区间不确定范文
区间不确定范文（精选8篇）
区间不确定 第1篇
随着风电等可再生能源大量接入电网,传统确定性负荷的规划很难满足调度要求。截至2009年,中国风电并网的装机容量达到17.6GW,完成吊装的装机容量突破26GW。预计2020年风电装机容量将突破150GW,年平均增速20%左右。未来,中国风电将呈现大规模发展态势。然而,风能的随机性和间歇性很强,与传统发电形式相比,风电场容量可行度较低,因此在实际工程中,考虑到负荷的不确定性,如何求解潮流问题,就显得十分重要。
目前对于不确定性问题的处理一般采用随机理论、模糊集理论和区间分析3种方法[1,2,3,4,5,6]。采用随机理论或模糊集理论求解问题时,需要知道不确定性参数的概率密度函数或隶属函数,而实际中这些函数往往难以确定,常通过人为方式取舍;运用区间分析求解不确定性问题可减少人为因素的影响,提高分析结果的可靠性。
潮流分析从本质上讲就是求解非线性方程组,而对于负荷不确定的潮流分析,文献[7]提出了随机潮流的方法,运用概率统计的方法处理系统中的随机变化因素。而在计算随机潮流时,一般先将潮流方程线性化,之后利用随机变量之间的线性关系进行卷积运算,文献[8]进而提出半不变量的方法,将随机变量的卷积运算转化为简单的加法计算,提高了计算效率。文献[9]则提出用蒙特卡洛的方法研究概率潮流,以随机抽样为手段,获得状态电压和支路潮流的统计矩或分布函数。
区间潮流则是利用区间算术和区间分析方法处理不确定潮流,即只需得到其大致范围而不是其确切值的信息[10,11]。文献[6,12]采用KrawczykMoore算子进行区间的迭代,得到区间潮流结果。文献[13]提出前推回推的复区间潮流算法,将平面分成3种不同的表达方式。然而采用区间算术得到的计算结果易于扩张,因此,本文采用区间函数的仿射来描述问题的不确定性,对于不确定性潮流分析,提出一种仿射算法,能够有效抑制区间算术的扩张。
1 区间分析和仿射算术
1.1 区间分析
区间分析是Moore在1966年提出的一种简便有效算法[14],其目的是获得不确定性造成的计算结果的上下界。
对于给定数对x-和x-∈R,若满足x-x-,则闭有界数集合珟x=[x-,x-]={x-xx-}就称为有界区间。其中x-和x-分别称为区间的下端点和上端点。定义区间运算法则如下。
区间的扩张:设n维区间空间可表示为En,则有
显然区间扩张是一个以区间向量x珘为变量而取值是区间的区间函数,且不唯一。
定义2设区间映射则称区间映射F包含单调性。
显然区间的四则运算具有包含单调性,如果区间值函数F是f的具有包含单调性的区间扩张,则f的值域的上下界可以通过计算F(珟x)近似得到。
1.2 非线性方程组的区间解法
式中:Y为nn阶非奇异矩阵;I为单位矩阵。
Moore进一步给出y和Y的选择方法,并得到了最终的迭代求解算法:
因此,y实际是确定的向量,而Yi则是确定性矩阵的逆。
1.3 仿射算术
仿射算术的提出是为了克服区间算术过于保守的缺点。由于区间算术运算所得的区间常常比实际范围大得多,文献[15]提出依据仿射算术记录各个不确定量之间的依赖关系,正是由于这个额外的信息,仿射算术得到的结果比区间算术紧得多。给定一个仿射形式其中表示噪声元,并有决定了噪声元珓εi的大小。因此,如果同样的噪声元珓εi出现在多个仿射中,就意味着它们的不确定性之间具有某种联系和相互依赖性。
例如:对于珟x=[-1,+1],区间算术珟x-珟x=[-2,+2],实际上不论珟x取什么值,珟x-珟x始终等于0,这正是由于运算之间存在相关性,而区间算术忽略了这种相关性,使得计算的结果偏保守。而如果采用仿射算术,则得到的结果也是0,由此可以看出,仿射能够在一定程度上克服区间运算的保守。但文献[16-17]提出,仿射运算中乘除法的效果并不十分明显,考虑到仿射运算比区间运算复杂,因此在对于乘除运算时仍采用区间运算。
2 基于仿射和区间算术的潮流模型
2.1 不确定性模型
确定性潮流可以写成:
式中:Ps和Qs分别为节点注入的有功和无功功率。
根据式(1),可得到不确定潮流的模型如下:
根据式(1)、式(3)和式(4)不难看出,潮流雅可比矩阵中存在着大量相关性元素,因此使用仿射可以有效克服运算的保守。使用仿射的运算存在于这2个运算中,因此可以改写为:
K(珘xi)=yi-Yif(yi)-(I-YiF′(珘xi))(Ri珘ε)(7)式中:Ri=(x-i-xi)/2。
2.2 潮流雅可比矩阵的区间计算方法
上文给出了不确定潮流的算法描述,与传统的牛顿法计算确定性潮流方法不同的是,本文算法中需要用区间算术计算雅可比矩阵的区间矩阵的各个元素。然而,雅可比矩阵元素之间也存在着强相关性,因此不能采用简单的区间相加的方法,下面以雅可比矩阵中的珦子阵为例进行分析说明。
可以看出之间具有强相关性,如果将其独立考虑会扩大区间的范围,因此
可以看出,使用式(10)和式(11)得到的区间解要比用式(8)和式(9)得到的区间范围更小。此外子阵均可以按此方法得到。
2.3 区间潮流的计算步骤
步骤1:设定自变量初值,
式中:θmin和θmax为常规确定性潮流电压相角最小和最大限值;Umin和Umax为常规确定性潮流电压幅值最小和最大限值。
步骤2:将自变量写成如下的二阶仿射形式,
步骤3:根据式(1),可得
用仿射算术计算出并将其计算结果转化为区间形式
步骤4:将区间形式的转化为仿射形式
步骤5:应用仿射运算求出IF((I-YiF′(珘xi))(Ri珘ε)),将结果转化为区间形式。
步骤6:根据式(1),应用区间算术计算出K(珘xi)。
步骤
步骤8:判断终止,若满足要求则停止,否则返回继续迭代。
3 算例仿真
3.1 算例1:确定性潮流和不确定性潮流比较
本文采用IEEE 9节点仿真系统,并考虑负荷节点的有功及无功功率的不确定性,因此可假设功率的波动范围为±5%,使用Matpower和INTLAB仿真工具箱,得到仿真结果如表1、表2所示。
表1给出了确定性潮流和不确定性潮流的计算结果,表2给出了两者之间的比较。不难看出,不确定性潮流所用的时间及复杂度都远大于确定性潮流。需要说明的是,不确定性潮流的结果中,电压幅值下限与电压相角下限或上限并不一定同时达到,并且所有节点的电压下限也不一定同时达到。例如:当4号节点电压幅值为下限0.984时,其电压相角不一定为-2.927或-1.887,而仅仅属于[-2.927,-1.887];对于5号节点,其电压幅值也不一定为其下限或上限,而仅仅属于[0.971,0.977]。
如果不考虑仿射运算,而只采用区间运算,得到的结果则有可能过于保守,图1给出了使用仿射运算和只利用区间运算得到的仿真结果,其中方法A表示本文算法,方法B表示只用区间运算得到的结果。可以看出,在采用仿射运算后,本文方法能够得到更窄的不确定区域。
3.2 算例2:不确定性潮流的收敛分析
进一步采用IEEE 57节点的较大系统验证。在算例1中假定负荷的变化范围为±5%,而随着负荷变化范围的增大,不确定的区域也会逐渐扩大,这也会导致不确定潮流收敛程度下降。图2和附录A图A1给出了负荷不确定程度与区间解的关系,其中k表示负荷变化比例。
图3和附录A图A2给出了各节点电压幅值和相角随负荷比例变化的范围。以节点15,30,45为例,从表3可以看出,当负荷变化超过70%时,区间潮流就会出现发散,因此,电压幅值波动的范围总是在图3中的下界和上界之间,而电压相角波动的范围在附录A图A2中的下界和上界之间。
4 结语
本文提出了一种基于仿射和区间算术求解不确定区间潮流的算法,仿射运算能够抑制区间算术对加法和减法的扩张。对潮流雅可比区间扩张矩阵的加减法进行仿射运算,而乘除法依旧采用区间运算,有效地缩小了区间潮流解的上下界的范围。从IEEE 9节点和IEEE 57节点的仿真算例可以得到,随着负荷变化比例k的增加,区间潮流解的上界不断增大,下界不断减小,达到一定程度时,区间潮流将不再收敛。从仿真的分析和结果可以发现,本文所提出的算法能够很好地求解不确定潮流的区间解,并且从计算时间上能适应较大系统的要求。
附录见本刊网络版(http://aeps.sgepri.sgcc.com.cn/aeps/ch/index.aspx)。
区间不确定 第2篇
讨论了在不确定参数的影响下估算结构特征值变化界限的一种新型非概率凸集合方法.首先,利用Khachiyan算法与灵敏度分析,在可由实验数据确定描述不确定参数的凸集合的情况下,提出了一种新的结构特征值凸模型(椭球)估算方法;然后根据此凸模型方法和经典区间分析方法,发展出区间-椭球联合计算方法.该方法改进了经典区间分析方法及凸模型(椭球)方法所求得的特征值边界在部分区域过于粗糙的缺陷,能够求出比区间分析方法及凸模型(椭球)方法更为精确的结构特征值变化边界.文末以含不确定刚度的`复合材料板特征值求解为例,将本文的方法与两种经典区间分析方法及凸模型(椭球)方法相比较,证实了文中的结论.
作 者：张帆 邱志平ZHANG Fan QIU Zhi-ping 作者单位：北京航空航天大学,航空科学与工程学院,北京,100083 刊 名：河南大学学报（自然科学版） ISTIC PKU英文刊名：JOURNAL OF HENAN UNIVERSITY NATURAL SCIENCE 年，卷(期)：2007 37(6) 分类号：O34 关键词：不确定参数 特征值 区间分析 凸模型 灵敏度分析
区间不确定 第3篇
实际工程问题中,通常会存在多个相互冲突的优化目标。求解多目标优化问题的途径有两大类,一类是在求解之前根据偏好信息将多个目标转化为一个目标,再对问题进行单目标优化直接得到最优妥协解,这类方法称为基于偏好的方法[1];另一类是先在问题的可行域内找到非劣解集,再根据偏好信息从中选择一个解作为最优妥协解,这类方法称为产生式方法[2,3,4]。后者的求解目标是一个解集,即使偏好信息不太明确也不需要重新运算,只需重新选择非劣解即可。
目前研究的多目标优化问题大部分针对确定性问题,而实际工程问题往往存在材料、载荷等多方面的不确定性。对于不确定性优化问题,很多学者提出采用随机规划方法[5]、模糊规划方法[6]以及非概率分析方法[7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19]进行处理。随机规划方法和模糊规划方法是两类比较传统的不确定性优化方法,但是这两种方法需要大量的样本信息来构造不确定量的概率密度函数或模糊隶属度函数,这对于实际工程问题的求解有一定困难。而非概率方法是利用区间或椭球等凸集来描述变量的不确定性,只需通过较少的信息来获得不确定参数的边界即可,这将为不确定性的度量带来很大的方便性。基于非概率理论,研究不确定性多目标优化设计方法,对于复杂工程问题的求解有理论意义和工程价值。
本文提出了一种基于区间的不确定多目标优化方法。该方法中,基于区间分析方法计算出目标函数和约束的上下界,利用目标函数中点值进行非支配求解,采用区间可能度的方法处理约束函数。最后,该方法被应用于多个数值算例及实际工程问题的求解。
1 区间多目标优化模型
利用区间描述不确定量,则不确定性多目标优化问题可描述为
式中,f(X,U)、g(X,U)分别为目标函数和约束;X为n维设计向量;XR、XL分别为设计变量的上下限向量;U为q维不确定向量,其不确定性用区间向量UI描述,UR、UL分别为不确定变量UI的上下界;参数l、m、q则分别为优化问题中目标函数、约束以及不确定变量的个数;bIj为第j个不确定约束的允许区间,实际问题中可以为实数。
2 不确定性优化问题的确定性化
利用目标函数中点值来判断不同设计向量之间的优劣,则fi(X,U)可转化为如下的确定性目标函数:
其中,由不确定性造成的目标函数边界fLi(X,U)和fRi(X,U)可通过如下的方法获得:
对于不确定性约束,本文采用区间可能度的方法来进行处理,区间AI小于等于BI的可能度P(AIBI)可表示为
其中,P∈(-∞,+∞),当AI完全在BI的左侧即ARBL时,P≥1;当AI完全在BI的右侧即AL≥BR时,P0;区间交叉时,0<P<1。为此,式(1)中的gj(X,U)bIj可以转化为
P(gIj(X,U)bIj)≥λjj=1,2,,m (5)
式中,λj为预先给定的可能度水平。
其中,由不确定性造成的约束边界gLj(X,U)和gRj(X,U)可通过如下的方法获得:
通过上面的处理,式(1)可转化为如下的确定性多目标问题:
式(7)为典型的多层嵌套优化问题,其中外层优化用于设计向量的寻优,而内层优化则用于计算不确定目标函数和约束的区间。为提高效率,本文采用区间分析方法[13,14]求解目标函数和约束的区间。将每一目标函数及约束在不确定性变量U的中点进行泰勒展开,忽略高阶项可得
式中,UC为区间U的中点。
对式(8)进行自然区间扩展,可获得目标函数及约束的上下界:
式中,UWk为区间U的半径。
当不确定性水平较小时,上述区间分析方法具有较高的精度。而实际工程问题中,大多数不确定性体现为名义值附近的扰动,不确定性较小的条件通常满足。
3 区间多目标优化算法的基本流程
本文基于区间分析的方法,提出了一种区间多目标优化方法。在外层,由多目标优化算法产生多个设计向量个体,对每一设计个体,采用区间分析的方法计算目标函数和约束的上下界,从而计算出目标函数的中点值以及约束的区间可能度,之后对转化后的确定性的多目标优化问题进行计算从而得到需要的非劣解集。
区间多目标优化方法的具体流程如下(图1):①初始化,设置外层多目标优化的相关参数,根据实际问题设置合适的可能度水平λ,令t=0;②进行多目标优化运算,由多目标优化算法随机产生N个设计向量个体Xi(i=1,2,,N);③对于每一设计向量个体Xi,采用区间分析的方法计算不确定目标函数和约束的上下界;④计算不确定目标函数的中点值;⑤计算约束的区间可能度水平;⑥计算每一代的非劣解;⑦若达到终止条件则终止程序,输出Pareto最优解集;否则t←t+1,转②,进行下一步迭代,直至达到终止条件。
由于微型多目标遗传算法(μMOGA)[20]计算效率较高,精度较高,且求解出的非劣解集分布均匀,故本文采用其进行外层优化求解。该算法是在微型遗传算法的基础上提出来的,它采用了小规模进化种群 (一般为5～8个个体),但小的进化种群很容易发生早熟收敛。为了保证基因的多样性,避免进化种群过早收敛到某一局部最优解,在进化过程中采用了重启动策略,即一旦种群出现早熟收敛,就重新生成一个包含当前最优个体且与当前种群大小相同的子代。同时用一种探测算子在非支配解的设计空间中进行探测性搜索,以提高收敛效率。
μMOGA在进化过程中通过对每个个体计算非支配级和个体拥挤距离,以进行个体比较和选择操作。通过非支配关系将种群中的个体进行分级,并将个体按级数从高到低的顺序进行排列,级数高的个体优于级数低的个体,其中级数为1的个体即为当前种群中的非支配个体,并且将当前的非支配个体保存到外部种群中。对于级数相同的个体,则比较其个体拥挤距离,拥挤距离大的个体优于拥挤距离小的个体。通过大量的测试函数和工程应用,发现微型多目标优化方法具有较高的求解效率和求解精度[20]。
4 数值算例和工程应用
4.1 显式函数问题
考虑如下的区间多目标优化问题[19]:
式中,U1、U2的不确定性水平均为±10.0%。
首先,给定不同的约束可能度水平λ进行优化,优化结果如图2所示。图2a～图2c分别表示约束可能度水平λ为0.5、1.0和1.5时的非劣解集,“”代表两目标函数中点值组成的象点,在不确定量U的影响下,每一个目标函数对应一个区间,因此,对于两个目标的优化问题,每一个“”对应一个矩形方框,代表目标函数值的变化区域。图2d给出了3种约束可能度下非劣解集的比较,可以看出,在不同的约束可能度下,获得了不同的且分布比较均匀的非劣解集,随着约束可能度水平的增大,非劣解集呈现向右移动的趋势。这是由于较大的约束可能度水平使得转化后的确定性优化问题的可行域变小,从而使得目标变差。
其次,给定约束可能度水平λ=1.0,变化变量U的不确定性水平,4种不同的不确定水平下的优化结果如图3所示。可以看出,在相同的约束可能度下,不同不确定性水平求得的非劣解比较接近,但随着不确定量U的变大,目标函数的变化区间即不确定性亦逐渐增大。
4.2 桁架结构的设计
如图4所示的十杆桁架结构,以桁架结构刚度最大化和质量最小化这两个相互矛盾的目标建立多目标优化问题,同时要求各杆的应力不能超过其许用应力。其中桁架的刚度可以采取桁架在y轴方向上的位移来表示,取六节点上的最大位移最小。优化的设计变量选取桁架中各杆的横截面积,杆(1)、(2)的横截面积为A1,杆(4)、(5)的横截面积为A2,杆(3)、(6)的横截面积为A3,杆(7)、(8)的横截面积为A4,杆(9)、(10)的横截面积为A5;横杆和纵杆的长度均为l=9.144m,杆的弹性模量E=68.948GPa,连接点2受纵向载荷F1=444.8kN作用,连接点3受纵向载荷F2=889.6kN和横向载荷F3=1779.2kN作用,杆上所施加的外力均具有不确定性。由于制造误差,密度ρ和杆的许用应力σa亦具有不确定性,其中ρ∈[2629.6,2906.4]kg/m3,σa∈[163.8,181.0]MPa。则十杆桁架结构的区间多目标优化设计问题为
F1∈[422.6,467.0]kN F2∈[845.1,934.1]kN
F3∈[1690.2,1868.2]kN ρ∈[2629.6,2906.4]kg/m3
σa∈[163.8,181.0]MPa
式中,dmax、mt、max{|σi|}分别表示桁架在y方向上的最大位移、桁架质量和桁架中杆的最大应力。
采用有限元方法计算位移和应力,分别在约束可能度水平λ为0.5、1.0和1.5时对十杆桁架结构进行优化,优化结果如图5所示。图5a～图5c表示在不同约束可能度水平下的非劣解集,矩形方框表示在不确定载荷F、密度ρ和杆许用应力σa的影响下,桁架节点最大位移和桁架质量的变化区间。图5d为桁架结构在不同约束可能度下的非劣解比较图,从图中可以看出,随着约束可能度即可靠度的提高,最优解处的刚度逐渐变差,质量逐渐变大。
给定固定的约束可能度水平λ=1.0,改变载荷F、密度ρ和许用应力σa的不确定性水平,分别在不确定性水平为1%、2%、3%、4%的情况下对桁架结构进行优化,优化结果如图6所示。从图中可以看出,在相同的约束可能度下,不同的不确定性水平下求得的由节点最大位移和桁架质量象点组成的非劣解图比较接近,但随着的不确定性水平的增大,由不确定量造成节点位移和桁架质量的变化区间变大,这与工程实际也是一致的。
获得最优非劣解集之后,设计者可根据不同的偏好来选取最优妥协解。表1给出了在区间可能度为1.0、不确定水平为5%的情况下的5组最优妥协解。可发现,随偏好的单调变化,刚度和位移呈相反变化趋势。
4.3 车架结构的设计
图7a所示的某商用车车架结构由两根纵梁和八根横梁构成,需优化车架梁的厚度使车架在满足设计要求的情况下其质量最小。纵梁类似槽形钢件,且槽形钢件三面的厚度相同,本文将它等效为槽形钢件,厚度为h1;横梁b3为板形结构,将其等效成钢板结构,其余横梁均为槽形结构,均将其等效为同样形状的槽钢。其中,b1、b2、b7厚度为h2,b3、b4、b5厚度为h3,b6、b8厚度为h4。车架为整车的基座,汽车上的绝大部分零部件都是通过车架来固定的,这些零部件都会对车架产生载荷。通过简化约束和载荷,可得到车架的静力学模型,如图7b所示,其中三角形表示不同方向上的固定约束,Q1表示驾驶室作用在车架上的均布载荷,Q2表示发动机总成及其他附件的均布载荷,Q3表示油箱等附件的均布载荷,Q4表示货物的均布载荷。
以车架垂向刚度的最大化和质量的最小化建立多目标优化问题,同时车架的应力不超过其许用应力。由于制造和测量等误差,材料的弹性模量E和密度ρ为不确定量,不确定水平均为5%。建立如下的区间多目标优化问题:
式中,dmax为车架在y方向上的最大位移;mt为车架的总质量;σmax为车架的最大等效应力。
采用有限元方法计算位移和应力,选取约束可能度水平为1.0,对其进行优化设计,得到结果如图8所示。在所找到的20个非劣解中,车架最大变形为1.52mm,此时质量为最小值893.5kg,在不确定量影响下最大变形的变化范围为[1.44,1.59]mm,质量的变化范围为[848.9, 938.2]kg;车架最大变形最小值为0.22mm,此时质量为最大值1201.7kg,在不确定量的影响下最大变形的变化范围为[0.21,0.23]mm,质量的变化范围为[1141.6,1261.8]kg。在获得的非劣解中,需要根据设计者的不同偏好或工程经验来选取最优妥协解。表2列出了5组比较有代表性的解。
5 结论
本文基于非线性区间数分析方法提出了一种区间多目标优化方法。利用区间分析方法代替内层优化,从而使原先的双层嵌套优化问题变为单层优化问题,大大地提高了非线性区间数优化的效率。使用微型多目标遗传算法作为外层优化求解器,使得求解结果具有较好的非劣解均匀性。该方法被应用于十杆桁架结构和汽车车架的设计中,计算结果表明,该算法的优化效率较高,得到了较好的优化结果,说明了该方法具有可靠性以及工程实用性。
区间不确定 第4篇
板料冲压成形是现代产品制造业中一种十分重要的金属板成形技术, 广泛应用于航空、航天、汽车、船舶等诸多领域。传统多目标优化方法广泛应用在板料冲压成形设计中, 刘伟[1]建立了板料成形工艺与模具多目标优化设计模型, 以改善板料的破裂、起皱、塑性变形量不足、厚向变形不均匀以及形状不良等缺陷为目标, 实现车身覆盖件的冲压工艺多目标优化。刘桂萍等[2]提出一种高效的薄板冲压成形变压边力多目标优化方法, 该方法以减少冲压件的成形缺陷为优化目标, 以变压边力曲线的特征参数为优化变量。孙光永等[3]在模具的参数化模型基础上, 将试验设计、代表实际冲压过程精度较高的近似模型以及多目标粒子群优化算法相结合, 获得了一组最小化起皱和拉裂缺陷的非劣解, 从而提高了板料的成形性能。上述基于冲压成形的优化设计, 优化模型中材料属性及各加工参数都有一具体的值。
然而, 在实际的覆盖件冲压成形过程中, 一些参数往往无法给定精确的数值。摩擦润滑状态、模具几何尺寸、材料特性等, 都具有一定的波动, 都存在不确定性。一些学者研究了冲压成形的不确定多目标优化设计。Shivpuri等[4]基于空间离散多种摩擦分布于冲压模具上, 研究了减少起皱和减薄的稳健性多目标优化设计。Zhang等[5]研究了针对起皱和拉裂缺陷的铝板成形概率设计。以上方法都是基于概率设计的多目标优化设计, 实际中确定精确的概率密度函数较为困难。
区间数优化是一类较新的不确定优化方法, 它利用区间描述变量的不确定性, 较为容易定义不确定参数的范围。Jiang等[6]研究了U形件变压边力的区间不确定优化问题, 将摩擦因数处理为区间不确定参数, 但其研究的只是单目标优化问题, 且为简单的2维U形件。而实际复杂冲压成形问题常常涉及多目标优化问题, 因而, 区间不确定多目标优化算法在冲压成形中的应用研究显得很有必要。
本文基于非线性区间数规划方法, 对冲压成形的不确定多目标优化问题进行了研究。
1 问题描述
在本文中, 工程实例研究的对象是某部件高强度钢冲压优化过程, 该部件的几何模型如图1所示。
1.1设计变量的选取
决定板料成形质量的因素包括材料类因素、工艺类因素、模具类因素[1]等。但实际的生产中, 设备对板料成形质量的影响通常是固定的, 当冲压材料和模具的工作型面确定后, 成形件的质量主要取决于工艺参数的选择, 因此对板料成形工艺参数进行优化设计对提高产品的质量具有重要意义。工艺参数以压边力和拉深筋阻力的设置最为重要, 同时也最难以合理确定。本文选择压边力和拉延筋阻力作为设计变量。
1.2目标函数的选取
在薄板成形优化研究中, 为提高成形质量, 有效合理构造出能准确量化板料成形质量好坏的目标函数是优化成败的关键。冲压成形中可能出现各种成形缺陷, 其中最常见的是破裂、起皱、厚度不均、成形不足以及回弹[7]等。目标函数反映了在给定设计变量下的板料成形性, 因此, 可以通过优化设计变量达到使目标函数值最优的目的, 即使板料的成形性达到最好。
本研究主要考虑与板料成形相关的破裂和起皱缺陷, 因此在某一部件冲压成形优化过程中采用的目标函数是最小化起皱和厚度不均。
1.2.1 起皱
本文用于判断起皱的标准是基于Kim[8]提出的起皱极限曲线FLD (图2) , 该曲线与纯剪切应变状态的曲线类似, 其表达式为
w (ε2) =-ε2ε20 (1)
根据式 (1) 定义安全起皱极限曲线如下:
η (ε2) =-tan (45°+θ) ε2ε20 (2)
式中, θ为起皱安全裕度。
基于图2的成形极限图, 定义起皱函数为
式中, ε (i) i1为单元i的工程主应变;n为板料单元数目。
1.2.2 厚度不均
均匀的厚向变形对成形质量的提高十分有利[1], 而对于复杂形状的冲压件, 不同部位的厚向变形表现出极度的不均匀性。定义
式中, t0、ti分别为初始板料厚度和最终板料厚度。
th值越大则发生厚向不均匀的趋势越大。
冲压成形中, 材料常数、摩擦因数等参数具有不确定性。文献[5]表明摩擦因数对冲压成形有重大影响, 故本文选择摩擦因数作为不确定参数, 可建立如下冲压成形的不确定多目标优化问题:
式中, FDB为拉延筋阻力;FBH为压边力;μ为摩擦因数, 用区间描述。
式中对于任一个设计矢量x, μ的取值为一区间, 而不是一个实数, 故用传统的优化方法无法求解此问题, 下文将使用非线性区间数规划来求解以上问题。
2 非线性区间数值规划
在区间规划中, 区间数序关系表示一个区间优于另外一个区间, 以用于区间数的排序。对于区间数A和B, 文献[9,10,11,12]定义AmwB的区间关系中, 给出一个处理最小化问题的区间数序关系定义:
式 (6) 中, m表示区间中点, w表示区间半径。用区间序关系“mw”比较式 (1) 中的目标函数, 我们希望目标函数具有最小的中点值和半径, 故式 (1) 可转化为如下的确定多目标优化问题:
对于任一设计矢量x, 目标函数的上下界由下式获得:
式 (8) 中, 目标函数中点值类似于优化不确定性目标函数的平均值, 目标函数半径值类似于优化目标函数的偏差。通过目标函数半径值的优化, 可降低目标函数对不确定性因素的敏感性, 从而保证设计的鲁棒性。
利用线性加权法, 多目标中的每个函数可转化成如下优化问题:
式 (10) 中, β为权重系数, 如果对每次迭代步的x都用优化过程来求取目标函数的上下边界, 那么势必会造成优化的嵌套。由于每次嵌套优化都大量调用该模型, 优化过程会变得很耗时, 而且不可接受。
3 基于近似模型的薄板冲压成形不确定多目标优化
优化设计过程需要反复地执行有限元分析, 对于具有多变量、多目标以及非线性等特点的冲压过程, 有限元分析耗费的时间较长, 特别是对于大型复杂形状的冲压件的模拟, 所需时间更长, 这将会大大降低优化效率, 根本无法满足复杂冲压件成形优化设计的需要。因此, 在优化时采用近似模型替代费时的有限元模型, 可大大提高优化效率。本文采用Kriging方法来构建近似模型。
3.1Kriging近似模型
Kriging模型源自统计理论, 包含了线性回归部分和随机部分, 形式如下[13]:
cov[Z (xp) , Z (xq) ]=σ2R (xp, xq) (12)
式中, R为相关矩阵。
试验设计的主要作用是为了减少试验次数、提高试验精度, 使研究人员从试验结果中获得无偏的处理效应及试验误差的估计, 从而来对各个试验进行正确而有效的比较。本文选用拉丁方[14]作为试验设计方法。该方法可以在抽取较少样本的情况下, 获得较高的计算精度, 具有效率高、自由度高等特点。
3.2优化设计
基于Kriging近似模型, 薄板冲压成形不确定多目标优化问题可转化为如下近似优化问题:
式中,
该算法的求解流程如图3所示。首先采用有限元方法建立冲压仿真模型, 主要包括:建立板料和模具的单元几何模型、采用有限元建立冲压分析模型、设定模具与板料的定位与间隙、设定模具的运动曲线和作用曲线、给定材料性能等参数。然后确定设计变量、不确定量、目标函数等, 根据设计变量和不确定量范围, 采用拉丁方在设计空间和不确定域采样, 建立目标函数和约束函数的Kriging近似模型。冲压成形的设计变量通过NSGA-Ⅱ[15,16]遗传算法产生, 针对迭代步中的x, 在不确定域内利用序列二次规划算法计算该近似目标函数的上下界。从而可求得目标函数的中点值和半径值。在式 (13) 的基础上, 计算近似评价目标函数值, 并作为适应度值传给NSGA-Ⅱ。如此循环直到达到最大收敛代数为止, 从而取得Pareto解集。
4 数值算例及其讨论
4.1数值算例
图1的冲压成形优化问题可描述为
式 (14) 中, 拉延筋的位置如图4所示, μ1为板料与凸模的摩擦因数, μ2为板料与压边圈的摩擦因数。
有限元模型如图5所示, 该模型凸模的单元数为3216个, 凹模的单元数为3881个, 压边圈单元数为665个, 板料采用沿板厚方向有7个积分点的Belytschko-Tsay壳单元, 共分为7632个单元。应用Barlat-Lian屈服准则来描述板料的各向异性。弹性模量E=207GPa, 泊松比ν=0.3, 初始板厚t0=1.5mm, 厚向各向异性系数
4.2结果及其讨论
优化参数设定如下:设定种群大小为50, 交叉概率为0.9, 终止代数为200, β=0.5。拉丁方采样次数为50次, Kriging近似模型确定部分采用常数项。
由图6可以看出, 所得的Pareto最优解分布均匀, 厚度不均匀评价函数fd1在5.48～7.64范围内, 起皱评价函数fd2在1.47～1.87之间。
表1列出了从Pareto最优解集中均匀选择的9个解。工程人员可根据经验或对成形质量的不同要求从该Pareto最优解集中选择不同的解作为最优解。
表2为选择表1中第5个Pareto解集点近似解与真实解的对比情况, 从中可以看出取得的解精度较高。图7所示为采用其中的第5个解时冲压件的成形极限图。图8为产品成形后的形状。
5 结论
本文提出了薄板冲压成形区间不确定多目标优化方法。该方法以减少起皱、厚度不均等成形缺陷为目标, 将摩擦因数作为不确定参数, 采用区间描述, 并通过区间序关系来处理目标函数。用Kriging近似模型代替有限元模型以提高优化效率, 采用混合的多目标遗传算法作为优化求解器获得Pareto解集, 因而可以使设计结果在多目标之间任意权衡, 保证了覆盖件的整体成形性最优。最后给出了某零件冲压成形模型优化实例, 优化结果表明了该方法不仅能快速且有效地解决优化控制问题, 同时还能为工程人员提供多种方案, 以满足不同的产品要求。
摘要：提出一种薄板冲压成形不确定多目标优化方法, 该方法将冲压成形中的摩擦因数作为不确定参数, 采用区间描述, 以厚度不均最小和起皱最小为目标函数, 以压边力和拉深筋阻力作为设计变量。基于非线性区间数值规划将不确定多目标优化问题转换为确定的多目标优化问题。采用Kriging近似模型提高优化效率, 基于多目标遗传算法和序列二次规划算法的混合优化算法取得Pareto解集。应用算例说明了该算法的有效性。
基于区间不确定性的约束潮流 第5篇
潮流计算[1,2]作为电力系统中最基本和最重要的计算之一,主要用于研究电网运行和规划中提出的各种问题。在传统潮流计算中,输入数据都是确定性的,因而得到的解也是确定的或者只能反映某一特殊状态。但是在实际中电力系统面临着大量的随机性和不确定性,例如负荷的波动[3]、太阳能和风能[4]接入带来的间歇性问题、测量的误差甚至潮流计算中元件模型本身的误差等,这些因素都使得原有的确定性潮流计算方式变得不可行,为此很多学者在这方面倾注了大量努力,提出了各自的方法。
目前,用于不确定性潮流计算的方法主要分为3类,分别是基于概率分布的随机潮流法、采样模拟法及自验证法。随机潮流法[5,6]一般是假定输入参数按照某种概率密度函数分布得到其均值和方差,再以此产生解的分布曲线。采样模拟法[7]中应用较广的方法是蒙特卡洛模拟法(MCS),该方法本质上是潮流方程的重复求解过程,因而十分简单。为准确反映解的分布情况,得到各状态变量的极值,需要足够多的样本点,这导致该方法计算效率不高[5],尤其在系统较大的情况下。此外,以上两种方法都需要作概率分布(这本身是困难和不准确的)并忽视数据的统计相关性,因而应用范围可能受到一定限制。自验证法[8]的突出优点就是不用考虑分布情况,在计算过程中能够自动计及内部误差和外部误差的影响,在数值计算领域表现出卓越的性能,这其中最具代表性的方法是区间算法[9,10]和仿射算法[11]。传统的区间算法直接对区间进行运算[3,4],得到的解往往过于保守,且为了保 证收敛性 需要作预 先条件化[12,13,14]处理,这些缺点都影响了该方法的推广使用。仿射算法则表现出相反的性质,该算法将系统中的变量都表示为噪声源或者不确定性源的线性组合,即仿射形式,因而将其引入电力系统非线性潮流方程中会出现“低估”[15,16,17]现象。为了克服区间运算过于保守的缺点,文献[18]分析了复平面上区间数的3种不同表达方式,并认为根据电力系统中负荷的不同基本组成,来选择适当的复区间表示方式,可以降低区间潮流的保守性;文献[19]在区间的乘除法中引入了仿射运算,有效地缩小了解的范围。
本文提出一种新的基于区间不确定性的约束潮流分析方法。不同于文献[3-4]直接用区间迭代的方法求解潮流非线性方程组,该方法将不确定性潮流问题转化成一个非线性规划问题,再结合区间极值的选取理论,将该非线性规划问题分解为两个同样类型的确定性的子问题来求解,分别得到潮流解的上界和下界,从而给出系统的运行范围。
1 区间算法简介
区间算法最早于1966年由美国数学家Ramon E.Moore在《Interval Analysis》[9]一书中提出。该算法产生的背景是为了解决当时科学计算领域中的误差问题,其目的是提供由误差和不确定性造成的计算结果的上下界。随后,该算法得到学者们的不断完善和发展,其中最重要的改进就是由俄罗斯数学家V.I.Levin提出的区 间不确定 性优化理论[20,21,22]。
首先,V.I.Levin在区间计 算的基本 规则之上,将问题中不确定的变量或参数表示成如下闭区间的形式:
式中:为区间变量;下标low和up分别表示相应量的下界和上界。
特别地,当xlow=xup时,称为退化区间变量。
然后,将其推广到区间函数领域,即对于一个函数f(x),如果f(x)的参数pk(k=1,2,…,l)是不确定的,并可以表示成区间的形式p~k=[pk1,pk2],那么函数f(x)也可表示为:
其次,引入区间的可比较性概念,将两个区间的比较和大小选取简化为区间边界数值的比较问题。
理论1:对两个区 间如果可比较,并且,那么该式成立的充分必要条件是区间的边界满足a1≥b1,a2≥b2,反之亦然。
该理论的几何意义是两个区间如果可比较,那么其中有一个区间必在另一个区间的偏移位置,并且不能出现包含关系。区间可比较性示意图如图1所示,其中图1(a)是可比较的,图1(b)是不可比较的。
由理论1,不难得出推论1:在一个含有a~(1)=[a1(1),a2(1)],a~(2)=[a1(2),a2(2)],…的区间集中,第1个区间是最大区间的充分必要条件是区间集满足[22]a1(1)≥a1(2),a1(1)≥a1(3),…且a2(1)≥a2(2),a1(1)≥a2(3),…。
对于一个区间不确定非线性规划问题:
式中:f(x)∈R;x∈Rn×1;g~i(x)∈R包含等式和不等式约束。
按照上述原则可以转化为:
式(4)中不等式约束右端的“0”可以看成是一个点区间,即[0,0],结合理论1及图1,可知b1=b2=0,a1≥0,a2≥0,考虑到a1<a2,可得a1≥0,因此上界和下界两个约束条件退化为一个。
进一步地,基于区间可比较性原则和极值选取推论1,将上述不确定性问题分解成两个同类型的确定性的子问题,即上界子问题和下界子问题:
得到上述两个子问题之后,形成相应的拉格朗日函数:
式中:λ 和γ 为拉格朗日乘子。
式中:λi和γi分别为λ 和γ 的元素。
再根据区间KT(Kuhn-Tucker)条件(理论2)并借助常规的非 线性规划 方法得出 最优解x*和,那么式(3)的解区间为
理论2:对于非线性区间凸规划问题(式(3)),如果x*=[x1*,x2*,…,xn*]≥0是其中的一个最优解,当且仅当存在 一个点 (λ*,γ*),使得 (x*,λ*,γ*)是区间拉格朗日函数(式(7))的鞍点。
2 区间不确定性约束优化潮流算法实现
2.1 混合互补问题[13,14]潮流模型
一个具有n个节点的电力系统,其潮流方程为:
式中:i=1,2,…,n;Pi和Qi分别为节点i的注入有功和无功功率;Vi,δi,Vj,δj分别为节点i和j的电压幅值和相角;Yij和θij分别为节点导纳矩阵第i行j列元素的幅值和角度。
为充分利用上述区间优化理论,需将式(10)转化为一个非线性规划问题。文献[14]提出了一个混合互补问题潮流模型,具体见附录A。需要说明的是,该模型考虑了PV节点无功越限时PV节点转PQ节点的问题。
2.2 本文提出的模型
本文在文献[14]的基础上,提出两种模型:一种是含有松弛变量εP和εQ的区间约束潮流模型,另一种是将潮流方程直接作为等式约束,如式(11)至式(17)所示的无目标的约束潮流模型。通过大量的实例验证,第2种模型潮流方程等式约束(式(12)和式(13))在经过几次迭代后不平衡量就趋于0,并且得到的结果与第1种模型得到的结果一致,因此该模型是合理的也是可行的。
式中:F为目标函数;ΔPi和 ΔQi分别为节点i的注入有功功率和无功功率增量;δ 为节点电压相角向量;PS为平衡节点有功出力向量;VD为除PV节点外的节点电压幅值向量;VG为PV节点电压幅值向量;QG为PV节点无功功率向量;“⊥”表示互补条件;SN为所有节点的集合;SR为无功源节点集合;QGi和QGi分别为PV节点无功 功率的上、下限值;VGi0为PV节点的初始设定电压;VGi为PV节点电压幅值变量;VGai和VGbi为跟踪PV节点电压幅值的辅助变量;C为常数。
式(11)至式(17)是潮流方程的非线性规划形式,并未考虑平衡节点的有功功率和无功功率约束、电压上下界约束以及线路潮流约束,为此在约束条件中引入式(18)和式(19),形成约束潮流模型。
式中:分别为线路有功功率及其上、下限值分别为Vi的上、下限值。
应用区间极 值理论,将混合互 补问题模 型(式(11)至式(19))分解得到如下两个同类型的混合互补问题的子约束优化问题:
式中:ε为误差限。
当目标函数取inf(·)时表示下界子问题,当目标函数取sup(·)时表示上界子问题。
根据以上分析,可将算法流程总结如下。
1)将式(20)至式(29)中所有参数,例如注入功率分别取上 限和下限,分解成式 (5)和式(6)中的上界子问题和下界子问题。
2)利用常规解非线性规划算法求解这两个子问题,得到最优解x*和x*。
3)如果和满足非空,那么即为原问题的最优解。
3 算例测试及分析
为了验证本文所提出模型的正确性,以IEEE14,57,118节点系统和实际华南703节点系统数据作为仿真算例,并与计算 区间潮流 的仿射算 法和MCS进行对比。3种方法都是利用现代内点法将潮流方程转化为非线性规划模型(混合互补问题)来求解,并用MATLAB进行矢量化编程以提高计算速度。考虑到风电、光伏发电以及负荷的变化范围可能比较大,为满足一般性,各测试系统注入有功和无功功率的变化范围是±20%。MCS中假定输入数据是均匀分布的,并产生5 000个样本点,分别进行潮流计算,从得到的解中选取最大和最小值作为解的上下界。 测试计算 机是IBM兼容机,内存4.0GB,CPU为Intel Core i5,主频3.2GHz;软件环境是MATLAB 2013a,计算精度为1.0×10-6。经过测试,3种计算方 法均收敛,计算结果 分析如下。
3.1 探讨 MCS计算精度与迭代次数之间的关系
3种计算方法中,以MCS得到的解为标准进行比较,因此需要保证MCS计算结果与准确值足够接近。如前所述,MCS每迭代一次就会得到所求变量的上下界,例如电压幅值和角度的上下界。选取电压幅值为研究对象,定义计算精度表达式如下:
式(30)是MCS第k次迭代精度λk的表达式,其中Vupi-Vlowi为节点i处电压幅值的区间长度,Vu*pi-Vl*owi为该节点区间的精确长度。
图2是MCS计算IEEE 118节点系统 迭代100 000次的精度随迭代次数的变化曲线,其中以最后一 次的结果 作为准确 解,计算总时 间为7 734.73s。可以看出,计算精度与 迭代次数 之间满足对数关系,通过函数拟合,得到其表达式为y=4.469 2ln(x)+68.41%,相关系数R2=0.973 8,接近于1,说明拟合程度较高。随着迭代次数的增加,计算精度逐渐提高。当迭代次数达到5 000次时,计算精度为86.94%。由于每个节点电压幅值的区间长度一般不超过0.1,而且系统越小其区间长度也较小,相应误差也随之减小。因此,权衡计算时间和精度在后续计算中选取5 000次作为MCS的迭代次数。
3.2 算例分析
区间算法、仿射算法、MCS这3种算法的性能比较如表1所示。可知,3种算法中,本文所提出的区间算法用时最少且随着系统规模变大,其计算速度快的优势更加明显。当系统规模达到703节点时,仿射算法和MCS需要的计算时间分别是它的660倍和2 800倍,这主要是因为对于任何一个系统,基于区间不确定性的约束优化潮流方法都只要求解两个子问题,具有多项式的计算时间特性,而仿射算法在获取噪声幅值[15]时需要对各节点进行两次灵敏度计算,所以其迭代次数随着系统规模增大而不断增多;MCS为了获得准确的解的范围需要计算5 000次潮流方程,再乘以相应的迭代次数以致总的迭代次数最多。
3种算法计算得出的IEEE 14节点系统部分节点电压幅值和角度的区间分布 见附录B表B1和表B2,相应的节点电压幅值和角度的区间范围对比如图3、图4所示。从图中可以看出,区间算法和仿射算法得到的结果与MCS十分相近但略微保守,其原因是两种算法都是以系统最极端的运行方式来考虑的,而这对于 运行人员 是有好处 的。此外在PV节点处,节点1,2,6,8电压上下限均维持在给定值左右,PV节点3在求解下界子问题时因无功功率越限,出现PV节点转PQ节点情况,致使该节点电压低于设定值。
图5是区间算法在以下3种运行方式下得出的IEEE 57节点系统各节点的电压幅值上下界:1运行方式1,系统注入有功和无功功率在 ±20% 范围内变化;2运行方式2,系统阻抗在±10%范围内变化;3运行方式3,系统注入 有功和无 功功率在±20%、阻抗在 ±10% 范围内同 时变化。 图中,V1up,V1low,V2up,V2low,V3up,V3low分别为运行方式1,2,3下的电压幅值上下界。可知,V1up与V3up的曲线很接近,V2low与V3low几乎重合,说明功率对电压幅值的上界影响较大,阻抗则主要影响电压幅值的下界。类似地,电压相角也有相同的结论,这里不再赘述。
图6是IEEE 57节点系统中PV节点无功功率曲线,QGmax-limit和QGmin-limit分别为给出的无功功率上、下限值。从图中可以看出,在节点9处无功功率上下限很接近,由于该模型中引入了无功功率约束,因此所有PV节点包括节点9的无功功率均没有越界。
3.3 对计算结果的思考
本文在求解过程中假定系统所有节点注入功率的变化范围是±20%,并没有考虑风电场之间或功率之间的相关性,因此得到的解偏于保守。当系统规模较大时,例如30 000节点以上系统,所有参数取上限和下限的策略可能会造成平衡节点或者PV节点的功率越限,影响算法的收敛性。为解决该问题,在实际应用中可以尝试通过统计的办法或者研究短期目标或采取空间变换的方式消除区间相关性使获得的参数区间更为精确,从而提高算法的收敛性和结果的准确性。
4 结语
本文提出一种新的基于区间不确定性的约束潮流模型。该模型将电力系统中参数的不确定性表示成区间的形式,并考虑无功功率和电压越限的情况,引入互补条件,建立基于潮流方程的非线性规划模型。为求解该模型,应用区间的极值理论,将该不确定性的优化问题转化为两个同类型的确定性子优化问题来求解,分别得到潮流解的上界和下界。由测试结果可知,该算法具有计算速度快、收敛性好的优点,相对于其他算法,能充分考虑系统的极端运行情况,对风电、光伏发电等间歇性能源接入后的不确定性潮流计算具有一定应用价值,适合于电力系统的调度运行。
区间不确定 第6篇
关键词：QFD,客户需求,区间二元语义,IVTWA算子,可能度
随着市场竞争的加剧,企业必须时刻关注客户需求,开发设计符合客户需求的产品。20世纪70年代,水野滋和赤尾洋二教授提出了客户需求驱动的产品开发设计方法———质量功能展开 ( Quality Function Deployment,QFD) 。其基本原理是用“质量屋( House of Quality,HOQ) ”形式,量化分析客户需求与产品特性之间的关系度,经过数据分析处理,找出与客户需求关联最大的产品特性,进行产品优化,开发出满足客户需求的产品[1]。
在QFD中,最关键、最核心的阶段就是确定客户需求。不同的客户会对同样的产品提出许多需求和期望,但在产品的设计及制造过程中不可能面面俱到,应该是抓住主要客户需求,同时兼顾次要需求,这就需要确定客户需求的权重。已有很多学者运用不同的研究方法来确定客户需求权重,Lai等人[2]发展了一种群体决策的技术来确定客户需求权重。车阿大等人[3]使用人工神经网络 ( ANN) 方法来确定客户需求权重。Chan等人[4]使用熵值权重法( Entropy method) 计算客户需求权重。孔造杰等[5]运用权重概率综合系数法确定QFD中客户需求权重。王晓暾等[6]在融合层次分析法与粗糙集理论的基础上,提出了一种确定QFD中客户需求重要度的粗糙层次分析法。宋欣等[7]建立并求解以可用资源决策值与目标值的偏差最小为优化目标的整数规划模型,从而实现由客户需求到技术特性的映射。王全刚等[8]使用松弛系数法保证了最优解集的寻求与重点需求的优先实现。龚艳萍等[9]将模糊一致矩阵引入层次分析中来确定QFD中客户需求权重。
一般情况下,客户是根据个人的经验、知识或能力来描述自己的需求,有一部分客户能够对客户需求作出明确评价,而还有相当比例的客户只能给出较模糊的评价。因此,模糊集理论与QFD相结合的研究方法逐渐被更多的研究者所关注,如Khoo和Ho[10],Chen和Ngai[11]。
本研究的目的是在上述研究基础上,运用模糊集理论中的区间二元语义方法来确定QFD中客户需求权重。
1 预备知识
在确定权重的问题中,评价值往往并不能明确表示,而是更适合用模糊数表示。很多文献都用三角模糊数和语言变量来表示,但这些方法的运用会降低信息准确性。为此,Herrera和Martinez[12]提出运用基于符号平移的二元语义方法将偏好信息转化为二元语义信息,并进行计算分析。Wang[13]把不同决策者所提供的不同形式的混合决策数据统一为二元语义信息,并以此为基础对敏捷制造方案进行评价。Wei[14]将二元语义信息集结算子应用于模糊多属性群决策问题。Chang和Wen[15]基于二元语义和有序加权平均算子对导致产品设计失败的因素进行重要度分析。林健等[16]提出了区间二元语义模型,帮助决策者更好的表达偏好信息。但上述区间二元语义模型主要针对单一语言评价集的转换,并没有解决不同语言评价集的转换方法。鉴于此,本文采用一种标准化的区间二元语义模型,并利用区间二元语义集结算子,集结出不同语言评价集的二元组。
二元语义是用二元组 ( si,α) 来表示某评价对象的评价语义信息。其中,si是给定语言评价集S ={ s0,s1,…,sg) 的语言短语,该评价集的短语个数为奇数,即g为偶数; α∈ [- 0. 5,0. 5) ,称为符号平移,表示计算得到的语言信息 ( si,α) 与初始语言评价集S中最贴近语言短语之间的偏差。
定义1[12]: 令语言评价集为二元语义,实数β∈[0,g],是集结运算后的结果,则下列函数Δ,可以表示与β相应的二元语义信息。
其中,round( ·) 表示四舍五入取整算子,i∈[0,g]
相反,存在一个逆函数Δ- 1,可以转换成相应的β∈[0,g]
定义2[17]: 令语言评价集S = { s0,s1,…,sg} ,( si,α) 为二元语义,实数β∈[0,1],可以通过下列函数Δ,表示为相应的二元语义信息。
相反,二元语义可以通过以下逆函数Δ- 1转换成相应的β。
相区别的是,定义1中的β∈[0,g],而此定义2中的β取值范围是[0,1],可以认为β取值是标准化的,这就能够比较出自不同语言评价集的二元语义。
定义3: 设rmn= [si,sj]mn,( i = 1,2,…,m; j = 1,2,…,n ) 为互补判断矩阵,则rnm= [Neg ( sj) ,Neg( si) ]nm,Neg为逆运算,Neg( sj) = si,其中i = g - j。
定义4[18]: 令语言评价集S = { s0,s1,…,sg} ,[( si,α1) ,( sj,α2) ]为区间二元语义,si和sj均是语言评价集S的语言短语,其中ij,α1和α2为符号平移。区间数[β1,β2]( β1,β2∈[0,1],β1β2) ,可以通过下列函数Δ,表示为相应的区间二元语义。
反之,区间二元语义[( si,α1) ,( sj,α2) ]可以通过以下逆函数Δ- 1转换成相应的区间数。
定义6: 设为评价矩阵,( i = 1,2,…,m; j = 1,2,…,n) ,则某评价对象i的评价综合权重区间为:
定义7[19]: 评价对象i不劣于评价对象k可以表示为θi≥θk,( i,k = 1,2,…,m) ,将定义5中的评价综合值进行两两比较,得到比较数:
得到下列可能度矩阵:
可能度矩阵的排序向量为:
2 算法
根据前述的基础知识和定义,本文给出一种区间二元语义方法用于确定客户需求权重,具体过程如下:
步骤1: 确定客户需求指标。为了保证权重评价的一致性,需要控制评价指标的数目,对于复杂程度高的产品,可以将客户需求分成不同层次展开。
步骤2: 设语言评价集S = { s0,s1,…,sg} 。评价者Ak( k = 1,2,…,l) ,对n个客户需求中的需求i和需求j进行评价,得到测度值[ukij,vkij],( ukij,vkij∈S) ,( i,j = 1,2,…,n) ,从而获得语言互补判断矩阵Rk=( [ukij,vkij])n×n,评价者的权重向量为wk= ( w1,w2,…,wl) ,∑lk = 1wk= 1。
步骤3: 根据定义1,将语言互补判断矩阵Rk转换成区间二元语义判断矩阵R'k= ( [( ukij,0) ,( vkij,0) ])n×n。
步骤4: 根据定义4,通过逆函数Δ- 1将区间二元语义[( ukij,0) ,( vkij,0) ]转换成相应的区间数[ckij,dkij]。
步骤5: 利用IVTWA算子对转换后的测度区间数[ckij,dkij]进行集结,得到区间二元语义综合评价矩阵R珟 =( [cij,dij])n×n=( [∑wk·ckij,∑wk·dkij])n×n。
步骤6: 利用公式( 11) 计算客户需求i的区间二元语义群体重要度评价值θi的权重区间[γi,γ'i]。
步骤7: 运用定义7的可能度排序方法,求得可能度矩阵P的排序向量φi,按其大小进行排序,得出不同客户需求的权重。
3 实例研究
为了验证以上算法的有效性,本文以汽车为例加以研究。根据区间二元语义方法逐步展开。
步骤1: 首先选取一组汽车客户需求指标,后与郑州某汽车企业的多位市场管理人员及部分汽车客户最终确定了五个指标作为客户需求指标: CR1操控性、CR2安全性、CR3舒适性、CR4动力性和CR5经济性。
步骤2: 在本研究中,有3位专家参与客户需求重要度评价,专家权重wk= ( 0. 3,0. 4,0. 3 ) 。3位专家在评价时,分别用了3个语言评价集: 9元素语言评价集X = { x0,x1,x2,x3,x4,x5,x6,x7,x8} ,7元素语言评价集Y = { y0,y1,y2,y3,y4,y5,y6} 和5元素语言评价集Z = { z0,z1,z2,z3,z4} 。根据专家评判结果构建语言互补判断矩阵Rk。
步骤3: 根据定义1,将语言互补判断矩阵Rk转换成区间二元语义判断矩阵R'k。
步骤4: 根据定义3,通过逆函数Δ- 1将区间二元语义判断矩阵R'k转换成相应的区间数矩阵。
步骤5: 利用IVTWA算子对转换后的测度区间数矩阵进行集结,得到区间二元语义综合评价矩阵
步骤6: 利用公式 ( 11) 计算客户需求i的区间二元语义群体重要度评价值θi的权重区间 [γi,γ'i]。
步骤7: 运用定义7的可能度排序方法,将上面的重要度评价值θi进行两两比较,得到下列可能度矩阵:
求可能度矩阵P的排序向量φ,可得:
按大小进行排序,可以得到不同客户需求的重要度排序:
即汽车客户最重要的客户需求是动力性,然后分别是经济性、安全性和舒适性,对操控性考虑较少。
4 结束语
区间不确定 第7篇
关键词：不确定性,区间分析,风力发电,分布式发电
0 引言
随着中国能源结构的调整,风力发电日益得到重视,并制定了有关政策支持风力发电的快速发展,其发电成本已大幅下降,已成为可再生能源中发展最快、最具有发展前景的一种发电方式。但是受风力资源随机变化的制约,风力发电不能提供连续稳定的电力,对于电力系统而言,风电场始终是一种不可靠的电源。风能具有随机性、间歇性和难以调度的缺点,随着风力发电机组单机容量和风电场规模的增大,迫切需要研究大型风电场并网后对电力系统的影响。含风力发电机组的潮流计算常用于评估风力发电机组并网后对电网稳态运行的影响,同时也是分析风电场对电网稳定性影响等其他理论研究工作的基础。
含风电场的电力系统潮流计算的关键是风电场模型的建立[1,2],即如何根据风力发电机组类型建立合适的模型,对风力发电机出力特性进行准确描述。通常在研究稳态潮流计算问题时,将风力发电机组视为PQ节点[3],根据给定风速和功率因数,计算风力发电机组的有功功率和无功功率;现有文献在建立异步风力发电机模型时,考虑了风电场无功功率受节点电压影响等因素,使模型得以改善,如文献[4]提出风电场RX模型,文献[5]采用PZ模型,文献[6,7]采用PQ和PV模型,这些模型能充分考虑风力发电机的输出功率特性,比其他模型更完善,但在潮流迭代过程中需增加异步风力发电机的滑差迭代计算,增加了迭代次数,且多属于确定性潮流算法,没有考虑不确定性因素。
近年来,不确定性分析已在电力系统许多领域获得应用,例如潮流计算、可靠性计算、网络规划、稳定性分析等。其中,处理不确定性问题一直是电力系统潮流计算的难点[8]。目前能够考虑不确定性的潮流算法主要有:①随机潮流法[9,10]。利用概率方式处理随机信息。②模糊潮流法[11]。利用模糊数学处理外延不确定的信息。③区间潮流法[12,13,14]。利用区间数学和区间分析方法处理外延明确、内涵不明确的信息,即只知其大致范围而不知其确切值的信息。
考虑到风速变化的随机性、间歇性等不确定性特征,本文将区间方法应用于风速不确定性和风力发电机出力不确定性建模,试图求解风力发电机出力不确定情况下的潮流计算问题。
1 风速和风力发电机出力变化的不确定性模型
1.1 风速变化曲线
风力发电机检测到的1 d的风速变化非常频繁,为了便于研究,采用某段时间的平均风速近似代替当时的瞬时风速。取计算平均风速的时间间隔为30 min,可得到1 d的风速近似曲线,从而近似描述风速的变化趋势,并据此预测风力发电机出力。
1.2 风速概率分布模型
考虑到风速变化的不确定性,通常采用概率分布模型对其加以描述。其中,两参数Weibull分布被认为是一种形式较为简单并且能较好拟合实际风速分布的概率分布,其在国内外风能研究中得到了广泛应用。两参数Weibull分布的分布函数如下:
式中:k为形状系数,一般取值范围为1.8～2.3;c为尺度系数,反映所描述地区的平均风速。
根据某风电场的实测风速数据,计算风速的概率分布。以1 m/s为间隔将风速划分成若干个风速段,可得到风力发电机测量的风速概率分布如图1所示。图1验证了风速概率分布模型采用两参数Weibull分布的合理性,但风速预测仍十分困难。
1.3 风力发电机风速功率曲线
风力发电机是将风能转化为电能的设备,其出力受风速大小、风力机叶片设计及叶片受风面积等因素的影响。风力机产生的机械功率为:
式中:ρ为空气密度,单位为km/m3;V为风速,单位为m/s;A为风力机的扫掠面积,单位为m2;CP为风力机的风能利用系数,是叶尖速率比和叶片桨距角的函数,它表明风力机从风中获得的有用风能的比例,可由试验数据获得风力机CP特性曲线。
由式(2)可以看出,风力发电机的理论出力与受风面积成正比,与风速的3次方成正比。
在风速由0逐渐增大的过程中,当风速大于切入风速Vin时,机组开始发电,其出力随风速增大而增加,达到额定风速Vr时机组出力也达到额定值,在其后风速增大的过程中,机组出力基本维持额定值不变,当风速过大、超过切除风速Vout时,机组保护停机。
1.4 风力发电机出力不确定性的区间描述
通常采用30 min平均风速曲线近似描述1 d中风速的变化趋势,并据此进行风力发电机出力预测。显然,这样的近似处理没有考虑该时段风速变化不确定性的影响,由于风力发电机出力通常为风速的3次幂函数,造成风力发电机出力预测结果与实际出力间存在较大偏差。这是目前风力发电机出力预测研究遇到的共同难题。
为此引入区间数来描述风速变化的不确定性,进而描述风力发电机出力变化的不确定性。为了突出风速不确定性对风力发电机出力和电网运行的较为持续有效的影响,本文没有取风速瞬时值的最大最小值而是取均值的上下确界来构造风速变化区间。具体步骤如下:
1)利用历史数据和当前气象信息等,预测某时间段(例如未来2 h)每隔1 min的风速数据,得到该时间段的风速变化曲线;
2)以30 min为时间间隔计算平均风速Vi(当时间段取为未来2 h时,i=1,2,3,4);
3)统计每30 min时间间隔内大于平均风速Vi的每分钟风速数据和小于平均风速Vi的每分钟风速数据,分别得到其平均值
4)由风力发电机的风速功率函数关系Pi=f(Vi),可以得到风机出力在各个30 min时间间隔内的变化区间
2 风速变化不确定性对风电场潮流的影响
在得到用以描述风机出力不确定性的各台风机在各个30 min时间间隔内的出力变化区间后,就可以执行区间潮流算法[12,13]。本文通过实际算例详细分析风速变化不确定性对风电场潮流的影响。
青岛某风电场的电气接线如图2所示。下面即以该实际风电场的运行数据为基础进行算例分析。风电场采用了N29型和N62型2种型号的异步风力发电机。其中,除了接入节点7和节点8的风力发电机为N29型外,接入其他节点的都为N62型。N29型风力发电机的额定容量为1 300 kW,额定电压为690 V,功率因数为0.99;N62型风力发电机的额定容量为250 kW,额定电压为415 V,功率因数为0.966。
图3为2008年7月某一天测量得到的实际风速数据(以1 min的采样平均风速作为1个采样点)。
利用1.4节的风力发电机出力不确定性的区间描述方法,得到以30 min为时间间隔的风速平均值、小于风速平均值的风速数据的平均值、大于风速平均值的风速数据的平均值,用它们近似表示该时间段内的风速平均值和风速平均值的下确界及上确界,如图4所示,可以看到,在每个30 min时间段内都包含3条平行于时间轴的直线段。
图5给出了根据实测得到的风电场中某型风力发电机的风速出力数据。
如果将风力发电机出力视为风速的3次幂函数,则对图5所示关系曲线进行拟合,得到风速出力的函数关系为P=f(V)=0.764 6 V3。从而结合图4可得到2008年7月某一天此风力发电机的有功功率区间变化曲线。
由于将风力发电机出力视为风速的3次幂函数,风力发电机出力相对于风速体现出了不确定性的放大效应。风速的微小变化会导致风力发电机出力的较大变动。
当风力发电机组采用异步发电机时,机端通常装有分组投切的并联电容器,可随并网运行的风力发电机组输出功率的大小变化对补偿电容器的投切进行控制。在控制系统中往往设有几组容量不同的补偿电容器,计算机根据输出无功功率的变化,控制补偿电容器分段投入或切除。虽然考虑异步风力发电机动态调整并联电容器组接入组数的分析算法[6]更加符合实际异步风力发电机的运行情况,但为了突出主题,使计算结果便于比较,以下都假定风力发电机以0.99的恒定功率因数运行。
为了对结果进行直观比较,取某个30 min时间段研究,假定由风速预测得知在该时间段内某风力发电机出力为其额定值的一半,得到一般预测下各母线电压幅值如图6实线所示。若假定在该时间段内风速预测存在±2%的误差,则由风速出力的函数关系,风力发电机出力预测的误差将达到[-6%,6%],采用区间潮流计算可以得到风力发电机出力在其预测值[94%,106%]范围内波动时的母线电压幅值变化区间,如图6所示。同理,可得到风速预测误差为±5%时,风力发电机出力在其预测值[86%,116%]范围内波动时的母线电压幅值变化区间,也如图6所示。
由图6可见,当风力发电机出力预测存在误差时,利用预测数据计算得到的风电场发输电系统的潮流也存在误差。当预测误差不大时,风电场发输电系统母线电压的变化区间不大;如果预测的误差较大,则利用预测数据计算得到的风电场发输电系统的潮流误差也较大,体现为图6所示母线电压幅值较大的变动区间。其中,母线27的电压幅值变动幅度最大,在区间[1.008 090,1.017 804]内变化。根据文献[15],目前,风电场风速预测的误差在25%～40%左右,由此对应的风力发电机出力预测误差会很大,在区间[42%,195%]或[22%,274%]内变化,根据区间潮流计算得到的电压幅值变动幅度也将较大,所以定量分析风速不确定性对电压水平的影响很有必要。
当1 d内的风速按图3所示曲线变化时,利用本文方法可得到如图4所示风速变化区间描述,进而依据风速出力关系,得到风力发电机出力的变化区间。注意在此情形下,大部分时间风力发电机出力尚达不到其额定值的一半。每隔30 min计算一次区间潮流,可得到1 d内各母线的电压变化情况,获得各母线在任意30 min内电压变化区间的上确界和下确界。图7给出了母线18在1 d内各时段的电压变动区间。其中,在每个30 min时间段内都包含3条平行与时间轴的直线段,中间的线段表示取风速均值时对应的母线18的电压幅值,最下面的线段表示风速均值的下确界对应的母线18的电压幅值的下确界,最上面的线段表示风速均值的上确界对应的母线18的电压幅值的上确界。
从图7可以看出,在风速变化的一定范围内,风速越大,风力发电机出力越大,系统母线电压水平越高。当风速变动幅度较大(或称变动区间较大)时,会导致风力发电机出力和母线电压的剧烈变化,体现在区间潮流结果中就是存在较大的母线电压变动区间。本文算法为风速变动对潮流结果(母线电压)的影响提供了定量的计算结果。
3 结语
由于风速的随机波动性,风能的预测不会非常精确并有一定误差。为此建立了风速不确定性和风力发电机出力不确定性的区间模型,提出了考虑风力发电机出力不确定性的区间潮流算法。
由于区间方法具有严密的理论基础,能够确保包含了在给定参数变动范围内的系统方程的所有解,而不会有遗漏,所以该方法可以用于定量分析风力发电机出力不确定性对风电场稳态运行的影响。
区间不确定 第8篇
随着逆向工程的不断发展,如何理解产品的设计意图和实物的原始设计信息已成为研究的重点。同时,对截面特征处理技术的研究也主要集中在截面数据的高精度重构上。其中,分段点的提取又是截面数据高精度重构的关键,同时也是能否更好反映零件最初设计意图的重要因素。
近年来,在实际的截面曲线逆向建模过程中,对截面数据进行分段的常用方法为:根据截面数据的离散曲率信息与工程师的经验,提取截面数据的分段点,从而对单一特征的数据段进行重构。Tai和Huang[1,2]提出了基于截面数据的离散曲率信息来进行截面数据分段,并对每段数据进行带边界约束的B样条曲线拟合;LV[3]在将物体结构分为规则和不规则的基础上,提出了改进的正负因子曲率分析方法和多边形逼近方法,对截面数据进行大致分段以此进行截面数据重构;徐进[4]对数据点进行均匀弧长重采样处理后,利用相邻点之间的离散曲率符号变化情况及曲率值和曲率差分,来自动识别特征点;王英惠[5]提出一种近似曲率法来识别平面轮廓的特征点,其方法解决了直线和圆弧的截面数据重构;章海波[6]提出了改进的优化重构方法,首先通过曲率分析人为的确定理想分段点所在区域,之后在所确定区间内进行高精度重构。该改进重构方法大大提高了重构精度,但人机交互地确定分段点所在区域,不仅会导致所确定的区域偏大,而且区域大小也会因工程师的经验不同而不同。
针对以上不足,本文针对G1连续的截面曲线,提出了一种新的基于数理统计原理的分段点区间确定方法,然后利用黄金分割法在已确定的区间内搜寻截面数据的最优分段点。该方法实现的基本思想为:首先,利用均值平滑方法对数据进行预处理;其次,基于3σ原则确定分段点区间的右端点,然后再根据相关系数方法确定分段点区间的左端点;最后在已确定区间内,利用黄金分割法搜寻最优分段点。该方法的特色在于摒弃了区间确定中的人机交互行为,同时利用黄金分割法搜寻最优分段点,避免了仅从现有数据点中寻找分段点,从而提高了截面数据的重构精度。
1 截面数据预处理
目前,分段点提取比较常用的是Tai和Huang[1,2]的曲率法,但该方法对噪声较大的截面数据处理结果不甚理想。鉴于此种情况,首先应对包含噪声点的截面数据进行平滑处理,降低噪声点对分段点判断的影响。
1.1 截面数据的均值平滑处理
本文所采用的均值平滑处理方法,是目前常用的一种方法,算法简单平滑效果明显。均值平滑的主要目的是:使截面数据直线端所有点,尽可能地靠近利用最小二乘法拟合的直线,使特征区分更加明显,从而有利于分段点区间的判定。均值平滑公式为:yi=(yi*-2+yi*-1+y*)/3,i≧3利用该公式进行处理的目的有:(1)固定每个点的X坐标值,只对其Y坐标值进行平滑,避免因同时平滑而使曲线左右移动,减小对分段点区间判断的影响;(2)将平滑后的Y值赋给三个点中最后一个,从而可以保证所有直线上的数据点不会变为样条上的数据点。
现取一组直线与样条含噪声的截面数据点列P*={P0*,P1*,…,Pn*},其中P*=(xi*,yi*)对其进行均值平滑处理后,新的数据为P={P0,P1,…,Pn},其中P=(xi,yi)。数据平滑后点列变化如图1。
由图1不难看出,平滑后截面数据的数据点列整体发生偏移,不利于分段点所在区间的判断。
1.2 原因分析
假设截面数据点的理论坐标值为Qi*=(xi*,yi*),通过测量得到的数据点实际坐标值为Qi=(xi,yi),其中yi=yi*±errori。从实际测量数据中取三点,分别为Q1、Q2、Q3。利用均值平滑公式进行平滑可得:y3=(y1+y2+y3)/3=(y1*+y2*+y3*)=(y1*±error1+y2*±error2+y3*±error3)/3,公式中每一点的理论坐标值y1*,y2*,y3*是不同的,同时每一点的误差值error1,error2,error3也是不同的。但如果每一点的理论坐标值y1*,y2*,y3*为同一个值,则平滑公式变为:y3=(y1+y2+y3)/3=(3y+error1+error2+error3)/3。而其中(error1+error2+error3)/3≤max|error|,说明此种平滑的情况下error值变小,error值越小证明实际测量点就越靠近理论点。这种error值变小的情况正是平滑方法所追求的。所以改进的关键点在于:将直线端的理论坐标值Y变为同一个值,即将所拟合直线旋转为一条水平直线,如图2所示,其中(a)为未旋转之前的情形;(b)为旋转之后的情况。
1.3 改进措施
经前文分析可知,接下来需要对拟合的直线进行旋转。现有一组有序的截面特征为直线和自由曲线的含噪声数据点列I={Q0,Q1,…,Qn},其中Qi=(xi,yi)。首先,对截面数据进行曲率分析。根据曲率特征选取直线上的数据点,为确保直线数据的单一性,去除理论分段点附近的一段数据,所得的直线上数据为J={Q0,Q1,…,Qm},其中m<n;其次,对数据J利用最小二乘法拟合一条直线L。根据直线L与X轴的夹角θ确定旋转矩阵A,其中绕原点逆时针旋转的旋转矩阵,绕原点顺时针旋转的旋转矩阵。故原始的噪声数据I经旋转变化后得到新的数据点P={P0,P1,…,Pn}。其中Pi=(xi*,yi*),旋转的矩阵表达式为:
对旋转后的数据再利用均值平滑方法,降低截面数据的噪声,以便下文分段点所在区间的确定。图3为截面数据的曲率分析,其中(a)为未平滑之前的情况,(b)为平滑后的结果。
2 分段点所在区间的确定
针对平滑后截面曲线重构的研究中,最后一般转化为理论分段点附近的迭代寻优问题。而转化之后该问题的关键点在于搜索区间的确定。但现在普遍的做法是采用人机交互方法来大致确定搜索区间。这样不仅有可能降低截面曲线的重构精度,而且会影响重构效率。为了有效地解决这些问题,本文先是基于3σ原则确定分段点区间的右端点,然后是利用相关系数方法确定分段点区间的左端点。
2.1 基于3σ原则区间右端点的确定
正态分布是最重要也是应用最广泛的一种概率分布,其概率密度函数[7]为:
记为X~N(μ,σ2)。其中μ为随机变量的均值,σ为随机变量的标准差。由标准正态分布的概率表可知:
由上可得,尽管正态分布随机变量的取值范围是全体实数,但落在(μ-3σ,μ+3σ)内的概率为99.73%,所以落在(μ-3σ,μ+3σ)之外的可能性是很小的,称为小概率事件。
由此联想到如若统计出直线部分数据点纵坐标的均值和方差,计算出3σ的区间,则跳出该区间第一个点就为非直线点,即为样条点。本文利用这一性质便可以找到分段点所在区间的右端点。首先,根据曲率特征选取直线上的数据点,为确保直线数据的单一性,去除理论分段点附近的一段数据,所得的直线上数据为J={Q0,Q1,…,Qm},其中m<n。计算Q0到Qm数据点纵坐标的均值μ和标准差σ;其次,根据计算的均值μ和方差σ确定(μ-3σ,μ+3σ)区间;最后,编程计算第一个跳出区间的数据点,并将其作为区间的右端点,记为Pright。如图4所示。
2.2 基于相关系数方法区间左端点的确定
相关系数是用来度量变量间相关关系的一类指标的统称。但就参数值而言,常用的是皮尔逊积矩相关系数[7](简称相关系数,记作ρ),它是对两个随机变量之间线性关系的标准化测量。具体定义为:随机变量X和Y的数学期望E(X)、E(Y)反映了X、Y各自的平均值,方差D(X)、D(Y)反映了X、Y各自离开均值的偏离程度,E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}为随机变量X、Y的协方差,即为Cov(X,Y)。则称为随机变量X与Y的相关系数,记为ρ(X,Y)。相关系数具有以下性质:当|ρ|≧0.8时,两个数组可视为高度相关;当0.5≤|ρ|<0.8时,可视为中等相关;当0.3≤|ρ|<0.5时,可视为中低等相关;当|ρ|<0.3时,说明两个数组相关性极弱。
从该性质可知随机变量X和Y的相关系数超过0.5,则可以认为两组随机变量有中等相关性。那么由相关系数的这个性质不难联想到,如若从已确定的区间右端点Pright开始依次向左取与J={Q0,Q1,…,Qm}相同长度的数组Yi,如图5所示。
计算各个数组与的相关系数。并将相关系数大于或等于0.5所对应的点作为区间的左端点,记为Pleft。本文利用该性质确定区间左端点的具体方法为:首先,根据曲率特征选取直线上的数据点,为确保直线数据的单一性,去除理论分段点附近的一段数据,所得的直线上的数据为J={Q0,Q1,…,Qm},其中m<n。假设Q0,Q1,…,Qm构成的数组为X;其次,依次从上文确定的区间右端点Pright向左取相同长度的曲率值构成数组Y1,Y2,…,Yr;接下来,分别计算随机变量的期望值E(X),E(Y1),E(Y2),…,E(Yr)。然后根据公式:Cov(X,Y)=E{[X-E(X)][Y-E(Y)]},分别计算随机变量X和Y1,Y2,…,Yr的协方差;然后,根据公式:,分别计算随机变量X和Y1,Y2,…,Yr的相关系数,并记做ρ1(X,Y1),ρ2(X,Y2),…,ρr(X,Yr),其中0≤|ρ|≤1;最后,编程计算相关系数中第一个大于0.5的点,并将其对应的点作为区间的左端点,记为Pleft,如图6所示。
综上便得到了分段点所在的区间(Pleft,Pright),接下来就可以在已确定的区间内使用黄金分割法寻找最优分段点,以提高截面曲线的重构精度。
3 基于黄金分割法的最优分段点搜寻
截面曲线是重构曲面的基础,能否重构出满足初始设计意图的截面曲线决定了重构CAD模型质量的好坏。为了对截面曲线进行高精度重构,首先对截面数据初步重构,然后在此基础上进行高精度重构。在重构过程中先拟合自由度较少的直线,然后再基于边界约束条件拟合样条曲线,最后利用黄金分割法动态搜索最优分段点。
3.1 直线的初步重构
由于初始分段点为理论分段点附近的点,初始分段点的不准确同样会影响直线的拟合。所以为确保直线数据的单一性取数据点J={Q0,Q1,…,Qm},其中m<n。直线的表达式为:l0x+l1y+l2=0,其中参数l0,l1,l2满足法约束条件:l02+l12-1=0。直线最小二乘拟合的目标函数为:
其中,di为各个数据点到直线的有向代数距离。
3.2 自由曲线的初步重构
自由曲线选取最常用的3次B样条曲线。函数是基于n、p、U、P这四个参数定义的:
其中:Pi为控制点,Ni,3为样条的基函数。本文根据Les Piegl[8]中控制点由多到少的方法,利用普遍使用的最小二乘法拟合B样条曲线。建立的重构模型如下:
目标函数:
约束条件:
其中,P=[P0,P1,…,Pn]为控制点;Q=[Q0,Q1,…,Qm]为离散数据点列;Di(P0)是节点区间[u0,u4)上第i个数据点到当前B样条曲线的投影距离;Li为相邻已知直线。
3.3 基于黄金分割法的高精度重构
目前在截面数据分段的研究中,许多方法都采用从现有的数据点中寻找分段点从而进行截面数据重构。但由于采样密度和噪声等因素的影响,采集到的数据点中一般不会恰巧包含实际分段点,而最优分段点极有可能在两个数据点之间。因此,在确定分段点所在的区间之后利用黄金分割法进一步搜索截面数据的最优分段点,从而更好地提高截面数据重构的精度。实现的具体算法如下:
1)先由确定为直线上的数据点拟合直线得到L0;再基于边界约束条件(G1连续)拟合B样条曲线得到C0,获得初始控制点P'0;
2)通过建立的特征间连接点的精确提取模型,设定搜索区间、目标函数值收敛精度分别为S0、S1,在已确定的理想分段点所在区间(Pleft,Pright)内,利用黄金分割法动态搜索最优连接点P″0,并且在搜索过程中对不同的P″0点将数据点重新参数化;
3)基于边界约束条件(G1连续),且第一个点插值P″0,其余数据点做逼近处理,拟合B样条曲线得到C1;
4)将曲线C1的第一个控制点P″0与初始控制点P0`进行距离误差比较,如果结果小于阈值S2,则找寻的连接点为P0=(P″0+P'0);否则将曲线C1的控制点置为初始控制点,第一个控制点置为P'0,然后转步骤2;
由以上步骤便可以求出直线与样条数据的最优分段点,进而可以获取更符合初始设计意图的截面重构特征。
4 实例分析
为有效检验该方法的可行性,利用UG NX8.5设计包含各种截面线的模型如图7所示。
加工得到的实际模型如图8所示。然后利用三坐标测量机测量得到的截面离散数据(采样密度为0.5 mm)点云数据如图9所示。为了进一步验证,本文进行比较的方法有三种:目前截面数据重构常用的分步重构法;章海波[6]提出的改进重构法;本文提出的去除人机交互行为的重构方法。取右端圆圈1内的直线与样条数据,其理论分段点为Pid(5,1),如图10(a)所示;由于前两种方法需要根据离散数据点的曲率值,初步判断分段点所在的区间,对其曲率的分析结果如图10(b)所示,初步判定的区间为图中的括号部分,其中左端点为:(4.02788,0.883925),右端点为(5.68817,1.13019);利用三种方法对直线与样条进行重构的结果,得到的实际分段点分别为Pre1,Pre2,Pre3,如图10(c)所示;利用本文方法确定的分段点所在区间左端点为Pleft(4.62408,0.62122),右端点为Pright(5.39838,1.31214),如图10(d)所示。
截面曲线重构的具体结果如表1所示。
由表1可知,改进重构法和本文方法精度明显高于分布重构法,但本文方法确定的区间长度明显比分布重构法和改进重构法小,并且本文方法规避了区间确定过程中的人机交互行为。综上可知,本文方法较之于其他方法有明显优势。
5 结语
本文提出了一种基于数理统计原理的分段点区间确定方法,并在已确定的区间内利用黄金分割法进行最优分段点的搜寻,从而进行直线与样条数据的高精度重构。经实例验证该方法:(1)在现存数据之间搜寻精度更高的分段点;(2)使初始确定的区间范围进一步缩小,且有效地避免了区间确定过程中的人机交互行为;(3)截面数据重构的精度有所提高。但截面数据中还包含着除了G1约束以外G2等其他约束,这也是以后研究的重点。
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