二项式定理复习课教案

二项式定理复习课教案（精选6篇）

二项式定理复习课教案 第1篇

高三第一阶段复习，也称“知识篇”。在这一阶段，学生重温高

一、高二所学课程，全面复习巩固各个知识点，熟练掌握基本方法和技能；然后站在全局的高度，对学过的知识产生全新认识。在高

一、高二时，是以知识点为主线索，依次传授讲解的，由于后面的相关知识还没有学到，不能进行纵向联系，所以，学的知识往往是零碎和散乱，而在第一轮复习时，以章节为单位，将那些零碎的、散乱的知识点串联起来，并将他们系统化、综合化，把各个知识点融会贯通。对于普通高中的学生，第一轮复习更为重要，我们希望能做高考试题中一些基础题目，必须侧重基础，加强复习的针对性，讲求实效。

一、内容分析说明

1、本小节内容是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的二项式的乘方的展开式，与数学的其他部分有密切的联系：

（1）二项展开式与多项式乘法有联系，本小节复习可对多项式的变形起到复习深化作用。

（2）二项式定理与概率理论中的二项分布有内在联系，利用二项式定理可得到一些组合数的恒等式，因此，本小节复习可加深知识间纵横联系，形成知识网络。

（3）二项式定理是解决某些整除性、近似计算等问题的一种方法。

2、高考中二项式定理的试题几乎年年有，多数试题的难度与课本习题相当，是容易题和中等难度的试题，考察的题型稳定，通常以选择题或填空题出现，有时也与应用题结合在一起求某些数、式的近似值。

二项式定理复习课教案 第2篇

●知识梳理

1.二项展开式的通项公式是解决与二项式定理有关问题的基础.2.二项展开式的性质是解题的关键.3.利用二项式展开式可以证明整除性问题，讨论项的有关性质，证明组合数恒等式，进行近似计算等.●点击双基

9291.已知（1－3x）=a0+a1x+a2x+…+a9x，则｜a0｜+｜a1｜+｜a2｜+…+｜a9｜等于

999A.B.4

C.D.1 解析：x的奇数次方的系数都是负值，∴｜a0｜+｜a1｜+｜a2｜+…+｜a9｜=a0－a1+a2－a3+…－a9.∴已知条件中只需赋值x=－1即可.答案：B 2.（2004年江苏，7）（2x+x）的展开式中x的系数是 A.6

42B.12

C.24

D.48 解析：（2x+x）=x（1+2x），在（1+2x）中，x的系数为C24·2=24.答案：C 3.（2004年全国Ⅰ，5）（2x－A.14

1x）的展开式中常数项是

C.42

B.－14

D.－42

r7r）=C72·

r解析：设（2x－1xr）的展开式中的第r+1项是Tr1=C7（2x）7r（－

1xr3(7x)r2（－1）·x，当－r61+3（7－r）=0，即r=6时，它为常数项，∴C67（－1）·2=14.23213答案：A 4.（2004年湖北，文14）已知（x+x

5）的展开式中各项系数的和是128，则展开式

n中x的系数是_____________.（以数字作答）

解析：∵（x+x3213）的展开式中各项系数和为128，nn∴令x=1，即得所有项系数和为2=128.r∴n=7.设该二项展开式中的r+1项为Tr1=C7（x）7r·（x3213r）=C7·xr6311r6，令6311r5=5即r=3时，x项的系数为C37=35.6答案：35

5.若（x+1）=x+…+ax+bx+cx+1（n∈N），且a∶b=3∶1，那么n=_____________.2解析：a∶b=C3n∶Cn=3∶1，n=11.nn32*答案：11 ●典例剖析

【例1】 如果在（x+理项.解：展开式中前三项的系数分别为1，由题意得2×

124x）的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中的有

nnn(n1)，28n(n1)n=1+，得n=8.281·xr2163r4设第r+

1r项为有理项，Tr1=C8·，则r是4的倍数，所以r=0，4，8.351x，T9=.28256x评述：求展开式中某一特定的项的问题常用通项公式，用待定系数法确定r.13【例2】 求式子（｜x｜+－2）的展开式中的常数项.|x|11113解法一：（｜x｜+－2）=（｜x｜+－2）（｜x｜+－2）（｜x｜+－2）得到|x||x||x||x|13常数项的情况有：①三个括号中全取－2，得（－2）；②一个括号取｜x｜，一个括号取，|x|有理项为T1=x，T5=41一个括号取－2，得C13C2（－2）=－12，∴常数项为（－2）+（－12）=－20.解法二：（|x|+31136－2）=（|x|－）.|x||x|设第r+1项为常数项，r则Tr1=C6·（－1）·（r1r6r）·|x|6r=（－1）·C6·|x|62r，得6－2r=0，r=3.|x|∴T3+1=（－1）·C36=－20.3思考讨论

（1）求（1+x+x+x）（1－x）的展开式中x的系数； 23

444－4）的展开式中的常数项； x34503（3）求（1+x）+（1+x）+…+（1+x）的展开式中x的系数.（2）求（x+1x4746444解：（1）原式=（1－x）=（1－x）（1－x），展开式中x的系数为（－1）C6－

1x1=14.1.一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一只灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为

20A.20 B.2C.2D.2－1 220解析：C120+C20+…+C20=2－1.20答案：D 2.（2004年福建，文9）已知（x－则展开式中各项系数的和是

A.2B.3r解析：Tr1=C8·x8－r－1

a8）展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，x

C.1或3

r8－2r8

D.1或2

8r·（－ax）=（－a）C8·xr.令8－2r=0，∴r=4.4∴（－a）C8=1120.∴a=±2.4当a=2时，令x=1，则（1－2）=1.88当a=－2时，令x=－1，则（－1－2）=3.答案：C 3.（2004年全国Ⅳ，13）（x－

1x）展开式中x的系数为_____________.85

r解析：设展开式的第r+1项为Tr1=C8x8－r·（－

1xr）=（－1）C8xrr83r2.令8－3r522=5得r=2时，x的系数为（－1）·C8=28.21xxr答案：28 4.（2004年湖南，理15）若（x+

323）的展开式中的常数项为84，则n=_____________.93nr2n解析：Tr1=Crn（x）3

n－r·（x）=Crn·x.9r=0，∴2n=3r.2∴n必为3的倍数，r为偶数.令3n－

6试验可知n=9，r=6时，Crn=C9=84.答案：9 5.已知（xlgx+1）展开式中，末三项的二项式系数和等于22，二项式系数最大项为20000，n求x的值.2n1n解：由题意Cnn＋Cn＋Cn=22，10即C2n＋Cn＋Cn=22，∴n=6.∴第4项的二项式系数最大.lgx∴C3）=20000，即x6（x3

3lgx=1000.∴x=10或x=1.10培养能力

652116.若（1+x）（1－2x）=a0+a1x+a2x+…+a11x.求：（1）a1+a2+a3+…+a11；（2）a0+a2+a4+…+a10.65211解：（1）（1+x）（1－2x）=a0+a1x+a2x+…+a11x.令x=1，得 a0+a1+a2+…+a11=－26，又a0=1，6所以a1+a2+…+a11=－2－1=－65.（2）再令x=－1，得

a0－a1+a2－a3+…－a11=0.①+②得a0+a2+…+a10=

①

②

（－2+0）=－32.2评述：在解决此类奇数项系数的和、偶数项系数的和的问题中常用赋值法，令其中的字母等于1或－1.mn127.在二项式（ax+bx）（a＞0，b＞0，m、n≠0）中有2m+n=0，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项.（1）求它是第几项；（2）求r解：（1）设Tr1=C12（ax）

ma的范围.br·（bx）=C12anr12－rrm（12－r）+nr12－rbx为常数项，则有m（12－r）+nr=0，即m（12－r）－2mr=0，∴r=4，它是第5项.（2）∵第5项又是系数最大的项，43C12ab≥C12ab，84

②

①

∴有 45C12ab≥C12ab.8475

12111098412111093

ab≥ab，43232a99∵a＞0，b＞0，∴ b≥a，即≤.44ba88a9由②得≥，∴≤≤.5b4b5由①得8.在二项式（x+124x）的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项.n分析：根据题意列出前三项系数关系式，先确定n，再分别求出相应的有理项.解：前三项系数为C0n，11121220Cn，Cn，由已知C1=C+Cn，即n－9n+8=0，nn244解得n=8或n=1（舍去）.rTr1=C8（x）（2x）8－r4－rr=C8·

414.·xr23r∵4－3r∈Z且0≤r≤8，r∈Z，44∴r=0，r=4，r=8.∴展开式中x的有理项为T1=x，T5=评述：展开式中有理项的特点是字母x的指数4－探究创新

9.有点难度哟！

351x，T9= x－2.82563r3r∈Z即可，而不需要指数4－∈N.441n*）<3（n≥2，n∈N）.n1121n1n1112n23证明：（1+）=C0+C× +C（）+…+C（）=1+1+C×+C×+…+Cnnnnnnnn23nnnnnnn(n1)211111n(n1)1n(n1)(n2)1×n=2+×+×+…+×<2++ n232!3!n!2!3!nnnn求证：2<（1+

11[1()n1]1111111n12++…+<2++2+3+…+n1=2+2=3－（）n1<3.显然（1+）=1+1+C2n×14!n!2222n2121n1113n+C×+…+C×>2.所以2<（1+）<3.nnn23nnnn●思悟小结

nr1.在使用通项公式Tr1=Crb时，要注意： nar（1）通项公式是表示第r＋1项，而不是第r项.（2）展开式中第r+1项的二项式系数Crn与第r+1项的系数不同.（3）通项公式中含有a，b，n，r，Tr1五个元素，只要知道其中的四个元素，就可以求出第五个元素.在有关二项式定理的问题中，常常遇到已知这五个元素中的若干个，求另外几个元素的问题，这类问题一般是利用通项公式，把问题归纳为解方程（或方程组）.这里必须注意n是正整数，r是非负整数且r≤n.2.证明组合恒等式常用赋值法.●教师下载中心 教学点睛

1.要正确理解二项式定理，准确地写出二项式的展开式.2.要注意区分项的系数与项的二项式系数.3.要注意二项式定理在近似计算及证明整除性中的应用.4.通项公式及其应用是二项式定理的基本问题，要熟练掌握.拓展题例

10343【例题】 求（a－2b－3c）的展开式中含abc项的系数.10解：（a－2b－3c）=（a－2b－3c）（a－2b－3c）…（a－2b－3c），从10个括号中任取3

个括号，从中取a；再从剩余7个括号中任取4个括号，从中取－2b；最后从剩余的3个括号

343434中取－3c，得含abc的项为C10aC7·（－2b）C33（－3c）=C10C7C32（－3）abc.所以343

二项式定理复习课教案 第3篇

要突破解题思维这一难点,笔者尝试运用思维导图的教学策略,融目标意识、探究元素于其中,引领学生拟定合理的解决问题方案,优化解题策略与过程,有效培养学生的思维能力和解题能力. 思维导图是在20 世纪70 年代,由英国心理学家托尼·巴赞提出,是一种综合运用文字、符号、图片、色彩等的图形思维工具,它是基于对人脑的模拟,将抽象性思维具体化,并以直观形象的方式表征知识,有效呈现知识间的联系,体现思维过程. 本文中的思维导图与上述概念有联系也有区别,是指在解题时用来组织和表征目标与条件之间的工具,通常将某问题(或辅助命题)置于椭圆或方框之中,然后用连线将相关的问题和命题连接,连线上标明两个问题之间所运用的数学概念、定理、思想与方法,让解题更具有针对性、目的性和实效性.

笔者以一节高一“正弦定理、余弦定理的应用”复习课为例,以思维导图引领解题教学,在教学过程中,以问题驱动为依托,引导学生梳理与建构知识网络图;以思维导图为抓手,强化学生解题的目标意识和探究意识;以解决高考真题为导向,体悟思维导图的无穷魅力,体验学习数学的快乐与成功. 让学生尝试在构建思维导图的过程中,学会分析问题即寻找目标与条件之间的关系,学会拟定合理的解决问题方案,逐步养成自主绘制思维导图的习惯,并在实践中不断优化解题方案,进而达到学会解题的目的.

一、以问题驱动为依托引导学生梳理与构建知识网络图

“问题是数学的心脏”,这就要求教师把问题作为学生学习的动力源,激发学生产生学习的欲望,全身心投入到解决问题的活动中. 教师在设置具体的问题时,需要注意把握好问题设置的难度和梯度,一定要在学生“最近发展区”内设置问题,应遵循以下原则.一是低起点原则. 问题起于知识原点、背景材料、学生的认知障碍、自然现象等. 二是逻辑链原则. 设置的问题应构成一条逻辑线索,根据知识层次设置问题或根据方法设置问题,即知识线和方法线,问题之间必须存在逻辑联系,是一个逻辑链. 三是梯度小原则. 笔者把它比喻为盘山公路,起点低、坡度小、目标达成度高.四是启发性原则. 问题解决以后,师生共同归纳总结出一般性规律与方法,可以给学生以启迪,从而达到解一题会一类的目的.

【教学环节1】问题驱动 知识梳理

【问题】如图1,A,B两地之间隔着一个水塘,现一测量者选择另一个点C,测得CA=180m,CB=120m,∠ACB=60°,请你帮他计算出A,B两地之间的距离为___.

生1:由余弦定理得,AB2=CA2+CB2-2CA·CBcos∠ACB,

师:如何进行合理计算?(笔者巡视发现:一是部分学生在运算上存在问题,直接进行烦琐的计算,只有极少数学生运用乘法的运算性质去处理;二是个别学生运用的是余弦定理的角的形式)

生2:,得

师:很好!在计算过程中,我们要学会运用乘法的运算性质,如提取公因数、平方差公式等,避免烦琐的运算.

追问:你能否求∠A和∠B的大小呢?

生3:用正弦定理可以求出.

师:能否用余弦定理?(可以)

【归纳总结】余弦定理应用的两种情形:

(1)已知两边及夹角,求另一边和其他角;

(2)已知三边,求三角.

【变题】如图2,设B,C两点在河的两岸,一测量者在B所在的同侧河岸边选定一点A,测得AB=50m,∠ACB=45°,∠CBA=105°,请你帮他计算出B,C两点的距离为________m.

生4:在△ABC中,∠C=30°,由正弦定理,得

师:非常好!

追问:能否求线段AC的长度呢?

生5:由正弦定理可以求得.

【归纳总结】正弦定理应用的两种情形:

(1)已知两角及任意一边,求另一角和其他边;(2)已知两边及其一边的对角,求其他边与角.(如图3)

【评析】问题及变题设计的起点非常低,通过以问题驱动为依托,引导学生去复习和巩固解决三角形中边角关系的有关知识(正弦定理、余弦定理),通过追问的方式引导学生梳理归纳正弦定理、余弦定理在解三角形中应用的几种情形,以对问题进行追问和拓展的方式指导学生构建知识网络图.

二、以思维导图为抓手强化学生解题的目标意识和探究意识

数学是思维的学科,学习数学必须要经历思维的主要活动,才能建构自己的知识与方法体系,并从中学会体验、获得能力.在教学过程中教师通过思维导图引领教学的方式,让学生明确解题的目标与探究的方向,教师在活动中只是起到指导和帮助的作用,指导学生运用思维导图解题,从而让学生在解题时真正做到心中有目标、脑中有方法、解题有抓手.

【教学环节2】思维导引 目标达成

(1)以思维导图引领教学,探寻目标与条件的关系

【目标1】正、余弦定理在测量方面的应用

【例1】如图4,为了解我国南海某海域的海底构造,在海平面内一条直线上的A,B,C三点进行测量,已知AB=50m,BC=120m,于A处测得水深AD=80m,于B处测得水深BE=200m,于C处测得水深CF=110m,求∠DEF的余弦值.

师:本题要解决什么问题,即目标是什么?

生6:求∠DEF的余弦值.

师:如何求?要用哪些知识来解决?

生7:在△DEF中,运用余弦定理来求.

师:很好!在△DEF中,三条边的长度不知道,能不能利用条件中给出的一些数据来求呢?比如,如何求DF?如图5.

生8:能,作DM⊥CF于点M ,交BE于点N,在Rt△DFM中,DF2=DM2+MF2=1702+302,同理DF2=DN2+NE2=502+ 1202=1302,EF2=1202+902=1502.

师:非常好!通过添加辅助线,构造直角三角形,用勾股定理求得.

【评析】如何让学生运用思维导图策略来学会解题呢?笔者认为,需要让学生经历“识图—绘图—用图”这三个阶段. 通过本题的学习,让学生认识思维导图,了解思维导图的作用,能够看懂思维导图,让学生依托思维导图来解题,从而产生绘制思维导图的兴趣与欲望.

【变式】如图6,测量河对岸的塔高时,可以选与塔底B在同一水平面内的两个侧点C与D.现测得∠BCD=α,∠BDC=β,DC=S,并在点C测得塔顶A的仰角为θ,求塔高AB.(用α,β,S,θ表示)

师:本题要解决的问题是什么?

生9:求塔高AB.

师:很好!由题意知,如何去求AB呢?

生10:在Rt△ABC中,AB=BC·tanθ.

师:非常好!由正切的定义,于是将问题转化为求BC长,如何求呢?

生11:在△BCD中,由正弦定理可求得

师:非常好!请同学们尝试绘制一张思维导图.(学生绘制的思维导图见图7)

【评析】绘制思维导图是一个比较高的要求,难度也比较大.制作一个完整且合理的思维导图,除了要让学生掌握基本的绘制方法外,更重要的是要引导学生探寻目标与条件之间的内在联系,所涉及的概念、定理、思想方法等知识,以及知识之间的逻辑关系.

(2)以思维导图引领教学,拟定或设计一个合理的解题方案

心理学家们认为,在问题解决过程中,有时要经过若干个中间状态的转化才能到达目标状态,因而就会形成一种复杂的中间状态分布.认知心理学把解决问题过程中所经过的全部中间状态以及全部算式统称为“问题空间”或“问题图式”.笔者认为构建“问题图式”的过程其实就是拟定解题方案的过程.

【目标2】正、余弦定理在几何求值等方面的应用

【例2】在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知,且b2=ac.

(1)求的值;

(2)若accos B=12,求a+c的值.

【评析】笔者认为思维导图(见图8)在解题时是有效的,由于它是一种有效的认知工具,能够清晰地表示目标与条件之间的内在关系,应用于解题的过程中,有助于解题者“问题图式”建构的表征(“表征”是指信息在头脑中的储存形式). 解题者能否对问题做出合理的表征,关键在于是否形成了解决问题的认知结构,即拟定了一个科学合理的解决问题方案.笔者引导学生学会灵活运用思维导图拟定解决问题的方案,在解决三角函数值问题时,充分运用正弦定理、余弦定理成功地实现角与边之间的相互转化.

三、以解决高考真题为导向体悟思维导图的无穷魅力

高考题是经过很多专家深思熟虑、巧妙构思设计出来的真题,有些题是全面考查学生的基础知识、基本技能和基本思想与方法的经典.在教学中,教师要充分利用好这些题,发挥它的作用. 人性中最深层次的需求是渴望被人赏识,发挥一个人最大潜能的方法是赞赏和鼓励. 思维导图学习之后,学生内心非常渴望展示和利用自己所学到的知识去解题,这时教师如果能够及时给予满足,并对学生的表现加以点赞和鼓励,非常有利于激发学生的内在潜能,同时也能让学生体悟到思维导图的无穷魅力.

【教学环节3】感受高考 体验成功

教师多媒体出示:

游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径. 一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50m/min. 在甲出发2min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1min后,再从B匀速步行到C.假设缆车做匀速直线运动的速度为130m/min,山路AC长为1260m,经测量,

(1)求索道AB的长;

(2)问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?

师:同学们,通过前面例题及变式的学习,相信同学们一定能够运用思维导图来解决这道高考题. 本题要解决的问题有哪些?即目标有哪些?

生15:目标1:求索道AB长;目标2:求乙在缆车上与甲的最短距离.

师:条件又有哪些?能否建立起一定的联系?请同学们在理解题意的基础上,绘制一张思维导图.

在教师的指导下,几位学生共同努力完成了思维导图(见图9).

师:请同学们根据绘制的思维导图,完成本题的解答过程,请两位同学上黑板板演.

【评析】教师放开手脚,让学生思维的骏马驰骋于课堂教学之中. 题目出示后,教师没有急着让学生去做,而是引导学生去分析:要解决的问题(目标)是什么和题设(条件)有哪些?指导学生绘制一张思维导图,其中要涉及哪些知识与方法?这样做的目的是帮助学生养成解题的前瞻性,强化解题的目标意识,克服做题的盲目性,学生积极主动参与,体验成功的喜悦. 与同伴合作交流,在比较中自觉矫正思维偏差,不断完善认知结构,提升数学素养,促进认知飞跃.感受到了思维导图的无穷魅力,有利于创新能力及发散思维能力的提高.

高考文言文断句复习课教案 第4篇

1.在例析过程中学习并掌握文言文断句的基本思路与方法。

2.在解题训练中逐步形成文言文断句能力。

二、教学过程

（一）导入：

追本溯源寻其义：句读之不知，惑之不解。

前人读书要自己断句，常在一句的末尾用“。”断开，叫做“句”。在语意未完而又需要停顿的地方用“、”断开，叫做“读”。

（二）方法指导：

拿到一段文字，该如何断句呢？

步骤一：通文意。

七十老翁产一子人曰非是也家业尽付与女婿外人不得干预。

步骤二：求方法。

1.借助标志性词语。

标志性词语可分为：句首标志词、句末标志词、对话标志词。

（1）句首标志词又分为：

发语词：文言文中“盖”“唯”“夫”“且夫”等作发语词，作用是领起句子。

例如：不赂者以赂者丧盖失强援不能独完。

感叹词，文言文中常见的感叹词有“嗟夫”“嗟乎”“呜呼”等。

例如，呜呼盛衰之理虽曰天命岂非人事哉。

关联词：文言文中常见的用于句首的关联词有“然则”“岂独”“何其”“奈何”“于是”“故”“然而”“然”“是以”等词，或表承接，或表转折，或表推论。

例如，至于誓天断发泣下沾襟何其衰也。

名词代词：

文言文句首常见的人称代词有：吾、余、予、尔、汝、若、君、子、公、乃、其、之、彼、或、莫、足下、寡人、臣、仆、愚、妾。

文言文句首常见的指示代词有：此、是、斯、兹、夫。

文言文句首常见的疑问代词有：谁、孰、何、奚、胡、曷、安。

例如，乌鸟私情愿乞终养臣之辛苦。

时间词：文言文中这些时间词“今”“后”“是时”“既而”“方今”和“皇帝年号纪年”“天干地支纪年”等，常放在句首。

例如，中丞匿于溷藩以免既而以吴民之乱。

（2）句末标志词：

文言文句末的标志词一般是语气词，有也、矣、焉、哉、乎、欤、耳、耶等。

例如，君子生非异也善假于物也。

（3）对话标志词：

文言文中体现对话的词语，有曰、言、云、谓等。

例如，古人云以地事秦。

2.借助固定结构。

固定结构，指文言中相对凝固的词与词的搭配。

例如，学而时习之不亦说乎有朋自远方来不亦乐乎人不知而不愠不亦君子乎？

3.借助修辞手法。

古人写文章讲究修辞技巧，常用对偶、对比、排比等修辞，关注到修辞现象，有助于断句。

（1）对偶：文言文中运用对偶很多。往往内容相对，词语相对。

例如，故不积跬步无以至千里不积小流无以成江海。

（2）对比：对比常出现在古代议论性散文中，可根据前后语意的对比来断句。

例如，生亦我所欲也死亦我所欲也。

（3）排比：其特点就是结构相同，字数大体一致，一些词语常重复。

例，求木之长者必固其根本欲流之远者必浚其源泉思国之安者必积其德义。

（4）顶真：首尾蝉联的特点。

例如，孰能无惑惑而不从师。

步骤三：细检查。

做完题目回头看，根据要求仔细检验查，看是否通顺，是否合理。

例如，飞至孝母卒水浆不入口者三日家无姬侍吴玠素服飞愿与交欢饰名姝遗之。飞曰：“主上宵旰，岂大将安乐时？”却不受，玠益敬服。（《宋史 岳飞传》）

步骤四：方法总结。

1.通读全文，整体把握全文的内容。

2.先易后难，循序渐进。

3.根据要求仔细检查。

备考提示：打牢基础看课本，培养语感读经典；操千曲，观千剑，断句也要常实践。

步骤五：检测练习。

用“/”给下列语段断句。

罗既官游击乃遣人访其妻以重金赎还为夫妇如初报其鬻身救夫之义也此事不足训然以视少共艰苦既贵而厌弃其糟糠者其厚薄之区殆不可以道里计天生豪杰磊磊落落安得以道学家之律绳之。（2011广东卷）

二项式定理复习课教案 第5篇

顾彦琼1，汪晓勤2（1.上海市南汇中学，201399；2.华东师范大学数学系，200241）

摘要：新授课中，教学起点和欧氏几何方法的缺失使得余弦定理成了无源之水、无本之木，从而导致学生对余弦定理只知其然，而不知其所以然。通过对历史材料的分析和对课前学情的调查，在复习课中以余弦定理的证明为线索，利用数学史引导、启发学生；从勾股定理开始，自然深入、逐步推广，引出推导余弦定理的三种欧氏几何方法、一种平面三角方法、一种向量几何方法和一种解析几何方法，促使学生在学习过程中自觉养成追根溯源、形成知识网络的习惯，充分体现知识的综合性。关键词：HPM 余弦定理 复习课 教学设计

数学复习课是数学教学中不可或缺的重要环节，它具有重复性、概括性、系统性和综合性等特点；数学复习课要在重复和概括的基础上进行梳理，使数学知识和数学思想方法系统化、综合化。在数学复习课中，兼顾知识的巩固提高和教学的新鲜活力，乃是一线教师孜孜以求的目标；但是，在课业负担繁重且有考试压力的中学数学教学中，要在协调教学进度的同时让复习课有文化内涵，使学生在其中探奇寻乐，似乎已然成为遥不可及的追求。在沪教版高中数学教材的设计中，“余弦定理”的新授课被安排在高一第二学期，主要教学目标是，掌握余弦定理的内容及其证明，以及运用余弦定理解决“边角边”和“边边边”问题。但是，新授课中，教学起点和欧氏几何方法的缺失使得余弦定理成了无源之水、无本之木，从而导致学生对余弦定理只知其然，而不知其所以然。受陈敏晧老师的“余弦定理”教学设计的启发，我们尝试将数学史运用于“余弦定理”复习课中，以体现知识的系统性、综合性。

一、历史材料分析

余弦定理作为勾股定理的推广，最早出现于欧几里得的《几何原本》第2卷中： 命题12在钝角三角形中，钝角对边上的正方形面积大于两锐角对边上的正方形面积之和，其差为一矩形面积的两倍，该矩形由一锐角的对边和从该锐角（顶点）向对边延长线作垂线，垂足到钝角（顶点）之间的一段所构成。命题13在锐角三角形中，锐角对边上的正方形面积小于该锐角两边上的正方形面积之和，其差为一矩形面积的两倍，该矩形由另一锐角的对边和从该锐角（顶点）向对边作垂线，垂足到原锐角（顶点）之间的一段所构成。

命题12相当于说，如图1所示，在钝角△ABC中，a2=b2+c2+2cm；命题13相当于说，如图2所示，在锐角△ABC中，a2=b2+c2－2cm。欧几里得利用勾股定理对上述命题进行了证明。

公元2世纪，托勒密（C.Ptolemy，约100～170）在其《天文大成》中利用上述命题解决了“已知三角形三边，求角”的问题，但并未明确提出余弦定理。不过，利用托勒密定理，我们的确能轻易证明余弦定理。

16世纪，德国数学家毕蒂克斯（B.Pitiscus，1561～1613）在其《三角学》中利用几何方法求出了图2（其中∠C为△ABC的最大角，可以是钝角）中的m：m=(b2+c2－a2)/2c。毕蒂克斯于1595年首次将“三角学”（trigonometry）作为书名，他的方法成为了今天所谓“无字证明”的蓝本。之后，法国数学家韦达（F.Viète，1540～1603）明确给出了余弦定理的比例形式：2ab∶（a2+b2－c2）=1∶sin（90°－C）。

20世纪中叶以前，西方大多数三角学教材沿用了欧几里得的方法来证明余弦定理，也有一些教材采用了毕蒂克斯的方法，或以一组射影公式a=bcosC+ccosB，b=ccosA+acosC，c=acosB+bcosA为出发点。英国数学家德摩根（A.de Morgan，1806～1871）则在其《三角形基础》中别出心裁地利用和角公式和正弦定理来推导余弦定理。到了20世纪50年代，一些教材开始采用解析几何的方法；而向量方法的出现，则是相当晚近的事了。数学史告诉我们，余弦定理是作为勾股定理的推广而诞生的，在18～19世纪的许多三角学著作中，它只是以几何定理的身份出现；在从欧几里得时代直到20世纪上半叶的两千余年间，人们普遍采用几何方法对余弦定理进行推导，正是包括今天所谓“无字证明”在内的那些几何方法，才使其展现出了迷人的魅力。因此，以勾股定理为起点，用不同的几何方法来推导余弦定理，以弥补新授课中解析几何方法的不足，是历史带给我们的“余弦定理”复习课的教学启示。而且，不同于新授课，复习课中因为学生已经学过余弦定理及其他相关内容，所以对于数学史的运用可以更加广泛、自由。

二、课前学情调查

课前，我们通过问卷，对所教的两个班级共84名学生进行调查。所设计的问题是：（1）请写出余弦定理；

（2）请说明余弦定理可以用来解决哪些解斜三角形问题；（3）请证明余弦定理。

对于前两个问题，84名学生中的82名都能作出正确回答。对于第三个问题，则少有学生能正确给出完整的证明：其中41名学生直接回答“不知道”“不会”或“不清楚”；11名学生记得用平面向量的方法证明，但是只有4名学生能证明出来；13名学生记得用两点之间的距离公式证明，但是有5名学生联想到单位圆（通过访谈了解到，这是由于受到和角余弦公式证明的影响），只有3名学生能正确证明；其余学生的证明都不着边际。

调查表明：学生对余弦定理的解析几何证明方法和向量证明方法印象不深；学生有轻过程、重结论的倾向，即只求“鱼”而不得“渔”。

以下是我们对一名数学成绩一直比较优秀的男生的访谈片段： 师 你还记得余弦定理吗？

生 让我想一下，是用来解斜三角形的那个东西吗？ 师 是的。你还记得是什么吗？（学生用纸笔写下来。）师 你能证明一下吗？

生 哦，我不记得了，一点儿也不记得了。师 真的吗？请你再想一想。

生 好像是要建立平面直角坐标系的。

师 那么，你可以把证明过程写下来给我看一下吗？

生 哦，那太难了！老师，你为什么要问我这样的问题？ 师 因为我早上做了问卷调查，本来以为他们会用比较淳朴的方法做，但没想到他们都没做出来。

生 哦，老师，你要理解他们。在这种应试教育下，能背出公式来，已经很不容易了。师 可是我觉得，最近才刚学过一个新工具（平面向量），印象应该会深刻一点啊？（学生尝试着写出证明过程，但数十分钟后，仍然未能证明。）

访谈表明，数学成绩优秀的学生对已学过的余弦定理的证明同样无从入手。

三、教学设计与实施

（一）提出问题，激发兴趣 课始，教师开门见山地说道：“我们在高一第二学期学习了余弦定理，但课前的问卷调查却表明，同学们普遍知道余弦定理是什么，可以用来解决什么样的问题，却不知道怎样去证明余弦定理。高二第一学期即将结束，与高一相比，我们已经储备了更丰富的数学知识，证明余弦定理的方法也变得更多样了。本节课中，就让我们一起来回答以下两个问题。”然后，教师出示本课的主旨问题： 问题1我们可以用怎样的方法来证明余弦定理？ 问题2比较各种方法，我们更喜欢哪一种？

（二）以史开道，回归起点

为了回答上述问题，教师首先要求学生回忆勾股定理的证明。少数学生说“模糊地记得”，多数学生则表示，初中时老师也只是一笔带过，直接给出结论而并不作具体的证明。于是，教师说道：“欧几里得很早就给出过勾股定理的证明。这一证法，被阿拉伯人形象地称为‘新娘的座椅’。”然后，展示勾股定理的欧几里得证明：

如图3所示，分别在直角△ABC的三边上作正方形ACDE、ABFG和BCHI，作CL⊥GF于L。连接BE和CG，则由AE和BC的平行关系，可得正方形ACDE的面积等于△AEB的两倍；由AG和CM的平行关系，可得长方形AMLG的面积等于△ACG的两倍。而△AEB≌△ACG，故知正方形ACDE和长方形AMLG的面积相等。同理，可得正方形BCHI与长方形BMLF的面积相等。

接着，教师引导道：“如果△ABC是斜三角形，那么其三边又有怎样的大小关系呢？”学生尝试、讨论之后，教师说道：“欧几里得在《几何原本》第2卷中将勾股定理进行了推广，分别给出了钝角三角形和锐角三角形三边之间的关系。”然后，展示余弦定理的欧几里得证明： 如图1和图2，由勾股定理，分别得a2=h2+（c+m）2=h2+m2+c2+2cm =b2+c2+2cm，a2=h2+（c－m）2=h2+m2+c2－2cm=b2+c2－2cm。

（三）对话先哲，推陈出新 在欧几里得证明的基础上，教师问道：“欧几里得对余弦定理的证明有什么不足？怎么将其改进成我们现在的统一的形式呢？”由此，引导学生利用三角函数对欧几里得的证明稍加改进： 在图1中，有m=－bcosA，h=bsinA；在图2中，有m=bcosA，h=bsinA。所以，在图1和图2中，由勾股定理，均可得（bsinA）2+（c－bcosA）2=a2，整理得a2=b2+c2－2bccosA。接着，教师引导道：“欧几里得只是利用勾股定理来证明余弦定理。而我们能否利用他证明勾股定理的面积方法来推导余弦定理呢？”学生跃跃欲试，师生共同完成以下证明： 如图4所示，△ABC为锐角三角形，仿照欧几里得的做法，在其三边外侧分别作正方形ACDE、ABFG和BCHI；分别从三个顶点向对边作垂线，垂足分别为K、M和N，与正方形另一边的交点分别为L、P和Q。于是，SAMPE=SAKLG，SBNQI=SBKLF，因此，c2=SAMPE+SBNQI=a2+b2－（SMCDP+SNCHQ）。而又有SMCDP=b（acosC）=abcosC，SNCHQ=a（bcosC）=abcosC，故c2=a2+b2 －2abcosc。

此后，教师让学生课后完成钝角三角形情形的证明。

（四）汲取养料，拓宽思维

教师要求学生再次回顾“正弦定理扩充定理”新授课中的证明方法，学生立刻想到可以引入辅助圆来证明余弦定理，教师便要求学生进行小组讨论。学生在证明过程中遇到了一些困惑，教师便顺势解惑，并引出了16世纪德国数学家毕蒂克斯给出的类似证明方法： 在△ABC中，AC>BC。

如图5所示，以C为圆心、BC为半径作圆，交AC及其延长线于点F、E，交AB于另一点G。由平面几何知识，可知AF·AE=AG·AB，此即（b－a）（b+a）=c（c－2acosB），整理得b2=a2+c2 －2accosB。

如图6所示，若以AC为半径作圆，则由BE·BF=BA·BG，同样可得b2=a2+c2 －2accosB。

然后，教师请学生课后完成其他等式的证明。

（五）温故知新，查缺补漏

对于学生自己想到的解析几何法（利用两点之间的距离公式）与向量法（数量积），为了增强学生的参与度，教师请学生板演，结果发现错误层出不穷：对于第一种方法，一些学生不恰当地选择了原点，增加了计算的难度，这印证了学生对“适当建立坐标系”依然存在认知缺陷；对于第二种方法，一名学生将向量与实数混为一谈，得到|c|2=c·c=（a－b）·（a－b）=a2－2ab+b2，这是学生在学习向量知识时出现的典型错误。通过展示与交流，学生纠正了错误，加深了理解。

最后，教师让学生回顾△ABC中的和角正弦公式sin（A+B）=sinC=sinAcosB +cosAsinB，并简单介绍了19世纪英国数学家德摩根给出的相关证明方法： 由sinC=sinAcosB+cosAsinB两边平方，得sin2C=sin2Acos2B +cos2Asin2B+2sinAsinBcosAcosB=sin2A+sin2B－2·sin2Asin2B+2sinAsinBcosAcosB=sin2A+sin2B+2sinAsinBcos（A+B）=sin2A+sin2B－2sinAsinBcosC。由正弦定理，即得c2=a2+b2－2abcosC。

（六）集思广益，取其精华 在整节复习课临近尾声时，学生对证明方法的探索仍然意犹未尽。于是，教师布置家庭作业：（2）请列表比较证明余弦定理的几种方法的特点。

四、结语

从欧几里得开始，余弦定理经历了两千多年的历史，不同时空下的众多数学家贡献了自己的聪明才智。将数学史融入余弦定理复习课的教学，使学生经历数学的惊奇，感受数学的魅力，既为数学复习课染上了人文的色彩，也凸显了数学背后探索和发现的精神，展现了精彩纷呈的思想方法。

本节复习课中，我们以余弦定理的证明为线索，利用数学史引导、启发学生；使余弦定理的证明从勾股定理开始自然深入、逐步推广，促使学生在学习过程中自觉养成追根溯源、形成知识网络的习惯——如果学生在初中学习过勾股定理的严格证明，则也能起到衔接初、高中教学的作用。本节复习课中，我们主要采用了六种方法来推导余弦定理，其中三种为欧氏几何方法，另外三种分属平面三角、向量几何和解析几何方法，充分体现了知识的综合性（如图7所示）。课后的问卷调查表明：超过80%的学生对欧几里得的面积方法以及毕蒂克斯的辅助圆方法印象深刻，他们认为，“这些方法太新奇了”“没想到还会有这样的证明方法”。

对于如何将数学史融入数学教学，更好地开发HPM课例，本节课也有颇多启示：

首先，数学史是数学教学设计的丰富资源，而对数学史的获取仅凭一己之力确实会力不从心且举步维艰——正如从开采玉石到雕琢玉器，再到出售玉饰这一浩大工程又怎么会是一个人可以包揽下来的。而跨越这层障碍的最佳方式无疑是推行一种模式：先由大学教师完成相关主题的历史研究，以获得历史材料，再由大学教师与中学教师合作，对材料进行加工，使之适合于教学。

其次，在数学教学中，使用数学史大可不必拘泥于单一的课型，新授课、复习课、试卷讲评课中都可以体现其教育价值。而通过本节课的教学，显然可见复习课也会因数学史元素的融入而更为新鲜有趣。

物理-动能定理习题课教案 第6篇

篇一：动能和动能定理复习课教案

功、动能和动能定理复习课教案

授课班级 k一5授课老师杨再英

★学情分析

随着对物理学习的深入，学生刚入学时对物理的新鲜感正被逐渐繁难的物理知识带来的压力所取代，许多学生学习劲头有所下降，出现了一个低谷。他们对于物理学的基本轮廓及研究过程和方法可以说是空的，特别是学生的思维能力还停留在以记忆为主的模式上，想让他们在短时间内入门较为困难，因此在教学中要充分调动学生学生的积极性，加强学习方法论引导，逐步培养学生自主学习的能力，特别是物理学中的基本概念老师更加应该注重方法加以引导理解。另外在物理的课堂教学中应加强作业及解题格式的规范，还应该在教学中漫漫渗透物理思维方法的培养。

★复习要求

1、掌握动能的表达式。

2、掌握动能定理的表达式。

3、理解动能定理的确切含义，应用动能定理解决实际问题。

★过程与方法

分析解决问题理论联系实际，学习运用动能定理分析解决问题的方法。

★情感、态度与价值观

通过运用动能定理分析解决问题，感受成功的喜悦，培养学生对科学研究的兴趣。★教学重点

动能定理及其应用。

★教学难点

对动能定理的理解和应用。

★教学过程

（一）引入课题

教师活动：通过新课的探究，我们已经知道了力对物体所做的功与速度变化的关系，也

知道物体的动能应该怎样表达，力对物体所做的功与物体的动能之间关系这节课我们就来复习这些问题。

（二）进行复习课

教师活动：物体由于运动而具有的能叫动能，还知道动能表达式吗？ 学生活动：思考后回答Ek?12mv 2 教师活动：动能是矢量还是标量？国际单位制中，动能的单位是什么？

教师活动： 提出问题： 1970年我国发射的第一颗人造地球卫星，质量为173kg，运动速度为7200m/s，它的动能是多大？

学生活动：回答问题，并计算卫星的动能。

点评：通过计算卫星的动能，增强学生的感性认识。同时让学生感受到动能这个概念在生活、科研中的实际应用。促进学生对物理学的学习兴趣。

2、动能定理

教师活动：直接给出动能定理的表达式： 有了动能的表达式后，前面我们推出的W?112mv2?mv12，就可以写成 22 W?Ek2?Ek1 其中Ek2表示一个过程的末动能121mv2，Ek1表示一个过程的初动能mv12。22 上式表明，力在一个过程中对物体所作的功，等于物体在这个过程中动能的变化。这个结论，叫做动能定理。

提出问题：（1）如果物体受到几个力的作用，动能定理中的W表示什么意义？

结合生活实际，举例说明。（2）动能定理，我们实在物体受恒力作用且作直

线运动的情况下推出的。动能定理是否可以应用于变力作功或物体作曲线运

动的情况，该怎样理解？

教师活动：投影例题引导学生一起分析、解决。

学生活动：学生讲解自己的解答，并相互讨论；教师帮助学生总结用动能定理解题的要

点、步骤，体会应用动能定理解题的优越性。

1、动能定理不涉及运动过程中的加速度和时间，用它来处理问题要比牛顿

定律方便.2、用动能定理解题，必须明确初末动能，要分析受力及外力做的总功.3、要注意：当合力对物体做正功时，末动能大于初动能，动能增加；当合力对物体做负功时，末动能小于初动能，动能减小。

点评：通过分析实例，培养学生进行情景分析，加深对规律的理解能力，加强物理与生活实践的联系。

★课堂总结、点评

教师活动：让学生概括总结本节的内容。请一个同学到黑板上总结，其他同学在笔记本

上总结，然后请同学评价黑板上的小结内容。

学生活动：认真总结概括本节内容，并把自己这节课的体会写下来、比较黑板上的小结 和自己的小结，看谁的更好，好在什么地方。

点评：总结课堂内容，培养学生概括总结能力。

教师要放开，让学生自己总结所学内容，允许内容的顺序不同，从而构建他们自己的知识框架。

★教学体会

思维方法是解决问题的灵魂，是物理教学的根本；亲自实践参与知识的发现过程是培养学生能力的关键，离开了思维方法和实践活动，物理教学就成了无源之水、无本之木。学生素质的培养就成了镜中花，水中月。

★课后反思

功、动能和动能定理学案

一、动能

1.定义式：

2.动能是描述物体运动状态的一种形式的能，它是标量.二、动能定理

1.表达式：

2.意义：表示合力功与动能改变的对应关系.3.应用动能定理解题的基本步骤

（1）确定研究对象，研究对象可以是一个单体也可以是一个系统.（2）分析研究对象的受力情况和运动情况，是否是求解“力、位移与速率关系”问题.（3）若是，根据W合=Ek2-Ek1列式求解.与牛顿定律观点比较，动能定理只需考查一个物体运动过程的始末两个状态有关物理量的关系，对过程的细节不予细究，这正是它的方便之处；动能定理还可求解变力做功的问题.习题1、1970年我国发射的第一颗人造地球卫星，质量为173kg，运动速度为7200m/s，它的动能是多大？

3习题

2、一架喷气式飞机，质量m=5×10kg，起飞过程中从静止开始滑跑的路程为s =5.3 2×10m时，达到起飞的速度v =60m/s，在此过程中飞机受到的平均阻力是飞机重量的0.02倍（k=0.02），求飞机受到的牵引力。

习题

3、将质量m=2kg的一块石头从离地面H=2m高处由静止开始释放，落入泥潭并

2陷入泥中h=5cm深处，不计空气阻力，求泥对石头的平均阻力。（g取10m/s）

习题

4、在h高处，以初速度v0向水平方向抛出一个小球，不计空气阻

2-7-2 力，求小球着地时速度大小。

习题

5、如图4所示，AB为1/4圆弧轨道，半径为R=0.8m，BC是水平轨道，长S=3m，BC处的摩擦系数为μ=1/15，今有质量m=1kg的物体，自A点从静止起下滑到C点刚好停止。求物体在轨道AB段所受的阻力对物体做的功。

篇二：高考物理一轮复习：第9讲《动能定理》(一)教案(含答案)9 动能定理

（一）题一：一汽车起动后沿水平公路匀加速行驶，速度达到 vm 后关闭发动机，滑行一段时间后停

止运动，其 v—t 图象如图所示。设行驶中发动机的牵引力大小为 F，摩擦阻力大小为 f，牵引力做的功为 W1，克服摩擦阻力做的功为 W2，v m 则（）

A．F：f ＝4：1 B．F：f ＝3：1 C．W1：W2＝4：1D．W1：W2＝1：1 题二：在水平面上，一物体在水平力 F 作用下运动，其水平力随时间

t 变化的图象及物体运动的 v—t 图象如图所示。由两个图象可知，10 s 内（）

A．水平力F做的功为40 J B．物体克服摩擦力做的功为40 J C．摩擦力做的功为-40 J D．合力功为0 题三：用平行于斜面的力，使静止的物体在倾角为 ?的斜面上，由底端向顶端做匀加速运动，当物体

运动到斜面中点时，撤去外力，物体刚好到达顶点，如果斜面是光滑的，则外力的大小为（）

A．1.5mg sin?B．2mg sin? C．2mg（1+sin?）D．2mg（1-sin?）

题四：在水平桌面左端放置一小物体，质量为1 kg，桌面摩擦系

数为0.5，在与水平方向成37°角的恒力F = 10 N作用下沿直线向右端滑行，已知桌面长度为22 cm，则要将小物体运到桌面的

2右端，力F至少要做多少功？（取g=10 m/s，sin37°=0.6，cos37°=0.8）

题五：在“极限”运动会中，有一个在钢索桥上的比赛项目。

如图所示，总长为L的均匀粗钢丝绳固定在等高的A、B处，钢

丝绳最低点与固定点A、B的高度差为H，动滑轮起点在A处，并可沿钢丝绳滑动，钢丝绳最低点距离水面也为H。若质量为m的人抓住滑轮下方的挂钩由A点静止滑下，最远能到达右侧C 点，C、B间钢丝绳相距为L??LH，高度差为h?。参赛者在103运动过程中视为质点，滑轮受到的阻力大小可认为不变，且克服阻力所做的功与滑过的路程成正比，不计参赛者在运动中受到的空气阻力、滑轮（含挂钩）的质量和大小，不考虑钢索桥的摆动及形变。重力加速度为g。求：（1）滑轮受到的阻力大小；（2）若参赛者不依靠外界帮助要到达B点，则人在A点处抓住挂钩时至少应该具有的初动能。

第9讲 动能定理

（一）题一：AD 题二：ABCD 题三：B 题四：0.8 J 题五：（1）Ff?Ek0?10mgH 2710mgh（2）9L 篇三：动能定理习题课【高中物理】

动能定理习题课

一、教学目的：

1．复习掌握动能定理的内容。

2．灵活运用动能定理处理多过程问题。

3．利用动能定律求变力的功。

二、重点难点：

1．物理过程的分析。

2．物体受力情况分析及各力做功情况分析。

三、教学方法：

练习、讨论、讲授

四、教具

多媒体设备

五、教学过程：

（一）复习提问，引入新课: 乒乓球在与地面反复的碰撞过程中，所通过的总路程如何计算最方便呢？这个问题虽然用牛顿定律结合运动学公式可以解决，但过程较复杂。

我们在踢足球时，如何求解踢球过程中，我们的脚对足球所做的功呢？人的脚在与足球接触中这个力是变化的，我们无法直接用公式W=Fscosα来计算对足球所做的功。如果能知道力对足球所做的功跟足球动能变化的关系，就能很方便地解决这个问题了。

那么，外力对物体做的功跟物体动能的变化有什么关系呢？动能定理就给出了它们之间定量的关系。

提问1：动能定理的基本内容是什么？

（学生回答：外力对物体所做的总功，等于物体动能的变化）

提问2：动能定理的表达式是怎样的？是标量式还是矢量式？

（学生回答：W合=EK2-EK1，是标量式）

提问3：如何理解动能定理？动能定理的解题步骤是怎样的？

（要求学生把上一节课的内容复习一遍）

动能定理可以由牛顿定律推导出来，原则上讲用动能定律能解决物理问题都可以利用牛顿定律解决，但在处理动力学问题中，若用牛顿第二定律和运动学公式来解，则要分阶段考虑，且必须分别求每个阶段中的加速度和末速度，计算较繁琐。但是，我们用动能定理来解就比较简捷。本节课就研究动能定理解决某些动力学问题的优越性。

（二）进行新课：

1．应用动能定理求变力的功。

例题

1、如图1所示，AB为1/4圆弧轨道，半径为R=0.8m，BC是水平轨道，长S=3m，BC处的摩擦系数为μ=1/15，今有质量m=1kg的物体，自A点从静止起下滑到C点刚好停止。求物体在轨道AB段所受的阻力对物体做的功。

（先让学生自己做一做，然后老师再给予点拔）图1 AB段的阻力、BC段的摩擦力共三个力做功，WG=mgR，fBC=umg，由于物体在AB段受的

阻力是变力，做的功不能直接求。根据动能定理可知：W外=0，所以mgR-umgS-WAB=0 即WAB=mgR-umgS=1×10×0.8-1×10×3/15=6（J）

归纳小结：如果我们所研究的问题中有多个力做功，其中只有一个力是变力，其余的都是恒力，而且这些恒力所做的功比较容易计算，研究对象本身的动能增量也比较容易计算时，用动能定理就可以求出这个变力所做的功。

2．应用动能定理简解多过程问题。

例2：如图2所示，斜面足够长，其倾角为α，质量为m的滑块，距挡板P为S0，以初速度V0沿斜 P 解析：物体在从A滑到C的过程中，有重力、图2 面上滑，滑块与斜面间的动摩擦因数为μ，滑块所受摩擦力小于滑块沿斜面方向的重力分力，若滑块每次与挡板相碰均无机械能损失，求:（1）滑块将向上作什么样的运动？

（2）求滑块第一次到最高点时经过的路程？

（3）求滑块在斜面上经过的总路程为多少？

解析：（1）滑块在滑动过程中，要克服摩擦力做功，其机械能不断减少；又因为滑块所受摩擦力小于滑块沿斜面方向的重力分力，所以最终会停在斜面底端。

（2）在整个过程中，受重力、摩擦力和斜面支持力作用，其中支持力不做功。设其经过的总路程为L，对全过程，由动能定理得： mgS0?sin???ngcos??L?0?12mv0 2 得L?mgs0sin?? ?mgcos?12mv0（3）滑块在斜面上经过的总路程与（2）中所求相同。

思考：

１．若物体初速度方向沿斜面向下，此题应如何解答？（）

２．若物体初速度方向向上，滑块所受摩擦力大于滑块沿斜面方向的重力分力，物体运动情况如何变化？

３．若未给定初速度方向，但给定滑块所受摩擦力大于滑块沿斜面方向的重力分力，本题应如何去分析？

强调：答题一定要仔细审题，题中条件变了，物理情景会发生本质变化，对此审题定要慎重！

（三）巩固练习：

从离地面H高处落下一只小球，小球在运动过程中所受的空气阻力是它重力的k（k<1）倍,而小球与地面相碰后，能以相同大小的速率反弹，求：

（1）小球第一次与地面碰撞后，能够反弹起的最大高度是多少？

（2）小球从释放开始，直至停止弹跳为止，所通过的总路程是多少？

思路点拨：先据题意作出过程示意图，分析受力及运动情况，然后据动能定理列方程即可。略解：（1）设 小球第一次与地面碰撞后，能够反弹起的最大高度是h，则由动能定理得：mg（H-h）-kmg（H+h）=0（2）设球从释放开始，直至停止弹跳为止，所通过的总路程是S，对全过程由动能定理得mgH-kmgL=0 归纳小结：物体在某个运动过程中包含有几个运动性质不同的小过程（如加速、减速的过程），此时可以分段考虑，也可以对全过程考虑，但如能对整个过程利用动能定理列式则使问题简化。

（四）课堂小结：

（1）应用动能定理求变力的功：如果我们所研究的问题中有多个力做功，其中只有一个力是变力，其余的都是恒力，而且这些恒力所做的功比较容易计算，研究对象本身的动能增量也比较容易计算时，用动能定理就可以求出这个变力所做的功。

（2）应用动能定理简解多过程问题：物体在某个运动过程中包含有几个运动性质不同的小过程（如加速、减速的过程），此时可以分段考虑，也可以对全过程考虑，但如能对整个过程利用动能定理列式则使问题简化。

（五）课外练习：

（1）对放在水平面上的质量为Ｍ的物体，施与水平拉力Ｆ，使它从静止开始运动时间t后撤去外力Ｆ，又经时间t停下来，则：

Ａ．撤去力Ｆ的时刻，物体的动量最大；

Ｂ．物体受到的阻力大小等于Ｆ；

Ｃ．物体克服阻力做的功为Ｆ2 t2/4M Ｄ．Ｆ对物体做功的平均功率为Ｆ2 t/4M。图 3（2）如图3所示，人拉着绳的一端由Ａ走到Ｂ，使质量为m的物体匀速上升，已知Ａ、Ｂ两点的水平距离为Ｓ，求人对物体做的功？

（3）如图4所示，箱高为H，箱中有一竖直的固定杆，杆长为Ｌ（Ｌ＜Ｈ＝，它们的总质量为Ｍ。另有一个质量为m 的小球穿在杆上，球与杆间有不变的摩擦力，当小球以初速

图4 度Ｖ0 从底部向上滑动时，恰好到达箱顶。那么在小球沿杆上升的过程中，箱对水平地面的压力为多大？