直线平行范文

直线平行范文（精选10篇）

直线平行 第1篇

任务:(1)寻找生活中含有平行关系的事物.

(2)平行线的概念及其表示方法.

(3)回忆平行线的画法.

成果:(1)说出图1中的平行关系.

_____________________,此外,你还能说出生活中类似的例子吗?________________________________

(2)在同一平面内,______的两条 ______叫做平行线.

(3)按照图示的方法画出平行线,并用数学符号表示,说说你有几种表示方法.

情景二:认识三线八角

任务:(1)通过查阅资料,认识三线八角.

(2)掌握同位角、内错角和同旁内角的概念.

成果:(1)画出三线八角.

(2)说出所画图形中的内错角、同位角和同旁内角.

同位角:_________________________

内错角:_________________________

同旁内角:_______________________

情景三:探究“同位角相等,两直线平行”

任务:探究在“情景一”中,画两条平行线的时候,是保证了什么角相等?

归纳:在上述过程中_______角始终相等.

成果:通过上述观察,我们得到了结论:______________,上述结论用数学语言表示为:______________,______________

情景四:探究“内错角相等,两直线平行”

任务:如图2,直线a、b被直线c所截.

①如果∠1= ∠2,那么a与b有怎样的位置关系?

②∠1与∠3有什么数量关系?

③∠2与∠3有什么位置关系?

归纳:____________________________ ________________________________

成果:通过上述观察,我们得到了结论:______________,上述结论用数学语言表示为:______________,______________

情景五:探究“同旁内角互补,两直线平行”

任务:如图3,直线a、b被直线c所截.

(1)∠1与∠3有什么数量关系?

(2)如果∠2与∠3互补,那么a与b有怎样的位置关系?

归纳:____________________________ ________________________________

成果:通过上述观察,我们得到了结论:_____________,上述结论用数学语言表示为:______________ ,_____________

情景六:利用学过的知识,解决简单问题

(1)如图4,E、F、G、H是直线a、b、c、d的交点.

①若∠1= ∠2,可以证明a∥b,而不能证明c∥d. 这是因为∠1和∠2是直线______ 和______被直线______所截而成,它们与直线______无关.

②同样的道理,若已知∠1=∠3,可以证明______∥______,这是因为它们是直线 ______ 和 ______ 被直线 ______ 所截而成.

(2)如图5:∠1=∠2,∠B+∠BDE=180°. 图中哪些线互相平行?为什么?

两直线平行证明 第2篇

1、如图，已知∠ABC=30，∠ADC=60，DE为ADC的平分线，请你判断哪两条直线平行，并说明理由。

2、如图，在△ABC中，∠B=90,D在AC边上，DF⊥BC于点F，DE⊥AB于点E，那么AB与DF平行吗？CB与DE平行吗？为什么？

3、如图，根据下列条件：∠A=∠AOD，∠ACB=∠F，∠BED+∠B=180，分别可以判定哪两条直线平行？并说明判定的依据。

4、如图，已知BE平分∠ABC，CF平分∠BCD，∠1=∠2，那么直线AB与CD的位置关系如何？

5、如图，EF平分∠BEG，GF平分∠DGE，若∠1+∠2=90，猜测AB、CD的位置关系，并说明理由。

6、如图，AE∥BC，∠

B=

∠C，试说明∠

1=∠2。

7、如图，AD∥BC，∠A = ∠C，试说明AB∥CD8、如图，AB∥CD，∠B=∠D,试说明BF∥DE.9、如图，AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4，求∠EMF的度数10、1.已知∠BED=∠B+∠D，试判断AB与CD的位置关系。

2.如图，AB∥CD,猜想∠E与∠B、∠D之间有何关系，试说明你的结论。

11、如图，AB∥CD, ∠1: ∠2:

∠，求证：

BA平分

探究两直线平行的条件 第3篇

任务：（1） 寻找生活中含有平行关系的事物.

（2） 平行线的概念及其表示方法.

（3） 回忆平行线的画法.

成果：（1） 说出图1中的平行关系.

_____________________，此外，你还能说出生活中类似的例子吗？

________________________________

（2） 在同一平面内，______的两条______叫做平行线.

（3） 按照图示的方法画出平行线，并用数学符号表示，说说你有几种表示方法.

情景二：认识三线八角

任务：（1） 通过查阅资料，认识三线八角.

（2） 掌握同位角、内错角和同旁内角的概念.

成果：（1） 画出三线八角.

（2） 说出所画图形中的内错角、同位角和同旁内角.

同位角：_________________________

内错角：_________________________

同旁内角：_______________________

情景三：探究“同位角相等，两直线平行”

任务：探究在“情景一”中，画两条平行线的时候，是保证了什么角相等？

归纳：在上述过程中_______角始终相等.

成果：通过上述观察，我们得到了结论：______________，上述结论用数学语言表示为：______________，______________

情景四：探究“内错角相等，两直线平行”

任务：如图2，直线a、b被直线c所截.

①如果∠1=∠2，那么a与b有怎样的位置关系？

②∠1与∠3有什么数量关系？

③∠2与∠3有什么位置关系？

归纳：____________________________

________________________________

成果：通过上述观察，我们得到了结论：______________，上述结论用数学语言表示为：______________，______________

情景五：探究“同旁内角互补，两直线平行”

任务：如图3，直线a、b被直线c所截.

（1） ∠1与∠3有什么数量关系？

（2） 如果∠2与∠3 互补，那么a与b有怎样的位置关系？

归纳：____________________________

________________________________

成果：通过上述观察，我们得到了结论：_____________，上述结论用数学语言表示为：______________ ，_____________

情景六：利用学过的知识，解决简单问题

（1） 如图4，E、F、G、H是直线a、b、c、d的交点.

①若∠1=∠2，可以证明a∥b，而不能证明c∥d.这是因为∠1和∠2是直线______和______被直线______所截而成，它们与直线______无关.

②同样的道理，若已知∠1=∠3，可以证明______∥______，这是因为它们是直线______和______被直线______所截而成.

（2） 如图5：∠1=∠2，∠B+∠BDE=180°. 图中哪些线互相平行？为什么？

（3） 如图6，已知∠1+∠2=180°，直线a，b平行吗？为什么？

直线与平面平行的判定 第4篇

本节课是在前面已学空间点、线、面位置关系的基础作为学习的出发点，结合有关的实物模型，通过直观感知、操作确认(合情推理，不要求证明)归纳出直线与平面平行的判定定理．本节课的学习对培养学生空间感与逻辑推理能力起到重要作用，特别是对线线平行、面面平行的判定的学习作用重大．

二、教学目标

通过直观感知———观察———操作确认的认识方法理解并掌握直线与平面平行的判定定理，掌握直线与平面平行的画法并能准确使用数学符号语言、文字语言表述判定定理．培养学生观察、探究、发现的能力和空间想象能力、逻辑思维能力．让学生在观察、探究、发现中学习，在自主合作、交流中学习，体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度，提高学习的自我效能感．

三、教学重点与难点

重点是判定定理的引入与理解，难点是判定定理的应用及立体几何空间感、空间观念的形成与逻辑思维能力的培养．

四、教学过程设计

(一)知识准备、新课引入

提问1:根据公共点的情况，空间中直线a和平面有哪几种位置关系?并完成下表:(多媒体幻灯片演示)

我们把直线与平面相交或平行的位置关系统称为直线在平面外，用符号表示为．

提问2:根据直线与平面平行的定义(没有公共点)来判定直线与平面平行你认为方便吗?谈谈你的看法，并指出是否有别的判定途径．

(二)判定定理的探求过程

1．直观感知

提问:根据同学们日常生活的观察，你们能感知到并举出直线与平面平行的具体事例吗?

生1:列举日光灯与天花板，站立的人与墙面．

生2:门转动到离开门框的任何位置时，门的边缘线始终与门框所在的平面平行(由学生到教室门前作演示)，然后教师用多媒体动画演示．

2．动手实践

教师取出预先准备好的直角梯形泡沫板演示:当把互相平行的一边放在讲台桌面上并转动，观察另一边与桌面的位置给人以平行的感觉，而当把直角腰放在桌面上并转动，观察另一边与桌面给人的印象就不平行．又如老师直立讲台，则大家会感觉到老师(视为线)与四周墙面平行，如老师向前或后倾斜则感觉老师(视为线)与左、右墙面平行，如老师向左、右倾斜，则感觉老师(视为线)与前、后墙面平行(老师也可用事先准备的木条放在讲台桌上作上述情形的演示)．

3．探究思考

(1)上述演示的直线与平面位置关系为何有如此的不同?关键是什么因素起了作用呢?通过观察感知发现直线与平面平行，关键是三个要素:(1)平面外一条线，(2)平面内一条直线，(3)这两条直线平行．

(2)如果平面外的直线a与平面内的一条直线b平行，那么直线a与平面平行吗?

4．归纳确认(多媒体幻灯片演示)

直线和平面平行的判定定理:平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线和这个平面平行．

简单概括:(内外)线线平行，线面平行．

符号表示:

温馨提示:

作用:判定或证明线面平行．

关键:在平面内找(或作)出一条直线与平面外的直线平行．

思想:空间问题转化为平面问题

(三)定理运用，问题探究(多媒体幻灯片演示)

1．作一作

设a,b是二异面直线，则过a,b外一点p且与a,b都平行的平面存在吗?若存在请画出平面，不存在说明理由?

先由学生讨论交流，教师提问，然后教师总结，并用准备好的羊毛针、铁线、泡沫板等演示平面的形成过程，最后借多媒体展示作图的动画过程．

2．证一证

例(见课本60页例1):已知空间四边形ABCD中，E,F分别是AB,AD的中点，求证:EF//平面BCD.

变式一空间四边形ABCD中，E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,DA中点，连接EF,FG,GH,HE,AC,BD请分别找出图中满足线面平行位置关系的所有情况．(共6组线面平行)

变式二在变式一的图中作PQ//EF，使P点在线段AE上，Q点在线段FC上，连接PH,QG，并继续探究图中所具有的线面平行位置关系?(在变式一的基础上增加了4组线面平行)，并判断四边形EFGH,PQGH分别是怎样的四边形，说明理由．

4．练一练

练习1:见课本6页练习1、2

练习2:将两个全等的正方形ABCD和ABEF拼在一起，设M,N分别为AC,BF中点，求证:MN//平面BCE.

变式:若将练习2中M,N改为AC,BF分点且AM=FN，试问结论仍成立吗?试证之．

(四)总结

先由学生口头总结，然后教师归纳总结(由多媒体幻灯片展示):

1．线面平行的判定定理:平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，则该直线与这个平面平行．

2．定理的符号表示:

简述:(内外)线线平行则线面平行

3．定理运用的关键是找(作)面内的线与面外的线平行，途径有:取中点利用平行四边形或三角形中位线性质等．

五、教学反思

直线与平面平行的教案 第5篇

---直线与平面平行的判定

高一朱丽珍

【教学目标】

1.理解并掌握直线与平面平行的判定定理

2.把线面平行关系（空间问题）转化为线线平行关系（平面问题）

3.了解空间与平面互相转换的思想，激发学生的学习兴趣

【教学重点】

直线与平面平行的判定定理；线面平行关系与线线平行关系的转换

【教学难点】

线面平行关系与线线平行关系的转换

【教学方法】

启发诱导与自主探究

【教学过程】

（一）复习引入

一条直线与一个平面有哪些位置关系？

①直线a在平面内②直线a与平面相交③直线a与平面平行 提问：如何判定一条直线与一个平面平行？

（二）新课讲解

实例探究：①门扇绕着门框转动观察另一边与门框所在平面位置关系②转书过程观察书沿与桌面的位置关系

归纳出线面平行的判定定理:若平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行

符号表示：若a,b,a∥b，则a∥

简述为：线线平行线面平行

（三）例题选讲

例

1、空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，证明:直线EF与平面BCD平行

例

2、在长方体ABCD-A1B1C1D1各面中，(1)与直线AB平行的平面有：

(2)与直线AA1平行的平面有：

（四）反馈训练

正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，证明BD1∥平面AEC

（五）归纳总结

1、直线与平面平行的判定定理：线线平行线面平行

2、应用判定定理时,应当注意三个不可或缺的条件

圆是球面上的直线及球面平行定理 第6篇

线只有长度没有宽度。

在球面上大圆及小圆皆为直线。

如果两条直线有公共点, 那么这两条直线叫相交直线。

在直线上某一点一旁的部分叫射线, 这一点叫射线的原点或端点。

直线上两点之间的部分叫线段。这两点叫线段的端点。两条线段的长度一样叫相等, 长度不一样叫不相等。

线段是某一直线的一部分, 线段沿这一直线延长的部分叫延长线。

球面上的两点的距离为通过这两点的大圆的劣弧的长度。在球面上通过两点的直线有无数条, 但必有一条是最短的, 我们就用这条最短的来定义两点之间的距离。

球面上经过一点作两条圆弧, 它们所构成的图形叫做球面角。这两条圆弧可以是大圆弧, 也可以是小圆弧。这两条圆弧叫做角的边。这一点叫角的顶点。球面角的大小, 等于这两条圆弧各自的平面之间的夹角。也就是说球面角用两面角的大小来度量。

当一条直线和另一条直线交成的邻角彼此相等时, 这些角的每一个叫做直角, 而且一条直线垂直于另一条直线。

当包含角的两条边是一直线时, 这个角叫做平角。

当包含角的两条边重合时, 这个角叫做周角。

大于直角的角叫钝角。

小于直角的角叫锐角。

如果两个角的和为90度, 那么这两个角互为余角。

如果两个角的和为180度, 那么这两个角互为补角。

如果一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线, 则这两个角叫对顶角。

将一个角一分为二的那条线叫做角平分线。

直线形是由直线围成的, 三边形是由三条直线围成的, 四边形是由四条直线围成的, 多边形是由四边以上的直线围成的。

在三边形中, 三条边相等的, 叫做等边三角形, 只有两条边相等的, 叫等腰三角形, 各条边不相等的, 叫做不等边三角形。

平行线是不相交, 且距离保持不变的直线。

2 球面上的公理

由任意一点到任意另一点可以画无数条直线。

不相交的直线未必平行。

在球面上, 过已知直线外一已知点 (非极点) , 只能作一条直线平行于已知直线。

3 球面上的定理

3.1 对顶角相等

在球面上对顶角相等。因为, 球面角是由两面角度量的, 而两面角也是相交的两个平面所形成的角。而相交的两个平面所形成的角的对顶角是相等, 所以在球面上, 对应角也是相等的。

3.2 三点决定一条直线

在球面上, 三点确定一条直线。

因为三点决定一个圆, 而圆是球面上的直线, 所以在球面上三点决定一条直线。这与平面上不同。所以在球面上三点决定一个方向, 而不是两点决定一个方向。

3.3 垂线

过直线外一点或直线上一点, 可以作无数条直线与原来的直线垂直。

3.4 平行线的性质

如图1所示, 直线a与直线b、c相交, 这样就形成了8个角。其中角3、4、5、6为内角, 角1、2、7、8为外角, 角1与5, 2与6, 3与7, 4与8叫做同位角, 角3与5, 4与6叫做内错角, 角1与7, 2与8叫做外错角, 角3与6, 4与5叫做同旁内角, 角1与8, 2与7叫做同旁外角。

在球面上, 两条平行的直线若被第三条直线所截, 则同位角相等、内错角也相等。因为球面角是用两面角来度量的, 若两直线平行, 则两直线所在的平面也一定是平行的, 第三条直线与这两条直线相截, 也就是第三条直线所在的平面与平行的平面相交, 而两平行的平面被第三个平面所截, 同位角当然是相等的, 内错角当然也是相等的了。

在球面上, 两条平行的直线若被第三条直线所截, 则同旁内角的和等于180度。因为球面角是用两面角来度量的, 若两直线平行, 则两直线所在的平面也一定是平行的, 第三条直线与这两条直线相截, 也就是第三条直线所在的平面与平行的平面相交, 而两平行的平面被第三个平面所截, 同旁内角当然是互补的了。

3.5 平行的判定

在球面上, 若两直线不相交, 且一直线上的三点分别到另一直线的距离皆相等, 则两直线平行。因为三点决定一条直线, 所以, 若两条直线不相交, 且一条直线上的三点分别到另一条直线的距离皆相等, 则这条直线任意一点到另一条直线的距离也都是相等的, 所以它们平行。

球面上两条不相交的直线被第三条直线所截, 若同为角相等, 截线相等, 则两直线平行。

已知:如图2所示, 直线b、c不相交, 直线b、c被直线a所截, a与b的交点为d、g, a与c的交点为e、h, 球面角∠adb与∠aec相等, 截线de与gh相等。求证a与b平行。

证:由于b与c不相交, 所以dg和eh也不相交, 由于de和gh相等, 所以, e到dg的距离等于h到dg的距离;由于dg和eh不相交, e到dg与h到dg的距离相等, 所以, dg与eh平行;由于dg与eh平行, 且球面角∠adb与∠aec相等, 所以b与c平行。证毕。

球面上两条不相交的直线被第三条直线所截, 若内错角相等, 截线相等, 则两直线平行。

3.6 三角形内角和

三角形的内角和大于等于180度。由于三角形的边可以是大圆弧, 也可以是小圆弧, 所以, 球面三角形的内角和大于等于180度。

如图3所示, 当∠A B C=90度, ∠B C A=30度, ∠C A B=60度时, 球面三角形A B C的内角和就等于180度。

3.7 三角形的外角

三角形的外角大于等于两个不相邻的两个内角的和。

3.8 球面两角形的正弦定理

如图4所示, 4为球, 1为球面上的小圆, 2也为球面上的小圆, nbhan为球面两角形, 3为大圆。

设a、b为球面两角形nbhan的两个边的边长 (用弧度表示) , c为大圆弧nch的长, 1与3的交角∠can=∠A, 2与3的交角∠cnb=∠B,

经过推理可得:

这个式子就是球面两角形的边与角的关系式, 这也可以说是球面两角形的正弦定理。

由球面两角形我们也可以进一步研究完全由小圆弧所构成的球面三角形, 并发现其边与角的关系。

3.9 球面上的相似

球面上存在相似形, 比如说球面上的圆与圆 (大圆与小圆) 就是相似的。球面上当然也存在两角形或三角形的相似。

4 其他

在球面上, 过一直线外的一点最多可以做一条直线与已知直线平行。

在球面上, 过一直线外的一点可以做无数条直线不与已知直线相交。

在球面上, 不相交的直线不一定平行。

在球面上, 同一直线的垂线不一定平行。

在球面上, 同一直线的垂线与斜线不一定相交。

在球面上, 过任意两点的直线有无数条, 但其中至少有一条是大圆。

摘要：本文提出了圆是球面上的直线的观点, 并且对球面上的平行、平行的性质、三角形的内角和大于等于180度、相似等观点进行了初步的论证。

直线平行 第7篇

基于机器视觉的安全辅助驾驶系统是智能车辆的重要功能部分, 可有效提高驾驶的安全性并缓解交通问题。车道识别作为安全辅助驾驶系统的关键技术之一, 可用来确定车道的可行驶区域、车辆在车道中的位置及偏航角等信息, 受到国内外研究学者的广泛关注。

目前已有的车道线检测方法大体可分为基于特征和基于模型两大类[1]。基于特征的方法较能适应不同的道路形状;对于结构化的高速公路, 基于模型的方法更能有效地克服路面污染、阴影、光照不均等影响。而这些方法普遍采用了Hough变换[2]进行车道线提取。文献[3]中利用传统Hough变换方法提取车道线, 算法简单, 但在有障碍物遮挡和周围自然环境干扰的情况下准确率较低;一些改进的Hough变换方法, 如文献[4-6], 通过缩小Hough变换的投票空间来减少计算量, 以提高车检测方法的实时性, 但降低了抗干扰性;文献[7]提出了基于Otsu算法实现自适应Canny边缘检测的方法, 通过提高边缘检测效果以改进Hough变换的准确率;文献[8-9]提出了基于粒子滤波框架的复杂场景的车道识别方法, 引入概率估计技术以提高算法的鲁棒性, 但计算量较大;文献[10]利用具有车道模型特征的形态学结构元素提取车道标识线, 去除边缘后应用Hough变换标记车道线, 得到较高的准确率, 但算法较为复杂, 且无法适应弯道情况。在此基础上, 笔者结合高速公路的结构化特点, 提出了1种基于平行直线对模型的当前车道标志线检测方法, 应用改进的级联Hough变换快速准确地识别当前车道。

1 模型及方法分析

高速公路作为典型的结构化道路, 在设计上具有严格的行业标准。在道路平坦假设条件下, 对基于单目视觉的二维图像可建立高速公路车道线的平行直线对模型, 其主要特征[11,12]如下。

1) 灰度值差异特征。车道标识线像素灰度值比路面像素灰度值高, 白天或正常光照条件下图像平均灰度值比夜晚或弱光条件下图像平均灰度值高。

2) 车道线连续性特征。对于虚线车道线, 可将虚线车道线当作连续的车道线来处理。

3) 直线对特征。根据高速公路建设标准, 极限转弯半径为650m, 因此, 车辆前方视距平面40m以内的分道线和弯道都可近似为直线, 平行的车道线构成平行直线对。

4) 直线对投影特征。经过投影变换后, 相互平行的2条车道标识线在图像的远视野处相交于1点, 即为消失点。

5) 车道宽度特征。高速公路的车道宽度一定, 例如国内高速公路车道宽度建设标准为3.75m。

基于平行直线对模型的上述特征, 笔者提出了新的、有效的车道检测方案。根据特征1) , 利用图像平均灰度值特征对黑夜和白天分别进行不同的预处理, 并根据像素灰度值特征提取出图像边缘信息;根据特征2) 和特征3) , 利用Hough变换将提取的间断边缘连续化, 检测出感兴趣直线;根据特征4) , 改进投票规则, 进行第二次Hough变换检测消失点, 并提取出过消失点的直线;根据特征5) 的先验知识对直线对进行验证, 获取当前车道线。

2 车道检测

2.1 图像预处理

从CCD采集到的图像信息为RGB图像, 见图1 (a) , 通过灰度变换得到灰度图像。为尽可能减少噪声的干扰, 采用中值滤波方法对灰度图像去噪。针对夜晚光照较弱的情况, 对滤波后平均灰度值小于120的图像采用灰度变换进行图像增强处理;为提高算法的实时性, 可建立感兴趣区域 (ROI) 以缩小检测范围。ROI根据CCD的安装角度, 以包含所有车道信息为原则来建立。根据车道线与路面像素的灰度差异特征以及投影特征, 采用增加45°和135°的检测模板来改进传统的Sobel算子的方法进行图像边缘检测。其中, 采用45°和135°2个朝向的边缘检测模板计算梯度幅值图, 采用0°和90°2个朝向的边缘检测模板计算梯度方向图。最后, 采用最大类间方差法进行边缘分割[13]。最大类间方差法 (Otsu法) 利用类间方差作为判据, 选取使类间方差达到最大值时的灰度值作为选定的阈值。

2.2 直线提取

根据平行直线对模型中车道线的直线特征和连续性特征, 可将提取的间断边缘连续化, 检测出感兴趣直线。应用最为广泛的直线检测方法是Hough变换方法, 其基本思想是图像空间与参数空间的点-线对偶性, 主要优点是受噪声和直线间断的影响较小, 不足之处在于需要较大的存储空间和计算时间。

标准Hough变换函数为Duda和Hart所引入的直线极坐标形式

式中:d为从图像空间的原点到该空间内直线所引的垂线的长度;θ为此垂线与x轴所成的夹角。假设上节所提取出的边缘图像分辨率为m×n, 图像空间中的所有数据点坐标可记为 (xi, yj) 。其中:i=1, 2, …, m;j=1, 2, …, n;参数空间点坐标为 (d, θ) 。以Δd=1, Δθ=1°对参数空间离散化, 得到Hough变换的累加器。

应用式dq=xicosθ+yjsinθ将边缘提取后图像空间中所有边缘点转化成参数空间的曲线, 并对累加器投票。投票规则为:某曲线经过参数空间的点 (dp, θq) , 则该点所在的累加器单元自增1。图1 (b) 为投票结果, 白色发亮的点即为累加器峰值不小于最高值a倍, 且在[P, Q]的领域内不重复。峰值对应的累加器单元峰值点。提取累加器前N个局部峰值, (dimax, θimax) 为Hough变换检测到的感兴趣直线, 为感兴趣直线图1 (c) 。

2.3 消失点检测

从边缘图像中提取出感兴趣直线后, 需要对感兴趣直线进行筛选。根据投影规律, 相互平行的2条车道标识线经过投影变换后在图像的远视野处相交于消失点。因此检测出平行直线对的消失点, 即可筛选出疑似车道标识线。为检测消失点, 由Hough变换点-线对偶型的高度对称性出发, 通过d=xcosθ+ysinθ进行第2次Hough变换将参数空间变换到图像空间, 感兴趣直线在图像空间相交形成峰值, 即图像上的消失点。

由于第1次Hough变换只提取了N≤50条感兴趣的直线, 仅由这些感兴趣检测到的20条直线进行投票, 得到的图像空间累加器将不存在统计意义。因此对第2次Hough变换的投票规则进行改进。首先依据检测到的直线存在概率差别, 利用检测到的直线在第1次Hough变换中的投票累加值作为第2次投票的权值;其次, 由于参数空间 (d, θ) 的离散化导致检测到的直线存在误差, 某个点所在的邻域都可能是经过直线的点, 因此对点所在的邻域进行投票, 而不是单独对1个点进行投票。改进的投票规则具体为:某直线经过图像空间的点 (xi, yj) , 则同时对以该点为中心, [P, Q]领域范围的所有累加器单元的累加值加上直线的权值, 即该直线权值在第1次Hough变换对应累加器单元的投票累加值。利用改进后的投票规则进行投票, 累加器结果如1 (d) 所示, 其中, 最大峰值所在位置即为检测到的消失点在图像空间中的坐标。

2.4 当前车道线提取

通过改进投票规则进行第2次Hough变换检测出消失点 (xl, yl) 后, 将其代入直线, 在较小的误差范围内, 可得到经过消失点的直线族。为从这些直线族中找到指示当前车道标识线的平行直线对, 先利用高速公路车道宽度的先验知识从直线族中筛选得到直线对, 再对根据目标直线对在第1次Hough变换对应的累加值较高的规则确定目标直线对。

试验图像分辨率为320×240, 根据车道宽度的先验知识先检查需要验证的直线对是否与x=200直线相交, 不相交则剔除该直线对;相交则计算两交点的距离W, W与先验值Wn比较, 在一定误差范围内相等, 则说明该直线对为车道标识线的左右边界。其中, Wn取经验范围[100, 280]。此时, 如果有多对直线对符合上述条件, 则取直线对在第1次Hough变换对应的累加值之和最高的直线对为最终识别到的当前车道的两边界。验证过程及检测结果分别如图1 (e) 和图1 (f) 所示。

3 实验结果与分析

为了验证算法的有效性, 本文使用Matlab对高速公路上不同路段、不同光照情况、不同车辆干扰下共150幅道路图像进行实验, 并将其与基于传统Hough变换的车道线提取方法做比较, 如文献[14]所述算法。其中, 白天图像100幅, 夜晚图像50幅。实验统计结果如表1所示。

由表1可知, 在准确率方面, 本文算法总体比基于Hough变换的车道线检测方法较高, 白天时对当前车道两侧车辆干扰、弯道等情况的适应能力更强。夜晚时对对向光照影响的适应能力也略强。在实时性方法, 本文算法因增加从参数空间向图像空间投票的过程而使处理速度较低, 但随着感兴趣直线减少有显著提高, 具有一定的实时性。图2是典型检测结果。

4 结束语

直线平行 第8篇

APOS理论是美国教育家杜宾斯基提出的数学学习理论,APOS是英文单词action (活动)、process(过程)、object(对象)、scheme(图式)的第一个字母的组合,表示概念学习过程的每一个阶段.

二、基于APOS理论下“直线与平面平行”的教学设计

学生是学习和发展的主体,教师是教学活动的组织者和引导者.为了把发现创造的机会还给学生,把成功的体验让给学生,采用APOS理论引导发现,激发学生学习的积极性和创造性,分享探索知识的乐趣,使数学教学变成再发现、再创造的过程.本节内容与学生学习的生活联系紧密,学习时,一方面引导学生从实际生活出发,把知识与周围的事物联系起来;另一方面,引导学生从现实的生活中抽象出空间图形,注重引导学生通过观察、操作、思考和推理等活动,引导学生借助图形直观来探索直线、平面平行的性质及其证明.

(一)活动阶段

通过实例让学生对直线和平面平行在现实生活中的应用有个感性认识.

1. 创设情景,提出问题

利用幻灯片给出熟悉的图片:(1)运动场上的跑道;(2)学校的旗杆;(3)运动场上的单杠.观察它们和平面的关系.

点评学生在学习新的数学概念的时候,新的信息对学生来讲基本上是陌生的、零碎的和彼此孤立的,需要教师选择能作为新知识的生长点,将新知识的各因素联系起来,并以最好的方式呈现给学生,通过激发,激活学生头脑的旧知识,调动学生主动学习发现的心理倾向,使得学生对新知识内容先有个感性认识.

(二)过程阶段

通过分析实例,把具体实例抽象成数学问题,具体到普遍性,引导学生对直线和平面平行由感性认识升华到对数学理论知识的理解.

2. 观察归纳,形成新知

把地面抽象成平面,把“跑道”“旗杆”“单杠”抽象成直线,观察直线与平面的交点个数.从直线和平面的公共点个数归纳出直线和平面有三种位置关系:直线在平面内、直线和平面相交、直线和平面平行.用图形语言和符号语言来表示直线和平面平行的三种位置关系.

点评教师通过实际例子抽象成数学问题(数形结合问题),引发学生思考,将学生带入发现新概念的最近发展区,使他们对直线和平面平行的定义有个粗略的认识,为下一步介绍直线和平面平行的判定埋下伏笔.

(三)对象阶段

通过数形结合,逐层剖析直线和平面平行的定义,让学生从图形上记忆理解直线和平面平行的定义,从而达到真正认识直线和平面平行的实质是什么,为直线和平面平行的判定埋下伏笔.

我们把第三个问题抽象成数学问题就会得到直线和平面平行的判定定理:如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行.下面证明之成立:

已知:,求证:J∥α.

证明(用反证法)假设l不平行于平面α,则l∩α=P,如果点P∈m,则与已知条件l∥m矛盾;如果点p∈m,则l和m成异面直线,这也与已知条件l∥m矛盾.

上面定理可以简称为:线线平行,则线面平行.

3. 概念辨析,巩固练习

设计意图:帮助学生加深对直线和平面平行判定定理的理解.得到满足的三个条件缺一不可.

练习:

已知:空间四边形ABCD中,E,F分别是AB,AD的中点.求证:EF∥平面BCD.

师:要证明EF∥平面BCD,只需要证明什么就可以了呢?生:只需要证明EF和平面BCD内的一条直线平行就可以了.师:依据是什么?生:线面平行的判定定理.师:能找到这条线了吗?生:可以,线EF就是.师:为什么?生:因为E,F分别为AB,AD的中点,由中位线的性质可得.师:要用上这个定理,还需要说明什么?生:要说明线EF是面外的线.师:能否把这个证明过程写出来?生:可以,∵E,F为AB,AD的中点,∴EF面BCD且CF∥BD,又BDC面BCD,EF∥平面BCD.

点评通过一问一答的形式激发学生加深对直线与平面平行的判定的初步认识,培养他们新知识的发现能力.

(四)图式阶段

通过前三个阶段,学生对直线和平面平行有了一定的理解;本阶段即让学生知道本课主要学习内容是什么,如何应用来解决实际问题,这节课我们学到了哪些知识.

应用:如图所示的一块木料中,棱BC平行于面A'B'C'D'.

(1)要经过面A'B'C'D'内的一点P和棱BC将木料锯开,应该怎样画线?

(2)所画的线和平面ABCD是什么位置关系?

解略.

点评本例题是一道实际生活应用题,通过本题可以让学生体会到数学知识在实践中的应用的优越,达到培养学生数学知识的应用能力,激发学生学习数学的兴趣.

(五)课堂小结,完善认知

本课有何收获?学习了直线和平面平行的性质定理由“线面平行”“线线平行”,判定定理是由“线线平行”“线面平行”.

(六)教学反思

教师指导学生反思:我们本堂课主要学习了什么内容?体现了数学的什么思想?运用直线与平面平行可以解决什么样的实际问题?有什么收获?

直线平行 第9篇

一、反证法含义

反证法具体是指, 在证明某一个命题之前要先否定其结论, 然后从这个假设开始, 结合具体的命题条件和已知命题证明, 证明否定结论不成立, 从而得出原命题结论成立.这种方法在初中数学证明过程中是较为常用的.在运用反证法时一般有三个步骤:1.假设原命题结论不成立;2.通过推理和证明, 得出假设命题与条件矛盾;3.判定假设不成立, 得出原命题正确.

二、反证法的具体应用

1. 证明直线与两条平行线中一条相交, 必与另一条相交

【例1】求证:直线与两条平行线中一条相交, 那么与另一条相交.

已知:a∥b, c与a交于点P, 如图1.

证明:假设直线c与b不相交, 那么c∥b.∵a∥b, ∴过一点P存在两条直线与b平行, 这与“过一直线外一点, 有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾.因此, 假设不成立.故直线c与b必相交.

2. 过平面内一点的直线平行于这个平面的一条直线, 那么这条直线在此平面内

【例2】求证:过一平面内一点的直线平行于这个平面内的一条直线, 那么这条直线在此平面内.

已知:l∥α, 点P在平面α和m内, 且m∥l, 如图2.

证明:假设m不在平面α内.令l与点P确定的平面为β, 且α与β交于直线m1, 则l∥m1.

又∵l∥m, m与m1交于点P.过点P存在两条直线与l平行.这与“过一点有且只有一条直线与另一条直线平行”相矛盾, 假设不成立.因此, m与m1重合, m在平面α内.

3. 证明直线与平面的位置关系

【例3】求证:两条平行线中一条直线与一个平面相交, 那么另一条也与这个平面相交.

已知:a∥b, a与平面α相交于点A, 如图3所示.

求证:直线b与平面α必相交.

证明:假设b与平面α不相交, 即存在b在平面α内或者b∥α.

(1) 假如b在平面α内.因为a∥b, a不在平面α内.所以a∥α.这与条件a与α交于点A相矛盾.因此, 假设不成立.

(2) 假如b∥α, 因为a∥b.所以a和b可以确定一个平面β, 很显然平面α与平面β相交.假设平面α与平面β交于c.因为b∥a, 所以b∥c.又因为a∥b, 所以a∥c, 且a不在平面α之中, c在平面α中, 所以a∥α.这与已知条件a与α交于点A相矛盾.所以, 假设不成立.

综上所述, 假设不成立, 直线b与平面α相交.

三、应用反证法的具体情况

通过以上几道例题的分析我们发现, 在定理或是性质证明时反证法是比较简单的方式, 也是较为常用的.那么, 接下来我们就来分析一下, 在哪些情况下我们适宜选择反证法来证明.

第一, 在证明相关的定理或者公式时可以使用这种方法.比如说证明直线与平面平行的性质定理、线面平行判定定理等.

第二, 当选择直接证法存在困难时, 可以选择反证法.在进行证明时, 学生应该最先考虑直接证明法, 一旦直接证明法不能解决, 就要进行大胆的假设, 选择反证法.

第三, 通过假设, 能够构造与已知条件或者是相关定理矛盾的条件, 从而得出原命题成立的题目, 比如例1.这就需要学生在做题时要认真的分析题目中给出的已知条件, 以及掌握有关的性质、定理等.

四、结束语

直线平行 第10篇

一、相关概念

所谓渐进式数学教学就是在教学环节按照一定的步骤逐渐由浅到深来进行教学,使学生能够轻松掌握数学各类概念和公式、定理等,并能够熟练应用相关概念和公式、定理等解答各类型的数学题目。

二、渐进式教学的阶段流程

数学渐进式教学法分为几个不同的阶段:

(一)引导阶段。高中生处于一个认知构建阶段,可塑性强,因此在高中数学的教学中应该充分利用其探究心理强的特点,通过猜想———假设———实验论证———分析等手段,自主学习相关知识点,这样可以更好地激发学生的学习兴趣,调动其学习积极性。

(二)接受阶段。经过引导阶段,每个学生对相应的知识点会有一个大概的认识,接受阶段由于每个学生的学习经历不同,对于具体知识点的理解也有一定的差异,因此其对于具体知识点的吸收量和吸收时间等也有很大的差异。

(三)应用阶段。应用阶段相对于接受阶段有着更高的要求,要求学生不单单能够识记相应的数学知识点,还要求能够利用所学进行题目的具体解答,不仅能够对课本的相关例题能够解答,还要求理解和掌握引申型题目的解答。

三、渐进式教学在“直线与平面平行的性质”教学中的具体应用

(一)设立情境。首先复习线面位置关系与线面平行的判定定理,熟悉直线与平面的位置关系的各种情况及判定。思考:

(1)教室内日光灯管所在的直线与地面平行,如何在地面上作一条直线与灯管所在直线平行?

(2)木工小罗在处理如图所示的一块木料时,发现该木料表面ABCD内有一条裂纹DP,已知BC∥平面AC.他打算经过点P和BC将木料锯开,却不知如何画线,你能帮助他解决这个问题吗?

这一阶段,教师通过复习引入,温故知新,为学习新知做铺垫。引导学生通过思考和实际问题,进行观察、感知、实践操作,提高学生学习兴趣,激发学生的求知欲望和探索精神。学生根据问题进行直观感知,进而提出合理猜想。

(二)组织探究。(1)探索:两条直线平行的条件是什么?平行于平面的一条直线与该平面内的直线的位置关系有几种可能?平行于平面的一条直线与该平面内一条直线平行,需附加什么条件?平面内的这条直线具有什么特殊地位?

(2)发现:两直线平行的条件是:在同一平面内且无公共点;平行于平面的一条直线与该平面内的直线无公共点,位置关系有两种:平行或异面;平行于平面的一条直线与该平面内一条直线平行,需附加条件:它们在同一平面内;平面内的这条直线是这个平面与过已知直线的平面的交线。

(3)提出猜想:由以上的探索与发现能得出怎样的结论?能否用数学符号语言描述所发现的结论?可否画出符合结论的图形?能否对发现的结论给出严格的逻辑证明?

(4)形成经验:直线与平面平行的性质定理:

文字叙述:一条直线与一个平面平行,则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行

图形语言描述如下图:

因此,直线与平面平行的性质定理和直线与平面平行的判定定理经常要综合使用,需通过线线平行推出线面平行,再通过线面平行推出新的线线平行,复杂的题目还可以继续推下去。

四、小结

高中数学在实施渐进式教学过程中,要以学生为主体,教师为辅体,在此基础上进行教学内容的重组,才能够更有利于学生对知识的获取、理解和掌握。本文以“直线与平面平行的性质”教学为例,分析渐进式教学法在高中教学实践中的具体应用。在渐进式学习强调学生自主能力的学习,强调学生的体验过程,强调学生提升学习的创造力。

摘要：高中数学是高中理科学习的基础性学科,如果能在高中数学学习中打好良好的基础,学生就会在物理、化学、生物等学科的学习中如鱼得水。从教师的角度出发,在高中数学教学中采用渐进式教学法以一个向导的角色逐渐将学生引入高中数学教学,是一个经实践检验的较好的教学方法,本文以“直线与平面平行的性质”教学为例,分析渐进式教学法在高中教学实践中的具体应用。

关键词：渐进式教学,高中教学,实践,应用

参考文献