复杂最值问题剖析

复杂最值问题剖析（精选8篇）

复杂最值问题剖析 第1篇

复杂最值问题剖析

华图教育 王小欢

行测中有题目是一类常见的题目是最值问题，这类题目一般情况下包括三种：第一种为最不利构造，题目特征是至少„„保证„„，做题方法是找出最不利的情形然后再加1；第二种为多集合反向构造，题目特征是至少„„都„„，做题方法三步走：反向，求和，做差；第三种题目是构造数列，题目特征是最„„最„„，做题方法是构造出一个满足题目的数列。如果在平时练习或考试的过程中，遇到了这三种题目，可直接按照相应的方法进行求解。但是，还有一些最值问题并不像上面三种问题叙述的那么简单，往往涉及的项目还比较多，需要先进行分析讨论。遇到这样的题目怎么分析，举两个例子剖析一下。

【例1】一个20人的班级举行百分制测验，平均分为79分，所有人得分都是整数且任意两人得分不同。班级前5名的平均分正好是16到20名平均分的2倍。则班级第6名和第15名之间的分差最大为多少分？

A.34 C.40

B.37 D.43 【解析】求班级第6名和第15名之间的分差最大，则第6名的成绩要尽可能的接近第5名的成绩，且前5名的成绩差距要尽可能的小，即前6名成绩是连续的自然数，第15名的成绩要尽可能的接近第16名的成绩，且后5名的成绩差距要尽可能的小，即后6名的成绩是连续的自然数。又由于班级前5名的平均分正好是16到20名平均分的2倍，则前5名的成绩决定了后5名的成绩。而同时满足这些条件的数列有多组，则可以使前5名的成绩为100、99、98、97、96，则第6名的成绩为95，由此，后5名得成绩为51、50、49、48、47，则第15名得成绩为52，此时与平均分为79分不矛盾，所以第6名和第15名之间的分差最大为95-52=43。因此，本题答案选择D选项。

【例2】有20人测验及格率是95%，平均分88，得分都是整数并且每人得分都不相同，问排名第十的人得分最低是多少？

A.88 B.89 C.90 D.91 【解析】为了使得排名第十的人的分数尽可能的低，应当使得其余排名的人的分数尽可能高。根据及格率为95%可知，有一人未及格，而未及格的人的分数最高为59分。因此19名及格的考生总成绩为88×20－59＝1701分。

前九人的分数最高分别为100分，99分，98分，97分，96分，95分，94分，93分，92分，因此第十至第十九人的分数总和为1701－（100＋99＋98＋97＋96＋95＋94＋93＋92）＝837分。假设这十个人的分数分别为91分至82分，那么这十个分数的和为865分，比实际分数多了865－837＝28分。如果第十个人的分数减去1分，那么其余九个人的分数依次减去1分，这样他们的总分就要减去10分。由此可见第十个人的分数只能减去2分达到89分，这样才使得十个人的分数总和可能为837分。如果第十个人的分数为88分，那么这十个人的分数总和最多为835分。因此第十个人的分数最低只能是89分。

通过这两个例子，大家会发现，这样的最值问题也不过是“纸老虎”，看起来题目比较长，跟问题直接相关的信息又比较少，一般思路是考虑问题的反面作为出发点，如“求班级第6名和第15名之间的分差最大，则第6名的成绩要尽可能的接近第5名的成绩”，再如“为了使得排名第十的人的分数尽可能的低，应当使得其余排名的人的分数尽可能高”，一步步，抽丝剥茧般形成习惯性的套路，这样的问题自然就迎刃而解了。

复杂最值问题剖析 第2篇

应用均值不等式定理求最值常见错误剖析及解决策略

作者：梁清芳

来源：《中学生导报·教学研究》2013年第03期

摘要：均值不等式定理：若a，b∈R*，则a+b2≥ab（当且仅当a=b时取“=”）是《不等式》一章重要内容之一，是求函数最值的一个重要工具，要求能熟练地运用均值不等式求解一些函数的最值问题，也是高考常考的一个重要知识点。由于学生没能正确理解均值不等式定理而导致错误，笔者认为有必要加以总结，并给出解决的策略。

关键词：均值不等式定理 常见错误 解决策略

事实上，上述的解法是错误的。但错在哪里？许多学生不能说出错误的原因。究其原因，是由于学生没能正确理解均值不等式定理而导致错误。均值不等式定理运用中的常见错误及其解决策略有以下四个方面：

一、忽略定理使用的前提条件导致错误，解决策略为“把负变量转化为正数”。

二、变量是正数，积不是定值而导致错误。解题策略为用凑项法，使其积为常数。综上所述，应用均值不等式求最值要注意：

一要“正”：各项或各因式必须为正数；

二需“定”：必须满足“和为定值”或“积为定值”，要凑出“和为定值”或“积为定值”的式子结构，如果找不出“定值”的条件用这个定理，求最值就会出错；

最值问题浅析 第3篇

一、利用不等式 (组) 求最值

若方程x2+x+a=0无实数根, 则a的最小的正整数值为 () 。

分析:首先根据方程根的情况得到⊿=1-4a<0, 求出a的取值范围, 再求最小正整数值。

二、通过建立函数模型用二次函数的顶点坐标公式求最值

1.某公司经销一种绿茶, 成本为50元/㎏。市场调查发现, 在一段时间内, 销售量w (㎏) 随销售单价x (元/㎏) 的变化而变化, 具体关系式为w=-2x+240。设这种绿茶在该段时间内的销售利润为y (元) , 解答下列问题。

(1) 求y与x的函数关系式。

(2) 当销售单价x (元/㎏) 取何值时, 销售利润为y的值最大。

分析:

(1) 由总利润=每千克的利润千克数可得, y= (x-50) w= (x-50) (-2x+240) =-2x+340x-12000.

(2) 当y=2450, 当x=85元时, 销售利润y的值最大。

2.某次数学变换游戏中, 把整数0, 1, 2, , 100称为“旧数”, 游戏的变换规则是:将旧数先平方, 再除以100, 所得到的数称为“新数”, 按照上述规则变换后减小得最多的旧数是 () 。

分析:本题可以设旧数为x, 则“新数”为设按规则变换后减少的数值为y, 则

三、通过自变量取值范围结合函数的增减性求最值

某饮料厂为开发新产品, 用A、B两种果汁原料各19kg、17.2kg, 试制甲、乙两种新型饮料共50kg, 下面是试验相关数据。

设甲种饮料每千克成本为4元, 乙种饮料每千克成本为3元, 甲种饮料需配制x kg, 这两种饮料的成本总额为y元。

分析:根据题意可列出不等式组:

解为28x30, y=4x+ (50-x) 3, y=x+150 (28x30) 。因为y随x的增大而增大, 要使y最小, 则x最小。当x=28千克时, 甲、乙两种饮料的成本总额最少。

四、根据“垂线段最短”求最值

已知:直线y=-x+9与x轴、y轴相交于C、D两点, 直线与x轴、y轴相交于A、B两点, F (4, 0) 是x轴上一点, 过C点的直线l垂直于x轴, N是直线l上一点 (N点与C点不重合) , 连接AN.

(1) 求A、D两点的坐标;

(2) 若P是AN的中点, PF=5, 猜想∠APF的度数, 并说明理由;

(3) 连接NF, 求△AFN外接圆面积的最小值, 并求△AFN外接圆面积的最小时, 圆心G的坐标.

分析:

(1) 易得A (-6, 0) , D (0, 9) .

(2) 易连接PC, 易证△PCF∽△ACP, PC2=CFCA=515=75=AP2, PF2=25, AF2=100, ∴PA2+PF2=AF2, ∴∠APF=90°

(3) 求△AFN外接圆面积的最小值。因为△AFN中AF已确定, 故圆心G在AF的垂直平分线上, 又⊙G过N, 所以GN为半径。而G为x=-1上一点, 故GN为点N到直线x=-1上某一点的距离。要使圆最小, 必须GN最短, 根据点到直线上一点的线段中, 垂线段最短可知GN=MC=10, S最小=100π, 再求出圆心G的坐标为

五、用“两点之间线段最短”求最值

1.如图1, 已知矩形ABCD的边长AB=2, BC=3, 点P是AD边上的一动点 (P异于A、D) , Q是BC边上的任意一点, 连AQ、DQ, 过P作PE∥DQ交AQ于E, 作PF∥AQ交DQ于F.

(1) 求证:△APE∽△ADQ;

(2) 设AP的长为x, 试求△PEF的面积S△PEF关于x的函数关系式, 并求当P在何处时, S△PEF取得最大值?最大值为多少?

(3) 当Q在何处时, △ADQ的周长最小?并求出最小值。 (须给出确定Q在何处的过程或方法, 不必给出证明)

分析:

运用这种方法一般可求两条线段或三条线段之和最短或两条线段之差最大等问题。

底面半径为15cm, 母线长60cm, 要用一根彩带饶帽子一圈, 结点在底边上。作为帽子的装饰, 请问这根带子至少需要多长 (精确到0.1cm, 不计接头重合部分) ?

立体图形中的最短距离问题一般转化为平面图形, 再根据“两点之间线段最短”求最值。本题首先根据圆锥与其侧面展开图的关系求出侧面展开图扇形的圆心角为90°, 再求弦长BB'。

六、通过数形结合求最值

如图3, 在平面直角坐标系中, 已知四边形ABCD是等腰梯形, A、B在x轴上, D在y轴上, AB∥CD, AD=BC=, AB=5, CD=3, 抛物线y=-x2+bx+c过A、B两点.

(1) 求b、c;

(2) 设M是x轴上方抛物线上的一动点, 它到x轴与y轴的距离之和为d, 求d的最大值。

解:

(2) 设M点坐标为 (a, -a2+3a+4) , d=a-a2+3a+4. (1) 当-1

七、利用“a+b≥”求最值

阅读理解:对于任意正实数a、b, ∵只有当a=b时, 等号成立。

结论:在a+b≥ (a、b均为正实数) 中, 若ab为定值p, 则a+b≥, 只有当a=b时, a+b有最小值2.

根据上述内容, 回答下列问题:若m>0, 只有当m= () 时, 有最小值 () 。

探索应用:如图4, 已知A (-3, 0) , B (0, -4) , P为双曲线 (x>0) 上的任意一点, 过点P作PC⊥x轴于点C, PD⊥y轴于点D.求四边形ABCD面积的最小值, 并说明此时四边形ABCD的形状。

解:

(1) m=1, 最小值为2;

即x=3时, 等号成立。

∴S≥26+12=24

∴S四边形ABCD有最小值24.

二次函数最值问题分类剖析 第4篇

二次函数在某区间上的最值问题是高考命题中经久不衰的“热点”，二次函数的最值与它的图象的对称轴密切相关，这类问题的求解，其关键是运用二次函数的图象，研究函数图象的对称轴与区间的相对位置关系，当含有参数时，在不同的情况下，函数的单调性不一，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论，本文就二次函数图象的对称轴与所给区间的“定”和“动”，将此类常见的问题分为四种类型，并分别举例加以深度剖析。endprint

二次函数在某区间上的最值问题是高考命题中经久不衰的“热点”，二次函数的最值与它的图象的对称轴密切相关，这类问题的求解，其关键是运用二次函数的图象，研究函数图象的对称轴与区间的相对位置关系，当含有参数时，在不同的情况下，函数的单调性不一，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论，本文就二次函数图象的对称轴与所给区间的“定”和“动”，将此类常见的问题分为四种类型，并分别举例加以深度剖析。endprint

二次函数在某区间上的最值问题是高考命题中经久不衰的“热点”，二次函数的最值与它的图象的对称轴密切相关，这类问题的求解，其关键是运用二次函数的图象，研究函数图象的对称轴与区间的相对位置关系，当含有参数时，在不同的情况下，函数的单调性不一，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论，本文就二次函数图象的对称轴与所给区间的“定”和“动”，将此类常见的问题分为四种类型，并分别举例加以深度剖析。endprint

人地系统复杂性机理剖析 第5篇

人地系统复杂性机理剖析

摘要：采用系统分析方法,按照组成-结构-功能顺序对复杂的人地关系地域系统展开深入的.系统分析;同时,将地方政府的政策作为一个外生变量,通过对人类活动调节从而对人地系统进行调控.在人地系统复杂性分析过程中,强调人地系统的尺度效应,并构建了人地系统相互作用机理的概念模型,揭示人地系统的相互作用机理.最后,针对人地系统的研究与实践,提出4条建议和启示.作 者：王成超 WANG Chengchao 作者单位：福建省亚热带资源与环境重点实验室,福建福州350007;福建师范大学地理科学学院,福建福州350007期 刊：海南师范大学学报(自然科学版) Journal：JOURNAL OF HAINAN NORMAL UNIVERSITY(NATURAL SCIENCE)年，卷(期)：,23(2)分类号：X22关键词：人地系统 复杂性 机理 剖析

复杂最值问题剖析 第6篇

关键词：二次函数；最值

对于二次函数图象的最值问题，重点关注的主要是图象的对称轴和所给自变量的区间（即定义域）的界定。而且掌握二次函数的最值问题，首先需要将二次函数的图象形象的画出来。然后根据图象以及问题的条件界定来进行最值问题的求解。

一、二次函数的图象

对于二次函数的图象，我们需要找到二次函数的对称轴，顶点以及开口方向，有时还需要界定某一到两个特殊的线与x-y轴的交点，才能较为准确的描绘出图象。

二次函数的的表达式有顶点式，交点式以及三点式，其一般的表达式为y=ax?+bx+c（a≠0），此图象的对称轴，开口方向以及顶点都取决于这一般表达式中的a、b、c三个系数。最重要的是求解对称轴，对称轴的计算公式为x=-b/2a。

其一般图形为：

二、二次函数图象的最值

1、二次函数在界定区间上的最值问题（最简单，直接的最值问题）

此类问题基本就是明确给定二次函数以及定义域区间的情况下，求最值的。解决方案就是找到此函数的对称轴，看其与定义区间的关系，在判断在此区间上函数的增减性，进而求出答案。

例如：已知二次函数y=x2-2x，求在区间[0，4]上的最值。

根据二次函数可以画出图象，对称轴为x=1，草图如下：

从图中可以看出在区间[0，4]上，y值先递减后递增，在对称轴x=1处取得最小值y=-1，在x=4处取得最大值y=8.

2、二次函数在不定区间上的最值问题（相对上一个，有些复杂，需要分类）

此类问题是在明确给定二次函数，但是其自变量的定义区间是变动的（存在未知数）情况下求解最值的。然而此类问题的解决方法就是通过明确给定的二次函数画出图象，再根据对称轴与自变量的关系界定进行分类讨论，最后分别判断在此区间上的增减性，求得最值。

例如：已知二次函数y=x2/2-x-5/2，求在[t，t+1]上的最小值。

根据二次函数y=x2/2-x-5/2可以得出对称轴x=1，图象开口向上，再分类，画草图。

第一类：当对称轴x=1在所给区间的左侧，即t≧1，草图如下：

从图中可以看出，在区间[t，t+1]上，函数递增，最小值为x=t时，y=t2/2-t-5/2。

第二类：当对称轴x=1在所给区间的右侧，即t+1≦1→t≦0，草图如下：

从图中可以看出，在区间[t，t+1]上，函数递减，最小值为x=t+1时，y=t2/2-3。

第三类：当对称轴x=1在所给区间的内，即t<1

从图中可以看出，在区间[t，t+1]上函数先减后增，最小值为x=1时，y=-3。

若是还需求最大值，前两种可以直观的看出，而最后一种需要对比在x=t以及x=t+1时y值得大小。此时t的范围还需划分。

当x1=t时，y1=t2/2-t-5/2，当x2=t+1时，y2=t2/2-3

y1-y2=1/2-t，从式子中可以看出当0

3、不确定的二次函数在固定区间下的最值问题

此问题是在明确给出定义域而二次函数存在未知系数（图象不确定）的情况下，求最值的问题。此类问题可以先将二次函数有一般形式转换为顶点式，找出其对称轴，开口方向以及区间位置。最重要的是找到其对称轴，然后根据未知系数分类进行求解，最后判断增减性，求最值。

例如：已知二次函数y=bx2+4bx+b2-1，求在区间[-4，1]上的最大值。

根据二次函数y=bx2+4bx+b2-1，写成顶点式y=b（x+2）2+b2-4b-1，可以看出对称轴为x=-2，在区间[-4，1]上，只需根据图象开口方向来判断区间的最大值。

第一类：当b=0时，y=-1，无最大最小值之说

第二类：当b<0时，图象开口向下，草图如下：

从图中可以看出，在区间[-4，1]上函数先增后减，最大值为当x=-2时，y=b2-4b-1。

第三类：当b>0时，图象开口向上，草图如下：

从图中可以看出，在区间[-4，1]上函数先减后增，最大值为区间的临界点，需要判定。

当x1=-4时，y1=b2-1

当x2=1时，y2=b2+5b-1

因为b>0，可以看出y1=b2-1

4、二次函数已知区间和最值求未知函数的系数（此类最为复杂，分类情况较多）

此类函数是在明确给出自变量区间，以及在区间内最值得一个（最大或最小），求解未知函数的系数。此类问题通常不会给定对称轴，因此需要进行分情况进行判定来求解，再根据其给出的最值来求出位置系数，此类问题通常的解有时会与条件分类的情况不相符，因此不要因为求出一个就大意，要注意情况与解的一致性。

例如：已知二次函数y=x2-2ax-1，已知函数在区间[0，2]上的最小值为-2，求a的值。

根据二次函数y=x2-2ax-1，写成顶点式y=（x-a）2-a2-1，对称轴为x=a，图象开口向上，然后进行分类

第一类：当a≦0时，画出草图如下：

从图中可以看出，函数在区间[0，2]上是递增的，最小值为当x=0时，y=-1，与题中最小值为-2不相符。此分类舍弃。

第二类：当a≧2时，画出草图如下：

从图中可以看出，函数在区间[0，2]上是递减的，最小值为当x=2时，y=3-4a，因为题中给出最小值为-2，所以3-4a=-2求得a=5/4<2与条件不符的，舍弃。

第三类：当0

从图中可以看出，函数在区间[0，2]上是先减后增的，最小值为当x=a时，y=-a2-1因为题中给出最小值为-2，所以-a2-1=-2求得a=1或者-1，再根据分类条件0

综上得出a=1。

还存在第二种情况，图象的开口方向与未知参数有关，则划分情况求解释更需注意。

例如：二次函数y=ax2-2ax-1，已知函数在区间[0，2]上的最小值为-2，求a的值。

先根据二次函数y=ax2-2ax-1，将其换算成顶点式为y=a（x-1）2-a-1，可以得知对称轴为x=1，但开口方向不确定，需要分类进行求解。

第一类：当a=0时，y=-1与已知条件不相符，舍弃。

第二类：当a>0时，可以画出草图：

从图中可以看出，在区间[0，2]函数先减后增，最小值为对称轴即x=1时的y=-a-1，由已知条件最小值为-2，得出a的值为1，符合条件a>0。

第三类：当a<0时，可以画出草图：

从图中可以看出，在区间[0，2]上函数先增后减，最小值为区间端点值，需要进行比较。当x=0时，y=-1；当x=2时，y=-1，而此种情况下，最小值只能是-1，与已知条件相违背，舍弃。

所以综上得出a=1。

对于这两道题相对来说简单，要么给定了开口方向，要么给定了对称轴而且区间端点关于对称轴对称。但是有时题中既不会给定对称轴也不给定开口方向，就需要结合这两道题综合考虑未知系数的值，题目就会相对复杂。你只需要找准全部的区间，并且针对分类情况，将所有的值求出即可。

通过剖析二次函数图象的最值问题，可以看出关键点在于图象的对称轴以及区间的界定，以及在分情况求解中条件的限定。其实对于二次函数图象的最值问题，能画出大概的草图会有利于对于最值的把握，但是也不能一概而论，毕竟是草图，不能主观判断。记住这几点，然后在求解二次函数的图象的最值问题时就会显得游刃有余。

参考文献：

[1]黄庭柏.浅谈如何引导学生学好二次函数[A].国家教师科研专项基金科研成果（华声卷2）[C].2015

[2]冯法.浅谈二次函数在高中数学中的重要作用[A].2015年9月现代教育教学探索学术交流会论文集[C].2015

[3]吴选根.26.3实际问题与二次函数（4）[A].2012年河北省教师教育学会教学设计主题论坛论文集[C].2012

[4] 史建军.一道最值问题的推广、完善与另解[J]. 中学数学研究. 2016

[5] 施伦.轨迹法求一类线段的最值[J]. 中小学数学（初中版）. 2016

[6] 蒋飞. 二次函数常见错误剖析[J]. 数学大世界（初中版）2014年

最值问题的学用解法 第7篇

一、直接法

某些函数的结构并不复杂，可以通过适当变形，由初等函数的最值及不等式的性质直接观察得到它的最值。

例1求y=x³＋2/²＋5暑的最杏值，解析：变形为y＝1=X²＋2/3，故当x=0，时，y_ma

二、反函数法

由原函数反解出x=￡(y)，根据x的范围求出y的范围，进而得到y的最值的方法称为反函数法，此方法适用于能顺利求得反函数的函数，如形如y=αt＋b/ct＋d(α≠0)的函数，类似地，此方法也可推广到可以解得g(x)=￡(y)，且已知g(x)的取值范围的函数，

三、配方法

配方法是求解“可化为二次函数形式”这一类函数的最值问题的基本方法，有着广泛的应用，

四、换元法

引入新变量对原函数式中的代数式或三角函数进行代换，将所给函数转化成容易求最值的简单函数，进而求得最值的方法称为换元法，形如y=ax+6的函数求最值常用此法，用换元法解题时要特别注意变元前后自变量的取值范围要保持一致。五、不等式法

通过对原函数式进行变形，利用等基本不等式求函数的最值的方法称为不等式法，用不等式法求最值时，要注意“一正、二定、三相等”的应用条件，即不等式中的两项必须都为正，两项的和一定时积有最大值、积一定时和有最小值，必须能取得到最值，

点评：利用不等式法求最值时，要注意函数取到最值时，相应的x的值是否存在，如果不存在，则此最值不能取到，此时要考虑用其他方法来解题，点评：用不等式法和判别式法都只能求出例8中函数的最小值，如果要求它的最大值，上述方法就不可行了，需要考虑换用其他方法，

七、单调性法

如果能确定函数在某个区间上的单调性，就可以求出该函数的最值，求解函数在给定区间上的最值问题常可试用这种方法，函数的单调性可以直接用单调性的定义来判别，也可结合函数的图像来研究，或者用导数法来判定。

点评：看到例11中的函数的形式，很多同学会考虑用换元法来解题，但若用换元法无法将其转化为一元二次函数的形式，会让解题过程变得更繁杂，甚至无法顺利进行下去，在判断函数的单调性时，方法的选择也是很重要的，三种方法各有特点：定义法是最容易想到的，图像法最直观，而导数法往往比较简捷。

八、数形结合法

“圆”中的最值问题 第8篇

一、 利用“直线外一点到直线上各点的连线中，垂线段最短”求最值

例1 （2012·浙江宁波）如图1，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，点D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于点E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为________.

【解析】如图2，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF于点H.由圆周角定理可知：∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°，由三角函数可求得EH=OE·sin∠EOH=OE. 再由垂径定理可知：EF=2EH=OE=AD，所以当AD最小时EF最小.由垂线段最短可知：当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短.因为AB=2，∠ABC=45°，所以AD=BD=2，代入EF与AD的关系式即可求出EF的最小值为.

【点评】本题是一道融圆周角定理、垂径定理、解直角三角形、动点于一体的综合应用题.根据运动变化，将两动点之间的最小值转化为点到直线的最小值，找出EF与直径AD的关系是解决本题的关键.

二、 利用“切线的性质”求最值

例2 （2011·浙江台州）如图3，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O于点Q，则PQ的最小值为________.

【解析】因为PQ为切线，所以△OPQ是直角三角形，所以PQ=.又因为OQ为定值，所以当OP最小时，PQ最小.根据垂线段最短知：OP=3时，PQ最小，根据勾股定理可求出PQ的最小值为.

【点评】切线的性质和垂线段最短是解决本题的关键.

例3 （2010·江苏苏州）如图4，已知A、B两点的坐标分别为（2，0）、（0，2），⊙C的圆心坐标为（-1，0），半径为1. 若D是⊙C上的一个动点，线段DA与y轴交于点E，则△ABE面积的最小值是（ ）.

A. 2 B. 1

C. 2- D. 2-

【解析】如图5，根据三角形的面积公式知，△ABE底边BE上的高AO不变，BE越小，则面积越小，可以判断当AD与⊙C上面半圆相切时，BE的值最小.根据勾股定理求出AD的值为2，然后根据△AOE与△ADC相似求出OE的长为，所以BE最小值为2-，代入三角形的面积公式可得2-，故选C.

【点评】本题考查了坐标与图形的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质，根据相似三角形对应边成比例列式求出OE的长度是解题的关键.

三、 利用“轴对称”求最值

例4 （2014·贵州安顺）如图6，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B为劣弧AN的中点. 点P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（ ）.

A. B. 1

C. 2D. 2

【解析】如图7，作点B关于MN的对称点B′，连接OA、OB、OB′、AB′，则AB′与MN的交点即为PA+PB最小时的点，PA+PB的最小值为AB′，由圆周角定理可知∠AON=2∠AMN=2×30°=60°.因为点B为劣弧AN的中点，所以∠BON=∠AON=30°.由对称性得∠B′ON=∠BON=30°，所以∠AOB′=∠AON+∠B′ON=90°，所以AB′=OA=，即PA+PB的最小值为.故选A.

【点评】本题考查了轴对称确定最短路线问题、垂径定理、圆周角定理，熟记定理并做出图形，判断出PA+PB的最小值等于哪条线段的长度是解题的关键.

四、 利用“两点之间线段最短”求最值

例5 （2014·福建三明）如图8，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC为直径的半圆交AB于点D，P是上的一个动点.连接AP，则AP的最小值是________.

【解析】如图9，取BC的中点E，连接AE，交半圆于点P2，在半圆上取点P1，连接AP1，EP1，可得，AP1+EP1>AE，即AP2是AP的最小值.再根据勾股定理求出AE的长为，然后减掉半径可得AP的最小值为-1.

【点评】本题考查了勾股定理、最短路径问题，两点之间线段最短是解题的关键.

例6 如图10，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=6，点D是边BC的中点，点E是边AB上的任意一点（点E不与点B重合），沿DE翻折△DBE使点B落在点F处，连接AF，则线段AF长的最小值是________.

【解析】本题看似折叠的题目，好像与圆没有关系，实则是例5的拓展，因为在折叠的过程中，点D始终是定点，DF始终是定长，所以点F的运动路线为圆.如图11，连接AD交圆D于点F1，则AF1 的长度即为AF的最小值，利用勾股定理可求得AD=5，所以AF1=5-3=2，即线段AF长的最小值为2.

【点评】本题考查了转化的思想、勾股定理、最短路径问题，折叠问题转化为圆中最值问题是解题的关键.

以圆为载体的最值问题多以“小而精”的形式在中考选择、填空的压轴题频繁出现.所以，同学们在平时的学习中，要多注意练习、总结这类题型的解题方法，轻松面对圆中的最值问题.