二元函数范文

二元函数范文（精选10篇）

二元函数 第1篇

关键词：二元函数,极限,泰勒公式

极限是微积分学的基础，导数、积分等概念都是在极限的基础上建立起来的.从极限理论出发产生的极限方法，是数学分析的最基本的方法.更好地理解极限思想，掌握极限理论，应用极限方法是学习微积分的关键.一元函数的极限及求法，在各种高等数学教材中都有详细的讨论.除了常用的定义、运算法则、连续性方法，本文给出了六种适用性较强的二元函数极限计算方法，希望对初学者有一定帮助.

一、变量替换 (转化为一元函数计算)

例1 .

解 令t=x2+y2, 则当 (x, y) (0, 0) 时, t0, 所以.

二、利用无穷小替换

例2 .

解 因为当 (x, y) (0, 0) 时, x3+y30, 所以sin (x3+y3) ～x3+y3, 于是.

三、利用夹逼法则

例3 .

解 , 而,

所以, .

四、利用极坐标 (一般用于解决表达式中含有x2+y2的项)

例4 .

解 设x=rcosθ, y=rsinθ, 有

∀θ:0θ2π, 有|r (sinθ+cosθ) lnr2||4rlnr|,

易知.

所以.

五、利用二重积分

例5 .

解 原式=, 其中D为0x1, 0y1.

六、利用泰勒公式

例6 求.

解 把cos (x+y) -cosxcosy在原点展开, 得cos (x+y) -cosxcosy=-xy+o (ρ) , 其中.

故.

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析:下册[M].3版.北京:高等教育出版社, 2001.

[2]同济大学数学教研室.高等数学[M].北京:高等教育出版社, 2002.

二元函数极限的研究 第2篇

作者：郑露遥指导教师：杨翠

摘要 函数的极限是高等数学重要的内容，二元函数的极限是一元函数极限的基础上发展起来的，本文讨论了二元函数极限的定义、二元函数极限存在或不存在的判定方法、求二元函数极限的方法、简单讨论二元函数极限与一元函数极限的关系以及二元函数极限复杂的原因、最后讨论二重极限与累次极限的关系。

关键词 二元函数极限、累次极限、二重极限、连续性、判别法、洛必达法则、运算定理引言

函数的极限是高等数学中非常重要的内容, 关于一元函数的极限及其求法, 各种教材中都有详尽的说明。二元函数极限是在一元函数极限的基础上发展起来的, 两者之间既有联系又有区别。例如, 在极运算法则上, 它们是一致的, 但随着变量个数的增加, 二元函数极限比一元函数极限变得复杂得多, 但目前的各类教材、教学参考书中有关二元函数极限的求法介绍不够详二元函数的极限是反映函数在某一领域内的重要属性的一个基本概念, 它刻划了当自变量趋向于某一个定值时, 函数值的变化趋势。是高等数学中一个极其重要的问题。但是, 一 般来说, 二元函数的极限比起一元函数的极限, 无论从计算还是证明都具有更大的难度。本文就二元函数极限的问题作如下探讨求一元函数的极限问题, 主要困难多数集中于求未定型极限问题, 而所有未定型的极限又总可转化为两类基本型即00 与∞∞型,解决这两类基本未定型的有力工具是洛泌达(LHO SP ital)法则。类似地, 二元函数基本未定型的极限问题也有相似的洛泌达法则。为了叙述上的方便, 对它的特殊情形(即(x0,y0)=(0, 0))作出如下研究, 并得到相应的法则与定理。二元函数的极限是反映函数在某一领域内的重要属性的 一个基本概念, 它刻划了当自变量趋向于某一个定值时, 函数

值的变化趋势。是高等数学中一个极其重要的问题。但是, 一

般来说, 二元函数的极限比起一元函数的极限, 无论从计算还

是证明都具有更大的难度。本文就二元函数极限的问题作如

《二元一次方程与一次函数》测试题 第3篇

——托尔斯泰（俄国文学家、思想家，1828-1910）

一、填空题（每小题5分，共30分）

1. 一次函数y=x+1的图象与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为，与坐标轴围成的直角三角形面积为.

2. 若一次函数y=（2m-1）x+2-m的图象不经过第四象限，则m的取值范围是.

3. 对于方程组x+y-2=0，4x+4y-4=0而言，解的情况是，由此可知，函数y=-x+2与4y=-4x+4的图象在同一坐标系中的位置关系是（填“平行”或“相交”）.

4. 已知直线y=-2x+1与y=kx交于点（-2，a），则a=，k=.

5. 一次函数y=a1x+b1，y=a2x+b2（a1、a2、b1、b2均为常数）的图象有唯一的交点，则方程组y=a1x+b1， y=a2x+b2有解.

6. 图1中的两条直线l1 、l2的交点坐标可以看做是方程组的解.

二、选择题（每小题5分，共30分）

7. 方程组2x+4y+1=0，x-2y+2=0的解是下面哪两个一次函数图象交点的坐标？是（）.

A. y=x-和y=x-1 B. y=-x-和y=x+1

C. y=-x-和y=x-1D. y=x-和y=x+1 8. 若以一个二元一次方程组中的两个方程作为一次函数，并画出函数图象，所得的两条直线平行，则此方程组（）.

A. 无解B. 有唯一解C. 有无数解D. 以上都有可能

9. 已知关于x、y的二元一次方程kx+y=5的一组解是x=1，y=3，则函数y=kx的大致图象是（）.

10. 若两条直线ax-3y=5和2x+by=1的交点坐标是，-1，则a、b的值分别是（）.

A. 1和2 B. 4和0 C. 和-1 D. 0和4

11. 直线kx-3y=8与2x-5y=-4交点的纵坐标为0，则k的值是（）.

A. 4B. -4C. 2D. -2

12. 已知x=3，y=-2和x=2，y=1是二元一次方程ax+by+3=0的两个解，则一次函数y=ax+b的解析式为（）.

A. y=-2x-3B. y=x+C. y=-9x+3D. y=-x-

三、解答题（每题10分，共40分）

13. 画出直线y=x+2的图象.（1）求当x=-5和x=-1时y的值；（2）求当y=和y=1时对应的x的值；（3）求方程x+2=0的解；（4）求不等式x+2＜0的解集.

14. 用图象法解方程组y+x=3，y-3x=-5.

15. 若直线y=ax+7经过一次函数y=4-3x和y=2x-1的图象的交点，求a的值.

16. 图2表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港到乙港的行驶过程中，路程y（km）随时间x（h）变化的图象（分别是正比例函数图象和一次函数图象）.根据图象回答问题.

（1）请分别求出轮船和快艇行驶过程中路程和时间的函数关系式.

（2）轮船和快艇在途中行驶的速度分别是多少?

（3）快艇出发多长时间追上轮船？

二元函数列的收敛性研究 第4篇

1.首先, 综述了一元函数列相关定义和定理。然后, 给出二元函数列的定义。通过类比方法讨论了二元函数列的性质, 给出了相应的一些例子。引进了二元函数列一致收敛、局部一致收敛与次一致收敛的概念。讨论了它们之间的蕴含关系。给出了判定二元函数列一致收敛的柯西准则和二元函数列的极限函数连续、可导及可积的充分条件。

2.二元函数列的基本概念以及它的几种收敛性的蕴含关系

定义2.1设函数列{fn (x, y) }与f (x, y) 定义在区域D上, 若对每一固定的P (x, y) ∈D, 对任意给定的ε>0, 总存在着正整数N (N值与ε, x, y的值有关) , 当n>N时, 总有|fn (x, y) -f (x, y) |<ε, 则称{fn (x, y) }在D上逐点收敛于f (x, y) 。

例1.设fn (x, y) = (x2+y2) n, n=1, 2, 3…为定义在R2上的二元函数列, 证明它的收敛域为D={ (x, y) |x2+y2≤1}, 且有极限函数

证明任给ε>0, 当0<x2+y2<1时, 由于|fn (x, y) -f (x, y) |=| (x2+y2) |n, 只要取N (ε, x, y) = (lnε) /ln (x2+y2) , 当n>N (ε, x, y) , 就有|fn (x, y) -f (x, y) |<ε, 当x2+y2=0和x2+y2=1时, 则对任给正整数n, 都有|fn (0, 0) -0|=0<ε, 或者|fn (x, y) -f (x, y) |=|1n-1|=0<ε, 当x2+y2>1时, 则有 (x2+y2) n→+∞ (n→∞) , 所以这个二元函数列在区域{ (x, y) |x2+y2>1}是发散的。所以命题得证。

定义2.2设fn (x, y) n∈N与二次函数f (x, y) 定义在同一区域D⊂R2上, 若对∀ε>0, 总存在N>0 (N值只与ε的值有关) , 使得当n>N时, 对一切P (x, y) ∈D都有|fn (x, y) -f (x, y) |<ε, 则称{fn (x, y) }在D⊂R2上一致收敛于f (x, y) 。

定义2.3设fn (x, y) n∈N与f (x, y) 定义在区域D⊂R2上, {fn (x, y) }收敛于f (x, y) 。若对∀ε>0, ∀P0 (x0, y0) ∈D, 坌m>N都存在δ>0及n0>m, 使得对∀ (x, y) ∈U (P0, δ) , 都有|fn0 (x, y) -f (x, y) |<ε, 则称{fn (x, y) }在D⊂R2上局部一致收敛于f (x, y) ([1]) 。

定义2.4二元函数列{fn (x, y) }n∈N与二元函数f (x, y) 定义在区域D⊂R2上, {fn (x, y) }收敛于f (x, y) 。如果对∀ε>0, ∀m>N, 区域D⊂R2总可以用有限个开区域Ω1, Ω2, ……, Ωk覆盖, 并且有相应的一组大于m的自然数n1, n2, ……, nk, 使得对坌 (x, y) ∈Ω1, 恒有|fn1 (x, y) -f (x, y) |<ε (i=1, 2, ……, k) 则称{fn (x, y) }在D上次一致收敛于f (x, y) ([1]) 。

定理1.设二元函数列{fn (x, y) }在D⊂R2上连续。且在D⊂R2上则fn (x, y) 在D⊂R2上连续的充要条件是:fn (x, y) 在D⊂R2上局部一致收敛于f (x, y) ([1]) 。

定理2.若{fn (x, y) }在D⊂R2上一致收敛于二元函数f (x, y) , 则{fn (x, y) }在D⊂R2上次一致收敛于f (x, y) , 进而{fn (x, y) 在D⊂R2上局部一致收敛于f (x, y) [3]。

定理3.如果D是有界闭区域, 则{fn (x, y) }在D上次一致收敛于f (x, y) 的充要条件是{fn (x, y) }在D上局部一致收敛于f (x, y) ([4]) 。

二元函数列的收敛性不能保证它的极限函数的连续性

例2.fn (x, y) = (x+y) n, 当x+y<1时, f (x, y) =0, 而当x+y=1时, f (x, y) =1, 在x+y=1处不连续;此函数列收敛域为-1<x+y≤1。

例3.fn (x, y) =1/ (1+n (x2+y2) ) , 当 (x, y) ≠ (0, 0) 时, f (x, y) =0, 而f (0, 0) =1, 在点 (0, 0) 处不连续, 此函数列收敛域为D奂R2。

3.二元函数列一致收敛判别法与一致收敛的二元函数列的性质

定理4.函数列{fn (x, y) }在区域D⊂R2上一致收敛的充要条件是:对任给正数ε, 总存在正数N, 使得当n, m>N时, 对一切 (x, y) ∈D, 都有|fn (x, y) -fm (x, y) |<ε

推论1.函数列{fn (x, y) }在区域D⊂R2上一致收敛的充要条件是:

命题1.设二元函数列{fn (x, y) }在U 0 (P0, δ) 上一致收敛于f (x, y) , 且对每一n, 均存在且相等 ([4]) 。

这个定理指出:在一致收敛的条件下, {fn (x, y) }两个独立变量n和P (x, y) , 在分别求极限时其求极限的顺序可以交换, 即

命题2. (连续性) 若二元函数列{fn (x, y) }在区域D⊂R 2上一致收敛, 且每一项都连续, 则其极限函数f (x, y) 在D⊂R2上也连续 ([4]) 。

命题3 (可积性) 若二元函数列{fn (x, y) }在区域D⊂R2上一致收敛, 且每一项都连续, 则

证明:设fn (x, y) 为二元函数列{fn (x, y) }在区域D上的极限函数。由命题2, f (x, y) 在区域D上连续, 从而fn (x, y) (n=1, 2, 3…) 与f (x, y) 在D上都可积。

因为在区域D上fn (x, y) ⇒f (x, y) (n→∞) , 故对任意正数ε, 存在N, 当n>N时, 对一切P (x, y) ∈D, 都有|fn (x, y) -f (x, y) |<ε再根据定积分的性质, 当n>N时有

(SD为区域D的面积) 。即等式 (1) 成立。

命题4 (可导性) 设{fn (x, y) }定义在区域D奂R2, 若P0 (x0, y) ∈D为{fn (x, y) }的收敛点, 二元函数列{fn (x, y) }的每一项在D⊂R2上有连续的偏导数, 且二元函数列{fn (x, y) }在D⊂R2上一致收敛, 则

证明:设fn (x0, y0) →A (n→∞) , fn&apos; (x0, y0) 一致收敛于g (x, y) , P0 (x0, y0) ∈D要证明函数列{fn (x, y) }在区域D上收敛, 且其极限函数的偏导数存在且等于g (x, y) 。由命题条件, 对任一P0 (x0, y0) ∈D, 总有

该定理指出:在一致收敛的条件下, 极限运算与求偏导运算的顺序可以交换。

摘要：函数列的一致收敛性概念在微分方程求解、控制理论、近似计算与误差估计等方面有重要应用。本文给出二元函数列的定义。引进了二元函数列一致收敛、局部一致收敛与次一致收敛的概念。研究了它们之间的蕴含关系。讨论了二元函数列的性质, 给出了相应的例子。给出了二元函数列一致收敛的判别法和极限函数连续、可导及可积的充分条件。

关键词：二元函数列,一致收敛,次一致收敛,局部一致收敛,收敛性判别法

参考文献

[1]周春梅, 陈影娟.二元函数列局部一致收敛与次一致收敛[J].嘉应大学学报1996 (1) :15-17.

[2]杨曼英.关于函数列收敛与一致收敛的一点思考[J].娄底师专学报2004.

[3]裴礼文.数学分析中的典型问题和方法[M].北京:高等教育出版社2002:76-78.

[4]华东师范大学数学系.数学分析 (第三版) [M].北京:高等教育出版社, 2001.

[5]Harro.G.Heuser.Functional Analysis.New York:Wiley Sons, 1982:113-131.

[6]周民强.实变函数.北京:北京大学出版社, 1985:44-78.

关于二元函数极限定义的教学探讨 第5篇

【摘要】本文对二重极限的两种不同定义进行了比较，指出了二重极限与二次极限的异同，并通过具体的例子加深理解.【关键词】二重极限；二次极限；定义

二元函数的极限是在一元函数极限的基础上建立起来的，是一元函数极限概念的推广.因而二元函数的极限比一元函数极限更抽象，要求更高，从而更难理解.初学者很容易犯一些概念性的错误，因此加强对二元函数的极限概念的教学和理解显得尤为重要.1.二重极限的定义

现行教材中，对于二重极限有两种定义方法：

并且两种顺序的二次极限中的里层极限都存在，则两种顺序的二次极限都存在，且与二重极限的值相等.【参考文献】

二元函数一致连续性的判定 第6篇

所以,函数f(P)在区域D上一致连续.

以上对二元函数一致连续性的讨论, 是基于一元函数的基础之上. 二元函数的一致连续性判定定理也可以相应的推广到多元函数上,但是要注意,在推广过程中某些定理的条件发生的相应变化.这种研究方式有助于培养数学思维能力,拓宽数学探究视野.

摘要：函数的一致连续性是数学分析学习中一个重要内容,文章讨论了二元函数一致连续性判定的充分条件及充分必要条件,并给出了相应的证明.

二元函数的最值及其经济应用 第7篇

求函数f (x, y) 的最大值和最小值的一般步骤为:

(1) 求函数f (x, y) 在D内所有驻点处的函数值; (2) 求f (x, y) 在D的边界上的最大值和最小值; (3) 将前两步得到的所有函数值进行比较, 其中最大者即为最大值, 最小者即为最小值。

在通常遇到的实际问题中, 如果根据问题的性质, 可以判断出函数f (x, y) 的最大值 (最小值) 一定在D的内部取得, 而函数f (x, y) 在D内只有一个驻点, 则可以肯定该驻点处的函数值就是函数f (x, y) 在D上的最大值 (最小值) 。

二、二元函数的最值在经济中的应用

例1设q1为商品A的需求量, q2为商品B的需求量, 其需求函数分别为q1=16-2p1+4p2, q2=20+4p1-10p2, 总成本函数为C=3q1+2q2, 其中p1, p2为商品A和B的价格, 试问价格p1, p2取何值时可使利润最大?

解按题意, 总收益函数为:

于是总利润函数为

为使总利润最大, 求一阶偏导数, 并令其为零:

由此解得p1=63/2, p2=14, 又因

故取p1=63/2, p2=14价格时利润可达最大, 而此时得产量为q1=9, q2=6。

例2在经济学中有个Cobb-Douglas生产函数模型f (x, y) =cxαy1-α, 式中x代表劳动力的数量, y为资本数量 (确切地说是y个单位资本) , c与α (0<α<1) 是常数, 由各工厂的具体情形而定, 函数值表示生产量, 现在已知某制造商的Cobb-Douglas生产函数是f (x, y) =100x3/4y1/4每个劳动力与每单位资本的成本分别是150元及250元, 该制造商的总预算是50 000元, 问他该如何分配这笔钱用于雇用劳动力与资本, 以使生产量最高。

解这是个条件极值问题, 求函数f (x, y) =100x3/4y1/4在条件150x+250y=5 000下的最大值。

在该式两边同乘x1/4y3/4, 有25x-125y=0, 即x=5y。将此结果代入方程组的第三个方程得x=250, y=50, 即该制造商应该雇用250个劳动力而把其余的部分作为资本投入, 这时可获得最大产量f (250, 50) =16 719。

例3设销售收入R (单位:万元) 与花费在两种广告宣传的费用x, y (单位:万元) 之间的关系为

利润额相当于五分之一的销售收入, 并要扣除广告费用.已知广告费用总预算金是25万元, 试问如何分配两种广告费用使利润最大?

解设利润为z, 有

限制条件为x+y=25, 这是条件极值问题, 令

从而

整理得

又y=25-x, 解x=15, y=10。根据问题本身的意义及驻点的唯一性即知, 当投入两种广告的费用分别为15万元和10万元时, 可使利润最大。

例4设某电视机厂生产一台电视机的成本为c, 每台电视机的销售价格为p, 销售量为x。假设该厂的生产处于平衡状态, 即电视机的生产量等于销售量, 根据市场预测, 销售量x与销售价格为p之间有下面的关系:

其中M为市场最大需求量, a是价格系数。同时, 生产部门根据对生产环节的分析, 对每台电视机的生产成本c有如下测算:

其中c0是只生产一台电视机时的成本, k是规模系数, 根据上述条件, 应如何确定电视机的售价p, 才能使该厂获得最大利润?

解设厂家获得的利润为u, 每台电视机售价为p, 每台生产成本为c, 销售量x, 则u= (p-c) x。

于是问题化为利润函数u= (p-c) x在附加条件 (1) 、 (2) 下的极值问题。

利用拉格朗日乘数法, 作拉格朗日函数:

将 (3) 、 (4) 、 (5) 代入Lx=0, 得

由问题本身可知最优价格必定存在, 故这个p*就是电视机的最优价格。

摘要：在实际生活会大量遇到求多元函数的最大值、最小值的问题。与一元函数的情形类似, 多元函数的最大值、最小值与极大值、极小值密切相关。举例说明二元函数的最值及其在经济中的应用问题。

关键词：二元函数,最值,经济,应用

参考文献

[1]吴传生.经济数学一微积分[M].北京.高等教育出版社, 2003.

二元函数 第8篇

为了便于比较解法的优势, 所举例题均选自文[1]。

例1 (2011浙江理科第16题) 设x、y∈R, 若4x2+y2+xy=1, 求2x+y的最大值。

解:令t=2x+y (1) , 由 (1) 得y=t-2x, 代入已知等式并整理, 得6x2-3tx+t2-1=0。

例3 (2006年安徽省高中数学竞赛初赛题) 设x、y∈R, 且x2+xy+y2=3, 求x2-xy+y2的最大值与最小值。

所以x2-xy+y2的最大值为9, 最小值为1。

例4 (1997年莫斯科大学化学系入学考试数学试题) 设x2+2y2-xy=1, 求表达式x2+2y2的最大值与最小值。

所以, |2x+3y|的最小值为2。

为了说明这种方法应用的广泛性, 再举几例。

例7已知x-2y=1, 求x2-y2-2x+4y-3的最小值。

所以, 当x=-2时, y=-1;当x=2时, y=3。

正如文[1]在文末所说:这样解题既自然流畅又简洁明了。因此, 笔者认为, 解题教学应本着“既讲通法, 又教巧法”这一辩证的教学模式, 追求自然流畅的思维流程, 才能有效的指导学生解题, 激发学生的解题热情, 提高学生的解题能力, 从而促进数学的高效学习。

参考文献

求二元函数最值常用的十种方法 第9篇

一、化为一元函数法

将二元函数通过消元转化为一元函数,然后根据其特征采用相应的最值方法而获解.常用的消元(或减元)方法,是利用两变量间的相依关系,将其中一个变量用另一个变量表示,如y=g(x),将其代入目标函数f(x,y),即可得到一元函数f(x,g(x)).

例1设P是椭圆+y2=1(a>1)短轴的一个端点,Q为椭圆上的一个动点,求|PQ|的最大值.

分析:设点Q(x,y),则目标函数|PQ|=f(x,y)为二元函数,可利用点Q在椭圆上,其坐标满足椭圆方程,将x(或y)用y(或x)表示,而使目标函数化为一元函数.

解:设Q(x,y),P(0,1),则

因为Q在椭圆+y2=1上,

所以

所以

因为|y|1,a>1,所以若a≥,则1,故当y=时,|PQ|max=

若1

评注:本题系条件最值,且约束条件隐含于点P在椭圆上,故需挖掘出自变量y的取值范围[-1,1].

二、均值不等式法

利用均值不等式,关键是要注意三个条件:“正、定、等”,缺一不可.当不满足这三个条件时,可通过“拆、拼、凑”的变换实现之.要注意多次使用均值不等式时,必须保证几个等号同时成立.

例2已知(c+1)x-y-4=0,求z=log2(cx+y)+log2(x-2y)的最大值及此时x、y的值.这里2c+1>0.

分析:利用对数运算将目标函数和化积;利用对数性质找正值;利用已知条件凑定值.

由真数的条件知cx+y>0,x-2y>0.

又由(c+1)x-y-4=0,知(cx+y)+(x-2y)=4为定值,所以

当且仅当cx+y=x-2y=2时,上式等号成立,

由此解得

三、换元法

把题目中的某些代数式看成一个新的未知数(变元)来实现变量替换,然后由新元的取值范围推得原函数的取值范围,从而使问题获解.

例3已知求的最值.

分析:将lg、lg分别换元为A、B,则目标函数可化为f(A,B),借助A、B范围而获解.

解:由题设,得

则

所以

则

即

所以

四、三角代换法

通过三角代换把二元函数转化为三角函数,而三角函数的最值易求.为此,掌握一些常用的三角代换是有好处的,如已知x2+y2=a2时,可作代换x=acosθ、y=asinθ;已知x,y∈R+且x-y=1,可作代换x=sec2θ,y=tan2θ;.可根据被代换式的结构特征,利用三角函数性质,因题制宜,恰当代换.

例4已知x,y∈R+,且x+y=1,求(x+)(y+)的最小值.

分析:由x,y∈R+且x+y=1,联想sin2θ+cos2θ=1,则可作代换.

解:设x=cos2θ,y=sin2θ(0<θ<),则

当且仅当时,上式等号成立.

所以当x=y=时,(x+)(y+)有最小值.

五、整体代换法

在有些问题中,把某个式子(通常是具有某种特征或为定值的式子)看作整体,对目标函数进行代换,会使求解过程快捷.

例5函数y=loga(x+3)-1(a>0,a≠1)的图象恒过定点A(-2,-1),若点A在直线mx+ny+1=0上,其中mn>0,求的最小值.

分析:由题设易得2m+n=1,巧用“1”对目标函数进行整体代换,立刻获解.

解:由函数y=loga(x+3)-1的图象恒过定点A(-2,-1),且点A在直线mx+ny+1=0上,得2m+n=1.

又因为mn>-0,

当且仅当,即m=,亦即m=,n=时,上式等号成立,此刻()min=8.

评注:本题是已知x>0,y>0,a>0,b>0且=1,求x+y的最小值问题的一个特例,巧用“1”进行整体代换,可简捷获解.

六、线性规划法

对于线性或非线性的目标函数,当它们具有一定几何意义时,常可用线性规划的思想方法求最值.特别是在高考中,重视数学知识、方法“迁移”能力考查的情况下,有些看似与线性规划无关的最值问题,运用知识迁移,则可用线性规划法来解.

例6设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S4≥10,S515,则a4的最大值为__.

分析:由题目的条件信息和目标信息,联系线性规划知识和思想方法,可将已知条件转化为关于a1、d的线性约束条件,a4转化为以a1、d为变元的目标函数,于是就容易获解.

解:在图1的坐标2 a1+3d=5d系,a1 Od中分别作出直线2a1+3d=5和a1+2d=3,得可行域与交点(1,1).

目标函数为a4=a1+3d,平行移动直线a1+3d=0过点(1,1)时,即a1=d=1时,a4有最大值1+31=4.

评注:这里将(a1,d)看成(x,y),a4看成z,这就回归到一般的线性规划问题而不感到异常.这是一道设计独特,能力立意高,并涉及知识网络交汇的好题,所给解法显然优于常规解法.

七、向量法

有些二元函数的最值问题,可通过构造向量转化目标函数,运用向量的有关运算而简捷获解.

例7已知a>0,b>0,a+b=1,求+的最小值.

解:设向量m=(),n=(),由mn|m||n|,得

即

从而,得≥4.

所以

评注:由向量的数量积得-|mn|mn丨m||n|,即|mn||m||n|(当且仅当向量m、n共线时取等号),用这些公式求最值和证明不等式都是非常方便的.当然本题用整体代换法也很容易获解.

八、数形结合法

数形结合是中学数学中最重要的思想方法之一,应用极为广泛,当然,它在求二元函数最值问题中也发挥着重要作用.此法的关键是挖掘问题条件与结论的几何背景.

例8设00,求S=(u-v)2+()2的最小值.

分析:目标函数的几何意义,是求两动点P(u,)、Q(v,)间距离平方的最小值,而点P、Q又分别在不同的曲线上,于是使用数形结合则可直观快捷获解.

解:设P(u,)、Q(v,),则点P、Q的轨迹方程分别为x2+y2=2(00),在同一直角坐标系中分别作出这两条曲线,如图2.

当且仅当v2=即v=3时取等号,此时

因为,

所以

故当v=3,u=1时,

评注:本题若用代数法,就难以入手;转化为两点间距离,则显而易见.

九、柯西不等式法

设ai、bi(i=1,2,,n)都为实数,则(+)()≥(a1b1+a2b2++anbn)2,当且仅当ai=kbi(i=1,2,,n)时等号成立.这就是著名的柯西不等式.该不等式及其变形不仅在证明不等式时有重要应用,而且在求多元函数最值问题中也发挥着巨大作用.

例9设x>1,y>1,求的最小值.

解:因x>1,y>1,则x-1>0,y-1>0,故可设,b2=,由柯西不等式,得

当且仅当x=y=2时等号成立.

十、切线法

二元函数常常联系二次曲线,因此与其有关的最值问题,利用二次曲线的切线容易获解.

例10在抛物线C:y=-x2上求一点,使它到直线l:4x+3y-8=0的距离最短,并求出此最短距离.

分析:当l平行移动与曲线C相切时切点即所求.

解:设和l平行的直线与抛物线C相切于点P(x0,y0),则

所以

即P).于是得P()到直线l:4x+3y-8=0的距离

所以抛物线C上的点()到直线l的距离最短为.

评注:本题也可用判别式法求出与l平行且与抛物线相切的直线l'的方程,再求l、l'间距离及切点坐标,但采用导数法比较容易.

二元函数 第10篇

线性规划是高中数学中的新增内容, 也是初等与高等数学的衔接内容, 是高考的重点热点.线性规划思想在高中数学各个章节中都有应用, 尤其在求有关二元函数的最值问题时, 以下举几例说明, 供参考:

一、在解析几何中的应用

1.到点的距离问题

例1 已知x, y满足则S=x2+y2+2x-2y+2的最小值是.

解析 S= (x+1) 2+ (y-1) 2表示可行域内的点到点 (-1, 1) 的距离的平方, 由图可知当点取 (0, 0) 时S的最小值为2.

2.到直线的距离问题

例2 已知x, y满足不等式组则ω=|x+2y-4|的最大值为.

解析 作出可行域, 设P (x, y) 是区域内任一点, 则$\frac{|x+2y-4|}{\sqrt{5}}$表示点P到直线x+2y-4=0的距离, 解

$\{\begin{array}{l}x-y+2=0,\\ 2x-y-5=0,\end{array}$

得Q (7, 9) , 由图可知, 当取点Q (7, 9) 时, ω的最大值为21.

3.两点连线的斜率问题

例3 已知x, y满足不等式组则$\omega =\frac{y-1}{x+1}$的取值范围是.

解析 作出可行域, 设P (x, y) 为可行域内任一点, 而$\omega =\frac{y-1}{x+1}$表示点P和点Q (-1, 1) 连线的斜率, 且$\omega {}_{\min }=k{}_{Q{\rm M}}=-\frac{1}{2}$, 又由图知ω<1, 所以$\omega \in \left[-\frac{1}{2},1\right).$

点评 (1) 解线性规划问题要先正确画出满足条件的可行域.

(2) 要善于联想目标函数所表示的几何意义, 如距离、斜率等.

二、在函数、方程与不等式中的应用

例4 已知函数f (x) = (4a-3) x+b-2a, x∈[0, 1], 若f (x) 2恒成立, 则a+b的最大值为.

解析 由题意得解得令z=a+b, 作图令横轴为a轴, 纵轴为b轴, 由线性规划知识可得在点$\left(\frac{3}{4},\frac{7}{2}\right)$处z取得最大值$\frac{17}{4}.$

三、在概率问题中的应用

例5 甲乙二人互相约定6:00～6:30在预定地点会面, 先到的人要等候另一人10分钟后, 方可离开, 求甲乙二人能会面的概率. (假定他们在6:00～6:30内的任意时刻到达预定地点的机会是等可能的.)

解析 设甲乙二人到达预定地点的时刻分别为x, y.

则由题意知由“二人会面”可得|x-y|<10, 在直角坐标系中画出的对应平面区域为正方形, 且面积为302=900;画出|x-y|<10的对应平面区域为区域A, 且面积为$30{}^2-2\frac{1}{2}(30-10){}^2=500.$

所以由几何概型可得所求概率为${\rm P}=\frac{500}{900}=\frac{5}{9}.$

答 两人能见面的概率为$\frac{5}{9}.$

从以上几例看出, 在求有关二元函数的最值问题时, 注意利用线性规划思想, 联想目标函数的几何意义, 合理恰当转化将使问题解决简洁明了.