离散数学证明题

离散数学证明题（精选9篇）

离散数学证明题 第1篇

离散数学证明题

离散数学证明题:链为分配格

证明设a,b均是链A的元素，因为链中任意两个元素均可比较，即有a≤b或a≤b，如果a≤b，则a,b的最大下界是a,最小上界是b，如果b≤a，则a,b的最大下界是b,最小上界是a，故链一定是格,下面证明分配律成立即可,对A中任意元素a,b,c分下面两种情况讨论:

⑴b≤a或c≤a

⑵a≤b且a≤c

如果是第⑴种情况,则a∪(b∩c)=a=(a∪b)∩(a∪c)

如果是第⑵种情况,则a∪(b∩c)=b∩c=(a∪b)∩(a∪c)

无论那种情况分配律均成立,故A是分配格.一.线性插值(一次插值)

已知函数f(x)在区间的端点上的函数值yk=f(xk),yk+1=f(xk+1),求一个一次函数y=p1(x)使得yk=f(xk),yk+1=f(xk+1),其几何意义是已知平面上两点(xk,yk),(xk+1,yk+1),求一条直线过该已知两点。

1.插值函数和插值基函数

由直线的点斜式公式可知：

把此式按照yk和yk+1写成两项:

记

并称它们为一次插值基函数。该基函数的特点如下表：

从而

p1(x)=yklk(x)+yk+1lk+1(x)

此形式称之为拉格朗日型插值多项式。其中,插值基函数与yk、yk+1无关，而由插值结点xk、xk+1所决定。一次插值多项式是插值基函数的线性组合,相应的组合系数是该点的函数值yk、yk+1.例1:已知lg10=1,lg20=1.3010,利用插值一次多项式求lg12的近似值。

解:f(x)=lgx,f(10)=1,f(20)=1.3010,设

x0=10,x1=20,y0=1,y1=1.3010

则插值基函数为：

于是,拉格朗日型一次插值多项式为:

故:

即lg12由lg10和lg20两个值的线性插值得到,且具有两位有效数字(精确值lg12=1.0792).二.二次插值多项式

已知函数y=f(x)在点xk-1,xk,xk+1上的函数值yk-1=f(xk-1),yk=f(xk),yk+1=f(xk+1),求一个次数不超过二次的多项式p2(x),使其满足,p2(xk-1)=yk-1,p2(xk)=yk,p2(xk+1)=yk+1.其几何意义为:已知平面上的三个点

(xk-1,yk-1),(xk,yk),(xk+1,yk+1),求一个二次抛物线,使得该抛物线经过这三点。

1.插值基本多项式

有三个插值结点xk-1,xk,xk+1构造三个插值基本多项式，要求满足：

(1)基本多项式为二次多项式;(2)它们的函数值满足下表：

因为lk-1(xk)=0,lk-1(xk+1)=0,故有因子(x-xk)(x-xk+1),而其已经是一个二次多项式,仅相差一个常数倍,可设

lk-1(x)=a(x-xk)(x-xk+1),又因为

lk-1(xk-1)=1==>a(xk-1-xk)(xk-1-xk+1)=

1得

从而

同理得

基本二次多项式见右上图(点击按钮“显示Li”)。

2.拉格朗日型二次插值多项式

由前述,拉格朗日型二次插值多项式:

p2(x)=yk-1lk-1(x)+yklk(x)+yk+1lk+1(x),p2(x)

是三个二次插值多项式的线性组合,因而其是次数不超过二次的多项式,且满足:

p2(xi)=yi,(i=k-1,k,k+1)。

例2已知：

xi101520

yi=lgxi11.17611.3010

利用此三值的二次插值多项式求lg12的近似值。

解：设x0=10,x1=15,x2=20,则:

故:

所以

7利用三个点进行抛物插值得到lg12的值,与精确值lg12=1.0792相比,具有3位有效数字,精度提高了。

三、拉格朗日型n次插值多项式

已知函数y=f(x)在n+1个不同的点x0,x1,…,x2上的函数值分别为

y0,y1,…,yn,求一个次数不超过n的多项式pn(x),使其满足:

pn(xi)=yi,(i=0,1,…,n),即n+1个不同的点可以唯一决定一个n次多项式。

1.插值基函数

过n+1个不同的点分别决定n+1个n次插值基函数

l0(x),l1(x),…,ln(X)

每个插值基本多项式li(x)满足：

(1)li(x)是n次多项式;

(2)li(xi)=1,而在其它n个li(xk)=0,(k≠i)。

由于li(xk)=0,(k≠i),故有因子:

(x-x0)…(x-xi-1)(x-xi+1)…(x-xn)

因其已经是n次多项式，故而仅相差一个常数因子。令:

li(x)=a(x-x0)…(x-xi-1)(x-xi+1)…(x-xn)

由li(xi)=1,可以定出a,进而得到：

2.n次拉格朗日型插值多项式pn(x)

pn(x)是n+1个n次插值基本多项式l0(x),l1(x),…,ln(X)的线性组合,相应的组合系数是y0,y1,…,yn。即:

pn(x)=y0l0(x)+y1l1(x)+…+ynln(x),从而pn(x)是一个次数不超过n的多项式,且满足

pn(xi)=yi,(i=0,1,2,…,n).例3求过点(2,0),(4,3),(6,5),(8,4),(10,1)的拉格朗日型插值多项式。

解用4次插值多项式对5个点插值。

所以

四、拉格朗日插值多项式的截断误差

我们在上用多项式pn(x)来近似代替函数f(x),其截断误差记作

Rn(x)=f(x)-pn(x)

当x在插值结点xi上时Rn(xi)=f(xi)-pn(xi)=0,下面来估计截断误差：

定理1：设函数y=f(x)的n阶导数y(n)=f(n)(x)在上连续，y(n+1)=f(n+1)(x)

在(a,b)上存在;插值结点为:

a≤x0

pn(x)是n次拉格朗日插值多项式;则对任意x∈有：

其中ξ∈(a,b),ξ依赖于x：ωn+1(x)=(x-x0)(x-x1)…(x-xn)

证明：由插值多项式的要求：

Rn(xi)=f(xi)-pn(xi)=0，(i=0,1,2,…,n);

设

Rn(x)=K(x)(x-x0)(x-x1)…(x-xn)=K(x)ωn+1(x)

其中K(x)是待定系数;固定x∈且x≠xk，k=0,1,2,…,n;作函数

H(t)=f(t)-pn(t)-K(x)(t-x0)(t-x1)…(t-xn)

则H(xk)=0，(k=0,1,2,…,n),且H(x)=f(x)-pn(x)-Rn(x)=0,所以，H(t)在上有n+2个零点，反复使用罗尔中值定理:存在ξ∈(a,b),使;因pn(x)是n次多项式，故p(n+1)(ξ)=0,而

ωn+1(t)=(t-x0)(t-x1)…(t-xn)

是首项系数为1的n+1次多项式，故有

于是

H(n+1)(ξ)=f(n+1)(ξ)-(n+1)!K(x)

得：

所以

设,则：

易知，线性插值的截断误差为:

二次插值的截断误差为:

下面来分析前面两个例子(例1，例2)中计算lg12的截断误差：

在例1中，用lg10和lg20计算lg12,p1(12)=1.0602,lg12=1.0792

e=|1.0792-1.0602|=0.0190;

估计误差：f(x)=lgx，当x∈时,2

离散数学证明题 第2篇

1．设G是一个n阶无向简单图，n是大于等于3的奇数．证明图G与它的补图G中的奇数度顶点个数相等． 证明：设GV,E，V,E．则E是由n阶无向完全图Kn的边删去E所得到的．所以对于任意结

点uV，u在G和G中的度数之和等于u在Kn中的度数．由于n是大于等于3的奇数，从而Kn的每个结点都是偶数度的（n1(2)度），于是若uV在G中是奇数度结点，则它在G中也是奇数度结点．故图G与它的补图G中的奇数度结点个数相等．

k条边才能使其成为欧拉图．

2证明：由定理3.1.2，任何图中度数为奇数的结点必是偶数，可知k是偶数．

又根据定理4.1.1的推论，图G是欧拉图的充分必要条件是图G不含奇数度结点．因此只要在每对奇数度结点之间各加一条边，使图G的所有结点的度数变为偶数，成为欧拉图． k故最少要加条边到图G才能使其成为欧拉图． 2

五、证明题

1．试证明集合等式：A(BC)=(AB)(AC)．

证：若x∈A(BC)，则x∈A或x∈BC，即x∈A或x∈B且x∈A或x∈C．

即x∈AB且x∈AC，即x∈T=(AB)(AC)，所以A(BC)(AB)(AC)．

反之，若x∈(AB)(AC)，则x∈AB且x∈AC，即x∈A或x∈B且x∈A或x∈C，即x∈A或x∈BC，即x∈A(BC)，所以(AB)(AC) A(BC)．

因此．A(BC)=(AB)(AC)．

2．对任意三个集合A, B和C，试证明：若AB = AC，且A，则B = C．

证明：设xA，yB，则AB，因为AB = AC，故 AC，则有yC，所以B C．

设xA，zC，则 AC，因为AB = AC，故AB，则有zB，所以CB．

故得B = C．

3、设A，B是任意集合，试证明：若AA=BB，则A=B．

许多同学不会做，是不应该的．我们看一看

证明：设xA，则AA，因为AA=BB，故BB，则有xB，所以AB．

设xB，则BB，因为AA=BB，故AA，则有xA，所以BA．

故得A=B．

2．设连通图G有k个奇数度的结点，证明在图G中至少要添加

1．试证明命题公式(P(QR))PQ与（PQ）等价．

证：(P(QR))PQ(P(QR))PQ

((PQR)P)Q

PQ（吸收律）

(PQ)（摩根律）

2．试证明(x)(P(x)R(x))(x)P(x)(x)R(x)．

分析：前提：(x)(P(x)R(x))，结论：(x)P(x)(x)R(x)．

证明(1)(x)(P(x)R(x))P

(2)P(a)R(a)ES(1)(存在指定规则)

(3)P(a)T(2)（化简）

(4)(x)P(x)EG(3)(存在推广规则)

(5)R(a)T(2)（化简）

(6)(x)R(x)EG(5)(存在推广规则)

(7)(x)P(x)(x)R(x)T(4)(6)（合取引入）

2．设集合A={1,2,3,4}，B={2, 4, 6, 8}，判断下列关系f：A→B是否构成函数，并说明理由．

(1)f={<1, 4>,<2, 2,>,<4, 6>,<1, 8>}；(2)f={<1, 6>,<3, 4>,<2, 2>}；

(3)f={<1, 8>,<2, 6>,<3, 4>,<4, 2,>}．

解：(1)f不能构成函数．

因为A中的元素3在f中没有出现．

(2)f不能构成函数．

因为A中的元素4在f中没有出现．

(3)f可以构成函数．

因为f的定义域就是A，且A中的每一个元素都有B中的唯一一个元素与其对应，满足函数定义的条件．

三、公式翻译题

1．请将语句“今天是天晴”翻译成命题公式．

解：设P：今天是天晴；

则命题公式为： P．

问：“今天不是天晴”的命题公式是什么？

2．请将语句“小王去旅游，小李也去旅游．”翻译成命题公式．

解：设P：小王去旅游，Q：小李去旅游，则命题公式为：PQ．

注：语句中包含“也”、“且”、“但”等连接词，命题公式要用合取“”．

3．请将语句“他去旅游，仅当他有时间．”翻译成命题公式．

解：设P：他去旅游，Q：他有时间，则命题公式为：PQ．

注意：命题公式的翻译还要注意“不可兼或”的表示．

例如，教材第164页的例6 “T2次列车5点或6点钟开．”怎么翻译成命题公式？这里的“或”为不可兼或．

4．请将语句“所有人都努力工作．”翻译成谓词公式．

解：设P(x)：x是人，Q(x)：x努力工作．

离散数学逻辑推理证明方法的探讨 第3篇

1 命题逻辑证明题及常见证明方法概述

命题逻辑证明题通常由若干个前提和一个需要证明的结论组成。前提和前提直接用逗号或者合取符号相连。

设H1,H2,,Hn和C是命题公式,若蕴含式

成立,则称C是前提集合{H1,H2,,Hn}的有效结论。证明命题公式C为前提集合有效结论的过程就是命题逻辑推理证明的过程。

对于常见的命题逻辑推理证明有三种最常用证明方法,分别是直接证明法,间接证明法和真值表法。其中间接证明法里面常见的是CP规则证明法和反证法,本文主要介绍直接证明法和间接证明法,真值表法考试使用较少故不在本文中累述。

2 直接证明法

直接证明法就是由一组前提,利用一些公认的推理规则,根据已知的等价或者蕴含公式,推演得到有效的结论。

在学生熟悉了逻辑恒等式和常用的推理规则后,大多数证明题都可以用直接证明法方便证明出。

以下是某教材中的一道例题,本文将分别用直接证明法,CP规则证明法,和反证法三种方法对其进行证明。对于证明这里必须注意,不管使用什么样的证明方法,证明过程中的中间结论必须写成真值为T的命题公式。

例1:证明(P∨Q),(PR),(QS)推导出S∨R

分析:本题目需要证明的结论是个析取式可以用过蕴含表达式转换为蕴含式,即S∨R⇔¬SR,所以本题实际只要推导出¬SR为真即可得证。

具体证明过程如下:

证明:

3 CP规则证明法

设H1,H2,,Hn,R和S是命题公式,欲证明H1∧H2∧...∧HnÞRS成立,只需要证明H1∧H2∧...∧Hn∧RÞS成立。这种证明方法称之为CP规则证明法。根据CP规则的点,这种证明方法比较适合于证明结论中带有蕴含连接词,也就是说结论是形如AB的命题公式,用CP规则证明可能比较简便。再复杂的结论如形如A(BC)的命题公式,也可以通过连续使用两次CP规则的方式来证明,如果这样的结论使用直接证明法则需要将结论由蕴含词形式转化为合取或者析取词形式的命题公式再来证明,是证明过程更加复杂。

现用CP规则证明本文例题1,

分析:由于S∨R⇔¬SR,所以例题1的结论部分其实也是形如AB的命题公式,可以方便的很使用CP规则证明法。此时可以把结论的前件S作为附加前提,使本题的前提多了一个,减小了证明难度,只需要证明结论的后件证明R成立即可证明,具体过程如下

证明:

因为S∨R⇔¬SR,所以原题即证(P∨Q)∧(PR)∧(QS)⇒¬SR

4 反证法

某些用直接证明不好证明的题目很多可以用反证法来证明。

设H1,H2,,Hn,R和S是命题公式,欲证明H1∧H2∧...∧Hn⇒C,只要证明H1∧H2∧...∧Hn∧¬C蕴含着矛盾式即可,即H1∧H2∧...∧Hn∧¬C⇒R∧¬R。这样的证明方法称之为反证法。

现用反证法证明本文例题1,

分析:用反证法证明首先要假设结论部分命题公式的否定为真,并作为附加前提,在证明过程证得到任意形式的两个互相矛盾的命题公式证明即结束。例题1中,结论是形如A∨B的命题公式,否定之后再去掉括号会变成合取式,又因为合取式两边的部分都为真,所以这样相当于多了两个隐含的前提,是证明难度降低。具体过程如下

证明:

5 结束语

综上本文介绍了一些常用的命题公式证明方法,具体选什么样的方法要根据具体题目而定。能够灵活运用这些方法可以使学生在考试中大大减少解答此类证明题目的时间。

参考文献

[1]方世昌.离散数学[M].西安:西安电子科技大学出版社,1996.

[2]左孝凌.离散数学[M].上海:上海科学技术文献出版社,1982.

议论文不是数学证明题 第4篇

各位看官，《老残游记新编》主打篇目“近年目睹作文之怪现状”——遍观议论，文将不文。乍看观点鲜明，实例丰富，洋洋洒洒，论证有力，齐整有序，而至滴水不漏；再看结构呆板，数学模式，死守步骤，干瘪无味，套路刻意，实为简单肤浅。且劝诸生：文章不是无情物，老师都是有心人，作文不是纯粹证明，思维不可浅尝辄止，有我有感手写我心，多想心思拓展引申。文之为文，有情有魂！

【考纲概述】

高考议论文写作要求：观点明确，论证有力，论据充实。因此有些老师和同学据此得出一个写作公式：论据1+论据2+论据3=观点。这样，就把议论文当成数学证明题了。

走在最前，落于最后

不要总羡慕那些站立云端之上的人，其实站得太高更容易跌落，他们害怕跌落；不要总轻视最底层的人，他们在承受巨大的压力。所以说，世上最痛苦的人有两种：一种是走在最前端的人；一种是走在最后的人。

一条犹如长龙的队伍，第一个人很快地就买到了物品，而最后一个在焦急不安中等待着。第一个之所以能是第一，说明他必须比其他人来得更加早，他害怕，他担心：“我会不会是第一个？不是怎么办？”最后一个人痛苦地等待，他也害怕，他也担心：等轮到他了是否还会有；轮到他了是不是变凉了，变烂了，变质了。

中国经济快速发展，超越日本，位居世界第二。美国一直在围堵中国，企图阻碍中国的发展。美国为什么这样做？美国是世界上最强大的国家，站立云端。但美国又处在痛苦之中，他自己被中国超越，因此总是处处提防着中国，与中国为敌，甚至叫嚣“中国威胁论”。而非洲一些国家因历史原因，在世界队伍中，落于最后。他们处在水深火热的痛苦之中，忍受着饥饿、寒冷、疾病等一系列常人无法想象的痛苦。身处云端，走在最前，便就幸福，便就没有痛苦吗？不，他们最为痛苦，因为他们害怕跌落，害怕自己领先的位置被人取代。落于最后的人就无忧虑吗？不，他们最为痛苦，因为他们忍受着种种苦难，承受着最为巨大的压力，被忽略，被轻视。世界上最痛苦的人莫过于此：身处云端，害怕跌落；落于最后，压力巨大。

“本是同根生，相煎何太急”。是啊，相煎何太急！曹丕、曹植都是曹操的儿子。曹操死后，曹丕子承父业，建立魏国，正所谓“最前面的人”。曹丕却处在痛苦中，害怕兄弟夺权，便命曹植作七步诗，若作不出来，便要杀他。至亲兄弟却如此，不就是因为曹丕身处云端，害怕跌落吗？身处云端并不幸福，甚至最为痛苦。害怕跌落，因为不知道下面是不是无底深渊。

好比学生，第一名的人总是害怕被超越，虽然第一总会喜悦，但也最为痛苦；最后一名的人得面对家长、老师，在巨大的压力中痛苦徘徊。世界上最为痛苦的两种人：第一名、最后一名。

大雁南飞，带头的大雁会时刻担心后面的一群大雁是否都能跟上；最后一只会害怕跟不上，迷了路，回不了家。群雁南飞：二雁最苦，第一与最后。

世界上最痛苦的人便是身处云端的人，他们害怕跌落；落于最后面的人，他们承受巨大压力。所谓“最穷人”与“最富人”。“最穷人”每天都在忧虑生活问题：“下一顿呢？下一顿怎么办？”最富人每天都在担心：“钱藏哪儿？被偷了怎么办？”

不要落于最后，要勇往直前；不要担心跌落，云端之上风景未必最好。世界上最痛苦的是两种人：走在最前，落于最后。走在最前的人跌落也没关系，沿途风光无限。

[范文解析]

本文开篇提出论点：走在最前和走在最后的人是世上最痛苦的人。然后罗列众多自然的、社会的、中国的、外国的、现在的、过去的事例来证明论点。最后重申观点，仅此而已。显然，本文除了证明“走在最前和走在最后的人是世上最痛苦的人”这个观点之外，没能给读者提供有益的人生启示。只是为证明而证明，像是在解答一道数学证明题。这是对议论文写作的一种误解。

我们写文章，特别是写议论文，不仅要提出观点，证明观点，更重要的是在论证观点的同时，对读者进行规劝引导，为读者提供有益的人生启示。

[范文例举]

走在最前，落于最后

有人认为，世界上有两种人最痛苦：一种是走在最前面的人，另一种是走在最后面的人。可是，我并不认为走在最后面的人最痛苦。

生活速度的加快逼着我们加快脚步，可是我们为什么不能试着让自己的生活慢下来呢？为什么有那么多的压力呢？何为压力？不过是人与人相比，落后的那个人感受到的痛苦。生活那么美好，他们仅仅因为走在别人后面而选择了最愚蠢的方法；如果他们愿意用乐观的心态面对落后，那么将会有多少家庭可以继续快乐的日子。为什么总要争第一呢？走在最后的人也有一鸣惊人的机会。别为你的落后感到痛苦，落后只是为了让你更好地前进。

古人云：“胜者为王，败者为寇。”难道失败的人就是最痛苦的人吗？不，看看轨道上行驶的火车吧。几百年前，史蒂芬将他发明的火车在轨道上试行时，当时一辆马车的速度都能超过火车，于是人们认为史蒂芬的火车只是一堆烂铁，可史蒂芬并不认为自己是一个失败者，他并不为失败而感到痛苦。在他的努力下，高速火车终于问世。在高速发展的现代，当时的马车早已不见踪影。试想：如果当时的史蒂芬为自己的落后感到失望、痛苦，也许也就不会有今天的高铁了。

走在最后的人未必痛苦，人生总是要面对各种失败，如果只是因为一次失败而痛苦，因为走在最后而痛苦，我们的人生岂不少了很多乐趣？落后只是为了让我们更好地前进。

时间会忘记很多人，但是时间不会忘记那些蓄势待发的人。作为一名歌手，朴树的歌真是少之又少：10年前的一张专辑和一首《平凡的路》。整整相距10年，10年中，朴树应当是走在最后面的人，可他并不为此感到痛苦，而是蓄势待发，等待那个不平凡的《平凡的路》。落后的人也许是个幸福的人，未必是痛苦的人。走在最后，也许会看到别样的风景。

落后是常有的，有时候走在最后也是不可避免的，如果你现在正走在最后，请不要痛苦，作一个乐观的人，蓄势待发，等待着一鸣惊人。

[范文解析]

本文作者论证观点时，不是为证明而证明，而是给了读者几个启示，比如，“落后只是为了让你更好地前进”和“落后是常有的，有时候走在最后也是不可避免的，如果你现在正走在最后，请不要痛苦，作一个乐观的人，蓄势待发，等待着一鸣惊人”等句充满了人生教益。

[类文生成]

一篇议论文，首先要有启发性。那种为说理而说理、心中没有读者的议论文，既没有说服力，也没有启发性；其次要有现实性，所谓现实性就是在论证完观点后，一定要与现实生活联系起来，不要脱离现实生活，空说道理。比如一篇《人生的“出”与“入”》的高考满分作文，作者论证完数学家“在推算过程中经常客观地审查自己的步骤和数据，就可能不会留下这个遗憾了”这一观点后，进一步引申“科学如此，人生又何尝不是？常常有人后悔自己什么做得不好，什么不该做，事后再多的悔恨也于事无补，我们应该从中吸取教训，对‘出’的意义有一个更好的认识”。这种引申说理的写法会使读者得到启发和教育。

[有感写作]

请以“逼，然后飞”为题写一篇议论文，不少于800字。切忌当成数学证明题。

离散数学证明题解题方法 第5篇

1、定义和定理多。

离散数学是建立在大量定义上面的逻辑推理学科。因而对概念的理解是我们学习这门学科的核心。在这些概念的基础上，特别要注意概念之间的联系，而描述这些联系的实体则是大量的定理和性质。

●证明等价关系：即要证明关系有自反、对称、传递的性质。

●证明偏序关系：即要证明关系有自反、反对称、传递的性质。（特殊关系的证明就列出来两种，要证明剩下的几种只需要结合定义来进行）。

●证明满射：函数f：XY，即要证明对于任意的yY，都有x

或者对于任意的f(x1)=f(x2)，则有x1=x2。

●证明集合等势：即证明两个集合中存在双射。有三种情况：第一、证明两个具体的集合等势，用构造法，或者直接构造一个双射，或者构造两个集合相互间的入射；第二、已知某个集合的基数，如果为א，就设它和R之间存在双射f，然后通过f的性质推出另外的双射，因此等势；如果为א0，则设和N之间存在双射；第三、已知两个集合等势，然后再证明另外的两个集合等势，这时，先设已知的两个集合存在双射，然后根据剩下题设条件证明要证的两个集合存在双射。

●证明群：即要证明代数系统封闭、可结合、有幺元和逆元。（同样，这一部分能够作为证明题的概念更多，要结合定义把它们全部搞透彻）。

●证明子群：虽然子群的证明定理有两个，但如果考证明子群的话，通常是第二个定理，即设是群，S是G的非空子集，如果对于S中的任意元素a和b有a*b-

1是的子群。对于有限子群，则可考虑第一个定理。

●证明正规子群：若是一个子群，H是G的一个子集，即要证明对于任意的aG，有aH=Ha，或者对于任意的hH，有a-1 *h*aH。这是最常见的题目中所使用的方法。●证明格和子格：子格没有条件，因此和证明格一样，证明集合中任意两个元素的最大元和最小元都在集合中。

图论虽然方法性没有前几部分的强，但是也有一定的方法，如最长路径法、构造法等等 下面讲一下离散证明题的证明方法：

1、直接证明法

直接证明法是最常见的一种证明的方法，它通常用作证明某一类东西具有相同的性质，或者符合某一些性质必定是某一类东西。

直接证明法有两种思路，第一种是从已知的条件来推出结论，即看到条件的时候，并不知道它怎么可以推出结论，则可以先从已知条件按照定理推出一些中间的条件（这一步可能是没有目的的，要看看从已知的条件中能够推出些什么），接着，选择可以推出结论的那个条件继续往下推演；另外一种是从结论反推回条件，即看到结论的时候，首先要反推一下，看看S,则X，使得f(x)=y。●证明入射：函数f：XY，即要证明对于任意的x1、x2X，且x1≠x2，则f(x1)≠f(x2)；

从哪些条件可以得出这个结论（这一步也可能是没有目的的，因为并不知道要用到哪个条件），以此类推一直到已知的条件。通常这两种思路是同时进行的。

2、反证法

反证法是证明那些“存在某一个例子或性质”，“不具有某一种的性质”，“仅存在唯一”等的题目。

它的方法是首先假设出所求命题的否命题，接着根据这个否命题和已知条件进行推演，直至推出与已知条件或定理相矛盾，则认为假设是不成立的，因此，命题得证。

3、构造法

证明“存在某一个例子或性质”的题目，我们可以用反证法，假设不存在这样的例子和性质，然后推出矛盾，也可以直接构造出这么一个例子就可以了。这就是构造法，通常这样的题目在图论中多见。值得注意的是，有一些题目其实也是本类型的题目，只不过比较隐蔽罢了，像证明两个集合等势，实际上就是证明“两个集合中存在一个双射”，我们即可以假设不存在，用反证法，也可以直接构造出这个双射。

4、数学归纳法

数学归纳法是证明与自然数有关的题目，而且这一类型的题目可以递推。作这一类型题目的时候，要注意一点就是所要归纳内容的选择。

学习离散数学的最大困难是它的抽象性和逻辑推理的严密性。在离散数学中，假设让你解一道题或证明一个命题，你应首先读懂题意，然后寻找解题或证明的思路和方法，当你相信已找到了解题或证明的思路和方法，你必须把它严格地写出来。一个写得很好的解题过程或证明是一系列的陈述，其中每一条陈述都是前面的陈述经过简单的推理而得到的。仔细地写解题过程或证明是很重要的，既能让读者理解它，又能保证解题过程或证明准确无误。一个好的解题过程或证明应该是条理清楚、论据充分、表述简洁的。针对这一要求，在讲课中老师会提供大量的典型例题供同学们参考和学习。

在学习离散数学中所遇到的这些困难，可以通过多学、多看、认真分析讲课中所给出的典型例题的解题过程，再加上多练，从而逐步得到解决。在此特别强调一点：深入地理解和掌握离散数学的基本概念、基本定理和结论，是学好离散数学的重要前提之一。所以，同学们要准确、全面、完整地记忆和理解所有这些基本定义和定理。

学好高数＝基本概念透＋基本定理牢＋基本网络有＋基本常识记＋基本题型熟。数学就是一个概念＋定理体系(还有推理)，对概念的理解至关重要，比如说极限、导数等

再快乐的单身汉迟早也会结婚,幸福不是永久的嘛！

爱就像坐旋转木马，虽然永远在你爱人的身后，但隔着永恒的距离。

离散数学证明方法有哪些 第6篇

离散数学中的概念和定理偏多，思维较抽象，证明强调技巧性但变化不多。我觉得这是一门很需要找“感觉”的数学科目。首先要强记所学内容的相关定义和定理，随后学习证明过程时必须结合定义和定理，即每推一步就弄清其根据的是什么定义或定理。用这种方法学习一段时间后对证明就有一定感觉了，再做证明题就会感觉顺手很多。

了解概念是必要的，如果概念没有了解清楚，就无法很好的了解各种定理了。初学者学习离散数学一定要对概念弄清楚是怎么来的，基于什么客观事实，所有的离散概念都源于实践，因此，如果脱离实践去单纯的了解离散中的概念会很难理解。《离散数学及其应用》是一本我个人觉得比较全面的书，但是建议还是配套一些国内的书籍看，比如现在普遍使用的曲婉玲老师的教材。这两本相互补充。教学中，我会采用曲婉玲老师的教材，难度适中，但是很多定理没有证明，就补充离散数学及其应用帮助理解。

离散数学三、四章检测题及答案 第7篇

一、填空题（每空2分，共40分）

1．若集合A的基数为n，则AP(A)。n2n

２．设A=｛｛，｛｝｝｝，则A×P(P())=。其中P(A)表示集合A的幂集．{{,{}},,{,{}},{}}

3．设A{{a,{b,c}}}，则P(A)=。其中

P(A)表示集合A的幂集．{,{{a,{b,c}}}}

4．设A={1，2，3}，A上的二元关系R={1,1,1,2,1,3,3,3}，则关系R具有性。反对称，传递。



5．设R是集合A上的二元关系，则S(R)=，t(R)=。RR1；

i1R i

6．设R是集合A上的具有自反性、对称性、反对称性和传递性的二元关系，则



10（IA，R=，R的关系矩阵是。001000或单位矩阵）1

7． 在偏序集A,中，其中A={1,2,3,4,6,8,12,14}，≤是A中的整除关系，则集合B={2,3,4,6}的极大元是 4,6，极小元是2,3，最大元是无，最小元是无，上确界是12，下确界是1。

8．设A{{},},}1{0,B, 所有从A到B的双射函数是f

1{,0,{},1,f2{,1,{},0。

9．设f是A到B的函数，如果对x1,x2A,x1x2，都有f(x1)f(x2)，则称f为，如果ran(f)B，则称f为 f，则称f为双射。当f为双射时，f

f11是B到A的函数，且ff1f=。（单射，满射；既是单射又是满射； IB； IA）

二、单项选择题（每小题2分，共20分）

1．设R1和R2是集合A上的任意两个关系，则下列命题为真的是（）．(1)

(1)．若R1和R2是自反的，则R1R2也是自反的；(2)．若R1和R2是非自反的，则R1R2也是非自反的；(3)．若R1和R2是对称的，则R1R2也是对称的；(4)．若R1和R2是传递的，则R1R2也是传递的．

２．集合A上的关系R为一个偏序关系，当且仅当R具有（）。(2)(1)．自反性、对称性和传递性；(2)．自反性、反对称性和传递性；(3)．反自反性、对称性和传递性；(4)．反自反性、反对称性和传递 ３．集合A上的关系R为一个等价关系，当且仅当R具有（）。(1)(1)．自反性、对称性和传递性；(2)．自反性、反对称性和传递性；

(3)．反自反性、对称性和传递性；(4)．反自反性、反对称性和传递性

４．集合A上的等价关系R，其等价类的集合｛aRaA｝称为（）．(3)

(1)．A与R的并集，记为A∪R；(2)．A与R的交集，记为A∩R；(3)．A与R的商集，记为A／R；(4)．A与R的差集，记为A－R．

５．设集合A{0,1,2,3}，R={<0,0>,<0,2>,<1,2>,<1,3>,<2,0>,<2,1>,<3,3,>}是A上的二元关系，则R的关系矩阵MR是()。（2）

11（1）．00

0100

1001

0100（2）.11

10

0010

1100

00

11（3）.00

11

0011

0101

11

00（4）.01

01

1000

1101

0

110

６．设A{1,2,3,4,5,6},B{a,b,c,d,e}，以下哪一个关系是从A到B的满射(2)。

(1)．R{a,2,b,3,c,4,d,5,e；(2)．R{e,2,d

3,c,4,b,5,a,6,e；

(3)．R{a,2,b,3,c,4,a,5,b,6,c ；(4)．R{a,2,b,3,c,4,d,5,e,b ．

7．设A{a,b,c}，集合A上的等价关系R所确定的A的划分的是{{a},{ b, c }}，则

R=(1)

（1）． {< a, a>,,,,}（2）．{< a ,b>,,,}

（3）．{< a ,b>,,}（4）．{< a, a>,< a ,b>,,,,} 8．设Z为整数集，f：ZZ，f(i)i(mod3)，则f是（）．（3）

(1)．是入射不是满射；(2)．是满射不是入射；(3)．既非入射也非满射；(4)．是双射． 9．设f,g,h是集合A上的任意函数，下列哪个命题是真命题（）．（3）

(1)． fggf ；(2)．fff；(3)．f(gh)(fg)h；(4)．fgh．10．设A{1,2,3},B{a,b}，下列二元关系R为A到B的函数的是(1)

(1)．R{a,2,a,3,a ；(2)．R{a,2,b；

(3)．R{a,b,2,a,3,a ；(4)．R{a,1,b,2,a,3,b ．

三、简答题（共30分）

1．（6分）设A={1,2,3,5,6,10,15,30}，“／” 为集合A上的整除关系。〈A，／〉是否为偏序集?若是，画出其哈斯图；

解：〈A，／〉是偏序集。其哈斯图为：

2．（12分）对下图所给的偏序集A,，求下表所列集合的上（下）界，上（下）确界，并将结果填入表中。

3．（6分）设 A

={1,2,3,4,5,6}，集合A上的关系

R={〈1,3〉,〈1,5〉,〈2,5〉,〈4,4〉,〈4,5〉,〈5,4〉,〈6,3〉,〈6,6〉}。（1）画出R的关系图，并求它的关系矩阵；（2）求r(R),S(R)及 解：（1）R的关系图为

t(R)。

R的关系矩阵为

M

R

0

00000

000000

10000

1000110

110100

0

00

0（2分）01

（2）r(R)R{1,1,2,2,3,3,5,5，（1分）

S(R)R3,51, ,（31,分）6 }t(R)R1,4 5}2分）,5（4．设Z是整数集，R是Z上的模3同余关系，即R{x,yx,yZ,xy(mod3)}，试根据等价关系R决定Z的一个划分。答案：由R决定的Z的划分为：{

0R,1R,2R}，其中：

0R{,9,6,3,0,3,6,9,}1R{,8,5,2,1,4,7,}

2R{,7,4,1,2,5,8,}

四．证明题（共10分）

１．设a,bR,ab, 定义f:[a,b][0,1]为 f(x)

其逆映射。

证：1）先证明f是入射（2分）

xaba，证明：f是双射，并求出

对任意的x1,x2a,b,若f(x1)f(x2),则有

x1aba



x2aba，从而有

x1x2，故

f是入射。

2)再证明f是满射（2分）

对任意的y0,1,都存在x(ba)yaa,b,使得f(x)y,从而f是满射。

综合（1）、（2）知f是双射。f

1

:[0,1][a,b]为 f

1

(x)(ba)xa，对任意

浅谈初中数学几何证明题教学 第8篇

如何针对初中数学几何证明题的特点,调动学生的主观能动性,提高几何证明题的教学效果,我结合个人教学实际,谈几点粗浅看法.

一、尊重教材

苏教版初中数学几何教材中,有几个重点环节,如平行线、轴对称图形、中心对称图形、相似图形等,这些章节的知识几乎无一例外都有证明题可供考查. 与这些知识点相关的证明题,一般来说难度不小,对于刚刚接触几何知识的初中生来讲,是一个很大的挑战. 要抓好这部分证明题的教学,我认为首先就是要尊重教材.

教材是一切教学工 作的根源. 教材中有 很多经典 的例题,这些例题几乎可以涵盖初中几何所有的知识点,可以说,把教材上的例题讲通讲透, 学生能完全消化教材的例题,应该说学生就可以解决百分之八十的基本证明题. 现实状况下,有些几何教师对证明题的讲解存在认识的误区,认为没有什么值得仔细讲、反复讲的,尽快讲完直接进入课后练习.这种教学方式是不科学的,也是不合理的,我认为教材上的例题,至少要到边到角地讲三遍,每一遍都有不同的任务,第一遍是让学生大致了解题目要求证明的结论和题目提供的条件;第二遍是让学生明白如何通过给定的条件和现有的定理逐步得到要证明的结论,第三遍则是让学生做好细节上的处理工作.

二、做好细节的规范书写

初中几何证明题有着严谨的格式要求,证明题的书写还需要思路明确、步骤清晰、过程精练,这样的证明过程才能得到更高的评价. 教学实际中,通常遇到学生证明步骤烦琐,证明格式不规范,箭头指来指去,看得头晕眼花,不少数学老师对此大为光火. 其实,更多的时候,我们要反思自己在教学中是否做得到位,做得细心.

有的数学教师对于证明题示例的细节上把握不够,他们认为只要我能把证明思路、关键的步骤给学生演示一下就够了,至于其他的地方,没有必要过于苛求. 比如在板书的过程中,有的为了赶进度,图简单省事,一些看似不重要的证明步骤一笔带过,有的书写不够规范,有的字迹过于潦草,黑板上箭头指来指去,如同一幅军事作战指挥图,学生看起来很累,也很容易产生歧义.

如果教师是这种教学心态,那么也无法搞好几何证明题教学工作的,首先几何证明题本身就是一个严谨、严密的逻辑推理过程,没有做好细节自然就漏洞百出,所以,要充分认识到细节的重要性,为学生做好细节示范. 其次,学高为师,身正为范, 这也是对教师教学工作的一个基本要求. 如果教学时间不是很充足,宁愿放弃示范也不能匆匆了事,一定要把握细节,注意火候,只有我们自己做得足够好,才能理直气壮对学生提要求.

三、抓好强化训练

初中几何证明题的教学, 离不开强化训练. 这种强化训练既要训练学生的逻辑思维, 还要训练学生的答题规范性.比如,在三角形、多边形和圆这些章节的几何证明题中,有不少的题目要求学生作辅助线,不然难以解答.

要能准确作出辅助线,并熟练地运用各种定理来证明几何题, 就需要平时进行一定量的强化训练. 这种强化训练一定不能走入了题海的误区,训练的题目最好是由老师提前把关,量不能太大、太复杂让学生产生畏难的心理,也不能过于简单,我认为以书本上的例题为参考,适当提高点难度为宜.比如,我们可以在一堂课专门训练如何作辅助线,只要作出了辅助线, 我们不要求学生完完整整地书写出整个证明过程,但要注意作出辅助线后续的工作,防止学生误打误撞,只要求他们说出证明的思路就可以进入下一题了.

通过一定量的题目进行强化训练,学生面对各种看似复杂的图形问题,能凭着直觉作出精确的辅助线,作出了辅助线之后解题的思路也就渐渐呈现出来,能较大幅度提高证明题的解题效率.

总而言之,初中数学几何证明题是整个初中数学教学的一大难点,作为数学教师要抓好教材例题的讲解,教学上遇到困难及时带领学生回归教材,多多少少能获得启发和提示.同时也要端正教学心态, 在板书和示范上尽量做细做实,切忌一笔带过, 草草了事. 最后要以一定量的题目及时强化训练,帮助学生牢固掌握知识点和定理的运用,这样才能提高几何证明题的教学质效.

摘要：初中数学几何证明题需要思路明确、步骤清晰、过程精练,才能得到完整的分数.如何在新一轮课程改革的背景下,取得初中几何证明题教学的新突破,是本文着重探讨的一大问题.

初中数学几何证明题教学探讨 第9篇

关键词：初中数学；几何证明题；提高质效

提及初中数学几何证明题，不少学生就头皮发麻，找不到思路，面对各种各样的图形和线条就犯晕，几乎束手无策，更不用说作出精确的辅助线了；有的学生则是风风火火地写了满满一张纸，仔细一看，逻辑混乱，不知所云；还有的学生步骤简单，跳跃幅度大，因果关系没有整理清晰，关键步骤没有写清楚便匆匆得到要证明的结论，多多少少有些滥竽充数的嫌疑，自然也就拿不到证明题的完整分数了。 对于数学教师来讲，初中几何证明题也是教学上的一大难点，似乎在教学中花了不少的力气，但还是有不少的学生对几何证明题的掌握程度无法令人满意，达不到新一轮课程改革的基本要求。 如何針对初中数学几何证明题的特点，调动学生的主观能动性，提高几何证明题的教学效果，我结合个人教学实际，谈几点粗浅看法。

一、尊重教材

苏教版初中数学几何教材中，有几个重点环节，如平行线、轴对称图形、中心对称图形、相似图形等，这些章节的知识几乎无一例外都有证明题可供考查。 与这些知识点相关的证明题，一般来说难度不小，对于刚刚接触几何知识的初中生来讲，是一个很大的挑战。 要抓好这部分证明题的教学，我认为首先就是要尊重教材。

教材是一切教学工作的根源。 教材中有很多经典的例题，这些例题几乎可以涵盖初中几何所有的知识点，可以说，把教材上的例题讲通讲透，学生能完全消化教材的例题，应该说学生就可以解决百分之八十的基本证明题。 现实状况下，有些几何教师对证明题的讲解存在认识的误区，认为没有什么值得仔细讲、反复讲的，尽快讲完直接进入课后练习。 这种教学方式是不科学的，也是不合理的，我认为教材上的例题，至少要到边到角地讲三遍，每一遍都有不同的任务，第一遍是让学生大致了解题目要求证明的结论和题目提供的条件；第二遍是让学生明白如何通过给定的条件和现有的定理逐步得到要证明的结论，第三遍则是让学生做好细节上的处理工作。

二、做好细节的规范书写

初中几何证明题有着严谨的格式要求，证明题的书写还需要思路明确、步骤清晰、过程精练，这样的证明过程才能得到更高的评价。 教学实际中，通常遇到学生证明步骤烦琐，证明格式不规范，箭头指来指去，看得头晕眼花，不少数学老师对此大为光火。 其实，更多的时候，我们要反思自己在教学中是否做得到位，做得细心。

有的数学教师对于证明题示例的细节上把握不够，他们认为只要我能把证明思路、关键的步骤给学生演示一下就够了，至于其他的地方，没有必要过于苛求。 比如在板书的过程中，有的为了赶进度，图简单省事，一些看似不重要的证明步骤一笔带过，有的书写不够规范，有的字迹过于潦草，黑板上箭头指来指去，如同一幅军事作战指挥图，学生看起来很累，也很容易产生歧义。

如果教师是这种教学心态，那么也无法搞好几何证明题教学工作的，首先几何证明题本身就是一个严谨、严密的逻辑推理过程，没有做好细节自然就漏洞百出，所以，要充分认识到细节的重要性，为学生做好细节示范。 其次，学高为师，身正为范，这也是对教师教学工作的一个基本要求。 如果教学时间不是很充足，宁愿放弃示范也不能匆匆了事，一定要把握细节，注意火候，只有我们自己做得足够好，才能理直气壮对学生提要求。

三、抓好强化训练

初中几何证明题的教学，离不开强化训练。 这种强化训练既要训练学生的逻辑思维，还要训练学生的答题规范性。 比如，在三角形、多边形和圆这些章节的几何证明题中，有不少的题目要求学生作辅助线，不然难以解答。

要能准确作出辅助线，并熟练地运用各种定理来证明几何题，就需要平时进行一定量的强化训练。 这种强化训练一定不能走入了题海的误区，训练的题目最好是由老师提前把关，量不能太大、太复杂让学生产生畏难的心理，也不能过于简单，我认为以书本上的例题为参考，适当提高点难度为宜。 比如，我们可以在一堂课专门训练如何作辅助线，只要作出了辅助线，我们不要求学生完完整整地书写出整个证明过程，但要注意作出辅助线后续的工作，防止学生误打误撞，只要求他们说出证明的思路就可以进入下一题了。

通过一定量的题目进行强化训练，学生面对各种看似复杂的图形问题，能凭着直觉作出精确的辅助线，作出了辅助线之后解题的思路也就渐渐呈现出来，能较大幅度提高证明题的解题效率。

总而言之，初中数学几何证明题是整个初中数学教学的一大难点，作为数学教师要抓好教材例题的讲解，教学上遇到困难及时带领学生回归教材，多多少少能获得启发和提示。 同时也要端正教学心态，在板书和示范上尽量做细做实，切忌一笔带过，草草了事。最后要以一定量的题目及时强化训练，帮助学生牢固掌握知识点和定理的运用，这样才能提高几何证明题的教学质效。