二元函数的极限

二元函数的极限（精选6篇）

二元函数的极限 第1篇

关键词：二元函数,极限,泰勒公式

极限是微积分学的基础，导数、积分等概念都是在极限的基础上建立起来的.从极限理论出发产生的极限方法，是数学分析的最基本的方法.更好地理解极限思想，掌握极限理论，应用极限方法是学习微积分的关键.一元函数的极限及求法，在各种高等数学教材中都有详细的讨论.除了常用的定义、运算法则、连续性方法，本文给出了六种适用性较强的二元函数极限计算方法，希望对初学者有一定帮助.

一、变量替换 (转化为一元函数计算)

例1 .

解 令t=x2+y2, 则当 (x, y) (0, 0) 时, t0, 所以.

二、利用无穷小替换

例2 .

解 因为当 (x, y) (0, 0) 时, x3+y30, 所以sin (x3+y3) ～x3+y3, 于是.

三、利用夹逼法则

例3 .

解 , 而,

所以, .

四、利用极坐标 (一般用于解决表达式中含有x2+y2的项)

例4 .

解 设x=rcosθ, y=rsinθ, 有

∀θ:0θ2π, 有|r (sinθ+cosθ) lnr2||4rlnr|,

易知.

所以.

五、利用二重积分

例5 .

解 原式=, 其中D为0x1, 0y1.

六、利用泰勒公式

例6 求.

解 把cos (x+y) -cosxcosy在原点展开, 得cos (x+y) -cosxcosy=-xy+o (ρ) , 其中.

故.

参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析:下册[M].3版.北京:高等教育出版社, 2001.

[2]同济大学数学教研室.高等数学[M].北京:高等教育出版社, 2002.

二元函数的极限与连续 第2篇

定义 设二元函数有意义, 若存在 常数A,都有

则称A是函数

当点

趋于点

或 或趋于点

时的极限,记作

。的方式无关,即不,当

（即）时，在点的某邻域

内 或 必须注意这个极限值与点论P以什么方

向和路径（也可是跳跃式地，忽上忽下地）趋向分接近, 就能 使

。只要P与 充与A 接近到预先任意指定的程度。注意：点P趋于点点方式可有无穷多

种,比一元函数仅有左,右两个单侧极限要复杂的多（图8-7）。

图8-7

同样我们可用归结原则,若发现点P按两个特殊的路径趋于点时,极限

在该点

存在,但不相等, 则可以判定元函数极限不 存在的重要方法之一。

极限不存在。这是判断多 一元函数极限中除了单调有界定理外,其余的有关性质和结论, 在二元函数极

限理论中都适用，在这里就不一一赘述了。例如

若

有, 其中。

求多元函数的极限, 一般都是转化为一元函数的极限来求, 或利用夹逼定理

来计算。例4 求。

解由于 , 而,根据夹逼定理知

,所以。

a≠0)。

解 例5 求

（。例6 求。解

由于理知

且,所以根据夹逼定

.例7 研究函数在点处极限是否存在。

解 当x2+y2≠0时，我们研究函数，沿x→0,y=kx→0这一方式趋于

（0，0）的极限，有值，可得到不同的极 限值,所以极限

不存在,但 ,。很显然，对于不同的k。注意：极限方式的 的区别, 前面两个求本质是两次求一元函数的极限, 我们称为累次极限, 而最后一个是求二元函数的

极限,我们称为求二重极限。

例8 设函数极限都不存在,因 为对任何,当

时,。它关于原点的两个累次

的第二项不存在极限；同理对任何 时, 的第 一项也不存在极限,但是因此。

由例7知, 两次累次极限存在, 但二重极限不存在。由例8可知,二重极限存

在,但二个累次极限不存在。我们有下面的结果: 定理1 若累次极限都存在,则

三者相等（证明略）。推论 若但不相等,则二重极限

不

存在和二重极限, 由于, 存在。定义 设

在点的某邻域内有意义,且称函数,则

在点

处

连

续,记

上式称为函数(值)的全增量。则。

定义

增量。

为函数(值)对x的偏二元函数连续的定义可写为

偏增量。若断点, 若

在点

为函数（值）对y的处不连续,则称点

是的间在某区域

在区域G上连续。若

在闭区域GG上每一点都连续,则称的每一内点都连 续,并在G的连界点

处成立 , 则称为连续曲面。在闭域G上连续。闭域上连续的二元函数的图形称 关于一元函数连续的有关性质, 如最值定理、介值定理、Cantor定理,对于

二元函数也相应成立。可以证明如下的重要结果：

定理2 设

在平面有界闭区域G上连续,则（1）必在G上取到最大值,最小值及其中间的一切值;（2）,当

时,都有

。以上关于二元函数的在G上一致连续,即

复变函数求极限的方法 第3篇

关键词 复变函数 极限 方法

中图分类号O174.5文献标识码A文章编号1673-9671-(2009)111-0097-01

在一般的教科书中,没有对复变函数极限的求法作详细的讨论,而主要把复变函数的极限问题转化为它的实部和虚部,即两个二元实变函数的极限问题来讨论。但对许多复变函数而言,写出它的实部和虚部都比较麻烦,从而增加了求极限的复杂性。针对此问题,本文给出了几种求复变函数极限的常规方法,并通过例题解析了这些方法。

1 转化为两个二元实变函数求极限

设 , , ,

则

。

2 利用复变函数的连续性

利用复变初等函数的连续性(如: 、(正整)、、、、 在整个复平面均连续; 、(不是正整数) 在除去原点和负实轴上的点外处处连续等等),以及复变函数的连续性满足四则运算、复合运算,可知如果一个复变函数是由复变初等函数和常数经过四则运算和初等运算构造的,我们可先判别它在极限点的连续性,如果连续,则极限等于函数在极限点的函数值。

例1 求 。

解 由于在z和cosz 均在点 z=0连续,且仅当(k为任意整数)时,cosz=0 ,所以 在点 z=0连续,从而 。

3 利用等价无穷小求极限

利用一些复变函数的泰勒展开式,我们可以证明有些实函数的等价无穷小在复变函数中也成立。如:当 z→0时,

(1);

(2) ;

(3) ;

其中(3)式中的只取主值分支。

这里我们给出和的证明:根据sinz 的泰勒展开式知 ,所以 , 。

例2 求 。

解。

注:和实函数一样,和或差中的项不能用等价无穷小代替。

4 利用洛必达法则求未定式的极限

复变函数也有洛必达法则,但与实函数相比稍稍有点差别

例3 求 。

解 显然当z→0 时,是未定式。所以

例4 求

解

我们知道:若z0 是 的可去奇点、极点和本性奇点,则 分别为 、 和既不存在也不为 。

例5 求 。

解 因为在z=0的某去心领域内,有洛朗展开式

,从而z=0是的本性奇点,所以 既不存在也不为。

参考文献:

[1]西安交通大学高等数学教研室.复变函数(第四版)[M],北京:高等教育出版社,1996.

[2]钟玉泉.复变函数论(第二版)[M],北京:高等教育出版社,1988.

[3]贺君燕.复函数的洛必达法则[J],高等数学通报,2008,70(4):47-49.

二元函数重极限的普适解法 第4篇

极限问题作为“微积分大厦”的“地基”,是数学分析中的重中之重.二元函数重极限与一元函数极限既相似又有所区别,由于维数的增加使得其求解相对困难.我国学者在这方面已有一定研究和总结,但在求解方法上均存在一定的间接性和技巧性.不仅如此,对于国内大多数院校数学专业使用的华东师大版《数学分析》教材第16章二元函数的极限这一节来说:例1~2采用的是ε-δ定义法,关键在于找到合适的δ领域,该方法同时也是证明法,需要预先知道极限值,再证明其正确性,是间接处理问题的;例3则要先猜测出极限不存在,再取特殊趋向予以证明,同样是间接的,且具有较强的技巧性,这就给解决问题带来了困难.试问,能否找到一种直接求解的方法?即不需要预先知道极限值及其存在性.

2.普适解法的提出

问题即是求形如

的重极限.

观察到对函数自变量作极坐标变换x=rcosφ,y=rsinφ后有可能将二元函数重极限转化为一元函数极限.但这样的变换并不适用于普遍情况,关键是要保证变换后的(x,y)→(x0,y0)等价于对任何φ都有r→0.如果此时的(x0,y0)是(0,0),显然是满足条件的.于是只需对(x0,y0)≠(0,0)的情况先作一次平移变换将其转化为(x0,y0)=(0,0)即可.由上述分析有:

(1)当(x0,y0)=(0,0)时,既是求

(2)当(x0,y0)≠(0,0)时,先作平移变换.令X=x-x0,Y=y-y0,将其转化为(1)时的情形.

3.应用该方法重新解决教材上的例1、例3

例1验证

当φ取不同值时,对应的极限值不同,说明该极限不存在.

4.小结

对比教材而言,该方法更为直接、普适.同时看到,用这种方法不仅可以方便地解决求证问题,还可以解决求解,以及判断极限存在性的问题.因此,将二元函数重极限转化为一元函数的极限,再运用一元函数的理论加以解决是具有普遍适用性的.

类似地,可将此方法推广至三元函数的极限

即将其归结为一元函数的极限了.

摘要：为找到适用于解决二元函数重极限问题的普适解法,运用化归思想将二元函数重极限采用先作平移变换,再作极坐标变换的方法,转化为一元函数的极限,并最终将其推广至解决三元函数重极限问题.

关键词：化归思想,二元函数重极限,一元函数极限

参考文献

[1]卫贯一.关于二元函数重极限的求解问题[J].工科数学,1991,7(4):95-97.

[2]唐新华.二元函数极限求法和极限不存在的判断[J].高校理科研究,2009(18):454-457.

高斯过程函数的中心极限定理与应用 第5篇

关键词 导数算子； Malliavin随机变分；中心极限定理；高斯过程

中图分类号 O211 文献标识码 A

Central Limit Theorem for Function of Gaussian Process and Its Applications

SUNLin

(Applied Mathematics, Guangdong University of Technology, Guangdong, Guangzhou 510090, China)

AbstractUsing two operators and the relative identity of Wiener space, this paper presented a new method to provethe central limit theorem for function of Gaussian process. Furthermore, the applications of this central limit theoremwere presented.

Keywords derivative operator; Malliavin calculus; central limit theorem; Gaussian processes

1引 言

前苏联著名概率论学者Gnedenko和Kolmogrov曾说过“概率论的认识论的价值只有通过极限定理才能被揭示,没有极限定理就不可能去理解概率论的基本概念的真正含义” [1].因此研究统计量或者随机变量的统计特性，最重要的就是研究其极限理论.而实际问题中所获得的很多数据都可以认为来自高斯过程函数总体，比如来自正态随机变量就可以看成来自关于高斯过程恒等映射的总体.从而自上世纪30年代起，概率极限理论已获得完善的发展.近年来关于高斯过程函数的统计特性成为研究中的热门方向之一，大量学者研究了关于高斯过程函数的极限定理，如Nualart和Peccati (2005)[2]，Nualart和Ortiz-Latorre (2008)[3]， Peccati (2007)[4] ，Hu和Nualart(2005)[5] ，Peccati和Taqqu (2008)[6]以及Peccati和Taqqu (2007)[7].大量的文献如Deheuvels、Peccati与Yor (2006) [8]，Hu和Nualart(2009) [9] 应用了该定理.

本文首先利用Malliavin随机变分法，通过导数算子和散度型算子，并利用恒等式构造了证明高斯过程函数的中心极限定理的新方法，该证明避免了采用Dambis-Dubins-Schwarz以及Clark-Ocone公式.进一步结合具体实例，给出了该中心极限定理的应用.

2 主要结论及其证明

定理 1[3]：设定k≥2，且Fnn≥1为k阶维纳混沌中平方可积随机变量序列.若lim n→+

EF2n=‖fn‖2H⊙k→σ2，则当n→

时，下面命题是等价的：

ⅰ）Fn→N(0,σ2)；

ⅱ）lim n→

EF4n→3σ2；

ⅲ）对于所有的1≤l≤k－1，有

lim n→+

‖fnlfn‖2H2(n－1)=0；

ⅳ）‖DFn‖2HL2(Ω)n→+

kσ2，

其中，fn是关于随机变量Fn的平方可积核函数，

fnlfn表示两核函数的l次指数压缩.

证明 将采用下面的证明路线:ⅳ)ⅰ)ⅱ)ⅲ)ⅳ).

1）ⅳ)ⅰ)

不失一般性，令σ2=1，则由已知条件‖DFn‖2HL2(Ω)n→+

σ2，待证当n→+

时，有依分布收敛Fn→ε～N(0,1)成立.也就是说对于任意二次连续可微有界函数φ•有下面式子成立：

lim n→+

Eφ(Fn)=Eφ(ε). (1)

对于0≤t≤1，定义

ψt=EφtFn+1－tε.(2)

注意到ψ0=Eφε且ψ1=EφFn，由微积分基本定理知

EφFn－Eφε

=ψ1－ψ0=∫10ψ′tdt. (3)

另一方面，利用Malliavin随机变分恒等式

δDF=kF与E［〈DF(ξ),u((ξ))〉］=E［DF(ξ)δu(ξ)］，易知∫10ψ′(t)dt可以表示为：

∫10ψ′tdt=∫10ddtEφtFn+1－tεdt

=∫10EddtφtFn+1－tεdt

=12k∫10Eφ″tFn+1－tε‖DFn‖2dt

-12∫10Eφ″tFn+1－tεdt

=12∫10Eφ″tFn+1－tε•

1k‖DFn‖2－1dt. (4)

由式(3)和式(4)知

EφFn－Eφε

=12∫10Eφ″tFn+1－tε•

1k‖DFn‖2－1dt.(5)

两边取绝对值，并利用φ•的二阶导的有界性以及假设条件‖DFn‖2HL2(Ω)n→+

k，则有

EφFn－Eφε

=12∫10Eφ″tFn+1－tε•

1k‖DFn‖2－1dt→0.

故lim n→+

Eφ(Fn)=Eφ(ε)成立，即有当n→

时，Fn→N(0,σ2).

2）ⅰ)  ⅱ)

首先由参考文献Nualart（2006）知对于任意p≥2，有

EFnp≤ckEFn2， (6)

其中，ck∈R且与n独立.

式（4)结合假设条件lim n→+

EF2n=σ2可得当n→

时，

EFnp≤ckEFn2→ckσ2.(7)

则对于任意p≥2，有

sup nEFnp<+

.(8)

进一步根据假设当n→

时，Fn→η～N(0,σ2)，根据期望的连续性有EF4n→Eε4，从而要证明lim n→

EF4n→3σ2，只需证Eη4→3σ2即可.

令X～N(0,σ2)且Y=Xσ～N(0,1)，则对于任意n≥0，有

Eηn=EXn=σnEXσn=σnEYn.

另一方面，随机变量Y的特征函数可以表示为

φt=EeitY=e－t22=∑+

n=0－1nt2n2nn!

=∑+

n=01n!φn0tn=1－t22•1!+

t422•2!－t623•3!+…，

其中，φn00,n=2k+1，

－1k2k!2kk!,n=2k.

从而

EYn=φn0in=0,n=2k+1，

2k!2kk!=n!!,n=2k.(9)

令n=4，则有EYn=4!222!=3.

3）ⅱ)ⅲ) 见参考文献Nualart和Peccati(2005).[2]

4）ⅲ)ⅳ) 见参考文献Nualart和Ortiz-Latorre(2008).[3]

3应用实例

由定理1可知：若Fnn≥1为k≥2阶维纳混沌中平方可积随机变量序列.且lim n→+

EF2n→σ2，则如果要证明当n→

时，Fn→N(0,σ2).只需证明‖DFn‖2HL2(Ω)n→+

kσ2即可.该定理在证明统计量以及随机变量的函数满足中心极限定理时非常有用.下面给出该定理的应用例子.

首先由于林德伯格—勒维中心极限定理在概率中有着重要地位，是数理统计中大样本统计推断的理论基础.该定理说明如果现实生活中的某个量是由许多独立的因素影响叠加而成的，而其中偶然因素的影响又是一致得微小，则可以断定这个量近似服从正态分布.可采用定理1来证明该定理.

实例1(林德伯格—勒维定理) 设X1,X2,…,Xn,…是独立同分布的随机变量序列, 且

E(Xi)=μ,Var(Xi)=σ2,i=1,2,…,n,…

则∑ni=1Xi－nμσn→N(0,1).

证明 该定理表明：当n充分大时, n个具有相同期望和方差的独立同分布的随机变量之和近似服从正态分布.虽然在一般情况下, 很难求出X1+X2+…+Xn分布的具体形式, 但当n很大时, 可求出其近似分布.由定理结论有

∑ni=1Xi－μn→N(0,σ2).(10)

采用定理1来证明式(10).证明的关键在于找到合适的函数序列Fn∈Hk使得当n→

时：有EF2n→σ2且‖DFn‖22L2(Ω)kσ2.

对于任意k≥1，令ξi=Xi－μ,i=1,2,…,n，则ξi为独立且服从标准正态分布的随机变量.进一步令Fn=1nhkξ1+hkξ2+…+hkξn，这里k≥1且hk•为厄米多项式(详见参考文献Nualart (2006)).另一方面，

EF2n=E1nhkξ1+hkξ2+…+hkξn2

=1nnEh2kξ1=1k!=σ2. （11)

同时根据导数算子的定义知，对于1≤i≤n，有DiFn=0,…,1nh′kξi,0…0，故

‖DFn‖22=D1Fn2+D2Fn2+…+

DnFn2→Eh2k－1ξ1

=1k－1!=kσ2.(12)

由式(11)和式(12)知EF2n→σ2且‖DFn‖22L2(Ω)kσ2成立，从而林德伯格—勒维定理证毕.

实例 2(高斯移动平均)考虑独立高斯时间序列Znn≥0，满足EZn=0且

VarZn=σ21－λ,n=0；

σ2,n≥1，

这里λ2<1.再定义迭代过程

X0=Z01－λ2,Xn=λXn－1+1－λ2Zn,n≥1.

则Xn可以表示为

Xn=∑nj=0cn－jZj .

其中cn－j=λn－j.易证Xn是平稳遍历时间序列且满足

EX0=0,

VarXn=1.

下面证明∑ni=1Xin→N(0,1).利用定理1，需要构造合理的Fn，令

Fn=1nhkX0+hkX1+…+hkXn，

其中，k≥1且hk•为厄米多项式(详见参考文献Nualart (2006))，则显然Fn∈Hk，且有

EF2n=E1nhkX0+hkX1+…+hkXn2

=1nnEh2kX1=1k!=σ2，

以及

‖DFn‖22=D1Fn2+D2Fn2+…+DnFn2

→Eh2k－1X1=1k－1!=kσ2.

根据定理1知Fn→N(0,1).取k=1以及利用厄米多项式h1x=x知∑ni=1Xin→N(0,1).

实例 3 (带漂移项的布朗运动)20世纪初，Bachelier采用带漂移的布朗运动来刻画股票的价格行为模式，即：

St=s0+σBt，t∈0,T.

显然St为均值为S0，方差为σ2的高斯过程.固定观察间隔h，得到观察量Sh,…，Sjh，…，Snh,令 t=h,…，jh,…,nh′，Bt=Bh,…，Bjh,…,Bnh′，S0=s0,…，s0，…，sn′与S=Sh,…Sjh…Snh′.从而该随机向量的联合分布密度函数可以表示为

LS;σ2=2π－n2Γ－12•

exp－12S－S0′Γ－1S－S0，(13)

其中，

Γ=［Cov［Si,Sj］］i,j=1,2,…,n=σ2［Cov ［Bi, Bj］］i,j=1,2,…,n =σ2［i∧j］i,j=1,2,…,n.

对式(13)两边取对数，并对σ2求导可得其极大似然估计量

2=1nS′Γ－1St′Γ－1t－t′Γ－1Y2t′Γ－1t.(14)

于是利用定理1得出由式(14)给出的估计量的中心极限定理.令

Fn=1σ2n22－σ2

=1σ2n21nS′Γ－1St′Γ－1t－t′Γ－1Y2t′Γ－1t－σ2，

显然有

lim n→

EFn=E1σ2n2σ^2－σ22

=1σ4n2σ4nnn+2－2n+2+3+σ4－2σ2n－1nσ2

=1.(15)

另一方面将St=s0+σBt代入式(15)并对其求Malliavin导数可得

DFn=12n2DB′tΓ－1Bt－2t′Γ－1Btt′Γ－1DBtt′Γ－1t，(16)

其中

DBt=(1［0,h］(s),1［0,2h］(s),…,1［0,nh］(s))′.由式(16)知

‖DFn‖2H=2n‖DB′tΓ－1Bt‖2H+t′Γ－1Bt2‖t′Γ－1DBt‖2Ht′Γ－1t2－2t′Γ－1DBt〈DB′tΓ－1Bt,t′Γ－1DBt〉Ht′Γ－1t

=2nB′tΓ－1Bt－t′Γ－1Bt2t′Γ－1t=22σ2. (17)

根据式(15)和式(17)，结合定理1知

Fn=1σ2n2σ^2－σ2～N0,1

4结 论

本文主要采用了新的方法证明了关于高斯过程函数的中心极限定理，并将给出了该定理的具体应用.虽然本文只给出了一维情况下的中心极限定理，但对于多维情况，可以得到类似的结论.当然，除了研究高斯过程函数的几乎处处中心极限定理之外，对高斯过程函数的几乎处处大偏差性质、几乎处处局部中心极限定理及几乎处处中心极限定理收敛度等问题需进一步研究.

参考文献

［1］ B V GNEDENKO, A M KOLMOGORV. Limit distributions for sums of independent random variables [M]. Addison-Wesley, 1954.

［2］ D NUALART, G PECCATI. Central iimit theorems for sequences of multiple stochastic integrals [J]. Annals of Probability. 2005, 33(1)： 177-193.

［3］ D NUALART, S Ortiz-Latorre. Central iimit theorems for multiple stochastic integrals and malliavin calculus [J]. Stochastic Processes and their Applications. 2008, 118(4)：614-628.

［4］ G PECCATI. Gaussian approximations of multiple integrals [J]. Electronic Communications in Probability. 2007, 34(12): 350-364.

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［10］D NUALART. The malliavin calculus and related topics [M]. 2nd Edition. Berlin: Springer-verlag, 2006.

一次函数与二元一次方程式的关系 第6篇

例1 在同一个坐标系内表示方程y=k1x+b1，y=k2x+b2的直线的图像l1、l2如图1所示，则方程组y=k1x+b1，y=k2x+b2。的解是（）。

A.x=-2y=2B.x=-2y=3

C.x=-3y=3D.x=-3y=4

因为二元一次方程的解在坐标系中表示为一直线上所有的点，所以我们可把l2向左上方延长，如图2所示，则l2与直线l1的交点坐标为（－2，3），所以（－2，3）即为方程组y=k1x+b1，y=k2x+b2。的解，答案选B。

点（－2，3）是l1、l2的交点，所以点（－2，3）既在l1上，又在l2上，所以x=-2，y=3。既满足方程y=k1x+b1，又满足方程y=k2x+b2。

例2 k为何整数时，函数y=-x++与函数y=-x+的交点位于第四象限?并求出此时k为正整数时，两直线与x轴所围成的三角形的面积。

求两条直线的交点坐标，就是解由其解析式组成的二元一次方程组。

解方程组y=-x++，y=-x+。得x=，y=。

∴ 两直线的交点坐标为（，）。

又∵这个交点在第四象限，∴＞0，＜0。解得-＜k＜2。∵ k为整数，∴ k＝－1，0，1时，两直线的交点位于第四象限。

当k为正整数时，k=1。此时，两直线分别为：y=－x+和y=－x+。其交点坐标为C（，-），且这两条直线与x轴的交点坐标分别为A(，0)和B（，0）。∴ AB＝。

∴ S△ABC＝•AB•-＝。

例3 两摞相同规格的饭碗整齐地叠放在桌面上，请根据图3中给出的数据信息，解答问题：

（1）求整齐叠放在桌面上饭碗的高度y(cm)与饭碗数x(个)之间的一次函数解析式(不要求写出自变量x的取值范围)；

(2)若桌面上有12个饭碗，整齐叠放成一摞，求出它的高度。

认真数图3中两摞饭碗可以看到：左侧4个饭碗的高度为10.5厘米，右侧7个饭碗的高度是15厘米。把图形反映出来的信息抽象成数量关系，即得到两组有序实数对（4，10.5），（7，15）把它们代入到关系式中即可求得y（cm）与x（个）之间的一次函数解析式。然后利用关系式解决第二个问题。

（1）设一次函数关系式为y=kx+b。

根据题意，得4k+b=10.5，7k+b=15。 解得k=，b=。

所以，y与x之间的一次函数解析式为y=x+。

（2）当x=12时，y=×12+=22．5(cm)。所以桌面上由12个饭碗整齐叠放成一摞的高度是22.5cm。

例4 小亮家最近购买了一套住房，准备在装修时用木质地板铺设居室，用瓷砖铺设客厅，经市场调查得知：用这两种材料铺设地面的工钱不一样，小亮根据地面的面积，对铺设居室和客厅的费用（购买材料费和工钱）分别做了预算，通过列表，并用x m2表示铺设地面的面积，用y（元）表示铺设费用，如图4所示。

请你根据图4中提供的信息解答下列问题：

（1）预算中铺设居室的费用____元/m2，铺设客厅的费用____元/m2。

（2）表示铺设居室的费用y（元）与面积x（m2）之间的函数关系式为__

________，表示铺设客厅的费用y（元）与面积x（m2）之间的函数关系式为

___________。

（3）已知小亮的预算中铺设1 m2的瓷砖比铺设1 m2木质地板的工钱多5元，购买1 m2的瓷砖是购买1 m2木质地板费用的，那么铺设每平方米木质地板、瓷砖的工钱各是多少元？购买每平方米的木质地板、瓷砖的费用各是多少元？

（1）=135，=110。

（2）易知y=135x，y=110x。

（3）设铺设木质地板工钱每平方米是x元, 购买木质地板每平方米费用的是y元,则铺设瓷砖工钱每平方米是x+5元, 购买瓷砖工钱每平方米费用的是y元,依题意得x+y=135，（x+5）+y=110。解得x=15，y=120。 由此得x+5=20，y=90。

所以铺设每平方米木质地板、瓷砖的工钱分别为15元和20元,购买每平方米的木质地板、瓷砖的费用分别为120元和90元。