, F1 (-c, 0) 、F2 (c, 0) 分别是双曲线的左、右焦点, 右准线l:$x=\frac{a{}^2}{c}$, 连结MF2, 过点M作直线l的垂线, 垂足为N, |MF2|=r, |MN|=d, 求证:r=|a-ex0|.

略解:根据双曲线的第二定义有

$e=\frac{|{\rm M}F{}_2|}{|{\rm M}{\rm N}|}=\frac{r}{d}\Rightarrow r=ed=e|x{}_0-\frac{a{}^2}{c}|=|ex{}_0-e\cdot \frac{a{}^2}{c}|=|ex{}_0-a|=|a-ex{}_0|.$

对于左焦点、上焦点、下焦点情形类似可证.

【例4】 如图4所示, M (x0, y0) 是抛物线x2=2py (p>0) 上一点, 焦点$F(0,\frac{p}{2})$, 准线为l, 连结MF, 过点M作直线l的垂线, 垂足为N, |MF|=r, |MN|=d.求证:$r=\frac{p}{2}+y{}_0.$

略解:依题意可知, 准线l的方程为$y=-\frac{p}{2}$.由抛物线定义得|MF|=|MN|⇒r=d, 所以$r=|y{}_0-(-\frac{p}{2})|=|y{}_0+\frac{p}{2}|=\frac{p}{2}+y{}_0.$

对于左焦点、右焦点、下焦点情形类似可证.

三、“斜化直”思想效果体现

椭圆、双曲线的焦半径公式基本上一致, 形式上的相似虽然可以解决一部分记忆难度, 但也极易弄混, 而且还不能真正地理解焦半径公式.从字面上理解, 学生经常会把圆的半径r与之联系起来, 认为是焦半径与圆半径一样是个定值, 进而引起误解.

通过两点间距离公式和椭圆、双曲线、抛物线的焦半径求法可以说明, 解析几何中的斜化直是常规教学下的自然过程, 学生不难接受, 从中也可以体会到, 两点间距离公式不再是一个含根号式子而已, 还可以得出其他的公式;对于焦半径, 借助离心率把它们统一表示成与坐标轴平行的线段形式, 形成“曲线上任一点与焦点的距离, 转化为到相应准线的距离”的思想, 也就是“斜化直”思想, 让学生从记忆的泥潭中走出来, 更有利于学生形成良好的思维习惯.

运用“斜化直”思想, 焦半径长度转化为M点到相应定直线 (准线) 的距离, 而这个距离对应线段MN又平行于坐标轴, 易于计算.更可贵的是, 借用线段MN的长度发现焦半径的变化趋势:由圆锥曲线顶点起向两边运动时, 焦半径逐渐增大或者缩短, 即可解决曲线上不同两点间焦半径的大小比较!

四、植入“斜化直”思想应用思考

形与数的完美结合, 使高中解析几何在多数人看来很难, 而通过建立“斜化直”思想, 可以把高中解析几何内容用一条无形的线穿起来, 如同在黑暗中总有一条路指引我们走下去.由于涉及与坐标轴平行 (或垂直) 的直线 (线段) 问题, 教学中“斜化直”思想的植入并不困难, 遇到运用到“斜化直”问题时, 加以指出即可, 学生也易于接受.

从教学效果来看, “斜化直”思想能让人思维开阔、发散, 也带来了一个另类思考方式:遇到无从下手的问题, 尝试把一些“斜”问题转化为“直”问题, 寻找解决问题的着力点, 理清凌乱的信息, 打开被阻的思路, 直到解决问题.