二维声子晶体范文

二维声子晶体范文（精选6篇）

二维声子晶体 第1篇

边界条件指在运动边界上方程组的解应满足的定解条件。利用COMSOL Multiphysics等有限元软件进行物理仿真计算时, 模拟域可以是有限或无限大的。在处理一个无限大求解域时, 我们需要设定的边界条件通常有两种——周期性边界和吸收性边界。在本文中, 以声固相互作用模块计算二维声子晶体透射率为例来阐明利用COMSOL软件模拟无限大的物理场时的边界条件问题。

COMSOL Multiphysic计算二维声子晶体透射率

弹性常数及密度周期分布的人工结构被称为声子晶体 (Sonic Crystals) 。本文模拟一个7层厚度的由钢柱按四方晶格排列于空气中组成的声子晶体结构 (如图1) 。由于该结构在竖直方向是周期性排布的, 在模拟中我们对其应用周期性边界条件;该结构在声波入射和出射的水平方向是有限厚的, 我们计算透射率时, 在该方向还需要设定吸收边界条件。下面我们分别介绍这两种边界条件。

周期性边界条件

周期性边界条件 (Periodic Boundary Conditions) 用来模拟所选物理场受到无限大环境影响的情形。在COMSOL Multiphysics中主要有连续性、反周期性、Floquet型以及循环对称型周期性边界条件。

连续性周期边界

连续性周期边界 (Continuity) 中, 源边界和目标边界上的声压和位移的场值相同。模拟域的上、下边界声压和位移关系可由下列关系式给出:

连续性周期性边界一般用于模拟无限大周期性场 (边界无位相差) 。

反周期性边界

反周期性边界 (Antiperiodicity) 中, 源边界和目标边界上的声压和位移的场值相反。模拟域的上、下边界声压和位移关系可由下列关系式给出:

反周期性边界一般用于模拟无限大的反对称场。Floquet周期性边界

Floquet周期性边界

Floquet周期性边界 (Floquet Periodicity) 中, 源边界和目标边界的声压和位移的场值相差一个位相因子, 位相因子由波矢和边界相对距离确定。连续性边界和反周期性边界边界可以看作是Floquet周期性边界在位相分别为0和π情况下的两个特例。模拟域的上、下边界声压和位移关系可由下列关系式给出:

由式子 (3) 可以看出, 源边界和目标边界上的声压和位移值存在一个位相因子kF。kF是波矢, 可由下式给出:

这里的θ是入射角, k0是自由空间 (空气域) 的波数。该边界条件用于模拟周期性场 (边界有位相差) 。

循环对称周期性边界

循环对称周期性边界 (Cyclic Symmetry) 中, 源边界和目标边界上声压和位移场值相差一个位相因子, 位相因子由计算域所对应的扇形角θS和角向模式数R (θS) 决定。模拟域的上、下边界声压和位移关系可由下列关系式给出:

吸收性边界条件

边界反射是有限元模拟计算中一个关键问题。基于COMSOL软件求解声学问题时, 构建完美匹配层 (Perfectly Matched Layer, PML) 吸收性边界条件是防止边界反射的理想方法之一。这种方法是在模拟的物理场边界上加入吸收层, 使传到该边界上的声波可以随波传播距离按指数的规律衰减, 并且不会产生任何反射, 以达到消除反射的目的。当我们求解声学问题时, 如果我们要消除反射的边界是流体域时, 为了增加计算效率节省计算时间, 可以将该边界设为平面波辐射 (Plane Wave Radiation, PWR) , 这是因为当声波接近正入射到边界时, 一般只会有很小的反射。

图2给出了一个点源处在空气中时模拟的声压场分布, 点源位于模拟域中心位置。图2 (a) 在模拟边界上加上一层PML, 图2 (b) 将模拟边界设为PWR。由图可见, 这两种边界条件几乎没有区别, 这是因为在图2 (b) 声波传播到界面上时的入射角不大, 能够保证只有很小的反射。

二维声子晶体透射率

在计算图1中声子晶体结构的透射率时, 对于竖直方向的周期性边界, 若只考虑声波正入射, 此时既可以将上下界面设为连续性周期边界, 也可以设为Floquet周期性边界, 但是此时的相位因子应为0;若需要计算声波以入射角θ斜入射到晶体的透射, 此时只能将上下界面设为Floquet周期边界, 位相因子=kFk0 (sinθ, -cosθ) 。对于水平方向的吸收边界, 我们可以设置为完美匹配层或平面波辐射。接下来我们将通过计算不同周期性边界和吸收边界下的声子晶体结构的透射率来进一步了解它们之间的区别。

不同周期性边界条件的透射率

我们计算图1中声子晶体结构ΓX方向的透射率, 计算结果如图3所示。首先将上下边界设为连续性周期边界 (吸收边界设为PML) , 得到的透射率如图3 (a) 中的实线所示;将上下边界设为Floquet周期边界, 并且相位因子应为0, 得到的透射率如图3 (a) 中的虚线。从图中可以看出, 这两种方法计算得到的透射率谱几乎完全重合, 由此进一步证明了连续性边界可以看作是Floquet周期性边界在位相为0的特殊情形。在图3 (b) , 我们给出了将上下边界设定为Floquet周期性边界 (吸收边界设为PML) , 相位因子为0和π6 (入射角为0和30) 的透射率。从图中可以看出, 入射角不同, 其透射率有明显的区别。

不同吸收性边界条件的透射率

图4给出了晶体结构在不同吸收性边界条件下的透射率。在图4 (a) 中给出的是不同吸收性边界下0入射的情形。由图中可以看出, PML和PWR两种边界下计算的透射率重合, 也就是说在正入射的条件下, 这两种吸收性边界条件没有区别。在图4 (b) 中给出的是在PML和PWR两种吸收性边界下声波30入射的情形。由图中可以看出, 两种情形计算的透射率在高频处有略微的不同, 也就是说在斜入射的条件下, PML和PWR吸收性边界条件的消除反射效果在低频时基本相同, 但随着频率的增加, 区别逐渐变得明显。

结束语

本文以声子晶体透射率的计算为例, 对基于有限元软件COMSOL Multiphysics的物理仿真模拟中的边界条件问题进行了初步探讨, 主要探讨了连续性边界和Floquet周期边界这两类周期性边界, 以及完美匹配层和平面波辐射这两类吸收性边界的方程以及适用条件, 并分析了两类吸收性边界条件下不同入射角的消除反射效率。

声子晶体滤波特性研究 第2篇

1 模型

本文研究二维三组声子晶体的元胞为轴向( Z方向) 的厚度较小的平面薄板,外力只作用在XY平面内[9]。元胞由铅芯外面均匀包覆的橡胶组成散射单元( 散射体) ,再嵌入在环氧树脂中构成。如图1 所示,声子晶体模型是通过填充率Fd和F的共振单元分别位于规则的六角形的角顶和中心,在XY平面内按长方形点阵周期排列成平板,构成波导结构,其中,F = 0. 26 ,Fd= 0. 2 。

其中材料参数为: 水,ρ水= 1 000 ( kg / m3) ,c水= 1. 5 × 103( m/s) ,铅芯,ρ铅= 11 600 ( kg / m3) ,c铅= 2 160 ( m / s) ,环氧树脂,ρ环氧树脂= 1 180 ( kg /m3) ,c环氧树脂= 2 680 ( m / s) ,λ环氧树脂= 6 × 105( N/m2) ,μ环氧树脂= 4 × 104( N/m2) ,橡胶,ρ橡胶= 1 300( kg /m3) ,c橡胶= 300 ( m / s) ,其中 ρ,c,λ,μ 分别表示材料的质量密度、速度以及拉美常数。

2 结果分析

根据上述所述,利用Comsol软件模拟在声子晶体薄板的一侧垂直加特定频率的弹性波,在板的另一侧得到了一个完全由衰逝波组成的亚波长近场外部像点,结果如图2 ~ 图4 所示[10]。保证其输入激励的幅值100 Pa不变情况下,逐渐改变其频率,测量另一侧的输出响应的幅值,并把数据记录于表1 ~ 表3。

由上述理论分析可知,根据表1 ~ 表3,计算输出响应幅值与初始激励信号的幅值相比即可得到声子晶体板的幅频特性,结果如图5 所示。

如图5 所示,计算声子晶体板的幅频特性,就可较好反映其带隙特性。带隙频率范围分别为53 550 ~ 53 650 Hz,53 700 ~ 54 900 Hz,55 100 ~56 200 Hz。带隙范围内的幅频响应曲线的衰减程度能够反映该带隙对弹性波衰减能力。在声子晶体带隙内,通过出现的缺陷态波导结构,即设计相应填充率的局域共振单元,使声波沿着缺陷波导方向传播[11]。因此,声子晶体对输入在带隙频率范围内频率信号具有选择性,它允许某些频率范围的信号通过,而其他频率的信号受到衰减或抑制。根据幅频特性曲线所表示的通过或阻止信号频率范围不同,在这个意义上,声子晶体可方便设计制作成高效、声滤波器。该声子晶体滤波器的通带与阻带的分界点的频率 ωc称为截至频率。因此,声子晶体带隙相对应 ωc分别为53 650 Hz、54 900 Hz和56 200 Hz。

3 结论

本文利用有限元软件comsol,求出了二维三组元局域共振单元组成滤波模型。本文研究了声子晶体带隙内出现的缺陷态,通过其中一组局域共振单元的填充率Fd围绕正常单元填充率F旋转一周形成波导结构,由于局域共振单元的共振特性不受其他散射体干扰,只与对应填充率共振单元有关,可以使声波围绕着六角形角顶的波导方向传播,利于声波向前传播,而且由于规则六角形结构,声波可以从不同方向激励声子晶体,更加具有实用性和抗干扰能力上有明显的优势。因此,二维三组元局域共振声子晶体能够用缺陷来约束和控制波实现滤波开辟了广阔应用前景。

参考文献

[1]钟兰花,吴福根,彭程万.二维缺陷声子晶体中缺充率对能带的影响.应用声学,2009;28:140—146Zhong Lanhua,Wu Fugen,Peng Chengwan.Two-dimensional phononic crystal defects in the influence of filling rate on bands.Applied Acoustics,2009;28:140—146

[2] 雷实建,吴利华,颜琳,等.平板二维声子晶体声波能带结构研究.应用声学,2010;3:212—216Lei Shijian,Wu Lihua,Yan lin,et al.Flat two-dimensional phononic crystals acoustic wave band structure.Application of Acoustics,2010;3:212—216

[3] Kushwaha M S,Halevi P,Dobrzynski L,et al.Acoustic band structure of periodic elastic compostes.Phys Rev Lett,1993;71:2022—2025

[4] Vasseur J O,Deymier P A,Chenni B,et al.Experimental and theoretical evidence for the existence of absolute acoustic band graps in two-dimensional solid phononic crystals.Phys Rev Lett,2001;86:3012—3015

[5] Liu Z,Zhang X,Mao Y,et al.Locally resonant sonic materials.Science,2000;289(5485):1734—1736

[6] Liu Z,Chan C T,Sheng P.Analytic model of phononic crystals with local resonances.Physical Review B,2005;71(1):1—8

[7] 程聪,吴福根,张欣,等.基于局域共振单元实现声子晶体低频多通道滤波.物理学报,2014;63(2):204—209Cheng Cong,Wu Fu-gen,Zhang Xin,et al.Based on the local resonance unit phononic crystal low-frequency multi-channel filter.Journal of Physics,2014;63(2):204—209

[8] 刘启能.可调谐声子晶体滤波器设计.压电与声光,2008;30(1):408—410Liu Qineng.The transmission properties of one-dimensional phononic crystal.Journal of Artificial Crystal,2008;30(1):408—410

[9] Cronne C,Manga E D,Morvan B,et al.Negative refraction of longitudinal waves in a two-dimensional solid-solid phononic crystal.Physical Review B,2011;83(5):276—281

[10] 韩建宁,温廷敦,杨鹏,等.声子晶体的负折射成像分析.中北大学学报(自然科学版),2014;(2):205—208Han Jianning,Wen Tingdui,Yang Peng,et al.The negative refraction of phonon crystal imaging analysis.Journal of North University(Natural Science Edition),2014;(2):205—208

二维声子晶体 第3篇

声子晶体具有布拉格和局域共振两种类型, 当带隙的起始频率相当时, 局域共振类型声子晶体的晶格常数比布拉格型小1~2个数量级, 适合用于控制中、低频噪声[2,3]。现有声子晶体的研究很多, 主要集中在带隙形成机理和带隙计算方法等领域[4], 如新型局域共振复合单元声子晶体结构能够在200Hz以下获得超过60%的带隙宽度, 且最低带隙为18 Hz[5]。声子晶体在汽车噪声和振动控制方面的应用研究较少[6,7]。

为进一步研究声子晶体板件的减振特性, 本文建立了声子晶体结构空腔模型, 进行有限元仿真计算。声子晶体用于空腔板件类, 以阻断低频振动与噪声的固体传播提供的有力的依据。也为声子晶体在腔体类减振降噪领域的应用进行了可行性研究, 提供了思路。

1 声子晶体板状结构的带隙机理与分析

1.1 声子晶体单元结构的几何模型

局域共振型声子晶体的单元结构由三种材料组成, 散色体、基体、包覆层。相邻散射体之间的尺寸为晶格a, 如图1所示。其产生机理为, 在特定频率的弹性波激励下, 单个散射体产生共振, 并与入射波相互作用, 使其不能继续传播。禁带的产生主要取决于各个散射体本身的结构与弹性波的相互作用。

1.2 声子晶体板状结构有限元计算

利用图1的声子晶体单元结构构建复合结构声子晶体板。根据局域共振声子晶体的影响因素, 填充料在0.6~0.8时, 能够获得较宽带隙。散射体在共振中起到了质量的作用, 对带隙特征有着显著的影响。散射体采用大密度的物质更容易获得低频宽带隙的特征。选取弹性模量数量级为10×1010且密度大的金属材料作为散色体材料如铅、铜、钢等。包覆层弹性模型较低时, 容易获得较宽带隙, 选取弹性模量数量级在10×106的硅橡胶材料作为包覆层。

建立的声子晶体板的几何模型, 沿X轴布置3个周期的声子晶体单元, 沿Y轴方向布置8个周期的声子晶体单元。选择基体板的尺寸为600 mm×400 mm, 厚度为2 mm, 基体材料选为铝板。包覆层材料采用硅橡胶, 厚度为5 mm, 直径为40 mm, 阻尼为0.1。散射体为钢片, 厚度为4 mm, 直径是40mm。所选材料参数如表1所示。整个声子晶体板为自由状态, 靠近振子的一端施加垂向激励, 另一端一点拾取响应。

1.3 不同布置方式对带隙的影响

为比较不同布置方式对声子晶体带隙的影响, 选取两种布置方式进行有限元计算。均采用沿Y轴方向布置8周期, X轴方向布置3周期的声子晶体单元。单元结构如图1, 参数如表1, 晶格常数为50 mm。两种布置方式如图2所示, 其中图2 (a) 为是基体板的中部在集中排列, 晶格常数为50 mm。图2 (b) 中沿X方向分散在基体板中排列, 各声子晶体单元圆心间距离为200 mm。

利用Pratan软件进行声子晶体板几何建模, 有限元划分及计算方法同前。模型通过Nastran软件计算后, 得到的加速度响应如图3所示。

2 不同布置方式的试验研究

2.1 试验系统及样品制备

试验系统采用LMS公司的QDAC信号发生模块、德国迪勒TIRA激振器、功率放大器、美国PCB的力传感器、丹麦的加速度传感器和LMS智能信号发生与数据采集系统。在试验中, 声子晶体板采用软橡皮绳悬挂, 自由状态, 如图4所示。在声子晶体板的一端中点位置施加加速度激励, 幅值为1, 频率范围为0~2 000 Hz。在基体板上的选取相应的点布置加速度传感器。

建立如图5所示的声子晶体板样品, 分为集中排列和分散排列两种。样品的尺寸参数为600 mm×400 mm, 厚度为2 mm, 上面布置的声子晶体尺寸及材料参数同图4有限元计算。

2.2 试验结果及分析

将输入和输出信号传输到智能信号发生与数据采集系统中, 通过LMS公司的数据分析处理软件Test.lab 11A完成数据的分析。计算结果如图6所示。从图中可以得出, 集中排列的带隙范围为263~499 Hz。分散排列的带隙范围为367~547Hz。集中排列获得的带隙频率低于分散排列。

3 声子晶体结构空腔有限元振动分析

3.1 声子晶体结构空腔的传输特性计算

在空腔上表面放置声子晶体, 建立声子晶体空腔模型。将声子晶体布置在横向 (X向) 为3个周期, 纵向 (Y向) 9个周期。选用由硅胶和钢片组成的局域共振复合结构声子晶体单元。其中硅胶和钢片几何尺寸为边长为60 mm的正方形, 硅胶的厚度为5 mm, 钢片的厚度为4 mm。晶体尺寸为80 mm, 填充率为75%。钢片和硅胶之间的连接采用共节点的方式, 硅胶和空腔的表面之间的连接采用胶粘方式。选取的材料参数如表1所示。在空腔靠近声子的一侧的底部边上加载的激励, 激励的大小为1 000 N, 方向为Z向。分别在声子晶体结构的左侧和右侧各拾取一节点, 作为输入点和输出点。

3.2 计算结果分析

3.2.1 两种不同布置方式的仿真结果对比分析

两种不同布置方式的计算结果如图8和图9所示。

两种声子晶体不同布置情况, 均能够产生响应的频率衰减。中间布置晶体的方式起始带隙频率比较低, 最低可以到33.4 Hz。一侧布置声子晶体时的起始带隙频率为284.6 Hz。在带隙宽度上, 中间布置声子晶体情况的宽度为151 Hz, 而一侧布置声子晶体的带隙宽度为46.1 Hz。

3.2.2 声子晶体空腔对比分析

为比较有无声子晶体空腔的情况下的减振效果, 选择空腔同一点进行研究, 坐标为 (750, 4 0 0, 5 0 0) , 有限元分析方法同前, 得到如图1 0所示。

从图中可以得出500 Hz以下的范围内, 主要出现段比较明显的带隙下降, 184.1~215.5 Hz, 255.6~291.8 Hz, 305.4~444.3 Hz, 减振效果明显。

4 结论

本文利用局域共振复合结构声子晶体的带隙特性, 将其应用于空腔类中, 根据其减振特点, 在空腔不同位置布置了横向 (X方向) 3个周期和纵向 (Y方向) 9个周期的声子晶体。在33.4~444.3 Hz范围内获得了一定的减振效果。对有无声子晶体空腔的传输特性进行了对比分析。

对声子晶体结构空腔进行有限元计算, 并分别对上表面加载声子晶体结构的空腔与钢结构空腔进行了对比分析。在106~144 Hz范围内, 带隙频率下降明显。

参考文献

[1] 温熙森, 温激鸿, 郁殿龙, 等.声子晶体.国防工业出版社, 2009:3—18Wen X S, Wen J H, Yu D L, et al.Phononic crystals.Beijing:National Defense Industry Press, 2009:3—18

[2] Sigalas M M, Economou E N.Band structure of elastic waves in twodimensional systems.Solid State Commun, 1993;86:141—143

[3] Liu Zhengyou, Zhang Xixiang, Mao Yiwei, et al.Locally resonant sonic materials.Science, 2000;289:1734—1736

[4] 郁殿龙, 刘耀宗, 王刚, 等.二维声子晶体薄板的振动特性.机械工程学报, 2006;42 (2) :150—154Yu D L, Liu Z Y, Wang G, et al.Vibration property of two dimension phononic crystral thin plate.Chinese Journal of Mechanical Engineering, 2006;42 (2) :150—154

[5] 张思文.吴九汇.局域共振复合单元声子晶体结构的低频带隙研究特性.物理学报, 2013;62 (13) :134302-1—9Zhang S W, Wu J H.Low-frequency band gaps in phononic crystals with composite locally resonant structures.Acta Phys Sin, 2013;62 (13) :134302-1—9

[6] 陈源, 黄其柏, 师汉民.基于振动与噪声控制的声子晶体研究进展.噪声与振动控制, 2005;25 (5) :1—3Chen Y, Huang Q B, Shi H M.Review of phononie crystals based control of noise and vibration.Noise and Vibration Control, 2005;25 (5) :1—3

二维声子晶体 第4篇

在介质中传播的弹性波分为纵波(又称P波)和横波(又称S波)两种形式[11]。对于P波,因其偏振方向与传播方向平行而容易确定,对于S波,因其偏振方向与传播方向垂直而不易确定,因此进一步将S波分为SV波(即偏振方向平行于入射面的横波)和SH波(即偏振方向垂直于入射面的横波)。本课题组前期曾推导出P波和SV波垂直入射一维声子晶体的转移矩阵,研究了P波和SV波垂直入射一维声子晶体的禁带特征[12];并且推导出了P波和SV波斜入射一维声子晶体的转移矩阵,研究了P波和SV波斜入射一维声子晶体的禁带特征[13];此外还利用P波和SV波斜入射一维声子晶体的转移矩阵进一步研究了一维掺杂声子晶体的缺陷模特征[14]。但是SH波在一维声子晶体中的转移矩阵以及色散关系在文献[13]和[14]中没有涉及到。最近,笔者[15]研究了P波在固-液结构声子晶体中出现的全反射隧穿效应。对于SH波这种典型的横波,其在一维声子晶体的转移矩阵、色散关系以及是否会出现全反射隧穿效应是一个值得研究的重要问题。本研究推导出SH波在多层介质系统中的转移矩阵及其色散关系,并利用色散关系研究SH波在固-固结构声子晶体中的全反射隧穿效应。

1 转移矩阵

SH波在多层介质系统中的转移矩阵实际上是由2个“基本单元”的转移矩阵组合而成:一是SH波通过界面的转移矩阵;二是SH波通过同一介质层的转移矩阵。下面分别给予推导。

设平面SH波在多层介质系统中的xoz平面内传播,如图1所示。经过界面的多次反射,在介质i层内有沿z轴正方向传播的SH波和沿z轴负方向传播的SH波,它们的位移分别为:

Ai=Ai+exp[i(kizcosθi+kixsinθi-ω t)]

Bi=Bi-exp[i(-kizcosθi+kixsinθi-ω t)] (1)

式中:ω为SH波的圆频率,k=ω/c为波矢,c为SH波的波速,θ为传播方向与z轴的夹角,θi和θj满足Snell定律。由于各个位移波中都有相同的因子exp(-iωt),exp(-iωt)可不计。为了描述介质中的上述2个位移波,引入二维位移波矢Ui:

undefined

位移波矢Ui通过一个“系统”后转变为位移波矢Uj,Ui和Uj的耦合关系可以表示为:

Ui=MijUj (3)

Mij为一个22矩阵,称为“系统”的转移矩阵。对于SH波,其位移始终垂直于xoz平面,只有y分量,即Uy=U、Ux=0、Uz=0,在图1中用⨂表示其偏振方向。因此当SH波通过介质i和介质j的界面时,其转移矩阵可以根据在界面两侧位移的y分量Uy连续以及应力的y分量σzy连续来推出[16]。应力σzy由胡克定律给出:

undefined

式中:μ为拉梅常数。μ与波速c和介质密度ρ的关系为:

μ=ρ c2 (5)

由位移和应力的y分量在介质i和介质j的界面两侧连续,有以下2个方程:

Ai+Bi=Aj+Bj

iμikicosθiAi-iμikicosθiBi=

iμjkjcosθjAj-iμjkjcosθjBj (6)

将式(6)整理为二维位移波矢Ui和Uj的矩阵关系:

undefined

令:

undefined

undefined

则式(7)表示为:

Ui=(Mi-1Mj)Uj=MijUj (9)

位移波矢在界面处的转移矩阵Mij为:

Mij=Mi-1Mj (10)

当位移波矢通过厚度为di的第i层介质时,位相变化为kidicosθi[17],其转移矩阵Gi容易得到:

undefined

当位移波矢通过N层介质系统时,其转移矩阵M*由矩阵的乘法得到:

M*=M01G1M12G2M23MN-1,NGNMN+1,0 (12)

其中下标0表示多层介质系统两边空间的介质。

2 色散关系

设SH波以入角度θ0入射一维固-固结构声子晶体(AB)N,A层为玻璃,其密度ρ1=2230 kg/m3、波速为c1=3430 m/s、厚度取d1=c1/(4f0);B层为有机玻璃,其密度ρ2=1180 kg/m3、波速为c2=1120 m/s、厚度取d2=c2/(4f0)。设入射空间的介质也是有机玻璃,即ρ0=ρ2、c0=c2。令归一化频率g=f/f0,f为入射波的频率,取f0=10000 Hz。

该声子晶体1个基本周期单元的转移矩阵m为:

undefined

位移波矢Uz通过声子晶体的1个基本周期单元后变为位移波矢Uz+d,满足:

undefined

式中:d=d1+d2。又根据在无限周期排列的系统布洛赫定理成立:

Uz=[exp(-iKd)]Uz+d (15)

式中:Κ为布洛赫波矢,由式(14)、式(15)可得:

undefined

由式(16)可知exp(-iKd)是m的本征值,由式(16)解出SH波在该声子晶体的色散关系为:

cos(Κd) = (m11+m22)/2 (17)

当式(17)的绝对值undefined1时,Κ为实数,布洛赫波为非衰减波,对应SH波的导带;当undefined>1时,Κ为复数,布洛赫波为衰减波,对应SH波的禁带。为了便于图像研究,引入色散函数F:

undefinedundefined

利用式(18)绘出色散函数F的图像,在F的图像中,F≥0对应导带,F<0对应禁带,这种方法称为色散法。下面利用式(18)研究SH波在该声子晶体中的全反射隧穿特性。

3 全反射隧穿效应

由折射定律可知,当波从波速小(c0)的介质入射到波速大(c1)的介质的分界面时会发生全反射现象。当SH波从有机玻璃中入射到该声子晶体时,其全反射角为θm=arcsin(c0/c1)=0.333 rad。为了便于比较,计算出SH波从有机玻璃中射入到玻璃单一界面上其透射率随入射角的响应曲线,如图2所示。由图2可以清楚地看出:当SH波小于全反射角入射时透射率T从0.5上升到1;当入射角接近于全反射角(θm=0.333 rad)时透射率迅速降低为0;当SH波大于全反射角入射时透射率恒为0,这表明SH波不能进入玻璃内,即当SH波大于全反射角入射有机玻璃与玻璃的单一界面时不能产生隧穿现象。

利用式(18)计算出归一化频率g=1.9时SH波入射该一维声子晶体时色散函数F随入射角的响应曲线,如图3所示。由图3可以看出:当SH波以小于全反射角(0.333 rad)入射该声子晶体时出现了导带,这是正常的现象。但当SH波以大于全反射角入射时却出现了奇特的现象;即入射角在0.38～0.44 rad的区间内SH波出现了1条导带。这表明SH波大于全反射角入射该一维固-固结构声子晶体时能够在该声子晶体中传播,我们将这一现象称为声子晶体中SH波的全反射隧穿效应。

在一维固-固结构声子晶体中会出现全反射隧穿导带的原因是:该一维声子晶体可以看成由很多个两边为玻璃层中间夹一层有机玻璃的单元构成,当SH波以大于全反射角进入该单元时就会在有机玻璃层中间往复地全反射,从而产生共振现象。因此每个这样的单元对于大于全反射角进入的SH波就是一个谐振腔,SH波在谐振腔内发生共振时就会在腔壁产生隧道效应,从而在该一维声子晶体中出现SH波的导带。大于全反射角入射的SH波进入该一维声子晶体的第一层玻璃的过程可由倏逝波解释,大于全反射角入射的SH波并不是完全不能进入玻璃,而是以倏逝波的形式能够进入玻璃大约1个波长的深度。由于该一维声子晶体中玻璃层的厚度只有1/4波长,因此SH波能够通过玻璃层进入有机玻璃层,并在有机玻璃层中引起共振现象,进而在该一维声子晶体中产生全反射隧穿导带。

为得出SH波的全反射隧穿导带所遵循的规律,下面研究SH波的全反射隧穿导带的频率随入射角及周期厚度的变化规律。

3.1 导带频率随入射角的变化特征

利用式(18)计算出SH波的全反射隧穿导带的归一化频率随入射角的响应曲线,如图4所示。图4中白色部分为全反射隧穿导带,黑色部分为禁带。由图4可以看出全反射隧穿导带的归一化频率随入射角的变化特征为:(1)对同一入射角,SH波在归一化频率为0.5～4.5范围内出现了2条全反射隧穿导带,归一化频率较低的导带其归一化频率范围较宽、对应的入射角范围较大,全反射隧穿效应明显,称为一级全反射隧穿导带;归一化频率较高的导带其频率范围较窄、对应的入射角范围较小,全反射隧穿效应较弱,称为二级全反射隧穿导带。(2)对于一级全反射隧穿导带,当入射角为0.35 rad时其归一化频率中心在g=1.1处,归一化频率宽度为Δg=1.3。随着入射角的逐渐增大,其归一化频率中心逐渐增大,而归一化频率宽度逐渐减小。当入射角增大到0.5 rad时,全反射隧穿导带的归一化频率宽度减小为0,全反射隧穿现象消失。对于二级全反射隧穿导带,其归一化频率中心和频率宽度随入射角的变化规律与一级全反射隧穿导带相似。

3.2 导带频率随周期厚度的变化特征

为了讨论方便,令d1=X(c1/f0)、d2=X(c2/f0),其中X为无量纲的参变量。该一维声子晶体的1个周期厚度d=d1+d2=X(c1+c2)/f0,通过改变X来实现对周期厚度d的调节。固定入射角θ0=0.36 rad,计算出SH波的全反射隧穿导带的归一化频率随周期厚度的响应曲线,如图5所示。图5中白色部分为全反射隧穿导带,黑色部分为禁带。由图5可以看出全反射隧穿导带的归一化频率随周期厚度的变化特征为:(1)SH波以θ0=0.36 rad入射时,仍然出现了一级和二级全反射隧穿导带,一级全反射隧穿导带十分明显,二级全反射隧穿导带较弱。(2)对于一级全反射隧穿导带,当X=0.2时,其归一化频率中心在g=1.90处,归一化频率宽度为Δg=0.8。随着周期厚度的逐渐增大,其归一化频率中心和频率宽度都逐渐减小。当X=0.5时,其归一化频率中心减小为g=0.9处,归一化频率宽度减小为Δg=0.4。对于二级全反射隧穿导带,其归一化频率中心和归一化频率宽度随周期厚度的变化规律与一级全反射隧穿导带相似。

4 结论

利用SH波在界面满足的边界条件并借助二维位移波矢的概念,推导出SH波在多层介质系统中的转移矩阵。根据在无限周期排列系统的布洛赫定理得出了SH波在一维固-固结构声子晶体中的色散关系和色散函数。利用色散函数研究了SH波在一维固-固结构声子晶体中的全反射隧穿效应。研究结果表明,SH波以大于全反射角入射一维固-固结构声子晶体时会出现全反射隧穿导带。利用波的共振理论和倏逝波理论对全反射隧穿效应做了定性解释。计算结果表明,SH波的全反射隧穿导带具有下特征:全反射隧穿导带的频率中心随入射角的增加而向高频方向移动;全反射隧穿导带的频率宽度随入射角的增加而减小;全反射隧穿导带的频率中心和频率宽度随周期厚度的增加而减小。

摘要：利用边界条件推导出SH波在多层介质系统中的转移矩阵,得出了SH波在一维固-固结构声子晶体中的色散函数。利用色散函数研究了SH波在一维固-固结构声子晶体中的全反射隧穿效应,得出SH波的全反射隧穿导带的特征:全反射隧穿导带的频率中心随入射角的增加而向高频方向移动,全反射隧穿导带的频率宽度随入射角的增加而减小;全反射隧穿导带的频率中心和频率宽度都随周期厚度的增加而减小。

二维光子晶体的能带分析 第5篇

光子晶体的物理概念首先是由E.Yablonovitch[1]和S.John[2]在1987年几乎同时分别独立地提出。Yablonovitch主要着眼于控制材料的自发辐射性质, 而John则侧重于研究无序介质对光局域化的影响, 他们都提出了介电函数作周期性变化的结构能够影响材料中光子的状态模式, 由此可以设计出能影响光子能带性质的材料。

现代电子学的基础是电子能带和带隙, 它是由于电子波函数与晶体周期势场相互作用的结果, 与半导体相类似, 光子晶体中介质的折射率周期性变化也同样能产生光的带隙结构, 从而由光带隙结构控制光在光子晶体中的运动。同样光波的色散曲线形成带状结构, 带与带之间可能会出现类似于半导体禁带的“光子禁带” (PhotonicBandGap) 。频率落在禁带中的光波是被严格禁止传播的。其实不管任何波, 只要受到周期性的调制, 都有能带结构, 也都有可能出现带隙。能量落在带隙中的波是不能传播的, 电磁波或者光波也不例外。如果只在一个方向上存在周期结构, 光子禁带只可能出现在这个方向上, 如果存在三维的周期结构, 就可能出现全方位的光子禁带, 落在禁带中的光在任何方向上都被禁止传播。这种具有光子禁带的周期性介质结构的晶体称为光子晶体 (PhotonicCyrstals) , 也被称为“光半导体”。

本文就是利用平面波展开法 (PWE) 对二维正方光子晶体的禁带结构分布进行仿真研究。

1平面波展开法

平面波展开法是应用Bloch定理将电磁波以平面波的形式展开, 将麦克斯韦方程组化成一个本征方程, 求解该方程的本征值便可以得到传播的光子的本征频率。此方法可以用来计算无限周期的光子晶体能带结构, 结合超原胞的方法还可以计算光子晶体缺陷模的位置[3,4]。

电磁波在二维光子晶体中的本征方程为:

由于光子晶体的介电常数、电矢量、磁矢量均为周期函数, 把E (r) , H (r) 结合Bloch定理展开成傅立叶级数

将倒格子空间展开式代入式 (3) 、式 (4) 、式 (5) 中计算得到:

式 (6) 和式 (7) 就是TE和TM的特征方程。

给定一个k值, 用NN列平面波来近似 (即G取N个不同的值) , 可以求得一组本征值, i连续从1取到N, 我们就可以得到N个同样形式的方程。把这些方程等号左边的部分和等号右边的部分分别相加, 就可以得到方程 (6) 的完全展开式, 把这个完全展开式化成矩阵形式, 然后将矩阵做变换, 化为对角矩阵, 就可以得到一系列的本征值。在坐标纸上, 以k为自变量, ω2c2为其函数画出一条条曲线。这些曲线就可以展示出光子晶体TE极化情况的能带结构, 从中就可以看出带隙的位置和宽度。

2二维光子晶体结构

二维光子晶体是指在二维空间各方向上具有光子频率禁带特性的材料, 它是由介质柱平行而均匀的排列组成的。这种结构在垂直于介质柱的方向上 (两个方向) 介电函数是空间位置的周期性函数, 而在平行于介质柱的方向上介电函数不随空间位置而变化。由于光子晶体的高对称性, 在横界面上以某一点为顶点, 介质柱构成的多边形的边数n和数目m满足$\frac{2}{m}+\frac{2}{n}=1$时, 即m, n同时为正整数, 有可能构成二维光子晶体结构, 如方形晶格 (n=4, m=4) 、三角晶格 (n=3, m=6) 和六角晶格 (n=6, m=3) 等。

3 能带分析

为了便于三种结构的带隙结构的比较, 我们选取背景材料为空气, 介质柱的横截面为圆柱面, 三种晶格的结构均为1515, 如图1所示, 定义晶格单位a=1 μm, 介质柱的半径r=0.02 μm, 空气中圆形介质柱的折射率为3, 选取的晶胞单元如图2所示, 在简约布里渊区对称点Γ、K、M、Γ的每两个点之间插入四个中间点, 设定能带数为12。这些条件不改变的前提下, 我们只是改变介质柱的排列方式, 即方形晶格、三角晶格和六角晶格排列的三种二维光子晶体, 分别对其TE和TM偏振模进行仿真, 得到如图3所示的能带分布图。

图3的横坐标是晶格中布里渊区所对应的点, 纵坐标单位为$\frac{\omega a}{2\pi c}$, 是一个相对量, 可以根据公式换算成频率的单位。

根据能带结构分布图把各种晶格的带隙分布具体数据汇总, 如表1所示。

从表1和图中可以看出:对于TE偏振模来说, 在介质柱形状、半径以及折射率相同的条件下, 只是改变他们的排列方式, 发现三角晶格的带隙宽度最大, 六角晶格的带隙宽度最小, 但是六角晶格的禁带数目最多;三种晶格中禁带所对应的频率方形最大, 六角 (主带隙) 所对应的最小;从图中可以看出三种结构的带隙所对应的能带也不一样, 方形和三角禁带发生在4和5两条能带之间, 六角发生在3和4之间;对于TM偏振模式来说, 三种晶格均没有禁带存在。

4 结论

通过平面波展开法对三种二维光子晶体的能带分析, 讨论了介质柱排列方式对其禁带带隙分布影响, 在实际制作光子晶体时可以适当的选择排列方式, 满足禁带的产生条件。

摘要：光子晶体是一种介电常数空间周期性变化、具有光子带隙结构, 能控制光子传播状态的新型材料。根据横截面上介质柱构成的多边形边数n和数目m满足一定关系。介绍了三种二维光子晶体的结构。利用平面波展开法 (PWE) 计算并仿真了三种光子晶体的TE和TM偏振模式的禁带结构分布, 得出了介质柱排列方式对禁带带隙的影响。为进一步光子晶体的实验制备和实际应用提供了理论依据。

关键词：光子晶体,正方晶格,三角晶格,六角晶格,PWE

参考文献

[1]Yablonovitch E.Inhibited spontaneous emission in solidstate physics and electronics.Phys Rev Lett, 1987, 58;2059—2061

[2]John S.Strong localization of photons in certain disordered dielectric superlattices.Phys RevLett, 1987, 58;2486—2488

[3]冯帅, 任承.光子晶体理论计算与实验制备.北京:中央民族大学出版社, 2008

二维五筒型光子晶体结构的提出 第6篇

光子晶体的物理概念首先是由Yablonovitch[1]和John[2]在1987年几乎同时分别独立地提出。光子晶体是一种介电常数空间周期性变化、晶格常数可与光波长相比,且具有光子带隙结构,能控制光子传播状态的新型人工材料。光子晶体从被提出的那一刻起,就备受人们关注,20年来在理论与应用中都有很大的发展[3]。

对于各种二维光子晶体的研究尤其突出,二维光子晶体结构中,电磁波可以分解成TE模(横磁模)和TM模(横电模),晶体中如果对某一模存在带隙,就称为该模式的禁带,特别是对两种模都存在并且相互重叠时称为完全光子带隙。吉林大学的宋俊峰等人研究了三角形二维光子晶体的带隙随结构参数的变化规律,得到该晶格结构的最大带宽$0.094\cdot \left(\frac{\omega a}{2\text{π}c}\right){}^{[4]}$。庄飞等人计算了二维六边形晶格光子晶体的能带结构,得到了最大完全带隙的结构参数[5]。田慧平等人针对三种常见的介质柱横截面分别为正六边形,正方形和圆形的二维光子晶体,提出了一种增大光子带隙的方法[6]。

1 平面波展开法

平面波展开法是应用Bloch定理将电磁波以平面波的形式展开,将麦克斯韦方程组化成一个本征方程,由于光子晶体的介电常数、电矢量、磁矢量均为周期函数,结合Bloch定理将光子晶体的$\frac{1}{\epsilon (\mathit{r})},\mathit{E}(\mathit{r}),\mathit{{\rm H}}(\mathit{r})$展开成傅里叶级数,然后将倒格子空间展开式代入计算可以得到TE模和TM模的特征方程:

$\begin{array}{l}{\displaystyle \sum _{G^{\prime }}\epsilon }{}^{-1}(\mathit{G}-{\mathit{G}}^{\prime })|\mathit{k}+\mathit{G}||\mathit{k}+{\mathit{G}}^{\prime }|e(\mathit{G})=\frac{\omega {}^2}{c{}^2}e(\mathit{G})(1)\\ {\displaystyle \sum _{G^{\prime }}\epsilon }{}^{-1}(\mathit{G}-{\mathit{G}}^{\prime })|\mathit{k}+\mathit{G}||\mathit{k}+{\mathit{G}}^{\prime }|h(\mathit{G})=\frac{\omega {}^2}{c{}^2}h(\mathit{G})(2)\end{array}$

给定一个k值,用NN列平面波来近似(即G取N个不同的值),可以求得一组本征值,i连续从1取到N,我们就可以得到N个同样形式的方程。把这些方程等号左边的部分和等号右边的部分分别相加,就可以得到方程(1)的完全展开式,把这个完全展开式化成矩阵形式,

$\left[\begin{array}{cccc}a{}_{11}& a{}_{12}& \cdots & a{}_{1{\rm N}}\\ a{}_{21}& a{}_{22}& \cdots & a{}_{2{\rm N}}\\ \cdot & \cdot & \cdot & \cdot \\ a{}_{{\rm N}1}& a{}_{{\rm N}2}& \cdots & a{}_{{\rm N}{\rm N}}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}e(\mathit{G}{}_1)\\ e(\mathit{G}{}_2)\\ \cdot \\ e(\mathit{G}{}_{{\rm N}})\end{array}\right]=\frac{\omega {}^2}{c{}^2}\left[\begin{array}{c}e(\mathit{G}{}_1)\\ e(\mathit{G}{}_2)\\ \cdot \\ e(\mathit{G}{}_{{\rm N}})\end{array}\right](3)$

然后将矩阵做变换,化为对角矩阵,就可以得到一系列的本征值。以k为自变量,$\frac{\omega {}^2}{c{}^2}$为其函数画出一条条曲线。这些曲线就可以展示出光子晶体TE极化情况的能带结构,从中就可以看出带隙的位置和宽度,TM极化情况的能带结构同理也可以得到,。

2 能带分析

二维光子晶体是指在二维空间各方向上具有光子频率禁带特性的材料,它是由介质柱平行而均匀的排列组成的。这种结构在垂直于介质柱的方向上(两个方向)介电函数是空间位置的周期性函数,而在平行于介质柱的方向上介电函数不随空间位置而变化。典型二维光子晶体的结构可以由公式$\frac{2}{m}+\frac{2}{n}=1$决定,其中m,n分别表示在横界面上以某一点为顶点,介质柱构成的多边形的数目和边数,如方形晶格(n=4,m=4,)图1(a)所示、三角晶格(n=3,m=6)图1(b)所示,六角晶格(n=6,m=3)图1(c)所示。

设计的二维五筒型晶格结构如图1(d)所示,四种晶格结构的背景材料为空气,介质柱的横截面为圆柱面,晶格周期a=1 μm,在简约布里渊区对称点Γ、K、M、Γ的每两个点之间插入四个中间点,设定能带数为8。

这些条件不改变的前提下,通过计算可以知道,禁带带隙与介质的有效折射率有关,而介质柱的实际折射率和占空比(2r/a)的改变均能够影响到有效折射率的改变,我们通过改变介质柱的介电常数和半径从而改变其有效折射率,比较四种晶格结构中的TE和TM偏振模能带分布。

当介质柱半径固定为0.2 μm,改变其介电常数,其分布如图2(a)所示,横坐标为介质柱与背景材料的介电常数差,纵坐标为带隙所对应的频率,是一个相对量,可以根据公式$\frac{\omega a}{2\text{π}c}$换算成频率。

从图2(a)中可以发现当介质介电常数等于2时,有两条很细的禁带带隙,此时恰好是存在带隙的极值点,当介电常数小于2时没有带隙出现;随着介电常数的增大,开始出现带隙,还出现了第二和第三条带隙,并且所对应的归一化频率逐渐减小,其带隙宽度先增大后减小,当介电常数为3.6时带隙宽度最大;在整个变化过程中没有完全带隙出现。

当介质柱的介电常数固定为3.6,改变其半径时,其分布如图2(b)所示,可以发现,随着半径的增大,所对应的中心频率逐渐降低,禁带宽度先增大后减小,当半径为0.3 μm时,TE模的带隙最大,为0.147 85,当半径大于0.43 μm时,TE模所对应的禁带消失;同样在整个变化过程中也没有完全禁带出现。

同样的分析方法可以得到其他三种晶格结构的能带分布图如图3所示。

图3中(a)(c)(e)分别是三角、六角和五筒晶格晶体介质柱半径固定为0.2 μm时,能带随介电常数变化的分布图,(b)(d)(f)分别是固定介电常数时三种晶体的能带随半径变化的分布图,介电常数的值是三种晶体在带隙宽度最大时所对应的值。

3 结 论

随着介质柱介电常数和半径(即介质柱有效折射率)的增大,其禁带的中心频率逐渐较小,带隙宽度先增大后减小,禁带的数目也发生了变化,四种晶格结构的带隙分布的具体数据如表1所示。

从图3(e)(f)和表1的数据都可以发现四种晶格中,所设计的二维五筒型晶格结构的完全带隙最大,最实用。在实际制作光子晶体时可以适当的选择参数,以满足所需要禁带的产生条件,本文对于实际制作光子晶体提供了理论指导。

参考文献

[1]Yablonovitch E.Inhibited spontaneous emission in solidstatephysics and electronics[J].Phys Rev Lett,1987,58(20):2059-2061.

[2]John S.Strong localization of photons in certain disordereddielectric superlattices[J].Phys Rev Lett,1987,58(23):2486-2488.

[3]邹丽娜,郑咏梅,施宏艳,等.光子晶体的研究新进展及应用[J].半导体光电,2006,27(3):231-235.

[4]宋俊峰,付艳萍,刘杨,等.二维光子晶体的带隙分析[J].半导体光电,2000,21(3):214-217.

[5]曹小华,汪冬燕,庄飞.二维六边形晶格光子晶体的带隙研究[J],杭州师范学院学报(自然科学版).2007,6(2):112-116.