非线性最优化问题

非线性最优化问题（精选12篇）

非线性最优化问题 第1篇

关键词：线性规划,最优解,图像解法,单纯形法,对偶规划

线性规划是运筹学中较为成熟的一个重要分支,是在研究线性约束条件下线性目标函数极值问题的数学理论和数学方法。它广泛应用于经济分析、经营管理、工程技术和军事作战等方面,可为合理地利用有限资源(如人力、物力、财力等等)所作出的最优决策提供科学、合理的依据。关于实际生活和生产实践的线性规划问题,时常会遇到一定条件下所解决的问题是否达到最优化。比如,在有限的资源条件之下,已经确定了生产产品的数量、品种,如何使产值或利润达到最大;在物资调配过程中,应该如何决定出产地与销售地之间的运输量,从而能够既满足了需求,又使得产生的运费达到最少;在一定的人力、物力资源下,如何进行合理的统筹安排,使得完成任务量达到最多,并能够获得最大的经济效益;等等。这些在数学上构成了线性规划中的最优问题。然而,在不同的问题实际与不同的条件约束之下,线性规划问题中的最优解决办法也各不相同。

一、图像解法

图像解法是利用模型的图形性质,创建直观、形象的几何情景,将抽象转化为具体,从而能够更为有效地去了解和把握我们所需解决的线性规划问题。借助图像解法讨论线性规划最优问题的解大致可分为三种情形,我们将以两个变量线性规划问题为例,对图像解法进行详细说明。

情形1:存在最优解——1)若在可行解区域的某个顶点上取得最优值,则该点即为线性规划问题的最优解;2)若在可行解区域的某边界的两个顶点同时取得最优值,则这两点连线上所有的点都为最优解,即该线性规划问题具有无穷多个最优解。

例1:用图像解法求解以下的线性规划最优化问题。

情形2:无可行解———若可行解区域为空集,则所构建的模型存在着相互矛盾的约束条件,所以此时该线性规划问题无可行解。

例2:用图像解法求解以下的线性规划最优化问题。

解析:通过观察图2可知,同时满足所有约束条件的点并不存在,即该线性规划问题的可行域为空集,说明该问题无最优解。

情形3:若可行区域出现无界区域,则此类线性规划问题是否存在最优解,将取决于目标函数本身。

例3:用图像解法求解以下的线性规划最优化问题。

解析:由图3可知,在该线性规划问题的可行域中出现无界区域,而就目标函数S=x1-x2本身而言,在可行域内是不存在最优点的,即该问题无最优解。

二、单纯形法

在解决线性规划问题时使用单纯形法,其主要思路为:通过线性规划标准型的矩阵表示,从一个基本可行解(即可行域的一个顶点)出发,转换到另一个可行解(即新的顶点),使目标函数值逐渐增大,从而得到线性规划的最优值与最优解。实际上,单纯形法是以代数基本理论作为基础,通过利用消元法解线性方程演变而来,这种方法的使用在解决由多个约束条件的线性规划问题时较为普遍。在经济领域里,单纯形法能够解决如配料问题、下料问题、运输问题、布局问题等等出现多个约束条件下的线性规划问题。关于单纯形法的应用,我们可通过下一例题的算法步骤来进一步说明。

解:首先将问题进行标准化:

其次取初始基变量x3,x4,列单纯形表进行换基迭代,如以下表1~3所示:

三、利用对偶规划寻求最优解

线性规划问题往往都会存在与之相对应的另一个线性规划问题,若将某个线性规划问题记为“原始问题”,则其所对应的另一问题可称为“对偶问题”。在寻求线性规划问题最优解的时候,我们通常可通过其对偶问题来解决所派生出的其他一系列最优问题。

例3:对偶规划问题对称形式的转换:

解析:原问题的对偶表如表4所示:

根据对偶表,则可得原问题的对偶规划问题:

由此类对称形式的转换出发,在实际应用中,我们还可利用图像解法或单纯形法求出问题的最优解,从而进一步对诸如影子价格、灵敏度分析等等作更深入的分析与研究。

参考文献

[1]陈笑缘.经济数学[M].北京:高等教育出版社,2009.

[2]曹才翰,章建跃.数学教育心理学[M].北京:北京师范大学出版社,2007.

[3]袁亚湘,孙文瑜.最优化理论与方法[M].北京:科学出版社,1997.

[4]宗一平.线性规划中的最优整数解问题的求解方法[J].方法篇,2011(7).

非线性系统最优控制理论综述 第2篇

非线性系统,其最优控制求解相当困难,寻求近似的最优控求解方法是当下解决这一问题的.主要途径.目前,比较成熟的最优控制求解方法主要有七类,本文对这七种方法进行了详细的阐述,并对其优缺点进行了客观的对比.

作 者：马玲珑 付玲芳 作者单位：马玲珑(内蒙古科技大学,内蒙古,包头,014010)

付玲芳(中国移动通信集团内蒙古有限公司包头分公司,内蒙古,包头,014010)

神经网络算法非线性优化方面的应用 第3篇

摘  要：文章通过神经网络算法对一类非线性优化方面的问题进行了分析，得到了应用神经网络非线性优化算法求解该类问题的具体步骤和算法方案，并给出了实例进行验证，证明了神经网络非线性优化算法是有效的，具有理论意义和实用价值。

关键词：：神经网络算法;MTLAB;非线性优化最优化

中图分类号：G622                   文献标识码：B               文章编号：1002-7661（2014）22-002-01

人工神经网络是由简单的处理单元所组成的大量并行分布的处理机，这种处理机具有储存和应用经念知识的自然特性，它与人脑的相似之处概括两个方面：一是通过学习过程利用神经网络从外部环境中获取知识;二是内部神经元（突触权值）用来存储获取的知识信息。

一、神经网络非线性优化求解铁路空车调度组合优化问题

目前铁路局对空车调度计划是利用表上作业法，采用计算机辅助统计，要经过分局管内各主要站和各区段的车种别空车调度，分局间分界站车种别交接空车数的确定;局间分界站车种别交接空车数的确定来编制整个铁路局的空车调度计划.下面用神经网络优化方法解决该问题。

空车调度问题一般指的是：设有个空车发送站，个空车到达站数的距离为，设空车产生站 到空车需求站的空车数为，由发出的空车数为，则应满足

空车需求站接受到的空车数为，则应满足

假设空车产生数等于空车的需求数，即平衡运输，则

总的空车走行公里数为

由于神经元的输出值在之间，而空车数目是大于1的数，则将（  ）作为实际空车数，这样就可以保证在（  ）之间，求为在中所占的百分比，为了用Hopfield神经网络求解空车调度问题，建立能量函数如下

式中

表示空车发送站的空车数应等于的约束，当且仅当发车数为时，该项为0;

表示空车到达站所需的空车数应等于的约束，当且仅当到达的空车数为时，该项为0;

表示对空车调度的总体约束;

表示对目标项的约束;

表示惩罚项系数，为目标项系数.

当计算能量函数 达到最小时，对应于空车调整计划的一个最佳计划方案.其算法如下

则动态迭代过程为

其中 ，分别代表迭代次数，选取0.001.

二、结束语

在人工神经网络的实际应用中，80%—90%的人工神经网络模型是采用BP神经网络或它的变化形式，它体现了人工神经网络的最精华的核心部分。

参考文献：

[1] 高  隽.人工神经网络原理及其仿真实例.北京：机械工业出版社，2003.7

[2] 黄平.最优化理论与方法.北京：清华大学出版社，2009.2

[3] 周开利，康耀红.神经网络模型及其MATLAB仿真程序设计.北京：清华大学出版社，2005.7

[4] 曾  昭，王耀南.神经网络算法在非线性系统中的应用研究[J] .湖南师范大学自然科学学报，Vol.30，No.2，2007.7

[5] 邢文训.谢金星.现代优化计算方法[M ].北京：清华大学出版社，1999

当计算能量函数 达到最小时，对应于空车调整计划的一个最佳计划方案.其算法如下

则动态迭代过程为

其中 ，分别代表迭代次数，选取0.001.

二、结束语

在人工神经网络的实际应用中，80%—90%的人工神经网络模型是采用BP神经网络或它的变化形式，它体现了人工神经网络的最精华的核心部分。

参考文献：

[1] 高  隽.人工神经网络原理及其仿真实例.北京：机械工业出版社，2003.7

[2] 黄平.最优化理论与方法.北京：清华大学出版社，2009.2

[3] 周开利，康耀红.神经网络模型及其MATLAB仿真程序设计.北京：清华大学出版社，2005.7

[4] 曾  昭，王耀南.神经网络算法在非线性系统中的应用研究[J] .湖南师范大学自然科学学报，Vol.30，No.2，2007.7

[5] 邢文训.谢金星.现代优化计算方法[M ].北京：清华大学出版社，1999

当计算能量函数 达到最小时，对应于空车调整计划的一个最佳计划方案.其算法如下

则动态迭代过程为

其中 ，分别代表迭代次数，选取0.001.

二、结束语

在人工神经网络的实际应用中，80%—90%的人工神经网络模型是采用BP神经网络或它的变化形式，它体现了人工神经网络的最精华的核心部分。

参考文献：

[1] 高  隽.人工神经网络原理及其仿真实例.北京：机械工业出版社，2003.7

[2] 黄平.最优化理论与方法.北京：清华大学出版社，2009.2

[3] 周开利，康耀红.神经网络模型及其MATLAB仿真程序设计.北京：清华大学出版社，2005.7

[4] 曾  昭，王耀南.神经网络算法在非线性系统中的应用研究[J] .湖南师范大学自然科学学报，Vol.30，No.2，2007.7

[5] 邢文训.谢金星.现代优化计算方法[M ].北京：清华大学出版社，1999

一种非线性系数的粒子群优化算法 第4篇

粒子群算法(partic le swarm optimization-PSO)是由Kennedy和Eberhart[1]等人于1995年提出的一种基于种群搜索的自适应进化计算技术。它最初用于处理连续优化问题,目前已扩展到组合优化问题,获得了许多优秀的应用成果。然而,Kennedy等人提出的粒子群优化算法亦有其不足:例如易陷入局部极值点,进化后期收敛速度慢,精度较差等。为了克服粒子群优化算法的这些不足,研究人员提出了许多改进的粒子群优化算法。这些算法从不同方面对粒子群优化算法进行了改进[2~5],不同程度地提高了算法的收敛速度和精度。由此,本文提出用非线性函数调整惯性权重和加速系数的粒子群优化算法(nf PSO),在算法的运行过程中通过一个与当前迭代次数相关的非线性函数控制惯性权重和加速系数,使得在算法初期加大粒子的多样性与在算法后期加快粒子的收敛速度,从而实现“发散”与“收敛”的动态平衡。

2. 粒子群优化算法

粒子群优化算法是一个基于种群的优化算法,种群称作粒子群,粒子群中的个体被称为粒子。设有N个粒子组成的一个群体,其中第i个粒子表示为一个m维的向量xi(i=1,2,N),第i个粒子的“飞行”速度也是一个m维的向量,记为vi(i=1,2,N)。再设f(x)为最大化的目标函数,则粒子群优化算法采用下列公式对粒子操作:

其中,w为惯性因子,c1和c2称为加速系数;r1和r2是介于[0,1]之间的随机数;pi(t)(i=1,2,N)为第i个粒子迄今为止搜索到的最优位置,更新式如下:

pg(t)为整个粒子群迄今为止搜索到的最优位置,即:

迭代中止条件根据具体问题一般选为最大迭代次数或(和)粒子群迄今为止搜索到的最优位置满足预定最小适应阈值。式(1)中c1r1(pi(t)-xi(t))被称为“认知”部分,表示粒子本身的思考;而c2r2(pg(t)-xi(t))被称为“社会”部分,表示粒子间的信息共享和相互合作。

3. 非线性系数的粒子群优化算法(nf PSO)

3.1 非线性系数惯性权重和加速系数

通过实验观察发现:粒子群中粒子的进化,主要是通过粒子群中的个体迄今为止搜索到的最优位置(个体最优位置)和整个粒子群迄今为止搜索到的最优位置(整体最优位置)来控制的。当加大个体最优位置在PSO算法中速度更新式的影响权重时,粒子群的多样性就会增加,但是会减慢收敛速度;当加大整体最优位置在PSO算法中速度更新式的影响权重时,粒子群收敛速度会加快,但容易过早地陷入局部极值。

Shi和Eberhart[6]指出较大的w值有利于跳出局部极小点,而较小的w值有利于算法收敛:速度更新式(1)的第一部分表示了粒子以前的速度对粒子下一步运动的影响。这部分提供了粒子在搜索空间飞行的动力。其中的惯性权重控制了粒子以前的速度对当前速度的影响的大小。因此,惯性权重的设置也会影响粒子的全局搜索能力与局部搜索能力之间的平衡。如果w较大,整个算法的全局搜索能力加强,有利于跳出局部极小点;而w值较小,则前一动量项的影响较小,则粒子集中在当前解的附近搜索,局部搜索能力较强,有利于算法收敛。

于是本文提出了一种用非线性系数惯性权重w和加速系数控制c1,c2的策略:

其中,iter为当前迭代的次数,iter Max为最大迭代次数。由(5)式可以看出,这样便可实现在算法初期w和c1较大而在算法结束阶段w和c1较小,并且有个扰动因子sin(iter)的作用,使得算法具有更强的跳出局部极值的能力。w随迭代次数的变化如图1所示:

3.2 极值扰动

粒子群优化算法在前期的收敛速度很快,但是,如果当前最优解为一局部最优位置,那么一旦所有粒子都收敛于该位置后,这些粒子将很难跳出该局部极值,从而造成在进化后期进化速度慢、精度低的不足。下面从理论上分析这一现象。

Clerc M,Kennedy J[7]指出,在假设pi(t)(i=1,2,L N)、p0和pg都固定不变的情况下,得出如下结论:

由(7)式可知,在粒子群优化算法中,粒子收敛到由个体极值p0和全局极值pg决定的线段中的一点p*之上,如果粒子在向p*靠近过程中发现比p*更好的解则将个体极值p0设为新的全局极值pg;否则,粒子都聚集到p*,粒子速度趋向于0,进化过程处于停滞状态。于是本文提出了将(1)式中个体极值与全局极值都乘以sin(i)的扰动方法,如(8)式所示:

4. 仿真实验与结果分析

为了测试本文提出的nf PSO算法的性能,在本节将用nf PSO算法与上文提及的PSO算法、学习因子线性变化的lf PSO算法进行比较。用这三个算法对3个Benchmark函数进行测试。其中,PSO算法w从0.9线性下降到0.4,学习因子c1,c2均为2;lf PSO算法w从0.9线性下降到0.4,c1从3.5线性减小到1,c2从1线性增加到3.5。每个算法进化代数设为500,种群个数为20,变量维数30,各运行50次所得函数适应度的平均值、最优值、达截止值的迭代次数作为统计指标。为了方便进化曲线的显示和观察,本文对函数的适应度取以10为底的对数。适应度截止值为10-15。

3个测试函数分别为:(1)Sphere函数:,(2)Quadric函数,(3)Rastrigin函数。每个函数变量取值区间为[-100,100],它们最优值点和最优值为minf1(x*)=f1(0,0,L,0)=0。各个函数的仿真结果如下表所示:

从实验结果表1~表3可以看出,本文提出的nf PSO算法对于不同维数的测试函数在搜索速度与精度上都远大于其它两种算法。特别在进化后期,PSO与lf PSO的进化速度都大幅减慢从而收敛到精度较低的最优值上,而nf PSO保持良好的进化速度,最终收收敛到较高精度的最优值上。这些实验结果说明了本文提出的nf PSO算法比PSO算法具有更好的实用性能。

5.结论

本文分析了造成PSO算法在初期容易陷入局部极值、进化后期收敛速度慢和精度低等缺点原因,并提出了极值扰动以避免粒子的过早陷入局部极值、非线性调整加速系数和惯性权重的对策,由此得到了非线性系数的粒子群优化算法(nf PSO)。通过对3个经典优化测试函数仿真对比实验结果说明nf PSO算法无论是从收敛速度还是结果精度都较其它两对比种算法更优良,具有不易陷入局部极值、收敛速度快和结果精度高的特点,使得nf PSO算法更具实用性。

参考文献

[1]Kennedy J,Eberhart R.Particle swarm optimization:IEEE Interna-tional Conference on Neural Networks,1995[C].Perth,Australia:IEEE Press,1995:1942-1948.

[2]李宁,孙德宝,岑翼刚等.带变异算子的粒子群优化算法[J].计算机工程与应用,2004,40(17):12-14.

[3]高鹰,谢胜利.免疫粒子群优化算法[J].计算机工程与应用,2004,40(6):427-431.

[4]郝万君,强文义,柴庆宣等.基于粒子群优化的一类模糊控制器设计[J].控制与决策,2007,22(5):584-587.

[5]倪庆剑,邢汉承,张志政等.粒子群优化算法研究进展[J].模式识别与人工智能,2007,20(3):349-357.

[6]Shi Y,Eberhart R.A modified particle swarm optimizer:IEEE World Congress on Computational Intelligence,1998[C].Piscataway:IEEE Press,1998:69-73.

空中交通流线性二次型最优控制 第5篇

空中交通流线性二次型最优控制

针对空中交通流量需求的日益增长,通过对交通流LWR理论进行改进与元胞模型理论相结合,建立改进的一维元胞传输模型.采用离散控制系统线性二次型最优控制理论对模型进行了分析研究,实现对特定区域内流量进行预测.利用Matlab对系统进行了仿真,对不同流动比例系数下得到的.控制序列和反馈增益进行比较,通过采样数据的比较,得出的结果显示,空域单元的飞行流量得到改善.

作 者：刘强 白存儒 林键 陈灵清 LIU Qiang BAI Cunru LIN Jian CHEN Lingqing  作者单位：西北工业大学,西安,710072 刊 名：交通与计算机  ISTIC英文刊名：COMPUTER AND COMMUNICATIONS 年，卷(期)： 26(6) 分类号：V355.1 关键词：空中交通流量管理   欧拉法   线性二次型   最优控制  

非线性最优化问题 第6篇

关键词：线性 非线性目标函数

我们知道，目标函数和约束条件都是线性函数的情形则属于线性规划.具有非线性约束条件或目标函数的数学规划，是运筹学的一个重要分支.

高中数学中与线性规划有关的非线性目标函数主要有：斜率型、距离型、面积型等.

一、 斜率型. 目标函数形如z=ax+by+cdx+e的二元一次分式函数.

例1 动点P(a,b)在不等式组x+y-2<0

x-y+2>0

y>0表示的平面区域内部运动，则ω=a+b-1a-1的取值范围是_____．

解：依题意有：b>0

a+2b+1<0

a+b+2>0

而ω=a+b-1a-1=1+b-2a-1

b-2a-1表示图1中三角形的阴影区域内的点P(a,b)与点Q(1,2)连线的斜率.

容易求出b-2a-1∈14,1，所以b-2a-1的取值范围是14,1.即ω的取值范围是54,2

变题1.如果m、n为三次函数f(x)=13x3+12ax2+2bx的两个极值点，且a∈(0,1)，b∈(1,2)，a∈R,b∈R,那么b-2a-1的取值范围是_____.

解：f′(x)=x2+ax+2b. 依题意有：f′(0)>0

f′(1)<0

f′(2)>0即b>0

a+2b+1<0

a+b+2>0.

由例1可以得到b-2a-1的取值范围是14,1.

变题2.设实数x,y满足约束条件y≥0

2x+6y+1≤1

2x+3y+2≥0，求z=2x+3y-12x-1的最大值与最小值.

解：令2x=a,3y=b,则有b≥0

a+2b+1≤0

a+b+2≥0,且z=a+b-1a-1,仿例1解法可得最大值为2,最小值为54.

二、 距离型. 目标函数形如z=ax2+by2+cx+dy+e的二元二次函数.

例2 设实数x,y满足约束条件y>0

x+2y+1<0

x+y+2>0，求z=x2+y2-2x的取值范围.

解：约束条件表示的区域就是图1，

因为z=x2+y2-2x=(x-1)2+y2-1.

设P(x,y),Q(1,0).则z=PQ2-1.容易得到PQmax=7,PQmin=2.

所以z的取值范围是［3,6］.

三、 面积型. 目标函数形如z=axy+bx+cy+d的二元二次函数.

例3 在平面直角坐标系中,如果P(x,y)满足x-4y+4≤0,

2x+y-10≤0,

5x-2y+2≥0.那么当xy取得最大值时,点P的坐标是_____.

解：画出约束条件对应的平面区域是以A(0,1),B(4,2),C(2,6)为顶点的三角形区域（含边界）如图2.

而目标函数xy表示矩形OMPN的面积.显然BC当点在边上运动时, 矩形OMPN的面积才可能取最大值.

因为线段BC的方程是y=10-2x(2≤x≤4).所以S=xy=x(10-2x),容易得到当x=52时, S=xy=x(10-2x)取最大值.此时点P52,5

当然，高中数学线性规划问题中的非线性目标函数还有其他情况，但是解决问题的方法有相似之处，本文不再一一列举.

参考文献：

［1］ 陈益军.高考线性规划问题的题型解读.数学通讯,2010(5，6).

［2］ 胡志勇. 线性规划问题的三种常见题型.高中数学教与学,2008(4).

［3］ 刘崇林. 线性规划中目标函数的几种类型及其向量解法.中学数学杂志 2008(5)

非线性最优化问题 第7篇

关键词：非线性优化,最小二乘拟合,MATLAB,像素坐标

历史上对太阳影子的利用由来已久,人类最早根据“立竿见影”的现象发明了计时仪器日晷、圭表,就是利用太阳在圭表上的射影长短和方向来估测时间。如今通过分析太阳影子的变化规律被称为太阳影子定位技术。构建影子长度和坐标的数学模型,运用MAT-LAB进行相关操作进一步研究确定物体所在地点和日期。

1影子长度变化的数学模型

1.1太阳高度角的确定

太阳高度角(SE)由太阳赤纬(SD)、地理纬度(LA)和时角(HA)确定[1]。

太阳高度角,也称太阳高度,是指某地的太阳光线与当地地平面所交的最小线面角。物体的实际高度(PH)与影子长度(SL)的比即为太阳高度角(SA)的正切值:

随着地方时和太阳的赤纬的变化而变化。太阳赤纬(与太阳直射点纬度相等)以SD表示,观测地地理纬度用LA表示(太阳赤纬与地理纬度都是北纬为正,南纬为负),地方时(时角)以HA表示,则太阳高度角的计算公式:

太阳赤纬是地球赤道平面与太阳和地球中心的连线之间的夹角[2]。日数以DN表示,计算公式:

时角是从观测点天球子午圈沿天赤道量至太阳所在时圈的角距离[3]。当地时间(真太阳时间)以ST表示,计算公式:

在中国地区,北京时间以BT表示,真太阳时的换算公式:

1.2影子长度模型的建立

建立由直杆高度、当地纬度和经度、日序数和时间(北京时间)为变量的太阳影子长度变化的数学模型,则某地直杆影子长度(SL)的函数表达式为:

其中,

2物体顶点影子坐标数学模型

2.1建立空间直角坐标系

在以物体所处位置为坐标原点,经线指示南北,纬线指向东西,且东西方向为无限方向,相对于地球而言,太阳为一个面光源。照射到地球的太阳光是一组平行光线。因此,以o为原点,正东方为X轴,正北方为Y轴,高度为HP的直杆顶点影子坐标P(Px,Py)与原点的连线是垂直轴建立直角坐标系。

2.2太阳方位角的计算

太阳方位角即太阳所在的方位,指太阳光线在地平面上的投影与当地经线的夹角,可近似地看作是竖立在地面上的直线在阳光下的阴影与正南方的夹角[4]。太阳高度角以SE表示,当地经度以La表示,太阳赤纬以SD表示,计算公式:

2.3影子坐标模型

影子坐标P(Px,Py)由影子长度和太阳方位角确定:

在以上坐标系下,直杆顶点的影子坐标P(Px,Py,0)由直杆高度、当地纬度和经度、日序数和时间决定(北京时间),函数表达式为:

其中,

3实例应用

3.1固定物体,绘制太阳影子长度的变化曲线

应用建立的模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场(北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒)3米高的直杆的太阳影子长度的变化曲线。运行Matlab编辑的程序,绘制结果如图1:

图1表明直杆的影子长度随时间(北京时间)先减小后增大,在约12点(约11点44分)影子长度最小。

3.2分析影子长度关于各个参数的变化规律

固定PH,La,L0,DN的其中三个,另一个在一定区间变动,利用函数的单调性和数值模拟分析影子长度关于单个参数的变化规律,运行matlab编辑的程序,绘制结果如图2。

(1)纬度,影子长度随纬度La的增加而减小,不同纬度的直杆在时间9:00到15:00的影子长度曲线互不相交(图2A,La变化区间[10,65],步长为5)。

(2)杆高,影子长度随杆高PH的增加而增加,不同高度PH的直杆在时间9:00到15:00的影子长度曲线互不相交(图2B,PH变化区间[1,10],步长为1)。

(3)日期,影子长度随日期DN变化先增加后减小,在夏至(DN=173,22-Jun-2015)达到最小,不同日期DN的直杆在时间9:00到15:00的影子长度曲线互不相交(图2C,DN变化区间[0,365],步长为13)。

(4)经度,不同经度L0的直杆影子的长度在同一时间达到最小值,这一时间即当地时间12点。(图2D,L0变化区间[96,130],步长为5)。

3.3顶点影子轨迹随经纬度的变化

固定PH,La,Lo,DN的其中三个,经纬度(La,Lo)中的一个在一定区间变动,利用数值模拟分析顶点影子坐标随经纬度(La,Lo)的变化规律,已知参数的取值为:PH=3m,La=39.9072°,L0=116.3914°DN=295。运行Matlab编辑的程序,绘制结果如图3:

(1)纬度,不同纬度La顶点影子坐标轨迹形态相同不相交,纬度越大,坐标轨迹图形跨度越大(图3A,La变化区间[10,65],步长为5)。

(2)经度,不同经度L0顶点影子坐标轨迹完全相同,坐标轨迹上的同一点对应着不同经度的不同时间,坐标轨迹图时间(北京时间)差正好由经度差决定。(图3B,L0变化区间[96,130],步长为5)。

4结论

本文在建立影子坐标模型的基础上,通过分析影子的相关数据,将物体定位地点和日期的问题看作确定坐标的逆问题,并转化为非线性优化模型,利用最小二乘拟合求解。其问题在于非线性优化模型求解往往存在多个局部最优解,其求解结果很大程度上依赖于初值。在本文中提取坐标可能存在较大误差,有待改进。

参考文献

[1]郑鹏飞,林大钧等.基于影子轨迹线反求采光效果的技术研究[J].华东理工大学学报,36(3),458-463.

[2]陈晓勇,郑科科.对建筑日照计算中太阳赤纬角公式的探讨[J].浙江建筑,2011,9,.

[3]李辰晴,李朗等.太阳时角对槽式聚光器焦线位置的影响[D].昆明:云南师范大学,2007,11.

[4]贺晓雷,于贺军等.太阳方位角的公式求解及其运用[J].太阳能学报,2008,1.

[5]刘卫国.MATLAB程序设计与应用[M].北京:高等教育出版社,2012.

[6]姜启源,谢金星.数学建模(第三版)[M].北京:高等教育出版社,2003.

[7]蒋洪力.太阳直射点纬度的数学推导和分析[J].数学通报,2007.

非线性最优化问题 第8篇

关键词：薄壁件,精密加工,刀具几何参数,多元非线性回归,遗传算法

0 引言

近年来,许多学者对航空薄壁件加工变形的控制进行了大量深入研究。相比实验研究和分析,有限元仿真模拟技术能节省大量的时间和设备成本,并能够获得实验难以测量的物理力学参数。应用有限元分析技术研究和解决航空薄壁件加工变形问题已成为当前研究的热点和重要手段之一。S. Ratchev[1]等在建立了柔性力学模型的基础上成功实现了对低刚度薄壁件加工变形预测的有限元模拟分析;黄志刚[2]等人运用有限元分析方法,对变形反馈的影响予以简化,分析了航空薄壁框零件的铣削加工变形;浙江大学的董辉跃、柯映林[3]等人对框梁结构件的加工变形进行了研究,并在正交试验的基础上提出了加工变形的预测方法;牛红亮,杜娟[4]等人通过有限元软件模拟了不同切削速度下工件的变形;唐东红、孙厚芳[5]等人利用耦合神经网络的方法建立了工件加工变形的预测模型,并通过遗传算法进行优化,经过验证使加工变形明显得到控制。

以上研究大多集中在铣削参数、装夹力等对加工变形的影响,很少研究刀具几何参数的影响,但在精密数控加工过程中,刀具几何参数对薄壁件的加工变形不容忽视。本文主要针对航空接头类薄壁件,对其铣削过程建立了加工变形的有限元仿真模型,并设计验证性试验证明有限元分析模型的有效性。设计刀具前角、后角和螺旋角的正交实验,得到相关数据,运用多元非线性回归技术建立变形量的单目标优化数学模型,通过相关性检验和线性回归的显著性检验证明模型的可行性。借助遗传算法的全局寻优能力,以变形量预测模型为目标函数,对铣刀几何参数进行优化分析,得到理论最优刀具工艺角度。该方法为合理的选用铣刀以控制薄壁件加工变形提供了有效途径。

1 有限元关键技术和验证性实验

1.1 有限元关键技术

在金属切削领域用于描述材料本构关系的理论模型为Johnson-Cook模型。该模型的表达式如式(1)所示[6]:

式中:ε为等效塑性应变,为材料的应变率,为参考应变率,一般情况取。A、B、C、n、m为材料本构模型中的系数,与零件材料的物理性能相关。

钛合金加工过程中材料的破坏遵循Johnson-Cook动态失效模型,当破坏值大于1时,断裂破坏随之发生[7]。材料破坏的相关参数满足关系式(2)。

式中,为等效塑性应变率增量;εfpl为材料破坏时的应变,可以表示为:

式中:p为压应力;q为Von Mises应力;εpl为塑性应变率;ε0为材料的参考应变率; 为参考温度25℃;d1~d5为材料常数。

1.2验证性实验

为了验证有限元分析结果的正确性及合理性,本文通过航空接头类薄壁件实际铣削加工进行验证。实验采用XKA714C数控铣床,主轴速度设定为660r/min,每齿进给量设定为0.1mm。工件材料为钛合金TC4,两侧薄壁厚度2mm、底面尺寸长×宽=220mm×20mm,实验采用四齿直柄立铣刀,刀具直径d=10mm,材料为硬质合金YG8。模拟仿真过程各项参数和数据与实验一致,加工现场和有限元模型如图1和图2所示。切削结束后,采用三坐标测量仪AME654对零件关键路径上点的变形进行测量。将试验所测得的Path-X路径和Path-Y路径上各点的变形量数据与仿真值进行比较,得到曲线图如图3中(a)和(b)所示,无论是仿真值的变形大小与变形趋势与实验值都有较好的吻合度从而验证了模型的正确性。

2 多元非线性回归模型的建立及验证

2.1 实验设计

实验方案采用多元非线性回归正交实验组合设计,研究加工变形与刀具几何参数之间的回归数学模型。正交实验因素数为3,选用L25(36)正交表,试验次数25次,试验中,刀具前角和后角变化范围0°~20°,螺旋角变化范围20°~70°。按照刀具几何参数变化范围对因素水平进行编码,如表1所示。

根据上述因素水平值,确定实验方案,采用不同几何参数的直柄立铣刀对工件一侧薄壁进行铣削加工,并测量加工后的变形量。实验方案及结果如表2所示。

2.2 回归模型的建立

采用多元非线性回归法,建立变形量与刀具几何参数之间的拟合数学模型。多元二次非线性回归拟合数学关系方程[8,9]为:

式中:y为因变量;β为待定多项式系数:n为设计变量数;xj、xi为自变量。

薄壁件铣削加工模拟实验数据回归分析的自变量有前角x1、后角x2和螺旋角x3,因变量y,样本数据如表2所示。运用MATLAB软件数值计算,最后得到薄壁件变形量与刀具几何参数的多元非线性回归方程:

2.3 回归模型的检验

根据多元非线性回归的检验方法,对回归方程进行相关性检验和显著性检验[10,11]。相关性表示自变量与因变量的线性关系,可以用相关系数R来表示他们之间的密切程度:

|R|越接近1,表示自变量与因变量关系越密切,拟合效果越好。通过回归,得出该模型的相关系数为0.9883,非常接近1。因此,可以确定该模型的拟合效果非常好。

对于线性回归的显著性检验,给定显著水平α:

式中:P为概率;F为线性回归显著性检验方法;p为自由度;n为样本数。

回归计算得出F的数值,若:

则认为线性回归显著,本模型经回归后,F值大于从文献[10]查表所得到的F值。因此,可以确定线性回归显著。可见,该数学模型能够精确的反应变形量与刀具几何参数之间的关系。

3 铣刀几何参数优化

本文采用全局寻优能力较强的遗传算法实现对铣刀几何参数的优化,它根据预定的目标函数对个体的适应度进行评价,依据优胜劣汰的进化规则不断的得到更优的群体,同时以全局并行搜索方式来搜索优化群体中的最优个体,以求得最优解[12]。在优化过程中,以控制加工变形最小为目标,根据上述所建立的变形量和铣刀几何参数的模型,相应的优化模型为:

为了获得可能的最优解和较小遗传算法计算量,优化时定义最大遗传代数为M=100,交叉概率Pc=0.2,变异概率Pm=0.05。运用MATLAB进行GA运算,经过迭代最终获得各铣刀角度优化过程的收敛情况如图4所示,其中横坐标是进化代数,纵坐标为目标函数值(适值),即加工变形量。由图看出,随着遗传算法优化的不断进行,加工变形量不断降低。最终获得铣刀各角度的最优结果为:前角x1=6°、后角x2=17°、螺旋角x3=43°,变形量y=34.1μm。在该组铣刀几何参数下进行模拟加工,变形量y=32.9μm,相对误差为3.5%,在允许范围之内,且优于正交实验的最低结果。

4 结论

1)薄壁件铣削加工变形与铣刀几何参数(前角、后角和螺旋角)的数学模型很难确定,本文将多元非线性回归与正交实验相结合确定了其完全二次分布模型,并检验了模型的有效性。

2 )在其他加工参数确定的情况下,合理的配置铣刀几何参数,能够有效的控制加工变形。运用遗传算法,得出了铣削该零件的最优铣刀几何参数:前角x1=6°、后角x2=17°、螺旋角x3=43°,使工件的变形量降低到34.1μm,相对于实验结果误差为3.5%,且比正交实验方案变形量最少降低了15%,本文的研究内容为其他复杂刀具的几何参数优化设计提供一定的参考。

参考文献

[1]Ratchev.S,Liu,S,Huang.W,et al.A flexible forcemodel for the end milling of low-rigidity parts[J].Journal of Materials Processing Technology,2004,153-154:134-138.

[2]黄志刚.航空整体结构件铣削加工变形的有限元模拟理论及方法研究[D].杭州:浙江大学,2003.

[3]董辉跃,柯映林.铣削加工中薄壁件装夹方案优选的有限元模拟[J].浙江大学学报,2004,38(1):17-21.

[4]牛红亮,杜娟.薄壁零件高速铣削变形有限元仿真[J].制造业自动化,2015,37(6):19-20.

[5]唐东红,孙厚芳.基于工件变形控制的铣削参数优化方法研究[J].中国机械工程,2008,9(19):1076-1078.

[6]Johnson G R,Cook W H.A.Constitutive model and data for metals subjected to large strains,high strain rates and high temperature[A].Proceedings of the 7th International Symposium on Ballistics.Netherlands[C].1983:541-547.

[7]丁子昀,左敦稳,郭魂,等.多点装夹方案对多框体铣削变形影响的有限元分析[J].南京航空航天大学学报,2009,41(5):639-643.

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非线性最优化问题 第9篇

配电系统处于电力系统末端, 是整个电力系统与用户联系、向用户供应和分配电能的重要环节, 具有特殊的运行方式。据统计, 由配电网故障引起的停电占所有停电的80%[1]。随着经济、社会和文化的不断发展, 负荷逐年增加, 网络结构日趋复杂, 与此同时, 用户对配电系统可靠性的要求也越来越高。配电网可靠性是供电企业评估网架结构的重要指标, 往往体现为配电系统的连续供电能力, 一般总是以停电状态发生的概率、时间和规模来度量。因此, 计算最小停电范围是评估和提高配网可靠性的重要依据。负荷转供是指配电网发生故障并进行隔离之后, 通过开关的操作以及部分负荷的切除, 在满足安全约束的条件下, 尽可能多地恢复对负荷的供电[2]。负荷转供可以明显降低故障带来的损失以提高供电可靠性, 是配网自动化系统中的重要功能之一。

国内外许多学者提出了多种负荷转供算法, 主要包括以下几类[3]: (1) 遗传算法; (2) 随机优化算法; (3) 专家系统法; (4) 混合算法; (5) 混合整数规划法。

启发式搜索是一类受启发式规则引导的搜索模式, 依靠专门的信息来简化搜索, 提高搜索效率。遗传算法遵循设定的启发性规则和预设的指标, 突出优点是计算速度快, 但不能完全保证解的最优性, 其搜索规则的制定过程较复杂, 且规则制定不合理时会影响解的质量。文献[4]针对该问题列出一系列切负荷方案, 根据预设指标进行等级排序, 在遍历切负荷方案时可能丢失最优解。随机优化算法基于遗传算法, 有良好的全局搜索性能, 具有较好的寻优能力, 缺点是要对每个新生成的网络进行拓扑分析, 并通过随机选择开断分段开关的方式解除环网, 计算量大, 不适用于大规模网络。文献[5]用节点深度编码 (NDE) 技术中的保留初始节点 (PAO) 操作和改变初始节点 (CAO) 操作取代传统的交叉、变异操作, 保证配电网辐射运行, 但PAO和CAO操作也是按概率进行操作, 因而并不能严格保证其遍历的完备性, 从而可能会丢失最优解。文献[6]提出了改进的非支配遗传算法 (NSGA-Ⅱ) , 将多目标转化为单目标, 通过非支配排序和拥挤距离来评价解的优劣, 具有良好的寻优性能。文献[7]将NDE技术和改进的非支配遗传算法 (NSGA-Ⅱ) 结合起来求解配电网故障恢复问题。专家系统法是搜集各种故障情况和相应的对策, 存入数据库, 当故障发生时, 能够自动生成恢复故障需要操作的方案[8], 但是知识库的建立和集成费时费力且难以记录全部故障。混合算法是结合多种算法的优点, 如遗传算法和遗传算法结合[9]、专家系统和数学规划法结合[10]等。

混合整数规划法将待解的问题用标准的数学形式表达成目标函数和不等式约束条件来进行数学求解[11,12]。这种算法最明显的优点是有极好的寻优能力, 利用数学函数的解析性质, 当目标函数存在最优解时, 就一定能被找到。并且该方法仅要求配电网拥有树状结构, 具有广泛的适应性。然而, 随着停电区域的扩大, 这种算法的计算时间会显著增加。

本文基于非线性整数规划, 以馈线为单元, 将辐射运行的配电馈线映射成树状拓扑结构, 建立数学模型, 以停电损失最小为目标, 将停电损失表示成节点已知负荷功率与节点计算注入功率的差额, 所有差额的绝对值之和作为优化计算的目标函数, 给出一种对任何配电网拓扑结构和任意故障位置均适用的负荷转供优化模型。本文考虑的故障情况是线路故障。

本文研究的是不同馈线间的负荷转供问题, 故优化模型中的联络支路仅指连接不同馈线的联络支路。通常每两条馈线之间只有一条联络支路, 两条馈线间存在多条联络的情况属于非典型接线, 且在实际中非常罕见, 因此本文不作深入分析。

1 优化的目标函数

将停电损失表示成故障前后节点注入功率的差额, 所有差额的绝对值之和作为优化计算的目标函数。故障前节点注入功率的值等于节点已知负荷功率, 故障后节点注入功率通过潮流计算得到。故障后的网络拓扑结构未知, 可用含优化变量的解析表达式来表示。

1.1 优化变量

以开关支路状态作为优化变量, 即对被研究馈线内部所有具备开断能力的支路的状态均赋以0/1值, 0表示支路开断, 1表示支路闭合, 优化变量为所有支路状态共同组合构成的向量。X是以支路状态为对角线元素所构成的对角线矩阵, 其表达式为:

其中:l为网络中支路总数;当支路运行时xk=1;支路断开时xk=0。

1.2 节点导纳矩阵

对文献[13]中节点导纳矩阵的定义略作扩展, 则节点导纳矩阵可按下式计算:

其中:A为所有支路 (除联络线支路) 都运行时的节点支路关联矩阵;yb为以支路导纳为元素所构成的列向量。

以节点支路关联矩阵A和待求解的优化变量X来表示节点导纳矩阵, 不同的X变量, 对应不同的网络, 避免了频繁的拓扑分析, 不用每新生成一个网络都重新进行拓扑分析, 使得本文所研究转供电问题所需的解析表达式成为可能。

1.3 目标函数

本文以馈线中指定位置发生故障后受影响停电范围最小为目标, 可具体量化为停电区域所有用户负荷功率的总和最小。假设馈线中所有负荷节点都是PQ节点, 则可进一步表示为所有负荷节点停电前后注入功率差额的绝对值之和最小作为优化目标。按这样的目标进行优化, 可保证未停电节点尽可能多, 同时被停电节点的功率总数最小。因此, 本方法构造的优化目标函数为:

其中:m为负荷节点的总数目;PiSP为预先已知的节点i注入有功功率, 对于负荷节点, PiSP就等于该节点的有功负荷PLi;Pi为故障后节点注入有功功率。

对于优化后的配电网, 节点可分为停电节点和未停电节点两类, 其中未停电节点在稳态运行时应满足潮流方程, 其节点注入有功功率在数值上等于同一地点的有功负荷, 故其节点不平衡功率为PiSP-Pi=0, 亦即对目标函数的贡献为0;停电节点由于失去了与电源的通路, 故其节点注入有功功率为Pi=0, 功率不平衡量差额即为节点已知负荷功率, 则其对目标函数的贡献为|PiSP|。可见, 本文将馈线中所有节点功率不平衡量差额定义为停电损失是合理的。

2 优化的约束条件

约束条件分为等式约束和不等式约束两类。等式约束包括树状拓扑约束、故障支路退出约束和潮流约束, 不等式约束为工程实际中设备在运行时的阈值约束, 因为配电网需要维持合理的运行电压水平, 此处考虑站出线支路载流量约束、节点电压偏移量约束、电压相角约束。

2.1 等式约束

(1) 树状拓扑约束

配电网具有特殊的结构和运行方式 (闭环连接和开环运行) [14]。配网运行时, 每条馈线都可被抽象成一个树状网络。

树状拓扑的充分必要条件为节点数比支路数多1的连通图, 故在负荷转供优化问题中, 该约束可用下述两个条件代替: (1) 节点数=支路数+1; (2) 移除开断支路后连通子图数=电源节点数+1=馈线数+1, 即与所有电源相连的树状拓扑加上被隔离的故障区域。因此, 负荷转供优化问题中的树状拓扑约束可用下列公式表示:

其中:为矩阵X对角线元素之和;n为网络中节点总数;ns为网络中馈线条数;nf为故障区域个数, 当某个配电网中存在一个被隔离的停电区域时, nf=1, 不存在停电节点时, nf=0。

(2) 故障支路退出约束

发生故障的支路必须断开, 即:

其中:f是发生故障支路的编号。

潮流约束:

节点注入有功Pi和无功功率Qi的计算公式为:

式中:n为配电网节点总数;Vi为节点i电压的幅值;δij是节点i和j之间的电压相角差, δij=δi-δj, δi、δj分别是节点i和j的电压相角;Gij和Bij分别为相应节点导纳矩阵元素Yij的实部和虚部, 即电导和电纳, 矩阵Y由上述式 (2) 计算。

优化后的配电网中, 对于停电节点, Pi=0, Qi=0;对于非停电节点, Pi=PLi, Qi=QLi。

在进行优化计算前, 存储配电网的拓扑信息, 可先通过计算机程序根据配网拓扑图找出每个节点到各个电源节点的路径。关于路径矩阵的生成有专门的算法, 对于开式网络而言其计算效率相当高。故障发生后, 与某一电源节点的路径连通的负荷节点将不停电, 不与任一电源节点连通的负荷节点即为停电节点。

定义变量Ti, Ti可取0/1值, 0表示节点i与所有电源节点均不存在路径, 1表示节点i与某一电源节点间存在路径。

因此, 节点i的注入功率可按照下列表达式取值:

2.2 不等式约束

(1) 站出线支路载流量约束

为了确保负荷不超出馈线容量, 站出线支路的电流应满足:

其中:Ikmax为第k条馈线站出线支路的最大载流量;Ik为第k条馈线站出线支路的运行电流, 可由下式计算:

其中:分别为该站出线支路首末两端节点的电压相量;Zkst为该支路阻抗值。

(2) 节点电压偏移量约束

电网正常运行时, 电压偏移量必须在允许范围内[15]:

式中:Vi为节点运行电压;Vimin和Vimax分别为节点i允许的最小电压和最大电压值, 本文算例中允许节点电压在额定电压附近上下偏移7%。

(3) 电压相角约束

任意两个节点之间的电压相角差应满足:

其中:δij表示节点i、j之间的电压相角差。

上述优化变量、节点导纳矩阵、目标函数和约束条件, 因含有非线性函数和离散变量X, 故构成配网负荷转供优化的非线性整数规划数学模型, 优化目标是停电损失最小。

3 算例分析

为了验证模型的有效性, 本文构造了含99个节点的多联络配电网进行计算。可求解优化问题的常用软件有MATLAB、GAMS、LINGO、LIN-DO、DOT等, 本文使用通用代数建模系统GAMS进行求解。计算机配置为:CPU-M380, 2.53GHz;RAM-2GB;64位操作系统。

将三个IEEE 33节点配电系统组合构造成99节点系统, 结构如图1所示, l0、l1和l2是联络支路, 正常运行时这些支路断开。联络线阻抗均设定为0.5+j0.5 (标幺值) 。三相功率基准值取10 MVA, 电压基准值为12.66 k V。站出线支路载流量均为500 A。为便于分析, 对整个系统的节点和支路进行命名, 节点名称格式为:馈线编号+N+该馈线节点编号, 支路名称格式为:支路首端节点名称-支路末端节点名称。例如, 馈线F1的节点8的名称为F1N8, 馈线F1的节点9、10之间的支路名称为F1N8-F1N9。

IEEE 33节点配电系统相关数据如表1, 表中阻抗为标幺值, 有功负荷单位为k W, 无功负荷单位为kvar。

为了验证基于非线性整数规划的负荷转供优化方法的正确性及优势, 将本文的方法与遗传算法[16]对比分析。

3.1 非线性整数规划法

当故障发生在支路F1N10-F1N11上时, 求解本文提出的负荷转供优化模型, 其计算结果如表2。

由表2可知, 当支路F1N10-F1N11发生故障时, 支路F1N10-F1N11断开, 馈线F1的节点11~17均停电, 停电损失的负荷为510 k W。电压幅值、相角差和站出线支路电流均满足实际运行的阈值约束。优化结果如图2。

当故障发生在支路F0N8-F0N9上时, 计算结果如表3。

由表3可知, 需开断的支路为F0N8-F0N9, 需闭合的联络线支路为联络线2, 馈线F0的节点9~17的负荷经联络线2转供至馈线F2, 停电损失的负荷为0。电压幅值、相角差和站出线支路电流均满足实际运行的阈值约束。优化结果如图3。

当故障发生在支路F0N3-F0N4上时, 计算结果如表4。

由表4可知, 当支路F0N3-F0N4发生故障时, 为使各约束条件均满足, 需断开的支路有F0N3-F0N4、F0N8-F0N9、F0N26-F0N27、l1, 停电节点有馈线F0的节点4~8和节点25、26, 停电损失的负荷为700 k W。此时电压幅值、相角差和站出线支路电流均满足实际运行的阈值约束。优化结果如图4。

3.2 遗传算法

根据上述模型, 每一条支路对应一条染色体, 染色体上含有一个基因, 该基因存储该条支路的开关状态信息, 所有染色体组成一个个体的基因型。目标函数作为适应度函数, 在每一代的种群中筛选出适应度函数最小的个体, 经过交叉和变异, 产生出代表新的解集的种群, 末代种群中的最优个体经过解码即为模型的近似最优解。

当故障发生在支路F1N10-F1N11上时, 使用遗传算法的计算结果如表5。与GAMS的计算结果相同。

当故障发生在支路F0N8-F0N9上时, 使用遗传算法的计算结果如表6。与GAMS的计算结果相同。

当故障发生在支路F0N3-F0N4上时, 遗传算法的计算结果如表7。优化结果如图5。

3.3非线性整数规划法和遗传算法的比较

对于上述算例, 使用GAMS求解得到的结果比遗传算法的计算结果更优。GAMS内部的寻优算法是传统的数学优化计算方法, 本文选用的是DICOPT求解器, 该求解器的算法是基于外部逼近法、等式松弛策略和广义罚函数法, 只要模型存在最优解, 就一定能被找到, 而遗传算法等智能算法的结果往往是近似最优解。

非线性整数规划法建立的模型, 包括目标函数表达式、等式和不等式约束的表达式, 均不需要随着网络拓扑结构的改变而重新分析获得。以节点支路关联矩阵A和待求解的优化变量X来表示节点导纳矩阵。只要模型一经建立、计算, 算法开始寻优后, 不需要改变模型中的任何表达式。非线性整数规划法的着重点在于建立适用性强的模型, 而求解模型的寻优算法, 可以使用专用的优化工具进行计算。

遗传算法等智能算法的重点在于制定快速的寻优算法, 计算速度非常快。遗传算法需要编码和设置选择算子、变异算子、交叉算子等参数, 参数的大小对结果有所影响, 难以确保解的最优性。

4 结论

非线性最优化问题 第10篇

关键词：变换器,非线性控制,Boost,反馈线性化,负载突变,仿真

0 引言

开关变换器因为具有非线性时变特性, 其控制一直是一个难点。使用状态空间平均法对开关变换器建模所得的数学模型是一组时变非线性方程[1,2,3,4,5], 必须对非线性系统在稳定工作点附近进行线性化处理, 才能利用频域或时域的方法进行分析。线性控制方法的缺陷催生出众多非线性控制方法, 但这些控制方法通常比较复杂, 有些还要进行大量的矩阵运算。

本文提出一种非线性控制策略基于微分几何的非线性最优控制, 它直接使用系统的非线性模型, 不做任何线性化近似, 是一种完全解析的方法, 无需小信号假设, 提高了控制的准确性。它对控制器带宽要求不是很高, 适合用DSP数字实现[6,7,8,9,10,11]。Matlab/Simulink平台仿真结果表明, 系统能稳定运行, 对电源电压变化和负载突变具有较强的鲁棒性。

1 非线性最优控制的数学描述

控制理论研究的是如何改进动态系统的性能以达到所需目标, 根据所需的动态性能目标或系统控制指标, 可以构造一类状态变量的特定函数, 以此实现系统的最优控制。假定一单输入、单输出n阶非线性系统[12]:

其中, x是系统的状态变量;u是控制变量;f (x) 及g (x) 为状态空间中n维向量场;h (x) 为x的标量函数。

若系统关系度r=n, 则非线性状态反馈规律为

其中, a (x) 为h (x) 对f (x) 的Lie导数, 即有a (x) =Lfnh (x) ;b (x) 为h (x) 对f (x) 求 (n-1) 阶Lie导数后, 对g (x) 的Lie导数, 即有b (x) =LgLfn-1h (x) 。

此时, 利用微分同胚的坐标变换

就可以将原非线性系统转化为一个完全可控的线性系统

其中, 矩阵A和B为Brunovsky标准型。

原系统的控制量u与被精确化了的系统式 (3) 的预控制量v之间有式 (2) 所示的关系。v一旦确定, 控制量u也就随之确定。

若r

为求得所需的输出函数w (x) , 需解如下方程:

综上可知, 非线性最优控制方法具有以下优点。

a.设计简单。如果能够获取非线性系统数学模型, 则能构造反馈控制器, 使得性能指标达到最优, 同时使闭环系统x觶=f (x) +g (x) u稳定或渐近稳定。

b.具有较强的控制跟随性。最优控制根据控制目标来构造控制函数, 对控制目标具有较强的跟随性。如果系统的控制目标改变, 则控制函数必然跟随这种变化, 从而使系统的运行点能跟随控制目标。

c.由最优控制律的一般形式可知, 对于Boos变换器而言, 控制律u代表占空比。虽然u的计算比较复杂, 但是利用现有的DSP足够实现。因此, 非线性最优控制适合于数字实现。

2 Boost变换器非线性最优控制器设计

根据前面所述步骤, 对Boost变换器的最优控制器进行分析设计。图1为Boost变换器的电路图。

为简化分析, 假设功率开关管的导通电阻为0, 关断电阻为无穷大。根据状态空间平均法得出系统稳态时的状态方程和输出方程:

其中, x1、x2为Boost变换器的电感电流iL和电容电压uC;u是占空比 (0u1) ;US为电源电压;R为负载电阻。其控制目的是根据系统模型和所需动态特性, 求得系统达到稳态时的控制规则u (x1, x2) 。

将式 (6) 变换成一个标准的仿射非线性系统x觶=f (x) +g (x) u的形式, 其中

根据精确线性化的条件, 求解给定系统的Lie导数[13,14,15], 有

由此可知, 系统关系度r=1<2=n。无法实现输入/输出的精确线性化, 需要构建合适的输出函数使其满足精确线性化的条件。选择如下坐标转换:

所选φ (x) 满足Lgw (x) =0, 则有

求得:

状态反馈跟踪控制规律为

其中, 得到新坐标系表述的系统为

这是一个完全可控的线性系统。根据跟踪问题的求解方法, 可知最优控制:

其中, K*为最优反馈增益矩阵;yref为系统输出参考值。k1、k2的参数值决定了跟踪的效果, 在最优控制理论中, k1、k2可以通过Riccati矩阵方程求出[16]。

针对定点调节问题, yref=c (c为常数) , 于是可求得控制器的控制规律:

3 仿真实验

为了研究所提出的改进非线性控制的方案性能, 设置参数如下:US=20 V, L=50 m H, C=1 200μF, 给定输出电压UO=60 V, 开关频率f=10 k Hz, 负载R=15Ω, 时间常数τ=2 ms。功率开关管选用N沟道MOSFET, 搭建了Boost变换器仿真实验电路。

图2 (a) 为Boost变换器启动时输出电压uO的仿真波形, 可见, 非线性控制下的变换器启动特性比较理想, 能很快达到稳定运行状态。图2 (b) 为系统进入稳态后, 在t=0.03 s时输入电压US从20 V突变到15 V的仿真波形, 由图可见, 非线性控制可以很好地补偿US的变化。

4 结论

本文提出基于微分几何的非线性最优控制策略, 并将其应用于Boost变换器进行控制研究。非线性最优控制方法可以充分利用Boost变换器的非线性模型, 建立跟踪控制系统, 对输入电压和负载电阻的变化有良好的抑制效果。

线性规划问题一线牵 第11篇

一、一线牵引出线性目标函数的最值

1.静态可行域下形如z=ax+by+c截距型线性目标函数的最值

例1（2015年湖南卷）若变量x，y满足约束条件则z=3x-y 的最小值为（  ）

解析：作出可行域（图略），作直线l：3x-y=0，平移直线l利用数形结合法求最值。答案：选A

命题点睛  要求考生理解目标函数的意义：把z=3x-y看作一条“动直线”l，观察其位置，从而确定目标函数取得最值时所经过的点。动中有静，动直线l牵引出最优解（定点），从而得到z的最小值。

2.动态可行域下形如z=ax+by+c 截距型线性目标函数最值的逆向问题

例2 （2015年福建卷）变量x，y满足约束条件若z=2x-y的最大值为2，则实数m 等于（     ）

A、-2 B、-1

C、1 D、2

图1

解析  将目标函数看作动直线l：2x-z=0，当z取最大值时，动直线l纵截距最小。故当m≤0时，不满足题意;当m>0时，由可行域如图1所示，其中 是最优解，代入目标函数得：，得m=1。故选C。

命题点睛  以动制静，动直线l的位置与参数m的符号相互制约，由两条动直线l：y=2x-z与l1：y=mx牵引出定点B最优解。解含参数的线性规划问题，要善于从已知的可行域（动态区域）中找出不变的（静态）区域。困难在于对参数m的符号讨论，以确定可行域，往往还要将动直线l的斜率和可行域边界的斜率比较，否则找出最优解很容易出错。思维从静态到动态模式跳跃式开放性发展，更能考查学生的创新应用能力。

二、一线牵引出非线性目标函数的最值

1.斜率型

例3  （2015年全国卷）  若x，y 满足约束条件 则的最大值为          。

解析  作出可行域（图略），由斜率的意义知是可行域内的动点P（x，y）与原点连线的斜率。答案：3

命题点睛  形如型的目标函数，其表示可行域内的动点P（x，y）与定点M（a，b）连线的斜率。将直线PM绕点M旋转，且确保动点P在可行域内，这样由动点与定点的连线牵引出斜率的取值范围。

2.距离型：点点距、点线距

例4  （2016年山东卷）  若变量x，y满足 则x2+y2的最大值是（      ）

A、4 B、9

C、10 D、12

解析x2+y2表示可行域内的动点（x，y）到原点O（0，0）距离的平方，可得x2+y2的最大值为10。故选C。

命题点睛  点点距离型实质就是动点与定点连线的长度。

变式探究1（点线距）：（2016年浙江卷文·4改编）

若平面区域

（1） 的最大值是           。

（2）的最大值是             。

答案：（1）（2）

3.向量数量积型（夹角型、投影型）

例5  （2016年浙江卷）  在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l上的投影。由区域中的点在直线x+y-2=0上的投影构成的线段记为AB，则|AB|（      ）。

A、 B、4

C、 D、6

答案：C

变式拓展2：（夹角型、投影型）   已知点A（3，1），O为坐标原点，点P（x，y）满足则

（1） 的最小值是               。

（2） 的最大值是             。

（3） 的取值范围是              。

解析  如图2所示，（1）

当且仅当与 反向时，取等号;

（2）的最大值即在方向上的投影，为

（3）的最小值即在方向上的投影，为

其最大值即与共线时在方向上的投影，为，所以其取值范围是

命题点睛  （1）中抓住定向量与动向量的夹角;（2）中抓住动线段OP在一条定直线OA上的投影;（3）与（2）正好反之。

图2

4.直线与圆锥曲线相关位置型

图3

例6  （2016年山东卷文·4改编）  设x，y满足约束条件若Z=x2+4y2，则Z的取值范围是         。

解析Z=x2+4y2表示中心在坐标

原点，焦点在x 轴上的椭圆，当此椭圆与直线x+y=1相切时，Z=x2+4y2最小，

由 得5y2-2y+1=0 ，由Δ=0

得 为最小值;当此椭圆过点 时，为最大值，故所求范围是

图4

命题点睛  圆锥曲线（动曲线）与一条定直线（或定点）的位置关系牵引出z的取值范围，此题型新颖别致，赏心悦目，耐人寻味。

变式拓展3  设变量x，y满足约束条件

其中k∈R，k>0.

若的最大值为1，则实数k的取值范围是           。

提示：设，则，要使m最大，则只要使抛物线的通径最小。当的最大值为1时，此时抛物线方程为y=x2。因为直线y-1=k（x-1）过定点C（1，1），当直线y-1=k（x-1）与抛物线y=x2相切于点 C（1，1）时k最大，由y?=2x，即k=2×1=2，故得0<k≤2。

非线性最优化问题 第12篇

1 SVC控制原理

单机无穷大系统中的线路末端接入TCR-FC型SVS补偿装置,其原理接线和相应的等值电路如图1所示。

发电机的转子运动方程式可写为:

式中:δ为发电机转子运行角;ω为发电机转速;Pm和Pe分别为发电机机械功率和电磁功率;H为机组转动惯量;D为阻尼系数。

若略去线路与SVS装置的电磁暂态过程,则由图1(b)可得发电机电磁功率为:

式中,Eq'为发电机暂态电势;δ为发电机功角;x1,x2为图1(b)中的线路电抗;Vs为无穷大母线电压;BSVS为SVS等效电纳,即文中的控制变量。

进一步假设发电机暂态电势和机械功率恒定,则具有SVS的单机无穷大系统可以用以下非线性状态方程式表示:

1.1 常规控制方式

1.1.1 控制原理

将SVS用图2所示的等值电路表示。

由图可知,加在SVS上的电压可表示为:

式中,BSVS1为加装消谐滤波装置(FC)的晶闸管控制电抗器(TCR)型SVS补偿装置等效电纳,其表达式如下[5]:

式中:BTCR为TCR等效电纳,即TCR-FC型SVS补偿装置的可控变量,通过控制BTCR即可实现具体的控制指令。

如果系统等值电纳Beq≥BSVS1,则可控电抗器上的电压可近似表示为:

当SVS处于断开状态时,其电纳BSVS1=0。由式(4)或(6)可知,此时SVS两端电压VSVS应等于系统电压Veq。所以SVS两端电压变化(亦即系统电压变化)ΔV应为:

若定义式(7)中静止无功补偿器控制系统的增益为:

则系统电压增量可表示为:

式中:VREF为SVS接入点的系统电压指令值。控制系统增益KN依赖于等值电路的参数Veq和Beq,而Veq和Beq随系统结构和运行方式的变化而改变。

以TCR-FC型SVS装置为例,最基本的控制方式如图3所示。

1.1.2 控制规律的求解

对于图1所示的单机无穷大系统,Veq=VM,Beq=Bσ。由图1(b)等值电路图可得:

由图2的等值电路可得:

因为可控硅触发角可在180°和90°连续变化,所以BTCR可在0与BL之间连续变化,分别对应着BSVS的最大值和最小值。BSVSmax与BSVSmin的计算方法详见文献[5]。

联立式(8),(9),(10),(11)可得控制规律如下:

式中:U=x1x2kVREF+x1+x2;k=-Bσ/VREF。

1.2 非线性最优控制方式

对于式(3)选择控制量为:

则式(3)可以写成以下仿射非线性系统形式:

根据文献[5]中的精确线性化方法可将上述系统精确线性化为以下系统:

上式线性系统满足二次型性能指标的最优控制规律为:

若取二次型性能指标中Q=diag[1,0],R=1.0,。由此求出系统(14)的非线性控制规律为:

上述控制规律使得以下二次型性能指标最优:

式中:q1,q2和r0分别为Q和R的对角元。

上述指标的被积函数中第一项为Δδ2,期望目标是转子角偏差平方最小;第二项为Δω2,期望目标是频率偏差平方最小;第三项为ΔPe2,期望目标是电磁功率振荡最小。综上所述,指标J的最优性体现在功角稳定和频率稳定,包含了对系统动态品质的多目标优化要求。

将式(17)代入式(13)可得对SVS电纳的非线性最优控制规律:

SVS非线性最优控制器的实现框图见图4。

2 算例仿真

对一单机无穷大系统算例进行仿真,对比系统发生三相短路时常规控制方式和非线性最优控制方式的频率和攻角稳定性。

2.1 算例参数和状态模型的推导

给定一个单机无穷大系统,其等值电路如图5所示。采用文献[6]中的参数数据。已知:Xd'=0.238,XT1=0.13,21XL=0.293,XT2=0.108,V觶s=1<0,Pm=1.0,H=66.67,D=20,ω0=314.15 rad/s。输电线路始端在t=1 s时发生三相短路,0.1 s后切除故障。求得正常运行时的平衡点为Eq'=1.47,δ0=31.54°。

(1)正常运行状态。如图5(a)所示,系统正常运行时,此时发电机的电磁功率

(2)故障中。如图5(b)所示,发生三相短路故障时,Pe=0。

(3)故障切除后。如图5(c)所示,故障切除后,系统变为单回路供电。x1'=Xd'+XT1+XL,x2'=XT2,此时发电机电磁功率。式中BSVS为控制量,由不同的控制方式得出。

改变各状态的电磁功率的表达式可以求得各状态的状态方程。

2.2 2种控制方法的比较

采用常规控制和非线性最优控制2种方式对SVS装置的电纳进行控制。根据1.1和1.2所述原理并代入算例参数求得控制规律,然后用Matlab编程仿真。2种方式频率和功角稳定性的对比如图6所示。

由图6可知,系统1.0 s时发生三相短路故障,在常规控制方法的作用下故障后系统发生振荡,控制效果并不理想。而在非线性最优控制器的控制下,切除故障后系统在6 s时恢复到原来的稳定状态。频率和功角只经过一次振荡即达到稳定状态,达到了最优控制频率和功角振荡最小的目标。

可见,非线性最优控制器的优势为:(1)频率和功角振荡较小,并能够使系统稳定;(2)超调较小;(3)比常规控制较快达到稳定状态并且能回到原来的平衡点。

文中设计的基于精确反馈线性化的SVS非线性最优控制器对多机电力系统同样适用,其设计过程与单机系统类似,通过联立发电机转子状态方程与网络方程,获得包含SVS等效电纳的状态方程,将SVS等效电纳作为控制变量,运用精确反馈线性化和最优控制理论设计控制律,即可得到多机电力系统静止无功补偿装置非线性最优控制器。

3 结束语

综上所述,SVS的非线性最优控制器在频率和攻角稳定性方面均优于常规控制方式。随着静止无功补偿装置在电力系统中的大量应用,对SVS的控制策略也需要进一步的深入研究。

参考文献

[1]张敏,刘孙贤,李新君,等.包含静止无功补偿器的电力系统非线性控制研究[J].电气应用,2007,26(4):30-34.

[2]卢强,孙元章.电力系统非线性控制[M].北京:科学出版社,1993.

[3]阎彩萍,孙元章,卢强.用精确线性化方法设计的SVC非线性控制器[J].清华大学学报,1993,33(1):18-24.

[4]马幼捷,周雪松.静止无功补偿器非线性控制对系统功角稳定的影响[J].中国电机工程学报,2003,23(12):84-88.

[5]卢强,梅生伟,孙元章.电力系统非线性控制[M].2版.北京:清华大学出版社,2008.