二次函数建模方法

二次函数建模方法（精选5篇）

二次函数建模方法 第1篇

某栋建筑物，从10米高的窗口用水管向外喷水，如果喷出的水最高点离墙1米，离地面40/3，问水流的落地点离墙的距离是多少?在此问题中，若把从窗口喷出的水流抽象为抛物线(如图(1)所示)把水流喷出点看做点A，把水流的最高点看做点M，水流落地点看做点B，以墙与地面分别作为y轴和x轴，建立直角坐标系，该实际问题就转化为这样一个二次函数的问题：如图1已知抛物线过点A (0, 10)，顶点坐标为(1, 40/3)，求点B的横坐标。

像这样由实际问题抽象得到的数学问题，我们称之为实际问题的数学模型，具体地说，所谓数学模型，就是把需要解决的实际问题(即现实模型)，经过数学抽象和简化得到的数学形式，这样的形式必须借助于数学概念和数学符号来描述，同时舍弃与本质无关的一切属性，它是对原型的数学属性及其关系的一种概括和近似反映，但相对于要解决的实际问题而论，数学模型更深刻、更正确、更完全地反映着现实。

把所要研究的实际问题，通过数学抽象构造出相应的数学模型，再对数学模型进行研究，使问题得到解决，我称这样的方法为数学模型方法，其基本思想是：

返回解释

(检验)

从客观事实的原型出发、具体构造数学模型的过程叫做数学建模，它一般括以下几个步骤：

(1)分析原型，考查所给实际问题的基本情形和要达到的目的，分析问题中各量的关系，包括哪些是已知的，哪些是未知的，并依据原型提供的信息，抓住问题的主要矛盾，如上例中所涉及的实际情景是从楼上一窗口向外喷水，已知：喷水点的高度是10米，水流最高点距墙1米，距地面40/3，而水流落地点到墙的距离和已知条件联系起来。

(2)数学建模，通过分析原型，对其本质属性进行抽象，并用数学知识和方法去刻画，从而得到数学模型，将实际问题转化数学问题，如上例中，水流的路径可抽象为抛物线，把墙和地面分别看成y轴和x轴，建立直角坐标系，喷水点距离地点10米，所以A点坐标为(0、10)，水流最高点距墙1米，距地面40/3米，所以抛物线顶点M的坐标为(1, 40/3)，求水流落地点离墙距离，即求x轴上点B的横坐标。

(3)数学求解，运用数学工具对数学模型进行推理或演算，求出相应的数学结果，如上例中，根据数学建模的结果，可设抛物线的解析式为y=a (x-1) 2+40/3，因为抛物线经过点A (0, 10)，把x=0, y=10代入解析式，得a=-10/3，所求抛物线为y=-103 (x-1) 2+40/3，因为点B在x轴上，所以其纵坐标为0，把y=0代入解析式，得：x1=3或x2=-1。

(4)返回解释，把求得的数学结果放到实际问题中去加以分析、评价和解释，即返回原问题，给出实际的解答。如上例中，求出B点的横坐标为3或-1，因x=-1不符合题意，必须舍弃。因此，水流与墙的距离为3米，从而使实际问题得以解决。

从上例可知把实际问题通过数学建模转化为数学问题，可在转化中让学生体验探究的过程，培养学生的探索创新能力和实践能力，从而激发学生学习数学的兴趣，转化学习方式，培养分析问题、解决问题的能力，形成用数学的意识。

摘要：国家新颁布的数学课程标准, 倡导学生“自主性学习和探究性学生”的方法, 因此, 教师要尽量给学生提供开展科学探究的机会, 让学生通过手脑并用的探究活动, 体验探究的过程。而数学建模的思想和方法则很好地体现学生自主探究的思维活动, 本文就二次函数的应用, 谈谈数学建模的思想和方法。

关键词：二次函数,数学建模,思想方法

参考文献

[1]刘月华.本源思想在二次函数实际问题中的应用.试题与研究:新课程论坛, 2011, (23) .

[2]黄岳俊, 唐剑岚, 韦永旺.用几何画板优化含参数的二次函数最值的解法.中学教学参考, 2012, (2) .

[3]白海龙.渗透数学思想降低知识台阶——小议数学思想方法在二次函数中的应用.吉林教育:高教, 2011, (8) .

[4]戴圩章.让学生成为课堂真正的主人——“二次函数零点分布”案例分析.中学数学月刊, 2011, (11) .

[5]胡轶.初中数学不同版本教材课程难度比较研究——以人教版、北师大版九年级教材“二次函数一章第一小例题”为例.科教导刊, 2011, (33) .

[6]程经山.人教版与北师大版数学教材二次函数内容对比分析.数学学习与研究:教研版, 2011, (19) .

初中二次函数的教学方法研究 第2篇

一、初中二次函数教学方法的影响

1. 对于培养初中生数学思考能力有着积极的影响

初中阶段的学生正处于生理与心理都在发育的一个阶段, 对其进行二次函数数学的教学能够培养初中生的数学思考能力, 有利于促进初中生的理性思维发展.从初中数学教学发展的方向来讲, 二次函数的学习, 表示我国初中数学的教学由简单的常量数学由更深层次的变量数学发展, 虽然初中的二次函数的教学内容仅仅触及到二次函数中的一些最基本、最浅显的二次函数知识, 但是在二次函数学习的过程中所包含的数学思维与理解方式, 对训练初学者对于数学学习方面的能力起到了积极的影响, 有助于初中生学习函数知识.

2. 为高中的数学学习奠定了良好的函数基础

函数是在数学这门学科中都有涉及的知识点, 初中的二次函数学习仅仅是非常基础的二次函数知识, 在高中及大学的数学课程和微积分教学中都有涉及二次函数的应用. 从函数的整体概念来讲, 函数是与许多数学知识都有联系, 包括代数方程、不等式组、排列组合、微积分等多种数学知识.

二、二次函数教学过程中应注意的问题

在对学生进行教学的过程中, 要注意学生的发展与教学中的规律, 才能让中学数学教学顺利开展, 只有注重学生发展与数学教学水平相符合, 才能让数学教学更为有效的进行.数学教学中的二次函数需要符合学生认知能力发展的水平与教育过程的规律进行创新和设计. 学生认知能力发展和教育过程的规律, 主要的规律有学生认知能力发展、数学认知能力发展、数学认知锻炼规律、数学技术养成规律与认知规则掌握规律等. 根据学生的认知理解能力的水平进行学习创新和设计时, 考虑学生的年龄较低、理解与认知能力较差, 要根据数学锻炼的原则, 创新和设计一些简单且能够培养学生认知能力的有效, 增加学生的认知和理解能力, 仔细地将二次函数的内容、学习方法以及规则介绍给学生, 同时对学生说明学习的目的、 注意事项及其与课本知识之间的关联等, 激发学生在数学教学中的主观能动性, 调动学生的积极性, 让二次函数的目标得以实现.另外, 二次函数设计需要根据初中阶段的学生心理发育情况与协调性, 设计出符合初中阶段学生的学习, 在进行二次函数的过程中要细心观察学生身体各方面的变化, 适当调整学习的时间安排, 让二次函数教学得到更好的效果.

三、初中二次函数的教学方法研究

1. 通过图像进行二次函数的教学

二次函数的几何图形是二次函数教学过程中的重要方式, 在二次函数的教学过程中, 教师需要正确妊娠二次函数的几何图形对于加深二次函数教学的作用, 通过对初中生教学二次函数的绘制方法, 让学生掌握二次函数与二次函数图形的关联与知识点, 加深学生对于二次函数的认知, 培养学生的数学思考能力.

2. 为学生设置相应的二次函数问题

数学教学中, 对于数学问题的解答是对于数学知识点掌握能力的体现, 数学问题同时也能够反应数学知识点的应用, 初中生通过对于相应的二次函数问题的解答过程, 了解自身对于二次函数知识的掌握情况, 为学生进行分析二次函数问题、讨论其中的数学知识提供了有利的环境.

3. 开展多样化的二次函数教学方式

现代科技的发展带动了教学技术的进步. 数字技术的应用在课程的教学中也越来越频繁, 可以在数学教学中运用多媒体设备, 将一些二次函数相关的资料、图片、视频播放给学生进行观察.利用现代科学技术进行二次函数教学活动, 让数学教学现代化、信息化.现代技术改进了传统教学在数学教学的不足, 利用图像能更好的让学生掌握二次函数知识.

结束语

文章通过对于初中数学教学中的二次函数教学方式的讲解, 让学生明白其中的含义, 增加对数学的认识, 提高数学教学的质量. 随着我国经济的发展, 数学作为一个科学的学科, 初中学生对于数学的学习是非常必要的.数学的学习能够帮助初中生建立良好的函数知识的数学基础, 初中二次函数数学教育能够帮助初中生掌握一门许多函数知识, 能够提高初中生的数学学习能力与函数基础.

参考文献

[1]路秀梅, 胡建双, 刘文.初中数学教学中如何建立起学生的函数观点[J].中学生数理化.2014.3 (11) :85-86.

[2]陈玉华, 吴忠民.关于初中数学函数教学设计的几点思考[J].数理化学习.2014.11 (12) :123-124.

如何提高高中二次函数教学方法研究 第3篇

加深基础概念, 做到熟能生巧

进入高中阶段采用集合、映射等知识点来解释二次函数, 加大了对知识点的学习难度, 与初中阶段二次函数的学习有着明显区别。因此对刚进入高中学习的学生, 需要老师做好初中二次函数知识点的复习巩固的同时加深对高中知识点的引入, 引导学生转换学习思维, 将初中学所的知识点通过集合、映射等方面来进行解释, 在充分认识理解新思维下的函数、二次函数的定义后, 再进行更深程度的学习。例如在学习过程中对于函数形式的转化往往是一个难点, 如果做到对概念的充分理解掌握, 对于此类的题目化解并不是太难。如对函数f (x) =3x2+2x+4, 求值f (1) 、f (t) 以及表达式f (x+1) 。对于此题目很多学生对第一问、第二问的解答往往采取直接带入的方式即可求出相应的函数值, 但对于函数表达式f (x+1) 的求解过程中, 没有做到对知识点的清晰把握、深入了解, 错误的理解成在函数f (x) 中自变量为x+1 的函数值。

加大思维训练, 做到举一反三

随着学习程度的深入, 二次函数的学习难度也逐渐增加, 特别是将二次函数融入不等式、导数、数列及解析几何的学习中, 这就须要学生有很高的思维能力。这就需要学生在熟练掌握二次函数基础知识的同时, 善于利用解二次函数的方法解决实际问题, 对于老师则要求在交给学生二次函数学习方法的同时注重思维能力的训练培养, 做到将二次函数的知识点在各类题型中得到灵活运用。另外, 由于二次函数本身具有很多条的性质, 且出题方向较为灵活, 稍微改变二次函数中的项系数即可改变函数图形的形貌, 且对于定义域的区间改变就能影响到函数的值域。可以说对于二次函数的题目犹如题海, 是永远做不完的, 这就需要学生在练习的同时加深对知识点的巩固, 找到考察的所在知识点, 发现并找出所给题目中的隐含条件, 寻求最快捷的方法求解问题, 做到举一反三, 避免出力不讨好的现象, 在大量试题和思考的训练过程中提升学习的效率。

完善数形结合, 做到直观解题

学习二次函数时, 由于函数的抽象性不能直观判断出其特性, 加大了学习中的难度。如果做到数形结合可以很好特的函数公式和性, 弥补二次函数的抽象性的困难, 同时可以通过函数补充解释图形, 丰富函数的知识内容。因此这就应当老师在教导将数形结合的思维理念融入对二次函数基础知识的学习。例如, 对于绘制出函数f (x) =x2+2x+1[x沂 (-2, 2) ]的图像后, 能够直接从图中挖掘出函数的开口方向、单调性、值域、奇偶性等隐含条件。在分段函数的求解中, 单纯的通过函数计算比较困难, 如果采用图像的方法便能直观的判断出函数的变化趋势。另外数形结合的方法在求解图像平移的问题时, 能够直观的判断出函数图像的位置变化, 但很难求解出平移后的函数图像解析式。而利用函数平移“左加右减, 上加下减”的规律便能很快的求解出函数平移后的解析式, 补充在求解函数平移图像的不足。

利用错题笔记, 做到吃一堑长一智

对于数学的学习主要还是以实际的动手训练和小规模测试为主, 学生通过在训练过程中发现自己本身的问题 (如对知识点的掌握程度、不细心马虎等) , 并以错题笔记的方式记录下来。当然对于二次函数的学习也适用于此方法, 尤其是在二次函数结合导数、数列、解析几何等复杂知识点的学习中, 薄弱的知识点很容易在测试中显露出来。老师应当督促学生对错题做好记录, 并分析出现失误的原因, 避免下次再犯错, 同时在错题的旁边附上相应的知识点, 定期对学生的错题进行再测, 检查学生对错题的掌握应用程度。由于高中学习有很多印刷的试卷, 可以将每次测试的试卷装订起来, 可以定期拿出来翻阅。

寻找解题模板, 做到毫无遗漏

从传统的教学观念认为数学的学习必须具有严密的逻辑结构分析, 但仍可以将学习文科的背诵或记忆的方法融入其中, 做到更好的对二次函数的学习。广大教学工作者对二次函数教学中, 总结出了很多经典知识点解题方法, 可以让学生在实际解题的过程中采取套用模版的方法, 将题目做到规范化, 避免遗漏的知识点, 增加解决题目的严谨性, 做到尽可能的不失分。

结束语

在高中阶段二次函数的学习和初中阶段的学习存在着较大的差异, 难度有了很大的提高, 另外二次函数在整个高中学习阶段有着非常重要的作用, 可以说是重点也是难点。这就需要广大老师在教授学生基础知识的同时, 重视教学方法的指导, 做到“授之以鱼, 不如授之以渔”。在大量试题的训练训练过程中, 积极思考, 找出更加方便快捷的解题思路, 提高学习效率, 激发学生对二次函数的学习兴趣, 为学生高中阶段数学的学习打好坚定的基础。

摘要：在高中教学中对二次函数的施教, 是重点也是难点。虽然在初中阶段就已经引入了二次函数的概念, 但在高中阶段对二次函数的学习内容程度的增加, 以及难度明显加大, 因此, 寻找合理有效的二次函数的教学方法, 对提高二次函数的教学就显得更为重要。本文从基础概念着手, 提出了不同的教学方法, 希望能够对教师在此方面的教学过程中带来些许帮助。

关键词：二次函数,高中数学,教学方法

参考文献

[1]余成平.浅析初高中数学教学有效衔接[J].教学探讨, 2016年02期

[2]杨彦钢.数学思维能力在高中数学教学中的培养[J].西部素质教育, 2015.02

[3]王秋娟.浅谈高中生学习数学过程中存在的问题及解决措施[J].学科教育, 2015 (3) :211

二次函数建模方法 第4篇

关键词：高斯模板,林地模型,模板化地形建模,多适应性

1 引言

21 世纪初计算机开始迅猛发展, 尤其是计算机图形图像处理设备的发展, 使得计算机3D技术开始普及并且走进千家万户。 而由此催生出的虚拟现实、 三维漫游等技术开始在各个领域大规模应用。 它突破传统三维模型的只可远观不可亵玩的限制, 提供用户良好的场景交互特性[1]。 地形模拟是其技术的核心问题之一, 通过用计算机3D技术手段模拟真实地形的起伏、 结构和形态的诸多特性来还原一个现实场景, 地形模型的应用非常广泛, 在工业模拟、 计算机游戏、 电影制作、军事模拟等等[2]都有非常深入的应用。

讨论的是在林业工程, 林业可视化过程中地形模拟手段。目前通常利用的有遥感[3]或者GPS等实际数据来建立地理模型[4]。在获得地形数据之后, 利用已有的算法来获得数据。

插值算法是运用时间最长, 运用领域最广的算法之一。其方法是利用两个采样点高度差值, 除以中间这两个采样中间插值点的数量, 平滑地模拟地形。 在这种算法基础, 上又衍生出诸多比如分割算法[4]等变化算法。 插值类算法的本质是基于地形采样点之间是平滑过渡的这个假设, 对采样点的取值有一定要求。 分割算法实际将地形 “分而治之”, 分割成规定的多个小块分别运算, 但其过程中又引入一些新的条件运算和衍生运算, 加大运算量, 是一种不考虑运算消耗的理想算法, 实际运用较少。

2 概述

地形生成的过程主要为: 第一步收集采样点信息, 根据需要对样地进行采样, 即通过某种方法进行一系列点的数据收集, 这些点离散分布在样地上, 采样点之间是有间隙的, 间隙间的为非采样点且数值为空白 (即为0) 。 采样数据包括相对坐标中纵坐标值、 横坐标值、 和高度值。 这一步相当于为样地打下大致外形轮廓。 第二步获得采样点信息后利用某种方法逻辑建立起地形, 再通过某种算法填补上没有采样的非采样点的数据, 形成一个完整的地形整体数据。

提高采样点的密度可以直接提高地形生成的质量, 但是这么做是不切实际, 需要耗费大量工作进行采样。 在实际终地形是连续的, 采样点密度再大也无法完全拟真, 在计算机计算上其密度也不可能无限制提升。 现行做法通常是根据需要进行适当采样, 再使用算法填补非采样空白数据, 最终整体生成地形。

针对填补非采样点数据这一过程而提出一种基于二次高斯模板的地形建模方法, 由于林业可视化过程中林分地形建模对精度要求不高, 采样点密度不会太多, 算法建模较为重要, 本算法的提出对于林分可视化有切实帮助。 另一方面这个方法再经过多次扩展实验后发现其虚拟地形能力突出, 可以为虚拟现实的架空地形提供方法支持。

考虑插值算法, 两个采样点之间用等差数列插入其中进行过度, 并且首尾两项为这两个点。 由于是线性过度, 补充数据后的地形一般都严重失真、 过度区域绝对平直整齐。 再有, 插值算法需要考虑每一组不同的两点间数据, 即等差数列的插入不是一个二维过程, 而是三维过程, 插值计算过程也变得绝非仅仅计算等差数列如此简单, 例如两个在采样的相对坐标系终呈斜向定位, 如何在这两点间插值很复杂, 如果插值过程产生与其他点的冲突也难以处理。 这些判断过程都极其繁琐复杂, 另外这些插值的处理手段和采样点密度有关, 和最终地形数据精度有关, 需要根据不同情况做方法上的修改, 适用性不广, 推广难度较大。

本方法针对采样点数据相对较少, 而需要设定值的非采样点较多的情况, 将研究目标从如何设定非采样点的值转移到数量较少的采样点上, 减少逻辑分析复杂程度。

3 方法过程

首先获取需要进行操作的地形数据, 这是所有地形建模的必须步骤。 采用某地林场采集的离散地形数据为样本进行实验。

如图1 所示, 这片地区基本呈矩形倾斜分布在坐标区域内。 这片地形已经经过平移处理移动至坐标系中心位置, 方便观察和后续操作。 注意坐标轴的走向, 这片样地被采用地形灰度图手段存储, 由于这种手段被广泛应用于计算机3D技术当中, 并且绝大多数相关软件和引擎都支持这种数据, 因此本方法也以这种手段作为地形数据存储方式, 地形灰度图相关介绍请参考相关资料。 实际上在图1 中能直观观察出来的为采样点横坐标值和纵坐标值, 而采样点的高度值存储于灰度图中像素值区域, 即将原本表达灰度值的数值改为存储高度值。 设地形灰度图为M的矩阵数据, Mx, y表示其中某点。

接下来讨论模板的获得方法。 设m表示模板矩阵数据, mi, j表示模板中某点。 本方法利用二次高斯函数的几何属性, 获得模板数据。

公式1 二次高斯分布表达函数式

在公式1 中, (i, j) 表示在平面内服从二次高斯分布的点的集合, 其中有系数 μ1、 μ2、 σ1、 σ1和p; μ1和 μ2分别表示两个期望值, σ1和 σ1分别表示两个方差值, p表示相关系数。下面图2 表示了一个 μ1、 μ2为0, σ1、 σ1为5, p为0 的, 二次高斯分布部分图像。

由于地形是由几何方式表达, 这里使用高斯模板的方法与图形图像处理中的高斯模板使用截然不同, 后者利用的是二次高斯积分为1 的数学性质进行有效平滑, 而本方法使用的二次高斯函数自然突起的几何属性, 并将这种性质作为地形抬升的手段运用于地形数据上。

如何确定高斯模板的的形状是下一步工作。 由二次高斯函数本身性质可知, 确定几何形状最重要的变量为两个方差的数值, 即 σ1和 σ2。 由于本方法的本质是按照给出的高斯模板的几何式样放置于地形数据上抬高相应地形, 因此模板的取值直接决定地形被处理后的样貌形态。 根据所需模板的大小, 需要模拟地形的高低起伏, 来确定 σ1和 σ2的值, 本实验给出的是 σ1=5 和 σ2=5 的模板来进行实验, 并且模板的大小为21×21 的模板。 由于 μ1和 μ2的对几何形状没有影响, 仅影响函数在平面的位置, 函数变换成模板后没有实际效果, 因此本方法将所有模板都设置为 μ1=0 和 μ2=0。

确定好模板的二次高斯函数之后, 可直接获得离散的二次高斯矩阵, 这时模板和图形图像处理中的使用的二次高斯模板一致。 但是接下来要将模板所有数值除以中心点数值, 获得其比值并且替代原来的数值, 用上述的21×21 模板为例:

计算后得到一个完全由比值组成的新矩阵, 且几何效果没变如图2 所示, 中心点 (即m11, 11点) 数值为1。

获得模板之后, 其几何效果如图2 所示, 最高点数值为1。 对于一个采样点而不考虑其他任何因素, 将模板数值为1的最高点, 也即中心点对齐于地形灰度图中的某一采样点, 此时模板将会覆盖在一部分地形数据区域上; 这时超出地形灰度图的模板区域不做操作直接略过。 而当采样点密度较大, 相隔距离小于模板半边长时, 同一个非采样点可能会重复模板操作, 本方法采用取最大值方法解决。 注意采样点不受影响, 不做任何操作。

当Mx, y不是采样点, 并且被模板操作处理时, Mx, y的取值在本次模板覆盖操作中, 为模板操作过程中计算出的值为a和当前Mx, y本身的值b之间的较大值。 若a较大, 则Mx, y修改为a, 若是b较大, 则Mx, y不做操作, 算法继续执行流程中的下一步。 8X8 地形灰度图样例。

如前面描述可知, 当Mx, y=0, 也就是说Mx, y没有被之前模板操作覆盖过, 利用上述方法也可以正确取得数值。 另一方面, 这个方法具有迭代性, 由于最大值唯一, 当一个非采样点被N个可能被模板覆盖, 这种迭代取二者取最大值的方法能够正确取得N中最大值, 所以这个方法具有可行性, 又降低了取值难度。 具体的证明比较简单, 这个不给出具体内容。 利用本方法从地形灰度图的最左上方数据点扫描至右下方最后一个数据点, 完成所有地形数据的计算并填充满地形灰度图。

4 实验结果与分析

如图4 所示, 在没有用算法进行数据填充时, 数据呈现出来的时离散凸出点阵, 无法观测出任何和地形有关的联系, 所以数据需要处理。

接下来, 图5 中展示出的地貌为本方法处理完成后的效果, 可以看出其效果符合图4 原始数据所表达的呈小角度倾斜的地貌, 整个地形地貌得到了很好的表达。

图6 为同一地形数据在简单线性插值效果下的结果。 可以观察到, 由于线性插值本身特点, 地形锯齿效果比较明显。同时可以发现, 呈现出的地形与图4 中未做修改的原始地形数据有部分不符情况, 且地形中有异常突起, 而地形中高低起伏也与原始数据点稍有不同。 这种情况可能时由于使用的线性插值算法在计算非采样点时计算适用度不协调造成的。

5 结语

通过实验验证了本方法的效用性和可行性, 并且结果符合原始数据和自然规律, 可以很好的表达结果。 在具体的结合林分其他的分析建模中, 也得到了很好的效果。

参考文献

[1]何定旭.山地地形建模及漫游系统设计与实现 (D) .武汉:华中科技大学, 2014.

[2]尹华妃, 郑昌文, 胡晓惠.交互式数字地形合成算法 (J) .计算机辅助设计与图形学学报, 2012, 24 (7) .

[3]盛庆红.采用遥感影像的林地建模研究 (J) .计算机工程与应用, 2010, 46 (31) .

二次函数建模方法 第5篇

关键词：换元,对称,联想,二次函数

二次函数是高中数学教学的重点也是难点, 在实际教学过程中发现学生对二次函数的解题方法还没有完全掌握, 或不知如何采用二次函数解决其他问题. 二次函数是学习圆锥曲线、一元二次不等式的基础, 由于二次函数的图像及其性质充分体现了数形结合的思想, 其应用较广泛, 有利于学生数学思想及素养的形成. 在二次函数问题中涉及各种数学思想, 本文主要对“换元、对称、联想”思想在二次函数中的应用进行分析.

一、巧用“换元法”, 求函数最值

换元法具有将次或简化算式的作用, 尤其是表达式中多次出现同一个“字式”时, 可将其作为一个整体, 采用单一的变量替代整体进行换元, 并对其求出变量的值或者范围.另外, 关于“1”的代换也是一种特殊的换元法.在恒等变形中, 可利用或构造恒等于1的式子, 并将其相加或者相减, 达到求解的目的.如:7/14≤11/2时, 求的最小值.此题是较常见的题型, 如何求最值.拿到此题, 首先应想到采用换元法将其转换成二次函数的问题.

又因为x、y均大于0, 可将x=2y带入到x+3y=5xy中, 可分别求出x、y的值, 也可得出3x+4y的最小值为5.

在本次解题中, 很多学生的第一反应是利用基本不等式求解, 往往造成错误答案.由于采用此种做法错在两次等号成立所需要的条件不一样, 当前者为x=3y, 后者为3x=4y, 当x、都是正数时, 两者都不能够同时成立.

二、妙用“对称法”, 求函数解析式

二次函数是高中时期所学习的正规的函数, 无论是在代数还是在几何式子中, 所应用到的函数问题较多.同时内容及其方法也较多.上述已介绍过换元法, 下面详细介绍对称法.对称法主要是利用数形结合的思想将形条件进而转化为数的条件, 简单来说即是利用某一点关于x轴的对称点和关于y轴的对称点求二次函数的解析式, 通过此种解题方法即可得到正确答案.

如:已知抛物线y=2x2-8x+3, 一条抛物 线与已知 抛物线 (1) 关于x轴对称 ; (2) 关于y轴对称 , 分别求出 (1) 、 (2) 中抛物线的解析式.

解析:由抛物线y=2x2-8x+3=2x2-8x+4-1=2 (x2-2) 2-1可知, 已知抛物线的顶点为 (2, -1) .两条抛物线关于x轴对称, 即是两条抛物线形状相同, 开口方向相反, 且两条抛物线顶点关于x轴对称, 则可知 (1) 中抛物线的顶点为 (2, 1) , 则可知该抛物线的解析式为y=-2 (x2-2) 2+1=-2x2+8x-3.

两条抛物线关于y轴对称, 即两条抛物线形状相同, 开口方向相同, 且顶点关于y轴对称, 则可知 (2) 中的抛物线顶点为 (2, 1) , 则可知该抛物线的解析式为y=2 (x2+2) 2-1=-2x2+8x+3.

又如: 已知抛物线C:y=x2- (m+1) x+1的顶点在坐标轴上 , 并根据此坐标求取m的数值;当m>0时, 并且抛物线C向下平移n个单位后 , 与抛物线C1关于y轴相对称, 同时C过一点 (n, 3) , 然后求取该抛物线的函数关系式. 在本题中主要是通过数形结合思想, 进而可解决类似的问题.

解析:当抛物线C的顶点在x轴上, 即可得到Δ=[- (m+1) ]2-4=0, 即可得到m=1或m=-3.也可知道当抛物线的顶点在y轴上, 可相应得到m=-1.综上所述, 可分别得到m的值.对于第二问的求解过程如下所示:当m>0时, m=1, 其抛物线C就为y=x22x+1, 当抛物线向下平移n个单位后可得到y=x2-2x+1-n.此抛物线与抛物线C1关于y轴对称.设:抛物线C1上任意一点为 (x1, y1) , 那 (-x1, -y1) 就在抛物线y=x2-2x+1-n上 , 因此 , 可得到y1=x12-2x1+1-n, 即 :y=x2-2x+1-n.又因为C1经过点 (n, 3) , 也可得到:3=n2+2n+1-n.所以可得到n=1, 最终得到抛物线C1的解析式为:y=x2+2x.

三、应用“联想法”, 求函数不等式

所谓联想法是根据韦达定理、函数图像或不等式等对题目进行解答, 在解答过程中应注意式子的转换或不等式的转换等.如:已知二次函数f (x) =ax2+bx+c (a>0) 方程f (x) -x=0只有两个根x1、x2, 两个根分别满足以下不等式 :0<x1<x2<1.

(1) 证明 :当x∈ (0, x1) 时 , x<f (x) <x1.

(2) 证明 :设函数f (x) 的图像关于直线x=x0对称, 则x0<x1/2.

解析: (1) 在解答本题目时应根据题中所提供的信息, 进而联想到:f (x) =x, 表明抛物线与直线y=x在第一象限内存在不同的交点.此外, 还可想到当f (x) -x=0时可将其转变为ax2+ (b1) x+1=0的式子 , 并分别取两根为x1、x2, 即可得到x1、x2与abc之前的相关性.根据韦达定理可得:x1x2=c/a, 因为0<x1<x2<1, 且c=f (0) , 即可得到 :f (0) <f (x1) .并根据二次函数的相关性质 , 加上曲线y=f (x) 是开口向上的抛物线, 可得到在闭合区间[0, x1]上的最大值, 并相应证明得到:x<f (x) <x1.

(2) 由题意可知x0=-b/2a, 因为x1、x2为方程f (x) -x=0的根, 也即是x1、x2为方程ax2+bx+c-x=ax2+ (b-1) x+c=0的根 , 根据二次函数两根之和的公式, 可知x1+x2=- (b-1) /2a, 且

由题设x2<1/a, 可得 (1-ax2) /2a>0, 则可知x1/2-x0>0, 可得x0<x1/2.

四、结语

二次函数作为高中数学的重要组成部分, 在其教学中占有重要地位. 关于二次函数的问题灵活多变, 灵活利用“换元”、“对称”、“联想”的数学思想, 不仅能够帮学生真正认识数学解题, 降低解题难度, 而且有利于培养学生的数学思维能力. 在解题教学过程中, 教师应注重培养学生良好的思维习惯, 为学生示范解题时, 充分暴露解题时的思维过程, 同时也应当注重引导学生灵活运用多种方法解题, 可要求学生简要画出解题的示意图, 以此培养学生良好的解题习惯, 拓展学生解题思路, 避免思维定势, 使学生能够灵活掌握各种方法, 针对题型选取适合的解题方法, 提高解题效率.

参考文献

[1]俞新龙.例析二次函数问题解决的基本思想——分类讨论和数形结合[J].广东教育 (高中版) , 2011 (5) :15-17.

[2]黄文龙.用“换元、对称、联想”等思想方法来帮你解题[J].初中生世界:初三, 2012 (6) :51-53.