分数阶系统范文

分数阶系统范文（精选8篇）

分数阶系统 第1篇

分数阶微积分是研究任意阶微积分的理论, 是普通整数阶微积分向非整数阶 (任意阶) 的推广。几十年来, 国内外学者研究发现, 在电介质极化、电磁波、有色噪声等存在分数阶动力行为, 从而使分数阶微积分理论应用到物理和工程领域而成为一个热点研究课题。最近, 更多的研究开始广泛涉及分数阶混沌和超混沌、分数阶混沌控制与同步等领域[1,2,3,4,5,6,7,8]。从某种意义上说, 分数阶混沌系统更能反映系统呈现的工程物理现象, 从而促进分数阶混沌的研究与发展。

与整数阶混沌系统相比, 一个确定的分数阶混沌系统随着其阶数即分数值的不同而呈现不同的状态 (同一个分数阶系统出现混沌的分数阶往往有一个范围, 而不是一个特定的分数值) , 因而这种系统具有更大的密钥空间, 更不易被复制, 在混沌保密通信中将会具有潜在的应用价值。因此, 提出一个新的分数阶混沌系统, 并应用两种分数阶微积分理论分析方法, 分别对其进行数值仿真和电路仿真。两种仿真结果相符, 证实了分数阶混沌系统的存在。分析与结论证明, 分数阶混沌信号比整数阶混沌信号更有优势, 更适合于应用到混沌通信以及信息加密中。

1基本分析

在分数阶微积分的研究过程中, 对微分和积分概念应用研究较多的是GL (Grunwald Letnikov) 定义和RL (Riemann Liouville) 定义。GL定义为:

$\frac{\text{d}{}^{q}f(t)}{\text{d}t{}^q}=\underset{h0}{{\displaystyle \lim }}h{}^{-q}{\displaystyle \sum _{j=0}^{[t-a/h]}(}-1){}^j\left[\begin{array}{l}q\\ j\end{array}\right]f(t-jh)(1)$

式中:a, t是运算限值。根据文献[7], 式 (1) 可变换为式 (2) 形式:

$\frac{\text{d}{}^{q}f(t{}_m)}{\text{d}t{}_m^q}=h{}^{-q}{\displaystyle \sum _{j=0}^m\omega }{}_j^{(q)}x{}_{m-j}(2)$

式中:

$\omega {}_j^{(q)}=(-1){}^j\left[\begin{array}{l}q\\ j\end{array}\right],j=0,1,2,\cdots$

;

$\left[\begin{array}{l}q\\ j\end{array}\right]=\frac{q(q-1)\cdots (q-j+1)}{j!}$

;h为步长。

RL定义为:

$\frac{\text{d}{}^{q}f(t)}{\text{d}t{}^q}=\frac{1}{\Gamma (n-q)}\frac{\text{d}{}^n}{\text{d}t{}^n}{\displaystyle {\int }_0^t\frac{f(\tau )}{(t-\tau ){}^{q-n+1}}}\text{d}\tau (3)$

式中:n为整数, 且q > 0, n-1 q < n;Γ是Gamma函数。式 (3) 是分数阶微分和分数阶积分的统一表示, 它显示分数阶微积分具有记忆功能, 因此分数阶微积分更适合于电路系统特性的描述。

若时域函数f (t) 的初始值为零, 则式 (3) 的拉普拉斯变换表达式为:

$L[\text{d}{}^{q}f(t)/\text{d}t{}^q]=s{}^{q}L[f(t)](4)$

由此可用目前工程中常用的时域与复频域转换法求解分数阶微积分方程。通过求解复频域的传输函数1/sq得到复频域的展开形式, 再将复频域形式转化为时域形式进行数值求解。文献[9]介绍了一种用波特图逼近法确定1/sq的展开式;文献[10]推导出q从0.1～0.9的1/sq展开;文献[6]通过这种方法设计了n=3, F (s) =1/sq时的单元电路如图1所示。

图1中Ra=62.84 ΜΩ, Rb=250 kΩ, Re=2.5 kΩ, Ca=1.232 μF, Cb=1.835 μF, Ce=1.1 μF。通过用单元电路代替整数阶电路中的电容, 可构造出分数阶混沌振荡电路。

2一个新的分数阶混沌系统

文献[11]提出一个三维二次混沌系统:

$\{\begin{array}{l}\dot{x}=n(y-x+yz)\\ \dot{y}=lx-xz+y\\ \dot{z}=xy-kz\end{array}(5)$

用分数阶形式描述如下:

$\{\begin{array}{l}\text{d}{}^{q}x/\text{d}t{}^q=n(y-x+yz)\\ \text{d}{}^{q}y/\text{d}t{}^q=lx-xz+y\\ \text{d}{}^{q}z/\text{d}t{}^q=xy-kz\end{array}(6)$

根据式 (2) 、式 (5) 可转化成如下形式:

$\{\begin{array}{l}x{}_m=\frac{nh{}^{q}y{}_m+nh{}^{q}y{}_{m}z{}_m-{\displaystyle \sum _{j=1}^m\omega }{}_j^{(q)}x{}_{m-j}}{1+nh{}^q}\\ y{}_m=\frac{lh{}^{q}x{}_m-h{}^{q}x{}_{m}z{}_m-{\displaystyle \sum _{j=1}^m\omega }{}_j^{(q)}y{}_{m-j}}{1-h{}^q}\\ z{}_m=\frac{h{}^{q}x{}_{m}y{}_m-{\displaystyle \sum _{j=1}^m\omega }{}_j^{(q)}z{}_{m-j}}{1+kh{}^q}\end{array}(7)$

式中:m=1, 2, 3, 。这样就可以只在时域里通过Matlab对此方程组进行数值仿真。仿真结果表明, 当q=0.9-0.77, n=35, k=6, l=5, 设步长h=0.01时, 系统存在混沌吸引子, 即系统存在混沌状态的最低阶数是2.31阶, q=0.9时, 系统 (6) 或 (7) 的仿真吸引子如图2所示。

3电路设计与仿真

利用基本分析中时频域转换方法以及单元电路形式设计出一个模拟电路, 实现了分数阶混沌系统 (6) , 这对实际应用有重要的意义, 其电路如图3所示。其中, 运算放大器 (LF347) 用来进行电路的加减运算;模拟乘法器 (AD633) 用来实现系统中的非线性项。根据电路理论以及各个元件的特性, 考虑到乘法器输出是两乘积相的1/10, 可得电路方程为:

$\{\begin{array}{l}\dot{x}=\frac{R{}_{10}y}{R{}_{9}R{}_{2}C}-\frac{x}{R{}_{3}C}+\frac{R{}_{10}yz}{10R{}_{9}R{}_{1}C}\\ \dot{y}=\frac{R{}_{5}x}{R{}_{4}R{}_{6}C}-\frac{xz}{10R{}_{7}C}+\frac{R{}_{10}y}{R{}_{9}R{}_{8}C}\\ \dot{z}=\frac{R{}_{10}xy}{10R{}_{9}R{}_{11}C}-\frac{z}{R{}_{12}C}\end{array}(8)$

式中:C代表整个单元电路。为了能在示波器上正常显示混沌信号, 进行坐标变换。设线性变换u = 10x, v = 10y, w = 10z, 这将不影响系统的状态及特性, 并把这种变化代入式 (5) , 再令x = u, y = v, z = w, 由此该混沌方程可变换为:

$\{\begin{array}{l}\dot{x}=n(y-x+10yz)\\ \dot{y}=lx-10xz+y\\ \dot{z}=10xy-kz\end{array}(9)$

比较式 (8) 与式 (9) 的同类项系数后得出:R1=0.1 kΩ, R2=R3=30 kΩ, R6=200 kΩ, R8=1 ΜΩ, R12=200 kΩ, R4=R5=R7=R9=R10=R11=10 kΩ。

利用EWB对图3所示的分数阶电路进行仿真, 得到图4所示的分数阶混沌吸引子。图4与图2比较, 可以看出电路仿真实验结果与数值仿真结果基本一致。

4结语

在此提出一个分数阶混沌系统, 介绍了两种分数阶微积分分析方法, 分别对提出的混沌系统进行数值与电路仿真。仿真结果表明, 系统处于分数阶时确实存在混沌行为, 而且存在混沌的最低阶数为2.31阶。由于分数阶微积分具有记忆功能, 更适合电路系统特性描述和反映系统呈现的工程物理现象。与整数阶混沌系统相比, 分数阶混沌系统具有更大的密钥空间, 在各种基于混沌的信息加密和保密通信中将具有更好的潜在应用价值。EWB软件采用的是实际电路元件模型, 本文的后续工作是物理实现该分数阶混沌系统。

参考文献

[1]Ge Z M, Hsu M Y.Chaos Excited Chaos Synchronizations ofIntegral and Fractional Order Generalized van der Pol Sys-tem[J].Chaos, Solitons and Fractals, 2008, 36 (3) :592-604.

[2]Li C P, Deng W H, Xu D.Chaos Synchronization of the ChuaSystem with a Fractional Order[J].Physica A, 2006, 360 (2) :171-185.

[3]Peng G J, Jiang Y L, Chen F.Generalized Projective Syn-chronization of Fractional Order Chaotic Systems[J].Physi-ca A, 2008, 387 (14) :3 739-3 746.

[4]王发强, 刘崇新.分数阶临界混沌系统及电路实验的研究[J].物理学报, 2006, 55 (8) :3 922-3 927.

[5]张成芬, 高金峰, 徐磊.分数阶Liu系统与分数阶统一系统中的混沌现象及二者的异结构同步[J].物理学报, 2007, 56 (9) :5 124-5 130.

[6]刘崇新.一个超混沌系统及其分数阶电路仿真实验[J].物理学报, 2007, 56 (12) :6 865-6 873.

[7]Zhou S B, Li H, Zhu Z Z.Chaos Control and Synchronizationin a Fractional Neuron Network System[J].Chaos, Solitonsand Fractals, 2008, 36 (4) :973-984.

[8]Li C G, Chen G R.Chaos in the Fractional-order Chen Sys-tem and Its Control[J].Chaos, Solitons and Fractals, 2004, 22 (3) :549-554.

[9]Charef A, Sun H H, Tsao Y Y, et al.Fractal System as Re-presented by Singularity Function[J].IEEE Trans.on Auto-matic Control, 1992, 37 (9) :1 465-1 470.

[10]Ahmad W M, Sprott J C.Chaos in Fractional-orderAutonomous Nonlinear System[J].Chaos, Soltions andFractals, 2003, 16 (2) :339-351.

分数阶系统 第2篇

(1．山东大学(威海)数学与统计学院，山东 威海 264209； 2.西北工业大学应用数学系，陕西 西安 710072)

含分数阶导数项的随机Duffing振子的稳态响应分析

孙春艳1, 徐 伟2

(1．山东大学(威海)数学与统计学院，山东 威海 264209； 2.西北工业大学应用数学系，陕西 西安 710072)

对一个含有分数阶导数项阻尼的、Gaussian白噪声激励下的Duffing振子进行了稳态响应分析。首先，基于能量平衡理论，运用等效线性化方法，计算等效系统的线性阻尼及自然频率，建立统计意义下的等效线性化系统。然后，利用平均法建立随机It方程，得到随机响应的Markovian近似；给出描述振子振幅概率密度函数演化的Fokker-Planck方程，并得到它的稳态解。进一步，对于含有响应振幅的等效线性系统，借助由Laplace变换得到的转换函数，得到原系统的条件功率谱密度，结合振幅的稳态概率密度作为权重函数，给出原系统功率谱密度的估计，以及响应的统计量的估计。数值模拟的结果说明所提出的功率谱密度的近似解析表达式是可靠的，它甚至适用于Duffing振子具有强非线性回复力的情形，因为它可以较好地表现出功率谱密度共振频谱加宽及多峰现象的出现。

分数阶导数； 等效线性化法； 随机平均法； 条件功率谱密度； 响应的功率谱密度估计

引 言

随机响应分析是随机动力学研究的重要方面，已有了一些经典的方法和结果[1-3]。对于响应的功率谱密度，文献[4]利用经典的等效线性化方法表现出缺陷，它给出的估计得到了正确的共振频率，却高估了共振处的峰值而且低估了频谱的宽度。一种改进的等效线性化方法在文献[5]中被提出，它与传统方法的主要区别在于将等效线性系统的待定参数设定为响应振幅的函数，从而建立了一个求解等效的线性刚度的计算方法。在文献[6]中，首次出现了术语“条件功率谱密度”，并通过与随机平均法的结合，以概率密度函数为权重函数，将响应的功率谱密度作为条件功率谱密度的加权和，给出了随机响应功率谱密度的有效估计。在文献[4]中被正式提出后，条件功率谱密度的概念开始被广泛地应用于响应功率谱密度的估计，给出了理想的近似解析结果，但它的数学严密性及合理性的说明却一直是一个空白，直到在文献[7]中，Spanos等才给出了严格的证明。

近年来，分数阶微积分在结构动力学及工程力学领域，越来越多的研究表明分数阶导数可以用较少的参数来模拟某些黏弹性材料的本构关系[8-10]，在确定性的响应分析中，基于特征向量展开，Laplace变换[8-9]和Fourier变换[11]被用来得到精确的解析解。文献[12]中，平均法被用来分析响应的振幅。在随机响应的情形，已有的方法主要适用于求解弱非线性系统。文献[13]中，基于广义谐和函数的随机平均法被用于对高斯白噪声激励下的含有分数阶导数的强非线性系统进行随机响应分析。此外，数值方法方面，已有的结果如有限差分方法、有限元方法及无网格方法等[14-16]，都一定程度上受到分数阶导数全局依赖性这一本质特征对计算速度的影响。文献[17]给出的算法在一定程度上减低了分数阶导数项对历史数据的依赖和记忆性，提高了数值计算的速度。

本文旨在建立一个对含有分数阶导数项的随机Duffing振子进行随机响应分析的方法。利用改进的等效线性化方法，首先得到一个含分数阶导数项的线性系统，其中的线性阻尼及自然频率都是振幅的函数。将分数阶导数项作为一个弱阻尼项，对得到的系统运用平均法，建立随机It方程，得到响应的Fokker-Planck方程并求得其稳态解。然后，借助Laplace变换，得到等效线性系统的转换函数及条件功率谱密度，并综合之前的结果，对条件功率谱密度利用振幅的概率密度函数进行加权求和，得到原系统响应功率谱密度的估计。最后，通过数值模拟的结果来验证响应的稳态概率密度及功率谱密度轨迹的合理性。

1 含分数阶导数项的随机Duffing振子

考虑一个高斯白噪声激励下的含分数阶导数项的Duffing振子

(1)

(2)

(3)

(4)

并引入参数D=πS0来表征噪声的强度。

2 等效线性化系统

有别于传统的等效线性化方法，从能量平衡的角度，改进的线性化方法认为原振动结构的能耗与等价系统的能耗相同，以此得到等价线性系统的待定阻尼系数，而待定的自然频率可以通过完全独立的其他方法来得到，普遍的方法是将它认为是原系统的共振频率[19]。

将待定的阻尼及刚度系数作为系统振幅响应的函数，设等价线性振动结构为

(5)

(6)

利用广义谐波平衡技术，可以得到如下的待定系数，使误差(6)达到均方意义的最小

(7)

至此，可以得到等效的线性系统为

(8)

3 平均法、随机响应的稳态概率密度

在弱阻尼下随机系统的响应分析中，平均法可以建立原系统振幅响应的Markovian近似，并通过求解描述振幅概率密度函数演化的Fokker-Planck方程，得到随机响应的概率分布及统计特性。对于线性系统(8)，当阻尼系数ξ是一个小量时，它在原点附近的运动可以被看作是周期的，据此引入变换

(9)

(10)

(11)

这里m(A)和σ(A)分别为待定的漂移和扩散系数，B(t)是单位Wiener过程。

(12)

为计算m(A)，需要分别计算两个确定性平均，对0<α<1，其中第一项有

(13)

其中

(14a)

(14b)

由于A(t)和Θ(t)都是慢变变量，式(14)中

(15)

即有

(16)

对于式(16)中的Fresnel积分，引入渐近积分

(17a)

(17b)

将式(16)及(17)代入L1和L2，得到

(18)

及

(19)

综上，当0<α<1时，平均后的结果为

(20)

对于1<α<2的情形，类似的推导得到

(21)

将式(20)及(21)代入计算公式(12)，结合G1和G2的表达式，得到漂移系数

m(A)=

(22)

及扩散系数

(23)

对于It随机微分方程(11)，描述随机响应的概率密度函数变化的Fokker-Planck方程为

(24)

在稳态情形，方程(24)的解为

(25)

式中C为归一化常数。

图1～4给出了振幅响应的稳态概率密度，通过不同阶数α及不同非线性程度ε下近似解析结果与数值模拟结果的对比，说明式(25)给出的结果的合理性。其中数值模拟采用的参数分别为：D=0.1，ξ=0.1，ω0=2，其他参数取值不同，分别在图中给予说明。从图1和2中可以看出，当分数阶阶数α取值为0.5时，对于强非线性系统情形，即ε=1及ε=3，利用随机平均法所得到的稳态概率密度函数与响应的数值模拟结果十分贴近。这说明，在0<α<1时，所得到的稳态概率密度的近似解析结果是有效的。类似地，图3和4给出了分数阶阶数α取值为1.5时稳态概率密度解析解与模拟解的对比情况，对ε=1及ε=3两种情形，近似解析解与数值模拟解很好的吻合，说明所得到的解析解在1<α<2时也是有效的。

图1 α=0.5，ε=1时振幅的稳态概率密度Fig.1 The stationary probability density function for α=0.5, ε=1

图2 α=0.5，ε=3时振幅的稳态概率密度Fig.2 The stationary probability density function for α=0.5, ε=3

图3 α=1.5，ε=1时振幅的稳态概率密度Fig.3 The stationary probability density function for α=1.5，ε=1

图4 α=1.5，ε=3时振幅的稳态概率密度Fig.4 The stationary probability density function for α=1.5，ε=3

4 功率谱密度估计

对于得到的等效线性系统(8)，在系统达到稳态时，任意给定一个振幅的观测值A=a，即可得到一个等效系统

(26)

与系统(26)对应的转换函数为

(27)

由此可以得到系统(26)响应的功率谱密度

(28)

(29)

随即可以得到响应的统计特征，如原系统稳态位移响应的方差为

(30)

5 数值结果

为了验证式(29)给出的响应的功率谱密度估计，将近似的解析结果与数值模拟的结果进行对比。图5～8中，参数分别为：D=0.1，ξ=0.01，ω0=2，Welch法被运用于响应的数值模拟结果，得到响应功率谱密度的Welch法估计。观察图5及6，在分数阶阶数α取值为0.5时，对于ε=1及ε=3，对比式(29)给出的近似解析结果与数值结果，响应的功率谱密度的估计不仅给出了正确的共振位置，也给出了合理的共振频谱带宽。说明在0<α<1时，利用条件功率谱密度所建立的式(29)给出的响应的功率谱密度估计是有效的。同样地，对比图7及8，在分数阶阶数α取值为1.5时，对于ε=1及ε=3的情形，对比式(29)给出的近似解析结果与数值结果，响应的功率谱密度的估计都给出了正确的共振位置及合理的共振频谱带宽，并有效地表现共振出频谱加宽及多峰现象的出现。说明在1<α<2时，利用条件功率谱密度所建立的式(29)给出的响应的功率谱密度估计是有效的。为进一步说明响应功率谱密度估计的有效性，利用式(30)所得到的位移响应方差的近似解析结果与模拟结果进行对比，得到图9，说明所得到的响应的功率谱密度估计可以很好地用于计算响应的统计特性。

图5 α=0.5，ε=1时响应的功率谱密度估计Fig.5 Response power spectral density estimation for α=0.5, ε=1

图6 α=0.5，ε=3时响应的功率谱密度估计Fig.6 Response power spectral density estimation for α=0.5, ε=3

图7 α=1.5，ε=1时响应的功率谱密度估计Fig.7 Response power spectral density estimation for α=1.5, ε=1

图8 α=1.5，ε=3时响应的功率谱密度估计Fig.8 Response power spectral density estimation for α=1.5, ε=3

图9 位移响应的方差Fig.9 Variance for the displacement response

6 结 论

对于含分数阶导数项的强非线性随机Duffing振子，本文给出了一个响应功率谱密度估计的程序。在假设分数阶导数项表现为结构阻尼的前提下，本文给出的功率谱密度估计程序是可靠的，即使是在较强的非线性系统情形。首先，利用改进的等效线性化法，得到一个与原系统等效的含分数阶导数项的线性随机Duffing振子，通过计算等价系统的线性阻尼和自然频率，原系统的非线性回复力被一个线性的回复力代替，而且它是振幅响应的函数。然后，随机平均法被作用于得到的线性振子，通过系统振幅响应的Markovian近似，建立了振幅响应的随机It方程；写出描述振幅概率密度函数演化的Fokker-Planck方程，并给出其稳态解。最后，利用等效线性系统的转换函数，得到随机响应的条件功率谱密度，并结合得到的振幅稳态概率密度函数，得到响应功率谱密度的估计。数值结果表明，文中所给出的近似解析结果，无论是振幅的稳态概率密度还是响应的功率谱密度，对于包括强非线性回复力情形在内的稳态响应分析都是有效的，尤其对于强非线性系统，所给出的估计可以表现出响应功率谱密度频谱的加宽及高次谐波的出现。这在一定程度上说明“改进的”等效线性化方法是可靠的，并且，将分数阶导数项作为一个弱阻尼项的假设是合理的，且基于此建立的随机平均法是适用的；条件功率谱密度在含分数阶导数项的系统中仍然适用，说明了它是一个对随机响应进行功率谱密度估计的有效工具。

[1] Robert J B, Spanos P D. Stochastic averaging: an approximate method of solving random vibration problems[J]. International Journal of Non-linear Mechanics, 1986, 21(2): 111—134.

[2] Robert J B, Spanos P D. Random Vibration and Statistical Linearization[M]. New York: Dover Publications, 2003.

[3] Zhu W Q. Recent developments and applications of the stochastic averaging method in random vibration[J]. Applied Mechanics Reviews, 1996, 49(10S): S72.

[4] Bouc R. The power spectral density of response for a strongly non-linear random oscillator[J]. Journal of Sound and Vibration, 1994, 175(3): 317—331.

[5] Miles R N. An approximate solution for the spectral response of Duffing′s oscillator with random input[J]. Journal of Sound and Vibration, 1989, 132(1): 43—49.

[6] Miles R N. Spectral response of a bilinear oscillator[J]. Journal of Sound and Vibration， 1993, 163(2): 319—326.

[7] Spanos P D, Kougioumtzoglou I A, Soize C. On the determination of the power spectrum of randomly excited oscillators via stochastic averaging: An alternative perspective[J]. Probabilistic Engineering Mechanics, 2011, 26(1): 10—15.

[8] Bagley R L, Torvik P J. Fractional calculus-a different approach to the analysis of viscoelastically damped structures[J]. AIAA Journal, 1983, 21(5): 741—748.

[9] Bagley R L, Torvik P J. Fractional calculus in the transient analysis of viscoelastically damped structures[J]. AIAA Journal, 1985, 23(6): 918—925.

[10]Koeller R C. Application of fractional calculus to the theory of viscoelasticity[J]. ASME Journal of Applied Mechanics, 1984, 51(2): 299—307.

[11]Gaul L, Klein P, Kemple S. Impulse response function of an oscillator with fractional derivative in damping description[J]. Mechanics Research Communications, 1989, 16(5): 297—305.

[12]Wahi P, Chatterjee A. Averaging for oscillations with light fractional order damping[A]. Proceedings of ASME 2003 Design Engineering Technical Conferences and Computers and Information in Engineering Conference[C]． Chicago, 2003: 721—727.

[13]Huang Z L, Jin X L. Response and stability of a SDOF strongly nonlinear stochastic system with light damping modeled by a fractional derivative[J]. Journal of Sound and Vibration, 2009, 319(3-5): 1 121—1 135.

[14]Diethelm K, Ford N J, Freed A D et al. Algorithms for the fractional calculus: A selection of numerical methods[J]. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2005, 194(6-8): 743—773.

[15]Diethelm K, Ford N J, Freed A D. A predictor-corrector approach for the numerical solution of fractional differential equations[J]. Nonlinear Dynamics, 2002, 29(1-4): 3—22.

[16]Yuan L, Agrawal O P. A numerical scheme for dynamic system containing fractional derivatives[J]. Journal of Vibration and Acoustics, 2002, 124(2): 321—324.

[17]Spanos P D, Evangelatos G I. Response of a non-linear system with restoring forces governed by fractional derivatives-time domain simulation and statistical linearization solution[J]. Soil Dynamics and Earthquake Engineering, 2010, 30(9): 811—821.

[18]Podlubny I. Fractional Differential Equations[M]. London: Academic Press, 1999.

[19]Goto H, Iemura H. Linearization techniques for earthquake response of simple hysteretic structures[J]. Proceedings of the Japaneese Society of Civil Engineering, 1973, 212:109—119.

Stationary response analysis for a stochastic Duffing oscillator comprising fractional derivative element

SUNChun-yan1,XUWei2

(1．School of Mathematics and Statistics, Shandong University, Weihai 264209, China;2．Department of Applied Mathematics, Northwestern Polytechnical University, Xi′an 710072, China)

Stationary response is investigated for a Duffing oscillator comprising fractional derivative elements excited by Gaussian white noise in the present paper. Firstly, harmonic balance technique is adopted to form a statistically equivalent linear system. Then, stochastic averaging is applied to the system to obtain a Markovian approximation of the response amplitude, and the associated Fokker-Planck equation and its stationary solution are derived. Furthermore, in virtue of Laplace transform, the transfer function of the equivalent linear system with amplitude-dependent coefficients is derived and it gives the conditional power spectral density, after weighted by the stationary probability density function, estimations of the power spectral density for the response and related statistics are derived. Numerical simulations verify the reliability of the proposed procedure, even for strongly nonlinear oscillators with properties like spectrum broadening and multimodal pattern.

fractional derivative; equivalent linearization; stochastic averaging; conditional power spectral density; response power spectral density estimation

2014-03-26；

2014-09-01

国家自然科学基金资助项目(11772233)

O322； O324

A

1004-4523(2015)03-0374-07

10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2015.03.006

分数阶系统 第3篇

Matlab Simulink toolbox是Matlab公司开发的用于分析动态系统和建模仿真的一组程序包, 它能实现在连续时间, 离散时间或两者的复合情况下建模.Simulink提供一种基于框图的可视化建模与仿真方法, 用鼠标拖放块状图表即可完成建模, 此过程就像用铅笔在纸上画模型一样, 其为复杂工程系统的建模与仿真提供了崭新的思路和方法。

本文将在Oustaloup滤波器进行模块封装得到分数阶微分求解器的基础上, 利用Matlab Simulink仿真工具箱, 讨论分数阶Volta系统的数值仿真问题。

一、Oustaloup滤波器和分数阶微分求解器

由于在FODE中微积分的阶次可取非整数, 所以传统ODE的Simulink仿真算法不能直接使用, 一般可采用整数阶滤波器如Oustaloup滤波器来逼近分数阶微分算子Sγ。该滤波器的传输函数为:

传输函数中的增益和滤波器零极点由下式给出

而 (ωb, ωh) 为期望的拟合频率区间, N为用户选取定的滤波器阶数。根据上面的滤波器设计式, 在Matlab M-file窗口中编写出如下的M函数以便仿真过程中调用:

function G=ousta_fod (gam, N, wb, wh)

k=1:N;

wu=sqrt (wh/wb) ;

wkp=wb*wu.^ ( (2*k-1-gam) /N) ;

wk=wb*wu.^ ( (2*k-1+gam) /N) ;

G=zpk (-wkp, -wk, wh^gam) ;

G=tf (G) ;

综上所述, 建立如图1.a所示的分数阶微分滤波器模块, 然后对其进行封装, 得到如图1.b所示的分数阶微分求解器, 以便在后面的仿真过程中调用该求解器。尽管理论上Oustaloup滤波器可以求解任意阶次的分数阶微积分, 但从微积分数值分析精度的角度来看, Oustaloup滤波器更适合求解阶次为1以内的分数阶微积分。于是可以将高阶分数阶微积分先进行整数阶微积分运算后, 再利用Oustaloup滤波器对运算的结果进行滤波处理, 以达到更好的数值计算精度。

对图1-b中的分数阶微分求解器进行双击即得参数设置对话框 (如图2所示) , 在该对话框中用户可以根据需要设置Oustaloup滤波器的参数。

在模块封装Initialization选项卡中输入如图3所示的代码, 以便在使用分数阶微分求解器模块前先自动设计出滤波器, 并根据阶次正确显示图标, 据此可以对分数阶系统进行可视化Simulink建模。

下面将通过分数阶Volta系统演示该模块在FODE近似求解中的应用.

二、分数阶Volta系统仿真实现

考虑下面的分数阶的Volta微分方程组模型, 该系统是一个分数阶混沌系统, 其具体的数学描述参见文献。

(1) 式中的系统参数如下:

(a, b, c) = (5, 85, 0.5)

(x (0) , y (0) , z (0) ) = (8, 2, 1)

(q1, q2, q3) = (0.93, 0.99, 0.98)

应用Matlab Simulink toolbox仿真系统 (1) , 由于Oustaloup滤波器不能设置初值, 故需将分数阶的Volta系统 (1) 转化为如下的等价分数阶微分积分方程, 以便于引入积分器设置初值:

根据方程 (2) , 在Matlab Simulink环境下作出如图4所示的Simulink框图。

接下来, 在M-file对话框中输入系统参数并命名为Volta.m文件保存;将图1中的分数阶微分求解器命名为Fsolver.mld保存;将图4中分数阶Volta系统Simulink框图命名为Fode Volta.mdl保存.运行仿真之前需要将Volta.m、Fsolver.mld、Fode Volta.mdl和前面所述的ousta_fod.m文档放到同一个目录下面。下面分三步运行仿真:

(1) 运行Volta.m;

(2) 运行Fsolver.mld;

(3) 运行Fode Volta.mdl.

仿真结果如图5-11所示:其中图5-7分别给出了系统的状态变量x (t) , y (t) , z (t) 的轨线图;系统的相图则由图8-10给出;图11则是系统的相轨迹图。

从仿真结果可以看出分数阶Volta系统 (1) 是混沌的, 这与文献从理论上证明该系统是混沌的是一致的, 进而说明本文所设计的仿真算法 (框图) 的可行性和有效性。

三、结论

通过Matlab Simulink仿真技术, 本文主要讨论了分数阶Volta系统仿真问题.通过对Oustaloup滤波器进行模块封装, 得到了分数阶仿真的核心子模块———分数阶微分求解器;在此基础上, 利用Matlab Simulink工具箱对分数阶Volta系统搭建Simulink框图, 设置仿真参数, 运行Simulink框图实现仿真。最后得到分数阶Volta系统的轨线图和相图, 另一方面从仿真结果还可以看出分数阶Volta系统是混沌的, 从而说明本文所设计的仿真方法的可行性和有效性。值得一提的是本文提出Simulink框图做适当修改即可实现其它分数阶线性/非线性系统的仿真。

参考文献

[1]赵春娜.分数阶系统分析与设计[M].北京:国防工业出版社, 2009.

[2]薛定宇, 陈阳泉.基于MATLAB/Simulink的系统仿真技术与应用[M].北京:清华大学出版社, 2011.

[3]Ivo Petras, Fractional-Order Nonlinear Systems[M].北京:高等教育出版社, 2010.

[4]Ivo Petras I.Control of fractional-Order Chua’s system[J].Journal of Electrical Engineering, 2002, 53:219-222.

[5]刘式达, 时少英, 刘式适等.天气和气候之间的桥梁-分数阶导数[J].气象科技, 2007, 35 (01) :15-19.

[6]A Oustaloup, F Levron, Frequency band complex non-integer differentiator:characterization and synthesis.IEEE Trans.On Circuits and system I:Fundamental Theory and Application, 2000, 47 (1) :25-40.

[7]宋建国, 刘垒, 李辉等.分数阶导数在地震奇异性分析中的应用[J].石油物探, 2009, 48 (01) :72-75.

[8]邓伟华.分数阶微分方程的理论分析与数值计算[D].上海大学博士学位论文, 2007.

[9]王振滨, 曹广益, 曾庆山等.分数阶PID控制器及数字实现[J].上海交通大学学报, 2004, 38 (4) :517-520.

分数阶系统 第4篇

此外, 混沌电路设计与硬件实现的历史可以追溯到1927年Van Der Pol振荡器的分析和试验[3]。国内很多学者都在研究混沌领域。1983年, 双涡卷Chua电路问世[6];1999年, Chen等利用反控制的方法发现了一种与Lorenz系统对偶的混沌系统, Chen吸引子得以提出[7];2002年, Lü和Chen提出Lü吸引子, 并提出连接Lorenz、Chen和Lü三个混沌系统的统一混沌系统[8];2004年, 刘崇新等提出了一种含有非线性平方项的混沌系统, 称为Liu系统[9];禹思敏在2005年提出使用三角波产生多涡卷吸引子[10];与此同时, 齐国元也进一步采用三变量乘积项作为非线性项来实现混沌系统[11,12];2006年, 禹思敏等提出了含多项式混沌系统的电路实现方法[13,14]。他们都在混沌电路的设计上进行了研究发展, 提出了许多新的以及改进型的混沌系统[15], 并逐步将研究层面拓展到分数维[16,17]。混沌系统中非线性项的构造, 可使用三角波、阶梯波、正弦函数、时滞函数等不同的方法, 以产生更丰富的混沌特性。国内外学者深入的探索了混沌系统的构造方式, 且取得了巨大的进展。然而最简单的非线性项构造和实现方式还在于自身变量的乘积。同一个初始系统, 可以通过改变乘积项而产生新的混沌系统, 以此丰富混沌系统族。

本文结合Lorenz系统和Qi系统[18]的特点, 运用新的非线性项组合, 构造新蝶翼混沌系统。相对于Qi系统, 新系统引入x4变量形成扰动, 扩充第四维度, 使系统动力学特性更复杂。研究分析新蝶翼混沌系统的基本动力学特性, 同时设置限幅参数, 克服乘积项的缺点。通过理论分析和模拟仿真, 设计系统的分数阶实现电路, 验证数值模拟结果与电路实验结果的一致性, 说明该系统存在混沌吸引子。在系统中引入切换函数, 产生多涡卷混沌系统, 使系统复杂化, 为保密通信等混沌应用领域提供实用模型。

1新四维混沌系统模型

在Lorenz系统的架构上, Qi在第一方程上添加一个乘积非线性项, 得到三维Qi系统。而在此基础上添加一个维度的变量, 改变变量组合方式, 本文得到一个四维混沌系统, 该系统的无量纲状态方程为

系统为四阶, 且含有3个非线性乘积项, 满足超混沌产生的必要条件。当a=14, b=1, c=16, d=45, e=25时, 系统处于混沌状态。根据混沌系统局部不稳定和全局稳定性, 故可设置四个变量的初值为 (1, 1, 1, 0.3) , 经仿真实验得出系统的无量纲数值结果。但研究发现其x1幅值达到±800, x2幅值达到±500, x3幅值达到-35~+50, x4幅值为±20。

为了便于系统电路的实现, 在系统中设置一组限幅参数ri (i=1, 2, 3, 4) , 用以限制信号输出的幅度。

对于ri的取值, 由其分岔特性可知, ri从1逐渐增大时, 系统保持混沌状态且信号的幅值会保持减小的趋势, 取ri=r=50 (i=1, 2, 3, 4) , 其他参数不变, 系统幅值减小到可接受范围, 系统相图、时域图如图1所示, 新系统的吸引子蝶翼是不同于其他混沌系统的。其中仿真初值设为 (1, 1, 1, 0.3) 。

2新四维混沌系统基本特性研究

混沌系统的基本动力学特性分析, 包括系统稳定性、Lyapunov指数、分数维和分岔图等。

2.1系统混沌特性

对于新蝶翼混沌系统, 有

当a=14, c=16, d=45, e=25时, ▽V=-a+c-d-e=-68, 表明系统 (2) 为耗散系统。当t→∞时, 包含系统轨线的体积元V以指数形式e-68t收敛到0, 表明吸引子是存在的。

根据Lyapunov指数定义计算, 此时系统Lyapunov指数分别为LE1=2.165 44, LE2=0, LE3=-31.992 6, LE4=-38.173 2。系统的混沌特性可以由Lyapunov指数来表征, 新系统的Lyapunov指数定性为 (+, 0, -, -) , 系统处于混沌状态, 其Lyapunov维数DL为

可知, 新系统的维数是分数维的。

2.2参数的选择对系统的影响

系统的动力学行为的变化情况, 通过分岔图来观察。对系统 (2) , 固定参数b=1, c=16, d=45, e=25, r=50, 改变参数a。

取a的变化范围为[0, 35]的区间, 由图2可知, a处于[0, 8.40) 范围时, 系统从简单周期状态变化到复杂周期运动状态;当a∈[8.40, 14.80) , 系统处于混沌状态;在[14.80, 15.02) 区间内, 系统回到复杂周期运动状态;当a处于[15.02, 30.92) 区间时, 系统处于混沌状态;参数继续变化, 当a处于[30.92, 35.00]时, 系统又回到复杂周期运动状态。

固定参数a=14, c=16, d=45, e=25, r=50, 改变参数b, 对应的分岔图, 如图3。

取b的变化范围为[-2, 10]的区间, 当b处于[-2, -1.60) 范围时, 系统处于混沌状态;处于[-1.60, -1.13) 区间时, 系统处于复杂周期状态;处于[-1.13, 3.55) 时, 系统回到混沌状态;参数b从3.55增大至10, 系统都将进行拟周期运动。

根据对两个参数的系统分岔刻画和分析, 显然, 随着参数的不断变化, 系统通过一系列的倍周期分岔, 最终达到混沌状态。同时也说明可以以参数微扰法, 对参数实施有目的的改变, 控制系统状态变量。

3系统分数阶电路设计

对新蝶翼混沌系统模型, Lyapunov维数为分数, 可以用分数阶微积分描述时, 则系统模型为

选取q=0.9为例设计分数阶混沌电路, 根据Adams-Bashforth-Moulton预估校正法[19]得到1/s0.9的最大2 d B误差的近似公式为

采用分数阶电路实现方式[20], 用阻容网络替换单个整数阶积分电容, 选取Ra=62.84 MΩ, Rb=250 kΩ, Re=2.5 kΩ, Ca=1.232μF, Cb=1.835μF, Ce=1.1μF, 如图4。

在EWB平台上进行实际电路的设计与实现。电路中通过运算放大器 (LM741) 、模拟乘法器 (AD633) 、电阻器和电容器等实现加、减、乘法和积分运算。实际的分数阶电路模型如图5所示。根据电路理论计算, 得出电路状态实现方程

令x1=U1, x2=U2, x3=U3, x4=U4, 可知, 分数阶系统 (5) 与系统 (7) 是等价的。

将电路状态方程的阻容表达式对应到无量纲系统状态方程的参数值, 选取电路中的电阻分别为R1=R2=R12=R13=R16=R17=10 kΩ, R3=R8=R14=2 kΩ, R4=R5=71.4 kΩ, R6=R9=R10=100 kΩ, R7=200Ω, R15=22.2 kΩ, R18=20 kΩ, R19=40 kΩ, 对分数阶近似带来的电路状态的偏移, 进行一定的误差修正, 设置R11=180 kΩ。考虑到阻容值的系列问题, 将部分电阻作微调为R4=R5=71.5 kΩ, R15=22.1 kΩ, R19=40.2 kΩ, 这几个阻值影响的分别是参数a、d、e的值, 而根据分岔理论分析, 阻容值的微调都在系统参数动态变化范围内, 此时系统仍处在混沌状态下, 因此这组电路参数的取值是可行的。

对电路各部分设置初始值, 用EWB软件对电路进行仿真。通过示波器观察到的混沌吸引子如图6所示。由于EWB软件采用的是实际电路元件模型, 而非系统函数模型, 所以其模拟器件的仿真实验与实际电路实验是符合的。由图6证明, 分数阶电路实验结果是有效的。

4混沌系统切换控制设计

对新蝶翼混沌系统, 进行混沌反控制, 在系统中设置切换函数, 使轨道进一步复杂化, 强化混沌现象。

4.1分时切换

设计一个添加了切换函数的系统, 其中切换函数以时间量为切变因子如式 (8) , 通过分时控制将吸引子中心点平移, 可以使混沌相面上产生多对原有吸引子。

每一个切换周期分为四个时间域, 每个时间区域内, 状态量被相应的平移重置, 然后进行下一步的迭代, 使得各时间节点的状态量不断的切换跳变。

将式 (8) 的控制律应用到系统 (2) 的x4变量的控制, 可以在x4方向上分离出四个吸引子涡卷。施加控制后x1-x4平面相图如图7 (a) 。

如果将x1和x4同时按照式 (9) 受控, 如图7 (b) , 吸引子可在x1和x4平面平铺出四个吸引子, 因为是分时切换, 各吸引子与其他区域的吸引子通过键波部分相连而不产生较大的牵引扰动。这样的切换为系统 (2) 的混沌多涡卷控制提供了更大的设计空间。

4.2相面切变

进一步的, 也可以将切换函数以某一状态量为因子设计, 如以第四状态量x4为切换因子。x4的状态值在正负值间变化, 根据变量特点, 设计切换函数对x4进行平移, 切换函数如式 (10) , 混沌系统如式 (11) , 得到两个具有分形特性的吸引子区域, 仿真相图如图8。

考虑设计另一种切换方式, 当满足切换条件时, 在系统 (11) 上切换状态变量x1, 将x1信号量平移m个单位, 切换律如式 (12) , 仿真结果如图9。

偏移量m的取值有一定的动态范围, 取值在[1.10, 1.73]区间内, 分离出的吸引子才能较好共存, 仿真取值为m=1.5。此范围外, 由于吸引子牵引力不平衡, 其中某一吸引子会被另一个吸收或影响。

通过这两种切换都可以将原系统吸引子的0平衡中心进行移动, 得到新的分形系统, 系统的状态在两个区域跳变。切换以后, 系统吸引子通过中间的键波部分连接。值得注意的是, 第二种对x1变量的相面切换, 其吸引子间的键波联系, 比第一种对x4的切换更稳定, 说明切变量和切换偏移对吸引子分形都有影响。这种小系统间的切换同样加强了系统的复杂性, 对于保密通信等领域的应用有较大的实用价值。

5结论

分数阶系统 第5篇

社会在进步, 时代在发展, 技术手段也在不断地翻新, 在这样的发展形势下, 对于生产系统的革新成为了当下企业发展的核心, 目前来说, 针对于锅炉-汽轮机系统的控制问题成为了当下研究的热点问题之一, 对于这样的现象, 更多的人对整数阶数学模型与分数阶数学模型展开研究, 研究表明, 采用分数阶数学模型形成控制系统进行锅炉-汽轮机系统的控制, 更加的精确, 更能够保证控制的有效性。

1 锅炉-汽轮机系统中分数阶控制器的应用重要性

对于存在现实世界中的大部分动态系统而言, 其都是分数阶的, 在锅炉-汽轮机系统中, 采用分数阶数学模型的方法对锅炉-汽轮机系统进行描述, 其精准性远远高于采用整数阶数学模型的方法对锅炉-汽轮机系统进行描述。但是在分数阶锅炉-汽轮机控制系统的控制研究中, 也存在着一定的困难, 这样的困难体现在控制器的参数整定步骤繁琐, 拥有者大量的计算, 这样的问题导致该种方法在实际的工程方面应用相比较其他方法而言更少, 大部分锅炉-汽轮机系统普遍情况下应有的都是整数阶方程逼近的策略, 使用整数阶模型的方法进行控制固然省事方便。然而如此的做法将会造成描述系统的精确度在一定程度上降低, 无法精准的对系统的动态特性进行反映, 并且所建设出来的出控制器无法进入到实际的工程运行过程中, 起不到相应的控制效果, 因此, 在锅炉-汽轮机系统中, 分数阶控制器的应用重要性就更为的明显。

2 锅炉-汽轮机系统的分数阶控制器设计内容

实施正确的操作才能够保证仪器的使用质量, 在控制器的使用中设计分数阶控制的数字化, 能够有效的帮助仪器操作, 提升工作质量。分数阶的工作体系中存在无限维的概念, 使用无限维概念帮助仪器的内容设计, 需要有有限的微积分程式化处理。在处理的过程中需要利用有限的微积分程式逼近仪器的控制功能执行。文章中设计控制器的方式, 主要是依靠时域数值的方法进行分数阶的操作, 在PIλDµ控制仪器功能中分离散开。

本文设计的方法主要是利用分数阶段细小方程处理方式, 进行时域数值的分解, 通过PIλDµ的控制仪器功能实现对时域方程的分析扩散。实现分数阶的前提是能够保证计算过程中考量到实际操作的误差, 从误差数值中导入排列顺序的em, 再由其他方式进行控制器的数值输出, 输出的过程保证记录序列数值um。最后就可以实现对分数阶的有效控制, 实现在PIλDµ中控制器的数字职能。这种方法同样还适用于其他研究使用, 可以保证研究数据的仿真性, 并且实现具体的实验操作。对一连续可导函数f的α阶微积分定义可以通过以下公示表示:

进行分数阶操作的过程中, PIλDµ数值控制下的仪器使用, 计算时域数值方法如下:

(1) 计算并总结控制器的导入序列em。首先应该为控制器的初步理论实际出y (t) 以及导出r (t) 的误差数值, 即

再将公式进行转化, 达成离散需求的tm的排列:

(2) 计算出PIλDµ实际仪器使用的导出数据。具体的PIλDµ仪器数值的时域数值方程模式如下:

使用前期研究中得到的和 (5) , 在进一步将后者的方程式进行描述:

公式中的w能够通过更加简便的方式进行推理, 得出具体公式:

当公式计算结束后, 可以更加有效的方式进行h和o的控制器数值保留。

如果设定的h为实际步长, 并且保证数值的范围适合实验范围, 可以直接能够得到分数阶段公式数值。通过观察, 能够明显的发现周期的数据与时间的数据计算出的准确度非常高, 说明在研究的过程中数值和公式能够满足其他仪器设计, 分数微分具有着记忆的功能, 而且时间越近的影响点的因子越大, 时间越远的影响点因子越小, 保证了历史信息对于目前和今后的影响, 进而对改善系统的控制效果更为有利。

3 结论

综上所述, 目前针对锅炉-汽轮机系统的分数阶控制器应用方面的研究有很多, 但是针对于锅炉-汽轮机系统的分数阶控制器设计方面的研究却相对来说比较欠缺, 本文在整合了一部分的相关方面研究文献后, 对本文开始撰写, 在撰写的过程中, 针对锅炉-汽轮机系统的分数阶控制器设计方面的内容进行详细的介绍, 然而笔者知识范围有限, 对于锅炉-汽轮机系统的分数阶控制器设计的研究有可能并不完善, 但对于锅炉-汽轮机系统的分数阶控制器设计方面的研究而言, 仍旧希望能够起到相应的帮助作用。

摘要：随着时代的进步和科学技术的飞速发展, 越来越多的技术手段开始逐渐的与生产工作相结合, 这样的结合方式大幅度的增加了企业的生产效率, 同时还在一定程度上节约了企业的生产成本, 对于企业的发展来说, 具有着十分重要的促进作用, 在这样的发展背景下, 对锅炉-汽轮机系统的分数阶控制器进行设计则显得更为必要, 笔者在查阅了大量的研究资料后, 对锅炉-汽轮机系统的分数阶控制器设计方面的相关理论进行汇总分析和研究, 并且结合自身的专业知识对锅炉-汽轮机系统的分数阶控制器的设计方面进行研究和分析, 以期通过本文的论述对锅炉-汽轮机系统的分数阶控制器设计起到一定的参考帮助作用。

关键词：锅炉,汽轮机系统,分数阶控制器

参考文献

[1]谭文, 牛玉广, 刘吉臻.非线性锅炉汽轮机系统的鲁棒控制 (英文) [J].控制理论与应用, 1999 (06) :102-103.

分数阶系统 第6篇

自适应控制理论[1,2]是一种经典的控制理论,当受控制混沌系统的参数已确定并且实际所建立的数学模型准确时,使用常用的控制方法就能取得较好效果。但实际应用中的系统参数很多是未确定的,因此有必要将自适应控制方法引入混沌系统控制中。自适应控制方法要求目标系统具有可控的参数,其中参数的控制量可以选择为两个系统变量之差或是它们的函数,所采用的控制形式决定了最终达到的同步效果[3]。文献[4]-[7]分别采取不同的自适应控制方法来进行混沌同步控制。混沌系统相关研究在工程和保密通信领域有着广泛应用。

针对分数阶Volta混沌系统的自适应混合投影同步问题,对控制器和参数辨识规则进行设计,能够使得参数未确定的分数阶Volta系统与给定的信号之间实现追踪控制与同步。以异结构分数阶Volta-Liu系统同步为例进行了数值仿真,其结果证实了所设计的控制器及未确定的参数辨识规则的有效性。

1系统控制器、参数辨识规则设计

1.1系统数学模型及问题描述

考虑如下两个分数阶混沌系统:

使得满足,则称该两个分数阶混沌系统混合投影同步,h1,h2,…,hn为投影因子,H为投影同步的投影因子矩阵。

分数阶Volta系统的数学描述可以表示为[8]:

分数阶Volta系统的参数a、b、c未确定时,如何设计有效的控制器和参 数辨识规 则,才能使受 控制的分 数阶Volta系统能以任意给定的投影因子跟踪同步到任意给定参考信号x(t)= [x1,x2,x3]T,也即使得

1.2自适应混合投影同步控制器及参数辨识规则设计

将分数阶Volta系统重新改写为如下形式:

以作为分数阶Volta系统的未确定参数a、b、c的估计值,参数估计误差:

则有:

根据式(1)设计控制器以及根据式(3)有:

定义受控分数阶Volta系统(4)与任意给定参考信号x(t)= [x1,x2,x3]T的追踪同步误差为:

如果设计的控制器及未确定参数辨识规则为:

参数自适应规则为:

则受控分数阶Volta系统(4)能追踪同步给定的参考信号x(t)= [x1,x2,x3]T。

证明:根据式(2)和式(7)有:

由设计的控制器式(4)可得同步误差系统为:

根据分数阶系统稳定性理论构造函数:

根据式(4)-式(7)可得:

显然式(11)符合分数 阶系统稳 定性理论,同步误差e1、e2、e3逐渐趋于零,证明了参数未确定的Volta系统的自适应混合投影追踪同步。

2数值仿真试验

以异结构分数阶Volta-Liu系统的自适应混合投影同步进行数值仿真,具体如下:以分数阶Liu系统作为驱动系统:

响应系统为受控分数阶Volta系统(4)。取驱动系统和响应系统的初值分别为:x1(0)=6,x2(0)=3,x3(0) =1;y1(0)=12,y2(0)=6y3(0)=5;Volta系统参数a =19;b=11;c=0.73,Liu系统参数α=10,β=40,λ =1,γ=2.5,δ=4,系统阶次均取为q=0.98,投影因子取h1= 0.5;h2=-1;h3=-2,仿真时间Tsim取60sec,时间步长 为0.005。 通过MatlabR2013a进行仿真,混合投影同步时驱动系统(12)和响应系统(4)的各平面相图如图1所示。

自适应混合投影同步误差曲线如图2所示。从图中可以看出,驱动系统(12)和响应系统(4)逐渐同步。

3自适应混合投影同步在保密通信中的应用

3.1混沌保密通信方法

为了达到对保密信息进行加密隐藏的目的,设计分数阶Volta系统自适应混合投影同步保密通信系统结构如图3所示。其中m(t)为有效信号,x(t)为分数阶Volta混沌系统产生 的混沌信 号,s(t)为有效信 号和分数 阶Volta混沌系统产生的混沌信号相加形成的在通信路线发送的加密信号,m'(t)为在接收端将加密信号s(t)与上述设计的分数阶Volta系统自适应控制系统x'(t)相减而得到的信号。由于s(t)=x(t)+m(t),x'(t)≈x(t)。因此,m'(t)=s(t)-x'(t)≈ m(t),实现了从加密信号中恢复出有效信号m(t)。

在上述利用分数阶Volta系统自适应混合投影同步实现保密通信过程中,发送端把有效信息源m(t)加在分数阶混沌系统产生的混沌信号上,使在公共信道中传输的是形似噪声的分数阶混沌信号s(t)。接收端收到形似噪声的分数阶混沌信号s(t)后利用上述设计的分数阶Volta自适应混合投影同步系统分离其中由分数阶混沌系统产生的混沌信号x(t),得到有效信号m'(t),从而实现有效信息从发送端加密后在公用信道传输到接收端利用约定好的分数阶Volta系统自适应混合投影同步解密的全过程。研究发现,在公用信 道传输过 程中,一般有用 信号m(t)的幅度比分数阶混沌信号x(t)小很多,经过相加后形成的s(t)的幅度与x(t)的幅度相差不大,如此使得即使窃听者窃取到信号,由于分数阶混沌信号的噪声特点, 窃听者会以为是噪声 信号且难 以从中窃 取到有效 信号。 另外,分数阶混沌系统存在微小差异将导致同步失败,在接收端解密出 有效信号 完全依赖 于事先约 定设计好 的Volta系统自适应混合投影同步控制器,系统微小的差异将导致接收端无法解密出有效信号,使得系统具有较高的保密性。

3.2基于混沌掩盖的分数阶Volta系统保密通信

以异结构分数阶Volta-Liu系统的自适应混合投影同步为例,在发送端将分数阶Liu系统产生的混沌信号与有效信号m(t)做如下混沌掩盖:

其中,en(t)为由分数阶Liu系统产生的混沌信号与有效信号m(t)做混沌掩盖后在公用信道上传输的信号, m(t)为有效信号。在接收端根据设计的分数阶Volta系统自适应混合投影同步构造如下接收系统:

其中,en(t)为由分数阶Liu系统产生的混沌信号与有效信号m(t)做混沌掩盖后在公用信道上传输的信号, m'(t)是接收端根据分数阶Volta系统自适应混合投影同步解密后的信号。当t→ ∞时,y1→h1x1,y2→h2x2,y3→ h3x3,将设计的加密函数en(t)= x22+ (1+x21)m(t)-x3代入式(14),可得:m'(t)= ((x22+ (1+x21)m(t)-x3)(y2/h2)2+ (y3/h3))/(1+ (y1/h1)2)即m'(t)→m(t),从而可恢复出有用信号。

3.3保密通信数值仿真

为了验证所设计分数阶Volta系统自适应混合投影同步的正确性,在仿真中,取有效信号m(t)=20sin(5t), 取分数阶Liu系统和受控的分数阶Volta系统的初值分别为x1(0)=8,x2(0)=2,x3(0)=1;y1(0)=38,y2(0)= 12,y3(0)=11。接收端受控的分数阶Volta系统参数a =19,b=11,c=0.73,发送端分数阶Liu系统参数α =10,β=40,γ=2.5,δ=4,λ=1系统阶次均取q= 0.98,仿真时间Tsim取10s,时间步长 为0.001,投影因子取h1=0.5,h2=-1,h3=-2。在MatlabR2013a上进行仿真,仿真效果如图4所示。

其中,图4(a)是有效信号m(t)的仿真曲线谱,图4 (b)是将有效信号与分数阶Liu系统产生的混沌信号相混合做混沌掩盖后在公用信道上传输的加密信号en(t)= x22+ (1 + x21)m(t)-x3,图4 (c)为利用分数阶Volta系统自适应混合投影同步系统分离接收到信号中由分数阶Liu系统产生的混沌信号,得到的有效信号m'(t)的曲线图,图4 (d)为有效信 号与解密 出的有效 信号误差 曲线m'(t)-m(t)。从仿真结果图4(b)可以明显看出,通过该分数阶混沌系统加密后可很好地实现将有效信号隐藏在其混沌序列中。从仿真结果图4(c)可以明显看出,通过分数阶Volta自适应混合投影同步系统将接收到的混沌信号解密出有效信号。从仿真结果图4(d)可以明显看出,在很短时间内原有效信号与解密出的有效信号很快渐近到零点, 即原有效信号能够被很好地解密出来。以上仿真很好地表明了该方案应用于保密通信的有效性和可行性。

3.4分数阶Volta系统保密通信性能分析

混沌保密通信系统的优势主要体现在其良好的保密性上,所设计的分数阶Volta自适应混合投影同步系统在保密性能方面的优点主要表现在以下3个方面:1由于在公共信道中传输的是形似噪声的分数阶混沌信号,因而抗破译能力较强;2秘钥的选择比较多,由于设计的解密端系统为自适应混合投影同步系统,因而不同的分数阶混沌系统也可作为密钥,同一个分数阶混沌系统不同参数或不同初值可以用作密钥;3加密函数可以动态调整。为对传输信号进行掩盖,本文选择了en(t)=x22+ (1 + x21)m (t)-x3作为加密函数。一般而言,有用信号的幅度比分数阶混沌信号小很 多,如果要传 输的有效 信号的幅 值太大,也可以通过调整加密函数实现。如果调整加密函数为en(t)=x22+ 0.01(1 + x21)m(t)-x3,则可传输信号的幅值可扩 大100倍,相应的解 密函数则 为m'(t) = 100*(en(t)- (y2/f)2+ (y3/f))/(1+ (y1/f)2)。

4结语

本文设计的控制器和未确定参数的辨识规则,实现了参数未确定的分数阶Volta系统的自适应混合投影同步, 并实现了对异结构Volta-Liu系统同步的数值仿真。仿真结果误差趋近于零,证实了所设计的控制器和未确定参数辨识规则的可行性,并通过仿真程序对信号进行加密和解密,证实了其在保密通信领域的良好应用效果。

参考文献

[1]刘小河,管萍,刘丽华,等.自适应控制理论及应用[M].北京:科学出版社,2013.

[2]韩正之,陈彭年,陈书中.自适应控制[M].北京:清华大学出版社,2011.

[3]崔畅.混沌同步及其在保密通信中的研究进展[J].现代电子技术,2010(3):52-54.

[4]赵灵冬,胡建兵,刘旭辉.参数未知的分数阶超混沌Lorenz系统的自适应追踪控制与同步[J].物理学报,2010,59(4):2305-2309.

[5]XIAOBING ZHOU,YUE WU,YI LI,et al.Adaptive control and synchronization of a novel hyperchaotic system with uncertain parameters[J].Applied Mathematics and Computation,2008,203(2):80-85.

[6]XIAOBING ZHOU,YUE WU,YI LI,et al.Adaptive control and synchronization of a new modified hyperchaotic system with uncertain parameters[J].Chaos,Solitons and Fractals,2009,39(5):2477-2483.

[7]马铁东,奚泉.有时滞的分数阶混沌系统的鲁棒自适应混合投影同步[EB/OL]北京:中国科技论文在线[2013-12-23].http://www.paper.edu.cn/releasepaper/content/201312-673.

分数阶系统 第7篇

压缩感知[1,2,3,4,5] (Compressed Sensing) 在保证信息不损失的情况下, 用较小 (远低于奈奎斯特采样定理要求) 的速率采样信号, 同时又可以完全恢复信号。压缩感知理论表明, 若信号是可压缩的或在某个域是稀疏的, 就可以利用与该域的基不相关的矩阵将高维信号投影到一个低维空间上, 这样的投影包含了重构信号所需要的足够信息。需要还原信号时, 通过求解优化问题便可以从这些被压缩的的投影信息中重构原信号。在该理论体系下, 信号的带宽不再是约束采样的绝对条件, 而信号的稀疏性和非相干性 (或等距约束性 (RIP) [4]) 在很大程度上成为该理论的前提。

本文基于灰度图像信号在分数阶Fourier域 (Fr FT) [6]、分数阶余弦域 (Fr CT) [7]具有稀疏的特性, 利用压缩感知理论, 对灰度图像在以上两种变换域的重构性能做了初步比较。

本文的结构安排如下:第Ⅰ部分引言, 第Ⅱ部分简要介绍了压缩感知的基本理论, 第Ⅲ部分给出了分数阶Fourier变换、分数阶余弦变换的定义, 第Ⅳ部分是算法仿真及结论分析。

1 压缩感知的基本理论

假设有一信号f (f∈RN) , N为信号长度, Ψi (i=1, 2, …, N) 为基向量, 有:

信号在时域表示为f (f∈RN) , 在Ψ域表示为α。信号是否具有稀疏性是运用压缩感知理论的先验条件, 若 (1) 式中的α有K个非零数值 (N>>K) , 或者除K个非零数值外其余数值按指数级衰减并趋近于零, 则认为信号是稀疏的。有界变差函数的全变差范数、振荡信号的Gabor系数、自然信号的Fourier系数和小波系数及具有不连续边缘的图像信号的Curvelet系数等都具有上述稀疏的特性[5], 满足压缩感知理论的前提条件。

利用压缩感知理论, 在信号稀疏性未知的前提下, 信号从采样到重构可分为三步[2]:

(1) 找到或构造能对信号稀疏表示的变换基或冗余字典。

(2) 将信号投影在与变换基不相关的维测量矩阵上, 得到维的测量向量。

(3) 利用此维的测量向量重构出原始信号。

2 分数阶Fourier变换、分数阶余弦变换的定义

A.分数阶Fourier变换[6]

作为Fourier变换的一种广义形式, 分数阶Fourier变换可以看成将信号在时间域上逆时针旋转任意角度到分数阶域的表示。随着角度的连续旋转, 分数阶Fourier变换展示出信号从时域逐步变换到频域的所有变化特征, 因此, 分数阶Fourier变换具有良好的时频局部化特征, 能够提取信号局部细微变化。

分数阶Fourier变换的基本定义:

其变换核为:

其中δ (t) 为冲激函数, n是整数, α=pπ/2是旋转角度, p为Fr FT的阶数。

由上式可以看出, 式 (3) 中α=pπ/2仅出现在三角函数的参数位置上, 所以以p为参数的定义式以4为周期的。当p=0时, 为函数本身;当p=1时即为普通的Fourier变换。分数阶Fourier变换还具有酉性、阶数可加性等性质, 这里不再一一说明。

当p1=p2时, 分数阶Fourier变换才满足旋转不变性 (可以保证同样表情在图像的具体位置不同, 但是经过变换后具有相同的幅值分布情况) , 同时这样设置也大大减少了算法的复杂度, 有利于算法的实现。以后无特殊说明皆设定p1=p2。

B.分数阶余弦变换

分数输余弦变换由Pei等提出。文献[7]详细给出了分数阶余弦变换的定义和特点, 下面简单介绍一下分数阶余弦变换。

离散余弦变换 (DCT) 的变换核有四种形式。对于DCT-I型, 其变换核为:

Pei将DCT-I型推广到分数阶, 其变换核为:

α为变换阶次,

YL (X) (L=0, 2, …, 2N-2, N为采样点数) 为DCT-I型的特征向量, 且这些特征向量构成完备正交集, 得到如下形式的分数阶余弦变换:

3 算法仿真与分析

以8bit的256x256灰度图像Lena (图5) 为例。实验环境为:软件平台MATLAB 7.0, 中央处理器 (CPU) Intel (R) Pentium (R) D 2.80GHz, 内存为2G。以峰值信噪比 (PSNR) 和均方误差 (MSE) [8]作为评价标准对压缩感知前后的图像质量进行评价, 公式如下:

图1和图2是灰度图像在压缩率、测量矩阵及重构算法均一致的情况下在分数阶Fourier域、分数阶余弦域峰值信噪比 (PSNR) 随着阶次的不同而变化的曲线, 图2是图1在[0.9, 1]之间的局部放大 (分数阶Fourier变换与分数阶余弦变换的阶次不是同一个概念但它们有着相识的表达形式, 在此为了便于更直观的表达把它们放在了同一个坐标系下) 。

从曲线的变化趋势我们可以看出随着阶次的提高, PSNR的总体趋势是增大的。一般认为PSNR低于20d B时, 图像在主观上是不可接受的。阶次在0.1到0.7之间分数阶Fourier域、分数阶余弦域之下的PSNR没有幅度较大的变化, 且在主观上均不能接受。当阶次达到0.9以上时, 两种域的PSNR均有较大幅度的提升, 在分数阶余弦域这种提升是渐近的, 较为平滑, 阶次为1时PSNR达到最大28.8311d B。而在分数阶Fourier域阶次从0.99到1有了一个很大的提高PSNR达到了30.9992d B。在阶次[0.90, 0.99]时Fr CT性能好于Fr FT, 而当阶次为1时Fr FT的最佳性能好于Fr CT的最有性能, MSE性能也有类似趋势。图2是局部放大图像, 可以对此有更为清晰的呈现。

图3和图4是灰度图像在压缩率、测量矩阵及重构算法均一致的情况下在分数阶Fourier域、分数阶余弦域均方误差 (MSE) 随着阶次的不同而变化的曲线, 图4是图3在[0.9, 1]之间的局部放大。

MSE随着阶次的变换趋势与PSNR大体相反, 在阶次达到1时两种域的MSE均达到最小:分数阶Fourier域为51.6609, 分数阶余弦域为85.1080。

图5是256*256的原始8bit灰度图像, 图6到图9为Fr FT及Fr CT在典型阶次重构图像。从中可以看出, 人的主观感受同PSNR大体上成正相关性, 与MSE大体上成负相关性。

同时可以得出, 不管是在分数阶Fourier域还是分数阶余弦域, 重构最佳性能均是在退化到Fourier域和余弦域得到的。但这不是说分数阶域在压缩感知领域就没有意义, 分数阶变换是一种时频变换, 对图像的边缘、尖锐等不平滑部分有着很好的表示能力。而一般图像平滑的纹理占绝大部分, 对这部分信息传统的Fourier变换和余弦变换有着更好的性能, 这就是为什么不管是PSNR还是MSE均在阶次为1退化成传统变换时有着最佳性能。

图像是复杂的, 它包括纹理、边缘及其它形式的信息, 一种变换域不可能完美的对其进行最稀疏表示。目前的研究热点是冗余字典下的稀疏分解和多种正交基级联下的稀疏分解。由匹配追踪算法 (MP) 、基追踪算法 (BP) 及一系列的改进算法把图像中的不同部分匹配最佳的正交基或原子。而分数阶Fourier变换、分数阶余弦变换的不同阶次正好为这种匹配提供了较多选择。这也指明了以后的研究方向。

参考文献

[1]Donoho, D.L.Compressed sensing.IEEE Transactions on Information Theory[J].2006, 52 (4) :1289-1306.

[2]Candès, E, Romberg J, Tao T.Robust uncertainty principles:Exact signal reconstruction from highly incomplete frequency information[J].IEEE Trans.Information Theory, 2006, 52 (4) :489-509.

[3]Candès, J Romberg.Quantitative robust uncentainty principles and optimally sparse decompositions[J].Foundationsof Comput Math, 2006, 6 (2) :227-254.

[4]Candès, T Tao.Near optimal signal recovery from random projections:Universal encoding strategies 2006 (12) .

[5]石光明, 刘丹华, 高大化, 刘哲, 林杰, 王良君.压缩感知理论及其研究进展[J].ACTA Electronica Sinica 2009, 37 (5) .

[6]齐林, 陶然, 周思永, 王越.基于分数阶Fourier变换的多分量LFM信号的检测和参数估计[J].中国科学2003.

[7]Soo-Chang Pei, Jian-Jiun Ding.Fractional, canonical, and simplified fractional cosine transforms[J].Acoustics, Speech, and Signal Processing, 2001.Proceedings. (ICASSP&apos;01) .2001 IEEE International Conference.

基于分数阶微分的边界扫描 第8篇

关键词：分数阶微分,边缘检测,微分阶数,掩膜模板

图像的边缘检测是图像分割的一种重要手段,是图像的一种紧描述,为目标识别和图像解释提供了一种有价值的特征参数[1]。在图像处理中,基于一阶和二阶微分的边缘提取算子是边缘检测常用的方法,而如何减少噪声的影响是该方法需要解决的问题[2,3,4,5]。理论研究表明,对信号进行阶微分运算,当微分阶数较小,时,信号高频分量被大幅提升,中低频有所加强,甚低频进行了非线性的保留。本文从经典分数阶微分定义中的分数阶差分方程出发[6],给出分数阶微分的掩膜模板,实验表明,基于分数阶微分的边缘检测可以有效地提取图像的边缘信息。

1 分数阶微分运算用于图像处理

1.1 微分运算对信号的作用

现有任一能量型函数f(t)∈L2(R),设其傅里叶变换为。假设f(t)的整数k(k∈Z+)阶微分存在,则其傅里叶变换为,其中,称为k阶微分乘子函数。的指数形式为:

将上式阶数k推广至任意阶v(v∈R2),可得算子Dv,相应的分数阶微分f(v)(t)在频域的形式,其中乘子d赞v(ω)在频域的指数形式为:

信号的分数阶微分从信号处理的角度可以理解为广义的调幅调相,其中振幅随频率的变化呈分数阶幂指数变化,而相位为频率的广义Hilbert变换。由(1)(2)两式可画出一阶、二阶和分数阶微分的幅频特性曲线(略)。分析可得,微分运算有提升信号高频、消弱信号甚低频的作用,且二阶微分明显强于一阶微分。可见,分数阶微分一方面可加强信号高中频分量,另一方面可对信号甚低频分量进行非线性保留。

1.2 分数阶微分用于图像边缘处理

对于图像,低频对应图像的平滑区,即图像的非边缘区;中频对应图像的纹理信息;高频对应图像的边缘区和噪声区。用整数阶微分进行处理,图像中灰度变化不大的纹理细节信息将会遭到大幅的线性衰减,导致其结果几乎为零,不能很好的检测出平滑区域的纹理细节信息;而用分数阶微分进行处理,这些信息则可在一定程度上得到非线性保留。可见,分数阶微分比整数阶微分更有利于提升图像平滑区中的中、高频信息。

2 分数阶微分算子的实现

目前为止,分数阶微分并没有一个统一的标准定义,比较著名的是G-L定义。该定义将微积分的阶数由经典定义的整数扩展到分数阶推导而来。

其中,函数,其值有限,图像信号灰度的最大变化量也是有限的。由于两相邻像素是灰度变化发生的最短距离,对于二维数字图像,x和y轴方向上持续时间的度量就要以像素为单位。若一元信号f(t)的持续期t∈[a,t],将其按单位h=1进行等分,得,则信号f(t)分数阶微分的差分表达式为:

一般来说,在MN大小的图像f上,用mn大小的滤波器掩膜进行线性滤波:

其中a=(m-1)/2且b=(n-1)/2。为了得到一幅完整的经过滤波处理的图像,需要对图像中的所有像素点进行处理,也就是说要依次对x=0,1,2,,M-1和y=0,1,2,,N-1应用上式。

若二维数字图像信号中x和y的持续期间为x∈[x1,x2]和y∈[y1,y2],对图像的微分运算可以使用33模板、55模板或者77模板中当前像素点的4个方向或者8个方向进行,根据(6)式可得模板一至模板六。如图2所示。

模板四是33模板当前像素点的8个不同方向,各个方向上的分量依次为:1,-v;

模板五是55模板当前像素点的8个不同方向,各个方向上的分量依次为:1,-v,(vv-v)/2;

模板六是77模板的8个不同方向,各个方向上的分量依次为:

3 图像边缘提取实验仿真

对于二维灰度图像,边缘和噪声对应图像中局部特性的不连续点,即对应邻域像素的灰度发生了较大变化,为高频信号。两者也存在区别,即边缘具有邻域一致性、结构性和方向性,且相对于噪声,边缘具有较大的能量和范围。我们可以利用临近像素点信息减少或抵消噪声的作用,适当扩大信号处理的范围,从而加强边缘信号。

3.1 不同模板实验效果分析

通过模板一、模板二和模板三实验效果分析表明,当分数阶为0.5时边缘既清晰噪声又比较少。

通过模板四、模板五和模板六实验效果分析表明,阶数的大小对图像边缘的检测有直接的影响,随着阶数的增加,边缘逐渐清晰。

3.2 分数阶固定效果分析

通过实验效果可以看出,当阶数固定时,随着迭代次数的增加,图像逐渐不清晰,出现双边缘现象,但图像边缘亮度变化基本不大。当分数阶阶数小于0.5时,第一次得到的效果图亮度最好,以后的每次迭代都会削弱图像的亮度信息;当阶数大于0.5时,迭代次数越多,图像越亮,但会伴有噪声的出现。

4 结论

仿真实验表明:基于分数阶微分的边缘检测算法在不同的分数阶阶数时具有不同的提取图像边缘信息的能力,总体来说随着阶数的增大,边缘提取的能力逐渐增强;但是边缘的有效提取虽然随着模板大小的增大而有所提升,但不总是成正比例提升。但基于分数阶微分的边缘检测相对于传统的一阶和二阶微分算子的边缘检测效果有很好的抗噪性。

参考文献

[1]才辉,张广新,张浩,等.一种新的基于多信息测度融合的边缘检测方法[J].浙江大学学报:工学版,2008,42(10):1671-1675.

[2]Jeong H,Kim C.Adaptive determination of filter scales for edge detection[J].IEEE Trans on Pattern Analysis and Machine Intelli-gence,1992,14(5):579-585.

[3]Turgut A Y,Yemez E A,Bulem S.Multidirectional and multiscale edge detection via M-band vavelet transform[J].IEEE Trans ImageProcessing,1996,5(9):1370-1377.

[4]Elder J H,Zucher S W.Local scale control for edge detection and blur estimation[J].IEEE Trans on Pattern Analysis and Machine In-telligence,1998,20(7):699-716.

[5]Andrew P P.Directional filtering in edge detection[J].IEEE Trans Imaging Processing,1998,7(4):611-615.